北京市海淀区2021-2022学年人大附中九年级上学期期中数学试卷(含答案解析)

2022北京海淀初三（上）期中数 学注意事项1．本试卷共6页，共两部分，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号．3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效．4．在答题纸上，选择题用2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答．第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）1. 一元二次方程23640x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A. 3，6，4B. 3，6-，4C. 3，6，4-D. 3，6-，4-2. 将抛物线21y x =-+向上平移2个单位长度，得到的抛物线是（ ）A. 23y x =-+ B. 2(2)1y x =--+C. 21y x =-- D. 2(2)1y x =-++3. 下列四幅图案中，可以由右侧的一笔画“天鹅”旋转180︒得到的图案是（ ）A. B.C. D.4. 如图，BD 是ABC 中线，E ，F 分别是BD ，BC 的中点，连接EF ．若4=AD ，则EF 的长为（ ）的A. 32 B. 2 C. 52D. 45. 用配方法解方程2410x x -+=时，结果正确的是（ ）A. ()225x -= B. ()223x -=C. ()225x += D. ()223x +=6. 二次函数2y ax bx c =++的x 与y 的部分对应值如下表：x 1-01234y m 212510则m 的值是（ ）A. 1B. 2C. 5D. 107. 如图，在ABC 中，135BAC ∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针旋转得到DEC ，点,A B 的对应点分别为,D E ，连接AD ．当点,,A D E 在同一条直线上时，下列结论不正确的是（ ）A. ABC DEC≌△△ B. =45ADC ∠︒C. AD =D. AE AB CD=+8. 如图，已知关于x 的一元二次方程2()10a x k --=的两根在数轴上对应的点分别在区域①和区域②，区域均含端点，则k 的值可能是（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9. 若1是关于x 的方程20x ax -=的根，则a 的值为___________．10. 已知ABCD Y 的周长为143AB =，，则BC 的长为___________．11. 若二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，则ac _____0（填“＞”或“＝”或“＜”）．12. 如图，等边ABC 绕顶点A 逆时针旋转80︒得到ADE V ，连接BE ，则ABE ∠=___________︒．13. 若关于x 的一元二次方程20x x k ++=有两个相等的实数根，则k 的值为___________．14. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等．停车位总占地面积为288平方米．设车道的宽为x 米，可列方程为___________．15. 点()()122A y B a y ，，，在二次函数223y x x =-+的图象上．若12y y <，写出一个符合条件的a 的值___________．16. 甲、乙、丙三名同学每人抽取一张卡片，每张卡片上有一个形如2y ax bx =+的二次函数的解析式，其中只有一人与其他两人抽到的解析式不同．下面是他们对抽到的解析式所对应的图象的描述：甲：开口向下；乙：顶点第三象限；丙：经过点（2-，0），（1，3）．根据描述可知，抽到与其他两人解析式不同的是___________（填“甲”，“乙”或“丙”）．在三、解答题（本题共68分，第17题8分，18-25题每题5分，第26题6分，第27、28题每题7分）17. 解方程：（1）249x =；（2）2680x x -+=．18. 如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转90︒得到DEC ，点A 与点D 对应，点B 与点E 对应．（1）依题意补全图形；（2）直线AB 与直线DE 的位置关系为___________．19. 已知m 是方程2240x x +-=的一个根，求代数式2(2)(3)(3)m m m +++-的值．20. 如图，在ABC 中，90,20C B ∠=︒∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转25︒得到ADE V ，AD 交BC 于点F ．若3AE =，求AF 的长．21. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++经过()0,3A 和()10B ,两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）该抛物线的对称轴为___________．22. 已知关于x 的一元二次方程2660x m x m --=＋（）．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个实数根小于2，求m 的取值范围．23. 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数()211y x =--图象顶点为A ，与x 轴正半轴交于点B ．（1）求点B 的坐标，并画出这个二次函数的图象；（2）一次函数y kx b =+的图象过A ，B 两点，结合图象，直接写出关于x 的不等式()211x kx b --+>的解集．24. 如图，在△ABC 中，90ABC ∠=︒，BD 为△ABC 的中线．BE DC ∥，BE DC =，连接CE ．（1）求证：四边形BDCE 为菱形；（2）连接DE ，若60ACB ∠=︒，4BC =，求DE 的长．25. 探照灯的内部可以看成是抛物线的一部分经过旋转得到的抛物曲面．其原理是过某一特殊点的光线，经抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴，我们称这个特殊点为抛物线的焦点．若抛物线的表达式为2y ax =，则抛物线的焦点为(0，14a )．如图，在平面直角坐标系xOy 中，某款探照灯抛物线的表达式为214y x =，焦点为F ．（1）点F 的坐标是___________；（2）过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，已知沿射线FA 方向射出的光线，反射后沿射线AM 射出，AM 所在直线与x 轴的交点坐标为()4,0．① 画出沿射线FB 方向射出的光线的反射光线BP ；②BP 所在直线与x 轴的交点坐标为___________．26. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2222y x mx m =-+-．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m 的式子表示）；（2）已知点(3,2)P ．① 当抛物线过点P 时，求m 的值；② 点Q 的坐标为()1m ，．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出m 的取值范围．27. 在等边△ABC 中，将线段CA 绕点C 逆时针旋转α（0°<α<30°）得到线段CD ，线段CD 与线段AB 交于点E ，射线AD 与射线CB 交于点F ．（1）① 依题意补全图形；② 分别求∠CEB 和∠AFC 的大小（用含α的式子表示）；（2）用等式表示线段BE ，CE ，CF 之间数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(),A a b ．对于点(),P x y 给出如下定义：当x a ≠时，若实数k 满足y b k x a -=-，则称k 为点P 关于点A 的距离系数．若图形M 上所有点关于点A 的距离系数存在最小值，则称此最小值为图形M 关于点A的距离系数．的（1）当点A 与点O 重合时，在()()()1232,22,14,4P P P --,,中，关于点A 的距离系数为1的是___________；（2）已知点()()2,1,1,1B C -，若线段BC 关于点(),1A m -距离系数小于12，则m 的取值范围为___________；（3）已知点()()4,0,0,A T t ，其中24t ≤≤．以点T 为对角线的交点作边长为2的正方形，正方形的各边均与某条坐标轴垂直，点D ，E 为该正方形上的动点，线段DE 的长度是一个定值（02DE <<）． ① 线段DE 关于点A 的距离系数的最小值为___________；② 若线段DE 关于点A 距离系数的最大值是32，则DE 的长为___________．的的参考答案第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）1. 【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的一般式可直接进行求解．【详解】解：一元二次方程23640x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，6-，4-；故选D ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．2. 【答案】A【解析】【分析】直接利用二次函数图象的平移规律：上加下减，平移即可求解．详解】解：将抛物线21y x =-+向上平移2个单位长度，得到的抛物线是212y x =-++，即23y x =-+，故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．3. 【答案】A【解析】【分析】根据旋转的性质即可解答．【详解】解：可以下图一笔画“天鹅”旋转180︒得到的图案是．故选A ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，旋转只改变了图形的方向、不改变形状．4. 【答案】B【解析】【分析】根据三角形中线求出CD ，再根据三角形中位线定理即可求出EF ．【详解】解：∵BD 是ABC 的中线，4=AD ，∴4CD AD ==，【∵点E ，F 分别是BD ，BC 的中点，∴122EF CD ==，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的中线定义、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．5. 【答案】B【解析】【分析】根据完全平方公式，结合等式的性质，进行配方即可．【详解】解：∵2410x x -+=，∴24133x x -++=，∴2443x x -+=，∴()223x -=，故选：B ．【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的求解步骤是解题的关键．6. 【答案】C【解析】【分析】根据表格数据可知，抛物线的对称轴为1x =，由抛物线的对称性可知，=1x -时y 的值与3x =时的值相等，即可求解．【详解】解：有表格可知，当0x =，2y =，当2x =，2y =，由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为1x =，∴=1x -时y 的值与3x =时的值相等，∴=1x -时y 的值为5，即m 的值为5，故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数图象的对称性，解题关键是熟练掌握二次函数的性质．7. 【答案】D【解析】【分析】将ABC 绕点C 逆时针旋转得到DEC ，可得,,,,ABC DEC CA CD CB CE AB DE === ≌再证明45,90,ADC ACD ∠=︒∠=︒ 再逐一分析即可．【详解】解：∵将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△DEC ，∴,,,,ABC DEC CA CD CB CE AB DE === ≌ 故A 不符合题意；∴135,BAC CDE ∠=∠=︒∴45,CDA CAD ∠=︒=∠ 故B 不符合题意；∴90,ACD ∠=︒∴222,AC CD AD +=∴,AD = 故C 不符合题意；∵,AE AD DE =+∴.AE AD AB =+ 故D 符合题意；故选D ．【点睛】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，掌握“旋转的性质”是解本题的关键．8. 【答案】C【解析】【分析】先确定方程两根的范围，然后再确定抛物线的对称轴，最后根据抛物线与x 轴的两个交点关于对称轴对称即可解答．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2()10a x k --=的两根在数轴上对应的点分别在区域①和区域②，区域均含端点，∴一个根110x -<< ，另一个根223x <<，∵抛物线2()y a x k =-的对称轴是直线x k =，∴抛物线与x 轴的两个交点关于对称轴对称，∴k 的值可能为1．故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数图像与一元二次方程关系，掌握二次函数图像与x 轴的交点关于对称轴对称是解答本题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9. 【答案】1【解析】【分析】把1代入方程即可．【详解】解：把1代入方程得210a -=，∴1a =故答案为：1．【点睛】本题主要考查已知方程根求参数的做法，能够正确代入方程计算是解题关键．10. 【答案】4【解析】【分析】根据平行四边形对边相等，即可求解．【详解】解：∵ABCD Y 的周长为143AB =，，的∴,AB CD AD BC ==，∴()214AB BC +=，∴4BC =,故答案为：4．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等是解题的关键．11. 【答案】＜【解析】【分析】首先由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，进而判断ac 与0的关系．【详解】解：∵抛物线的开口向下，∴a ＜0，∵与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c ＞0，∴ac ＜0．故答案为＜．【点睛】考查二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定．二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．常数项c 决定抛物线与y 轴交点．12. 【答案】20【解析】【分析】根据旋转的性质得出AC AE =，根据等边三角形的性质可得AB AC =，等量代换得到AB AE =，由旋转得出80ABD ∠=︒，继而可得20CAD ∠=︒，根据三角形内角和定理，以及等腰三角形的性质得出20ABE ∠=︒．【详解】解：∵等边ABC 绕顶点A 逆时针旋转80︒得到ADE V ，∴AC AE =，80BAD ∠=︒，∵ABC ，ABD △是等边三角形，∴AB AC =，60BAC ∠=︒，60DAE ∠=︒，∴AB AE =，20CAD BAD BAC ∠=∠-∠=︒，∴ABE AEB ∠=∠，∴602060140BAE ∠=︒+︒+︒=︒，∴20ABE ∠=︒．故答案为：20．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等边对等角，旋转的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．13. 【答案】14【解析】【分析】由关于x 的一元二次方程20x x k ++=有两个相等的实数根，则方程的判别式0∆=，据此列方程，解方程可得答案．【详解】∵关于x 的一元二次方程20x x k ++=有两个相等的实数根，∴方程的判别式：21410k ∆=-⨯⨯=，∴14k =，故答案为：14．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握“一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 有两个相等的实数根，则0∆=”是解题的关键．14. 【答案】(18)(30)288x x --=【解析】【分析】由停车场外围的长为30米，宽为18米．及车道及入口都是长为x 米宽，将两个停车位合在一起，可得出停车位的面积等于停车场的面积减去车道的面积，列出方程即可．【详解】解：依题意得(18)(30)288x x --=，故答案为：(18)(30)288x x --=【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15. 【答案】3（答案不唯一）【解析】【分析】二次函数开口向上，离对称轴越远的点函数值越大，找一个离对称轴比1大的数即可．【详解】解：∵二次函数开口向上，∴离对称轴：直线1x =越远的点的函数值越大，A 点离对称轴水平距离为1，故a 可以等于3．故答案为3（答案不唯一）【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，熟练运用函数图像的最低点及性质比大小是解题关键．16. 【答案】甲【解析】【分析】根据2y ax bx =+可知，函数图象过()0,0，再根据丙的描述，画出图象即可进行判断．【详解】解：2y ax bx =+，当0x =时，0y =；∴图象过()0,0，根据丙的描述，可得2y ax bx =+的图象如下：∴抛物线的开口朝上，顶点在第三象限，∴乙，丙两位同学描述的是同一函数图象，∴抽到与其他两人解析式不同的是：甲；故答案为：甲．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．三、解答题（本题共68分，第17题8分，18-25题每题5分，第26题6分，第27、28题每题7分）17. 【答案】（1）132x =，232x =- （2）12x =，24x =【解析】【分析】（1）根据直接开平方法进行求解方程即可；（2）根据因式分解法进行求解方程即可．【小问1详解】解：249x =294x =32x =±∴132x =，232x =-；【小问2详解】解：2680x x -+=()()240x x --=20x -=或40x -=∴122,4x x ==．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．18. 【答案】（1）见解析（2）AB ⊥DE 【解析】【分析】（1）直接根据旋转的性质作图即可；（2）如图：延长DE 交AB 于点F ，然后根据旋转的性质可得CED B ∠=∠，然后根据对顶角相等并结合90ACB ∠=︒即可解答．【小问1详解】解：如图即为所求：．【小问2详解】解：延长DE 交AB 于点F由旋转可得:CED B ∠=∠,∵CED AEF ∠=∠,∵B AEF∠=∠∵90ACB ∠=︒，∴90A B A AEF ∠+∠=∠+∠=︒ ,∴90AFE ∠=︒，即AB DE ⊥．故答案为：AB DE ⊥．【点睛】本题主要考查了旋转作图和旋转的性质等知识点，灵活运用旋转的性质成为解答本题的关键．19. 【答案】3【解析】【分析】把m 代入方程，求出224m m +=，再将代数式进行化简，利用整体思想进行计算即可．【详解】19．解：∵m 是方程2240x x +-=的一个根，∴2240m m +-=．∴224m m +=．原式22449m m m =+++-2245m m =+-()2225m m =+- 245=⨯-3=．【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义，以及利用整体思想求代数式的值．熟练掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键．20. 【答案】【解析】【分析】利用旋转的性质，得到AC AE =，ACF △为等腰直角三角形，利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：∵ABC 绕点A 顺时针旋转25︒得到ADE V ，∴25,FAB AC AE ∠=︒=．∵3AE =，∴3AC =．∵20B ∠=︒，∴45AFC FAB B ∠=∠+∠=︒．∵90C ∠=︒，∴ACF △是等腰直角三角形．∴ AF ==．【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理．熟练掌握旋转的性质和勾股定理是解题的关键．21. 【答案】（1）243y xx =-+（2）2x =【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出答案．【小问1详解】解：∵抛物线2y x bx c =++经过(03)A ，和()1，0B 两点，∴310c b c =⎧⎨++=⎩，解得：34c b =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为：243y xx =-+．【小问2详解】解：∵()224321y x x x =-+=--，∴抛物线的对称轴为2x =．故答案：2x =．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，对称轴，熟练掌握待定系数法求抛物线解析式的一般步骤，是解题的关键．22. 【答案】（1）见解析（2）2m >-【解析】【分析】（1）求得该一元二次方程根的判别式大于等于零即可证明结论；（2）先求出该方程的解，然后令一个实数根小于2，然后求解不等式即可解答．【小问1详解】证明：由题意，2(6)4(6)m m ∆=--⨯- 2+12+36m m =2+60m =≥（）．∴ 该方程总有两个实数根．【小问2详解】（2）解：解方程2660x m x m --=＋（），得：1x m =-，26x =．∵ 方程有一个实数根小于2，∴ 2m -<．∴ 2m >-．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识点，当一元二次根的判别式大于等于零，则该方程有两个不相等的实数根或相等的实数根．23. 【答案】（1）（2，0），画图见解析（2）12x ＜＜【解析】【分析】（1）令0y =，得出()2110x --=，然后解方程即可求出点B 的坐标；（2）先在平面直角坐标系中画出一次函数y kx b =+的图象，然后观察函数图象即可得出答案．【小问1详解】解：令0y =，则()2110x --=，为解得10x =，22x =，∴B 点坐标为（2，0），列表得：x1-0123y301-03画图得：【小问2详解】解：如图，观察图象可知：关于x 的不等式()211x kx b --+>的解集为12x ＜＜．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．24. 【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）利用对边平行且相等证平行四边形，再通过直角三角形斜边上的中线的性质判定BD CD =即可．（2）连接DE ，根据菱形的性质利用勾股定理求解即可．【小问1详解】证明：∵BE DC ∥，BE DC =，∴ 四边形BDCE 为平行四边形．∵ 90ABC ∠=︒，BD 为AC 边上的中线，∴ 12BD CD AC ==，∴ 四边形BDCE 为菱形．【小问2详解】解：连接DE 交BC 于O 点，如图．∵ 四边形BDCE 为菱形，4BC =，∴ 129022OC BC COD DE DO ==∠=︒=，，．∵ 60ACB ∠=︒，∴ 9030EDC ACB ∠=︒-∠=︒．∴ 24DC OC ==．∴ DO ==．∴ 2DE DO ==【点睛】本题主要考查菱形的判定及性质，能够熟练运用菱形的性质是解题关键．25. 【答案】（1）()0,1（2）①见解析，②()1,0-【解析】【分析】（1）根据题意得出114a=，即可确定点F 的坐标；（2）①根据题意确定AM y ∥轴，得出()4,4A ，经抛物线反射后所得的光线平行于y 轴，B P y ∥轴，据此作出平行线即可；②设直线AB 的解析式为()0y kx b k =+≠，利用待定系数法确定直线AB 的解析式，然后与214y x =联立求解即可得出结果．【小问1详解】解：根据题意得214y x =，14a =，∴114a =，∴()0,1F ，故答案为：()0,1；【小问2详解】由题意可知抛物线214y x =的对称轴是y 轴，∴经抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴，即经抛物线反射后所得的光线平行于y 轴，∴AM y ∥轴∵AM 所在的直线与x 轴的交点坐标为()4,0，∴A 点的横坐标为4，纵坐标为21444y =⨯=，∴()4,4A ，①经抛物线反射后所得的光线平行于y 轴，∴B P y ∥轴∴画出沿射线FB 方向射出的光线的反射光线BP ，如下图所示：②设直线AB 的解析式为()0y kx b k =+≠，把()4,4A 、()0,1F 代入，得441k b b +=⎧⎨=⎩，解得：341k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AB 的解析式为314y x =+，由题意可知，直线AB 与抛物线交于A 、B两点，把214y x =代入314y x =+整理得2340x x --=，解得：11x =-，24x =，∵点B 在y 轴的左侧，∴B 点的横坐标为1-，∵B P y ∥轴，∴BP 所在直线与x 轴的交点坐标为()1,0-，故答案为：()1,0-．【点睛】题目主要考查二次函数的应用及利用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二次函数的综合问题等，理解题意，综合运用一次函数与二次函数的性质是解题关键．26. 【答案】（1）(2)m -，（2）①11m =，25m =，②1m £或5m ≥【解析】【分析】（1）将解析式化为顶点式，即可求解；（2）①将点(3,2)P 代入解析式，解一元二次方程，即可得m 的值；②根据①的结论，结合图形即可求解．【小问1详解】解：∵ 22222()2y x mx m x m =-+-=--， ∴ 抛物线的顶点坐标为(2)m -，．【小问2详解】① ∵ 点(3,2)P 在抛物线2222y x mx m =-+-上，∴ 29622m m -+-=．∴ 26+50m m -=．解得11m =，25m =．②解：抛物线的对称轴为x m =，点Q 的坐标为()1m ，，(3,2)P ，根据①可得，点(3,2)P 在抛物线2222y x mx m =-+-上，11m =，25m =．当1m £时，点P 在对称轴的右侧，此时抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，如图，当5m ≥时，点P 在对称轴的左侧，此时抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，如图，综上所述， 1m £或5m ≥．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．27. 【答案】（1）①见解析，②∠CEB =60°＋α，∠AFC =230+α（2）CF =BE ＋CE ，见解析【解析】【分析】（1）①按要求补全图形即可，②利用等边三角形及旋转的性质结合外角，内角和解题即可．（2）CF =BE ＋CE ，延长EA 至点G 使得EG =CE ，运用截长补短方法解题即可．【小问1详解】解：① 补全图形，如图．② 解：∵ △ABC 是等边三角形，∴ ∠BAC =∠ACB =60°．∵ 线段CA 绕点C 逆时针旋转α得到线段CD ，∴ CA =CD ，∠ACD =α．∴ ∠CAD =∠CDA =1802ACD -∠ =902α- ． ∴ ∠CEB =∠BAC ＋∠ACD =60°＋α．∴ ∠AFC =180°-∠CAD-∠ACB =230+α ．【小问2详解】解：线段BE ，CE ，CF 之间的数量关系为CF =BE ＋CE ．证明：延长EA 至点G 使得EG =CE ，连接CG ，如图．∴ ∠G =∠ECG ．∵ ∠CEB =∠G ＋∠ECG =2∠G ，∠CEB =60°＋α，∴ ∠G =230+α．∵ ∠AFC =230+α，∴ ∠G =∠AFC ．∵ △ABC 是等边三角形，∴ AC =BC ，∠ABC =∠ACB =60°．∴ △ACF ≌△CBG ．∴ CF =BG ．∵ BG =BE ＋EG =BE ＋CE ，∴ CF =BE ＋CE ．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及截长补短法在三角形全等证明中的应用，能够熟练运用内角，外角知识点求角度，能够利用截长补短作辅助线是解题关键．28. 【答案】（1）1P ，3P（2）3m <-或2m >（3）①15【解析】【分析】（1）根据距离系数的定义进行计算即可；（2）利用距离系数的定义，用m 表示k ，根据距离系数小于12，进行计算即可；（3）①根据题意，当正方形上的点到()4,0A ，横坐标的距离最大，纵坐标之间的距离最小时，线段DE 关于点A 的距离系数的最小，得到点点()1,1-关于点A 的距离系数的最小，进行计算即可；②根据线段DE 关于点A 的距离系数的最大值是32，即线段上的所有点关于点A 的距离系数存在最小值为32，得到线段DE 上的点的横坐标和纵坐标的取值范围，利用勾股定理进行求解即可．【小问1详解】解：∵()()()()1232,22,14,4,0,0P P P A --,,，∵y b k x a -=-，∴y bk x a -=-，∴12020212k -=-==，22010221k --=-==，34040414k --=-==；∴关于点A 的距离系数为1的是：1P ，3P ；【小问2详解】解：∵()()2,1,1,1B C -，(),1A m -，∴线段BC ：()121y x =-≤≤，()1112y bk x a x m --=---=<，即：4x m ->∴4x m ->或 4x m -<-∴4m x <-或4m x >+∴当两个点的横坐标间的距离越远，k 越小，∴当B 点离A 点横坐标最远时：242m >-+=，当C 离A 点横坐标最远时：143m <-=-，综上：3m <-或2m >；【小问3详解】解：①由y bk x a -=-可知，当正方形上的点到()4,0A ，横坐标的距离最大，纵坐标之间的距离最小时，线段DE 关于点A 的距离系数的最小，根据题意，当正方形如图所示，点()1,1-关于点A 的距离系数的最小：此时：101415k -=--=；②若线段DE 关于点A 的距离系数的最大值是32，即线段上的所有点关于点A 的距离系数存在最小值为32，∴432y byk x a x -=--=≥，由题意知：11,15x y -≤≤≤≤ ∴14414x -≤-≤--，即345x ≤-≤∴952y ≤≤当5y =时，213x ≤≤，∴DE ===【点睛】本题考查坐标系下的新定义．熟练掌握距离系数的定义和运算方法是解题的关键．。

北京市北京师范大学附属中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．下面图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．抛物线y ＝﹣3（x ﹣1）2+3的顶点坐标是（ ） A ．（﹣1，﹣3）B ．（﹣1，3）C ．（1，﹣3）D ．（1，3）3．平面直角坐标系内一点P （﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（ ） A ．（2，﹣3）B ．（3，﹣2）C ．（﹣2，﹣3）D ．（2，3）4．如图，在ABC ∆中，以C 为中心，将ABC ∆顺时针旋转35°得到DEC ∆，边ED ，AC 相交于点F ，若30A ︒∠=，则EFC ∠的度数为（ ）A ．60°B ．65°C ．72.5°D ．115°5．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD ＝34°，那么∠BAD 等于（ ）A ．34°B ．46°C ．56°D ．66°6．已知正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝mx的图象交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，3），则关于x的方程mx＝kx的两个实数根分别为（）A．x1＝﹣3，x2＝3B．x1＝﹣3，x2＝2C．x1＝﹣2，x2＝3D．x1＝﹣2，x2＝27．已知抛物线2(0)y ax bx c a=++≠上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表下列结论：∠抛物线开口向下；∠当1x>时，y随x的增大而减小；∠抛物线的对称轴是直线12x=；∠函数2(0)y ax bx c a=++≠的最大值为2.其中所有正确的结论为（）A．∠∠∠B．∠∠C．∠∠∠D．∠∠∠∠8．如图，OA交∠O于点B，AD切∠O于点D，点C在∠O上．若∠A＝40°，则∠C为（）A．20°B．25°C．30°D．35°9．北京环球国际影城霸天虎过山车是很多人喜欢的项目．过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，其运行的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了过山车在该路段运行的水平距离x与y的三组数据A、B、C，根据上述函数模型和数据，可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离x可能为（）A．4B．5C．7D．910．如图所示，点C是∠O上一动点，它从点A开始逆时针旋转一周又回到点A，点C 所走过的路程为x，BC的长为y，根据函数图象所提供的信息，∠AOB的度数和点C 运动到弧AB的中点时所对应的函数值分别是（）A．150°B．150°，2C．120°D．120°，2二、填空题11．函数2(03)=++的图象如图所示，则该函数的最小值是_______．y ax bx c x12．将抛物线2=向左平移1个单位长度，所得抛物线的表达式为________.y x213．若抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有两个交点，则m的值为_____．14．如图，AB是∠O的一条弦，OD∠AB于点C，交∠O于点D，连接OA．如果AB＝8，CD＝2，那么∠O的半径为_____．=无公共点，这个函数的表达式为15．请你写出一个函数，使它的图象与直线y x_________．16．下列关于抛物线y ＝x 2+bx ﹣2． ∠抛物线的开口方向向下；∠抛物线与y 轴交点的坐标为（0，﹣2）； ∠当b ＞0时，抛物线的对称轴在y 轴右侧；∠对于任意的实数b ，抛物线与x 轴总有两个公共点． 其中正确的说法是 _____．（填写正确的序号）17．已知A （12-，1y ），B （1，2y ），C （4，3y ）三点都在二次函数()22y x k=--+的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系为_______．18．如图，点E 是正方形ABCD 对角线上的一点，∠EAB ＝70°，BE ＝4，将AE 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AF ，点F 到AD 的距离是 _____．三、解答题190|1(1)π-- 20．如图，∠ABC 顶点的坐标分别为A （1，﹣1），B （4，﹣1），C （3，﹣4）．将∠ABC 绕点A 逆时针旋转90°后，得到∠AB 1C 1．在所给的直角坐标系中画出旋转后的∠AB 1C 1，并直接写出点B 1、C 1的坐标：B 1（ ， ）；C 1（ ， ）．21．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）求二次函数图象的顶点坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数的图象；（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．22．如图，点A、B、C是∠O上的点，AD是∠O的直径，AD∠BC于点E．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）若∠BAD＝30°，BC＝∠O的半径．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），C（0，1），点D是矩形OABC对角线的交点．已知反比例函数y＝kx（k≠0）在第一象限的图象经过点D，交BC于点M，交AB于点N．（1）求点D的坐标和k的值；（2）反比例函数图象在点M到点N之间的部分（包含M，N两点）记为图形G，求图形G上点的横坐标x的取值范围．24．已知抛物线22=++-≠．y ax ax a a234(0)（1）该抛物线的对称轴为；（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；（3）设点M（m，1y），N（2，2y）在该抛物线上，若1y＞2y，求m的取值范围．25．已知：如图，AB是∠O直径，延长直径AB到点C，使AB＝2BC，DF是∠O的弦，DF∠AB于点E，OE＝1，∠BAD＝30°．（1）求证：CD是∠O的切线；（2）连接并延长DO交AF于点G，连接GE，请补全图形并求GE的长．26．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1，顶点为D，点A（﹣2，1），B（0，1）．（1）求顶点D的坐标（用m表示）；（2）若二次函数图象与x轴有交点，求m的取值范围；（3）若二次函数图象与线段AB有且只有一个交点，求m的取值范围．27．如图，正方形ABCD，将线段AB绕点顺时针旋转2α（0°＜α＜90°），得到线段AE，连接BE，AP∠BE于P，交DE于F，连接BF．（1）∠补全图形，∠∠ADE＝（用含α的式子表示）；（2）判断DE与BF的位置关系，并证明；（3）若正方形ABCD的边长为2，点M是CD的中点，直接写出MF的最大值．28．规定：平面内点A 到图形G 上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d ，点A 到图形G 上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D ，定义点A 到图形G 的距离跨度为R ＝D ﹣d ．在平面直角坐标系xOy 中，（1）如图1，图形G 1为以O 为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G 1的距离跨度： A （1，0）的距离跨度 ；B （﹣12）的距离跨度 ；C（﹣3，﹣2）的距离跨度 ；（2）如图2，图形G 2为以D （﹣1，0）为圆心，2为半径的圆，直线y ＝k （x ﹣1）上存在到G 2的距离跨度为2的点，求k 的取值范围；（3）如图3，射线OP ：y （x ≥0），∠E 是以3为半径的圆，且圆心E 在x 轴上运动，若射线OP 上存在点到∠E 的距离跨度为2，直接写出圆心的横坐标的取值范围 ．参考答案：1．D 2．D 3．B 4．B 5．C 6．D 7．A 8．B 9．C 10．D 11．-1 12．y=(x+1)2 13．m ＜9 14．515．1y x=-（答案不唯一）16．∠∠17．y 1＜y 3＜y 2##y 2＞y 3＞y 1 18．1920．画图见解析；B 1（1，2）；C 1（4，1）． 21．（1）（2，﹣1）；（2）见解析；（3）﹣1≤y ＜3． 22．（1）见解析；（2）2．23．（1）点D 的坐标为（1，12）；k ＝12；（2）12≤x ≤2． 24．（1）直线x =-1；（2）221y x x =---或2484333y x x =++；（3）当a ＞0时，m ＜－4或m ＞2；当a ＜0时，－4＜m ＜2．25．（1）见解析；（2．26．（1）（m ，m +1）；（2）m ≤﹣1；（3）﹣4≤m ＜﹣1或﹣1＜m ≤0．27．（1）∠图见解析；∠45°﹣α；（2）DE∠BF，证明见解析；（3．28．（1）2；2；4；（2k（3）﹣1≤xE≤2．。

2021-2022学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.方程x2−6x−1=0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是()A. 1，−6，−1B. 1，6，1C. 0，−6，1D. 0，6，−12.中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意．月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样．下列月饼图案中，为中心对称图形的是()A. B. C. D.3.将抛物线y=12x2向下平移1个单位长度，得到的抛物线是()A. y=12x2−1 B. y=12x2+1 C. y=12(x−1)2 D. y=12(x+1)24.用配方法解方程x2+2x−3=0，下列配方结果正确的是()A. (x−1)2=2B. (x−1)2=4C. (x+1)2=2D. (x+1)2=45.如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC=50°，则∠BDC的度数为()A. 90°B. 100°C. 130°D. 140°6.如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将△MNP旋转，得到△M1N1P1，则旋转中心是()A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D7.已知抛物线y=ax2+bx+c，其中ab<0，c>0，下列说法正确的是()A. 该抛物线经过原点B. 该抛物线的对称轴在y轴左侧C. 该抛物线的顶点可能在第一象限D. 该抛物线与x轴必有公共点8.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=10.动点M，N分别从A，C两点同时出发，点M从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，点M，C之间的距离为y，△MCN的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是()A. 正比例函数关系，一次函数关系B. 正比例函数关系，二次函数关系C. 一次函数关系，正比例函数关系D. 一次函数关系，二次函数关系二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.若点A(5,5)与点B关于原点对称，则点B的坐标为______．10.若点(0,a)，(3,b)都在二次函数y=(x−1)2的图象上，则a与b的大小关系是：a______b(填“>”，“<”或“=”)．11.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4.以点A为中心，将矩形ABCD旋转得到矩形AB′C′D′，使得点B′落在边AD上，此时DB′的长为______．12.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x的方程ax2+bx+c=0的解为______．13.如图，C，D为AB的三等分点，分别以C，D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点E，F，连接EF.若AB=9，则EF的长为______．14.1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为______．15.数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小聪的解决方案如下：在轮子圆弧上任取两点A，B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交AB于点C，交AB⏜于点D，测出AB，CD的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出AB=4cm，CD=1cm，则轮子的半径为______cm．16.已知M(x1,y1)，N(x2,y2)为抛物线y=ax2(a≠0)上任意两点，其中0≤x1<x2.若对于x2−x1=1，都有|y2−y1|≥1，则a的取值范围是______．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17.解方程：x2−8x=9．18.如图，△ABC是等边三角形，点D在边AC上，以CD为边作等边△CDE，连接BD，AE.求证：BD=AE．19.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+px+q的图象经过点A(0,−2)，B(2,0)．(1)求这个二次函数的解析式；(2)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象也经过点A，B，结合图象，直接写出不等式kx+b>x2+px+q的解集．20.如图，A，B是⊙O上的两点，C是AB⏜的中点．求证：∠A=∠B．21.已知：A，B是直线l上的两点．求作：△ABC，使得点C在直线l上方，且∠ACB=150°．作法：①分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，在直线l下方交于点O；②以点O为圆心，OA长为半径画圆；③在劣弧AB⏜上任取一点C(不与A，B重合)，连接AC，BC.△ABC就是所求作的三角形．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：在优弧AB⏜上任取一点M(不与A，B重合)，连接AM，BM，OA，OB．∵OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形．∴∠AOB=60°．∵A，B，M在⊙O上，∠AOB(______)(填推理的依据)．∴∠AMB=12∴∠AMB=30°．∵四边形ACBM内接于⊙O，∴∠AMB+∠ACB=180°(______)(填推理的依据)．∴∠ACB=150°．22.已知关于x的一元二次方程x2−2ax+a2−1=0．(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；(2)若该方程的两个根均为负数，求a的取值范围．23.小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线，在B点处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示．(1)在图中画出铅球运动路径的示意图；(2)根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；(3)若铅球投掷距离(铅球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度)不小于10m，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．24.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0经过适当变形，可以写成(x−m)(x−n)=p(m≤n)的形式．现列表探究x2−4x−3=0的变形：变形m n p(x+1)(x−5)=−2−15−2x(x−4)=3043(x−1)(x−t)=61t6(x−2)2=7227回答下列问题：(1)表格中t的值为______；(2)观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为______；(3)记x2+bx+c=0的两个变形为(x−m1)(x−n1)=p1和(x−m2)(x−n2)=p2(p1≠p2)，则n1−n2的值为______．m1−m225.如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，∠C=75°，∠D=45°．(1)求∠AEC的度数；(2)若AC=12，求CD的长．26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)经过点A(1,−1)，与y轴交于点B．(1)直接写出点B的坐标；(2)点P(m,n)是抛物线上一点，当点P在抛物线上运动时，n存在最大值N．①若N=2，求抛物线的表达式；②若−9<a<−2，结合函数图象，直接写出N的取值范围．27.如图，已知∠MON=α(0°<α<90°)，OP是∠MON的平分线，A，B分别在OP，OM上，且AB//ON.以点A为中心，将线段AO旋转到AC处，使点O的对应点C恰好在射线BM上，在射线ON上取一点D，使得∠BAD=180°−α．(1)①依题意补全图；②求证：OC=OD+AD；(2)连接CD，若CD=OD，求α的度数，并直接写出AD的值．OD28.在平面直角坐标系xOy中，对于第一象限的P，Q两点，给出如下定义：若y轴正半轴上存在点P′，x轴正半轴上存在点Q′，使PP′//QQ′，且∠1=∠2=α(如图1)，则称点P与点Q为α−关联点．(1)在点Q1(3,1)，Q2(5,2)中，与(1,3)为45°−关联点的是______；(2)如图2，M(6,4)，N(8,4)，P(m,8)(m>1).若线段MN上存在点Q，使点P与点Q为45°−关联点，结合图象，求m的取值范围；(3)已知点A(1,8)，B(n,6)(n>1).若线段AB上至少存在一对30°−关联点，直接写出n的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：方程x2−6x−1=0，∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，−6，−1．故选：A．根据一元二次方程的一般形式找出a，b，c的值即可．此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是一元二次方程的一般形式是：ax2+ bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2.【答案】B【解析】解：选项A、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以不是中心对称图形；选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以是中心对称图形；故选：B．一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3.【答案】A【解析】解：将抛物线y=12x2向下平移1个单位长度，得到的抛物线是：y=12x2−1，故选：A．根据“上加下减”的规律进行解答即可．本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．4.【答案】D【解析】【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：∵x2+2x−3=0∴x2+2x=3∴x2+2x+1=1+3∴(x+1)2=4故选：D．5.【答案】D【解析】解：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°．又∠ABC=50°，∴∠A=40°，∵四边形ABDC为圆O的内接四边形，∴∠A+∠BDC=180°，∴∠BDC=140°，故选：D．根据直径所对的圆周角是直角求得∠ACB=90°，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求解∠A，再根据圆内接四边形的性质即可得解．此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟记圆周角定理及圆内接四边形的性质是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：线段NN1，线段PP1的垂直平分线的交点为点B，故点B为旋转中心．故选：B．根据对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，可得结论．本题考查旋转的性质，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．7.【答案】C【解析】解：抛物线y=ax2+bx+c，∵c>0，∴抛物线不会经过原点，故A错误；∵ab<0，∴a、b异号，∴抛物线在y轴的右侧，故B错误；∴顶点可能在第一象限，也可能在第四象限，故C正确；当a<0，b>0时，∵c<0，∴顶点在第四象限，此时抛物线与x轴没有交点，故D错误；故选：C．根据抛物线的系数与图象的关系即可求出答案．本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系，本题属于中等题型．8.【答案】D【解析】解：由题意得，AM=t，CN=2t，∴MC=AC−AM=5−t，即y=5−t，MC⋅CN=5t−t2，∴S=12因此y是t的一次函数，S是t的二次函数，故选：D．求出y与t，S与t满足的函数关系式，再根据函数的类型进行判断即可．本题考查一次函数、二次函数，理解一次函数、二次函数的意义是正确解答的前提，求出y与t，S与t的函数关系式是正确判断的关键．9.【答案】(−5,−5)【解析】解：若点A(5,5)与点B关于原点对称，则点B的坐标为(−5,−5)．故答案为：(−5,−5)．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y)，进而得出答案．此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆关于原点对称点的性质是解题关键．10.【答案】<【解析】解：∵y=(x−1)2，∴抛物线开口向上，对称轴是直线x=1，∴点(3,b)离直线x=1远，点点(0,a)离直线x=1较近，∴a<b，故答案是：<．先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=1，然后比较两个点离直线x=1的远近得到a、b的大小关系．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．11.【答案】1【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AD=BC=4，由旋转的性质可知，AB=AB′=3，∴DB′=AD−AB′=4−3=1，故答案为：1．根据DB′=AD−AB′，可得结论．本题考查旋转的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．12.【答案】1和3【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为(1,0)，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0)，∴关于x的方程ax2+bx+c=0的解为1和3．故答案为：1和3．根据抛物线的轴对称性质得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，由此求得关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根．本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是求得抛物线与x轴的两个交点坐标．13.【答案】3√3【解析】解：连接CE、ED、DF、FC，∵C，D为AB的三等分点，AB=9，∴AC=CD=DB=3，∴四边形ECFD是菱形，∴CD、EF互相垂直平分，设CD、EF的交点为O，∴CO=32，∵∠COF==90°，∴OF=√CF2−CO2=√9−94=3√32，∴EF=2OF=3√3．故答案为：3√3．连接CE、ED、DF、FC，根据菱形的判定与性质可得CO=32，然后根据勾股定理及菱形的性质可得答案．此题考查的是线段的垂直平分线的性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题关键．14.【答案】x(x−12)=864【解析】解：∵长为x步，宽比长少12步，∴宽为(x−12)步．依题意，得：x(x−12)=864．由长和宽之间的关系可得出宽为(x−12)步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15.【答案】52【解析】解：设圆心为O，连接OB．Rt△OBC中，BC=12AB=2cm，根据勾股定理得：OC2+BC2=OB2，即：(OB−1)2+22=OB2，解得：OB=2.5；cm．故轮子的半径为52．故答案为：52由垂径定理，可得出BC的长；连接OB，在Rt△OBC中，可用半径OB表示出OC的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．16.【答案】a≥1或a≤−1【解析】解：由题意得，y1=ax12、y2=ax22，∴|y2−y1|=|ax12−ax22|=|a(x1+x2)|，∵|y2−y1|≥1，x2−x1=1，∴|a|≥1恒成立，2x1+1∴|a|≥12x1+1最大值，∵0≤x1，∴2x1+1≥1，≤1，∴12x1+1∴|a|≥1，∴a≥1或a≤−1，故答案为：a≥1或a≤−1．由点M、N是抛物线上的点得到y1=ax12、y2=ax22，然后代入|y2−y1|≥1中，结合x2−x1=1和0≤x1<x2求出a的取值范围．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是通过二次函数图象上点的坐标特征代入|y2−y1|≥1求得关于a与x的不等式．17.【答案】解：∵x 2−8x =9，∴x 2−8x +16=25，∴(x −4)2=5，则x −4=±5，∴x 1=9，x 2=−1．【解析】利用配方法求解即可．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18.【答案】证明：∵△ABC ，△CDE 均为等边三角形，∴AC =BC ，CD =CE ，∠ACB =∠ACE =60°．在△BCD 与△ACE 中，{AC =BC ∠ACB =∠ACE =60°CD =CE，∴△BCD≌△ACE(SAS)，∴BD =AE ．【解析】根据等边三角形的性质和SAS 证明△BCD 与△ACE 全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．本题考查了全等三角形的判定与性质．证明三角形全等是解题的关键．19.【答案】解：(1)∵二次函数y =x 2+px +q 的图象经过点A(0,−2)，B(2,0)，∴{q =−24+2p +q =0， 解得{p =−1q =−2， ∴二次函数的解析式为y =x 2−x −2．(2)由图象可知，不等式kx +b >x 2+px +q 的解集为0<x <2．【解析】(1)把A、B的坐标代入y=x2+px+q，根据待定系数法求得即可；(2)根据图象即可求得一次函数图象在二次函数图象上方的x的取值范围．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与不等式组，数形结合是解题的关键．20.【答案】证明：连接OC．∵C是AB⏜的中点，∴AC⏜=BC⏜，∴∠AOC=∠BOC，在△AOC和△BOC中，{OA=OB∠AOC=∠BOC OC=OC，∴△AOC≌△BOC(SAS)，∴∠A=∠B．【解析】连接OC.证明△AOC≌△BOC(SAS)，可得结论．本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．21.【答案】在同圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半圆内接四边形对角互补【解析】解：(1)如下图即为所求，(2)证明：在优弧AB⏜上任取一点M(不与A，B重合)，连接AM，BM，OA，OB，∵OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∵A，B，M在⊙O上，∠AOB(在同圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)，∴∠AMB=12∴∠AMB=30°，∵四边形ACBM内接于⊙O，∴∠AMB+∠ACB=180°(圆内接四边形对角互补)，∴∠ACB=150°．故答案为：在同圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆内接四边形对角互补．(1)根据题意补全图形；(2)根据画图过程得出△OAB是等边三角形，则∠AOB=60°，根据圆周角定理得出∠AMB=30°，再根据圆内接四边形的性质即可得解．此题是圆的综合题，考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质是解题的关键．22.【答案】(1)证明：依题意，得Δ=(−2a)2−4(a2−1)=4a2−4a2+4=4，∵Δ>0，∴该方程总有两个不相等的实数根；(2)解：解方程x2−2ax+a2−1=0，得x1=a−1，x2=a+1，∵方程的两个根均为负数，∴{a−1<0,a+1<0.解得a<−1．【解析】(1)求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△≥0，根据判别式的意义即可证明；(2)根据题意得不等式组，解不等式组求得a的取值范围即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，用到的知识点：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．23.【答案】解：(1)如图所示．(2)解：依题意，抛物线的顶点B的坐标为(4,3)，点A的坐标为(0,2)．设该抛物线的表达式为y=a(x−4)2+3，由抛物线过点A，有16a+3=2．解得a=−1，16(x−4)2+3；∴该抛物线的表达式为y=−116(x−4)2+3=0．(3)解：令y=0，得−116解得x1=4+4√3，x2=4−4√3(C在x轴正半轴，故舍去)．∴点C的坐标为(4+4√3,0)．∴OC=4+4√3．由√3>32，可得OC >4+4×32=10．∴小明此次试投的成绩达到优秀．【解析】(1)根据题意画出图象即可；(2)设该抛物线的表达式为y =a(x −4)2+3，由抛物线过点A 得到16a +3=2.求得a =−116，于是得到结论；(3)根据题意解方程即可得到结论．本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确建立平面直角坐标系、熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．24.【答案】3 4 −1【解析】解：(1)x 2−4x −3+6=6，x 2−4x +3=6，(x −1)(x −3)=6，所以t =3；故答案为3；(2)−1+5=4，0+4=4，1+3=4，2+2=4，所以m +n 为一次项系数的相反数，即m +n =4；故答案为4；(3)由(2)的结论得到m 1+n 1=−b ，m 2+n 2=−b ，所以m 1+n 1=m 2+n 2，即n 1−n 2=−(m 1−m 2)，∴n 1−n2m 1−m 2=−1． 故答案为−1．(1)先把方程两边加上6，然后把方程左边因式分解，从而得到t 的值；(2)利用表中数据得到m 与n 的和为一次项系数的相反数；(3)由(2)的结论得到m1+n1=−b，m2+n2=−b，则m1+n1=m2+n2，从而得到n1−n2的值．m1−m2本题考查了解一元二次方程，熟练掌握利用公式法、因式分解法和配方法解一元二次方程．25.【答案】(1)解：∵A，D在⊙O上，∠D=45°，∴∠A=∠D=45°，∵∠C=75°，∴在△ACE中，∠AEC=180°−∠A−∠C=60°；(2)解：连接OC，过O作OH⊥CD于H，∵OA=OC，∠A=45°，∴∠ACO=∠A=45°，∴∠AOC=180°−45°−45°=90°，Rt△AOC中，AO2+OC2=AC2，AC=12，∴AO=OC=6√2，∵∠ACD=75°，∴∠OCD=∠ACD−∠ACO=30°，∴OH=1OC=3√2，2∴CH=√OC2−OH2=3√6，∵OH⊥CD于H，∴CD=2CH=6√6．【解析】(1)根据圆周角定理得到∠A=∠D=45°，再根据三角形内角和定理即可得解；(2)连接OC，过O作OH⊥CD于H，根据等腰三角形的性质推出∠AOC=90°，根据勾股定理求出OC=6√2，根据含30°的直角三角形的性质得出OH=3√2，进而得到CH=3√6，再根据垂径定理即可得解．此题考查了圆周角定理、垂径定理，熟记圆周角定理、垂径定理并作出合理的辅助线是解题的关键．26.【答案】解：(1)把x=0代入y=ax2+bx+2得，y=2，∴B(0,2)；(2)①依题意，当N=2时，该抛物线的顶点为(0,2)，设抛物线的解析式为y=ax2+2，由抛物线过A(1,−1)，得a+2=−1，解得a=−3，∴抛物线的表达式为y=−3x2+2；②∵抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)经过点A(1,−1)，∴−1=a+b+2，∴b=−3−a，当a=−9时，b=−3−a=6，则y=−9x2+6x+2，此时，函数有最大值4ac−b 24a =4×(−9)×2−364×(−9)=3，当a=−3时，b=−3−a=0，则y=−2x2+2，此时，函数有最大值4ac−b 24a =4×(−2)×24×(−2)=2，∴2≤N<3．【解析】(1)根据y轴上点的坐标特征求得即可；(2)①由题意得抛物线的顶点为(0,2)，把A(1,−1)代入即可求出a的值，继而求出抛物线的表达式；②把点A(1,−1)代入y=ax2+bx+2得出a与b的关系，再把a=−9和a=−3代入求出对应b的值，从而求出抛物线解析式，利用解析式求出最大值，即可得到N的取值范围．本题考查了二次函数的图象与性质，用待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的图象与性质及最值的求法是解决问题的关键．27.【答案】(1)解：①补全图形，如图．②证明：∵OP平分∠MON，∠MON=α，∴∠AOC=∠AON=12∠MON=12α，∵AB//ON，∴∠BAO=∠AON，∴∠BAO=∠AOC，∴AB=BO，∵由旋转，AO=AC，∴∠AOC=∠ACO=12α，∴∠ACO=∠AON，∠OAC=180°−α，∵∠BAD=180°−α，∴∠OAC=∠BAD，∴∠BAC=∠DAO，∴△ABC≌△ADO(ASA)，∴AB=AD，CB=OD，∴BO=AD，∵OC=CB+BO，∴OC=OD+AD．(2)如图所示，∵AB//ON，∴∠BAD+∠ADO=180°，∵∠BAD=180°−α，∴∠ADO=α，∵AC=AO，CD=OD，AD=AD，∴△ADC≌△ADO(SSS)，∴∠DCA=∠DOA=1α，2∠CDA=∠ODA=α，在△CDO中，∠OCD+∠CDO+∠DOC=180°，∴4α=180°，∴α=45°，此时，AD的值为√2−1．OD【解析】(1)①根据要求作出图形．②证明△ABC≌△ADO(ASA)，可得结论．α，再利用三角形内角和定理，(2)证明△ADC≌△ADO(SSS)，推出∠DCA=∠DOA=12构建方程求解即可．本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转变换等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．28.【答案】Q1【解析】解：(1)过点P作PA⊥y轴于点A，过点Q作QB⊥x轴于点B，∵P(1,3)，α=45°，∴∠1=∠2=45°，∴∠PP′Q′=90°，∠P′Q′O=45°，∴△APP′和△P′Q′O都是等腰直角三角形，∴AP′=AP=1，∴OQ′=OP′=AO−AP′=3−1=2，∵PP′//QQ′，∴∠P′Q′Q=90°，∴∠QQ′B=45°，∴△Q′BQ是等腰直角三角形，∴当Q′B=BQ=1时，点Q的坐标为(3,1)，∴与(1,3)为45°−关联点的是Q1(3,1)．故答案为Q1；(2)如图所示，对点P(m,8)(m>1)而言，依定义，要使∠1=∠2=α=45°，则有：P′为(0,8−m)，Q′为(8−m,0)，于是函数y=x−(8−m)(x>8−m)上的点Q即为点P的45°−关联点．若当点Q在线段MN上时，y Q=4，则有x Q=12−m．由6≤x Q≤8，得6≤12−m≤8，解得4≤m≤6．(3)n>2√3．∵点Q和点P在线段AB上，当点P离B越近时，点Q的横坐标越小，∴当点P，Q，B三点重合时，点P′，点Q′和点O重合，过点P作PM⊥y轴于点M，∵α=30°，∴∠BOM=30°，∵B(n,6)，∴OM=6，=2√3，∴n=BM=OM⋅tan30°=6×√33∴当线段AB上至少存在一对30°−关联点时，n>2√3．∴n的取值范围是n>2√3．(1)过点P作PA⊥y轴于点A，过点Q作QB⊥x轴于点B，由P点的坐标得出△APP′和△P′Q′O都是等腰直角三角形，得出△Q′BQ是等腰直角三角形，则可得出答案；(2)由点P与点Q为45°−关联可知点P′为(0,8−m)，Q′为(8−m,0)，求出关联点所在直线表达式，将y=4代入求出横坐标，根据点Q在线段MN上可表示出横坐标的取值范围，即可得出答案；(3)由题意画出图形，由直角三角形的性质可得出答案．本题考查一次函数综合题，考查了等腰直角三角形的性质，点P与点Q为α−关联点的新定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。

海淀区2021初三年级上学期数学期中重点试题(含答案解析)海淀区2021初三年级上学期数学期中重点试题(含答案解析)一、选择题1．方程的根的情况是A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定是否有实数根2.在Rt△ABC中，∠C=90o，，那么的值为A. B. C. D.3.假设右图是某个几何体的三视图，那么这个几何体是A. 长方体B. 正方体C. 圆柱D. 圆锥4.小丁去看某场电影，只剩下如下图的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号．假设小丁从中随机抽取一个，那么抽到的座位号是偶数的概率是A. B. C. D.5．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，假设C1为OC的中点，AB=4，那么A1B1的长为A. 1B. 2C. 4D. 86．点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数的图象上的两点，假设x1＜0＜x2，那么以下结论正确的选项是A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜07．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．假设AC=2，那么OF的长为A． B． C．1 D．28．如图1，在矩形ABCD中，ABBC，AC，BD交于点O．点E 为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于F．设AE=x，图1中某条线段的长为y，假设表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，那么这条线段可能是图1中的图1 图2A．线段EF B．线段DE C．线段CE D．线段BE二、填空题〔此题共16分，每题4分〕9．假设扇形的半径为3cm，圆心角为120°，那么这个扇形的面积为__________ cm2．10．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为m.11．如图，抛物线与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为，，那么关于x的方程的解为__________．12．对于正整数，定义，其中表示的首位数字、末位数字的平方和．例如：，．规定，〔为正整数〕．例如：，．〔1〕求： ____________， ______________；〔2〕假设，那么正整数m的最小值是_____________．三、解答题〔此题共30分，每题5分〕13.计算： .14.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E. 求证：△ACD∽△BCE．15. 是一元二次方程的实数根，求代数式的值．16.抛物线平移后经过点，，求平移后的抛物线的表达式．17.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC.〔1〕求反比例函数的解析式；〔2〕假设点P是反比例函数图象上的一点，且满足△OPC 与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．18.如图，△ABC中，∠ACB=90°，， BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为E．〔1〕求线段CD的长；〔2〕求的值．四、解答题〔此题共20分，每题5分〕19．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．〔1〕求m的取值范围；〔2〕假设，且，求整数m的值．20. 某工厂消费的某种产品按质量分为10个档次，据调研显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如下表所示〔其中x为正整数，且1≤x≤10〕：质量档次 1 2 ... x (10)日产量〔件〕95 90 … (50)单件利润〔万元〕 6 8 … (24)为了便于调控，此工厂每天只消费一个档次的产品．当消费质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．〔1〕求y关于x的函数关系式；〔2〕工厂为获得最大利润，应选择消费哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．21.如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC于点E，交⊙O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF．〔1〕求证：直线PC是⊙O的切线；〔2〕假设AB= ，AD=2，求线段PC的长．22．阅读下面材料：小明观察一个由正方形点阵组成的点阵图，图中程度与竖直方向上任意两个相邻点间的间隔都是1．他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．请答复：〔1〕如图1，A、B、C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；〔2〕如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足于F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算可以使问题得到解决．请你帮小明计算：OC=_______________； =_______________；参考小明考虑问题的方法，解决问题：如图3，计算： =_______________．五、解答题〔此题共22分，第23题7分，第24题7分，第25小题8分〕23.在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点， . 〔1〕求代数式mn的值；〔2〕假设二次函数的图象经过点B，求代数式的值；〔3〕假设反比例函数的图象与二次函数的图象只有一个交点，且该交点在直线的下方，结合函数图象，求的取值范围.24．如图1，在△ABC 中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC = DE，∠CDE=∠ADB=α．〔1〕如图2 ，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；〔2〕将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．① 假设α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长〔用含α的式子表示〕．25. 在平面直角坐标系xOy中，设点，是图形W上的任意两点．定义图形W的测度面积：假设的最大值为m，的最大值为n，那么为图形W的测度面积．例如，假设图形W是半径为1的⊙O．当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，获得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，获得最大值，且最大值n=2．那么图形W的测度面积．〔1〕假设图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1.①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S= ；②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S= ；〔2〕假设图形W是一个边长为1的正方形ABCD，那么此图形测度面积S的最大值为；〔3〕假设图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围．海淀区2021初三年级上学期数学期中重点试题(含答案解析)参考答案及评分参考阅卷须知:1. 为便于阅卷,本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细,阅卷时,只要考生将主要过程正确写出即可.2. 假设考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分.3. 评分参考中所注分数,表示考生正确做到步应得的累加分数。

北京市海淀区初三数学第一学期期中试题及答案初中数学海淀区九年级第一学期期中练习数学试卷答宴及谗分捻考16医号9 10 11 12•'•斗=4內=-2・ .................. ................................ 5分x-l»±3.A x} «4.r;■・2・................. ….................................. 5分14.计％彳34（护*声・1卜（一2）°.tt： ®St-2v3-3+^3-l^l ............................................ ........................2 •=373-4-1,15.计算2 (272-3)(72 + 1). 解：原式=4 42的一 3运一31-72.16.解法r 违按OC.OZXA ZJCO = 90°. Z/DO = 90°「・•\ m } +2m-5 = 0.•*• rn‘+・5/w ・9-刃（亦十2加-5）-9V AO&^B 的I ［径，C. £）两点在上.4 RtA ACO 和 RtA /DO 中.促OB 的宣径• C\ D 两点在O B 匕Z^CC? = 90% "DO 二AC. AD 3分4分AD^S.解法二连接OC.OD2分••• AC^ADr4分I 4C-5. A 4D = 5.AC^ AD.\OC^OD. imo ・ 0••• RtA ACO 4 RU ADO.7.風 I 刖她方程，+ 2上一5M 0的一个根.$分2 •18・解! （I ） •即为所球.（不写结论的不扣分） 3C.......................................................... 3分（2） 2鬲・ .............................. 3分 四.解备题（本題共20分.毎小題5分） 19・解：设这种药品平均每次降价的百分率足工 依题意.得200(1-x)2 =不合注意■舍去〉. 解鸭勺亦2卫 卒 这种药品号均毎伙降价的百分20%・ .............20・解，如田•当弦CQ 与半径。

O DCB A 北京市海淀区2021届九年级上期中考试数学试题及答案一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．下列图形是中心对称图形的是（ ）A B C D2．将抛物线2y x =向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A.21y x =+ B.21y x =- C.()21y x =+D.()21y x =-3.袋子中装有4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的情形下，随机从袋子中摸出1个球.下面说法正确的是（ ） A.那个球一定是黑球 B.那个球一定是白球C.“摸出黑球”的可能性大D.“摸出黑球”和“摸出白球”的可能性一样大4.用配方法解方程2230x x --=时，配方后得到的方程为（ ）A.2(1)=4x - B.2(1)4x -=- C.2(1)=4x + D.2(1)=4x +- 5．如图，O 为正五边形ABCDE 的外接圆，O 的半径为2，则AB 的长为（ ）A.5πB.25πC.35πD.45π6．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，59ABD ∠=︒，则C ∠等于（ ）A.29︒B.31︒C.59︒D.62︒7．已知二次函数24y x x m =-+（m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为(1,0)，则关于x 的一元二次方程240x x m -+=的两个实数根是（ ）B O CEDCBAA.121,1x x ==-B.121,2x x =-=C.121,0x x =-=D.121,3x x ==8．如图，C 是半圆O 的直径AB 上的一个动点（不与A ，B 重合），过C 作AB 的垂线交半圆于点D ，以点D ，C ，O 为顶点作矩形DCOE ． 若AB =10，设AC =x ，矩形DCOE 的面积为y ，则下列图象中能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A B C D二、填空题（本题共16分，每小题4分）9.如图，PA ，PB 分别与O 相切于点A ，B ，连接AB .60APB ∠=︒，5AB =，则PA 的长是 ．10．若关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为_________．11．在平面直角坐标系xOy 中，函数2y x =的图象通过点11(,)M x y ，22(,)N x y 两点，若1 42x -<<-，202x <<，则1y 2y .（用“<”，“=”或“>”号连接）12．如图，正方形ABCD 中，点G 为对角线AC 上一点，AG=AB ． ∠CAE =15°且AE=AC ，连接GE ．将线段AE 绕点A 逆时针旋转得到 线段AF ，使DF=GE ，则∠CAF 的度数为____________．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解方程：2310x x +-=．14．如图，∠DAB =∠EAC ，AB =AD ，AC =AE ．求证：BC =DE ．GDCED C BO A OBA P15．已知二次函数的图象通过点(0,1)，且顶点坐标为(2,5)，求此二次函数的解析式．16．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠ABC =130°，求∠OAC 的度数．17．若1x =是关于x 的一元二次方程22420x mx m -+=的根，求代数式()2213+m -的值．18.列方程解应用题：某工厂废气年排放量为450万立方米，为改善空气质量，决定分两期治理，使废气的排放量减少到288万立方米．假如每期治理中废气减少的百分率相同，求每期减少的百分率．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．下图是某市某月1日至15日的空气质量指数趋势图，空气质量指数不大于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．（1）由图可知，该月1日至15日中空气重度污染的有 天； （2）小丁随机选择该月1日至15日中的某一天到达该市，求小丁到达该市当天空气质量优良的概率．20．已知关于x 的方程2(3)30ax a x +--=(0)a ≠. （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有两个不相等的负整数根，求整数a 的值．21．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，CD ⊥AB 于点E ，点G 在直径DF 的延长线上，∠D =∠G =30．（1）求证：CG 是⊙O 的切线； （2）若CD =6，求GF 的长．FD CE O A B空气质量指数22．阅读下面材料：小丁在研究数学问题时遇到一个定义：关于排好顺序的三个数：123,,x x x ，称为数列123,,x x x ．运算1x ，122x x +，1233x x x ++，将这三个数的最小值称为数列123,,x x x 的价值．例如，关于数列2，1-，3，因为22=，2(1)122=+-，2(1)3433+-+=，因此数列2，1-，3的价值为12． 小丁进一步发觉：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都能够按照上述方法运算其相应的价值.如数列1-，2，3的价值为12；数列3，1-，2的价值为1；…．通过研究，小丁发觉，关于“2，1-，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为12． 依照以上材料，回答下列问题：（1）数列4-，3-，2的价值为______；（2）将“4-，3-，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值的最小值为______ ，取得价值最小值的数列为___________（写出一个即可）； （3）将2，9-，a (1)a >这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，则a 的值为__________．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(1)y x m x m =---(0)m >与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A 的坐标；（2）当15ABC S △=时，求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，通过点C 的直线l :y kx b =+(0)k <与抛物线的另一个交点为D . 该抛物线在直线l 上方的部分与线段CD 组成一个新函数的图象. 请结合图象回答：若新函数的最小值大于8-，求k 的取值范畴．24．将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，连续旋转α(0120)α<<得到线段AD，连接CD．（1）连接BD，①如图1，若α=80°，则∠BDC的度数为；②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由．（2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B=∠ACD，连接CE，DE．若∠CED=90°，求α的值．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b 在第一象限．以P 为圆心的圆通过原点，与y 轴的另一个交点为A ．点Q 是线段OA 上的点（不与O ，A 重合），过点Q 作PQ 的垂线交⊙P 于点(,)B m n ，其中0≥m ．（1）若5b =，则点A 坐标是________________； （2）在（1）的条件下，若OQ =8，求线段BQ 的长；（3）若点P 在函数2y x =(0)x >的图象上，且△BQP 是等腰三角形. ①直截了当写出实数a 的取值范畴：__________________；②在12PQ 的长度能够为 ，并求出现在点B 的坐标．备用图海淀区九年级第一学期期中练习2020.11数学试卷答案及评分参考阅卷须知:1. 为便于阅卷,本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细,阅卷时,只要考生将要紧过程正确写出即可.2. 若考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分.3. 评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数.二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9． 5 ；10． 4 ； 11． > ；12． 30°或60°．（注：每个答案2分）三、解答题（本题共30分,每小题5分） 13.（本小题满分5分）解：∵131a ,b ,c ===-， …………………………………………………………………1分∴2341(1)=13>0∆=-⨯⨯-． … ……………………………………………………2分∴x ==∴12x =． ……………………………………………………5分 14．（本小题满分5分）证明：∵∠DAB =∠EAC ，∴∠DAB +∠BAE =∠EAC+∠BAE ．∴∠DAE =∠BAC ． ………………………………………………………………1分 在△BAC 和△DAE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△BAC ≌△DAE ． ………………………………………………………………4分 ∴BC =DE ． ………………………………………………………………………5分 15.（本小题满分5分）解：设二次函数的解析式为()225y a x =-+ (0)a ≠．……………………………1分∵二次函数的图象通过点(0,1)．∴()21025a =-+．………………………………………………………………2分 ∴1a =-． …………………………………………………………………………4分 ∴二次函数的解析式为241y x x =-++．………………………………………5分16. （本小题满分5分）解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠ADC +∠ABC =180°． …………………………………………………………1分 ∵∠ABC =130°，∴∠ADC =180°-∠ABC =50°． …………………………………………………2分∴∠AOC =2∠ADC =100°． ………………………………………………………3分 ∵OA=OC ，∴∠OAC =∠OCA ． ……………………………………………………………4分∴∠OAC =1(180)402AOC -∠=． ……………………………………………… 5分17. （本小题满分5分）解：依题意,得 21420m m -+=. ……………………………………………………2分∴2241m m -=-． ………………………………………………………………3分 ∴()()2222132213245154+=m m m m m --++=-+=-+=． …………5分18. （本小题满分5分）解：设每期减少的百分率为x ．…………………………………………………… ……1分 由题意，得()24501288x -=． ……………………………………………… ………2分解方程得 115x =，295x =． ………………………………………………… ……3分经检验，915x =>不合题意，舍去；15x = 符合题意． ……………… …………4分答：每期减少的百分率为20%． ……………………………………………… ………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19. （本小题满分5分）解：（1）3． …………………………………………………………………………… 2分（2）小丁随机选择该月1日至15日中的某一天到达该市，则到达该市的 日期有15种不同的选择，在其中任意一天到达的可能性相等． ……………3分 由图可知，其中有9天空气质量优良． ………………………………… ……4分因此，P （到达当天空气质量优良）93155==． …………………… ………5分20. （本小题满分5分）解：（1）∵0a ≠，∴原方程为一元二次方程．∴()234(3)a a ∆=--⨯⨯- ………………………………………………1分()23a =+．∵()230≥a +．∴此方程总有两个实数根． …………………………………………………2分 （2）解原方程，得 11x =-，23x a=. ……………………………………………3分 ∵此方程有两个负整数根，且a 为整数，∴1a =-或3-． …………………………………………………………………4分 ∵12x x ≠，∴3a ≠-．∴1a =-． ………………………………………………………………………5分 21. （本小题满分5分） （1）证明:连接OC ．∵OC=OD ，∠D =30°， ∴∠OCD =∠D = 30°．…………………………………1分 ∵∠G =30°，∴∠DCG =180°-∠D -∠G =120°． ∴∠GCO =∠DCG -∠OCD =90°． ∴OC ⊥CG ．又∵OC 是⊙O 的半径．∴CG 是⊙O 的切线．……………………………………2分（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴132CE CD ==. ………………………………………………………3分∵在Rt △OCE 中，∠CEO =90°，∠OC E =30°， ∴12OE OC =，222OC OE CE =+． 设OE x =，则2OC x =.∴()22223x x =+.解得3x =（舍负值）．∴23OC =． ………………………………………………………………4分∴OF =在△OCG 中，∵∠OCG =90°，∠G =30°，∴2OG OC ==∴GF GO OF =-= ……………………………………………………5分22. （本小题满分5分）答：（1）53． …………………………………………………………………………………1分（2）12， ………………………………………………………………………………2分3,2,4--或2,3,4--．（写出一个即可）…………………………………………3分 （3）11或4．（每个答案各1分） ……………………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. （本小题满分7分）解：（1）∵ 抛物线2(1)y x m x m =---(0)m >与x 轴交于A 、B 两点，∴ 令0y =，即 2(1)0x m x m ---=．解得 11x =-，2x m =． …………………………………………………1分 又∵ 点A 在点B 左侧，且0m >，∴ 点A 的坐标为(1,0)-． …………………………………………………2分（2）由（1）可知点B 的坐标为(0)m ，．∵抛物线与y 轴交于点C ，∴点C 的坐标为(0,)m -． ……………………………………………………3分 ∵0m >，∴1AB m =+，OC m =． ∵15△ABC S =， ∴1(1)152m m +=． ∴6m =-或5m =． ∵0m >，∴5m =．∴抛物线的表达式为245y x x =--． ………………………4分（3）由（2）可知点C 的坐标为(0,5)-．∵直线l ：y kx b =+(0)k <通过点C ，∴5b =-. ………………………………………5分 ∴直线l 的解析式为5y kx =-(0)k <． ∵2245(2)9y x x x =--=--，∴当点D 在抛物线顶点处或对称轴左侧时，新函数的最小值为9-，不符合题意． 当点D 在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于8-． 令8y =-，即2458x x --=-．解得 11x =（不合题意，舍去），23x =． ∴抛物线通过点(3,8)-．当直线5y kx =-(0)k <通过点(3,8)-时，可求得1k =-．…………………6分 由图象可知，当10k -<<时新函数的最小值大于8-． ………………………7分24．（本小题满分7分） 解：（1）①30°． …………………………………………………………………………1分②不改变，∠BDC 的度数为30．方法一：由题意知，AB=AC=AD ．∴点B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上．…………………………2分 ∴∠BDC=12∠BAC =30．……………………………………………………3分 方法二：由题意知，AB=AC=AD ． ∵AC =AD ，∠CAD =α， ∴1801=9022ADC C αα-==-∠∠．…………………………………2分 ∵AB=AD ，∠BAD =60α+，∴()18060120160222ADB B ααα-+-====-∠∠． ∴11(90)(60)3022BDC ADC ADB αα=-=---=∠∠∠．…………3分（2）过点A 作AM ⊥CD 于点M ，连接EM ．∴90AMC ∠=． 在△AEB 与△AMC 中，AEB AMC B ACD AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△AEB ≌△AMC ． ………………………………………………………4分∴AE AM =，BAE CAM ∠=∠．∴60EAM EAC CAM EAC BAE BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=．∴△AEM 是等边三角形．∴EM AM AE ==． …………………………………………………………5分 ∵AC AD =，AM CD ⊥ ， ∴CM DM =． 又90DEC ∠=，∴EM CM DM ==．∴AM CM DM ==． …………………………………………………………6分 ∴点A 、C 、D 在以M 为圆心，MC 为半径的圆上．∴90CAD α=∠=． …………………………………………………………7分 25. （本小题满分8分） 解： （1）（0，10）． …………………………………………………………………1分（2）连接BP 、OP ，作PH ⊥OA 于点H ．∵5,b =PH ⊥OA ， ∴152OH AH OA ===．∵OQ =8，∴3QH OQ OH =-=．在Rt △QHP 中，22229PQ QH PH PH =+=+．在Rt PHO △中，2222225PO OH PH PH BP =+=+=．在Rt △BQP 中，22222(25)(9)16BQ BP PQ PH PH =-=+-+=． ∴4BQ =．……………………………………………………………………3分（3）①1≥a ．……………………………………………………………………………4分……………………………………………………………………………5分 解：∵△BQP是等腰直角三角形，PQ =B∴半径BP = 又∵2(,)P a a ，∴2242OP a a =+=．即42200a a +-=．解得2a =±．∵0a >，∴2a =． ……………………………………………………………………………6分 ∴(2,4)P ．如图，作BM y ⊥轴于点M ，则△QBM ≌△PQH ． ∴2MQ PH ==，MB QH ===∴1B ． …………………………………7分若点Q 在OH上，由对称性可得2B ． ……………………………8分综上，当PQ =B点坐标为或2-．。

九年级数学参考答案第一部分选择题一、选择题（本题共16分，每小题2分）第二部分非选择题二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（5-，5-）10．<11．112．11x=，23x=13．14．()12864x x-=15．5216．1a≥或1a≤-三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-23题，每小题6分，第24题5分，第25-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（本题满分5分）解：281625x x-+=()245x-=…………………………………………3分45x-=±19x=，21x=-．…………………………………………5分18．（本题满分5分）证明：∵△ABC，△CDE均为等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ACE=60°．…………………………………………3分∴△BCD≌△ACE．…………………………………………4分∴BD=AE．…………………………………………5分EDCBA解：（1）∵ 二次函数2y x px q =++的图象经过点(02)A -，，(20)B ，， ∴ 2420.q p q =-⎧⎨++=⎩，…………………………1分解得12.p q =-⎧⎨=-⎩，∴ 二次函数的解析式为22y x x =--． …………………………3分（2）02x <<． …………………………5分20．（本题满分5分）证明：连接OC ．∵ C 是AB 的中点，∴ AC BC =． ………………………1分 ∴ ∠AOC =∠BOC ． ………………………2分 ∵ OA =OB ，OC =OC ，∴ △AOC ≌ △BOC ． …………………………4分 ∴ ∠A =∠B ． …………………………5分21．（本题满分5分）（1）如下图即为所求．分（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； ………………………4分 圆内接四边形对角互补． ………………………5分（1）证明：依题意，得()()22241a a ∆=---=22444a a -+= 4． ………………1分∵ 0∆>，∴ 该方程总有两个不相等的实数根． ………………………2分（2）解：解方程，得11x a =-，21x a =+． ………………………4分∵ 方程的两个根均为负数， ∴ 1010.a a -<⎧⎨+<⎩，解得1a <-． ………………………6分23．（本题满分6分）（1）如图所示．………………………1分（2）解：依题意，抛物线的顶点B 的坐标为（4，3），点A 的坐标为（0，2）.设该抛物线的表达式为()243y a x =-+. ………………………2分 由抛物线过点A ，有1632a +=. 解得116a =-． ………………………3分 ∴ 该抛物线的表达式为()214316y x =--+． ………………………4分 （3）解：令0y =，得()2143016x --+=. 解得1443x =+，2443x =-（C 在x 正半轴，故舍去）.∴ 点C 的坐标为（443+，0）． ………………………5分 ∴ 443OC =+． 由332>，可得344102OC >+⨯=. ∴ 小明此次试投的成绩达到优秀． ………………………6分yx4m3m 2m COBA（1）3； …………………………1分 （2）4m n +=； …………………………3分 （3）1-． …………………………5分25．（本题满分6分）（1）解：∵ A ，D 在⊙O 上，∠D =45°，∴ ∠A =∠D =45°． …………………………1分 ∵ ∠C=75°，∴ 在△ACE 中，18060AEC A C ∠=︒-∠-∠=︒． …………………………2分 （2）解：连接OC ，过O 作OH ⊥CD 于H ． ∵ OA =OC ，∠A =45°， ∴ ∠ACO =∠A =45°．∴ ∠AOC =90°． ………………3分 ∵ Rt △AOC 中，222AO OC AC +=，AC =12，∴AO OC == ……………4分 ∵ ∠ACD =75°，∴ 30OCD ACD ACO ∠=∠-∠=︒． ∴12OH OC ==∴ Rt △OCH中，CH =． …………………………5分 ∵ OH ⊥CD 于H ，∴2CD CH == …………………………6分26．（本题满分6分）（1）（0，2）. …………………………1分（2）① 依题意，当2N =时，该抛物线的顶点为（0，2）. …………………………3分设抛物线的解析式为22y ax =+. 由抛物线过A （1，1-），得21a +=-， 解得3a =-∴ 抛物线的表达式为232y x =-+． …………………………4分 ② 23N ≤<． …………………………6分（1）①……………………………………………1分②证明：∵OP平分∠MON，∠MON=α，∴∠AOC=∠AON=12MON∠=12α．∵AB∥ON，∴∠BAO=∠AON．∴∠BAO=∠AOC．∴AB= BO．…………………………………………………………2分∵由旋转，AO=AC，∴∠AOC=∠ACO=12α．∴∠ACO=∠AON,∠OAC=180α︒-．∵180BADα∠=︒-,∴∠OAC=∠BAD．∴∠BAC=∠DAO．∴△ABC≌△ADO．…………………………………………………………3分∴AB= AD，CB= OD．∴BO=AD．∵OC= CB +BO，∴OC= OD+ AD．…………………………………………………………4分（2）如图所示，∵AB∥ON，∴∠BAD+∠ADO=180°.∵180BADα∠=︒-,O∴∠ADO=α.∵ AC =AO ，CD =OD ，AD =AD ， ∴ △ADC ≌ △ADO ．∴∠DCA =∠DOA =12α,∠CDA =∠ODA =α.∵ 在△CDO 中，∠OCD +∠CDO +∠DOC =180∴ 4180α=︒．∴ 45α=︒． ……………………………………………6分 此时，ADOD1． ……………………………………………7分28．（本题满分7分）（1）1Q ； ……………………………………………2分（2）解：如图所示，对点P （m ，8）（1m >）而言，依定义，要使1245α∠=∠==︒，则有： P '为（0，8m -），Q '为（8m -，0），于是函数()8y x m =--（8x m >-）上的点Q 即为点P 的45°-关联点.若当点Q 在线段MN 上时，4Q y =，则有12Q x m =-. 由68Q x ≤≤，得6128m ≤-≤，解得46m ≤≤．……………………………………………5分（3）n > ……………………………………………7分O。

2023-2024学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）A．1，3，1B．1，3，-1C．0，-3，1D．0，-3，-1 1．（2分）一元二次方程x2+3x-1=0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）解：一元二次方程x2+3x-1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，3，-1．故选：B．【解答】A．B．C．D．2．（2分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）解：选项A、B、C的图形不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项D的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：D．【解答】A．y1>y2B．y1<y2C．y1=y2D．不能确定大小关系3．（2分）已知A（-1，y1），B（-2，y2）都在抛物线y=3x2上，则y1与y2之间的大小关系是（ ）解：∵函数y=3x2上的对称轴为y轴，∴A（-1，y1）、B（-2，y2）在对称轴左侧，∴抛物线开口向上，对称轴左侧y随x的增大而减小．∵-1>-2∴y1<y2．故选：B．【解答】A．-3B．-7C．1D．74．（2分）一元二次方程x2-4x+3=0经过配方变形为（x-2）2=k,则k的值是（ ）解：x2-4x+3=0，x2-4x=-3，x2-4x+4=-3+4，（x-2）2=1，∴k=1，故选：C．【解答】A．开口方向改变B．开口大小改变C．对称轴不变D．顶点位置不变5．（2分）将抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移，关于平移前后的抛物线，下列说法正确的是（ ）解：将抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移后，抛物线对称轴不变，开口方向和大小不变，顶点位置改变，【解答】故选：C ．A ．30B ．45C ．60D ．1056．（2分）陀螺是一款常见的玩具．图1为通过折纸制作的一种陀螺，图2为这种陀螺的示意图．若将图2中的图案绕点O 旋转x °可以与自身重合，则x 的值可以是（ ）解：该图形内部是八边形，那么最小的旋转角度为x =3608=45，故选：B ．【解答】A ．2×150x =216B ．150x 2=216C ．150+150x 2=216D ．150（1+x ）2=2167．（2分）小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如下：观鸟记录年度总结2020年：观测鸟类150种2021年：观测鸟类2022年：观测鸟类216种设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为x ,则下列方程正确的是（ ）解：由题意得：150（1+x ）2=216．故选：D ．【解答】A ．若α=30°，则b =12a B ．若α=45°，则b =2aC ．若α=60°，则b =aD ．若α=90°，则b =2a 8．（2分）如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，将AC 绕点A 逆时针旋转α（0°<α≤90°），得到线段AE ，连接CE ，设AB =a ,CE =b ,下列说法正确的是（ ）√解：当α=30°时，过点C 作CF ⊥AE ，如图：∵四边形是正方形，∴AC =2a ,【解答】√二、填空题（共16分，每题2分）根据旋转的性质可得AE =2a ,∴CF =22a ,AF =62a ,EF =2a −22a ，在Rt △CEF 中，根据勾股定理可得b 2=（3-2）a 2，∴b ≠12a ,故A 不合题意；当α=45°时，如图，AE =AC =2a ,CD =a ,根据勾股定理b 2=a 2+（2a ）2=3a 2，∴b =3a ,故B 不合题意；当α=60°时，如图，∵AE =AC 2a ,∴△ACE 是等边三角形，∴b =2a ,故C 不合题意；当α=90°时，如图，∴AC =AE =2a ,∴CE =2a ,∴b =2a .故选：D ．√√√√√√√√√√√√9．（2分）方程x 2-4=0的解是．解：x 2-4=0，移项得：x 2=4，两边直接开平方得：x 1=2，x 2=-2，故答案为：x 1=2，x 2=-2．【解答】10．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，点A （3，4）与点B 关于原点对称，则点B 的坐标是．解：∵点A （3，4）与点B 关于原点对称，∴点B 的坐标是（-3，-4）．故答案为：（-3，-4）．【解答】11．（2分）写出一个顶点在坐标原点，开口向下的抛物线的表达式 ．解：顶点在坐标原点，开口向下的抛物线的表达式可为y =-x 2．故答案为：y =-x 2．（答案不唯一）【解答】12．（2分）若关于x 的一元二次方程x 2-2x +m =0有两个相等的实数根，则实数m 的值为．解：∵关于x 的一元二次方程x 2-2x +m =0有两个相等的实数根，∴Δ=0，∴（-2）2-4m =0，∴m =1，故答案为：1．【解答】13．（2分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =50°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转到△ADE ．若AD ⊥BC ，则旋转角的度数是 ．解：∵AB =AC ，AD ⊥BC ，∴∠BAD =∠CAD =12∠BAC ，∵∠BAC =50°，∴∠BAD =25°，故答案为：25°．【解答】14．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以某点为中心，将右上方图形“”旋转到图中左下方的阴影位置，则旋转中心的坐标是 ．解：如图，点Q 即为旋转中心，Q （3，2）．故答案为：（3，2）．【解答】15．（2分）如图，二次函数y =2（x -1）2+k 的图象与y 轴的交点坐标为（0，1），若函数值y <1，则自变量x 的取值范围是 ．解：∵二次函数y =2（x -1）2+k 的图象与y 轴的交点坐标为（0，1），对称轴为直线x =1，∴当x =2时，y =1，∵抛物线开口向上，【解答】三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.∴函数值y <1，自变量x 的取值范围是0<x <2，故答案为：0<x <2．16．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（m ,n ），称关于x 的方程x 2+mx +n =0为点P 的对应方程．如图，点A （-1，0），点B （1，1），点C （-2，2）．给出下面三个结论：①点A 的对应方程有两个相等的实数根；②在图示网格中，若点P （m ,n ）（m ,n 均为整数）的对应方程有两个相等的实数根，则满足条件的点P有3个；③线段BC 上任意点的对应方程都没有实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是．解：①∵点A （-1，0），∴点A 的对应方程为x 2-x =0，解得x =0或x =1，故①错误；②∵点P （m ,n ）（m ,n 均为整数）的对应方程有两个相等的实数根，∴方程x 2+mx +n =0有两个相等的实数根，∴Δ=m 2-4n =0，∴m 2=4n ,∵m ,n 都为整数，∴在图示网格中，m ,n 的整数解有V W X m =2n =1、V W X m =−2n =1、V W X m =0n =0共3个；故②正确；③∵点B （1，1），点C （-2，2），∴线段BC 的解析式为y =-13x +43（-2≤x ≤1），∴线段BC 上任意点的坐标为（m ,-13m +43），其对应方程为x 2+mx -13m +43=0，∴Δ=m 2-4（-13m +43）=m 2+43m -163=（m +23）2-529，∵-2≤m ≤1，∴-43≤m +23≤53，∴Δ=（m +23）2-529<0，∴线段BC 上任意点的对应方程都没有实数根，故③正确．故答案为：②③．【解答】17．（5分）解方程：x 2-6x +2=0（用配方法）．解：x 2-6x +2=0移项，得x 2-6x =-2，即x 2-6x +9=-2+9，∴（x -3）2=7，解得x -3=±7，即x =3±7．∴x 1=3+7，x 2=3-7．【解答】√√√√18．（5分）如图，⏥ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，EF 过点O 且分别与AD ，BC 交于点E ，F ．（1）求证：△AOE ≌△COF ；（2）记四边形ABFE 的面积为S 1，⏥ABCD 的面积为S 2，用等式表示S 1和S 2的关系．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC ，BD 交于点O ，∴AD ∥BC ，OA =OC ，∴∠OAE =∠OCF ，【解答】在△AOE 和△COF 中，V Y Y W Y Y X ∠OAE =∠OCF OA =OC ∠AOE =∠COF，∴△AOE ≌△COF （ASA ）．（2）在△ABC 和△CDA 中，V Y Y W Y Y X AB =CD BC =DA AC =CA，∴△ABC ≌△CDA （SSS ），∴S △ABC =S △CDA =12S ⏥ABCD ，∵△AOE ≌△COF ，∴S △AOE =S △COF ，∴S 四边形ABFE =S △四边形ABFO +S △AOE =S △四边形ABFO +S △COF =S △ABC =12S ⏥ABCD ，∴S 1=12S 2．19．（5分）已知m 是方程x 2-x -2=0的根，求代数式 m （m -1）+5 的值．解：∵m 是方程x 2-x -2=0的根，∴m 2-m -2=0，∴m 2-m =2，∴m （m -1）+5=m 2-m +5=2+5=7．【解答】20．（5分）已知二次函数y =x 2-2x .（1）在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；（2）点P （-2，7） 该函数的图象上（填“在”或“不在”）．解：（1）列表：x …-10123…y …30-103…描点、连线，画出函数图象如图：；（2）∵当x =-2时，y =x 2-2x =8，∴点P （-2，7）不在该函数的图象上．故答案为：不在．【解答】21．（6分）已知关于x 的一元二次方程x 2+（m -1）x +m -2=0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是正数，求m 的取值范围．（1）证明：∵一元二次方程x 2+（m -1）x +m -2=0，∴Δ=（m -1）2-4（m -2）=m 2-2m +1-4m +8=（m -3）2．∵（m -3）2≥0，∴Δ≥0．∴该方程总有两个实数根．（2）解：∵x 2+（m -1）x +m -2=0，∴（x +m -2）（x +1）=0，∴x 1=2-m ,x 2=-1．∵该方程有一个根是正数，∴2-m >0，∴m <2．【解答】22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （-2，4），B （-2，0），将△OAB 绕原点O 顺时针旋转90°得到△OA 'B '（A '，B '分别是A ，B 的对应点）．（1）在图中画出△OA ′B ′，点A '的坐标为 ；（2）若点M （m ,2）位于△OAB 内（不含边界），点M '为点M 绕原点O 顺时针旋转90°的对应点，直接写出M '的纵坐标n 的取值范围．解：（1）如图，△OA ′B ′即为所求．由图可得，A '（4，2）．故答案为：（4，2）．（2）由题意得，-2<m <-1，∴点M '在线段CD 上，且不与点C ，D 重合，∴1<n <2．【解答】23．（5分）阅读下面的材料并完成解答．《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲先求阔步，得几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽之和为60步，问它的宽是多少步？书中记载了这个问题的几何解法：①将四个完全相同的面积为864平方步的矩形，按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为步；②中间小正方形的面积为平方步；③若设矩形田地的宽为x 步，则小正方形的面积可用含x 的代数式表示为 ；④由②③可得关于x 的方程 ，进而解得矩形田地的宽为24步．解：①∵矩形田地的长与宽之和为60步，∴按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为60步．故答案为：60；②根据题意得：中间小正方形的面积为60×60-864×4=144（平方步）．故答案为：144；③若设矩形田地的宽为x 步，则长为（60-x ）步，中间小正方形的边长为（60-x -x ）=（60-2x ）步，【解答】∴小正方形的面积为（60-2x ）2平方步．故答案为：（60-2x ）2平方步；④由②③可得关于x 的方程：（60-2x ）2=144．故答案为：（60-2x ）2=144．24．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过点（1，0），（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）当x >3时，对于x 的每一个值，函数y =x +n 的值小于二次函数y =x 2+bx +c 的值，直接写出n 的取值范围．解：（1）∵二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过点（1，0），（3，0），∴二次函数解析式为y =（x -1）（x -3），即y =x 2-4x +3；（2）当直线y =x +n 经过点（3，0）时，3+n =0，解得n =-3，此时函数y =x +n 的值等于二次函数y =x 2+bx +c 的值，所以当n ≤-3时，数y =x +n 的值小于二次函数y =x 2+bx +c 的值，即n 的取值范围为n ≤-3．【解答】25．（6分）在投掷实心球时，球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系xOy ,实心球从出手到落地的过程中，它的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足二次函数关系，记出手点与着陆点的水平距离为投掷距离．（1）小刚第一次投掷时水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：水平距离x /m01234竖直高度y /m 1.6 2.1 2.42.5 2.4①根据上述数据，实心球运行的竖直高度的最大值为m ；②求小刚第一次的投掷距离；（2）已知第二次投掷出手点竖直高度与第一次相同，且实心球达到最高点时水平距离与第一次也相同．若小刚第二次投掷距离比第一次远，则实心球第二次运行过程中竖直高度的最大值比第一次 （填“大”或“小”）．解：（1）①由表格数据可知，抛物线的对称轴为直线x =2+42=3，当x =3时，y =2.5，故答案为：2.5；②设抛物线的解析式为：y =a （x -3）2+2.5，∵当x =0时，y =1.6，∴1.6=a ×32+2.5，解得a =−110，∴抛物线的解析式为：y =−110（x -3）2+2.5，当y =0时，0=−110（x -3）2+2.5，解得x 1=-2（舍去），x 2=8，答：小刚第一次的投掷距离为8m ；（2）∵第二次投掷实心球达到最高点时水平距离与第一次也相同，∴第二次投掷抛物线对称轴与第一次对称轴相同，又∵第二次投掷出手点竖直高度与第一次相同，第二次投掷距离比第一次远，∴实心球第二次运行过程中竖直高度的最大值比第一次小，故答案为：小．【解答】26．（6分）已知二次函数y =12x 2+bx +1．（1）若b =-1，求该二次函数图象的对称轴及最小值；（2）若对于任意的0≤x ≤2，都有y ≥-1，求b 的取值范围．解：（1）当b =-1时，y =12x 2+bx +1=12x 2-x +1=12（x -1）2+12，∴二次函数图象的对称轴为直线x =1，最小值为12；（2）∵y =12x 2+bx +1，∴对称轴为直线x =-b 2×12=-b ,①当x =-b ≤0，即b ≥0时，∴当0≤x ≤2时，y 随x 的增大而增大，∴当x =0时，y 最小，最小值为1>-1，∴b ≥0；②当0<-b <2时，即-2<b <0，此时对称轴在0～2段内，∴当x =-b 时y 有最小值，∴y min =12×（-b ）2+b ×（-b ）+1=-12b 2+1，令-12b 2+1≥-1，解得-2≤b ≤2，∴-2<b <0；③当x =-b ≥2时，即b ≤-2，∴当0≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小，∴当x =2时，y min =12×22+2b +1=2b +3≥-1，解得b ≥-2，∴b =-2，综上所述，b 的取值范围为b ≥-2．【解答】27．（7分）如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在AB 上（BD <AD ），过点D 作DE ⊥BC 于点E ，连接AE ，将线段EA 绕点E 顺时针旋转90°，得到线段EF ，连接DF ．（1）依题意补全图形；（2）求证：FD =AB ；（3）DF 交BC 于点G ，用等式表示线段CE 和FG 的数量关系，并证明．（1）解：如图所示：（2）证明：∵AC =BC ，∠ACB =90°，∴∠B =∠BAC =45°，∵DE ⊥BC ，∴∠B =∠BDE =45°，∴BE =DE ，∵将线段EA 绕点E 顺时针旋转90°，得到线段EF ，∴AE =EF ，∠AEF =90°=∠BED ，∴∠BEA =∠DEF ，∴△BEA ≌△DEF （SAS ），∴FD =AB ；（3）FG =2CE ，理由如下：如图，过点D 作DH ⊥AC 于H ，又∵DE ⊥BC ，AC ⊥BC ，∴四边形DECH 是矩形，∴EC =DH ，∵DH ⊥AC ，∠BAC =45°，∴△ADH 是等腰直角三角形，∴AD =2DH =2EC ，∵△BEA ≌△DEF ，∴∠B =∠EDG =45°，∴DE =DG ，∵∠AEF =∠DEC =90°，∴∠DEA =∠CEF ，又∵AE =EF ，∴△DEA ≌△GEF （SAS ），∴FG =AD ，∴FG =2CE ．【解答】√√√√28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 不与原点重合．对于点P 给出如下定义：点P 关于点M 的对称点为P ′，点P ′关于直线OM 的对称点为Q ，称点Q 是点P 关于点M 的“转称点”．（1）如图，已知点M （t ,0），P （t +1，1），点Q 是点P 关于点M 的“转称点”．①当t =2时，在图中画出点Q 的位置，并直接写出点Q 的坐标；②PQ 的长度是否与t 有关？若无关，求PQ 的长；若有关，说明理由；（2）已知点A （3，4），△ABC 是边长为2的等边三角形（点A ，B ，C 按逆时针方向排列），点N 是点B 关于点C 的“转称点”，在△A BC 绕点A 旋转的过程中，当BN 最大时，直接写出此时OB 的长．解：（1）①当t =2时，点M （2，0），P （3，1），如图：∵点Q 是点P 关于点M 的“转称点”．∴P ′（1，-1），Q （1，1）；②∵点M （t ,0），P （t +1，1），∴P ′（t -1，-1），Q （t -1，1），∴PQ ∥x 轴，∴PQ =t +1-（t -1）=2；∴PQ 的长度与t 有无关，PQ 的长为2；（2）如图：由“转称点”的定义得C 为BB ′的中点，D 为NB ′的中点，∴CD ∥BN ，CD =12BN ，∴当CD 最大时，BN 最大，由图得在△ABC 绕点A 旋转的过程中，当O 、B ，C 、B ′共线时，BN 最大，如图：∵△ABC 是边长为2的等边三角形【解答】∴BC =CB ′=2，AH =3，BH =1，∵点A （3，4），∴OA =32+42=5，∴OH =OA 2−AH 2=52−(3)2=22，∴OB =22-1．√√√√√√√。

2021-2022学年北京市某校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的④y＝−2x2+5，其中是二次1. 给出下列函数：①y＝3x+1②y＝4x2−3x；③y=1x函数的有（）A.①②B.②④C.②③D.①④2. 如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOB＝72∘，则∠ACB的度数为（）A.18∘B.30∘C.36∘D.72∘3. 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是()A. B.C. D.4. 已知⊙O的半径为5，圆心O的坐标为(0, 0)，点P的坐标是(4, 3)，则点P在⊙O()A.内B.上C.外D.不确定5. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE:EC＝3:1，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A.3:4B.9:16C.9:1D.3:16. 已知函数y=−x2+bx+c，其中b>0，c<0，此函数的图象可以是( )A. B.C. D.7. 将抛物线y=12x2+1绕原点O旋转180∘，则旋转后的抛物线的解析式为（）A.y＝−2x2+1B.y＝−2x2−1C.y=−12x2+1 D.y=−12x2−18. 城市中“打车难”一直是人们关注的一个社会热点问题．近几年来，“互联网+”战略与传统出租车行业深度融合，“优步”、“滴滴出行”等打车软件就是其中典型的应用．名为“数据包络分析”（简称DEA）的一种效率评价方法，可以很好地优化出租车资源配置．为了解出租车资源的“供需匹配”，北京、上海等城市对每天24个时段的DEA值进行调查，调查发现，DEA值越大，说明匹配度越好．在某一段时间内，北京的DEA值y与时刻t的关系近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，且a≠0)，如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，当“供需匹配”程度最好时，最接近的时刻t是()A.4.8B.5C.5.2D.5.5二、填空题（本题共24分，每小题3分）二次函数y＝4(x−2)2−8的最小值是________．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34∘，那么∠BAD等于________．如图，AC与BD相交于点E，AD // BC．若AE＝2，CE＝3，AD＝3，则BC的长度是________．长方体底面周长为50cm，高为10cm．则长方体体积y(cm3)关于底面的一条边长x(cm)的函数解析式是________（不要求写自变量的取值范围）．请写出一个开口向上，且过点(0, 1)的抛物线的表达式________．如图，网高为0.8米，击球点到网的水平距离为3米，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网4米的位置上，则球拍击球的高度ℎ为________米．如图，直线y1＝kx+n(k≠0)与抛物线y2＝ax2+bx+c(a≠0)分别交于A(−1, 0)，B(2, −3)两点，那么当y1>y2时，x的取值范围是________．已知函数y=x2−2x−3，当−1≤x≤a时，函数的最小值是−4，则实数a的取值范围是________．三、解答题（本题共52分，第17-24题，每小题5分，第2526题，每小题5分）一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm，求这个孔道的直径AB．二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：2222（1）求这个二次函数的解析式（2）在图中画出此二次函数的图象；时，自变量x的取值范围．（3）结合图象，直线写出当y>32如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60∘，得到线段AE，连接CD，BE．（1）求证：∠AEB＝∠ADC；（2）连接DE，若∠ADC＝105∘，求∠BED的度数．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为格点三角形，图中的△ABC就是格点三角形，在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为(−1, −1)．（1）把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1，在坐标系的方格纸中画出△A1B1C1的图形并直接写出点B1的坐标为________．（2）把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90∘后得到△A2B2C，在坐标系的方格纸中画出△A2B2C的图形并直接写出点B2的坐标为________．（3）在现有坐标系的方格纸中把△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为1:2，画出△AB3C3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝5，D是AB上一点，BD＝2，E是BC上一动点，连接DE，作∠DEF＝∠B，射线EF交线段AC于F．（1）求证：△DBE∽△ECF；（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；已知抛物线C1:y1＝2x2−4x+k与x轴只有一个公共点．（1）求k的值；（2）怎样平移抛物线C1就可以得到抛物线C2:y2＝2(x+1)2−4k；请写出具体的平移方法．如图，点E是矩形ABCD边AB上一动点（不与点B重合），过点E作EF⊥DE交BC于点F，连接DF，已知AB＝4cm，AD＝2cm，设A，E两点间的距离为xcm，△DEF面积为ycm2．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）确定自变量x的取值范围是________；（2）通过取点、画图、测量、分析，得到了x与y的几组值，如表：（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（4）结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF面积最大时，AE的长度为0或2cm．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2−2ax−3a(a≠0)顶点为P，且该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．我们规定：抛物线与x轴围成的封闭区域称为“G区域”（不包含边界）；横、纵坐标都是整数的点称为整点．（1）求抛物线y＝ax2−2ax−3a顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；（2）如果抛物线y＝ax2−2ax−3a经过(1, 3)．①求a的值；②在①的条件下，直接写出“G区域”内整点的个数．（3）如果抛物线y＝ax2−2ax−3a在“G区域”内有4个整点，直接写出a的取值范围．在正方形ABCD中，点E，F，G分别是边AD，AB，BC的中点，点H是直线BC上一点，将线段FH绕点F逆时针旋转90∘，得到线段FK，连接EK．（1）如图1，请直接写出EF与FG的数量及位置关系；（2）如图2，若点H在线段BC的延长线上，猜想线段BH，EF，EK之间满足的数量关系，并证明你的结论．（3）若点H在线段BC的反向延长线上，请在图3中补全图形并直接写出线段BH，EF，EK之间满足的数量关系．对于平面直角坐标系xOy中的动点P和图形N，给出如下定义：如果Q为图形N上一个动点，P，Q两点间距离的最大值为d max，P，Q两点间距离的最小值为d min，我们把d max+d min的值叫点P和图形N间的“和距离”，记作d(P，图形N)．（1）如图1，正方形ABCD的中心为点O，A(3, 3)．①点O到线段AB的“和距离”d(O，线段AB)＝________；②设该正方形与y轴交于点E和F，点P在线段EF上，d(P，正方形ABCD)＝7，求点P的坐标．（2）如图2，在（1）的条件下，过C，D两点作射线CD，连接AC，点M是射线CD上的一个动点，如果6√2<d(M，线段AC)<6+3√2，直接写出M点横坐标t取值范围．参考答案与试题解析2021-2022学年北京市某校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1.【答案】B【考点】二次函数的定义【解析】直接利用二次函数的定义分析得出答案．【解答】④y＝−2x2+5，是二次函数的有：②y＝4x2−①y＝3x+1②y＝4x2−3x；③y=1x3x；④y＝−2x2+5，2.【答案】C【考点】圆周角定理【解析】根据圆周角定理，由∠AOB＝72∘，即可推出结果．【解答】∵∠AOB＝72∘，∴∠ACB＝36∘．3.【答案】B【考点】中心对称图形中心对称【解析】根据中心对称图形的概念判断．【解答】解：根据中心对称图形的概念可知，A、不是中心对称图形；B、是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、不是中心对称图形．故选B.4.【答案】B【考点】坐标与图形性质点与圆的位置关系【解析】首先求得点P与圆心O之间的距离，然后和圆的半径比较即可得到点P与⊙O的位置关系．【解答】由勾股定理得：OP=√42+32=5，∵⊙O的半径为5，∴点P在⊙O上．5.【答案】B【考点】相似三角形的性质与判定平行四边形的性质【解析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题．【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB // CD，∴△DEF∽△BAF，∵DE:EC＝3:1，∴DE+DC＝DE:AB＝3:4，∴S△DEFS△ABF =(DEAB)2=916．6.【答案】D【考点】二次函数图象与几何变换二次函数图象与系数的关系【解析】根据已知条件“a<0、b>0、c<0”判断出该函数图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象．【解答】解：∵a=−1<0，b>0，∴该函数图象的开口向下，对称轴是x=−b2a>0.∵ c<0，∴ 图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴上.故选D .7.【答案】D【考点】二次函数图象与几何变换【解析】先确定抛物线线y =12x 2+1的顶点坐标为(0, 1)，再利用关于原点对称的点的坐标特征得到点(0, 1)变换后所得对应点的坐标为(0, −1)，然后利用顶点式写出旋转后抛物线．【解答】抛物线y =12x 2+1的顶点坐标为(0, 1)，点关于原点O 的对称点的坐标为(0, −1)，此时旋转后抛物线的开口方向相反，所以旋转后的抛物线的解析式为y =−12x 2−1． 8.【答案】C【考点】二次函数的应用【解析】待定系数法求得函数解析式，根据二次函数的性质求得y 取得最大值时x 的值即可得答案．【解答】解：将(4, 0.43)，(5, 1.1)，(6, 0.87)代入解析式得：{16a +4b +c =0.43，25a +5b +c =1.1，36a +6b +c =0.87，解得：{a =−0.45，b =4.72，c =−11.25.∴ y =−0.45x 2+4.72x −11.25，当x =− 4.722×(−0.45)≈5.244时，y 取得最大值，故选C ．二、填空题（本题共24分，每小题3分）【答案】−8【考点】二次函数的最值【解析】根据顶点式解析式写出最小值即可．【解答】二次函数y＝4(x−2)2−8的最小值是−8．【答案】56∘【考点】圆周角定理【解析】根据直径所对的圆周角是直角，求出∠B即可解决问题．【解答】∵AB是直径，∴∠ADB＝90∘，∵∠B＝∠C＝34∘，∴∠BAD＝90∘−34∘＝56∘．【答案】92【考点】相似三角形的性质与判定【解析】由AD // BC．可得△AED∽△CEB，根据相似三角形对应边成比例求解即可．【解答】∵AD // BC．∴∠A＝∠C，∠D＝∠B，∴△AED∽△CEB，∴ADBC =AECE，即，3BC=23，解得，BC=92，【答案】y＝10x(25−x)【考点】函数关系式函数自变量的取值范围【解析】根据：长方形的周长＝2（长+宽）、长方体的体积＝底面积×高，计算得结论．【解答】∵长方体底面周长为50cm，底面的一条边长x(cm)，∴长方体底面的另一边长位(25−x)(cm)．∴该长方体的体积y＝10×(25−x)×x＝10x(25−x)．【答案】y＝x2+1等．答案不唯一【考点】二次函数的性质【解析】开口向上，只要二次项系数为正数即可，经过点(0, 1)，说明常数项c＝1．【解答】依题意，满足题意的抛物线解析式为y＝x2+1等，答案不唯一．故【答案】1.4【考点】相似三角形的应用【解析】根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，44+3=0.8ℎ，解得ℎ=1.4．故答案为：1.4.【答案】−1<x<2【考点】二次函数与不等式（组）【解析】根据图象得出取值范围即可．【解答】因为直线y1＝kx+n(k≠0)与抛物线y2＝ax2+bx+c(a≠0)分别交于A(−1, 0)，B(2, −3)两点，所以当y1>y2时，−1<x<2，【答案】a≥1【考点】二次函数的最值二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质【解析】结合函数y=x2−2x−3的图象和性质，及已知中当−1≤x≤a时函数的最小值为−4，可得实数a的取值范围．【解答】解：y=x2−2x−3=(x−1)2−4，，函数图象是开口向上，且以x=1为对称轴的抛物线，当且仅当x=1时，函数取最小值−4，∵函数y=x2−2x−3，当−1≤x≤a时，函数的最小值是−4，∴a≥1.故答案为：a≥1.三、解答题（本题共52分，第17-24题，每小题5分，第2526题，每小题5分）【答案】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD，∵钢珠的直径是10mm，∴钢珠的半径是5mm，∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，∴OD＝3mm，在Rt△AOD中，∵AD=√OA2−OD2=√52−32=4mm，∴AB＝2AD＝2×4＝8mm．【考点】垂径定理的应用【解析】先求出钢珠的半径及OD的长，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出AD的长，进而得出AB的长．【解答】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD，∵钢珠的直径是10mm，∴钢珠的半径是5mm，∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，∴OD＝3mm，在Rt△AOD中，∵AD=√OA2−OD2=√52−32=4mm，∴AB＝2AD＝2×4＝8mm．【答案】由题意，设二次函数的表达式为y＝a(x+3)(x−1)∵二次函数经过点(−1, 2)，∴−4a＝2，∴a=−12，∴二次函数的表达式为y=−12(x+3)(x−1)=−12x2−x+32．描点、连线，画出图形如图所示．观察函数图象可知：当y>32时，自变量x的取值范围为−2<x<0．【考点】二次函数的性质二次函数图象上点的坐标特征待定系数法求二次函数解析式二次函数图象与几何变换【解析】（1）根据表格数据，设二次函数的表达式为y＝a(x+3)(x−1)，结合点(−1, 2)利用待定系数法即可求出二次函数表达式；（2）描点、连线，画出函数图象；（3）找出函数图象中y>32时对应的x的范围，此题得解．【解答】由题意，设二次函数的表达式为y＝a(x+3)(x−1)∵二次函数经过点(−1, 2)，∴−4a＝2，∴a=−12，∴二次函数的表达式为y=−12(x+3)(x−1)=−12x2−x+32．描点、连线，画出图形如图所示．观察函数图象可知：当y>32时，自变量x的取值范围为−2<x<0．【答案】∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60∘，AB＝AC，∵线段AD绕点A顺时针旋转60∘，得到线段AE，∴∠DAE＝60∘，AE＝AD．∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC．∴∠EAB＝∠DAC．在△EAB和△DAC中，∵{AB=AC∠EAB=∠DACAE=AD，∴△EAB≅△DAC，∴∠AEB＝∠ADC；如图，∵∠DAE＝60∘，AE＝AD，∴△EAD为等边三角形，∴∠AED＝60∘，又∵∠AEB＝∠ADC＝105∘，∴∠BED＝105∘−60∘＝45∘．【考点】等边三角形的性质全等三角形的性质与判定旋转的性质【解析】（1）根据等边三角形的性质得出∠BAC＝60∘，AB＝AC，根据旋转的性质得出∠DAE ＝60∘，AE＝AD．求出∠EAB＝∠DAC，证△EAB≅△DAC即可；（2）求出∠AEB＝105∘，求出∠AED，即可得出答案．【解答】∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60∘，AB＝AC，∵线段AD绕点A顺时针旋转60∘，得到线段AE，∴∠DAE＝60∘，AE＝AD．∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC．∴∠EAB＝∠DAC．在△EAB和△DAC中，∵{AB=AC∠EAB=∠DACAE=AD，∴△EAB≅△DAC，∴∠AEB＝∠ADC；如图，∵∠DAE＝60∘，AE＝AD，∴△EAD为等边三角形，∴∠AED＝60∘，又∵∠AEB＝∠ADC＝105∘，∴∠BED＝105∘−60∘＝45∘．【答案】(−9, −1)(5, 5)△AB3C3，即为所求．【考点】作图-位似变换作图-旋转变换【解析】（1）直接利用平移的性质分别得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用旋转的性质分别得出对应点位置进而得出答案；（3）直接利用位似图形的性质进而得出对应点位置进而得出答案．【解答】如图所示：△A1B1C1，即为所求；点B1的坐标为：(−9, −1)；故答案为：(−9, −1)；如图所示：△A2B2C，即为所求；点B2的坐标为：(5, 5)；故答案为：(5, 5)；如图所示：△AB3C3，即为所求．【答案】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠B＝∠DEF，∠BED+∠DEF＝∠C+∠CFE，∴∠BED＝∠CFE，∴△DBE∽△ECF；∵F是线段AC中点，AC＝6，∴AF＝FC＝3，∵△DBE∽△ECF，∴FCBE =ECBD，设BE＝x，则EC＝5−x，有3x =5−x2，解得x＝3或x＝2，经检验x＝3和x＝2都是原方程的根，因此BE的长为2或3．【考点】等腰三角形的性质相似三角形的性质与判定【解析】（1）根据等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，可以证出∠BED＝∠CFE，从而证出三角形相似，（2）利用相似三角形的对应边成比例，设未知数列方程求解即可．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠B＝∠DEF，∠BED+∠DEF＝∠C+∠CFE，∴∠BED＝∠CFE，∴△DBE∽△ECF；∵F是线段AC中点，AC＝6，∴AF＝FC＝3，∵△DBE∽△ECF，∴FCBE =ECBD，设BE＝x，则EC＝5−x，有3x =5−x2，解得x＝3或x＝2，经检验x＝3和x＝2都是原方程的根，因此BE的长为2或3．【答案】根据题意得：△＝16−8k＝0，解得：k＝2；C1是：y1＝2x2−4x+2＝2(x−1)2，抛物线C2是：y2＝2(x+1)2−8．则平移抛物线C1就可以得到抛物线C2的方法是向左平移2个单位长度，向下平移8个单位长度．【考点】二次函数的性质抛物线与x轴的交点二次函数图象与几何变换【解析】（1）抛物线与x轴只有一个公共点，则判别式△＝0，据此即可求得k的值；（2）把C1化成顶点式的形式，利用函数平移的法则即可确定．【解答】根据题意得：△＝16−8k＝0，解得：k＝2；C1是：y1＝2x2−4x+2＝2(x−1)2，抛物线C2是：y2＝2(x+1)2−8．则平移抛物线C1就可以得到抛物线C2的方法是向左平移2个单位长度，向下平移8个单位长度．【答案】0≤x<4∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝2，CD＝AB＝4，∠A＝∠B＝90∘，∴∠ADE+∠AED＝90∘，∵EF⊥DE，∴∠AED+∠BEF＝90∘，∴∠ADE＝∠BEF，∵∠A＝∠B＝90∘，∴△ADE∽△BEF，∴ADBE =AEBF，∵AE＝x，∴BE＝AB−AE＝4−x，∴24−x =xBF，∴BF=x(4−x)2，当x＝1时，BF=32，∴CF＝BC−BF＝2−32=12，y＝S矩形ABCD−S△ADE−S△BEF−S△CDF＝8−12×2×1−12×3×32−12×4×12=3.75≈3.8，当x＝2时，BF＝2，∴CF＝BC−BF＝0，此时，点F和点C重合，y＝S矩形ABCD−S△ADE−S△BEF＝8−12×2×2−12×2×2＝4.0故答案为：3.8，4.0描点，连线，画出如图所示的图象，由图象可知，当x＝0或2时，△DEF面积最大，即：当△DEF面积最大时，AE＝0或2，故答案为0，2．【考点】四边形综合题【解析】（1）利用点E在线段AB上，即可得出结论；（2）先判断出△ADE∽△BEF，得出ADBE =AEBF，进而表示出BF=x(4−x)2，再取x＝1和x＝2求出y的即可；（3）利用画函数图象的方法即可得出结论；（4）由图象可知，即可得出结论．【解答】∵点E在AB上，∴0≤x<4，故答案为：0≤x<4；∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝2，CD＝AB＝4，∠A＝∠B＝90∘，∴∠ADE+∠AED＝90∘，∵EF⊥DE，∴∠AED+∠BEF＝90∘，∴∠ADE＝∠BEF，∵∠A＝∠B＝90∘，∴△ADE∽△BEF，∴ADBE =AEBF，∵AE＝x，∴BE＝AB−AE＝4−x，∴24−x =xBF，∴BF=x(4−x)2，当x＝1时，BF=32，∴CF＝BC−BF＝2−32=12，y＝S矩形ABCD−S△ADE−S△BEF−S△CDF＝8−12×2×1−12×3×32−12×4×12=3.75≈3.8，当x＝2时，BF＝2，∴CF＝BC−BF＝0，此时，点F和点C重合，y＝S矩形ABCD−S△ADE−S△BEF＝8−12×2×2−12×2×2＝4.0故答案为：3.8，4.0描点，连线，画出如图所示的图象，由图象可知，当x＝0或2时，△DEF面积最大，即：当△DEF面积最大时，AE＝0或2，故答案为0，2．【答案】∵y＝ax2−2ax−3a＝a(x+1)(x−3)＝a(x−1)2−4a，∴顶点P的坐标为(1, −4a)．∵抛物线y＝a(x+1)(x−3)经过(1, 3)，∴3＝a(1+1)(1−3)，解得：a =−34． 当y =−34(x +1)(x −3)＝0时，x 1＝−1，x 2＝3，∴ 点A(−1, 0)，点B(3, 0)．当x ＝0时，y =−34(x +1)(x −3)=94，∴ (0, 1)、(0, 2)两个整数点在“G 区域”；当x ＝1时，y =−34(x +1)(x −3)＝3，∴ (1, 1)、(1, 2)两个整数点在“G 区域”；当x ＝2时，y =−34(x +1)(x −3)=94，∴ (2, 1)、(2, 2)两个整数点在“G 区域”．综上所述：此时“G 区域”有6个整数点．当x ＝0时，y ＝a(x +1)(x −3)＝−3a ，∴ 抛物线与y 轴的交点坐标为(0, −3a)．当a <0时，如图1所示，此时有{2<−4a ≤3−3a ≤2， 解得：−23≤a <−12；当a >0时，如图2所示，此时有{−3≤−4a <−2−3a ≥−2， 解得：12<a ≤23．综上所述，如果G 区域中仅有4个整数点时，则a 的取值范围为−23≤a <−12或12<a ≤23．【考点】二次函数综合题【解析】（1）利用配方法将抛物线的解析式变形为顶点式，由此即可得出顶点P 的坐标；（2）将点(1, 3)代入抛物线解析式中，即可求出a 值，再分析当x ＝0、1、2时，在“G 区域”内整数点的坐标，由此即可得出结论；（3）分a <0及a >0两种情况考虑，依照题意画出图形，结合图形找出关于a 的不等式组，解之即可得出结论．【解答】∵ y ＝ax 2−2ax −3a ＝a(x +1)(x −3)＝a(x −1)2−4a ，∴ 顶点P 的坐标为(1, −4a)．∵ 抛物线y ＝a(x +1)(x −3)经过(1, 3)，∴ 3＝a(1+1)(1−3)，解得：a =−34．当y =−34(x +1)(x −3)＝0时，x 1＝−1，x 2＝3，∴ 点A(−1, 0)，点B(3, 0)．当x ＝0时，y =−34(x +1)(x −3)=94， ∴ (0, 1)、(0, 2)两个整数点在“G 区域”；当x ＝1时，y =−34(x +1)(x −3)＝3， ∴ (1, 1)、(1, 2)两个整数点在“G 区域”；当x ＝2时，y =−34(x +1)(x −3)=94，∴ (2, 1)、(2, 2)两个整数点在“G 区域”．综上所述：此时“G 区域”有6个整数点．当x ＝0时，y ＝a(x +1)(x −3)＝−3a ，∴ 抛物线与y 轴的交点坐标为(0, −3a)．当a <0时，如图1所示，此时有{2<−4a ≤3−3a ≤2， 解得：−23≤a <−12；当a >0时，如图2所示，此时有{−3≤−4a <−2−3a ≥−2， 解得：12<a ≤23．综上所述，如果G区域中仅有4个整数点时，则a的取值范围为−23≤a<−12或12<a≤23．【答案】∵正方形ABCD，E，F，G分别是边AD，AB，BC的中点，∴AE＝AF＝FB＝BG，∠A＝∠B＝90∘，在△AEF和△BGF中，{AE=BG ∠A=∠B AF=BF，∴△AEF≅△BGF(SAS)，∴EF＝FG，∠AFE＝∠BFG＝45∘，∴∠EFG＝180∘−∠AFE−∠BFG＝90∘，即EF⊥FG．BH=√22EF+EK；理由如下：∵将线段FH绕点F逆时针旋转90∘，得到线段FK，∴FH＝FK，∠HFK＝90∘，∴∠KFE+∠EFH＝90∘，∵∠EFG＝90∘，∴∠HFG+∠EFH＝90∘，∴∠KFE＝∠HFG，在△EFK和△GFH中，{FK=FH∠KFE=∠HFGEF=FG，∴△EFK≅△GFH(SAS)，∴EK＝GH．∵△BFG是等腰直角三角形，∴BG＝FG，∴BH＝BG+GH=√22FG+EK=√22EF+EK，即BH=√22EF+EK．补全图形如图3：∵将线段FH绕点F逆时针旋转90∘，得到线段FK，∴FH＝FK，∠HFK＝90∘，∴∠KFE+∠EFH＝90∘，∵∠EFG＝90∘，∴∠HFG+∠EFH＝90∘，∴∠KFE＝∠HFG，在△EFK和△GFH中，{FK=FH∠KFE=∠HFGEF=FG，∴△EFK≅△GFH(SAS)，∴EK＝GH．∵△BFG是等腰直角三角形，∴BG＝FG，∴BH＝GH−BG＝EK−√22FG＝EK−√22EF，即BH＝EK−√22EF．【考点】四边形综合题【解析】（1）根据正方形的性质证明△AEF≅△BGF，得到EF＝FG，∠AFE＝∠BFG＝45∘，根据三角形的内角和求得∠EFG＝180∘−∠AFE−∠BFG＝90∘，即EF⊥FG．（2）BH=√22EF+EK；根据将线段FH绕点F逆时针旋转90∘，得到线段FK，得到FH ＝FK，∠HFK＝90∘，所以∠KFE+∠EFH＝90∘，由∠EFG＝90∘，所以∠HFG+∠EFH ＝90∘，得到∠KFE＝∠HFG，证明△EFK≅△GFH，所以EK＝GH．由△BFG是等腰直角三角形，所以BG=√22FG，得到BH＝BG+GH=√22FG+EK=√22EF+EK，即BH=√22EF+EK．（3）根据题意画出图形，然后根据（2）的方法可以得到结论．【解答】∵正方形ABCD，E，F，G分别是边AD，AB，BC的中点，∴AE＝AF＝FB＝BG，∠A＝∠B＝90∘，在△AEF和△BGF中，{AE=BG ∠A=∠B AF=BF，∴△AEF≅△BGF(SAS)，∴EF＝FG，∠AFE＝∠BFG＝45∘，∴∠EFG＝180∘−∠AFE−∠BFG＝90∘，即EF⊥FG．BH=√22EF+EK；理由如下：∵将线段FH绕点F逆时针旋转90∘，得到线段FK，∴FH＝FK，∠HFK＝90∘，∴∠KFE+∠EFH＝90∘，∵∠EFG＝90∘，∴∠HFG+∠EFH＝90∘，∴∠KFE＝∠HFG，在△EFK和△GFH中，{FK=FH∠KFE=∠HFGEF=FG，∴△EFK≅△GFH(SAS)，∴EK＝GH．∵△BFG是等腰直角三角形，∴BG＝FG，∴BH＝BG+GH=√22FG+EK=√22EF+EK，即BH=√22EF+EK．补全图形如图3：∵将线段FH绕点F逆时针旋转90∘，得到线段FK，∴FH＝FK，∠HFK＝90∘，∴∠KFE+∠EFH＝90∘，∵∠EFG＝90∘，∴∠HFG+∠EFH＝90∘，∴∠KFE＝∠HFG，在△EFK和△GFH中，{FK=FH∠KFE=∠HFGEF=FG，∴△EFK≅△GFH(SAS)，∴EK＝GH．∵△BFG是等腰直角三角形，∴BG＝FG，∴BH＝GH−BG＝EK−√22FG＝EK−√22EF，即BH＝EK−√22EF．【答案】3+3√2，且P是线段EF上一个动点，i)当P在x轴上方时，如图2，连接PC，∴d max+d min＝PE+PC＝7，3−y+√32+(y+3)2=7，解得：y＝1，经检验，y＝1是原方程的解，∴P(0,（1），ii)当P在x轴的下方时，同理可得P(0, −(2)；综上，点P的坐标为(0,（3）或(0, −(4)；【考点】四边形综合题【解析】（1）①根据“和距离“的定义计算：OE是两点间距离的最小值，OA是两点间的最大值，相加可得结论；②分两种情况：P在y轴的正半轴和负半轴上，根据“和距离“的定义，并由d(P，正方形ABCD)＝7，列方程计算即可得；（2）分M在线段CD上和延长线上两种情况，利用“和距离”的定义列方程可得结论．【解答】①如图1，连接OA，∵四边形ABCD是正方形，且A(3, 3)，∴d max+d min＝OE+OA＝3+3√2，即d(O，线段AB)＝3+3√2，故答案为：3+3√2；②设P(0, y)，∵d(P，正方形ABCD)＝7，∴d max+d min＝7，分两种情况：∵E(0, 3)，F(0, −3)，且P是线段EF上一个动点，i)当P在x轴上方时，如图2，连接PC，∴d max+d min＝PE+PC＝7，3−y+√32+(y+3)2=7，解得：y＝1，经检验，y＝1是原方程的解，∴P(0, 1)，ii)当P在x轴的下方时，同理可得P(0, −1)；综上，点P的坐标为(0, 1)或(0, −1)；分两种情况：①当−3≤t<3时，如图3，M在线段CD上，过M作MN⊥AC于N，连接AM，∵M点横坐标是t，∴CM＝t+3，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD＝45∘，∴△CMN是等腰直角三角形，∴MN=CM√2=√22(t+3)，∴d(M，线段AC)＝MN+MA=√22(t+3)+√62+(3−t)2，②当t≥3时，如图4，M在线段CD的延长线上，过M作MN⊥AC于N，同理MN=CM√2=√22(t+3)，∴d(M，线段AC)＝MN+CM=√22(t+3)+t+3，∵在动点M从C到D方向上运动时，MN+MA越来越大，∴√22(t+3)+√62+(3−t)2=6√2，解得：t＝−3，√22(t+3)+t+3＝6+3√2，解得：t＝3，∴M点横坐标t取值范围是−3<t<3．。

2024～2025学年度第一学期期中练习九年级数学学科试卷2024年11月考生须知：1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名．3．答案一律填涂或书写在答题卡相应位置上，用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，只交答题卡，并妥善保管试卷．一、选择题（共16分，每题2分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．2．在平面直角坐标系内，点关于原点的对称点Q 的坐标为（ ）．A ．B ．C ．D ．3．一元二次方程的解是（ ）．A ．，B ．C ．，D ．，4．抛物线的顶点坐标是（ ）．A ．B ．C ．D ．5．如图是一个标准的五角星，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是（ ）．A ．B ．C ．D ．6．北京市2021年人均可支配收入为7.5万元，2023年达到8.18万元，若2021年至2023年间每年人均可支配收入的增长率都为x ，则下面所列方程正确的是（ ）．A ．B．()3,2P -()3,2-()3,2()2,3-()3,2--20x x +=10x =21x =121x x ==11x =-21x =10x =21x =-()212y x =-+()1,2()1,2-()1,2-()1,2--144︒90︒72︒60︒()28.1817.5x +=()27.518.18x +=C ．D ．7．如图所示，在4×4的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心是（ ）．A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D8．如图，是边长为4的等边三角形，D 是BC 的中点，E 是直线上的一个动点，连接，将线段绕点C 逆时针旋转得到，连接．下列说法中正确的个数是（ ）．①；②；③；④点E 的运动过程中，的最小值是1．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（共16分，每题2分）9．请写出一个图象开口向上，且与y 轴交于点）的二次函数的解析式__________．10．关于x 的一元二次方程有一个根是，则__________．11．若关于x 的方程有两个相等的实数根，则实数a 的值是__________．12．如图，为的直径，点C 是上的一点，，则__________°．13．点，在抛物线上，则__________（填“＞”“＜”或“＝”）．14．如图，在平面直角坐标系中，点，，以点B 为旋转中心，把线段顺时针旋转得到线段，则点C 的坐标为__________．()27.518.18x -=+()28.1817.5x -=MNP △111M N P △ABC △AD EC EC 60︒FC DF 2DC =FCD ECA ∠=∠CE CF =DF ()0,1230x x m -+=1x =m =20x x a -+=AB O e O e 70ABC ∠=︒BAC ∠=()13,A y -()22,B y 22y x =1y 2y xOy ()0,2A ()1,0B BA 90︒BC15．如图，将绕顶点C 逆时针旋转得到，且点B 刚好落在上，若，，则等于__________°．16．已知函数，下列结论：①若该函数图象与x 轴只有一个交点，则；②方程至少有一个整数根；③若，则的函数值都是负数；④不存在实数a ，使得对任意实数x 都成立．所有正确结论的序号是__________．三、解答题（共68分，第17题8分，18～25题每题5分，第26题6分，第27、28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解方程：（1）；（2）．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的部分图象经过点，．（1）求该抛物线的解析式；（2）结合函数图象，直接写出时，x 的取值范围．19．已知m 是方程的一个根，求代数式的值．20．已知：如图，为锐角三角形，．求作：一点P ，使得．ABC △A B C ''△A B ''25A ∠=︒45BCA =∠'︒A BA '∠()211y ax a x =-++1a =()2110ax a x -++=11x a<<()211y ax a x =-++()2110ax a x -++≤24250x -=2280x x +-=xOy 22y ax x c =++()0,3A -()1,0B 0y <2220x x --=()()()22111m m m -+-+ABC △AB AC =APC BAC ∠=∠作法：①以点A 为圆心，长为半径画圆；②以点B 为圆心，长为半径画弧，交于点C ，D 两点；③连接并延长交于点P ．点P 即为所求．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接，．∵，∴点C 在上．∵，∴∠______＝∠______．∴．∵点D ，P 在上，∴．（__________）（填推理的依据）∴．21．如图，是等边三角形，点D 在边上，以为边作等边，连接，．求证：．22．已知关于x 的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程两个根差为1，求此时m 的值．23．学校计划利用一片空地建一个长方形自行车车棚，其中一面靠墙，墙的长度为8米．在与墙平行的一面开一个2米宽的门，已知现有的木板材料可修建的总长为26米，且全部用于除墙外其余三面外墙的修建．（1）长方形车棚与墙垂直的一面至少为__________米；（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图中阴影），若车棚与墙AB BC A e DA A e PC BD AB AC =A e BC BD =12BAC CAD ∠=∠A e 12CPD CAD ∠=∠APC BAC ∠=∠ABC △AC CD CDE △BD AE BD AE =()2320m x x m -+++=垂直的一面长按（1）中的最小长度，则停放电动车的区域面积能否达到54平方米，若能，此时小路的宽度是多少米？若不能，请说明理由．24．如图，是直径，是的一条弦，且于点E ，连接、和．（1）求证：；（2）若，，求的半径．25．有机肥作为一种富含有机质及多样营养元素的优质肥料，对于土壤改良及肥力提升具有显著效果．将其应用于小树施肥，不仅能有效供给必要的养分，还能优化土壤结构，进而促进小树的茁壮成长．在针对金叶女贞和连翘这两种植物的培育过程中，我们统一施用了A 种有机肥，并确保了它们在浇水、松土、除草等抚育管理措施上的一致性．以下表格详细记录了A 种有机肥对这两种植物增长高度的影响：天数t /天1530456090金叶女贞增长的高度 3.3 6.39.612.615.919.3连翘增长的高度 1.14.09.115.636.2（1）通过分析数据，发现与t 之间近似满足正比例函数关系．请在给出的平面直角坐标系中，画出关于t 的函数的图象；（2）观察图象，补全表格（结果保留小数点后一位）；（3）实验前，测量金叶女贞的高度为，连翘的高度为，大概在第__________天时，连翘和金叶女贞一样高（结果保留到整数）．26．已知关于x 的二次函数上两个不同的点，．（1）求顶点坐标；（2）若且时，总有，求m 的取值范围．27．已知，点D 是直线上一动点（不含B 点），连接，将线段绕点A 逆时针旋转得到线段，连接线段，过点E 作交直线于点F ．AB O e CD O e CD AB ⊥AC BD OC ACO D ∠=∠2BE =CD =O e 1cm h 2cmh 1h 2h 43.6cm 31.2cm 221y mx mx m =-+-()11,A x y ()22,B x y 145x <<221x m =-12y y <60ABC ∠=︒BC AD AD 60︒AE ED EF AB ⊥AB图1备用图（1）如图1，点D 在点B 右侧时，①依题意补全图形；②用等式表示与的数量关系，并证明；③用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；（2）当点D 在直线上运动时，请直接写出线段，，之间的数量关系．28．在平面直角坐标系中，点，点为定点，对于点P 作如下变换，将点P 绕点M 逆时针旋转得到点，再将点绕点N 逆时针旋转后得到点Q ，则称点Q 为点P 的“双逆转点”．备用图1 备用图2（1）若点P 为线段上的一点，则在点，，中，点P 的“双逆转点”可能为__________；（2）若点P 的“双逆转点”在x 轴上，请写出一个满足条件的点P 的坐标__________；（3）若点P 坐标为，点Q 为点P 的“双逆转点”，①当长度最短时，求m 的值；②已知半径为2，若存在过点Q 的直线被所截得的弦长为2，则m 的取值范围为__________．EAB ∠EDB ∠BF BD AB BC BF BD AB xOy ()0,2M ()1,0N 90︒1P 1P 90︒MN ()1,1A --()1,0B -()2,1C -(),4m m +PQ N e N e初三第一学期期中练习答案和评分标准数学2024.11一、选择题（本题共6分，每小题2分）题号12345678答案CADACBBD二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（答案不唯一） 10．2 11．12．2013．＞14．15．40 16．②④（答对一个给1分，多选或错选不得分）三、解答题（共68分，第17题8分，18～25题每题5分，第26题6分，第27、28题每题7分）17．（1）（一个答案2分，如果只会移项给1分）（2），，．（不限方法，不全对的酌情给分）18．（1）由题意知，（2分）解得，解析式为．（3分）（2）．（5分）19．解．原式．（3分）∵，∴，（4分）∴原式．（5分）20．（1）如图所示．（2分）（2），，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．（5分）21．证明：∵，均为等边三角形，∴，，．21y x =+14()3,152x =±2280x x +-=14x =-22x =3230c a =-⎧⎨+-=⎩31c a =-⎧⎨=⎩223y x x =+-31x -<<()()222212123m m m m m =--++=--2220m m --=222m m -=231=-=-BAC BAD ABC △CDE △AC BC =CD CE =60ACB ACE ∠=∠=︒在与中，，∴≌（SAS ），（4分）∴．（5分）22．（1）∵，∴方程总有两个实数根．（2分）（2）解：∵，∴，∴，．∵方程两个根的差为1，∴或0．∴或．（5分）23．解：（1）．（2分）（2）设小路的宽为a 米，根据题意得，．（4分）整理得；，解得：（舍去），．（5分）答：小路的宽为1米．24．（1）证明；∵，∴，∵，∴．（2分）（2）解，设的半轻为r ，则．∵，∴（3分）在中，，解得．（ 5分）25．（1）（2分）（2）23～30之间均可．（4分）（3）78～86之间均可．（5分）26．（1）由题意可知：，∵，∴顶点坐标为．（2分）BCD △ACE △60AC BC ACB ACE CD CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩BCD △ACE △BD AE =()()()234210m m m ∆=+-+=+≥()2320x m x m -+++=()()210x m x ---=12x m =+21x =22m +=0m =2-10x ≥()()821054a a --=214130a a -+=13a =1a =OA OC =ACO A ∠=∠A D ∠=∠ACO D ∠=∠O e 2OE r =-CD AB ⊥1122CE DE CD ===⨯=Rt OCE △(()2222r r +-=3r =0m ≠()()2222121111y mx mx m m x x m x =-+-=-+-=--()1,1-法2：对称轴，当时，，∴顶点坐标为．（2分）（2）当时，对称轴是直线，当时，y 随x 的增大而增大；当时，y 随x 的增大而减小．∵，∴点始终在对称轴右侧，若A 、B 在对称轴右侧，，即时，∵，∴，∴，若A 、B 在对称轴异侧，，即时，关于对称轴的对称点是．∵，∴，即，∴（舍） ．综上所述：．（4分）当时，对称轴是直线，当时，y 随x 的增大而减小；当时，y 随x 的增大而增大．∵，，∴，，关于对称轴的对称点是 ．∵，∴，即，2122b m x a m-=-=-=1x =211y m m m =-+-=-()1,1-0m >1x =1x ≥1x <145x <<()11,A x y 2211x m =->1m >12y y <215m -≥3m ≥2211x m =-<1m <()22,B x y ()222,B x y '-12y y <225x -≥()2215m --≥1m ≤-3m ≥0m <1x =1x ≥1x <221x m =-145x <<2211x m =-<1145x <<<()22,B x y ()222,B x y '-12y y <224x -≤()2214m --≤∴，∴．（6分）综上所述：或．27．（1）①补全图形，如图所示（1分）②，（2分）理由如下：∵线段绕点A 逆时针旋转得到线段，∴，，∴是等边三角形，∴．∵，∴．∵在四边形中，，∴，∴．（3分）③，理由如下：（4分）延长线段至点G 使得，连结，．∵，，∴．∵是等边三角形，∴．在和中，，∴≌（SAS ），（5分），∴．∵，∴．∵，，，∴．（6分）（2）当点D 在点B 右侧时，，当点D 在点B 左侧时，．（7分）12m ≥-102m -≤<102m -≤<3m ≥180EAB BDE ∠+∠=︒AD 60︒AE AE AD =60EAD ∠=︒AED △60AED ∠=︒60ABC ∠=︒180120ABD ABC ∠=︒-∠=︒ABDE 360EAB ABD BDE DEA ∠+∠+∠+∠=︒12060360EAB BDE ∠+︒+∠+︒=︒180EAB BDE ∠+∠=︒2BF AB BD =+BA AG BD =EG EB 180EAG EAB ∠+∠=︒180EAB EDB ∠+∠=︒EAG EDB ∠=∠AED △EA ED =EGA △EBD △EA EDEAG EDB GA BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩EGA △EBD △EG EB =EF BF ⊥GF FB =BG BA GA =+GA BD =2BG BF =2BF BA BD =+2BF AB BD =+2BF AB BD =-28．（1）A ，C ．（2分）（2）答案不唯一，纵坐标为1即可．（3分）（3）①（5分）②或（7分）2m =-m≥m ≤。

2021-2022学年北京市人大附中九年级（上）期中化学试卷1.（单选题，2分）用量筒量取液体时，某同学操作如下：量筒放平稳，面对刻度，初次视线与量筒内凹液面的最低处保持水平，读数为18mL，倒出一部分液体，仰视凹液面最低处，读数为8mL。

这位同学实际取出液体的体积（）A.等于10mLB.大于10mLC.小于10mLD.无法判断2.（单选题，2分）下列变化中，只发生物理变化的是（）A.菜刀生锈B.冲开胶塞C.硫在氧气中燃烧D.电解水3.（单选题，2分）歇后语由劳动人民在日常生活中创造，具有鲜明的民族特色和浓郁的生活气息。

下列歇后语中，涉及化学变化的是（）A.（客家话）灯草做牙签——口硬心软B.（潮汕话）竹叶包沙——假粽（壮）C.（粤语）火烧城隍庙——急死鬼D.（五邑话）铜板切豆腐——两面靓4.（单选题，2分）下列化学实验操作中，正确的是（）A.用燃着的酒精灯点燃另一只酒精灯B.用托盘天平称量药品时，砝码放左盘C.倾倒液体时，试剂瓶上的标签向着手心D.给试管中的液体加热时，液体体积最多不超过试管容积的125.（单选题，2分）加热试管里的液体时，液体体积不应超过试管容积的（）A. 13B. 12C. 23D. 346.（单选题，2分）图中“”和“”分别表示不同的原子，下列判断正确的是（）A. ① 是混合物B. ② 可能是金属C. ③ 中的粒子可构成两种物质D. ④ 是纯净物7.（单选题，2分）分类是学习化学的方法之一。

下列物质按纯净物、混合物的顺序排列的是（）A.氦气、二氧化碳B.空气、氧化汞C.冰水混合物、澄清石灰水D.雨水、氧化铁8.（单选题，2分）下列物质属于纯净物的是（）A.灌南汤沟酒B.淮牌加碘盐C.王恕有滴醋D.制冷剂干冰9.（单选题，2分）下列叙述正确的是（）A.水结冰后分子停止运动B.氯化钠晶体由氯化钠分子构成C.氢原子和氧原子保持水的化学性质D.氧化汞分子在化学变化中能够再分10.（单选题，2分）下列关于原子核的叙述，正确的是（）① 通常由质子和电子构成② 通常由质子和中子构成③ 带负电荷④ 不显电性⑤ 不能再分⑥ 体积大约相当于原子的体积⑦ 质量大约相当于原子的质量．A. ① ⑤B. ② ⑦C. ③ ④D. ② ⑥ ⑦11.（单选题，2分）下列事实对应的微观解释不正确的是（）A.“墙内开花墙外香”一一分子在不断运动B.一滴水中大约有1.67×1021个水分子一一分子的体积很小C.一氧化碳和二氧化碳化学性质不同一一分子的构成不同D.物质热胀冷缩一一分子的大小随温度的变化而变化12.（单选题，2分）建立宏观与微观的联系是化学学科特有的思维方式。

【九年级】2021海淀区九年级上册数学期中试卷（附答案）海淀区九年级第一学期期中练习数学2021.11（分值：120分后，时间：120分钟）一、（本题共32分，每小题4分）下面各题均存有四个答案，其中只有一个就是合乎题意的．1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）a．b．c．d．2．函数中自变量的取值范围是（）a．b．c．d．3．点关于原点对称点的坐标是（）a．b．c．d．4．用配方法解方程，下列配方正确的是（）a．b．c．d．5．下列等式成立的是（）a．b．c．d．6．已知扇形的半径为3，圆心角为，则这个扇形的面积为（）．7．在△中，，，，于d，以点c为圆心，2.5短为半径画圆，则以下观点恰当的就是（）a．点a在上b．点a在内c．点d在上d．点d在内8．如图，ab是直径，弦cd交ab于e，，．设立，．下列图象中，能表示y与x的函数关系是的（）a．b．c．d．二、题（本题共16分，每小题4分）9．若实数、满足用户，则的值__________．10．若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为__________．11．小明用一把残缺不全的量角器测量三角形玻璃中的大小．他将玻璃板按如图所示的方法转动在量角器上，使点a在圆弧上，ab，ac分别与圆弧处设点d，e，它们对应的刻度分别为，，则的度数为__________．12．按照图示的方式可以将一张正方形纸片拆成一个环保纸袋（如图所示）．，则折成后纸袋的边和hi的长分别为__________、__________．三、答疑题（本题共30分后，每小题5分后）13．解方程：．16．未知，例如图，的半径为5，ab为直径，cd为弦，于e，若．谋cd的长．17．已知，求代数式的值．18．未知，例如图，在△中，，点d在ab边上，点e在ac边的延长线上，且，连接de交bc于f．澄清：．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．我国网络零售业正处于一个快速发展的时期．据估计，2021年我国电商交易总额达至5000亿元．若2021年电商总额超过12800亿元，谋电商交易总额的年平均增长率．20．已知，如图，在平面直角坐标系中，△三个顶点的座标分别为a（0，0），b（1，0），c（2，2）．以a为旋转中心，把△逆时针转动，获得△．（1）画出△；（2）点的座标为________；（3）求点c旋转到所经过的路线长．21．未知，关于x的一元二次方程存有实数根．（1）求的取值范围；（2）若，就是此方程的两个根，且满足用户，谋的值．22．已知，如图，在△中，，以dc为直径作半圆，交边ac于点f，点b在cd的延长线上，连接bf，交ad于点e，．（1）澄清：bf就是的切线；（2）若，，求的半径．五、答疑题（本题共22分后，第23题7分后，第24题8分后，第25题7分后）23．初三（1）班的同学们在解题过程中，发现了几种利用尺规作一个角的半角的方法．题目：在△中，，求作：．仿照他们的做法，利用尺规作图解决下列问题，要求保留作图痕迹．（1）恳请在图1和图2中分别出作；（2）当时，在图3中作出，且使点p在直线l上．24．在△中，，，分别为，，面元的边，我们表示关于x的一元二次方程为“△的☆方程”．根据规定解答下列问题：（1）“△的☆方程”的根的情况就是_____(填上序号)；①有两个相等的实数根②存有两个不成正比的实数根③没有实数根（2）例如图，ad为的直径，bc为弦，于e，，求“△的☆方程”的解；（3）若就是“△的☆方程”的一个根，其中，，均为整数，且，求方程的另一个根．25．在平面直角坐标系xoy中，直线与直线（a、b为常数，且）处设点p，轴于点，轴于n，△就是以n为斜边的全等直角三角形，点p与点e在n异侧．（1）当，时，点p的坐标为_________，线段的长为________；（2）当四边形pon的周长为8时，谋线段pe的长；（3）直接写出线段pe的长（用含a或b的代数式表示）_______________________．。

2021~2022北京部分名校九年级上期中数学分类——圆综合1．（2021秋•海淀区人大附中九年级期中）已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接BC，过点O作OD⊥BC于D，交于点E，连接AE，交BC于F．（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠E．（2）如图2，连接OF，若OF⊥AB，DF＝1，求AE的长．2．（2021秋•人大附中朝阳学校九年级期中）如图，AB为⊙O的直径，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O 于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若圆的半径为6，求弦BC的长．3．（2021秋•西城区三帆中学九年级期中）已知：如图，AB是⊙O的直径，点M为半径OA的中点，弦CD ⊥AB于点M，过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若点F在弧BD上，且∠DCF＝45°，CF交AB于点N．①请补全图形；②若DE＝，求FN的长．4．（2021秋•西城区月坛中学九年级期中）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，求CD的长．5．（2022•海淀区101九年级期中模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AC是对角线．点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠BAC．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）BA与CD的延长线交于点F，若DE∥AC，AB＝4，AD＝2，求AF的长．6．（2021秋•西城区北师大附属实验中学九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO＝∠D；（2）若CD＝8，AE＝3，求⊙O的半径．7．（2021秋•西城区北师大附属实验中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OB＝10，CD＝8，求CE的长．8．（2021秋•西城区铁路二中九年级期中）如图，⊙O的半径为2，四边形ABCD内接于⊙O，圆心O到AC 的距离等于．（1）求AC的长；（2）求∠ADC的度数．9．（2021秋•西城区师大附中九年级期中）如图，点A、B、C是⊙O上的点，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）若∠BAD＝30°，BC＝2，求⊙O的半径．10．（2021秋•西城区师大附中九年级期中）已知：如图，AB是⊙O直径，延长直径AB到点C，使AB＝2BC，DF是⊙的弦，DF⊥AB于点E，OE＝1，∠BAD＝30°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连接并延长DO交于点G，连接GE，请补全图形并求GE的长．11．（2021秋•西城区西城外国语九年级期中）如图，AB是⊙O的一条弦，过点O作OC⊥AB于D，交⊙O 于点C，点E在⊙O上，且∠AEC＝30°，连接OB．（1）求∠BOC的度数；（2）若CD＝4，求AB的长．12．（2021秋•西城外国语九年级期中）如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于D，过点B作BE∥CD交⊙O于点E，连接AD，AE，∠EAD＝22.5°．若BE＝4，求⊙O的半径．13．（2020秋•西城区北京师大二附中西城实验学校九年级期中）已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是BC的中点．试确定EF与半圆O的位置关系，并证明你的结论．14．（2021秋•北京八中九年级期中）已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°．（1）如图1，连接BD，若⊙O的半径为6，AD＝AB，求AB的长；（2）如图2，连接AC，若AD＝5，AB＝3，对角线AC平分∠DAB，求AC的长．15．（2021秋•北京八中九年级期中）如图，已知：过⊙O上一点A作两条弦AB、AC，且∠BAC＝45°，（AB，AC都不经过O）过A作AC的垂线AF交⊙O于D，直线BD，AC交于点E，直线BC，DA交于点F．（1）证明：BE＝BF；（2）探索线段AB、AE、AF的数量关系，并证明你的结论．参考答案1．已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接BC，过点O作OD⊥BC于D，交于点E，连接AE，交BC于F．（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠E．（2）如图2，连接OF，若OF⊥AB，DF＝1，求AE的长．【解答】（1）证明：如图1中，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵OE⊥BC，∴∠ODB＝∠ACB＝90°，∴OE∥AC，∴∠CAF＝∠AEO，∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE，∴∠BAC＝2∠E；（2）解：如图2中，∵OF⊥AB，OA＝OB，∴F A＝FB，∴∠F AB＝∠FBA，∵∠CAF＝∠EAB，∴∠CAB＝2∠ABC，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∴∠B＝∠EAO＝∠E＝30°，∴∠AOE＝120°，∴∠FOE＝∠E＝30°，∴FO＝EF，∵FD⊥OE，∴EF＝OF＝2DF＝2，AF＝2OF＝4，∴AE＝AF+EF＝4+2＝6．2．如图，AB为⊙O的直径，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若圆的半径为6，求弦BC的长．【解答】（1）证明；在⊙O中，OD⊥BC于E，∴CE＝BE，∵CD∥AB，∴∠DCE＝∠B，在△DCE与△OBE中，，∴△DCE≌△OBE（ASA），∴DE＝OE，∴E是OD的中点；（2）解：∵圆的半径为6，∴OE＝ED＝3，由勾股定理得：BE＝＝3，∵OD⊥BC，∴BC＝2BE＝6．3．（2021秋•西城区校级期中）已知：如图，AB是⊙O的直径，点M为半径OA的中点，弦CD⊥AB于点M，过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若点F在弧BD上，且∠DCF＝45°，CF交AB于点N．①请补全图形；②若DE＝，求FN的长．【解答】（1）证明：如图，在⊙O中，∵CD⊥AB于点M，∴DM＝CM，∵∠OMD＝∠AMC＝90°，OM＝AM，∴△OMD≌△AMC（SAS），∴∠ODM＝∠ACM，∴OD∥AC，∵DE⊥CA，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝180°﹣∠90°＝90°，∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．（2）①补全图形如图所示．②如图，连接OC，作FG⊥AB于点G，则∠OGF＝90°，∵CD垂直平分OA，∴AC＝OC＝OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠ACO＝∠MOC＝60°，∴∠OCM＝∠ACM＝∠ACO＝30°，∴DE＝CD，∵CM＝CD，∴CM＝DE＝，∵∠OMC＝90°，∴OM＝OC，∵OM2+CM2＝OC2，∴（OC）2+（）2＝OC2，解得OC＝2或OC＝﹣2（不符合题意，舍去），∴OF＝OC＝2，∵∠DCF＝45°，∴∠DOF＝2∠DCF＝90°，∵∠DOM＝∠CAM＝60°，∴∠FOG＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴FG＝OF＝1，∵∠MNC＝∠MCN＝45°，∴∠GNF＝∠MNC＝45°，∴∠GFN＝∠GNF＝45°，∴NG＝FG＝1，∴FN＝＝．4．（2021秋•西城区校级期中）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，求CD的长．【解答】解：∵∠A＝22.5°，∴∠BOC＝2∠A＝45°，∵圆O的直径AB垂直于弦，∴CE＝ED＝，∴Rt△CEO中，OC＝4，∴CE＝EO＝OC＝2，∴CD＝4．5．（2022•海淀区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AC是对角线．点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠BAC．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）BA与CD的延长线交于点F，若DE∥AC，AB＝4，AD＝2，求AF的长．【解答】解：（1）相切．理由是：连接BD，如图1．∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，∴BD是⊙O的直径，即点O在BD上．∴∠BCD＝90°．∴∠CED+∠CDE＝90°．∵∠CED＝∠BAC．又∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC+∠CDE＝90°，即∠BDE＝90°．∴DE⊥OD于点D．∴DE是⊙O的切线．（2）如图2，BD与AC交于点H，∵DE∥AC，∴∠BHC＝∠BDE＝90°．∴BD⊥AC．∴AH＝CH．∴BC＝AB＝4，CD＝AD＝2．∵∠F AD＝∠FCB＝90°，∠F＝∠F，∴△F AD∽△FCB．∴．∴CF＝2AF．设AF＝x，则DF＝CF﹣CD＝2x﹣2．在Rt△ADF中，DF2＝AD2+AF2，∴（2x﹣2）2＝22+x2．解得：x1＝，x2＝0（舍）．∴AF＝．6．（2021秋•西城区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO＝∠D；（2）若CD＝8，AE＝3，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵OB＝OC，∴∠BCO＝∠B，∵∠B＝∠D，∴∠BCO＝∠D；（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝×8＝4，∵∠B＝∠D，∠BEC＝∠DEC，∴△BCE∽△DAE，∴AE：CE＝DE：BE，∴3：4＝4：BE，解得：BE＝，∴AB＝AE+BE＝，∴⊙O的半径为：．7．（2021秋•西城区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OB＝10，CD＝8，求CE的长．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵BD为∠ABC平分线，∴∠1＝∠2，∵OB＝OD，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴OD∥BC，∵∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，∴AC是⊙O的切线；（2）解：过O作OG⊥BC，连接OE，则四边形ODCG为矩形，∴GC＝OD＝OB＝10，OG＝CD＝8，在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG＝6，∵OG⊥BE，OB＝OE，∴BE＝2BG＝12．解得：BE＝12，∵AC是⊙O的切线，∴CD2＝CE•CB，即82＝CE（CE+12），解得：CE＝4或CE＝﹣16（舍去），即CE的长为4．8．（2021秋•西城区校级期中）如图，⊙O的半径为2，四边形ABCD内接于⊙O，圆心O到AC的距离等于．（1）求AC的长；（2）求∠ADC的度数．【解答】解：（1）过O作OE⊥AC于E，连接OA、OC，则∠AEO＝90°，∵圆心O到AC的距离等于，∴OE＝，由勾股定理得：AE＝＝＝1，∵OE⊥AC，OE过圆心O，∴AE＝CE＝1，∴AC＝AE+CE＝1+1＝2；（2）∵OA＝2，AE＝1，∠AEO＝90°，∴AE＝OA，∵∠AEO＝90°，∴∠AOE＝30°，同理∠COE＝30°，∴∠AOC＝30°+30°＝60°，∴∠ABC＝AOC＝30°，∵四边形ADCB是⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣30°＝150°．9．（2021秋•西城区校级期中）如图，点A、B、C是⊙O上的点，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）若∠BAD＝30°，BC＝2，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵BC⊥AD，∴＝，∴∠BAD＝∠CAD；（2）解：连接OB，如图，∵BC⊥AD，∴BE＝CE＝BC＝×2＝，∵∠BOE＝2∠BAD＝2×30°＝60°，在Rt△BOE中，∵OE＝BE＝×＝1，∴OB＝2OE＝2，即⊙O的半径为2．10．（2021秋•西城区校级期中）已知：如图，AB是⊙O直径，延长直径AB到点C，使AB＝2BC，DF是⊙的弦，DF⊥AB于点E，OE＝1，∠BAD＝30°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连接并延长DO交于点G，连接GE，请补全图形并求GE的长．【解答】（1）证明：∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝30°，∵DF⊥AB，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°﹣∠EAD＝60°，∴∠ODE＝∠ADE﹣∠ODA＝30°，∴OE＝OD，∴OD＝2OE＝2，∴OA＝OD＝2，∵AB是⊙O直径，∴AB＝2OD＝4，∵AB＝2BC，∴BC＝2，∴AE＝OA+OE＝3，∴AC＝AB+BC＝6，CE＝AC﹣AE＝3，∴AE＝CE，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC＝30°，∴∠CDE＝90°﹣∠DCE＝60°，∴∠ODC＝∠ODE+∠CDE＝90°，∴OD⊥CD，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接FG，在Rt△DOE中，∵OD＝2，OE＝1∴DE＝＝＝，∵OE⊥DF，∴EF＝DE＝，∵OD＝OG，∴OE是△DFG的中位线，∴OE＝FG，∴FG＝2OE＝2，在Rt△EFG中，GE2＝EF2+FG2，∴GE＝＝＝．11．（2021秋•西城区校级期中）如图，AB是⊙O的一条弦，过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于点C，点E 在⊙O上，且∠AEC＝30°，连接OB．（1）求∠BOC的度数；（2）若CD＝4，求AB的长．【解答】解：（1）∵OC⊥AB，∴＝，∵∠AEC＝30°，∴∠BOC＝2∠AEC＝60°；（2）∵OC⊥AB，∴∠BDO＝90°，∵∠BOC＝60°，∴∠OBD＝30°，∴OB＝OC＝2OD，∴OD＝CD＝4，∴OB＝8，∴BD＝＝＝4，∴AB＝ABD＝8．12．（2021秋•西城区校级期中）如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于D，过点B作BE∥CD交⊙O于点E，连接AD，AE，∠EAD＝22.5°．若BE＝4，求⊙O的半径．【解答】解：连接OD，交BE于点F，如图，∵CD与⊙O相切于点D，∴OD⊥CD，∴∠ODC＝90°，∵BE∥CD，∴∠OFB＝90°，∴OD⊥BE，∴＝，∴∠EAD＝∠DAB，∵∠EAD＝22.5°，∴∠EAB＝∠EAD+∠DAB＝45°；∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵∠EAB＝45°，∴∠ABE＝∠EAB＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵BE＝4，∴AB＝BE＝4，∴⊙O的半径为2．13．（2020秋•西城区校级期中）已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的半圆O交AB 于F，E是BC的中点．试确定EF与半圆O的位置关系，并证明你的结论．【解答】解：结论：∴EF是半圆C的切线理由：连接OE，CF．∵AC是直径，∴∠AFC＝90°∴∠BFC＝90°又∵E是BC的中点，∴EF＝EC∴∠EFC＝∠ECF∵OC＝OF∴∠OFC＝∠FCO，∴∠ACB＝∠FCO+∠ECF＝90°∴∠EFC+∠OFC＝90°即∠EFO＝90°∴OF⊥EF∴EF是⊙C的切线14．（2021秋•西城区校级期中）已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°．（1）如图1，连接BD，若⊙O的半径为6，AD＝AB，求AB的长；（2）如图2，连接AC，若AD＝5，AB＝3，对角线AC平分∠DAB，求AC的长．【解答】解：（1）∵∠DAB＝90°∴BD是直径，∴BD＝12，∴2AB2＝144，∴AB＝；（2）如图2，连接BD，∵∠DAB＝90°，AD＝5，AB＝3，∴BD＝，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∴＝，∴DC＝CB，∵四边形ABCD内接于⊙O，∵∠DAB＝90°，∴∠DCB＝90°，∴BC＝，作BH⊥AC，∵∠CAB＝45°，∴AH＝BH＝，CH＝，∴AC＝．15．（2021秋•西城区校级期中）如图，已知：过⊙O上一点A作两条弦AB、AC，且∠BAC＝45°，（AB，AC都不经过O）过A作AC的垂线AF交⊙O于D，直线BD，AC交于点E，直线BC，DA交于点F．（1）证明：BE＝BF；（2）探索线段AB、AE、AF的数量关系，并证明你的结论．【解答】（1）证明：如图1，连接CD，∵AF⊥AE，∴∠CAD＝90°，∴CD为⊙O的直径，∴∠CBD＝90°，∴∠EBC＝∠FBD＝90°，∵∠BAC＝45°，∴∠BDC＝∠BAC＝45°，∴∠BCD＝45°，∴BC＝BD，∵四边形ACBD内接于⊙O，∴∠ECB＝∠FDB，在△EBC与△FBD中，，∴△EBC≌△FBD（ASA），∴BE＝BF；（2）解：AE＝AF+AB，证明：如图2，过点B作BH⊥AB交AE于H，∵∠BAH＝45°，∴△ABH为等腰直角三角形，∴AH＝AB，∵△EBC≌△FBD∴∠E＝∠F，BE＝BF，∵∠EBF＝∠HBA＝90°，∴∠EBH+∠HBF＝∠HBF+∠FBA，∴∠EBH＝∠FBA，在△EBH和△FBA中，，∴△EBH≌△FBA（ASA），∴EH＝AF，∴AE＝EH+HA＝AF+AB．。