用空间向量法求解立体几何问题典例及解析
以多面体为载体，以空间向量为工具，来论证和求解空间角、距离、线线关系以及线面关系相关问题，是近年来高考数学的重点和热点，用空间向量解立体几何问题，极大地降低了求解立几的难度，很大程度上呈现出程序化思想。更易于学生们所接受，故而执教者应高度重视空间向量的工具性。
首先，梳理一下利用空间向量解决立体几何的知识和基本求解方法
一：利用空间向量求空间角
(1)两条异面直线所成的夹角
范围：两条异面直线所成的夹角的取值范围是 。
向量求法：设直线,ab的方向向量为a,b，其夹角为，则有cos___________.
(2)直线与平面所成的角
定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。
范围：直线和平面所夹角的取值范围是 。
向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线与法向量所成角的余弦值为|cos|___________.直线与平面所成的角为，则有sin___________.或在平面内任取一个向量m，则|cos|___________..
(3)二面角
二面角的取值范围是 .
二面角的向量求法：
方法一：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量，则这两个向量所成的
即为所求的二面角的大小；
方法二：设1n，2n分别是两个面的 ，则向量1n与2n的夹角(或其补角)即为所求二面角的平面角的大小。
二：利用空间向量求空间距离
（1）点面距离的向量公式
平面的法向量为n，点P是平面外一点，点M为平面内任意一点，则点P到平面的距离d就是 ，即d=||||MPnn.
（2）线面、面面距离的向量公式
平面∥直线l，平面的法向量为n，点M∈、P∈l，平面与直线l间的距离d就是MP在向量n方向射影的绝对值，即d= .
专题8.7 立体几何中的向量方法（二）求空间角与距离
一、考纲要求
1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；
2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.
二、考点梳理
考点一 异面直线所成的角
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
a与b的夹角β l1与l2所成的角θ
范围 (0，π) 0，π2
求法 cos β＝a·b|a||b| cos θ＝|cos β|＝|a·b||a||b|
考点二 求直线与平面所成的角
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n|.
考点三 求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈AB→，CD→〉.
(2)如图②③，n1，n2 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).
【特别提醒】
1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cos θ＝|cos〈a，n〉|.
2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.
三、题型分析
例1. （黑龙江鹤岗一中2019届期末）如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值为( )
A.3－225 B.2－26
C.12 D.32
【答案】A
【解析】因为BC→＝AC→－AB→，所以OA→·BC→＝OA→·AC→－OA→·AB→
通山一中2018-2019学年上学期高三数学第一轮复习《立体几何》
导学案
使用时间：2018-10
编制人： 李 汉 审核人： 班级： 小组： 姓名： 评价：
第45讲 立体几何中的向量方法(2)—求空间角和距离
考纲要求： 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.
命题趋势： 用向量法证明线线、线面、面面的平行与垂直，用向量法求空间角和空间距离，用向量法解决探索性问题.
1．两条异面直线所成角的求法
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
l1与l2所成的角θ a与b的夹角β
范围 θ β
求法 cos θ＝____________ cos β＝___________
2．直线与平面所成角的求法
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成角为θ，a与n的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝_______________.
3．求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ为__________________.
(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝_________|__，二面角的平面角大小是向量n1与n的夹角(或其补角)．
4．利用空间向量求距离(供选用)
(1)两点间的距离设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝|AB→|＝___________________.
(2)点到平面的距离如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，
n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为|BO→|＝_____________.
1 §8.8 立体几何中的向量方法(二)——求空间角距离
最新考纲 考情考向分析
1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题.
2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 本节是高考中的必考内容，涉及用向量法计算空间异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角及空间距离等内容，考查热点是空间角的求解.题型以解答题为主，要求有较强的数学运算素养，广泛应用函数与方程思想、转化与化归思想.
2 1.两条异面直线所成角的求法
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
l1与l2所成的角θ a与b的夹角β
范围 0，π2
[0，π]
求法 cosθ＝|a·b||a||b| cosβ＝a·b|a||b|
2.斜线和平面所成的角
(1)斜线和它在平面内的射影的所成的角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角).
(2)斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.
3.二面角
(1)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
(2)在二面角α—l—β的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α—l—β的平面角.
4.空间向量与空间角的关系
(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cosθ＝|cos〈m1，m2〉|.
(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足sinθ＝|cos〈m，n〉|.
(3)求二面角的大小
1°如图①，AB、CD是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB→，CD→〉.
3 2°如图②③，n1，n2分别是二面角α—l—β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉.
概念方法微思考
1.利用空间向量如何求线段长度？
