九年级数学正方形的性质

专题22 正方形1．正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2．正方形的性质：（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；（2）正方形的四个角都是直角,四条边都相等；（3）正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角；（4）正方形是轴对称图形,有4条对称轴；（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

3．正方形的判定判定一个四边形是正方形的主要依据是定义,途径有两种：先证它是矩形,再证有一组邻边相等。

即有一组邻边相等的矩形是正方形先证它是菱形,再证有一个角是直角。

即有一个角是直角的菱形是正方形。

4．正方形的面积：设正方形边长为a,对角线长为b ,S正方形=222ba【例题1】（2019湖南郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形,如图所示,已知∠A＝90°,BD＝4,CF＝6,则正方形ADOF的边长是（）A．√2B．2C．√3D．4专题知识回顾专题典型题考法及解析【例题2】（2019•四川省凉山州）如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是OC上一点,连接E B．过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．一、选择题1．（2019内蒙古包头）如图,在正方形ABCD中,AB＝1,点E,F分别在边BC和CD上,AE＝AF,∠EAF＝60°,则CF的长是（）A．B．C．﹣1D．2．（2019湖南张家界）如图,在平面直角坐标系中,将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式,绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019,那么点A2019的坐标是（）A．（,﹣）B．（1,0）C．（﹣,﹣）D．（0,﹣1）3.（2019•四川省广安市）把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（）专题典型训练题()A61()B31()C51()D414.（2019•贵州省铜仁市）如图,正方形ABCD中,AB＝6,E为AB的中点,将△ADE沿DE翻折得到△FDE,延长EF交BC于G,FH⊥BC,垂足为H,连接BF、DG．以下结论：①BF∥ED；②△DFG≌△DCG；③△FHB∽△EAD；④tan∠GEB＝；⑤S△BFG＝2.6；其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5\5．（2019黑龙江省绥化）如图,在正方形ABCD中,E、F是对角线AC上的两个动点,P是正方形四边上的任意一点,且AB＝4,EF＝2,设AE＝x．当△PEF是等腰三角形时,下列关于P点个数的说法中,一定正确的是（）①当x＝0（即E、A两点重合）时,P点有6个②当0＜x＜42﹣2时,P点最多有9个③当P点有8个时,x＝22﹣2④当△PEF是等边三角形时,P点有4个A．①③B．①④C．②④D．②③二、填空题6．（2019湖南邵阳）公元3世纪初,中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时,创造了“赵爽弦图”．如图,设勾a=6,弦c=10,则小正方形ABCD的面积是.127．（2019湖南张家界）如图：正方形ABCD的边长为1,点E,F分别为BC,CD边的中点,连接AE,BF交于点P,连接PD,则tan∠APD＝．8.（2019•湖北省随州市）如图,已知正方形ABCD的边长为a,E为CD边上一点（不与端点重合）,将△ADE 沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF．给出下列判断：①∠EAG=45°；②若DE=a,则AG∥CF；③若E为CD的中点,则△GFC的面积为a2；④若CF=FG,则DE=（-1）a；⑤BG•DE+AF•GE=a2．其中正确的是______．（写出所有正确判断的序号）9．（2019福建）如图,边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合,E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点,则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）10.（2019•四川省凉山州）如图,正方形ABCD中,AB＝12,AE＝AB,点P在BC上运动（不与B、C重合）,过点P作PQ⊥EP,交CD于点Q,则CQ的最大值为．11. （2019•广东广州）如图,正方形ABCD的边长为a,点E在边AB上运动（不与点A,B重合）,∠DAM＝45°,点F在射线AM上,且AF＝BE,CF与AD相交于点G,连接EC,EF,EG,则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值a2．其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）12.（2019·广西贺州）如图,正方形ABCD的边长为4,点E是CD的中点,AF平分∠BAE交BC于点F,将△ADE 绕点A顺时针旋转90°得△ABG,则CF的长为．13．（2019•山东青岛）如图,在正方形纸片ABCD中,E是CD的中点,将正方形纸片折叠,点B落在线段AE上的点G处,折痕为AF．若AD＝4cm,则CF的长为cm．14.（2019江苏镇江）将边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置（如图）,使得点D 落在对角线CF 上,EF 与AD 相交于点H ,则HD＝ ．（结果保留根号）15．（2019辽宁抚顺）如图,在2×6的网格中,每个小正方形的边长都是1个单位长度,网格中小正方形的顶点叫格点,点A ,B ,C 在格点上,连接AB ,BC ,则tan ∠ABC ＝ ．三、解答题16．（2019湖南湘西州）如图,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边CD ,AD 上,且AF ＝CE ．（1）求证：△ABF ≌△CBE ；（2）若AB ＝4,AF ＝1,求四边形BEDF 的面积．17. (2019海南)如图,在边长为1的正方形ABCD 中,E 是边CD 的中点,点P 是边AD 上一点(与点A,D 不重合),射线PE 与BC 的延长线交于点Q.第10题图HGFEDCBA(1)求证:△PDE≌△QCE;(2)过点E作EF∥BC交PB于点F,连接AF,当PB＝PQ时,①求证:四边形AFEP是平行四边形;②请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由.18．（2019湖南株洲）如图所示,已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点,连接CE、DG．（1）求证：△DOG≌△COE；（2）若DG⊥BD,正方形ABCD的边长为2,线段AD与线段OG相交于点M,AM＝12,求正方形OEFG的边长．19.（2019•湖北省仙桃市）如图,E,F分别是正方形ABCD的边CB,DC延长线上的点,且BE＝CF,过点E作EG ∥BF,交正方形外角的平分线CG于点G,连接GF．求证：（1）AE⊥BF；（2）四边形BEGF是平行四边形．20．（2019•山东泰安）如图,四边形ABCD是正方形,△EFC是等腰直角三角形,点E在AB上,且∠CEF＝90°,FG ⊥AD,垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点,GH与DH垂直吗？若垂直,给出证明；若不垂直,说明理由．21．（2019湖北襄阳）（1）证明推断：如图（1）,在正方形ABCD中,点E,Q分别在边BC,AB上,DQ⊥AE于点O,点G,F分别在边CD,AB上,GF⊥AE．①求证：DQ＝AE；②推断：的值为；（2）类比探究：如图（2）,在矩形ABCD中,＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠,使点A落在BC 边上的点E处,得到四边形FEPG,EP交CD于点H,连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系,并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下,连接CP,当k＝时,若tan∠CGP＝,GF＝2,求CP的长．。

引言概述：正方形是一种几何形状，具有许多独特的属性和特征。

本文将深入探讨正方形的知识总结，从正方形的定义和性质，到相关的数学公式和应用，并给出一些实际生活中与正方形相关的例子。

通过本文的阐述，读者将能更深入地理解和运用正方形的概念。

正文内容：1.正方形的定义和性质1.1正方形的定义：介绍正方形是一种四边相等、四个角都是直角的特殊四边形。

1.2正方形的性质：阐述正方形具有对称性、对角线相等、对角线垂直等性质，并给出证明。

2.正方形的周长和面积公式2.1周长公式的推导：详细介绍如何推导正方形的周长公式。

2.2面积公式的推导：详细介绍如何推导正方形的面积公式。

2.3周长和面积公式的比较：比较周长和面积公式之间的关系和特点，解释为什么周长公式是面积公式的一半。

3.正方形的应用3.1图形的分类：介绍几何图形的分类，重点讲述正方形在图形分类中的作用。

3.2建筑和设计中的应用：介绍正方形在建筑和设计中的应用，比如正方形的房间布局，正方形的花园设计等。

3.3数学问题的解决：解释如何使用正方形的性质和公式来解决一些数学问题，例如寻找最大正方形的面积等。

4.正方形的实际应用举例4.1城市规划：举例说明正方形在城市规划中的应用，如正方形的街区设计，正方形的公园规划等。

4.2网格和排版设计：介绍正方形在网格和排版设计中的应用，如正方形的网格布局，正方形的页面排版等。

4.3绘画和艺术：探讨正方形在绘画和艺术中的应用，如正方形的画框设计，正方形的艺术装饰等。

4.4数字图像处理：介绍正方形在数字图像处理中的应用，如正方形的像素处理，正方形的图像编码等。

4.5生活中的实际应用：举例说明正方形在日常生活中的实际应用，如正方形的餐桌布置，正方形的画框选择等。

5.结论通过本文的详细阐述，我们可以总结出正方形的定义和性质，掌握正方形的周长和面积公式，并了解了正方形在实际应用中的重要性。

正方形作为一种几何形状，在数学、建筑、设计、绘画等领域都具有广泛的应用，为我们的生活带来了便利和美感。

正方形的概念正方形是几何学中的一种特殊类型的四边形，具有特定的性质和定义。

它是由四条相等且相互垂直的边所组成的，其中每个内角都是直角（即90度），而且四条边的长度也相等。

正方形是矩形的一种特殊情况，也可以被看作是菱形的一种特殊情况。

在这篇文章中，我将详细介绍正方形的定义、性质和应用。

正方形的定义正方形可以被定义为具有以下特征的四边形：1. 四条边的长度相等：正方形的四条边长完全相等，记为a。

这意味着正方形的周长为4a。

2. 内角均为直角：每个内角都是直角，即角度为90度。

由于所有内角之和为360度，所以每个内角的度数为90度。

3. 对角线相等且垂直：正方形的两条对角线相等且垂直于彼此。

对角线长度可以通过勾股定理计算，即对角线长度d等于边长a的平方根乘以2，即d = a√2。

正方形的性质正方形具有以下性质：1. 对称性：由于正方形的边和角都相等，所以它具有4个对称轴。

这意味着可以将正方形沿着这些对称轴进行旋转或翻转，从而得到相同的图形。

2. 面积和周长：正方形的面积等于边长的平方，即A = a²。

周长等于边长的四倍，即P = 4a。

这些公式在计算正方形的面积和周长时非常有用。

3. 对角线长度：正方形的对角线长度可以通过边长求得，即d = a√2。

因为对角线是两个直角三角形的斜边，所以可以使用勾股定理来计算对角线的长度。

正方形的应用正方形在数学和实际生活中有多种应用：1. 建筑设计：正方形是建筑设计中常用的几何形状之一。

许多建筑物的平面设计中使用了正方形，如广场的布局和建筑的底部平面。

2. 绘画和艺术：正方形在绘画和艺术创作中常被用作画布的形状，例如画作的背景或画框的形状。

3. 数学推理和证明：正方形作为一种特殊的四边形，常常在数学推理和证明中被使用。

通过理解正方形的性质和特征，可以解决和证明许多数学问题。

4. 游戏和拼图：许多游戏和拼图中都会使用正方形的图形，如拼图游戏中的方块。

总结正方形是一种特殊类型的四边形，具有特定的性质和定义。