北京市人大附中九年级数学家庭限时练习9PDF无答案

2021-2022学年北京人大附中本部九年级（上）限时练习数学试卷（3）一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．抛物线y＝﹣2x2﹣5的开口方向和顶点坐标分别是（）A．向上，（0，5）B．向上，（0，﹣5）C．向下，（0，﹣5）D．向下，（0，5）3．函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关于该函数说法中正确的是（）A．b＜0B．a+b+c＝0C．c＞0D．b2﹣4ac＜04．雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，因此雷达被称为“无线电定位”，现有一款监测半径为5km的雷达，监测点的分布情况如图，如果将雷达装置设在P点，每一个小格的边长为1km，那么能被雷达监测到的最远点为（）A．M点B．H点C．G点D．N点5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF为等边三角形，AB＝DE，点B，C，D在x轴上，点A，E，F在y轴上，下面判断正确的是（）A．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的B．△DEF是△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的C．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的D．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转120°得到的6．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝65°．在同一平面内，将△ABC绕点C旋转到△A′B′C，若B′恰好落在线段AB上，连接AA′，则下列说法中错误的是（）A．∠B'A'C＝25°B．AC＝AA′C．∠ACA′＝50°D．AB⊥AA′7．如图，⊙O中直径AB⊥DG于点C，点D是弧EB的中点，CD与BE交于点F．下列结论：①∠A＝∠E，②∠ADB＝90°，③FB＝FD中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．38．如图，AB是⊙O的一条弦，C为AB中点，射线OC交⊙O于点D，连接OA，若AB＝4，CD＝1，则⊙O的半径为（）A．B．C．5D．39．如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB 上移动．若点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）A．﹣1B．﹣3C．﹣5D．﹣710．如图，在平面直角坐标系xOy中，以（3，0）为圆心作⊙P，⊙P与x轴交于A、B，与y轴交于点C（0，2），Q为⊙P上不同于A、B的任意一点，连接QA、QB，过P点分别作PE⊥QA于E，PF⊥QB于F．设点Q的横坐标为x，PE2+PF2＝y．当Q点在⊙P上顺时针从点A运动到点B的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的部分图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共27分，每小题3分）11．若关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是．12．抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为．13．若点（﹣1，5），（﹣3，5）是抛物线y＝x2+bx+c（a≠0）上的两个点，则b＝．14．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，如果∠AOB＝150°，那么∠ACB的度数为．15．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案，这个图案绕点O至少旋转度后能与原来的图案互相重合．16．如图，以AC为斜边在AC的两侧作Rt△ABC和Rt△ADC，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BCD＝45°，BD＝4，则AC的长度为．17．已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P与⊙O 的位置关系为．18．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，P A⊥PB，且P A、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为．19．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为上一点，若PB＝1，P A＝2，则PD的长是．三、解答题（本题共43分，第21题每小题5分，20，22，23每题5分，24-26每题6分）20．下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．已知射线AB；求作：∠P AB，使得∠P AB＝30°．作法如图①在射线AB上取一点O以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C；②以C为圆心OC为半径作弧，与⊙O交于点P，作射线AP，所以∠P AB即为所求的角；根据上述的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规在答题纸上补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面证明证明：连接PO、PC，在⊙O和⊙C中，∵OP＝OC＝．∴△POC是等边三角形（）（填推理的依据）．∴∠POC＝60°（）（填推理的依据）．∵＝．∴∠P AB＝∠POB＝30°（）（填推理的依据）．21．解下列一元二次方程：（1）x2+3x+2＝0；（2）2x2﹣2x﹣1＝0．22．已知m是方程15x2﹣3x﹣1＝0的根，求代数式（3m+2）（3m﹣2）+m（m﹣2）的值．23．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点O作OD⊥BC交BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m的顶点为A．（1）当m＝1时，直接写出抛物线的对称轴；（2）若点A在第一象限，且OA＝，求抛物线的解析式；（3）已知点B（m﹣，m+1），C（2，2），若抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．25．如图①，在等腰直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝3，在边AB上取一点D（点D 不与点A，B重合），在边AC上取一点E，使AE＝AD，连接DE．把△ADE绕点A逆时针方向旋转α（0°＜α＜360°），如图②．（1）请你在图②中，连接CE和BD，判断线段CE和BD的数量关系；（2）请你在图③中，画出当α＝45°时的图形，连接CE和BE，求出此时△CBE的面积；（3）若AD＝，点M是CD的中点，在△ADE绕点A逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段AM的最大值：．26．在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC，点P在BC边的垂直平分线上，若以点P为圆心，PB为半径的⊙P与△ABC三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P为△ABC关于边BC的“Math点”．如图所示，点P即为△ABC关于边BC的“Math点”．已知点P （0，4），Q（a，0）．（1）当a＝4时，在点A（1，0）、B（2，2）、C（2，2）、D（5，5）中，△POQ 关于边PQ的“Math点”为．（2）当a＝4时，①已知D（0，8），点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，请直接写出线段DE的长度的取值范围；②将△POQ绕原点O旋转一周，直线y＝﹣x+b交x轴、y轴于点M、N，若线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，直接写出b的取值范围.。

2021-2022学年北京人大附中分校九年级（下）限时练习数学试卷（4）1.冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届.第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办.下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为()A. B.C. D.2.据《央视网》2021年10月26日报道，我国成功研制出超导量子计算原型机“祖冲之二号”.截至报道时，根据已公开的最优经典算法，在处理“量子随机线路取样”问题时，全球其他最快的超级计算机用时2.3秒的计算量，“祖冲之二号”用时大约为0.00000023秒，将数字0.00000023用科学记数法表示应为()A. 2.3×10−6B. 2.3×10−7C. 0.23×10−6D. 23×10−83.小明想在2个“冰墩墩”和1个“雪容融”里随机选取两个吉祥物作为冬奥会纪念品，小明选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”的概率是()A. 12B. 13C. 23D. 164.大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验.并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”.如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是()A. 3cmB. 4cmC. 6cmD. 9cm5.如图，∠α的顶点位于正方形网格的格点上，若tanα=23，则满足条件的∠α是()A. B.C. D.6.尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；③连结OG．问：OG的长是多少？大臣给出的正确答案应是()A. √3rB. (1+√22)r C. (1+√32)r D. √2r7.在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”.对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大，收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是()A. P→A→QB. P→B→QC. P→C→QD. P→D→Q8.如图，在甲，乙两个十字路口各方向均设有人行横道和交通信号灯，小宇在甲路口西南角的A处，需要步行到对于乙路口东北角B处附近的餐馆用餐，已知两路口人行横道交通信号灯的切换时间与小宇的步行时间如下表所示：人行横道交通信号灯的切换时间小宇的步行时间甲路口每1min沿人行横道穿过一条马路0.5min乙路口每2min在甲、乙两路口之间(CD段)5min 假定人行横道的交通信号灯只有红、绿两种，且在任意时刻，同一十字路口东西向和南北向的交通信号灯颜色不同，行人步行转弯的时间可以忽略不计．若小宇在A处时，甲、乙两路口人行横道东西向的交通信号灯均恰好转为红灯，小宇从A处到达B 处所用的最短时间为()A. 6.5minB. 7minC. 8minD. 9min在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．9.若√1−xx2+310.如图是由哪个立体图形展开得到的______．11.如图1是我们经常看到的一种折叠桌子，它是由下面的支架AD，BC与桌面构成如图2，已知OA=OB=OC=OD=20√3cm，∠COD=60°，则点A到地面(CD所在的平面)的距离是______cm．12.斛是中国古代的一种量器．据《汉书⋅律历志》记载：“斛底，方而圜(ℎuán)其外，旁有庣(tiāo)焉．”意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆．”如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸(即2.5尺)，“庣旁”为两寸五分(即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺)，则此斛底面的正方形的边长为______尺．(k≠0)的图象有两个交点，则13.在同一平面直角坐标系xOy中，若函数y=x与y=kxk的取值范围是______．14.为了疫情防控工作的需要，枣庄某学校在学校门口的大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，学校大门高ME=7.5米，学生身高BD=1.5米，当学生准备进入识别区域时，在点B时测得摄像头M的仰角为30°，当学生刚好离开识别区域时，在点A 时测得摄像头M的仰角为60°，则体温监测有效识别区域AB的长是______.(结果保留根号)15.小明烘焙了几款不同口味的饼干，分别装在同款的圆柱形盒子中，为区别口味，他打算制作“∗∗饼干”字样的矩形标签粘贴在盒子侧面．为了获得较好的视觉效果，粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角为90°(如图).已知该款圆柱形盒子底面半径为6cm，则标签长度l应为______cm.(π取3.1)16.为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某学校初一(9)班举办了“古诗词”大赛，现有小恩、小地、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名(没有并列)，对应名次的得分都分别为a ，b ，c(a >b >c 且a ，b ，c 均为正整数).选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，根据题中所给信息，小奕同学第三轮的得分为______分．第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 最后得分 小恩 aa27 小地 abc 11 小奕cb1017.计算：(13)−1+√18+|−2|−6sin45°．18. 解不等式组{3(x −1)<5x +1x−12≥2x −4，并求它的整数解．19. 如果a 2+3a +1=0，求代数式(a 2+9a+6)⋅2a 2a+3的值．20. 下面是小晗同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．已知：在△ABC 中，AB =BC ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D.求作：∠BPC ，使∠BPC =∠BAC ． 作法：①分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧交于点E 和点F ，连接EF 交BD 于点O ；②以点O 为圆心，OB 的长为半径作⊙O；③在劣弧AB上任取一点P(不与点A、B重合)连接BP和CP.所以∠BPC=∠BAC.根据小玟设计的尺规作图过程．(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：连接OA、OC.∵AB=BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC且AD=CD，(______)(填推理的依据)．∴OA=OC．∵EF是线段BC的垂直平分线，∴OB=______.(______)∴OB=OA.⊙O为△ABC的外接圆．∵点P在⊙O上，∴∠BPC=∠BAC(______)(填推理的依据)．21.已知关于x的一元二次方程x2−2ax+a2−1=0．(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；(2)若该方程的两个根均为负数，求a的取值范围．22.如图，一次函数y1=−x+2的图象与反比例函数y2=k的图象相交于A，B两点，点B的坐标为x(2m,−m)．(1)求出m值并确定反比例函数的表达式；(2)请直接写出当x<m时，y2的取值范围．23.如图，在△ABC中，D为AB边上一点、F为AC的中点，过点C作CE//AB交DF的延长线于点E，连结AE．(1)求证：四边形ADCE为平行四边形．(2)若EF=2√2，∠FCD=30°，∠AED=45°，求DC的长．24.如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若sinC=4，AC=6，求⊙O的直径．525.为了解两种分别含有甲、乙离子的待检药物在实验白鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只白鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组白鼠给服甲离子溶液，B组白鼠给服乙离子溶液．每只白鼠给服的溶液体积与浓度均相同，经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在白鼠体内离子的百分比．按离子残留百分比数据分段整理，描述这两组样本原始数据如表：～A2表示实验数据的范围为121若记A为事件：“乙离子残留在实验白鼠体内的百分比不低于5.5”，根据实验数据得到P(A)的估计值为0.70．(1)a=______；b=______．(2)实验室常用同一组中的数据用该组区间的中点值为代表来估计数据的平均值，如对甲离子残留百分比的平均值估计如下：(3×0.01)+(4×0.08)+(5×0.27)+ (6×0.30)+(7×0.22)+(8×0.12)=6.00，用上述方法估计乙离子残留百分比的平均值；(3)甲、乙离子如残留体内会对生物体产生一定不良副作用，对原始数据进一步分析得到两组数据的中位数、众数、方差如表所示，请根据数据分析两种待检药物哪种相对更安全？请说明理由．26.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=−x2+2mx−m2+4．(1)将y=−x2+2mx−m2+4写成y=a(x−ℎ)2+k的形式为______；(2)当−1≤x≤2时，求y=−x2+2mx−m2+4的最大值；(3)已知A(m−1,y1)，B(3,y2)是抛物线y=−x2+2mx−m2+4上两点．①若m=0，比较y1，y2的大小，并说明理由；②若y1<y2，求m的取值范围．27.在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，点D为线段AC上一点，将线段BD绕点B逆时针旋转90°，得到线段BE，连接DE．(1)①请补全图形；②写出CD，AD，ED之间的数量关系，并证明；(2)取AD中点F，连接BF、CE，猜想CE与BF的位置关系与数量关系，并证明．28.对于平面直角坐标系内的点P和点Q，若点Q能绕着点P旋转α°之后(0<α<180)，落在y轴上，则称Q是P的转换点．(1)已知点A(2,1)．①如图，在B1(4,2)，B2(3,0)，B3(2,−2)中，是A的转换点的是______；②M(3,m)是点A的转换点，则m的取值范围是______；(2)已知直线y=34x+32上所有点都是N(t,0)的转换点，直接写出t的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；D、是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】B【解析】解：0.00000023=2.3×10−7．故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．3.【答案】C【解析】解：根据题意画图如下：共有6种等可能的情况数，其中选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”的有4种，则小明选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”额概率是46=23．故选：C．画树状图，共有6种等可能的结果，小明选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”结果有4种，再由概率公式求解即可此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4.【答案】B【解析】解：设蜡烛火焰的高度是x cm，由相似三角形的性质得到：1015=x6．解得x=4．即蜡烛火焰的高度是4cm．故选：B．直接利用相似三角形的对应边成比例解答．本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．5.【答案】B【解析】解：A.观察图形可得tanα=32，不符合题意；B.观察图形可得tanα=23，符合题意；C.观察图形可得tanα=12，不符合题意；D.观察图形可得tanα=13，不符合题意．故选：B．根据正切的定义分别求出每个图形中的α的正切值可得答案．本题考查解直角三角形知识，熟练掌握锐角三角函数的定义并能在解直角三角形中的灵活应用是解题的关键．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查作图−复杂作图，正多边形与圆的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中档题．如图连接CD，AC，DG，AG，在直角三角形即可解决问题．【解答】解：如图连接CD，AC，DG，AG．∵AD是⊙O直径，∴∠ACD=90°，在Rt△ACD中，AD=2r，∠DAC=30°，∴AC=√3r，∵DG=AG=CA，OD=OA，∴OG⊥AD，∴∠GOA=90°，∴OG=√AC2−OA2=√(√3r)2−r2=√2r，故选：D．7.【答案】B【解析】解：B，D两点，横坐标相同，而D点的纵坐标大于B点的纵坐标，显然，B点上升阶段的水平距离长；A，B两点，纵坐标相同，而A点的横坐标小于B点的横坐标，等经过A点的篮球运行到与B点横坐标相同时，显然在B点上方，故B点上升阶段的水平距离长；同理可知C点路线优于A点路线，综上：P→B→Q是被“盖帽”的可能性最大的线路．故选：B．分类讨论投篮线路经过A，B，C，D四个点时篮球上升阶段的水平距离求解．本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是理解题意，通过分类讨论求解．8.【答案】B【解析】解：由已知得：0.5+0.5+0.5+5+0.5=7(min)故选：B．(1)甲路口出发向北走0.5min(2)等红灯0.5min(3)向东走0.5min(4)走过CD5min(5)乙路口向东走0.5min本题考查有理数的加法运算．9.【答案】x ≤1【解析】解：由题意可得{1−x ≥0x 2+3≠0， 解得：x ≤1，故答案为：x ≤1．根据二次根式和分式有意义的条件列不等式组求解．本题考查二次根式和分式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件(被开方数为非负数)，分式有意义的条件(分母不能为零)是解题关键．10.【答案】三棱柱【解析】解：如图，是三棱柱的展开图，故答案为：三棱柱．根据三棱柱的特征进行分析解答．本题考查几何体的展开图，理解三棱柱的特征是解题关键．11.【答案】60【解析】解：连接CD ，过点A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，∵OC =OD ，∠COD =60°，∴△COD 是等边三角形，∴∠ODC =60°，在Rt △AED 中，AD =OA +OD =40√3cm ，∴AE =ADsin60°=40√3×√32=60(cm)，∴点A 到地面(CD 所在的平面)的距离是60cm ，故答案为：60．连接CD ，过点A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，先证明△COD 是等边三角形，从而求出∠ODC =60°，然后在Rt △AED 中，利用锐角三角函数进行计算即可解答．本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．12.【答案】√2【解析】解：如图，∵四边形CDEF为正方形，∴∠D=90°，CD=DE，∴CE为直径，∠ECD=45°，由题意得AB=2.5，∴CE=2.5−0.25×2=2，∴CD=√22CE=√2．故答案为：√2．根据正方形性质确定△CDE为等腰直角三角形，CE为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径CE，求出CD，问题得解．本题考查了正方形外接圆的性质，等腰直角三角形性质，解题关键是判断出正方形对角线为其外接圆直径．13.【答案】k>0【解析】解：联立两解析式得：{y=x y=kx，消去y得：x2−k=0，∵两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点，∴△=b2−4ac=4k>0，即k>0．故k的取值范围是k>0．故答案为：k>0．联立两函数解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，由两函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点得到根的判别式大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解本题的关键．14.【答案】4√3米【解析】解：根据题意可知：四边形EFCA和ABDC是矩形，ME=7.5米，∴CA=EF=BD=1.5米，CD=AB，设FC=x，在Rt△MFC中，∵∠MCF=60°，∴∠FMC=30°，∴MC=2FC=2x，MF=√3x，∵∠MDC=30°，∴∠CMD=60°−30°=30°，∴CD=CM=2x，∵ME=MF+EF，∴√3x+1.5=7.5，解得：x=2√3，∴MC=2x=4√3(米)，答：体温监测有效识别区域AB的长为4√3米．故答案为：4√3米．首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识是解答此题的关键．15.【答案】9.3=3π=9.3(cm)，【解析】解：标签长度l=90⋅π⋅6180故答案为：9.3．利用弧长公式求解即可．．本题考查弧长的计算，解题的关键是记住弧长公式l=nπr18016.【答案】2【解析】解：由题意可得：(a+b+c)×6=27+11+10=48，∴a+b+c=8，∵a，b，c均为正整数，若每轮比赛第一名得分a为4，则最后得分最高的为4×6=24<27，∴a必大于4，又∵a>b>c，∴b+c最小取3，∴4<a<6，∴a=5，b=2，c=1，∴小恩同学最后得分27分，他5轮第一，1轮第二；小地同学最后得分11分，他1轮第一，1轮第二，4轮第三；又∵表格中第二轮比赛，小地第一，小奕第三，∴第二轮比赛中小恩第二，∴第三轮中小恩第一，小地第三，小奕第二，∴小奕的第三轮比赛得2分，故答案为：2．根据三维同学的最后得分情况列出关于a，b，c的等量关系式，然后结合a>b>c且a，b，c均为正整数确定a，b，c的值，从而确定小奕同学第三轮的得分．本题考查方程的解逻辑推理能力，理解题意，分析数据间的等量关系，抓住第二轮比赛情况是解题关键．17.【答案】解：原式=3+3√2+2−6×√22=3+3√2+2−3√2=5．【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18.【答案】解：{3(x−1)<5x+1 ①x−12≥2x−4 ②，由①得：x>−2，由②得：x≤73，∴不等式组的解为−2<x≤73，∴其整数解为：x=−1，0，1，2．【解析】首先计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．19.【答案】解：原式=(a2+9a +6aa)⋅2a2a+3=a2+6a+9a ⋅2a2 a+3=(a+3)2a ⋅2a2 a+3=2a(a+3)=2a2+6a．∵a2+3a+1=0，∴a2+3a=−1，∴原式=2×(−1)=−2．【解析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据a2+3a+1=0，即可求得所求式子的值．本题考查分式的化简求值，解题关键是明确分式化简求值的方法．20.【答案】等腰三角形的性质OC线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)同弧所对的圆周角相等【解析】(1)解：如图，(2)怎么：连接OA、OC，∵AB=BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC且AD=CD，(等腰三角形的性质)∴OA=OC．∵EF是线段BC的垂直平分线，∴OB=OC.(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)∴OB=OA.⊙O为△ABC的外接圆．∵点P在⊙O上，∴∠BPC=∠BAC(同弧所对的圆周角相等)．故答案为：等腰三角形的性质；OC，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；同弧所对的圆周角相等．(1)根据几何语言画出对应的几何图形即可；(2)先根据等腰三角形的性质得到BD⊥AC且AD=CD，再根据线段垂直平分线的性质得到OA=OC，OB=OC，所以OB=OA.则⊙O为△ABC的外接圆，然后根据圆周角定理得到∠BPC=∠BAC．本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质和圆周角定理．21.【答案】(1)证明：依题意，得Δ=(−2a)2−4(a2−1)=4a2−4a2+4=4，∵Δ>0，∴该方程总有两个不相等的实数根；(2)解：解方程x2−2ax+a2−1=0，得x1=a−1，x2=a+1，∵方程的两个根均为负数，∴{a−1<0,a+1<0.解得a<−1．【解析】(1)求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△≥0，根据判别式的意义即可证明；(2)根据题意得不等式组，解不等式组求得a的取值范围即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，用到的知识点：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．22.【答案】解：(1)∵据题意，点B的坐标为(2m,−m)且在一次函数y1=−x+2的图象上，代入得−m=−2m+2．∴m=2．∴B点坐标为(4,−2)，把B(4,−2)代入y2=k得k=4×(−2)=−8，x∴反比例函数表达式为y2=−8；x(2)当0<x<2时，y2的取值范围是y2<−4，当x<0时，y2>0．【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．(1)把B的坐标代入y1=−x+2求得m的值，得出B(4,−2)，再代入入y2=k即可求得k的x值；(2)根据图象即可求得．23.【答案】(1)证明：∵CE//AB ，∴∠DAF =∠ECF ，∵F 为AC 的中点，∴AF =CF ，在△DAF 和△ECF 中{∠DAF =∠ECFAF =CF ∠AFD =∠CFE，∴△DAF≌△ECF(ASA)，∴AD =CE ．∵CE//AB ，∴四边形ADCE 为平行四边形．(2)作FH ⊥DC 于点H ，∵四边形ADCE 为平行四边形，∴AE//DC ，DF =EF =2√2， ∴∠FDC =∠AED =45°．在Rt △DFH 中，∠DHF =90°，DF =2√2，∠FDC =45°，∴sin∠FDC =FHDF =√22，得FH =2，tan∠FDC =HFHD =1，得DH =2．在Rt △CFH 中，∠FHC =90°，FH =2，∠FCD =30°，∴FC =2FH =4． 由勾股定理，得HC =√CF 2−FH 2=√42−22=2√3．∴DC =DH +HC =2+2√3．【解析】本题是平行四边形的判定方法，勾股定理和全等三角形的判定的综合应用，正确作出辅助线是关键．(1)首先证明△DAF≌△ECF ，则AD =CE ，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得；(2)作FH ⊥DC 于点H ，在Rt △DFH 中利用三角函数求得FH 的长，在Rt △CFH 中利用勾股定理即可求解．24.【答案】(1)证明：∵AB =AC ，AD =DC ，∴∠C =∠B ，∠1=∠C ，∴∠1=∠B ，又∵∠E =∠B ，∴∠1=∠E ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ADE =90°，∴∠E+∠EAD=90°，∴∠1+∠EAD=90°，即∠EAC=90°，∴AE⊥AC，∴AC是⊙O的切线；(2)解：过点D作DF⊥AC于点F，如图，∵DA=DC，∴CF=12AC=3，在Rt△CDF中，∵sinC=DFDC =45，设DF=4x，DC=5x，∴CF=√CD2−DF2=3x，∴3x=3，解得x=1，∴DC=5，∴AD=5，∵∠ADE=∠DFC=90°，∠E=∠C，∴△ADE∽△DFC，∴AEDC =ADDF，即AE5=54，解得AE=254，即⊙O的直径为254．【解析】(1)根据等腰三角形的性质，由AB=AC，AD=DC得∠C=∠B，∠1=∠C，则∠1=∠B，根据圆周角定理得∠E=∠B，∠ADE=90°，所以∠1+∠EAD=90°，然后根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线；(2)过点D作DF⊥AC于点F，如图，根据等腰三角形的性质得CF=12AC=3，在Rt△CDF中，利用正弦定义得sinC=DFDC =45，则设DF=4x，DC=5x，利用勾股定理得CF=3x，所以3x=3，解得x=1，于是得到DC=AD=5，然后证明△ADE∽△DFC，再利用相似比可计算AE即可．本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．25.【答案】1035【解析】解：(1)根据题意知，b100+0.2+0.15=0.7，0.05+a100+0.15=0.3，解得a=10，b=35，故答案为：10、35；(2)估计乙离子残留百分比的平均值为(3×0.05)+(4×0.10)+(5×0.15)+(6×0.35)+(7×0.20)+(8×0.15)=6.00；(3)甲离子溶液待检药物相对更安全，理由：服用甲、乙离子溶液残留百分比的平均值相同，但服用甲离子溶液残留的中位数和方差均小于乙种溶液，即服用甲离子溶液残留的百分比超过5.9的少于乙溶液，且百分比稳定．(1)根据P(A)的估计值为0.70得出b100+0.2+0.15=0.7，0.05+a100+0.15=0.3，解之可得答案；(2)分别用组中值乘以对应频率，再相加即可；(3)在残留百分比的平均值相同的前提下，比较中位数和方差即可得出答案．本题主要考查方差，解题的关键是掌握频率、加权平均数的定义及中位数和方差的意义．26.【答案】y=−(x−m)2+4【解析】解：(1)y=−x2+2mx−m2+4=−(x2−2mx+m2)+4=−(x−m)2+4，故答案为：y=−(x−m)2+4；(2)y=−(x−m)2+4−1≤x≤2时抛物线开向下，对称轴为x=m．①m<−1时，当x=−1时，y最大=−(−1−m)2+4=−(m+1)2+4．②m=−1时，y最大=4．③−1<m<2时，在顶点处取得最大值，y最大=4．④m=2时，y最大=4．⑤m>2时，当x=2时，y最大=−(2−m)2+4=−(m−2)2+4．给上所述，当m<−1时，y最大=−(m+1)2+4．当−1≤m≤2时，y最大=4．当m>2时，y最大=−(m−2)2+4．(3)①y1>y2，理由如下：若m=0，则对称轴是y轴，∵A(−1,y1)，B(3,y2)，∴B到y轴的距离大于A到y轴的距离．∵a<0，∴y1>y2．②y1=−(m−1−m)2+4=−1+4=3．y2=−(3−m)2+4=−m2+6m−5．∵y1<y2∴3<−m2+6m−5m2−6m+8<0(m−2)(m−4)<0∴2<m<4．(1)利用配方法化简即可．(2)根据对称轴m在x的取值范围的哪一侧即可求出最值．(3)①m=0代入到抛物线的解析式和A点中，根据x离对称轴的远近，就可以得到y的大小．②把两个点的横坐标代入到抛物线的解析式得到y1、y2的解析式，解不等式即可求得．本题考查了二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．27.【答案】解：(1)①补全图形如下：②CD，AD，ED之间的数量关系是CD2+AD2=DE2，证明如下：连接AE，如图：∵∠ABC=90°，BA=BC，∴∠C=∠BAC=45°，∵线段BD绕点B逆时针旋转90°，得到线段BE，∴∠ABE=90°−∠ABD=∠CBD，BE=BD，在△ABE和△CBD中，{AB=BC∠ABE=∠CBD BE=BD，∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴∠BAE=∠C=45°，AE=CD，∴∠EAD=∠EAB+∠BAC=90°，∴AE2+AD2=DE2，∵AE=CD，∴CD2+AD2=DE2；(3)CE=2BF，CE⊥BF，证明如下：设BF交CE于H，延长BF至G，使FG=BF，连接AG，如图：∵F是AD中点，∴AF=DF，∵FG=BF，∠AFG=∠DFB，∴△AFG≌△DFB(SAS)，∴∠GAF=∠FDB，AG=BD，∵BD=BE，∴AG=BE，∵∠FDB=∠DBC+∠DCB=∠DBC+45°，∴∠GAF=∠DBC+45°，∴∠GAB=∠GAF+∠BAC=∠DBC+45°+45°=∠DBC+90°，∵∠CBE=∠DBC+∠DBE=∠DBC+90°，∴∠GAB=∠CBE，∵AB=BC，∴△GAB≌△EBC(SAS)，∴BG=CE，∠ABG=∠BCE，∵BG=2BF，∴CE=2BF，∵∠ABG+∠GBC=90°，∴∠BCE+∠GBC=90°，∴∠BHC=90°，∴CE⊥BF．【解析】(1)①根据题意补全图形即可；②连接AE，根据∠ABC=90°，BA=BC，得∠C=∠BAC=45°，由线段BD绕点B逆时针旋转90°，得到线段BE，可得∠ABE=90°−∠ABD=∠CBD，BE=BD，即可得△ABE≌△CBD(SAS)，有∠BAE=∠C=45°，AE=CD，故∠EAD=∠EAB+∠BAC=90°，可得AE2+AD2=DE2，从而CD2+AD2=DE2；(3)设BF交CE于H，延长BF至G，使FG=BF，连接AG，根据F是AD中点，可证明△AFG≌△DFB(SAS)，得∠GAF=∠FDB，AG=BD，可得AG=BE，∠GAB=∠DBC+90°，又∠CBE=∠DBC+∠DBE=∠DBC+90°，得∠GAB=∠CBE，知△GAB≌△EBC(SAS)，故BG=CE，∠ABG=∠BCE，从而CE=2BF，可证CE⊥BF．本题考查等腰直角三角形中的旋转问题，涉及勾股定理、角的和差等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．28.【答案】B1，B3m≥1+√3或m≤1−√3【解析】解：(1)①AB1=√5，AB2=√2，AB3=3．AB1>2，AB2<2，AB3>2．∴A的转换点的是B1，B3．②如图，点M轨迹为直线x=3．AM=√AC2+CM2=√(3−2)2+(m−1)2．当AM=2时解得m=1±√3．∴m≥1+√3或m≤1−√3．(2)如图，作NM⊥直线y=34x+32于点M.直线交x轴y轴于点H，K．∴0H =2，OK =32，HK =52．∴sin∠KHO =OK KH =MN HN =35． 即MN =35HN =35|t +2|．由题意得N 到直线距离≥N 到y 轴距离，即35|t +2|≥|t|，①t ≥0时，0≤t ≤3．②−2<t <0时，−34≤t <0．③t ≤−2时无解．故答案为：−34≤t ≤3．(1)求出点与点距离进行比较．(2)构造直角三角形，通过相似求线段长度，再通过不等式求解．本题考查一次函数综合应用，解题关键是理解题意，数形结合通过构造线段长度作差求解．。

2019-2020学年北京人大附中九年级（下）限时练习数学试卷（4）一．选择题（共8小题）1．已知二次函数y＝x2﹣4x+5的顶点坐标为（）A．（2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，1）2．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≠3B．x＞且x≠3C．x≥2D．x≥且x≠3 3．如果点A（1，m）与点B（3，n）都在直线y＝﹣2x+1上，那么m与n的关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不能确定4．从长度分别是2，3，4的三条线段中随机抽出一条，与长为1，3的两条线段首尾顺次相接，能构成三角形的概率是（）A．1B．C．D．05．将代数式x2﹣10x+5配方后，发现它的最小值为（）A．﹣30B．﹣20C．﹣5D．06．《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，物品价格为y钱，可列方程组为（）A．B．C．D．7．函数y＝k（x﹣k）（k＜0）的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．小雨利用几何画板探究函数y＝图象，在他输入一组a，b，c的值之后，得到了如图所示的函数图象，根据学习函数的经验，可以判断，小雨输入的参数值满足（）A．a＞0，b＞0，c＝0B．a＜0，b＞0，c＝0C．a＞0，b＝0，c＝0D．a＜0，b＝0，c＞0二．填空题（共8小题）9．分解因式：4x2﹣8x+4＝．10．在平面直角坐标系中，点P（m，m﹣2）在第三象限内，则m的取值范围是．11．写出一个函数，满足当x＞0时，y随x的增大而减小且图象过（1，3），则这个函数的表达式为．12．已知反比例函数y＝的图象上两点A（x1，y1），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m 的取值范围是．13．已知二次函数y＝ax2+8x﹣7的图象和x轴有交点，则a的取值范围是．14．将直线L1：y＝2x+3沿y轴向下平移5个单位的到L2，则L1与L2的距离为．15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，若|ax2+bx+c|＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．16．如图，正方形ABCD的边长是3，P，Q分别在AB，BC的延长线上，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与CD，BC交于点F，E，连接AE．下列结论：①AQ⊥DP②OA2＝OE•OP③S△AOD＝S四边形OECF④当BP＝1时，tan∠OAE＝其中正确结论的序号是．三．解答题（共8小题）17．计算：．18．已知x2+4x+1＝0，求代数式（x﹣1）2﹣2x（x+1）+7的值．19．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB⊥x轴，垂足为A．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，交AB于点D．已知AB＝4，BC＝．（1）若OA＝4，求k的值；（2）连接OC，若BD＝BC，求OC的长．20．为了促进旅游业的发展，某市新建一座景观桥．桥的拱肋ADB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB 为40米，桥拱的最大高度CD为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），求与CD的距离为5米的景观灯杆MN的高度．21．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于点E，交BC于点F，连接DF．（1）求证：DF＝2CE；（2）若BC＝3，sin B＝，求线段BF的长．22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6的对称轴是x＝2．（1）求抛物线表达式和顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A，求点A的坐标；（3）抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6与y轴交于点C，点A关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B，两条抛物线在点A、C和点A、B之间的部分（包含点A、B、C）记为图象M．将直线y＝2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位，在平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，请你写出b的取值范围．23．如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连结AE．（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM．①求∠CAM的度数；②当FH＝，DM＝4时，求DH的长．24．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙M，给出如下定义：若⊙M上存在两个点A，B，使AB＝2PM，则称点P为⊙M的“美好点”．（1）当⊙M半径为2，点M和点O重合时．①点P1（﹣2，0），P2（1，1），P3（2，2）中，⊙O的“美好点”是；②若直线y＝2x+b上存在点P为⊙O的“美好点”，求b的取值范围；（2）点M为直线y＝4上一动点，以2为半径作⊙M，点P为直线y＝x上一动点，点P 为⊙M的“美好点”，求点M的横坐标m的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．已知二次函数y＝x2﹣4x+5的顶点坐标为（）A．（2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，1）【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标，本题得以解决．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，∴该函数的顶点坐标为（2，1），故选：A．2．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≠3B．x＞且x≠3C．x≥2D．x≥且x≠3【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得，2x﹣1≥0，x﹣3≠0，解得x，且x≠3，故选：D．3．如果点A（1，m）与点B（3，n）都在直线y＝﹣2x+1上，那么m与n的关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不能确定【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据1＜3即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+1中，k＝﹣2＜0，∴y随着x的增大而减小．∵点A（1，m）与点B（3，n）都在直线y＝﹣2x+1上，1＜3，∴m＞n．故选：A．4．从长度分别是2，3，4的三条线段中随机抽出一条，与长为1，3的两条线段首尾顺次相接，能构成三角形的概率是（）A．1B．C．D．0【分析】先写出3种等可能的结果数，然后根据三角形三边的关系确定三条线段能构成三角形的结果数，再根据概率公式求解．【解答】解：共有3种等可能的结果数，它们是：2、1、3，3、1、3，4、1、3，其中三条线段能构成三角形的结果数为1，所以三条线段能构成三角形的概率＝．故选：C．5．将代数式x2﹣10x+5配方后，发现它的最小值为（）A．﹣30B．﹣20C．﹣5D．0【分析】原式利用完全平方公式配方后，确定出最小值即可．【解答】解：x2﹣10x+5＝x2﹣10x+25﹣20＝（x﹣5）2﹣20，当x＝5时，代数式的最小值为﹣20，故选：B．6．《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，物品价格为y钱，可列方程组为（）A．B．C．D．【分析】根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，，故选：A．7．函数y＝k（x﹣k）（k＜0）的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据k＜0来推测函数y＝k（x﹣k）（k＜0 ）的图象不经过的象限．【解答】解：y＝k（x﹣k）（k＜0 ）可变形为：y＝kx﹣k2，∵k＜0，∴k2＞0，∴﹣k2＜0，∴函数y＝kx﹣k2，的图象经过第二、三、四象限．故选：A．8．小雨利用几何画板探究函数y＝图象，在他输入一组a，b，c的值之后，得到了如图所示的函数图象，根据学习函数的经验，可以判断，小雨输入的参数值满足（）A．a＞0，b＞0，c＝0B．a＜0，b＞0，c＝0C．a＞0，b＝0，c＝0D．a＜0，b＝0，c＞0【分析】从函数整体图象来看，发现部分图象有类似反比例函数，再从y轴右侧图象，判断图象虚线代表的意义，即可求解．【解答】设虚线为x＝m（显然，m＞0），易知两条由图中可知，当x＜m时，y＞0，|x﹣c|＞0，所以＞0，当x＞m时，y＜0，|x﹣c|＞0，所以＜0，可得（x﹣b）在m的左右两侧时，符号是不同的，即b＝m＞0；当x＜b时，x﹣b＜0，而y＞0，所以a＜0显然另外一条分割线为x＝0＝c，故选：B．二．填空题（共8小题）9．分解因式：4x2﹣8x+4＝4（x﹣1）2．【分析】先提取公因式4，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．【解答】解：4x2﹣8x+4＝4（x2﹣2x+1）＝4（x﹣1）2．故答案为：4（x﹣1）2．10．在平面直角坐标系中，点P（m，m﹣2）在第三象限内，则m的取值范围是m＜0．【分析】利用第三象限点的坐标特征得到，然后解不等式组即可．【解答】解：∵点P（m，m﹣2）在第三象限内，∴，∴m＜0．故答案为m＜0．11．写出一个函数，满足当x＞0时，y随x的增大而减小且图象过（1，3），则这个函数的表达式为如，答案不唯一．【分析】没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，反比例函数，二次函数三方面考虑，只要符合条件①②即可．【解答】解：符合题意的函数解析式可以是y＝，y＝﹣x+4，y＝﹣x2+4等，（本题答案不唯一）故答案为：如，答案不唯一；12．已知反比例函数y＝的图象上两点A（x1，y1），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m 的取值范围是m＞﹣．【分析】根据反比例函数的性质，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，∴1+3m＞0，解得，m＞﹣，故答案为m＞﹣．13．已知二次函数y＝ax2+8x﹣7的图象和x轴有交点，则a的取值范围是a≥﹣且a ≠0．【分析】直接利用根的判别式进行计算，“图象和x轴有交点”说明△≥0，a≠0．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+8x﹣7的图象和x轴有交点，∴△＝b2﹣4ac＝64+28a≥0，∴a≥﹣，其中a≠0．故答案为：a≥﹣且a≠0．14．将直线L1：y＝2x+3沿y轴向下平移5个单位的到L2，则L1与L2的距离为．【分析】根据平移的规律得到L2的解析式为：y＝2x﹣2，求得L2：y＝2x﹣2与y轴交于（0，﹣2），根据三角形面积公式即可得到结论．【解答】解：∵将直线L1：y＝2x+3沿y轴向下平移5个单位的到L2，∴L2的解析式为：y＝2x﹣2，∴L2：y＝2x+2与y轴交于（0，﹣2），如图，∵y＝2x+3与x轴交于B（﹣，0），与y轴交于A（0，3），y＝2x﹣2与x轴交于F（1，0），与y轴交于E（0，﹣2），过O作OC⊥AB于C，反向延长OC交EF于D，∵AB∥EF，∴CD⊥EF，∵OA＝3，OB＝，∴AB＝＝，∵OE＝2，OF＝1，∴EF＝＝，∵AB•OC＝OA•OB，∴OC＝＝，∵EF•OD＝OE•OF，∴OD＝＝，∴CD＝，∴L1与L2的距离为，故答案为．15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，若|ax2+bx+c|＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＝0或k＞2．【分析】先根据题意画出y＝|ax2+bx+c|的图象，即可得出|ax2+bx+c|＝k（k≠0）有两个不相等的实数根时，k的取值范围．【解答】解：∵当ax2+bx+c≥0，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象在x轴上方，∴此时y＝|ax2+bx+c|＝ax2+bx+c，∴此时y＝|ax2+bx+c|的图象是函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x轴上方部分的图象，∵当ax2+bx+c＜0时，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象在x轴下方，∴此时y＝|ax2+bx+c|＝﹣（ax2+bx+c）∴此时y＝|ax2+bx+c|的图象是函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x轴下方部分与x轴对称的图象，∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点纵坐标是﹣2，∴函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x轴下方部分与x轴对称的图象的顶点纵坐标是2，∴y＝|ax2+bx+c|的图象如右图，∵观察图象可得当k≠0时，函数图象在直线y＝2的上方时，纵坐标相同的点有两个，函数图象在直线y＝2上时，纵坐标相同的点有三个，函数图象在直线y＝2的下方时，纵坐标相同的点有四个，∴若|ax2+bx+c|＝k有两个不相等的实数根，则函数图象应该在y＝2的上边，故k＝0或k＞2．16．如图，正方形ABCD的边长是3，P，Q分别在AB，BC的延长线上，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与CD，BC交于点F，E，连接AE．下列结论：①AQ⊥DP②OA2＝OE•OP③S△AOD＝S四边形OECF④当BP＝1时，tan∠OAE＝其中正确结论的序号是①③④．【分析】由四边形ABCD是正方形，得到AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，根据全等三角形的性质得到∠P＝∠Q，根据余角的性质得到AQ⊥DP；故①正确；根据相似三角形的性质得到AO2＝OD•OP，由OD≠OE，得到OA2≠OE•OP；故②错误；根据全等三角形的性质得到CF＝BE，DF＝CE，于是得到S△ADF﹣S△DFO＝S△DCE﹣S△DOF，即S△AOD ＝S四边形OECF；故③正确；根据相似三角形的性质得到BE＝，求得QE＝，QO＝，OE＝，由三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，∵BP＝CQ，∴AP＝BQ，在△DAP与△ABQ中，，∴△DAP≌△ABQ（SAS），∴∠P＝∠Q，∵∠Q+∠QAB＝90°，∴∠P+∠QAB＝90°，∴∠AOP＝90°，∴AQ⊥DP；故①正确；∵∠DOA＝∠AOP＝90°，∠ADO+∠P＝∠ADO+∠DAO＝90°，∴∠DAO＝∠P，∴△DAO∽△APO，∴＝，∴AO2＝OD•OP，∵AE＞AB，∴AE＞AD，∴OD≠OE，∴OA2≠OE•OP；故②错误；在△CQF与△BPE中，∴△CQF≌△BPE（AAS），∴CF＝BE，∴DF＝CE，在△ADF与△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴S△ADF﹣S△DFO＝S△DCE﹣S△DOF，即S△AOD＝S四边形OECF；故③正确；∵BP＝1，AB＝3，∴AP＝4，∵△PBE∽△P AD，∴＝＝，∴BE＝，∴QE＝，∵△QOE∽△P AD，∴＝＝＝，∴QO＝，OE＝，∴AO＝5﹣QO＝，∴tan∠OAE＝＝＝，故④正确，故答案为①③④．三．解答题（共8小题）17．计算：．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及二次根式性质计算即可得到结果．【解答】解：原式＝9+2+1﹣3＝10﹣．18．已知x2+4x+1＝0，求代数式（x﹣1）2﹣2x（x+1）+7的值．【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝x2﹣2x+1﹣2x2﹣2x+7＝﹣x2﹣4x+8，∵x2+4x+1＝0，∴x2+4x＝﹣1，∴原式＝﹣（x2+4x）+8＝1+8＝9．19．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB⊥x轴，垂足为A．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，交AB于点D．已知AB＝4，BC＝．（1）若OA＝4，求k的值；（2）连接OC，若BD＝BC，求OC的长．【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出AE，BE的长，再利用勾股定理得出OA的长，得出C点坐标即可得出答案；（2）首先表示出D，C点坐标进而利用反比例函数图象上的性质求出C点坐标，再利用勾股定理得出CO的长．【解答】解：（1）作CE⊥AB，垂足为E，∵AC＝BC，AB＝4，∴AE＝BE＝2．在Rt△BCE中，BC＝，BE＝2，∴CE＝，∵OA＝4，∴C点的坐标为：（，2），∵点C在的图象上，∴k＝5，（2）设A点的坐标为（m，0），∵BD＝BC＝，∴AD＝，∴D，C两点的坐标分别为：（m，），（m﹣，2）．∵点C，D都在的图象上，∴m＝2（m﹣），∴m＝6，∴C点的坐标为：（，2），作CF⊥x轴，垂足为F，∴OF＝，CF＝2，在Rt△OFC中，OC2＝OF2+CF2，∴OC＝．20．为了促进旅游业的发展，某市新建一座景观桥．桥的拱肋ADB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB 为40米，桥拱的最大高度CD为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），求与CD的距离为5米的景观灯杆MN的高度．【分析】以AB所在直线为x轴、CD所在直线为y轴建立坐标系，可设该抛物线的解析式为y＝ax2+16，将点B坐标代入求得抛物线解析式，再求当x＝5时y的值即可．【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，设抛物线表达式为y＝ax2+16，由题意可知，B的坐标为（20，0）∴400a+16＝0∴∴，∴当x＝5时，y＝15．答：与CD距离为5米的景观灯杆MN的高度为15米．21．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于点E，交BC于点F，连接DF．（1）求证：DF＝2CE；（2）若BC＝3，sin B＝，求线段BF的长．【分析】（1）连接OE交DF于G，首先证明四边形EGFC是矩形，再根据垂径定理即可证明．（2）设OE＝x，由OE∥BC，得△AOE∽△ABC，得，列出方程求出x，再在Rt△BDF中，由sin B＝，推出cos B＝＝，即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OE交DF于G，∵AC切⊙O于E，∴∠CEO＝90°．又∵BD为⊙O的直径，∴∠DFC＝∠DFB＝90°．∵∠C＝90°，∴四边形CEGF为矩形．∴CE＝GF，∠EGF＝90°，∴DF＝2CE．（2）解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝3，，∴AB＝5，设OE＝x，∵OE∥BC，∴△AOE∽△ABC．∴，∴，∴，∴BD＝．在Rt△BDF中，∵∠DFB＝90°，sin B＝，∴cos B＝＝＝，∴BF＝．22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6的对称轴是x＝2．（1）求抛物线表达式和顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A，求点A的坐标；（3）抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6与y轴交于点C，点A关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B，两条抛物线在点A、C和点A、B之间的部分（包含点A、B、C）记为图象M．将直线y＝2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位，在平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，请你写出b的取值范围0＜b≤．【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式求出m的值，进而求出抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）先求出平移后的抛物线解析式，然后求出交点坐标；（3）根据图象即可写出b的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6的对称轴是x＝2，∴．∴m＝﹣1．∴抛物线的表达式为y＝﹣2x2+8x﹣6．∴y＝﹣2（x﹣2）2+2．∴顶点坐标为（2，2）．（2）由题意得，平移后抛物线表达式为y＝﹣2（x﹣3）2+2，∵﹣2（x﹣2）2＝﹣2（x﹣3）2，∴．∴A（，）．（3）点A坐标为（，），则点B的坐标为（，），设直线y＝2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位经过点B，则y＝2x﹣2﹣b，故＝7﹣2﹣b，解得b＝，设直线y＝2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位经过点A，＝5﹣2﹣b，b＝，由，消去y得到：2x2﹣10x+14﹣b＝0，由题意：△＝0，∴100﹣8（14﹣b）＝0，∴b＝，观察图象可知：平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，则．23．如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连结AE．（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM．①求∠CAM的度数；②当FH＝，DM＝4时，求DH的长．【分析】（1）只要证明AB＝ED，AB∥ED即可解决问题；（2）成立．如图2中，过点M作MG∥DE交CE于G．由四边形DMGE是平行四边形，推出ED＝GM，且ED∥GM，由（1）可知AB＝GM，AB∥GM，可知AB∥DE，AB＝DE，即可推出四边形ABDE是平行四边形；（3）①如图3中，取线段HC的中点I，连接MI，只要证明MI＝AM，MI⊥AC，即可解决问题；②设DH＝x，则AH＝x，AD＝2x，推出AM＝4+2x，BH＝4+2x，由四边形ABDE是平行四边形，推出DF∥AB，推出＝，可得＝，解方程即可；【解答】（1）证明：如图1中，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠ABM，∵CE∥AM，∴∠ECD＝∠ADB，∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，∴BD＝DC，∴△ABD≌△EDC，∴AB＝ED，∵AB∥ED，∴四边形ABDE是平行四边形．（2）结论：成立．理由如下：如图2中，过点M作MG∥DE交CE于G．∵CE∥AM，∴四边形DMGE是平行四边形，∴ED＝GM，且ED∥GM，由（1）可知AB＝GM，AB∥GM，∴AB∥DE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形．（3）①如图3中，取线段HC的中点I，连接MI，∵BM＝MC，∴MI是△BHC的中位线，∴MI∥BH，MI＝BH，∵BH⊥AC，且BH＝AM．∴MI＝AM，MI⊥AC，∴∠CAM＝30°．②设DH＝x，则AH＝x，AD＝2x，∴AM＝4+2x，∴BH＝4+2x，∵四边形ABDE是平行四边形，∴DF∥AB，∴＝，∴＝，解得x＝1+或1﹣（舍弃），∴DH＝1+．24．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙M，给出如下定义：若⊙M上存在两个点A，B，使AB＝2PM，则称点P为⊙M的“美好点”．（1）当⊙M半径为2，点M和点O重合时．①点P1（﹣2，0），P2（1，1），P3（2，2）中，⊙O的“美好点”是P1和P2；②若直线y＝2x+b上存在点P为⊙O的“美好点”，求b的取值范围；（2）点M为直线y＝4上一动点，以2为半径作⊙M，点P为直线y＝x上一动点，点P 为⊙M的“美好点”，求点M的横坐标m的取值范围．【分析】（1）①根据⊙M的“美好点”即可判断．②求出直线y＝2x+b与⊙M相切时，b的值即可解决问题；（2）当直线y＝4与⊙M相切时，求出点M的坐标，有两个值，由此即可解决问题；【解答】解：（1）①如图1中，∵OP1＝2＝r，OP2＝＜r，OP3＝2＜r，根据⊙M的“美好点”的定义可知，P1，P2是⊙M的“美好点”．故答案为P1和P2．②当直线y＝2x+b与⊙O相切时，设切点为T，该直线交x轴于K，交y轴于E．由题意E（0，b），K（﹣，0），∴OE＝b，OK＝，EK＝b，∵sin∠TKO＝＝，∴＝，∴b＝2，根据对称性可知：当直线与⊙O在下方相切时，OF＝OE＝2，∴b＝﹣2，∴b的取值范围为：﹣2≤b≤2．（2）如图2中，当直线y＝4与⊙M相切时，切点分别为E或E′，连接ME，M′E′，∵EM＝E′M′＝2，∴M′（2，2），m（6，6），∴满足条件的m的取值范围为2≤m≤6．。

2023-2024学年北京市海淀区中国人民大学附属中学本部中考模拟数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.2022年5月18日是第46个国际博物馆日，今年国际博物馆日的宣传主题是“博物馆的力量”，在以下几幅古代纹样图案中，利用中心对称进行整体构图的是()A. B.C. D.2.在第46个国际博物馆日来临之际．中国国家博物馆推出了丰富多彩的“云上观展”活动．观众有机会在屏幕上欣赏国博140万余件藏品的真容，将140万用科学记数法表示为()A. B. C. D.3.下列各组角中，互为余角的是()A.与B.与C.与D.与4.下列说法中错误的是()A.成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴B.关于某条直线对称的两个图形全等C.两个全等三角形的对应高相等D.两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧5.有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上的点数记为x，则的概率是()A. B. C. D.6.实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是()A. B. C. D.7.李老师是一位运动达人，他通过佩戴智能手环来记录自己一个月天每天所走的步数，并绘制成如右统计表：在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是()A.，B.，C.，D.，8.某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的y与x的数据如表：时间分钟0246810121620含药量毫克03643则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象可能是()A. B.C. D.二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

9.若有意义，则x的取值范围是__________.10.把多项式分解因式的结果是__________.11.若n为整数，且，则n的值为__________.12.分式方程的解__________.13.如图，点A，B，C，D在上，，，则__________.14.如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线AP交BC于点若，的面积为4，则的面积为__________.15.如图，已知等腰三角形ABC，，，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，则__________16.以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，一个煲汤锅，两个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要__________分钟．用时种类准备时间分钟加工时间分钟米饭330炒菜156炒菜258汤56三、计算题：本大题共1小题，共6分。

2021北京人大附中初三(下)限时训练数学2021.6.16考生须知1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100，考试时间120分钟2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号3.试题答案一律填涂成书写在答题卡上，在试卷上作答无效4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答5.考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回一、选择题(本题共16分，每小题2分)1.下面的图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是(A)(B)(C)(D)2.港珠澳大桥是世界上总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米，其中海底隧道部分全长6700米，是世界最长的公路沉管隧道和唯一的深埋沉管隧道，也是我国第一条外海沉管隧道，将数字55000用科学记数法表示为(A)5.5×104(B)55×103(C)5.5×103(D)0.55×1053.某个几何体的三视图如右图所示，该几何体是(A)(B)(C)(D)4.如图，直线，A B=B C，C D⊥A B于点D，若∠D C A=20°，则∠1的度数为(A)80°(B)70°(C)60°(D)50°5.如图，数轴上A，B两点对应的数分别是a和b.对于以下四个式子：①2a-b；②a+b；③；④，其中值为负数的是(A)①②(B)③④(C)①③(D)②④6.某校初中篮球队共有25名球员，为了球队的健康发展和培养球员，要求从13岁到16岁每个年龄段都必须有球员，下表是该球队的年龄分布统计表：年龄(单位：岁)13141516频数(单位：名)311x11-x对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是(A)平均数、中位数(B)平均数、方差(C)众数、方差(D)众数，中位数7.小明和妈妈在家门口打车出行，借助某打车软件，他看到了当时附近的出根车分布情况，若以他现在的位置为原点，正东、正北分别为x轴、y轴正方向，图中点A的坐标为，那么离他最近的租车所在位置的坐标大约(A)(3.2，1.3)(B)(-1.9，0.7)(C)(0.7，-1.9)(D)(3.8，-2.6)8.如图，在甲，乙两个十字路口各方向均设有人行横道和交通信号灯，小字在甲路口西南角的A处，需要步行到对于乙路口东北角B处附近的餐馆用餐，已知两路口人行横道交通信号灯的切换时间与小宇的步行时间如下表所示：人行横道交通信号灯的切换时间小宇的步行时间甲路口每1m i n沿人行横道穿过一0.5mi(A )6.5mi n (B )7m i n (C )8mi n (D )9mi n二、填空题(本题共16分，每小题2分)9.分解因式：______________10.用一个a 的值说明命题“如果，那么a ≥1”是错误的，这个值可以是a =__________11.方程组的解为__________12.如图，在6×6正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A 、B 、C 均在网格交点上，⊙O 是△A B C 的外接圆，则c o s ∠B A C 的值是____________13.如果a -3b =0，那么代数式的值是__________14.在平面直角坐标系x O y 中，点A (-1，m )绕坐标原点O 顺时针旋转90°后，恰好落在如图中阴影区域(包括边界)内，则m 的取值范围是____________15.如图，在矩形A B C D 中，点E 在边C D 上，将矩形A B C D 沿A E 所在直线折叠，点D 恰好落在边B C 上的点F 处，若A B =8，D E =5，则折痕A E 的长为__________条马路n 乙路口每2m i n在甲、乙两路口之间(C D 段)5m i n16.一辆赛车在一个周长为3k m的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行程之间的关系根据图1，有以下四个说法：①在这第二圈的2.6k m到2.8k m之间，赛车速度逐增加；②在整个跑道中，最长的直线路程不超过0.6k m；③大约在这第二圈的0.4k m到0.6k m之间，赛车开始于那段最长直线路程的行驶；④在图2的四条曲线(注：S为初始记录数据位置)中，曲线B最能符合赛车的运动轨迹其中，所有正确说法的序号是_____________三、解答题(本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27.28题，每小题7分)17.计算：18.解不等式组：19.已知，求代数式的值20.下面是小融设计的“过直线外一点作圆与这条直线相切”的尺规作图过程已知：直线l及直线l外一点P(如图1)求作：⊙P，使它与直线l相切作法：如图2，①在直线l上任取两点A，B；②分别以点A，点B为圆心，A P，B P的长为半径画弧，两弧交于点Q；③作直线P Q，交直线l于点C；④以点P为圆心，P C的长为半径画⊙P.所以⊙P即为所求根据小融设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明证明：连接A P，A Q，B P，B Q∵A P=___________，B P=______________∴点A，点B在线段P Q的垂直平分线上∴直线A B是线段P Q的垂直平分线∵P O⊥l，P C是⊙P的半径∴⊙P与直线l相切()(填推理的依据).21.列方程(组)解应用题：截止到2020年11月23日，全国832个国家级贫困县全部脱贫摘帽，某单位党支部在“精准扶贫”活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗，已知每棵乙种树苗的价格比甲种树苗的价格贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，求乙种树苗每棵的价格22.如图，在□A B C D中，A C，B D交于点O，且A O=B O(1)求证：四边形A B C D是矩形；(2)∠A D B的角平分线D E交A B于点E,当A D=3，时，求A E的长23.如图，在平面直角坐标系x O y中，直线y=x+3与函数的图象交于点A(1，m)，与x轴交于点B(1)求m，k的值；(2)过动点P(0，n)(n>0)作平行于x轴的直线，交函数的图象于点C，交直线y=x+3于点D①当n=2时，求线段C D的长；②若C D≥O B，结合函数图象，直接写出n的取值范围24.为迎接2022年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中来，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各400名学生进入综合素质展示环节，为了了解两所学校学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息a.甲学校学生成绩的频数分布直方图如下(数据分成6组：40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)；b.甲学校学生成绩在80≤x<90这一组的是：80808181.582838384858686.5878888.58989c.乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率(85分及以上为优秀)如下：平均数中位数众数优秀率83.3847846%根据以上信息，回答下列问题(1)甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是___________(填“A”或“B”)(2)根据上述信息，推断___________学校综合素质展示的水平更高，理由为_________________(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)(3)若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到_________分的学生才可以入选25.四边形A B C D内接于⊙O，A B是⊙O的直径，A D=C D(1)如图1，求证∠A B C=2∠A C D；(2)如图2，过点D作⊙O的切线，交B C延长线于点P，,求P D的长26.在平面直角坐标系x O y中，抛物线的对称轴是直线x=1(1)用含a的式子表示b；(2)求抛物线的顶点坐标(3)若抛物线与y轴的一个交点为A(0，-4)，且当m≤x≤n时，y的取值范围是-5≤y≤n，结合函数图象，求m，n所满足的条件27.在△A B C中，A B=A C，∠B A C=90°，过点A作B C的垂线A D，垂足为D，E为射线D C上一动点(不与点C重合)，连接A E，以点A为中心，将线段A E逆时针旋转90°得到线段A F，连接B F，与直线A D交于点G(1)如图1，当点E在线段C D上时①依题意补全图形；②求证：点G为B F的中点；(2)如图2，当点E在线段D C的延长线上时，用等式表示A E，B E，A G之间的数量关系，并证明28.对平面内的∠A O B和一点P，如果在∠A O B的边O A和O B上分别存在点M和点N(点M与点N可以重合)，满足P M=P N=1，则称点P是∠A O B的“聚点”，若和是∠A O B的任意两个不同的聚点，把线段的最大长度称为∠A O B的“轴距”，简记为d(∠A O B)已知点A(4，0)，点B(n，3)(1)如图1，当n=0时，在点(1，2)，(-4，0)，(-1，1)，，∠A O B的聚点有________；(2)当0≤n≤4时，求∠A O B的轴距d(∠A O B)的取值范围；(3)如图2，当时，点T在∠A O B的平分线O C所在的直线上运动，以T为圆心作半径为2的圆，若⊙T上存在∠A O B的聚点，直接写出点T的横坐标的取值范围。

2022-2023学年北京市人大附中九年级（上）开学数学试卷（附答案与解析）一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（3分）把一次函数的图像y＝3x+1向上平移4个单位长度，得到图象表达式是（）A．y＝3x+5B．y＝3x+4C．y＝3x﹣4D．y＝3x﹣52．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，如果∠ADB＝35°，那么∠AOB 的度数为（）A．35°B．45°C．70°D．110°3．（3分）二次函数y＝（x﹣1）2+2的最小值是（）A．﹣2B．﹣1C．1D．24．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方后可变形为（）A．（x+3）2＝4B．（x﹣3）2＝4C．（x+3）2＝14D．（x﹣3）2＝14 5．（3分）已知A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）三点都在二次函数y＝2（x+1）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2 6．（3分）如图，正方形ABCD的面积为8，菱形AECF的面积为4，则EF的长是（）A．4B．C．2D．17．（3分）小兵在暑假调查了某工厂得知，该工厂2020年全年某产品的产量为234万吨，经该厂的技术人员预计2022年全年该产品的产量为345万吨，设2020年至2022年该产品的预计年平均增长率为x，根据题意列出方程得（）A．234（1+x）2＝345B．234（1﹣2x）＝345C．234（1+2x）＝345D．234（1﹣x）2＝3458．（3分）如图，点E为正方形ABCD外一点，且ED＝CD，连接AE，交BD于点F．若∠CDE＝38°，则∠BFC的度数为（）A．71°B．72°C．81°D．82°二、填空题（本题共18分，每小题2分）9．（2分）正比例函数y＝kx经过点（1，3），则k＝．10．（2分）在平行四边形ABCD中，∠A＝80°，则∠B＝．11．（2分）写出一个对称轴为y轴，且过（0，﹣2）的二次函数的解析式．12．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝8，CD＝5，BE平分∠ABC交AD于点E，则DE的长为．13．（2分）一次函数y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，则△AOB的面积是．14．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．15．（2分）如图，正方形ABCD在第一象限内，点A、B坐标分别为（1，1），（3，1），若直线y＝2x+b把正方形ABCD分成面积相等的两部分，则b的值是．16．（2分）如图，线段AD为△ABC的中线，点P为线段AB上的动点（不与点A，B重合），PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，若AB＝AC＝5，BC＝8，则EF的最小值为．17．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0）和B（m，0），其中2＜m＜4，与y轴交于正半轴上一点．下列结论：①a＜0；②；③若点C（﹣1，y1），D（2，y2），E（4，y3）均在二次函数图像上，则y3＜y1＜y2；④c+8a＜0．其中一定正确的结论的序号是．三、解答题（本题共58分，第18-19题，每小题4分，第20-25题，每小题4分，第26题6分，第27-28题，每小题4分）18．（4分）计算：．19．（4分）解方程：x2+4x﹣2＝0．20．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接DE、CD、EF．求证：四边形DCFE是平行四边形．21．（5分）已知点A（a，2）为二次函数y＝x2﹣2x﹣4图像上的点，求代数式3a（a﹣2）+（a﹣1）2的值．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，且它经过点A（3，0），求该二次函数的解析式和顶点坐标．23．（5分）已知关于x的一元二次方程kx2+（k﹣2）x﹣2＝0（k≠0）．（1）求证：不论k为何值，这个方程都有两个实数根；（2）若此方程的两根均整数，求整数k的值．24．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，4）在直线l1：y＝2x上，过点A的直线l2与x轴交于点B（﹣6，0）．与y轴交于点C．（1）求直线l2的解析式；（2）已知点P的坐标为（0，n），过点P的作y轴的垂线与l1，l2分别交于点D、E（点D和点E不重合），当DE＝OC时，则n的值是．25．（5分）如图，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点D作AC的平行线交直线BC于点E，连接DE，CE，点P是线段BD上的动点，若，请直接写出PC+PE的最小值．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）与y轴交于点A．（1）求点A的坐标以及抛物线的对称轴；（2）抛物线与直线y＝2交于点B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2．①当BC＝4时，求抛物线的表达式；②当3x1+5x2≤12时，请直接写出a的取值范围．27．（7分）如图1，点E为正方形ABCD边AB上的一点，连接EC，点F是线段EC上的一个动点（不与点E，C重合），直线DF交直线BC于点G．（1）如图1，当DG⊥EC时，用等式表示BE，GC之间的数量关系，并证明；（2）如图2，当CF＝CD时，①补全图形；②用等式表示BE，EC，CG之间的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），对于点P给出如下定义：将点P 向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′与点M的中点为Q，称点Q为点P的关于点M的“平移中点”．已知M（a，b），P（c，d），点Q为点P的关于点M的“平移中点”．（1）①若M（1，3），P（2，4），则点Q的坐标为；②若c＝2，点Q的横坐标为m，则m的值为（用含a的代数式表示）．（2）已知M（1，1），点P在直线l：y＝2x上．①当点Q在y轴上时，点P的坐标为；②当点Q在第一象限时，c的取值范围是．（3）已知正方形ABCD的边长为2，各边与x轴平行或者垂直，其中心为（4，4），点P （c，d）为正方形ABCD上的动点．①当a＝b＝0时，在点P运动过程中，点Q形成的图形的面积是；②当点M（a，b）在直线l：y＝2x上，在点P运动过程中，若存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部，则a的取值范围是．2022-2023学年北京市人大附中九年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（3分）把一次函数的图像y＝3x+1向上平移4个单位长度，得到图象表达式是（）A．y＝3x+5B．y＝3x+4C．y＝3x﹣4D．y＝3x﹣5【分析】根据一次函数”上加下减“的性质分析即可．【解答】解：根据题意得，一次函数的图象平移后的解析式为：y＝3x+1+4，即y＝3x+5．故选：A．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握一次函数”上加下减“的性质是解题的关键．2．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，如果∠ADB＝35°，那么∠AOB 的度数为（）A．35°B．45°C．70°D．110°【分析】根据矩形的性质证得OA＝OD，根据三角形的外角的性质即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝AC，OD＝BD，AC＝BD，∴OA＝OD，∵∠ADB＝35°，∴∠OAD＝∠ODA＝35°，∴∠AOB＝∠OAD+∠ODA＝70°．故选：C．【点评】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3．（3分）二次函数y＝（x﹣1）2+2的最小值是（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【分析】根据二次函数的性质求解．【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+2，∴当x＝1时，函数有最小值2．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝﹣，函数最小值y＝；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝﹣，函数最大值y＝．4．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方后可变形为（）A．（x+3）2＝4B．（x﹣3）2＝4C．（x+3）2＝14D．（x﹣3）2＝14【分析】先移项，再根据完全平方公式配方，即可得出选项．【解答】解：x2﹣6x﹣5＝0，x2﹣6x＝5，x2﹣6x+9＝5+9，（x﹣3）2＝14，故选：D．【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．5．（3分）已知A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）三点都在二次函数y＝2（x+1）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A，B，C三点到对称轴的距离大小关系求解．【解答】解：∵y＝2（x+1）2，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，∵﹣1﹣（﹣1）＜﹣1﹣（﹣2）＜1﹣（﹣1），∴y2＜y1＜y3．故选：C．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．6．（3分）如图，正方形ABCD的面积为8，菱形AECF的面积为4，则EF的长是（）A．4B．C．2D．1【分析】连接AC，根据正方形ABCD的面积为8，求得AC＝4，根据菱形的面积，即可得到结论．【解答】解：连接AC，∵正方形ABCD的面积为8，∴AC＝4，∵菱形AECF的面积为4，∴EF＝＝2，故选：C．【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答．7．（3分）小兵在暑假调查了某工厂得知，该工厂2020年全年某产品的产量为234万吨，经该厂的技术人员预计2022年全年该产品的产量为345万吨，设2020年至2022年该产品的预计年平均增长率为x，根据题意列出方程得（）A．234（1+x）2＝345B．234（1﹣2x）＝345C．234（1+2x）＝345D．234（1﹣x）2＝345【分析】根据该工厂2020年全年某产品的产量为234万吨，经该厂的技术人员预计2022年全年该产品的产量为345万吨，列方程即可．【解答】解：根据题意，得234（1+x）2＝345，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．8．（3分）如图，点E为正方形ABCD外一点，且ED＝CD，连接AE，交BD于点F．若∠CDE＝38°，则∠BFC的度数为（）A．71°B．72°C．81°D．82°【分析】根据正方形的性质可得AD＝CD，∠ADC＝90°，∠ADB＝∠CDB＝45°，再根据已知条件可知AD＝ED，可得∠DAE，再证明△ADF≌△CDF（SAS），根据全等三角形的性质即可求出∠DCF，进而解答即可．【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，∠ADB＝∠CDB＝45°，∵∠CDE＝38°，∴∠ADE＝90°+40°＝128°，∵ED＝CD，∴AD＝ED，∴∠DAE＝（180°﹣128°）÷2＝26°，在△ADF和△CDF中，，∴△ADF≌△CDF（SAS），∴∠DCF＝∠DAF＝26°，∴∠BCF＝90°﹣26°＝64°，∴∠BFC＝180°﹣45°﹣64°＝71°，故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质，涉及全等三角形的性质和判定，三角形的内角和，等腰三角形的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．二、填空题（本题共18分，每小题2分）9．（2分）正比例函数y＝kx经过点（1，3），则k＝3．【分析】把点的坐标代入函数解析式，求解即可得到k的值．【解答】解：∵正比例函数y＝kx经过点（1，3），∴k＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，将点的坐标代入解析式，利用方程求解即可．10．（2分）在平行四边形ABCD中，∠A＝80°，则∠B＝100°．【分析】在平行四边形ABCD中，因为∠A和∠B是一组相邻的内角，由平行四边形的性质可知，∠A+∠B＝180°，代值求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠A+∠B＝180°，∴∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣80°＝100°．故答案为100°．【点评】本题利用了平行四边形中邻角互补的性质．运用平行四边形的性质可解决以下问题，如求角的度数、线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等．11．（2分）写出一个对称轴为y轴，且过（0，﹣2）的二次函数的解析式y＝x2﹣2．【分析】二次函数的解析式是y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），根据对称轴为y 轴得b＝0，根据与y轴的交点坐标为（0，﹣2）得出c＝﹣2，写出一个符合的二次函数即可．【解答】解：答案不唯一，如：y＝x2﹣2，故答案为：y＝x2﹣2．【点评】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质内容是解此题的关键．12．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝8，CD＝5，BE平分∠ABC交AD于点E，则DE的长为3．【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE＝∠AEB，继而可得AB＝AE，然后根据已知可求得DE的长度．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE∥BC，AD＝BC，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∵BC＝8，CD＝5，∴DE＝AD﹣AE＝8﹣5＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出∠ABE＝∠AEB．13．（2分）一次函数y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，则△AOB的面积是2．【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特征解决此题．【解答】解：如图．当x＝0，则y＝0+2＝2，此时B（0，2）．当y＝0，则x＝﹣2，此时A（﹣2，0）．∴OA＝2，OB＝2．∴．故答案为：2．【点评】本题主要考查一次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上的点的坐标特征是解决本题的关键．14．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜1．【分析】根据根的判别式的意义得到（﹣2）2﹣4k＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×k＞0，解得k＜1．故答案为：k＜1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．15．（2分）如图，正方形ABCD在第一象限内，点A、B坐标分别为（1，1），（3，1），若直线y＝2x+b把正方形ABCD分成面积相等的两部分，则b的值是﹣2．【分析】连接AC，BD交于点K．求出点K的坐标，再利用待定系数法求出b的值．【解答】解：连接AC，BD交于点K．∵A（1，1），B（3，1），∴AB＝2，∵四边形ABCD是正方形，∴C（3，3），∵AK＝KC，∴K（2，2），当直线y＝2x+b经过点K时，2＝4+b，∴b＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查中心对称，一次函数的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是求出点K的坐标，属于中考常考题型．16．（2分）如图，线段AD为△ABC的中线，点P为线段AB上的动点（不与点A，B重合），PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，若AB＝AC＝5，BC＝8，则EF的最小值为．【分析】如图，连接EF．PD．证明四边形DEPF是矩形，推出EF＝DP，当DP⊥AB 时，EF的值最小．【解答】解：如图，连接EF．PD．∵AB＝AC＝5，BC＝8，AD是中线，∴AD⊥BC，CD＝BD＝4，∴AD＝＝＝3，∵PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，∴∠PED＝∠PFD＝∠EDF＝90°，∴四边形DEPF是矩形，∴EF＝PD，∵当DP⊥AB时，DP的值最小，即EF的值最小，此时•AB•DP＝•AD•DB，∴DP＝，∴EF使得最小值为．【点评】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．17．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0）和B（m，0），其中2＜m＜4，与y轴交于正半轴上一点．下列结论：①a＜0；②；③若点C（﹣1，y1），D（2，y2），E（4，y3）均在二次函数图像上，则y3＜y1＜y2；④c+8a＜0．其中一定正确的结论的序号是①②④．【分析】根据与坐标轴的交点判断出①a＜0，根据图象与x轴交于两点判断②，根据对称轴和开口方向即可判断③，根据图象过点．【解答】解：∵抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）和（m，0），与y轴交于正半轴，∴a＜0，故①正确；∵图象与x轴交于两点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∵a＜0，∴，故②正确；∵图象与x轴交于A（﹣2，0）和B（m，0），其中2＜m＜4，∴0＜﹣＜1，∴y1与y2的大小不能判断，故③错误；∵抛物线与x轴的交点有一个为（﹣2，0），∴4a﹣2b+c＝0，∴4b＝8a+2c，∵当x＝4时，y＜0，∴14a+4b+c＜0，∴14a+8a+2c+c＜0，∴c+8a＜0，故④正确，综上所述，正确的结论有①②④．故答案为：①②④．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根据图象与坐标轴的交点坐标判断出a是负数是解题的关键，结论④的判断有点难度，先根据与x轴的交点坐标求出4b＝8a+2c是关键．三、解答题（本题共58分，第18-19题，每小题4分，第20-25题，每小题4分，第26题6分，第27-28题，每小题4分）18．（4分）计算：．【分析】先化简绝对值和二次根式，再加减．【解答】解：＝2+3﹣+3＝5+2．【点评】本题考查了二次根式的加减，掌握二次根式的加减法法则是解决本题的关键．19．（4分）解方程：x2+4x﹣2＝0．【分析】先移项，得x2+4x＝2，再在两边同时加上22，再利用平方法即可解出原方程．【解答】解：移项，得x2+4x＝2，两边同加上22，得x2+4x+22＝2+22，即（x+2）2＝6，利用开平方法，得或，∴原方程的根是，．【点评】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，难度适中．20．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接DE、CD、EF．求证：四边形DCFE是平行四边形．【分析】证明DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，DE＝BC，再证明DE＝CF，即可得出结论．【解答】证明：∵点D，E分别为AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∵CF＝BC，∴DE＝CF，又∵DE∥CF，∴四边形DCFE是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定以及三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．21．（5分）已知点A（a，2）为二次函数y＝x2﹣2x﹣4图像上的点，求代数式3a（a﹣2）+（a﹣1）2的值．【分析】将点A坐标代入解析式，化简代数式3a（a﹣2）+（a﹣1）2通过整体思想求解．【解答】解：将（a，2）代入y＝x2﹣2x﹣4得2＝a2﹣2a﹣4，整理得a2﹣2a＝6，∴3a（a﹣2）+（a﹣1）2＝3a2﹣6a+a2﹣2a+1＝4a2﹣8a+1＝4（a2﹣2a）+1＝4×6+1＝25．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，通过整体思想求解．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，且它经过点A（3，0），求该二次函数的解析式和顶点坐标．【分析】根据抛物线对称轴为x＝1，经过点A（3，0），列方程组即可解得b，c的值，从而得到答案．【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，且它经过点A（3，0），∴，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4）．【点评】本题考查二次函数解析式和二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法．23．（5分）已知关于x的一元二次方程kx2+（k﹣2）x﹣2＝0（k≠0）．（1）求证：不论k为何值，这个方程都有两个实数根；（2）若此方程的两根均整数，求整数k的值．【分析】（1）先计算判别式的值得到Δ＝（k﹣2）2﹣4k×（﹣2）＝（k+2）2，然后根据非负数的性质得到Δ≥0，则根据判别式的意义即可得到结论；（2）先利用因式分解法求得kx2+（k﹣2）x﹣2＝0（k≠0）的解为x1＝，x2＝﹣1，然后根据整数的整除性可确定整数k的值．【解答】（1）证明：Δ＝（k﹣2）2﹣4k×（﹣2）＝（k+2）2，∵（k﹣1）2≥0，∴Δ≥0，∴不论k为何值，这个方程都有两个实数根；（2）解：kx2+（k﹣2）x﹣2＝0（k≠0），（kx﹣2）（x+1）＝0，解得x1＝，x2＝﹣1，因为该方程的两根均整数，所以为整数，所以整数k为±1或±2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．24．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，4）在直线l1：y＝2x上，过点A的直线l2与x轴交于点B（﹣6，0）．与y轴交于点C．（1）求直线l2的解析式；（2）已知点P的坐标为（0，n），过点P的作y轴的垂线与l1，l2分别交于点D、E（点D和点E不重合），当DE＝OC时，则n的值是2或6．【分析】（1）先求出点A坐标，然后待定系数法求解析式即可；（2）根据点P坐标，表示出点D和点E坐标，再根据DE＝OC列方程|2n﹣6﹣|＝3，求解即可．【解答】解：（1）将点A（a，4）代入直线l1：y＝2x，得2a＝4，解得a＝2，∴点A（2，4），设直线l2的解析式为y＝kx+b（k≠0），将点A（2，4），B（﹣6，0）代入y＝kx+b，得，解得，∴直线l2解析式为y＝；（2）当x＝0时，y＝＝3，∴点C坐标为（0，3），∴OC＝3，∵点P的坐标为（0，n），根据题意，点D和点E的纵坐标都为n，将D点纵坐标代入直线l1：y＝2x，得2x＝n，解得x＝，∴点D坐标为（，n），将E点纵坐标代入直线l2：y＝，得，解得x＝2n﹣6，∴点E坐标为（2n﹣6，n），∴DE＝|2n﹣6﹣|，∵DE＝OC，∴|2n﹣6﹣|＝3，解得n＝2或n＝6，故答案为：2或6．【点评】本题考查了一次函数的综合应用，涉及一次函数的交点问题，待定系数法求解析式等，求n的值时注意分情况讨论是关键．25．（5分）如图，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点D作AC的平行线交直线BC于点E，连接DE，CE，点P是线段BD上的动点，若，请直接写出PC+PE的最小值．【分析】（1）两条全等三角形的性质证明AD＝BC，推出四边形ABCD是平行四边形，可得结论；（2）延长BA交ED的延长线于点T，连接CT，PT，过点T作TH⊥BE于点H，利用面积法求出TH，再利用勾股定理求出CT，由PC+PE＝PT+PC≥CT，可得结论．【解答】（1）证明：∵BA＝BC，BO平分∠ABC，∴AO＝OC，∵AD∥CB，∴∠OAD＝∠OCB，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD＝BC，∵AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：延长BA交ED的延长线于点T，连接CT，PT，过点T作TH⊥BE于点H.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝，∴OD＝OB＝＝＝2，∵AC∥ET，BO＝OD，'∴BA＝AT，BC＝CT，∴BE＝BT＝10，DT＝DE＝2，∴TE＝4，∵TH⊥BE，∴S△BET＝×BE×TH＝×ET×BD，∴TH＝＝8，∴EH＝＝＝4，∴CH＝CE﹣EH＝1，∴CT＝＝＝，∵BD⊥TE，DT＝DE，∴PE＝PT，∴PC+PE＝PT+PC≥CT＝，∴PC+PE的最小值为．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）与y轴交于点A．（1）求点A的坐标以及抛物线的对称轴；（2）抛物线与直线y＝2交于点B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2．①当BC＝4时，求抛物线的表达式；②当3x1+5x2≤12时，请直接写出a的取值范围．【分析】（1）令x＝0，可得y＝3，可得A（0，3），根据对称轴为直线x＝﹣，求解即可；（2）①利用根与系数的关系，构建方程求解；②利用求根公式，求出方程的解，分两种情形，构建不等式求解即可．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，∴点A的坐标为（0，3）；对称轴为直线x＝﹣＝1；（2）①∵抛物线与直线y＝2交于点B（x1，y1），C（x2，y2），∴ax2﹣2ax+3＝2，整理得：ax2﹣2ax+1＝0，∴x1+x2＝﹣＝2，x1•x2＝，∵BC＝x2﹣x1＝4，∴（x2﹣x1）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝16，∴22﹣4×＝16，解得a＝﹣，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3；②∵抛物线与直线y＝2交于点B（x1，y1），C（x2，y2），∴ax2﹣2ax+3＝2，整理得：ax2﹣2ax+1＝0，∴x＝＝1±，当a＞0时，x1＝1﹣，x2＝1+，∵3x1+5x2≤12，∴3﹣3×+5+5×≤12，化简得，≤2a，∴3a2+a≥0且a2﹣a＞0，∴a＞1．当a＜0时，x1＝1+，x2＝1﹣，∵3x1+5x2≤12，∴3+3×+5﹣5×≤12，∴≤﹣2a，∴a2﹣a≤4a2，∴3a2+a≥0，∴a（3a+1）≥0，∵a＜0，∴3a+1＜0，∴a＜﹣，综上所述，a＞1或a＜﹣．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法、一次函数的性质，二次函数与x 轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法，学会用分类讨论的思想思考问题．27．（7分）如图1，点E为正方形ABCD边AB上的一点，连接EC，点F是线段EC上的一个动点（不与点E，C重合），直线DF交直线BC于点G．（1）如图1，当DG⊥EC时，用等式表示BE，GC之间的数量关系，并证明；（2）如图2，当CF＝CD时，①补全图形；②用等式表示BE，EC，CG之间的数量关系，并证明．【分析】（1）结论：BE＝CG．证明△CBE≌△DCG（ASA），可得结论；（2）①根据要求作出图形即可；②结论：BE+CE＝CG．如图2中，过点D作DT⊥EC交CB于点T，则△CBE≌△DCT，证明TG＝TD＝CE，BE＝CT，可得结论．【解答】解：（1）结论：BE＝CG．理由：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴CB＝CD，∠CBE＝∠DCG＝90°，∵DG⊥CE，∴∠ECB+∠CGD＝90°，∠CGD+∠CDG＝90°，∴∠BCE＝∠CDG，在△CBE和△DCG中，，∴△CBE≌△DCG（ASA），∴BE＝CG；（2）①图形如图2所示：②结论：BE+CE＝CG．理由：如图2中，过点D作DT⊥EC交CB于点T，则△CBE≌△DCT，∴CE＝DT，BE＝CT，∵CF＝CD，∴∠CFD＝∠CDF，∴∠G+∠FCG＝∠CDT+∠FDT，∵∠FCG＝∠CDT，∴∠G＝∠TDG，∴GT＝DT＝EC，∴CG＝GT+CT＝CE+BE，即BE+CE＝CG．【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），对于点P给出如下定义：将点P 向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′与点M的中点为Q，称点Q为点P的关于点M的“平移中点”．已知M（a，b），P（c，d），点Q为点P的关于点M的“平移中点”．（1）①若M（1，3），P（2，4），则点Q的坐标为（2，5）；②若c＝2，点Q的横坐标为m，则m的值为a+1（用含a的代数式表示）．（2）已知M（1，1），点P在直线l：y＝2x上．①当点Q在y轴上时，点P的坐标为（﹣2，﹣4）；②当点Q在第一象限时，c的取值范围是c＞﹣1．（3）已知正方形ABCD的边长为2，各边与x轴平行或者垂直，其中心为（4，4），点P （c，d）为正方形ABCD上的动点．①当a＝b＝0时，在点P运动过程中，点Q形成的图形的面积是1；②当点M（a，b）在直线l：y＝2x上，在点P运动过程中，若存在点Q在正方形ABCD 的边上或者内部，则a的取值范围是≤a≤．【分析】（1）①由定义可求P'（3，7），再由中点坐标公式求出Q（2，5）即可；②根据P'的横坐标可建立方程2+a＝2m﹣a，从而可求m；（2）①求出P'（c+1，2c+1），Q（，c+1），由题意可得＝0，求出即可求解；②由①可得＞0，c+1＞0，即可求c的范围；（3）①求出P'（c，d），Q（，），由此可知Q点形成的正方形边长为1，则点Q形成的图形的面积是1；②由题意可知M（a，2a），则P'（c+a，d+2a），Q（a+，2a+），再由3≤c≤5，3≤d ≤5，当a+＝3时，可得3≤6﹣2a≤5，则≤a时，存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部；当2a+＝5时，可得3≤10﹣4a≤5，则≤a≤时，存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部，即可求a的范围．【解答】解：（1）①P（2，4）向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到P'（3，7），∴P'与M的中点Q（2，5），故答案为：（2，5）；②∵c＝2，∴P（2，d），∵点Q的横坐标为m，∴P'的横坐标为2m﹣a，∵M（a，b），∴P'的横坐标为2+a，∴2m﹣a＝2+a，∴m＝a+1，故答案为：a+1；（2）①∵点P在直线l：y＝2x上，∴P'（c+1，2c+1），∴Q（，c+1），∵点Q在y轴上，∴＝0，∴c＝﹣2，∴P（﹣2，﹣4），故答案为：（﹣2，﹣4）；②∵点Q在第一象限，∴＞0，c+1＞0，∴c＞﹣1；（3）①当a＝b＝0时，M（0，0），∵P（c，d），∴P'（c，d），∴Q（，），∵P点在正方形ABCD上，∴Q点的运动形成的图形也是正方形∵正方形ABCD的边长为2，∴Q点形成的正方形边长为1，∴点Q形成的图形的面积是1；②∵点M（a，b）在直线l：y＝2x上，∴M（a，2a），∵点P（c，d），∴P'（c+a，d+2a），∴Q（a+，2a+），∵正方形的中心是（4，4），边长为2，∴3≤c≤5，3≤d≤5，当a+＝3时，c＝6﹣2a，∴3≤6﹣2a≤5，∴≤a时，存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部；当2a+＝5时，d＝10﹣4a，∴3≤10﹣4a≤5，∴≤a≤时，存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部；综上所述：≤a≤时，存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部．【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解定义，灵活应用中点坐标公式，数形结合解题是关键．。