2020年人大附中初三数学基础练习28-圆(4)(教师版)

2019-2020学年度第二学期初三年级数学热身练习一、选择题1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C.D.【答案】C【解析】【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C．【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2. 港珠澳大桥是世界上总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米．其中海底隧道部分全长6700米，是世界最长的公路沉管隧道和唯一的深埋沉管隧道，也是我国第一条外海沉管隧道．将数字55000用科学记数法表示为（）A.45.510´ B.35510´ C.35.510´ D.50.5510´【答案】A 【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解：数字55000用科学记数法表示为5.5×104．故选：A ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3. 实数a ，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A. 0a >B. 2b >C. a b <D. a b=【答案】C 【解析】【分析】由题意根据数轴可以发现-1＜a ＜0＜b ＜2，由此即可判断各个选项．【详解】解：∵-1＜a ＜0＜b ＜2，∴答案A 错误；答案B 错误；故选项C 正确，选项D 错误．故选：C ．【点睛】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，熟练掌握并利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．4. 如图，//AB CD ，DA CE ^于点A ．若36D Ð=°，则EAB Ð的度数为（ ）A. 36°B. 60°C. 64°D. 54°【答案】D【解析】【分析】由题意先根据平行线的性质，即可得出∠BAD的度数，再根据垂直的定义，得出∠EAB的度数．【详解】解：∵AB//CD，∴∠BAD=∠D=36°，∵DA⊥CE，∴∠DAE=90°，∴∠EAB=90°-36°=54°．故选：D．【点睛】本题主要考查平行线的性质以及垂线的定义，注意掌握两直线平行，内错角相等．5. 如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m，旗杆底部与平面镜的水平距离为16m．若小明的眼睛与地面的距离为1.6m m）（）A. 12.4B. 12.5C. 12.8D. 16【答案】C【解析】【分析】如图，BC＝2m，CE＝16m，AB＝1.6m，利用题意得∠ACB＝∠DCE，则可判断△ACB∽△DCE，然后利用相似比计算出DE的长．【详解】解：如图，BC＝2m，CE＝16m，AB＝1.6m，由题意得∠ACB ＝∠DCE ，∵∠ABC ＝∠DEC ，∴△ACB ∽△DCE ，∴AB BC DE CE =，即1.6216DE =，∴DE ＝12.8即旗杆的高度为12.8m ．故答案为：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．6. 如果2340x x --=，那么代数式293x x x x +æö-¸ç÷èø的值为（ ）A. 4B. 2C. 1D. 1-【答案】A 【解析】【分析】先对方程变形可得234x x -=，再对分式进行化简，整体代入求解即可．【详解】解：由2340x x --=可得234x x -=，222293393x x x x x x x x x x +æö-¸=´=ç+è--÷ø即293x x x x +æö-¸ç÷èø=4，故答案为：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的求解和分式的化简求值，整体代入思想的应用是解题的关键．7. 某校初中篮球队共有25名球员，为了球队的健康发展和培养球员，要求从13岁到16岁每个年龄段都必须有球员，下表是该球队的年龄分布统计表：对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）A. 平均数、中位数B. 平均数、方差C. 众数、方差D. 众数、中位数【答案】D【解析】【分析】根据题意由频数分布表可知后两组的频数和为11，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数即可得出答案．【详解】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+11-x=11，总人数为25，且每个年龄段都必须有球员可知14岁年龄段的频数最多，故该组数据的众数为14岁，由题意可知15岁和16岁年龄段的人数有：25-3-11=11（名），所以中位数第13位在14岁年龄段，故中位数为： 14岁，即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数．故选：D．【点睛】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．8. 某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米／时，两车之间的距离y(千米)与货车行驶时间x(小时)之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：①快递车从甲地到乙地的速度为100千米／时；②甲、乙两地之间的距离为120千米；③，75)；④快递车从乙地返回时的速度为90千米／时．以上4个结图中点B的坐标为(334论中正确的是( )A. ①③④B. ①②④C. ②③④D.①②③④【答案】A【解析】【分析】要解答本题需要熟悉一次函数的图象特征，再根据一次函数的性质和图象结合实际问题对每一项进行分析即可得出答案．【详解】①设快递车从甲地到乙地的速度为x千米/时，由图像可得3(x−60)=120，x=100.故①正确；②因为120千米是快递车到达乙地后两车之间的距离，不是甲、乙两地之间的距离，故②错误；③因为快递车到达乙地后缷完物品再另装货物共用45分钟，所以图中点B的横坐标为3+34=334，纵坐标为120−60×34=75，故③正确；④设快递车从乙地返回时的速度为y千米/时,则返回时与货车共同行驶的时间为(414−334)小时此时两车还相距75千米，由题意，得(y+60)( 414−334)=75，y=90，故④正确．其中正确的是：①③④．故选A.【点睛】本题考查一次函数的应用，熟练掌握性质是解题的关键.二、填空题9. 分解因式：228x y y -=________.【答案】2(2)(2)y x x +-．【解析】【详解】解：原式=22(4)y x -=2(2)(2)y x x +-．故答案为2(2)(2)y x x +-．【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用．10. 下列几何体中，主视图是三角形的是_____．【答案】②③【解析】【分析】找到从视图是三角形的即可．【详解】由主视图的定义得：①的主视图的一行两个矩形，②的主视图是三角形，③的主视图是等腰三角形则主视图是三角形的是②③故答案为：②③．【点睛】本题考查了主视图的定义，掌握三视图的相关知识点是解题关键．另两个概念是：俯视图和左视图，这是常考知识点，需掌握．11. 函数2y x =-中，自变量x 的取值范围是_____．【答案】2x ³【解析】【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可.【详解】解：依题意，得20x -³，解得：2x³，故答案为2x³．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．12. 如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则AOB CODÐ+Ð=______°．【答案】45；【解析】【分析】如图，连接BE，证出△OBE为等腰直角三角形，得出∠EOB=45°，即可求得Ð+Ð的度数．AOB COD【详解】解：如图，连接BE，设每个小方格的边长为1，则OE=BE=5，，可得222+=，OE BE OB即△OBE为等腰直角三角形，∴∠EOB=45°，∴904545AOB COD DOA EOB Ð+Ð=Ð-Ð=°-°=°，故答案为：45．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在方格纸上求出三角形各边的长度是解题的关键．13. 新冠疫情发生以来，为保证防控期间的口罩供应，某公司加紧转产，开设多条生产线争分夺秒赶制口罩，从最初转产时的陌生，到正式投产后达成日均生产100万个口罩的产能．不仅效率高，而且口罩送检合格率也不断提升，真正体现了“大国速度”．以下是质监局对一批口罩进行质量抽检的相关数据，统计如下：估计这一批口罩的合格率为（精确到）．【答案】0.92；【解析】【分析】由题意观察表格，利用大量重复试验中频率的稳定值估计概率即可．【详解】解：观察表格发现：随着试验的次数的增多，口罩合格率的频率逐渐稳定在0.920附近，所以可以估计这批口罩中合格的概是0.92（精确到0.01）．故答案为：0.92．【点睛】本题主要考查利用频率估计概率及概率的意义等知识，解题的关键是了解大量重复试验中频率的稳定值估计概率．14. 如图，线段AB 是O e 的直径，C ，D 为O e 上两点，如果30D Ð=°，3AC =，则O e 的半径长为______．【答案】3【解析】【分析】根据题意连接BC，利用圆周角定理得出∠ACB=90°，进而利用含30°的直角三角形的性质进行分析求解．【详解】解：如图，连接BC，∵线段AB是Oe的直径，∴∠ACB=90°，∵30Ð=°，D∴30B D°Ð=Ð=，∵3AC=，∴2236==´=，AB AC∴Oe的半径长为3．故答案为：3．【点睛】本题考查圆相关，熟练掌握圆周角定理以及在含30°的直角三角形中其斜边的短直角边的2倍是解题的关键．15. 一所中学组织学生去某市进行研学活动，原计划乘坐特快列车前往，为了节省时间，现改为乘坐高铁列车前往．已知北京与该市的距离约为1200千米，高铁列车的平均速度是特快列车的平均速度的2.4倍，且乘坐高铁列车所用时间比乘坐特快列车所用时间少用7小时，设特快列车的平均速度为x千米/时，则可列方程为______．【答案】120012007=-；2.4x x【解析】【分析】由特快列车的平均速度为x千米/时，则高铁列车的平均速度是2.4x千米/时，分别表示乘坐高铁列车的时间与乘坐特快列车的时间，利用乘坐高铁列车所用时间比乘坐特快列车所用时间少用7小时，列方程即可．【详解】解：设特快列车的平均速度为x千米/时，则高铁列车的平均速度是2.4x千米/时，则乘坐高铁列车所用时间为12002.4x 小时，乘坐特快列车所用时间为1200x小时，所以：1200120072.4x x=-，故答案为：1200120072.4x x=-．【点睛】本题考查的是分式方程的应用，掌握利用未知数表示需要的量，利用相等关系列方程是解题的关键．16. 如图，30MABÐ=°，2cmAB=．点C在射线AM上．（1）若要利用上图，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．则在画图时，选取的BC的长可以为______cm；（2）若对于射线AM上的点C，ABCV的形状，大小是唯一确定的，则BC长度d的取值范围是______【答案】 ①. 1.2，答案不唯一 ②. d=1或d≥2．【解析】【分析】（1）答案不唯一，可以取BC=1.2cm（1cm＜BC＜2cm）；（2）先求出点B到AN的距离最短，再得当△ABC唯一确定时，d的取值范围．【详解】解：（1）取BC=1.2cm，如图在△ABC和△ABC′中满足SSA，两个三角形不全等．故答案为：答案不唯一如：BC=1.2cm．（2） 当∠ACB=90°时，点B 到AN 的距离最短∵∠A=30°∴BC= AB ＝1，∴若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则d 的取值范围是d=1或d ≥2，故答案为：d=1或d ≥2．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题17.计算(0182cos 4525°-+---1+【解析】【分析】直接利用二次根式、特殊角的三角函数值、绝对值的性质以及零指数幂的性质进行化简，进而求出答案．【详解】解：原式2212=-´+-1=【点睛】本题考查了二次根式、特殊角的三角函数值、绝对值的性质以及零指数幂的性质，熟练掌握各自计算法则和性质是解题的关键．18. 解不等式组()22313x x x x ì-<-ïí-<ïî．【答案】原不等式的解集为：112x -<<【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，然后取公共部分即可得到答案．【详解】解：原不等式组为()22313x x x x ì-<-ïí-<ïî①②由①得：1x <由②得：12x >-所以原不等式的解集为：112x -<<．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法进行解题．19. 下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60°”的尺规作图过程．已知：⊙O求作：矩形ABCD ，使得矩形ABCD 内接于⊙O ，且其对角线AC ，BD 的夹角为60°．作法：如图①作⊙O 的直径AC ；②以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，交直线AC 上方的圆弧于点B ；③连接BO 并延长交⊙O 于点D ；所以四边形ABCD 就是所求作的矩形．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵点A ，C 都在⊙O 上，∴OA ＝OC同理OB ＝OD∴四边形ABCD 是平行四边形∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°（ ）（填推理的依据）∴四边形ABCD 是矩形∵AB ＝ ＝BO ，∴四边形ABCD 四所求作的矩形．【答案】（1）见解析；（2）直径所对圆周角是直角，AO【解析】【分析】（1）根据要求作图即可得；（2）根据圆周角定理推论及圆的性质求解可得．【详解】解：（1）如图所示，矩形ABCD即为所求；（2）证明：∵点A，C都在⊙O上，∴OA＝OC同理OB＝OD∴四边形ABCD是平行四边形∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°（直径所对圆周角是直角）∴四边形ABCD是矩形∵AB＝AO＝BO，∴四边形ABCD即为所求作的矩形，故答案为：直径所对圆周角是直角，AO．【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，涉及到等边三角形的判定与性质、圆周角定理、矩形的性质与判定等知识，解题的关键是掌握圆周角定理．20. 已知关于x的一元二次方程2++=有两个不相等的实数根．x x m240（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求该方程的根．【答案】（1）2m <；（2）1212x =-+，212x =--【解析】【分析】（1）由题意两个不相等的实数根根据判别式大于0进行分析计算即可求出答案；（2）由题意根据m 的范围可知m=1，代入原方程后根据一元二次方程的解法即可求出答案．【详解】解：（1）由题意，2442168m m´×D =-=-∵方程有两个不相等的实数根∴1680m ->∴2m <；（2）∵2m <且为正整数∴1m =∴22410x x ++=∴422x -=´∴112x =-+，212x =--．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及一元二次方程根的判别式．21. 如图，在四边形ABCD 中，90A BCD Ð=Ð=°，BC CD ==，CE AD ^于点E ．（1）求证：AE CE =；（2）若tan 3D =，求AB 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2AB =【解析】【分析】（1）过点C 作CF ⊥AB ，交AB 延长线于点F ，可证四边形AECF 是矩形，可得AE=FC ，∠FCE=90°，由“AAS ”可证CE=FC=AE ；（2）由锐角三角函数和勾股定理可求DE=1，CE=3，即可求AB 的长．【详解】（1）证明：过点C 作CFAB ^于F ∵CF AB ^，CE AD^∴90F CEA CED Ð=Ð=Ð=°又∵90A Ð=°∴四边形AECF 为矩形∴AE CF =，90FCE Ð=°∵90BCD Ð=°，∴19023Ð=°-Ð=Ð又∵BC CD=∴CED CFB≌△△∴CE CF =，∴AE CE =（2）在Rt CED V 中，10CD =，tan 3CE D DE==设DE x =，则3CE x =，CD ===∴1x =，即1DE =，3CE =∵CED CFB≌△△∴1BF DE ==在矩形AECF 中，3AF CE ==∴312AB AF BF =-=-=【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定，解直角三角形的应用，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线:3l y kx =+与反比例函数()40y x x=>的图象交于点(),4A m ．（1）求m 、k 的值；（2）点B 在反比例函数()40y x x=>的图象上，且点B 的纵坐标为1．①求点B 的坐标；②若在直线l 上存在一点P （点P 不与点A 重合），使得ABP V 的面积不大于ABO V 的面积，结合图象，直接写出点P 的横坐标t 的取值范围．【答案】（1）1k =；（2）①()4,1B；②3722t -££且1t ¹【解析】【分析】（1）根据反比例函数解析式确定点A 的坐标，再根据点A 的坐标确定一次函数解析式中k 的值；（2）①根据反比例函数解析式确定点B 的坐标；②画出函数图象，利用图象求解．【详解】解：（1）把4y =代入4y x=得1x =∴1m =，()1,4A ∵直线3y kx =+过点()1,4A ∴43k =+解得1k =；（2）①把1y =代入4y x=得4x =∴()4,1B ②如图：分点P 在AB 下方和上方，3722t -££且1t ¹【点睛】本题考查待定系数法求一次函数与反比例函数，三角形面积的计算，本题比较综合，要善于结合图象解答．23. 疫情期间某校学生积极观看网络直播课程，为了了解全校500名学生观看网络直播课程的情况，随机抽取50名学生，对他们观看网络直播课程的节数进行收集，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．观看直播课节数的频数分布表其中，节数在2030£<这一组的数据是：x20 20 21 22 23 23 23 23 25 26 26 26 27 28 28 29请根据所给信息，解答下列问题：（1）=a__________，b=__________；（2）请补全频数分布直方图；（3）随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是___________；（4）请估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有__________人．【答案】（1）12,0.32==；（2）详见解析；（3）23；（4）160a b【解析】【分析】（1）根据频率=频数÷总数求解可得；（2）根据以上所求结果即可补（3）根据中位数的概念找到第25、26个数据，再取其平均数即可得；（4）用总人数乘以样本中观看网络直播课节数不低于30次的人数所占比例即可得．【详解】(1)a=0.24×50=12，b=16÷50=0.32，故答案为：12、0.32；(2)补全直方图如下：(3)随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为23、23，所以随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是23232+=23(次)；故答案为：23次；(4)估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有12450050+´=160(人)，故答案为：160.【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，频数（率）分布表，频数（率）分布直方图，中位数.24. 如图，ABC V 是直角三角形，90ABC Ð=°，以AB 为直径的O e 与边AC 交于点D ，过D 作O e 的切线DE 交BC 于E ，连接OE ，交O e 于F ．（1）求证：//OE AC ；（2）若6AB =，185AD =，求线段EF 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2EF =．【解析】【分析】（1）方法一：连接BD 交EO 于G ，利用切线长定理可得BE DE =，DEO BEO Ð=Ð，可得EO BD ^，利用圆周角定理证明90ADB Ð=°，从而可得结论；方法二：证明,DE CE BE == 结合,OA OB =利用三角形的中位线的性质可得结论；（2）连接DO ，证明5BEO DEO Ð=Ð=Ð，由3sin 55Ð=，利用等角的三角函数值相等，求解,OE 从而可得答案．【详解】证明（1）方法一：连接BD 交EO 于G ，∵90ABC Ð=°且AB 为O e 直径∴BC 是O e 的切线又∵DE 是O e 的切线∴BE DE =，DEO BEO Ð=Ð，∴EO BD^∴90OGB Ð=°∵AB 为O e 直径∴90ADB Ð=°∴//OE AC方法二：连接BD，∵90Ð=°且AB为OABCe直径∴BC是Oe的切线又∵DE是Oe的切线∴BE DE=∴12Ð=Ð∵AB为Oe直径∴90Ð=°ADB∴1809090CDBÐ=°-°=°∴132490Ð+Ð=Ð+Ð=°∴3=4ÐÐ∴CE DE=∴BE CE=又∵AO BO=∴//OE AC（2）连接DO，∵90Ð=°OGB∴5690Ð+Ð=°∵90ABC Ð=°∴690BEO Ð+Ð=°∴5BEO DEOÐ=Ð=Ð∵90ADB Ð=°又∵6AB =，185AD =∴3sin 55AD AB Ð==∴3sin 5DEO DO EO ==Ð∵132DO AB ==∴5EO =∴532EF EO OF =-=-=∴2EF =．【点睛】本题考查的是圆周角定理，圆的切线的判定与性质，平行线的判定，直角三角形的两锐角互余，三角形的中位线的性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．25. 小超在观看足球比赛时，发现了这样一个问题：两名运动员从不同的位置出发，沿着不同的方向，以不同的速度，朝着同一个目标直线奔跑，什么时候他们离对方最近呢？小超通过一定的测量，并选择了合适的比例尺，把上述问题抽象成如下数学问题：如图，30B Ð=°，8cm AB =，9cm BC =，点D 以1cm/s 的速度从点A 向点B 运动，点E 以1.5cm/s 的速度从点C 向点B 运动．当其中一点先到达点B 时，两点同时停止运动．若点D ，E 同时出发，多长时间后DE 取得最小值？小超猜想当DE BC^时，DE最小．探究后发现用几何的知识解决这个问题有一定的困难，于是根据函数的学习经验，设A，D两点间的距离为cmx，D，E两点间的距离为y，对函数y随自变量x的变化规律进行了探究．cm下面是小超的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值；（说明：补全表格时相关数值保留两位小数）（2）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：①小超的猜想______（填“正确”或“不正确”），理由是______．②在运动过程中，当D、E两点距离最近时，距二者同时出发的时间约为______s．【答案】（1）2.51（2）见解析；（3）①不正确，理由见解析；②5.1．【解析】【分析】（1）根据图象结合测量可得结论；（2）描点后用光滑的曲线画图象即可；（3）①作出符合题意的图形，根据勾股定理计算DE的长，可得答案，②结合表格信息与观察图像，可得出结论．【详解】（1）根据图像结合测量可得：当3x cm =时， 2.51y cm =，故答案为：2.51．（2）画出函数图像如图：（3）①不正确；理由如下：如图，设运动x 秒时，,DE BC ^ 则3,,2AD x CE x ==38,9,2BD x BE x \=-=- 30,B Ð=°Q由392cos30,82x BE BD x -°===-183,x \-=(318x \-=-1835 3.268,x -+\===-» ()118 2.366 2.37,22y DE BD x \===-»» 显然，此时DE 的长不是最小值．故答案为：不正确， 2.37DE»不是最小值．②结合表格信息与观察所画图像可得当D、E两点距离最近时，距二者同时出发的时间约为5.1秒．故答案为：5.1．【点睛】本题属于三角形和函数的综合题，考查了画函数图象及总结函数性质，二次根式的运算，解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会利用锐角三角函数解决问题，学会利用图象法解决问题．26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线()20y ax bx c a=++¹与y轴交于点A，与x轴交于点B，C（点B在点C左侧），且4BC=．直线3=+与抛物线的对称轴交于点y x(),6D m．（1）求抛物线的对称轴；（2）求点A的坐标（用含有a的式子表示）；（3）点M 与点A 关于抛物线的对称轴对称，直线MB 与y 轴交于点N ，若3AN ³，结合函数图象，求a 的取值范围．【答案】（1）抛物线的对称轴为3x =；（2）()0,5A a ；（3）12a ³或12a £-【解析】【分析】（1）根据一次函数可求对称轴；（2）根据对称轴可求得B 、C 两点的坐标，代入解析式可求得a 、b 、c 之间的关系，即可解得；（3）先根据题意作图，再利用相似的判断和性质求解．【详解】解：（1）把6y =代入3y x =+得3x =∴3m =，()3,6D ∴抛物线的对称轴为3x = （2）∵对称轴为3x =，4BC =∴()10B ,，()5,0C ∴320ba abc ì-=ïíï++=î解得65b a c a=-ìí=î∴抛物线解析式为265y ax ax a=-+令0x =得5y a =即()0,5A a （3）()0,5A a 关于3x =的对称点为()6,5M a 过点M 作MH x ^轴于H ，则90MHB NOB Ð=Ð=°，OBN HBM Ð=Ð，∴MHB NOB △△∽，∴5MHBHON OB ==∴15ON MH =，∴()0,N a -∴63AN a =³∴12a ³或12a £-本题考查二次函数与三角形相似的结合，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键．【点睛】27. 在ABC V 中，90A Ð=°，AB AC =，点D 为线段AC 上的一个动点（不与点A ，C重合），连接BD ，将线段BD 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DE ．（1）如图1，当点D 为AC 中点时，连接CE①依题意补全图形；②判断CE 与BC 之间的数量关系，并证明．（2）如图2，点F 与点E 关于直线BD 对称，在点D 的运动过程中，请在直线AC 上找到一个与动点D 对应的动点H ，使得FH BC ^始终成立，说明动点H 的位置，并画图证明．【答案】（1）①依题意补全图形见解析；②2BC CE =，证明见解析；（2）点H 在点D 的下方，且CD DH =，证明见解析.【解析】【分析】（1）①按照题意将线段BD 旋转作图即可；②根据题意可知，△ABC 和△BDE 都是等腰直角三角形，因此直角边和斜边之比都相等，加上两边夹角相等可判断相似，进而可得到线段的数量关系；（2）构造全等三角形，利用全等的性质得到对应角相等，得到CE 与FH 是平行的，进而证得垂直．【详解】（1）①图形如下：②CE 与BC 之间的数量关系：2BC CE=证明：∵90A Ð=°，AB AC=∴1245ABC Ð=Ð+Ð=°，BC AB=∵线段BD 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DE ．∴90BDE Ð=°，DB DE =∴2345DBE =Ð+Ð=а，BE BD =∴13Ð=Ð，BC BE AB BD ==∴ABD BCE ∽△△∴490A Ð=Ð=°，CE ADCB AB=∵D 为AC 的中点，AB AC =∴2BC CE =；（2）位置为：点H 在点D 的下方，且CD DH =证明．∵点F 与点E 关于直线BD 对称∴DE DF=∵56Ð=Ð，CD DH =∴()CDE HDF SAS ≌△△∴7FÐ=Ð∴//CE FH由（1）得490A Ð=Ð=°∵CE BC^∴FH BC ^．【点睛】本题考查全等三角形的判断及性质定理、相似三角形的判断及性质定理、平行线的性质等知识，数形结合的思想是关键．28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于平面中的点P ，Q 和图形M ，若图形M 上存在一点C ，使90PQC Ð=°，则称点Q 为点P 关于图形M 的“折转点”，称PCQ △为点P 关于图形M 的“折转三角形”（1）已知点()4,0A ，()2,0B ①在点()12,2Q ，()21,3Q -，()34,1Q -中，点O 关于点A 的“折转点”是______；②点D 在直线y x =-上，若点D 是点O 关于线段AB 的“折转点”，求点D 的横坐标D x 的取值范围；（2）T e 的圆心为(),0t ，半径为3，直线2y x =+与x ，y 轴分别交于E ，F 两点，点P 为T e 上一点，若线段EF 上存在点P 关于T e 的“折转点”，且对应的“折转三角形”是底边长为2的等腰三角形，直接写出t 的取值范围．【答案】（1）①1Q ，2Q ；②点D 的横坐标取值范围是12Dx ££；（2）3222t ££---或1t ££-【解析】【分析】（1）①根据“折转点”的定义，判断给出的Q 点坐标中，哪个能够使90OQA Ð=°；②点D 为点O 关于线段AB 的折转点，则在线段AB 上存在点C ，使得90ODC Ð=°，根据直线解析式y x =-的性质知道构成的“折转三角形”一定是等腰直角三角形，画出图象，取临界状态，再由等腰直角三角形的性质求D 的横坐标范围；（2）根据题意分析出圆心T 到线段EF 上一点Q 的距离是个定值，然后画图进行分类讨论，分别求出几种临界状态下t 的值，最终得到t 的取值范围．【详解】（1）①根据“折转点”的定义，要使得90OQA Ð=°的Q 才是点O 关于点A 的“折转点”，如图，根据各个点的坐标，1OQ =，1AQ =4OA =，则22211OQ AQ OA +=，∴190OQ A Ð=°，1Q 是点O 关于点A 的“折转点”，22OQ =，2AQ =，4OA =，则22222OQ AQ OA +=，∴290OQ A Ð=°，2Q 点O 关于点A 的“折转点”，∵390OAQ Ð=°，∴3Q 不是，故答案是：1Q ，2Q ；②如图，点D为点O关于线段AB的折转点，则在线段AB上存在点C，使得Ð=°，即D在以OC为直径的圆上（不含O，C点），因此，当点C在AB上90ODC运动时，所有可能的D点组成的图形为：以()2,0为圆心，半径为2的圆及其之间的部分，（不1,0为圆心，半径为1的圆，和以()含x轴上的点）．直线y x=-与内圆交于E，与外圆交于F，线段EF即为直线上D点可能的位置，过点E作EH x=-，Ð=°，因为直线y xOEB^轴于H，连接BE，则90=，由三线合一，知OH HB=，V为等腰直角三角形，OE BE45AOEÐ=°，因此OEB。

练习25 圆（1）知识点一：圆的概念1． 在以下所给的命题中.①直径是弦； ②弦是直径； ③半圆是弧，但弧不一定是半圆； ④半径相等的两个半圆是等弧； ⑤长度相等的弧是等弧． 正确的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【详解】解：根据直径和弦的概念，知①正确，②错误；根据弧和半圆的概念，知③正确；根据等弧的概念，半径相等的两个半圆一定能够重合，是等弧，④正确； 长度相等的两条弧不一定能够重合，⑤错误． 故选：C ．知识点二：垂径定理2． 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不成立的是（ ）A ．CM ＝DMB ．CB⌒＝DB ⌒ C ．∠ACD ＝∠ADC D ．OM ＝MB【答案】D【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∴CM ＝DM ，CB ⌒＝DB ⌒，AC ⌒＝AD ⌒，∴∠ACD ＝∠ADC ． 故选：D ．3． 如图，⊙O 的直径为10，AB 为弦，OC ⊥AB ，垂足为C ，若OC ＝3，则弦AB 的长为 （ ）A ．8B ．6C ．4D ．10 【答案】A【详解】解：连接OA ，∵OA ∴AC ＝2222534OA OC -=-=， ∵OC ⊥AB ，∴AB ＝2AC ＝2×4＝8．故选：A ．4． 如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB 于点C ，交⊙O 于点D ，连接OA ．如果AB ＝8，CD ＝2，那么⊙O 的半径为 ． 【答案】5【详解】解：设⊙O 的半径为r ，则OC ＝r －2，∵OD ⊥AB ，DOAC B∴AC＝12AB＝4，在Rt△AOC中，OA2＝OC2+AC2，即r2＝(r－2)2+42，解得，R＝5，故答案为：5．5．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于．【答案】2【解答】解：如图，∵圆心角∠AOB＝120°，OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形，∵OC⊥AB，∴∠ACO＝90°，∠A＝30°，∴OC＝12OA＝2，故答案为：26．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，E是BC⌒的中点，OE交BC于点D．连接AC，若BC＝6，DE＝1，则AC的长为．【答案】8【解答】解：连接OC，如图所示．∵点E是BC⌒的中点，∴∠BOE＝∠COE．∵OB＝OC，∴OD⊥BC，BD＝DC．∵BC＝6，∴BD＝3．设⊙O的半径为r，则OB＝OE＝r．∵DE＝1，∴OD＝r－1．∵OD⊥BC即∠BDO＝90°，∴OB2＝BD2+OD2．∵OB＝r，OD＝r－1，BD＝3，∴r2＝32＋(r－1)2．解得：r＝5．∴OD＝4．∵AO＝BO，BD＝CD，∴OD＝12 AC．∴AC＝8．DCOB AOA7． 如图，将⊙O 沿着弦AB 翻折，劣弧恰好经过圆心O ．如果弦AB ＝43，那么⊙O 的半径长度为（ ）A ．2B ．4C ．23D ．43 【答案】B【解答】解：作OD ⊥AB 于D ，连接OA ．∵OD ⊥AB ，AB ＝43，∴AD ＝12AB ＝23， 由折叠得：OD ＝12AO ，设OD ＝x ，则AO ＝2x ，在Rt △OAD 中，AD 2＋OD 2＝OA 2， (23)2＋x 2＝(2x )2，x ＝2，∴OA ＝2x ＝4，即⊙O 的半径长度为4； 故选：B ．8． 为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm ），则该铁球的直径为 （ ） A ．12 cmB ．10 cmC ．8 cmD ．6 cm 【答案】B【详解】解：连接AB ，CD 交于点D ，由题意得，OC ⊥AB ，则AD ＝DB ＝12AB ＝4， 设圆的半径为R cm ，则OD ＝(r －2)cm ，在Rt △AOD 中，OA 2＝AD 2＋OD 2，即R 2＝42＋(r －2)2， 解得，R ＝5，则该铁球的直径为10cm ， 故选：B ．9． 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P 表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O 为圆心，5 m 为半径 的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB 长为8m ，求筒车工作时，盛水桶在水面以 下的最大深度．OABC82OBA（图1） （图2）【答案】解：作OD ⊥AB 于E ，交⊙O 于点D ，∴AE ＝21AB ． ∵AB ＝8， ∴AE ＝4．在Rt △AEO 中，AO ＝5， ∴OE 223OA AE =-=． ∴ED ＝2．∴筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m.。

人大附中初中数学练习题一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是正确的？A. 2x + 3 = 7B. 2x - 3 = 7C. 2x = 7 + 3D. 2x = 7 - 32. 计算下列表达式的值：A. 5x^2 - 3x + 2B. 5x^2 + 3x - 2C. 5x^2 - 3x - 2D. 5x^2 + 3x + 23. 以下哪个数是无理数？A. 22/7B. πC. 0.333...D. √44. 一个圆的半径是5，那么它的周长是多少？A. 10πB. 20πC. 25πD. 30π5. 以下哪个函数是一次函数？A. y = 2x^2 + 3B. y = 2x + 3C. y = 2/xD. y = x^3 - 26. 计算下列概率：A. P(A) = 1/2B. P(A) = 1/3C. P(A) = 1/4D. P(A) = 1/57. 以下哪个图形是轴对称图形？A. 等边三角形B. 矩形C. 平行四边形D. 不规则多边形8. 计算下列多项式的乘积：A. (x + 2)(x - 2) = x^2 - 4B. (x + 2)(x - 2) = x^2 + 4C. (x + 2)(x - 2) = 2x - 4D. (x + 2)(x - 2) = 4x - 49. 以下哪个选项是正确的不等式？A. 3x > 2x + 1B. 3x < 2x + 1C. 3x = 2x + 1D. 3x ≤ 2x + 110. 计算下列几何体的体积：A. 长方体体积 V = lwhB. 圆柱体积V = πr^2hC. 圆锥体积V = 1/3πr^2hD. 球体积V = 4/3πr^3二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知等差数列的首项为3，公差为2，那么第5项的值为______。

2. 一个二次函数的顶点坐标为(1, -4)，且经过点(3, 0)，该二次函数的解析式为 y = ______。

一、选择题1．如图，在平面直角坐标系中，P 是直线y ＝2上的一个动点，⊙P 的半径为1，直线OQ 切⊙P 于点Q ，则线段OQ 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5 2．如图，AB 是О的直径，,CB CD 是О的弦，且,CB CD CD =与AB 交于点E ，连接OD ．若40,AOD ∠=︒则D ∠的度数是（ ）A ．20B ．35C ．40D ．55 3．如图，四个水平放置正方形的边长都为4，顶点A 、B 、C 是圆上的点，则此圆的面积为（ ）A ．72πB ．85πC ．100πD ．104π 4．如图，在⊙O 中，直径AB ＝10，弦DE ⊥AB 于点C ，若OC ：OB ＝3：5，连接DO ，则DE 的长为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．85．点P 到圆上各点的最大距离为10cm ，最小距离为6cm ，则此圆的半径为（ ）A ．8cmB ．5cm 或3cmC ．8cm 或2cmD ．3cm6．如图，AB 圆O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为M ，下列结论不成立的是（ ）A ．CM DM =B ．CB BD =C ．ACD ADC ∠=∠ D ．OM MB = 7．如图，在O 中，AB ，AC 为互相垂直且相等的两条弦，⊥OD AB ，OE AC ⊥，垂足分别为D ，E ，若4AB =，则O 的半径是（ ）A ．22B ．2C ．3D ．428．如图，ABC 的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将ABC 绕点B 顺时针旋转到A B C '''的位置，且点A '、C '仍落在格点上，则线段AB 扫过的图形的面积是（ ）平方单位（结果保留）A ．254πB ．134πC ．132πD ．136π 9．已知O 的半径为4，点P 在O 外，OP 的长可能是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．510．如图，AB 为⊙O 的直径，,C D 为⊙O 上的两点，若7OB BC ==．则BDC ∠的度数是（ ）A ．15︒B ．30C ．45︒D ．60︒11．如图，⊙O 是四边形 ABCD 的内切圆，连接 OA 、OB 、OC 、OD ．若∠AOB ＝110°，则∠COD 的度数是（ ）A ．60°B ．70°C ．80°D ．45°12．在△ABC 中，∠ACB 为锐角，分别以AB ，AC 为直径作半圆，过点B ，A ，C 作弧BAC ，如图所示．若AB=4，AC=2，图中两个新月形面积分别为S 1，S 2，两个弓形面积分别为S 3，S 4，S 1-S 2=14π，则S 3-S 4的值是( )A ．294πB ．234πC ．114πD ．54π 二、填空题13．已知扇形的圆心角为120︒，面积为π，则扇形的半径是___________．14．如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，分别以点A ，D 为圆心，以AB ，DC 为半径作扇形ABF ，扇形DCE ．则图中阴影部分的面积是______．15．如图所示，已知矩形ABCD 的边3AB cm =，4AD cm =．以点A 为圆心作圆，使B ，C ，D 三点中至少有一点在圆外，且至少有一点在圆内，此圆半径R 的取值范围是______．16．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点M 和N 分别从B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CD 方向向终点C 和D 运动．连接AM ，BN 交于点P ，则PC 长的最小值为____________．17．在△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，以点C 为圆心，2.5为半径作圆，那么直线AB 与这个圆的位置关系分别是_________．18．如图，AB 是O 的直径，CD AB ⊥于E ，24CD =，8BE =，则AB =__________．19．如图，△ABC 内接于O ，∠BAC=45°，AD ⊥BC 于D ， BD=6，DC=4，则AD 的长是_____．20．在半径为4cm 的圆中，长为4cm 的弦所对的圆周角的度数为________三、解答题21．如图，AB 是⊙O 的弦，点C 在AB 上，点D 是AB 的中点．将AC 沿AC 折叠后恰好经过点D ，若⊙O 的半径为25，AB ＝8．则AC 的长是_______．22．如图，以Rt ABC 的AC 边为直径作O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点P 为BC 的中点，连接EP ，AD ．（1）求证：PE 是O 的切线； （2）若O 的半径为3，30B ∠=︒，求P 点到直线AD 的距离．23．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于点H ，30A ∠=︒，43CD =，求⊙O 的半径的长．24．如图，已知AB 是O 的直径，四边形AODE 是平行四边形，请用无刻度直尺按下列要求作图． （1）如图1，当点D 在圆上时，作BAC ∠的平分线；（2）如图2，当点D 不在圆上时，作BAC ∠的平分线．25．已知：如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，G 是AC 上一点，AG 与DC 的延长线交于点F ．（1）求证：12∠=∠．（2）当6DC =，1BE =时，求O 的半径． 26．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB =10，BC +AC =14，且BC >AC ．（1）求BC 的长；（2）在线段BC 上求作一点Q ，使得以点Q 为圆心，QC 为半径的⊙Q 刚好与AB 相切，请运用尺规作图找出符合条件的点Q ，并求出⊙Q 的半径．（不写作法，保留作图痕迹）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】连接PQ 、OP ，如图，根据切线的性质得：PQ ⊥OQ ，再利用勾股定理得出OQ ，利用垂线段最短，当OP 最小时，OQ 最小，即可求解．【详解】连接PQ 、OP ，如图，∵直线OQ 切⊙P 于点Q ，∴PQ ⊥OQ ，在直角OPQ △中，2221OQ OP PQ OP --，当OP 最小时，OQ 最小，当OP ⊥直线y ＝2时，OP 有最小值2，∴OQ 2213-=故选：C ．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了勾股定理，熟练掌握切线的性质以及勾股定理是解答本题的关键．2．B解析：B【分析】连接BD，得到∠DOB=140°，求出∠CDB，∠ODB即可；【详解】如图：连接BD，∵∠AOD=40°，∴∠DOB=180°-40°=140°，∴∠DCB=1∠DOB=70°，2∵ CB=CD，∴∠CBD=∠CDB=55°，∵DO=BO，∴∠ODB=∠OBD=20°，∴∠CDO=∠CBO，∴∠CDO=∠CDB-∠ODB=35°，故选：B．【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识；3．B解析：B【分析】连接BC，作AB，BC的垂直平分线，交点为点O，连接OB，OC，根据垂直平分线可得AE=BE=2，DE=4×4=16，DC=4+2=6，设OD=x，则OE=16-x，再根据OB=OC即可列出方程求得x=7，最后再根据圆的面积公式计算即可．【详解】解：如图，连接BC ，作AB ，BC 的垂直平分线，交点为点O ，连接OB ，OC ，则OB=OC ，AE=BE=2，DE=4×4=16，DC=4+2=6，设OD=x ，则OE=16-x ，∵OB=OC ，∴OB 2=OC 2，∴22+(16-x) 2=62+x 2，解得x=7，∴r 2=OB 2=22+92=85，∴圆的面积S=πr 2=85π，故选：B ．【点睛】本题考查了作三角形的外心，垂径定理的应用，圆的面积公式，熟练掌握垂径定理是解决本题的关键．4．D解析：D【分析】根据题意可求出OC 长度，再根据勾股定理求出CD 长度，最后根据垂径定理即可得到DE 长度．【详解】∵AB ＝10，∴OB =5OC ：OB ＝3：5，∴OC ＝3，在Rt OCD △ 中，2222534CD OD OC =-=-=∵DE ⊥AB ，∴DE ＝2CD ＝8，故选：D ．【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理．掌握垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦”是解题的关键．5．C解析：C【分析】分析题意，本题应分两种情况讨论：（1）点P 在圆内；（2）点P 在圆外；根据“一个点到圆的最大距离和最短距离都在过圆心的直线上”可知，点P 到圆的最大距离与最小距离的和或差即是圆的直径，进而即可得出半径的长．【详解】当点P 在圆内时，圆的直径是10+6=16cm ，所以半径是8cm ．当点P 在圆外时，圆的直径是10-6=4cm ，所以半径是2cm ．故选C ．【点睛】本题考查了圆的有关性质，熟知一个点到圆的最大距离和最短距离都在过圆心的直线上是解题的关键．6．D解析：D【分析】根据垂径定理得到CM=DM ，BC BD =，AC AD =，然后根据圆周角定理得∠ACD=∠ADC ，而对于OM 与MB 的大小关系不能判断．【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∴CM=DM ，BC BD =，AC AD =，∴∠ACD=∠ADC ．而无法比较OM ，MB 的大小，故选：D ．【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．7．A解析：A【分析】根据垂径定理可知，AE=CE ，AD=BD ，易证四边形ODAE 是正方形，即可求得．【详解】如图，连接OA∵⊥OD AB ，OE AC ⊥，AB ⊥AC∴四边形ODAE 是矩形，AE=CE ，AD=BD又∵4AB AC ==，∴AE=AD=2∴四边形ODAE 是正方形，且边长为2∴O 的半径OA=故选A【点睛】本题考查垂径定理，掌握垂径定理的条件和结论是解题的关键．8．B解析：B【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理求AB，观察图形可知，线段AB扫过的图形为扇形，旋转角为90°，根据扇形面积公式求解．【详解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得22223213AC BC+=+=由图形可知，线段AB扫过的图形为扇形ABA′，旋转角为90°，∴线段AB扫过的图形面积=229013n13= 3603604AB⨯=πππ．故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，扇形面积公式的运用，关键是理解题意，明确线段AB扫过的图形是90°的扇形，难度一般．9．D解析：D【分析】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题．【详解】解：∵O的半径为4，点P在⊙O外，∴OP＞4，故选：D．【点睛】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围．10．B解析：B【分析】如图（见解析），先根据圆的性质可得OC OB=，再根据等边三角形的判定与性质可得60BOC ∠=︒，然后根据圆周角定理即可得．【详解】如图，连接OC ，由同圆半径相等得：OC OB =，7OB BC ==，OC OB BC ∴==， BOC ∴是等边三角形，60BOC ∴∠=︒， 由圆周角定理得：1230BOC BDC ∠=︒=∠， 故选：B ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、同圆半径相等、圆周角定理，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键．11．B解析：B【分析】设四个切点分别为E 、F 、G 、H ，分别连接切点和圆心，利用切线性质和HL 定理可以得到4对全等三角形，进而可得∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，根据8个角之和为360°即可求解．【详解】解：设四个切点分别为E 、F 、G 、H ，分别连接切点和圆心，则OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，OG ⊥CD ，OH ⊥AD ，OE=OF=OG=OH ，在Rt △BEO 和△BFO 中，OE OF OB OB =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BEO ≌△BFO （HL ）∴∠1=∠2，同理可得：∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，∴∠1+∠8=∠2+∠7，∠4+∠5=∠3+∠6，∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360°，∴∠1+∠8+∠4+∠5=180°，即∠AOB+∠COD=180°，∵∠AOB=110°，∴∠COD=180°﹣∠AOB=180°﹣110°=70°，故选：B ．【点睛】本题考查了圆的切线性质、全等三角形的判定与性质，利用圆的的切线性质，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．12．D解析：D【分析】根据AB 和AC 的长和圆的面积公式可求得S 1+S 3，S 2+S 4的值，然后再两值相减即可得出结论．【详解】解：∵AB=4，AC=2，∴S 1+S 3=2π，S 2+S 4=2π， ∴（S 1+S 3）﹣（S 2+S 4）=（S 1﹣S 2）+（S 3﹣S 4）=32π ∵S 1-S 2=14π， ∴S 3-S 4= 32π﹣14π= 54π， 故选：D ．【点睛】本题考查了圆的面积，正确表示出S 1+S 3，S 2+S 4的值是解答的关键．二、填空题13．【分析】根据扇形的面积公式S 扇形=即可求得【详解】解：∵S 扇形=∴r2==3∴r=（负值舍去）故答案为：【点睛】本题主要考查扇形面积的计算解题的关键是掌握扇形面积的计算公式：S 扇形= 3【分析】根据扇形的面积公式S 扇形=2360n r π 即可求得． 【详解】解：∵S 扇形=2360n r π， ∴r 2=360360 120S n πππ==3， ∴（负值舍去），【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，解题的关键是掌握扇形面积的计算公式：S 扇形=2360n r π． 14．﹣【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积是正六边形的面积减去两个扇形的面积从而可以解答本题【详解】解：∵正六边形ABCDEF 的边长为2∴正六边形ABCDEF 的面积是：6××22＝∠FAB ＝∠EDC解析：83π 【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积是正六边形的面积减去两个扇形的面积，从而可以解答本题．【详解】解：∵正六边形ABCDEF 的边长为2，∴正六边形ABCDEF 的面积是：2＝，∠FAB ＝∠EDC ＝120°， ∴图中阴影部分的面积是：2×21202360π⋅⋅＝83π，故答案为：83π． 【点睛】本题考查正多边形和圆、扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 15．【分析】使BCD 三点至少有一个在圆内且至少有一个在圆外也就是说圆的半径不能小于AB 不能大于AC 可求得AC=5所以3<r<5【详解】如图连接AC ∵ 在矩形ABCD 中AB=3cmAD=4cm ∠ABC=9解析：35R <<【分析】使B 、C 、D 三点至少有一个在圆内，且至少有一个在圆外，也就是说圆的半径不能小于AB,不能大于AC，可求得AC=5，所以3<r<5.【详解】如图，连接AC，∵在矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，∠ABC=90°，BD=AC，∴AC=BD=2222AB AD cm+=+=，345∴AB<AD<AC，∵B，C，D三点中至少有一点在⊙A内，且至少有一点⊙A在外，∴点B一定在⊙A内，点C一定在⊙A外，∴⊙A半径R的取值范围应大于AB的长，小于对角线AC的长，即3<R<5．故答案为：3<R<5．【点睛】本题考查确定点与圆的位置关系，解题的关键是掌握确定点到圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d，圆的半径为r，则d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内．16．【分析】根据题意和正方形的性质可利用SAS证明△ABM≌△BCN得出∠BAM＝∠CBN进而可证出∠APB＝90°于是可得点P在以AB为直径的圆上运动运动路径是弧BG连接OC交圆O于P如图则此时PC最5-1【分析】根据题意和正方形的性质可利用SAS证明△ABM≌△BCN，得出∠BAM＝∠CBN，进而可证出∠APB＝90°，于是可得点P在以AB为直径的圆上运动，运动路径是弧BG，连接OC交圆O于P，如图，则此时PC最小，进一步即可求解．【详解】解：由题意得：BM＝CN，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝2，在△ABM和△BCN中，∵AB ＝BC ，∠ABM ＝∠BCN ，MB ＝CN ，∴△ABM ≌△BCN （SAS ），∴∠BAM ＝∠CBN ，∵∠ABP +∠CBN ＝90°，∴∠ABP +∠BAM ＝90°，∴∠APB ＝90°，∴点P 在以AB 为直径的圆上运动，设圆心为O ，运动路径是弧BG ，是这个圆的14，如图所示：连接OC 交圆O 于P ，此时PC 最小，∵AB ＝2，∴OP ＝OB ＝1， 由勾股定理得：OC 22215+=，∴PC ＝OC ﹣OP 51；51．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理和圆的有关性质等知识；熟练掌握上述知识，证出点P 在以AB 为直径的圆上运动是解题关键．17．相交【分析】根据勾股定理作于点则的长即为圆心到的距离利用等积法求出的长与半径比较大小再作判断【详解】解：如图作于点∵的两条直角边斜边即半径是直线与圆相交【点睛】此题考查的是勾股定理直线与圆的位置关系 解析：相交【分析】根据勾股定理，5AB =．作CD AB ⊥于点D ，则CD 的长即为圆心C 到AB 的距离．利用等积法求出CD 的长，与半径比较大小，再作判断．【详解】解： 如图， 作CD AB ⊥于点D ．∵Rt ABC 的两条直角边3BC =，4AC =， ∴斜边5AB =．1122ABC S AC BC AB CD ∆==，即 512CD ，CD．2.4>，半径是2.5 2.4∴直线与圆C相交．【点睛】此题考查的是勾股定理，直线与圆的位置关系，熟悉相关性质是解题的关键．18．【分析】连接OD设的半径为r则OE=r-8再根据勾股定理求出r最后根据直径和半径的关系即可解答【详解】解：如图：设的半径为r则OE=r-8∵AB⊥CD于E且CD=24∴DE=CD=12在Rt△ODE解析：26【分析】连接OD，设O的半径为r，则OE=r-8，再根据勾股定理求出r，最后根据直径和半径的关系即可解答．【详解】解：如图：设O的半径为r，则OE=r-8，∵AB⊥CD于E，且CD=24，∴DE=1CD=12，2在Rt△ODE中，OD=r，OE=r-8，DE=12，∴OE2+DE2=OD2，∴（r-8）2+122=r2，解得r=13∴AB=2r=26．故答案为26．【点睛】本题主要考查了垂径定理，正确作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键．19．12【分析】连接OAOBOC过点O作OE⊥AD于EOF⊥BC于F根据圆周角定理得到∠BOC=90°再根据等腰直角三角形的性质计算求出OB再由DF=BD-BF得出DF 然后等腰直角三角形的性质求出OF 根解析：12【分析】连接OA 、OB 、OC 过点O 作OE ⊥AD 于E ，OF ⊥BC 于F ，根据圆周角定理得到∠BOC=90°，再根据等腰直角三角形的性质计算，求出OB ，再由DF=BD-BF 得出DF ，然后等腰直角三角形的性质求出OF ，根据勾股定理求出AE ，再根据AD=AE+OF 得到答案．【详解】解：∵BD=6，DC=4，∴BC=BD+DC=10∵∠BAC=45°，∴∠BOC=90°， ∴2522==OB BC 连接OA 、OB 、OC 过点O 作OE ⊥AD 于E ，OF ⊥BC 于F ，∴BF=FC=5，∴DF=BD-BF=1，∵∠BOC=90°，BF=FC∴OF=12BC=5， ∵AD ⊥BC ，OE ⊥AD ，OF ⊥BC ，∴四边形OFDE 为矩形，∴OE=DF=1，DE=OF=5，在Rt △AOE 中，227,=-=AE OA OE∴AD=AE+DE=12．【点睛】本题考查的是三角形的外接圆，掌握圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键．20．或【分析】首先根据题意画出图形然后在优弧上取点C 连接ACBC 在劣弧上取点D 连接ADBD 易得是等边三角形再利用圆周角定理即可得出答案【详解】解：如图在优弧上取点C 连接ACBC 在劣弧上取点D 连接ADBD 解析：30或150︒【分析】首先根据题意画出图形，然后在优弧上取点C ，连接AC 、BC ，在劣弧上取点D ，连接AD 、BD ，易得OAB 是等边三角形，再利用圆周角定理，即可得出答案．【详解】解：如图，在优弧上取点C ，连接AC 、BC ，在劣弧上取点D ，连接AD 、BD ，4,4OA OB cm AB cm OA OB AB===∴== OAB ∴是等边三角形，601302180150AOB C AOB D C ∴∠=︒∴∠=∠=︒∴∠=︒-∠=︒∴所对的圆周角度数为：30或150︒故答案为：30或150︒．【点睛】本题考查圆周角定理及等边三角形的判定与性质，注意两种情况．三、解答题21．2【分析】延长BO 交⊙O 于E ，连接AE ，OA ，OD ，OC ，BC ，作CH ⊥AB 于H ．首先证明∠CAE=∠CAH=45°，推出∠BOC=90°，推出10，设AH=CH=x ，则BH=8-x ，在Rt △BCH 中，根据222CH BH BC +=，构建方程求出x 即可解决问题【详解】解：如图，延长BO 交⊙O 于E ，连接AE ，OA ，OD ，OC ，BC ，作CH ⊥AB 于H ． ∵AD ＝DB ，∴OD ⊥AB ，∴∠ADO ＝90°，∵OA ＝25，AD ＝DB ＝4，∴OD ＝22OA AD -＝2， ∵BE 是直径，∴∠BAE ＝90°，∵AD ＝DB ，EO ＝OB ，∴OD//AE ，AE ＝2OD ＝4，∴AE ＝AD ，∴AD AE =，∴EC CD =，∴∠CAE ＝∠CAH ＝45°，∴∠BOC ＝2∠CAB ＝90°，∴BC ＝2OC ＝210，∵CH ⊥AB ，∴∠CAH ＝∠ACH ＝45°，∴AH ＝CH ，设AH ＝CH ＝x ，则BH ＝8﹣x ，在Rt △BCH 中，∵222CH BH BC +=，∴()()2228210x x +-=， ∴x ＝6或2（舍弃），在Rt △ACH 中，∵AC ＝22AH CH +，∴AC ＝62．故答案为：62．【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、解直角三角形等知识，综合性比较强，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．22．（1）证明见解析；（2）12217【分析】（1）连接CE ，由AC 是⊙O 的直径，得出CE ⊥AE ，由P 为BC 的中点，可得EP=BP=CP ，可得∠PEC=∠PCE ， 再由∠ACB=90°，即可得到结论．（2）设P 点到直线AD 的距离为d ，根据三角形的面积得到PD AC d AD = ①由勾股定理得63BC =，根据平行线的性质得到∠OPC=∠B=30°，推出OEA △为等边三角形，得到∠EOA=60°，在Rt ACD △中，由勾股定理得：2237AD AC CD =+=，将以上数据代入①得即可得到结论．【详解】证明：（1）连接CE ，如图所示：∵AC 为⊙O 的直径，∴∠AEC=90°．∴∠BEC=90°．∵点P 为BC 的中点，∴EP=BP=CP ．∴∠PEC=∠PCE ．∵OE=OC ，∴∠OEC=∠OCE ．∵∠PCE+∠OCE=∠ACB=90°，∴∠PEC+∠OEC=∠OEP=90°．E 在O 上，∴EP 是⊙O 的切线；（2）解：设P 点到直线AD 的距离为d ，连接,AP OP ， 则有：1122PAD S AD d PD AC ==，∴PD ACd AD = ①∵⊙O 的半径为3，∠B=30°，∴∠BAC=60°，AC=6，AB=12，由勾股定理得：3BC =∴33PC =∵O ，P 分别是AC ，BC 的中点，∴//OP AB ，∴∠OPC=∠B=30°，∵OE=OA ，∠OAE=60°，∴OEA △为等边三角形，∴∠EOA=60°，∴∠ODC=90°-∠COD=90°-∠EOA=30°，∴∠ODC=∠OPC=30°，∴OP=OD ，∵OC ⊥PD ， ∴33CD PC ==，在Rt ACD △中，由勾股定理得：2237AD AC CD =+=，将以上数据代入①得： 636122137PD AC d AD ⨯===． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，勾股定理，等腰三角形，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含30的直角三角形的性质，等面积法，掌握以上知识是解题的关键．23．4【分析】连接OC, 根据垂径定理可得∠CHO=90°，CD=2CH ，求出CH 的长，根据30°的直角三角形的特征以及勾股定理求出OC=2OH 即可.【详解】连接OC ，则OA =OC .∴∠A =∠ACO =30°.∴∠COH =60°.∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，∴∠CHO=90°，CD=2CH∴∠OCH=30°，∴2OC OH =,∵CD =43，∴CH =23.∴在Rt OCH 中，222OH HC OC +=∴OH =2.∴OC =4.【点睛】本题考查了垂径定理及30度的直角三角形的性质以及勾股定理得应用，解题的关键是掌握垂径定理及30度的直角三角形的性质.24．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）由四边形AODE 是平行四边形，结合圆的 半径相等，可知四边形AODE 是菱形，利用菱形的性质即可做出BAC ∠的平分线；（2）延长OD 交于圆一点，连接该点与点A ，由此即可作出C BA ∠的平分线．【详解】解：（1）如图①：AD 即为所求．∵四边形AODE 是平行四边形点D 在圆上∴四边形AODE 是菱形∴AD 平分BAC ∠；（2）如图②：延长OD 交于圆一点P ，连接AP ，同理可证AP 即为所求．【点睛】此题考查尺规作图，关键是掌握圆的相关知识及角平分线的判定方法．25．（1）见解析；（2）O 的半径为5【分析】（1）连接AD，根据垂径定理得到AD AC=，根据圆周角定理得到∠ADC=∠AGD，根据圆内接四边形的性质证明即可；（2）连接OC．设⊙O的半径为R．在Rt△OEC中，根据OC2=OE2+EC2，构建方程即可解决问题．【详解】（1）连接AD，∵弦CD⊥AB，∴AD AC=，∴∠ADC=∠2，∵四边形ADCG是圆内接四边形，∴∠ADC=∠1，∴∠1=∠2；（2）连接OC．设⊙O的半径为R．∵CD⊥AB，∴DE=EC=3，在Rt△OEC中，∵OC2=OE2+EC2，∴R2=(R-1)2+32，解得R=5．∴O的半径为5．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理的应用，掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键，学会添加常用辅助线．26．（1）BC=8；（2）图见解析，⊙Q的半径为3【分析】（1）由勾股定理列出方程求解即可；（2）作∠BAC的平分线交BC于点Q，则点Q即为所求作的点；再运用面积法即可求出⊙Q的半径．【详解】解：（1）∵∠C=90°，AB=10，BC+AC=14，∴222=+,AB AC BC设AC=x，BC=14-x，则有222+-=x x(14)10解得，16x =，28x =∵BC >AC∴BC=8；（2）作∠BAC 的平分线交BC 于点Q ，则点Q 即为所求作的点，如图，∵∠ACB=90°∴QC ⊥AC过Q 作QE ⊥AB ，垂足为点E ，∴QC=QE又ABC ACQ ABQ S S S ∆∆∆=+ ∴222AC BC AC QC AB QE =+ ∴68106QE QC ⨯=+ ∵QE=QC∴QE=QC=3，即圆的半径为3【点睛】考查了圆的综合题．涉及了勾股定理，一元二次方程的解法，切线的性质，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．。

2019-2020学年度第二学期初三年级数学热身练习一、选择题1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C 、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D 、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C ．【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2. 港珠澳大桥是世界上总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米．其中海底隧道部分全长6700米，是世界最长的公路沉管隧道和唯一的深埋沉管隧道，也是我国第一条外海沉管隧道．将数字55000用科学记数法表示为（ ）A. 45.510⨯B. 35510⨯C. 35.510⨯D. 50.5510⨯【答案】A【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解：数字55000用科学记数法表示为5.5×104．故选：A ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3. 实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A. 0a >B. 2b >C. a b <D. a b =【答案】C【解析】【分析】由题意根据数轴可以发现-1＜a ＜0＜b ＜2，由此即可判断各个选项．【详解】解：∵-1＜a ＜0＜b ＜2，∴答案A 错误；答案B 错误；故选项C 正确，选项D 错误．故选：C ．【点睛】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，熟练掌握并利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．4. 如图，//AB CD ，DA CE ⊥于点A ．若36D ∠=︒，则EAB ∠的度数为（ ）A. 36︒B. 60︒C. 64︒D. 54︒【答案】D【解析】【分析】 由题意先根据平行线的性质，即可得出∠BAD 的度数，再根据垂直的定义，得出∠EAB 的度数．【详解】解：∵AB//CD ，∴∠BAD=∠D=36°，∵DA ⊥CE ，∴∠DAE=90°，∴∠EAB=90°-36°=54°．故选：D ．【点睛】本题主要考查平行线的性质以及垂线的定义，注意掌握两直线平行，内错角相等．5. 如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m ，旗杆底部与平面镜的水平距离为16m ．若小明的眼睛与地面的距离为1.6m ，则旗杆的高度为（单位：m ）（ ）A. 12.4B. 12.5C. 12.8D. 16【答案】C【解析】【分析】 如图，BC ＝2m ，CE ＝16m ，AB ＝1.6m ，利用题意得∠ACB ＝∠DCE ，则可判断△ACB ∽△DCE ，然后利用相似比计算出DE 的长．【详解】解：如图，BC ＝2m ，CE ＝16m ，AB ＝1.6m ，由题意得∠ACB ＝∠DCE ，∵∠ABC ＝∠DEC ，∴△ACB ∽△DCE ， ∴AB BC DE CE =，即1.6216DE =，即旗杆的高度为12.8m ．故答案为：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．6. 如果2340x x --=，那么代数式293x x x x +⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭的值为（ ） A. 4B. 2C. 1D. 1-【答案】A【解析】【分析】 先对方程变形可得234x x -=，再对分式进行化简，整体代入求解即可．【详解】解：由2340x x --=可得234x x -=，222293393x x x x x x x x x x +⎛⎫-÷=⨯= +⎝--⎪⎭ 即293x x x x +⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭=4， 故答案为：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的求解和分式的化简求值，整体代入思想的应用是解题的关键． 7. 某校初中篮球队共有25名球员，为了球队的健康发展和培养球员，要求从13岁到16岁每个年龄段都必须有球员，下表是该球队的年龄分布统计表：对于不同的x ，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）A. 平均数、中位数B. 平均数、方差C. 众数、方差D. 众数、中位数 【答案】D【解析】根据题意由频数分布表可知后两组的频数和为11，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数即可得出答案．【详解】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+11-x=11，总人数为25，且每个年龄段都必须有球员可知14岁年龄段的频数最多，故该组数据的众数为14岁，由题意可知15岁和16岁年龄段的人数有：25-3-11=11（名），所以中位数第13位在14岁年龄段，故中位数为：14岁，即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数．故选：D．【点睛】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．8. 某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米／时，两车之间的距离y(千米)与货车行驶时间x(小时)之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：①快递车从甲地到乙地的速度为100千米／时；②甲、乙两地之间的距离为120千米；③图中点B的坐标为(334，75)；④快递车从乙地返回时的速度为90千米／时．以上4个结论中正确的是( )A. ①③④B. ①②④C. ②③④D. ①②③④【答案】A【解析】【分析】要解答本题需要熟悉一次函数的图象特征，再根据一次函数的性质和图象结合实际问题对每一项进行分析即可得出答案．【详解】①设快递车从甲地到乙地的速度为x千米/时，由图像可得3(x −60)=120，x =100.故①正确；②因为120千米是快递车到达乙地后两车之间的距离，不是甲、乙两地之间的距离，故②错误；③因为快递车到达乙地后缷完物品再另装货物共用45分钟，所以图中点B 的横坐标为3+34=334， 纵坐标为120−60×34=75， 故③正确；④设快递车从乙地返回时的速度为y 千米/时,则返回时与货车共同行驶的时间为(414−334)小时此时两车还相距75千米，由题意，得(y +60)( 414−334)=75， y =90，故④正确．其中正确的是：①③④．故选A.【点睛】本题考查一次函数的应用，熟练掌握性质是解题的关键. 二、填空题9. 分解因式：228x y y -=________.【答案】2(2)(2)y x x +-．【解析】【详解】解：原式=22(4)y x -=2(2)(2)y x x +-． 故答案为2(2)(2)y x x +-．【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用．10. 下列几何体中，主视图是三角形的是_____．【答案】②③【解析】【分析】找到从正面看所得到的图形，得出主视图是三角形的即可．【详解】由主视图的定义得：①的主视图的一行两个矩形，②的主视图是三角形，③的主视图是等腰三角形则主视图是三角形的是②③故答案：②③．【点睛】本题考查了主视图的定义，掌握三视图的相关知识点是解题关键．另两个概念是：俯视图和左视图，这是常考知识点，需掌握．11. 函数2y x =-x 的取值范围是_____．【答案】2x ≥【解析】【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可.【详解】依题意，得20x -≥，解得：2x ≥，故答案为2x ≥．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．12. 如图，正方形网格中，点A ，B ，C ，D 均在格点上，则AOB COD ∠+∠=______︒．【答案】45；【解析】【分析】如图，连接BE ，证出△OBE 为等腰直角三角形，得出∠EOB=45°，即可求得AOB COD ∠+∠的度数．【详解】解：如图，连接BE ，设每个小方格的边长为1，则OE=BE= 5OB= 10可得222OE BE OB +=，即△OBE 为等腰直角三角形，∴∠EOB=45°，∴904545AOB COD DOA EOB ∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：45．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在方格纸上求出三角形各边的长度是解题的关键．13. 新冠疫情发生以来，为保证防控期间的口罩供应，某公司加紧转产，开设多条生产线争分夺秒赶制口罩，从最初转产时的陌生，到正式投产后达成日均生产100万个口罩的产能．不仅效率高，而且口罩送检合格率也不断提升，真正体现了“大国速度”．以下是质监局对一批口罩进行质量抽检的相关数据，统计如下： 抽检数量/n 个20 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000合格数量/m 个 19 46 93 185 459 922 1840 4595 9213口罩合格率mn 0.950 0.920 0.930 0.925 0.918 0.922 0.920 0.9190.921估计这一批口罩的合格率为______（精确到0.01）．【答案】0.92；【解析】【分析】由题意观察表格，利用大量重复试验中频率的稳定值估计概率即可．【详解】解：观察表格发现：随着试验的次数的增多，口罩合格率的频率逐渐稳定在0.920附近，所以可以估计这批口罩中合格的概率约是0.92（精确到0.01）．故答案为：0.92．【点睛】本题主要考查利用频率估计概率及概率的意义等知识，解题的关键是了解大量重复试验中频率的稳定值估计概率．14. 如图，线段AB是O的直径，C，D为O上两点，如果30D∠=︒，3AC=，则O的半径长为______．【答案】3【解析】【分析】根据题意连接BC，利用圆周角定理得出∠ACB=90°，进而利用含30°的直角三角形的性质进行分析求解．【详解】解：如图，连接BC，∵线段AB是O的直径，∴∠ACB=90°，∵30D ∠=︒，∴30B D ︒∠=∠=，∵3AC =，∴2236AB AC ==⨯=，∴O 的半径长为3．故答案为：3．【点睛】本题考查圆相关，熟练掌握圆周角定理以及在含30°的直角三角形中其斜边的短直角边的2倍是解题的关键．15. 一所中学组织学生去某市进行研学活动，原计划乘坐特快列车前往，为了节省时间，现改为乘坐高铁列车前往．已知北京与该市的距离约为1200千米，高铁列车的平均速度是特快列车的平均速度的2.4倍，且乘坐高铁列车所用时间比乘坐特快列车所用时间少用7小时，设特快列车的平均速度为x 千米/时，则可列方程为______． 【答案】1200120072.4x x =-； 【解析】【分析】由特快列车的平均速度为x 千米/时，则高铁列车的平均速度是2.4x 千米/时，分别表示乘坐高铁列车的时间与乘坐特快列车的时间，利用乘坐高铁列车所用时间比乘坐特快列车所用时间少用7小时，列方程即可．【详解】解：设特快列车的平均速度为x 千米/时，则高铁列车的平均速度是2.4x 千米/时，则乘坐高铁列车所用时间为12002.4x 小时，乘坐特快列车所用时间为1200x 小时， 所以：1200120072.4x x=-， 故答案为：1200120072.4x x=-． 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，掌握利用未知数表示需要的量，利用相等关系列方程是解题的关键．16. 如图，30MAB ∠=︒，2cm AB =．点C 在射线AM 上．（1）若要利用上图，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．则在画图时，选取的BC 的长可以为______cm ；（2）若对于射线AM上的点C，ABC的形状，大小是唯一确定的，则BC长度d的取值范围是______ 【答案】(1). 1.2，答案不唯一(2). d=1或d≥2．【解析】【分析】（1）答案不唯一，可以取BC=1.2cm（1cm＜BC＜2cm）；（2）先求出点B到AN的距离最短，再得当△ABC唯一确定时，d的取值范围．【详解】解：（1）取BC=1.2cm，如图在△ABC和△ABC′中满足SSA，两个三角形不全等．故答案为：答案不唯一如：BC=1.2cm．（2）当∠ACB=90°时，点B到AN的距离最短∵∠A=30°∴BC= AB＝1，∴若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则d的取值范围是d=1或d≥2，故答案为：d=1或d≥2．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题17. (0︒+--182cos45225321【解析】【分析】直接利用二次根式、特殊角的三角函数值、绝对值的性质以及零指数幂的性质进行化简，进而求出答案．【详解】解：原式23222212=-⨯+--21=+【点睛】本题考查了二次根式、特殊角的三角函数值、绝对值的性质以及零指数幂的性质，熟练掌握各自计算法则和性质是解题的关键．18. 解不等式组()22313x xxx⎧-<-⎪⎨-<⎪⎩．【答案】原不等式的解集为：11 2x-<<【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，然后取公共部分即可得到答案．【详解】解：原不等式组为()22313x x x x⎧-<-⎪⎨-<⎪⎩①②由①得：1x<由②得：12x>-所以原不等式的解集为：112x-<<．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法进行解题．19. 下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60︒”的尺规作图过程.已知：O.求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD内接于O，且其对角线,AC BD的夹角为60︒.作法：如图，①作O的直径AC；②以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，交直线AC 上方的圆弧于点B ；③连接BO 并延长交O 于点D ；④连接,,,AB BC CD DA .所以四边形ABCD 就是所求作的矩形,根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）.（2）完成下面的证明.证明：∵点,A C 都在O 上， ∴OA OC =.同理OB OD =.∴四边形ABCD 是平行四边形.∵AC 是O 的直径，∴90ABC ∠=︒（ ）（填推理的依据）.∴四边形ABCD 是矩形.∵AB = BO =，∴60AOB ∠=︒.∴四边形ABCD 是所求作的矩形.【答案】（1）见解析；（2）直径所对圆周角为直角，AO .【解析】【分析】（1）根据作法画出对应的几何图形即可；（2）先根据圆的基本性质得OA=OA ，OB=OD ，从而可以判断四边形ABCD 是平行四边形．再根据直径所对的圆周角是直角得90ABC ∠=︒，从而可得四边形ABCD 是矩形.【详解】（1）如图，四边形ABCD 为所作；（2）完成下面的证明.证明：∵点,A C 都在O 上，∴OA OC =.同理OB OD =. ∴四边形ABCD 是平行四边形.∵AC 是O 的直径，∴90ABC ∠=︒（直径所对圆周角为直角）.∴四边形ABCD 是矩形.∵AB =AO BO =，∴60AOB ∠=︒.∴四边形ABCD 是所求作的矩形.【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和矩形的判定方法．20. 已知关于x 的一元二次方程2240x x m ++=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，求该方程的根．【答案】（1）2m <；（2）1212x ，2212x 【解析】【分析】（1）由题意两个不相等的实数根根据判别式大于0进行分析计算即可求出答案；（2）由题意根据m 的范围可知m=1，代入原方程后根据一元二次方程的解法即可求出答案．【详解】解：（1）由题意，2442168m m ⨯⋅∆=-=-∵方程有两个不相等的实数根∴1680m ->∴2m <；（2）∵2m <且为正整数∴1m =∴22410x x ++=∴4822x -±=⨯ ∴1212x ，2212x ． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及一元二次方程根的判别式．21. 如图，在四边形ABCD 中，90A BCD ∠=∠=︒，10BC CD ==，CE AD ⊥于点E ．（1）求证：AE CE =；（2）若tan 3D =，求AB 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2AB =【解析】【分析】（1）过点C 作CF ⊥AB ，交AB 延长线于点F ，可证四边形AECF 是矩形，可得AE=FC ，∠FCE=90°，由“AAS ”可证CE=FC=AE ；（2）由锐角三角函数和勾股定理可求DE=1，CE=3，即可求AB 的长．【详解】（1）证明：过点C 作CF AB ⊥于F∵CF AB ⊥，CE AD ⊥∴90F CEA CED ∠=∠=∠=︒又∵90A ∠=︒∴四边形AECF 为矩形∴AE CF =，90FCE ∠=︒∵90BCD ∠=︒，∴19023∠=︒-∠=∠又∵BC CD =∴CED CFB ≌△△∴CE CF =，∴AE CE =（2）在Rt CED 中，10CD =tan 3CE D DE == 设DE x =，则3CE x =，221010CD DE CE x =+==∴1x =，即1DE =，3CE =∵CED CFB ≌△△∴1BF DE ==在矩形AECF 中，3AF CE ==∴312AB AF BF =-=-= 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定，解直角三角形的应用，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线:3l y kx =+与反比例函数()40y x x =>的图象交于点(),4A m ． （1）求m 、k 的值；（2）点B 在反比例函数()40y x x =>的图象上，且点B 的纵坐标为1． ①求点B 的坐标；②若在直线l 上存在一点P （点P 不与点A 重合），使得ABP △的面积不大于ABO 的面积，结合图象，直接写出点P 的横坐标t 的取值范围．【答案】（1）1k =；（2）①()4,1B ；②3722t -≤≤且1t ≠ 【解析】【分析】（1）根据反比例函数解析式确定点A 的坐标，再根据点A 的坐标确定一次函数解析式中k 的值； （2）①根据反比例函数解析式确定点B 的坐标；②画出函数图象，利用图象求解．【详解】解：（1）把4y =代入4y x=得1x =∴1m =，()1,4A∵直线3y kx =+过点()1,4A∴43k =+解得1k =；（2）①把1y =代入4y x =得4x = ∴()4,1B②如图：分点P 在AB 下方和上方，3722t -≤≤且1t ≠【点睛】本题考查待定系数法求一次函数与反比例函数，三角形面积的计算，本题比较综合，要善于结合图象解答．23. 疫情期间某校学生积极观看网络直播课程，为了了解全校500名学生观看网络直播课程的情况，随机抽取50名学生，对他们观看网络直播课程的节数进行收集，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．观看直播课节数的频数分布表 节数x 频数 频率010x ≤< 8 0.161020x ≤<10 0.20 2030x ≤< 16 b3040x ≤< a0.2440x ≥4 0.08 总数50 1其中，节数在2030x ≤<这一组的数据是：20 20 21 22 23 23 23 23 25 26 26 26 27 28 28 29请根据所给信息，解答下列问题：（1）a =__________，b =__________；（2）请补全频数分布直方图；（3）随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是___________；（4）请估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有__________人．【答案】（1）12,0.32a b ==；（2）详见解析；（3）23；（4）160【解析】【分析】（1）根据频率=频数÷总数求解可得；（2）根据以上所求结果即可补全图形；（3）根据中位数的概念找到第25、26个数据，再取其平均数即可得；（4）用总人数乘以样本中观看网络直播课节数不低于30次的人数所占比例即可得．【详解】(1)a=0.24×50=12，b=16÷50=0.32，故答案为：12、0.32；(2)补全直方图如下：(3)随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为23、23，所以随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是23232+=23(次)； 故答案为：23次；(4)估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有12450050+⨯=160(人)， 故答案为：160.【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，频数（率）分布表，频数（率）分布直方图，中位数. 24. 如图，ABC 是直角三角形，90ABC ∠=︒，以AB 为直径的O 与边AC 交于点D ，过D 作O 的切线DE 交BC 于E ，连接OE ，交O 于F ．（1）求证：//OE AC ；（2）若6AB =，185AD =，求线段EF 的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）2EF =．【解析】【分析】（1）方法一：连接BD 交EO 于G ，利用切线长定理可得BE DE =，DEO BEO ∠=∠，可得EO BD ⊥，利用圆周角定理证明90ADB ∠=︒，从而可得结论；方法二：证明,DE CE BE == 结合,OA OB =利用三角形的中位线的性质可得结论；（2）连接DO ，证明5BEO DEO ∠=∠=∠，由3sin 55∠=，利用等角的三角函数值相等，求解,OE 从而可得答案．【详解】证明（1）方法一：连接BD 交EO 于G ，∵90ABC ∠=︒且AB 为O 直径 ∴BC 是O 的切线 又∵DE 是O 的切线∴BE DE =，DEO BEO ∠=∠，∴EO BD ⊥∴90OGB ∠=︒∵AB 为O 直径∴90ADB ∠=︒∴//OE AC方法二：连接BD ，∵90ABC ∠=︒且AB 为O 直径 ∴BC 是O 的切线又∵DE 是O 的切线 ∴BE DE =∴12∠=∠∵AB 为O 直径∴90ADB ∠=︒∴1809090CDB ∠=︒-︒=︒∴132490∠+∠=∠+∠=︒∴34∠=∠∴CE DE =∴BE CE =又∵AO BO =∴//OE AC（2）连接DO ，∵90OGB ∠=︒∴5690∠+∠=︒∵90ABC ∠=︒∴690BEO ∠+∠=︒∴5BEO DEO ∠=∠=∠∵90ADB ∠=︒又∵6AB =，185AD =∴3sin 55AD AB ∠== ∴3sin 5DEO DO EO ==∠ ∵132DO AB == ∴5EO =∴532EF EO OF =-=-=∴2EF =．【点睛】本题考查的是圆周角定理，圆的切线的判定与性质，平行线的判定，直角三角形的两锐角互余，三角形的中位线的性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．25. 小超在观看足球比赛时，发现了这样一个问题：两名运动员从不同的位置出发，沿着不同的方向，以不同的速度，朝着同一个目标直线奔跑，什么时候他们离对方最近呢？小超通过一定的测量，并选择了合适的比例尺，把上述问题抽象成如下数学问题：如图，30B ∠=︒，8cm AB =，9cm BC =，点D 以1cm/s 的速度从点A 向点B 运动，点E 以1.5cm/s 的速度从点C 向点B 运动．当其中一点先到达点B 时，两点同时停止运动．若点D ，E 同时出发，多长时间后DE 取得最小值？小超猜想当DE BC 时，DE 最小．探究后发现用几何的知识解决这个问题有一定的困难，于是根据函数的学习经验，设A ，D 两点间的距离为cm x ，D ，E 两点间的距离为cm y ，对函数y 随自变量x 的变化规律进行了探究．下面是小超的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，得到了y 与x 的几组对应值； /cm x 0 12 3 4 4.5 5 5.5 6 /cm y 4.513.78 3.11 2.05 1.92 1.86 1.89 2.00（说明：补全表格时相关数值保留两位小数）（2）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：①小超的猜想______（填“正确”或“不正确”），理由是______．②在运动过程中，当D 、E 两点距离最近时，距二者同时出发的时间约为______s ．【答案】（1）2.51（2）见解析；（3）①不正确，理由见解析；②5.1．【解析】【分析】（1）根据图象结合测量可得结论；（2）描点后用光滑的曲线画图象即可；（3）①作出符合题意的图形，根据勾股定理计算DE 的长，可得答案，②结合表格信息与观察图像，可得出结论．【详解】（1）根据图像结合测量可得：当3cm x =时， 2.51y cm =，故答案为：2.51．（2）画出函数图像如图：（3）①不正确；理由如下：如图，设运动x 秒时，,DE BC ⊥ 则3,,2AD x CE x == 38,9,2BD x BE x ∴=-=- 30,B ∠=︒ 由3932cos308x BE BD x -︒===- 183833,x x ∴-=(331883,x ∴=- ()()188333188353 3.268,333333x -+-∴===≈--+ ()118 2.366 2.37,22y DE BD x ∴===-≈≈ 显然，此时DE 的长不是最小值．故答案为：不正确， 2.37DE ≈不是最小值．②结合表格信息与观察所画图像可得当D 、E 两点距离最近时，距二者同时出发的时间约为5.1秒． 故答案为：5.1．【点睛】本题属于三角形和函数的综合题，考查了画函数图象及总结函数性质，二次根式的运算，解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会利用锐角三角函数解决问题，学会利用图象法解决问题．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()20y ax bx c a =++≠与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C （点B在点C 左侧），且4BC =．直线3y x 与抛物线的对称轴交于点(),6D m ．（1）求抛物线的对称轴；（2）求点A 的坐标（用含有a 的式子表示）；（3）点M 与点A 关于抛物线的对称轴对称，直线MB 与y 轴交于点N ，若3AN ≥，结合函数图象，求a 的取值范围．【答案】（1）抛物线的对称轴为3x =；（2）()0,5A a ；（3）12a ≥或12a ≤- 【解析】【分析】（1）根据一次函数可求对称轴；（2）根据对称轴可求得B 、C 两点的坐标，代入解析式可求得a 、b 、c 之间的关系，即可解得；（3）先根据题意作图，再利用相似的判断和性质求解．【详解】解：（1）把6y =代入3y x 得3x =∴3m =，()3,6D∴抛物线的对称轴为3x =（2）∵对称轴为3x =，4BC = ∴()10B ,，()5,0C ∴320b a a bc ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩解得65b a c a =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为265y ax ax a =-+令0x =得5y a =即()0,5A a（3）()0,5A a 关于3x =的对称点为()6,5M a过点M 作MH x ⊥轴于H ，则90MHB NOB ∠=∠=︒，OBN HBM ∠=∠，∴MHB NOB △△∽，∴5MH BH ON OB == ∴15ON MH =，∴()0,N a - ∴63AN a =≥ ∴12a ≥或12a ≤-本题考查二次函数与三角形相似的结合，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键．27. 在ABC 中，90A ∠=︒，AB AC =，点D 为线段AC 上的一个动点（不与点A ，C 重合），连接BD ，将线段BD 绕点D 逆时针旋转90︒得到线段DE ．（1）如图1，当点D 为AC 中点时，连接CE①依题意补全图形；②判断CE 与BC 之间的数量关系，并证明．（2）如图2，点F 与点E 关于直线BD 对称，在点D 的运动过程中，请在直线AC 上找到一个与动点D 对应的动点H ，使得FH BC ⊥始终成立，说明动点H 的位置，并画图证明．【答案】（1）①依题意补全图形见解析；②2BC CE =，证明见解析；（2）点H 在点D 的下方，且CD DH =，证明见解析.【解析】【分析】（1）①按照题意将线段BD 旋转作图即可；②根据题意可知，△ABC 和△BDE 都是等腰直角三角形，因此直角边和斜边之比都相等，加上两边夹角相等可判断相似，进而可得到线段的数量关系；（2）构造全等三角形，利用全等的性质得到对应角相等，得到CE 与FH 是平行的，进而证得垂直．【详解】（1）①图形如下：②CE 与BC 之间的数量关系：2BC CE =证明：∵90A ∠=︒，AB AC =∴1245ABC ∠=∠+∠=︒，2BC AB=∵线段BD 绕点D 逆时针旋转90︒得到线段DE ．∴90BDE ∠=︒，DB DE =∴2345DBE =∠+∠=∠︒，2BE BD = ∴13∠=∠，2BC BE AB BD== ∴ABD BCE ∽△△ ∴490A ∠=∠=︒，CE AD CB AB = ∵D 为AC 的中点，AB AC =∴2BC CE =；（2）位置为：点H 在点D 的下方，且CD DH =证明．∵点F 与点E 关于直线BD 对称∴DE DF =∵56∠=∠，CD DH =∴()CDE HDF SAS ≌△△∴7F ∠=∠∴//CE FH由（1）得490A ∠=∠=︒∵CE BC ⊥∴FH BC ⊥．【点睛】本题考查全等三角形的判断及性质定理、相似三角形的判断及性质定理、平行线的性质等知识，数形结合的思想是关键．28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于平面中的点P ，Q 和图形M ，若图形M 上存在一点C ，使90PQC ∠=︒，则称点Q 为点P 关于图形M 的“折转点”，称PCQ △为点P 关于图形M 的“折转三角形” （1）已知点()4,0A ，()2,0B①在点()12,2Q ，(21,3Q ，()34,1Q -中，点O 关于点A 的“折转点”是______；②点D 在直线y x =-上，若点D 是点O 关于线段AB 的“折转点”，求点D 的横坐标D x 的取值范围； （2）T 的圆心为(),0t ，半径为3，直线2y x =+与x ，y 轴分别交于E ，F 两点，点P 为T 上一点，若线段EF 上存在点P 关于T 的“折转点”，且对应的“折转三角形”是底边长为2的等腰三角形，直接写出t 的取值范围．【答案】（1）①1Q ，2Q ；②点D 的横坐标取值范围是12D x ≤≤；（2）32222t ≤≤---或221542t ≤+≤【解析】【分析】（1）①根据“折转点”的定义，判断给出的Q 点坐标中，哪个能够使90OQA ∠=︒；②点D 为点O 关于线段AB 的折转点，则在线段AB 上存在点C ，使得90ODC ∠=︒，根据直线解析式y x =-的性质知道构成的“折转三角形”一定是等腰直角三角形，画出图象，取临界状态，再由等腰直角三角形的性质求D 的横坐标范围；（2）根据题意分析出圆心T 到线段EF 上一点Q 的距离是个定值，然后画图进行分类讨论，分别求出几种临界状态下t 的值，最终得到t 的取值范围．【详解】（1）①根据“折转点”的定义，要使得90OQA ∠=︒的Q 才是点O 关于点A 的“折转点”， 如图，根据各个点的坐标，122OQ =，122AQ =，4OA =，则22211OQ AQ OA +=，∴190OQ A ∠=︒，1Q 是点O 关于点A 的“折转点”，22OQ =，223AQ =，4OA =，则22222OQ AQ OA +=，∴290OQ A ∠=︒，2Q 点O 关于点A 的“折转点”，∵390OAQ ∠=︒，∴3Q 不是，故答案是：1Q ，2Q ；②如图，点D 为点O 关于线段AB 的折转点，则在线段AB 上存在点C ，使得90ODC ∠=︒，即D 在以OC 为直径的圆上（不含O ，C 点），因此，当点C 在AB 上运动时，所有可能的D 点组成的图形为：以()1,0为圆心，半径为1的圆，和以()2,0为圆心，半径为2的圆及其之间的部分，（不含x 轴上的点）．直线y x =-与内圆交于E ，与外圆交于F ，线段EF 即为直线上D 点可能的位置，。

2019-2020学年北京人大附中九年级（上）限时练习数学试卷（4）一、选择题（每小题4分，共32分）1．将抛物线y＝x2沿着x轴向左平移1个单位，再沿y轴向下平移1个单位，则得到的抛物线解析式为（）A．y＝（x﹣1）2﹣1B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x+1）2+1D．y＝（x+1）2﹣1 2．如图，△ABC内接于⊙O，若∠AOB＝100°，则∠ACB的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．80°3．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB＝20°，则∠BOD等于（）A．20°B．40°C．80°D．70°4．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB＝14，BC＝7．则∠BDC的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°5．如图，⊙O的半径为4，将⊙O的一部分沿着AB翻折，劣弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A．3B．2C．6D．46．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列选项中不正确的是（）A．a＜0B．c＞0C．0＜﹣＜1D．a+b+c＜07．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为（）A．16B．14C．12D．108．如图，点A，B，C是⊙O上的三个点，点D在BC的延长线上．有如下四个结论：①在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得∠BCE＝∠DCE；②在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得∠BAE＝∠AEC；③在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得EO平分∠AEC；④在∠ABC所对的弧上任意取一点E（不与点A，C重合），∠DCE＝∠ABO+∠AEO均成立．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②③B．①③④C．②④D．①②③④二、填空题（9-13每题4分14-16每题3分，共29分）9．半径为3，圆心角120度的扇形面积为．10．写出一个对称轴为x＝1的二次函数的解析式：．11．如图，等边三角形ABC的外接圆⊙O的半径OA的长为2，则其内切圆半径的长为．12．如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP交⊙O于点C，点D是优弧上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB＝70°，则∠ADC的度数是．13．如图，PA与⊙O相切于A点，若PA＝4，PB＝2，则⊙O的半径为．14．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若方程ax2+bx+c＝k有两个实数根1＜x＜3范围内，则k的取值范围是．15．在平面直角坐标系中半径为5的⊙C与x轴交于P（1，0）与Q（﹣5，0），则圆心C的坐标为．16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为上一点，若PB＝1，PA＝2，则PD的长是．三、解答题（17题7分，18-21题，每题8分，共39分）17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．（1）求证：∠A＝∠BCD；（2）若AB＝10，CD＝8，求BE的长．18．下面是“作一个30°角”的尺规作图过程已知射线AB；求作：∠PAB，使得∠PAB＝30°．作法如图①在射线AB上取一点O以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C；②以C为圆心OC为半径作弧，与⊙O交于点P，作射线AP，所以∠PAB即为所求的角；根据上述的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面证明证明：连接PO、PC，在⊙O和⊙C中∵OP＝OC＝．∴△POC是等边三角形（）（填推理的依据）∴∠POC＝60°（）填推理的依据）∵＝∴∠PAB═∠POB＝30°（）（填推理的依据）19．已知，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x，y满足下表：（1）直接写出m的值和函数的对称轴；（2）求该二次函数的解析式；（3）若A（p，y1）、B（p+1，y2）两点都在该函数的图象上，且p＜0结合函数图象比较y1与y2的大小，并说明理由．20．如图，AB是⊙O的直径，半径OD⊥弦AC于点E，F是BA延长线上一点，∠CDB＝∠BFD．（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明；（2）若CD∥AB，AB＝4，求DF的长．21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2x+a﹣3．（1）直接写出抛物线的顶点坐标（用a的代数式表示）；（2）当a＝0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B．求点B的坐标；（3）将抛物线在直线y＝a上方的部分沿直线y＝a翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M，若图形M与（2）中得到的线段AB恰有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．22．已知，在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，点F为CD上任意一点（不与C、D重合），过点F作CD的垂线，交BD于点E，连接AE．（1）①依题意补全图1；②线段EF、CF、AE之间的等量关系是．（2）在图1中将△DEF绕点D逆时针旋转，当点F、E、C在一条直线上（如图2）．线段EF、CE、AE之间的等量关系是．写出判断线段EF、CE、AE之间的等量关系的思路（可以不写出证明过程）2019-2020学年北京人大附中九年级（上）限时练习数学试卷（4）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共32分）1．将抛物线y＝x2沿着x轴向左平移1个单位，再沿y轴向下平移1个单位，则得到的抛物线解析式为（）A．y＝（x﹣1）2﹣1B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x+1）2+1D．y＝（x+1）2﹣1【解答】解：抛物线y＝x2沿着x轴向左平移1个单位，再沿y轴向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是y＝（x+1）2﹣1．故选：D．2．如图，△ABC内接于⊙O，若∠AOB＝100°，则∠ACB的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．80°【解答】解：∵∠AOB与∠ACB是同弧所对的圆心角与圆周角，∠AOB＝100°，∴∠ACB＝∠AOB＝50°．故选：B．3．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB＝20°，则∠BOD等于（）A．20°B．40°C．80°D．70°【解答】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∴＝，∴∠BOD＝2∠CAB＝2×20°＝40°．故选：B．4．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB＝14，BC＝7．则∠BDC的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【解答】解：如图，连接OC．∵AB＝14，BC＝7，∴OB＝OC＝BC＝7，∴△OCB是等边三角形，∴∠COB＝60°，∴∠CDB＝∠COB＝30°，故选：B．5．如图，⊙O的半径为4，将⊙O的一部分沿着AB翻折，劣弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A．3B．2C．6D．4【解答】解：过O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OA，Rt△OAD中，OD＝CD＝OC＝2，OA＝4，根据勾股定理，得：AD＝＝2，由垂径定理得，AB＝2AD＝4，6．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列选项中不正确的是（）A．a＜0B．c＞0C．0＜﹣＜1D．a+b+c＜0【解答】解：A、抛物线的开口向下，∴a＜0，故正确；B、抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，故正确；C、抛物线的对称轴在y轴的右边，在直线x＝1的左边，∴，故正确；D、从图象可以看出，当x＝1时，对应的函数值在x轴的上方，∴a+b+c＞0，故错误．故选：D．7．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为（）A．16B．14C．12D．10【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，∵BE+CE＝BC＝5，∴BD+CF＝BC＝5，∴△ABC的周长＝2+2+5+5＝14，8．如图，点A，B，C是⊙O上的三个点，点D在BC的延长线上．有如下四个结论：①在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得∠BCE＝∠DCE；②在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得∠BAE＝∠AEC；③在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得EO平分∠AEC；④在∠ABC所对的弧上任意取一点E（不与点A，C重合），∠DCE＝∠ABO+∠AEO均成立．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②③B．①③④C．②④D．①②③④【解答】解：①当BE是⊙O的直径时，∠BCE＝∠DCE＝90°，故①正确；②当AE∥BC时，＝，∴＝，∴∠BAE＝∠AEC；故②正确；③当点E是的中点时，EO平分∠AEC；故正确；④如图2，∵∠A＝∠ECD，∠A+∠BOE＝180°，∴∠ABO+∠AEO＝360°﹣∠A﹣∠BOE＝360°﹣∠DCE﹣2（180°﹣∠DCE），∴∠DCE＝∠ABO+∠AEO，故正确；故选：D．二、填空题（9-13每题4分14-16每题3分，共29分）9．半径为3，圆心角120度的扇形面积为3π．【解答】解：S＝＝＝3π，故答案为：3π．10．写出一个对称轴为x＝1的二次函数的解析式：y＝x2﹣2x．【解答】解：由题意得，﹣＝1，得，﹣2a＝b，令a＝1则b＝﹣2，所以，对称轴是x＝1的二次函数的一个表达式为：y＝x2﹣2x．故答案为：y＝x2﹣2x．11．如图，等边三角形ABC的外接圆⊙O的半径OA的长为2，则其内切圆半径的长为1．【解答】解：过点O作OH⊥AB与点H，∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝60°，∵O为三角形外心，∴∠OAH＝30°，∴OH＝OA＝1，故答案为：112．如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP交⊙O于点C，点D是优弧上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB＝70°，则∠ADC的度数是27.5°．【解答】解：如图，连接OB，OA，∵过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，∴∠PBO＝∠PAO＝90°，∠BPO＝∠APO，由四边形的内角和定理，得∠BOA＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，∴∠AOC＝∠BOC＝55°；由圆周角定理，得∠ADC＝∠AOC＝27.5°，故答案为：27.5°．13．如图，PA与⊙O相切于A点，若PA＝4，PB＝2，则⊙O的半径为3．【解答】解：∵PA与⊙O相切于A点，∴∠PAO＝90°，∵PA2+OA2＝PO2，∴42+OA2＝（OA+2）2，解得：OA＝3，故答案为：3．14．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若方程ax2+bx+c＝k有两个实数根1＜x＜3范围内，则k的取值范围是0＜k≤2．【解答】解：从图象可以看出，当k＝0时，ax2+bx+c＝0有两个解1和3，∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，2），∴当k＝2时，ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根，x1＝x2＝2，根据抛物线的对称性可知：当0＜k≤2时，方程ax2+bx+c＝k有两个实数根1＜x＜3范围内．故答案为0＜k≤2．15．在平面直角坐标系中半径为5的⊙C与x轴交于P（1，0）与Q（﹣5，0），则圆心C 的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣4）．【解答】解：∵⊙C与x轴交于P（1，0）与Q（﹣5，0），∴点C在PQ的垂直平分线上，∴C点的横坐标为﹣2，设C（﹣2，n），∵半径为5，∴CP＝5，∴＝5，解得|n|＝4，∴n＝±4，∴C的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣4），故答案为（﹣2，4）或（﹣2，﹣4）．16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为上一点，若PB＝1，PA＝2，则PD的长是1+2．【解答】解：如图，在DP上截取DM，使DM＝BP＝1，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，DA＝BA，又∵，∴∠ADM＝∠ABP，∴△ADM≌△ABP（SAS），∴AM＝AP＝2，∠DAM＝∠BAP，∵∠DAB＝∠DAM+∠MAB＝90°，∴∠BAP+∠MAB＝90°，即∠MAP＝90°，∴△MAP是等腰直角三角形，∴MP＝AP＝2，∴DP＝DM+PM＝1+2，故答案为：1+2．三、解答题（17题7分，18-21题，每题8分，共39分）17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．（1）求证：∠A＝∠BCD；（2）若AB＝10，CD＝8，求BE的长．【解答】（1）证明：∵直径AB⊥弦CD，∴弧BC＝弧BD．∴∠A＝∠BCD；（2）连接OC∵直径AB⊥弦CD，CD＝8，∴CE＝ED＝4．∵直径AB＝10，∴CO＝OB＝5．在Rt△COE中，∵OC＝5，CE＝4，∴OE＝＝3，∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2．18．下面是“作一个30°角”的尺规作图过程已知射线AB；求作：∠PAB，使得∠PAB＝30°．作法如图①在射线AB上取一点O以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C；②以C为圆心OC为半径作弧，与⊙O交于点P，作射线AP，所以∠PAB即为所求的角；根据上述的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面证明证明：连接PO、PC，在⊙O和⊙C中∵OP＝OC＝CP．∴△POC是等边三角形（三条边相等的三角形是等边三角形）（填推理的依据）∴∠POC＝60°（等边三角形每个角都等于60°）填推理的依据）∵＝∴∠PAB═∠POB＝30°（同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半）（填推理的依据）【解答】解：（1）如图：∠PAB即为所求作的图形．（2）证明：连接PO、PC，在⊙O和⊙C中∵OP＝OC＝CP．∴△POC是等边三角形（三条边相等的三角形是等边三角形）∴∠POC＝60°（等边三角形的每个角都等于60°）∵＝∴∠PAB═∠POB＝30°（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）故答案为：CP，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形每个角都等于60°，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．19．已知，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x，y满足下表：（1）直接写出m的值和函数的对称轴；（2）求该二次函数的解析式；（3）若A（p，y1）、B（p+1，y2）两点都在该函数的图象上，且p＜0结合函数图象比较y1与y2的大小，并说明理由．【解答】解：（1）观察上表可知x＝0和x＝2时的函数值都是﹣3，∴对称轴为直线x＝＝1，∴（﹣1，0）的对称点为（3，0），∴m＝0；（2）由表格可得，二次函数y＝ax2+bx+c顶点坐标是（1，﹣4），∴y＝a（x﹣1）2﹣4，又当x＝﹣1时，y＝0，∴a＝1，∴这个二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4；（3）∵若A（p，y1）、B（p+1，y2）两点都在该函数的图象上，且p＜0，∴p＜p+1＜1，∵a＝1＞0，∴开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，∴y1＞y2，20．如图，AB是⊙O的直径，半径OD⊥弦AC于点E，F是BA延长线上一点，∠CDB＝∠BFD．（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明；（2）若CD∥AB，AB＝4，求DF的长．【解答】解：（1）DF与⊙O相切．理由：∵∠CDB＝∠CAB，又∵∠CDB＝∠BFD，∴∠CAB＝∠BFD．∴AC∥DF．∵半径OD垂直于弦AC于点E，∴OD⊥DF．∴DF与⊙O相切．（2）∵AC∥DF，CD∥AB，∴四边形ACDF是平行四边形，∴DF＝AC，∵OD⊥弦AC，∴AE＝AC，∴AE＝DF，∴OA＝OF，∴OF＝4，∵OD＝2，∴DF＝＝2．21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2x+a﹣3．（1）直接写出抛物线的顶点坐标（1，a﹣4）（用a的代数式表示）；（2）当a＝0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B．求点B的坐标；（3）将抛物线在直线y＝a上方的部分沿直线y＝a翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M，若图形M与（2）中得到的线段AB恰有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．【解答】解：（1）函数的对称轴为：x＝1，故函数顶点为：（1，a﹣4），故答案为：（1，a﹣4）；（2）当a＝0时，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；A（0，﹣3），∵将点A向右平移4个单位长度，得到点B．∴B（4，﹣3）；（3）当函数经过点A时，a＝0，有三个交点．∵图形M与线段AB恰有两个公共点，∴y＝a要在AB线段的上方，∴a＞﹣3∴﹣3＜a＜0，当a＝1时，y＝x2﹣2x+a﹣3沿着y＝1翻折，此时，图形M与线段AB恰有两个公共点．综上所述：﹣3＜a＜0或a＝1．22．已知，在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，点F为CD上任意一点（不与C、D重合），过点F作CD的垂线，交BD于点E，连接AE．（1）①依题意补全图1；②线段EF、CF、AE之间的等量关系是AE2＝EF2+CF2．（2）在图1中将△DEF绕点D逆时针旋转，当点F、E、C在一条直线上（如图2）．线段EF、CE、AE之间的等量关系是AE＝CE+2EF．写出判断线段EF、CE、AE之间的等量关系的思路（可以不写出证明过程）【解答】解：（1）①依题意补全图形如图1所示，②连接CE，∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，BD平分AC，∴AE＝CE，∵EF⊥CD，∴∠EFC＝90°，根据勾股定理得，CE2＝EF2+CF2，∴AE2＝EF2+CF2，故答案为AE2＝EF2+CF2；（2）如图2，延长EF至G，使EF＝FG，连接DG，∴EG＝2EF，∵DF⊥CF，∴DE＝DG，∠EDG＝2∠EDF∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠ADC＝2∠0DC＝60°，由旋转得，∠ODC＝∠EDF，∴∠ADC＝∠EDG，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中∵，∴△ADE≌△CDG，∴AE＝CG＝CE+EG＝CE+2EF，∴AE＝CE+2EF，故答案为AE＝CE+2EF．。

圆的有关概念与性质1．[2014·] 如图J28－1，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，∠A °，OC ＝4，CD 的长为( )A ．2 2B ．4C ．4 2D ．8图J28－1图J28－22．[2010·] 如图J28－2，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，连接OOC ＝5，CD ＝8，则AE ＝________．3．[2009·] 如图J28－3，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为BC ︵上的一点．若∠CEA ＝28°，则∠ABD ＝________°.图J28－31．[2014·西城一模] 如图J28－4，表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为5 cm ，水面宽AB 为8 cm ，则水的最大深度CD 为( )A ．4 cmB ．3 cmC ．2 cmD ．1 cm图J28－4图J28－52．[2015·西城一模] 如图J28－5，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，如果∠BOC ＝70°，那么∠BAD 等于( )A ．20°B ．30°C ．35°D ．70°3．[2015·海淀一模] 如图J28－6，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E .若∠B ＝60°，AC ＝3，则CD 的长为( )A ．6B ．2 3 C. 3 D ．3图J28－6图J28－74．[2015·某某一模] 如图J28－7，⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，∠AOC ＝40°，则∠CDB 的度数为________．5．[2014·房山期末] 如图J28－8，点A 是半圆上的一个三等分点，点B 是AN ︵的中点，点P是直径MN 上一动点．若⊙O 的半径为1，则AP ＋BP 的最小值是________．图J28－8图J28－96．[2014·怀柔期末] 如图J28－9，圆心B 在y 轴的负半轴上，半径为5的⊙B 与y 轴的正半轴交于点A (0，1)．过点P (0，－7)的直线l 与⊙B 相交于C ，D 两点，则弦CD 长的所有可能的整数值有________个，它们是________．7．[2013·海淀一模] 如图J28－10(1)所示，圆上均匀分布着11个点A 1，A 2，A 3，…，A 11.从A 1起每隔k 个点顺次连接，当再次与点A 1连接时，我们把所形成的图形称为“k ＋1阶正十一角星”，其中1≤k ≤8(k 为正整数)．例如，图J28－10(2)是“2阶正十一角星”，那么∠A 1＋∠A 2＋…＋∠A 11＝________°；当∠A 1＋∠A 2＋…＋∠A 11＝900°时，k ＝________．图J28－108．[2014·丰台期末] 如图J28－11，在⊙O中，C，D为⊙O上的两点，AB是⊙O的直径．已知∠AOC＝130°.求∠D的度数．图J28－119．[2014·东城期末] 如图J28－12，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O 于点E，连接EAB＝8，CD＝2，求EC的长．图J28－12一、选择题1．如图J28－13，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接BC，BD，下列结论中不一定正确的是( )A ．AE ＝BE B.AD ︵＝BD ︵C ．OE ＝DE D ．∠DBC ＝90°图J28－13图J28－142．[2015·东城一模] 如图J28－14，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，连接OC ，A C.若∠D ＝50°，则∠A 的度数是( )A ．20°B ．25°C ．40°D ．50°3．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是( )图J28－154．[2013·大兴一模] 如图J28－16，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(－2，3)，以点O 为圆心，以OP 的长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点A ，则点A 的横坐标介于( )A ．－4和－3之间B ．3和4之间C ．－5和－4之间D ．4和5之间图J28－16图J28－175．如图J28－17，⊙O 的直径AB ＝2，弦AC ＝1，点D 在⊙O 上，则∠D 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°6．如图J28－18，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A ，B ，点A 的坐标为(0，3)，M 是第三象限内一点，∠BMO ＝120°，则⊙C 的半径为( )A．6 B．5 C．3 D．3 2图J28－18图J28－197．[2012·丰台一模] 如图J28－19是X老师晚上出门散步时离家的距离y与时间x之间的函数关系的图象，若用黑点表示X老师家的位置，则X老师散步行走的路线可能是( )图J28－208．如图J28－21，半圆O的直径AB＝10 cm，弦AC＝6 cm，AD平分∠BAC，则AD的长为( )图J28－21A．4 5 cm B．3 5 cmC．5 5 cm D．4 cm二、填空题9．若直径为10 cm的⊙O中，弦AB＝5 cm，则弦AB所对的圆周角是________．10．[2012·昌平一模] 如图J28－22，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65°.为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．这样的监视器________台．图J28－2211．如图J28－23，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC＝110°.连接AC，则∠A的度数是________°.图J28－23图J28－2412．[2013·房山一模] 如图J28－24，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，4，…，同心圆与直线y＝x和y＝－x分别交于点A1，A2，A3，A4，…，则点A31的坐标是________．三、解答题13．[2015·某某期末] 如图J28－25，在平面直角坐标系xOy中，以点A(2，3)为圆心的⊙A 交x轴于点B，C，BC＝8，求⊙A的半径．图J28－2514．[2014·房山期末] 已知：在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以AB为直径的⊙O交BC于点D.图J28－26(1)如图J28－26，当∠A为锐角时，AC与⊙O交于点E，连接BE，则∠BAC与∠CBE的数量关系是∠BAC＝________∠CBE.(2)如图J28－27，若AB不动，AC绕点A逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，CA的延长线与⊙O 交于点E，连接BE，(1)中∠BAC与∠CBE的数量关系是否依然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．图J28－2715．[2015·西城期末] 如图J28－28，在⊙O 中，弦BC ，BD 关于直径AB 所在的直线对称．E 为半径OC 上的一点，OC ＝3OE ，连接AE 并延长交⊙O 于点F ，连接DF 交BC 于点M .(1)请依题意补全图形；(2)求证：∠AOC ＝∠DBC ；(3)求BM BC的值．图J28－2816．[2013·西城一模] 先阅读材料，再解答问题：图J28－29小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧(或等弧)所对的圆周角相等．如图J28－29，点A ，B ，C ，D 均为⊙O 上的点，则有∠C ＝∠D .小明还发现，若点E 在⊙O 外，且与点D 在直线AB 同侧，则有∠D >∠E .请你参考小明得出的结论，解答下列问题：(1)如图J28－30(a )，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0，7)，点B 的坐标为(0，3)，点C 的坐标为(3，0)．①在图(a )中作出△ABC 的外接圆(保留必要的作图痕迹，不写作法)；②若在x 轴的正半轴上有一点D ，且∠ACB ＝∠ADB ，则点D 的坐标为________．(2)如图J28－30(b )，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0，m )，点B 的坐标为(0，n )，其中m >nP 为x 轴正半轴上的一个动点，当∠APB 达到最大时，直接写出此时点P 的坐标．图J28－30参考答案真题演练1．C [解析] ∵∠A °，∴∠BOC ＝2∠A ＝45°.∵⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，∴CE ＝DE ，△OCE 为等腰直角三角形，∴CE ＝22OC ＝2 2，∴CD ＝2CE ＝4 2. 2．2 [解析] ∵AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∴CE ＝12CD ＝4. 在Rt △OCE 中，OE ＝OC 2－CE 2＝3，∴AE ＝OA －OE ＝5－3＝2.3．28 [解析] 本题综合考查了垂径定理和圆周角的求法及性质．由垂径定理可知AC ︵＝AD ︵，又根据在同圆或等圆中相等的弧所对的圆周角也相等的性质可知∠ABD ＝∠CEA ＝28°. 模拟训练1．C [解析] ∵输水管的半径为5 cm ，水面宽AB 为8 cm ，水的最大深度为CD ，∴DO ⊥AB ，AO ＝5 cm ，∴AC ＝4 cm ，∴CO ＝52－42＝3(cm)，∴水的最大深度CD 为5－3＝2(cm)．故选C.2．C 3.D4．20° 5. 2 [解析] 作点A 关于MN 的对称点A ′，连接A ′B ，交MN 于点P ，则此时PA ＋PB 最小，连接OA ′，OB .∵点A 与点A ′关于MN 对称，点A 是半圆上的一个三等分点，∴∠A ′ON ＝∠AON ＝60°，PA ＝PA ′.∵点B 是AN ︵的中点，∴∠BON ＝30°，∴∠A ′OB ＝∠A ′ON ＋∠BON ＝90°.又∵OA ＝OA ′＝1，∴A ′B ＝ 2.∴PA ＋PB ＝PA ′＋PB ＝A ′B ＝ 2.6．3 8，9，10 [解析] 当CD 过圆心B 时，此时CD 为⊙B 的直径，CD ＝10；当CD ⊥y 轴时，CD 为过点P 的最短弦．∵点A (0，1)，BA ＝5，∴点B 的坐标为(0，－4)．∵点P 的坐标为(0，－7)，∴BP ＝－4－(－7)＝3.∵BP ⊥CD ，∴PC ＝PD.在Rt △PBC 中，BC ＝5，BP ＝3，∴PC ＝BC 2－BP 2＝4，∴CD ＝2PC ＝8，∴过点P 的最短弦长为8，最长弦长为10，∴弦CD 长的所有可能的整数值有3个，为8，9，10.7．1260 2或78．解：由∠AOC ＝130°，得∠BOC ＝50°.又∵∠D ＝12∠BOC ，∴∠D ＝12×50°＝25°. 9.解：如图，∵OD ⊥AB ，∴AC ＝BC ＝12AB ＝4. 设AO ＝x .在Rt △ACO 中，AO 2＝AC 2＋OC 2，∴x 2＝42＋(x －2)2.解得x ＝5.∴AE ＝10，OC ＝3.连接BE .∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°.由OC 是△ABE 的中位线可得BE ＝2OC ＝6.在Rt △CBE 中，CE 2＝BC 2＋BE 2，∴EC ＝BC 2＋BE 2＝16＋36＝213.自测训练1．C2．A3．B [解析] ∵直径所对的圆周角是直角，∴直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断弧为半圆的是选项B.故选B.4．A [解析] ∵点P 的坐标为(－2，3)，∴OP ＝22＋32＝13.∵点A ，P 均在以点O 为圆心，以OP 为半径的圆上，∴OA ＝OP ＝13.∵9＜13＜16，∴3＜13＜4.又∵点A 在x 轴的负半轴上，∴点A 的横坐标介于－4和－3之间．5．C [解析] ∵⊙O 的直径是AB ，∴∠ACB ＝90°.又∵AB ＝2，弦AC ＝1，∴sin ∠CBA ＝AC AB ＝12， ∴∠CBA ＝30°，∴∠A ＝∠D ＝60°.故选C.6．C [解析] ∵四边形ABMO 是圆内接四边形，∠BMO ＝120°，∴∠BAO ＝60°.∵∠AOB ＝90°，点A ，B 均在⊙C 上，∴AB 为⊙C 的直径，∠ABO ＝90°－∠BAO ＝90°－60°＝30°.∵点A 的坐标为(0，3)，∴OA ＝3，∴AB ＝2OA ＝6，∴⊙C 的半径＝12AB C. 7．D [解析] 根据函数图象可知，X 老师离家先逐渐远去，有一段时间离家距离不变说明他走的是一段弧线，之后离家越来越近直至回家，分析四个选项只有D 符合题意． 8．A9．30°或150°10．3 [解析] ∵∠A ＝65°，∴该圆周角所对的弧所对的圆心角是130°，∴共需安装360°÷130°≈3(台)．11．35 [解析] 连接O C.∵BD ，CD 分别是过⊙O 上点B ，C 的切线，∴OC ⊥CD ，OB ⊥BD ，∴∠OCD ＝∠OBD ＝90°.∵∠BDC ＝110°，∴∠BOC ＝360°－∠OCD －∠BDC －∠OBD ＝70°，∴∠A ＝12∠BOC ＝35°. 12．(－4 2，－4 2) [解析] ∵31÷4＝7……3，∴点A 31在第三象限．∵在直角坐标系中，以原点O 为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，…，∴OA 31＝8.∴A 31的横坐标是－8sin45°＝－4 2，纵坐标是－4 2.13．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，连接AB .由题意知BD ＝12BC ＝4. ∵点A 的坐标是(2，3)，∴AD ＝3.在Rt △ABD 中，AB ＝BD 2＋AD 2＝5，∴⊙A 的半径为5.14．解：(1)2(2)(1)中∠BAC 与∠CBE 的数量关系成立．证明：如图，连接AD .∵AB 为⊙O 的直径，∴AD ⊥BC ，∴∠AEB ＝∠ADB ＝90°，∴∠AEB ＋∠ADB ＝180°.∵∠AEB ＋∠ADB ＋∠CBE ＋∠EAD ＝360°，∴∠CBE ＋∠EAD ＝180°.∵∠DAC ＋∠EAD ＝180°，∴∠CBE ＝∠DAC .又∵AB ＝AC ，∴∠BAC ＝2∠DAC ，∴∠BAC ＝2∠CBE .15．解：(1)补全图形如图，(2)证明：∵弦BC ，BD 关于直径AB 所在的直线对称，∴∠DBC ＝2∠AB C.又∵∠AOC ＝2∠ABC ，∴∠AOC ＝∠DBC .(3)∵BF ︵＝BF ︵，∴∠A ＝∠D .又∵∠AOC ＝∠DBC ，∴△AOE ∽△DBM ，∴OE OA ＝BM BD .∵OC ＝3OE ，OA ＝OC ，∴BM BD ＝OE OA ＝OE OC ＝13. ∵弦BC ，BD 关于直径AB 所在的直线对称，∴BC ＝BD ，∴BM BC ＝BM BD ＝13.16．解：(1)①如图所示．②(7，0)(2)当以AB 为弦的圆C 与x 轴正半轴相切于点P 时，∠APB 的值最大，作CD ⊥y 轴于点D ，连接CP ，CB .∵点A 的坐标为(0，m )，点B 的坐标为(0，n )，∴点D 的坐标是(0，m ＋n 2)，即BC ＝PC ＝m ＋n 2. 在Rt △BCD 中，BC ＝m ＋n 2，BD ＝m －n 2， 则CD ＝BC 2－BD 2＝mn ，则OP ＝CD ＝mn ，故点P 的坐标是(mn ，0)．。

2023-2024学年北京市人大附中丰台校区九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列四个图形中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是()A. B.C.D.3.如图，圆心角，则的度数是()A. B. C. D.4.利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案.如图2中的图案是由图1所示的基本图案以点O 为旋转中心，顺时针或逆时针旋转角度，依次旋转五次而组成，则旋转角的值不可能是()A. B.C. D.5.已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是()A.B.C.D.6.如图，AB是的一条弦，点C是上一动点，且，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与交于G，H两点，若的半径是4，则的最大值是()A.5B.6C.7D.87.抛物线上，部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：x……0123……y……11……则下列结论正确的有()①；②；③抛物线的对称轴为直线；④方程的两个根满足，A.1个B.2个C.3个D.4个8.下面三个问题中都有两个变量y与x：①小清去香山观赏红叶，他登顶所用的时间与平均速度；②用绳子围成周长为10m的矩形，矩形的一边长x m与它的面积；③正方形边框的边长x cm与面积；其中，变量y与x之间的函数关系不考虑自变量取值范围可用如图所示的函数图象表示的有()A.①B.②C.③D.②③二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

9.方程的解是______.10.一个扇形的弧长为，半径为6，则此扇形的圆心角度数为______，此扇形的面积为______.11.如图，AB是半径为4的的弦，于点C，交于点D，若，则弦AB为______.12.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______.13.写出一个函数值有最大值，且最大值是2的二次函数解析式______.14.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是，，是的外接圆，则点M的坐标为______.15.《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一.书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆半径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾短直角边长为5步，股长直角边长为12步，问该直角三角形能容纳的圆内切圆的半径是多少步？”根据题意，该直角三角形内切圆的半径为______步.16.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点、，的半径为为坐标原点，点P在直线AB上，过点P作的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为______.三、计算题：本大题共1小题，共5分。

2019-2020学年度第一学期初三年级数学练习1 2019.8一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1、二次函数2(1)3y x =−− 的图象的顶点坐标是（ ） A 、（1,3） B 、（1，-3） C 、（-1,3） D 、（-1，-3） 2、一次函数53y x =−+的图象不经过的象限是（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、（第四象限3、如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 的中点，DF ⊥AE,与AB 交于点F ，则DF 的长为（ ）A 、5B 、6C 、22D 、3 4、下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）A 、220x += B 、21)0x −=（ C 、2+210x x −= D 、2++50x x =5、在十三届全国人大一次会议记者会上，中国科技部部长表示，2017年我国新能源汽车保有量已居于世界前列，2015年和2017年我国新能源汽车保有量如图所示，设我国2015至2017年新能源汽车保有量年平均增长率为x,依题意，可列方程为：（ ）A 、45.112)172.9x −=（ B 、45.11+2)172.9x =（ C 、245.11)172.9x −=（ D 、245.11+)172.9x =（6、要判断一个四边形是否为矩形，下面是4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ） A 、测量两组对边是否分别相等 B 、测量两条对角线是否互相垂直平分 C 、测量其中三个内角是否都为直角D 、测量两条对角线是否相等7、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如右图所示，以下结论正确的是（ ）A 、0a > ，函数值y 有最大值；B 、该函数的图象关于直线x=1对称；C 、当y=-2时，自变量x 的值等于0；D 、当x=-3和x=1时函数值y 都等于0.8、运算能力是一项重要的数学能力，王老师为帮助学生诊断和改进运算中的问题，对全班学生进行了三次运算测试，下面的气泡图中，描述了其中5位同学的测试成绩（气泡圆的圆心横、纵坐标分别表示第一次和第二次测试成绩，气泡的大小表示三次成绩的平均分的高低，气泡越大平均分越高。