利用空间向量求角

利用空间向量求空间角考点与题型归纳

一、基础知识

1．异面直线所成角

设异面直线a，b所成的角为θ，则cos

θ＝|a·b||a||b|❶， 其中a，b分别是直线a，b的方向向量．

2．直线与平面所成角

如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则sin φ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n|❷.

3．二面角

(1)若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量AB―→与CD―→的夹角，如图(1)．

(2)平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α ­l ­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝|n1·n2||n1||n2|❸，如图(2)(3)．

两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为(0，π)，所以公式中要加绝对值．

直线与平面所成角的范围为0，π2，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝对值．

利用公式与二面角的平面角时，要注意〈n1，n2〉与二面角大小的关系，是相等还是互补，需要结合图形进行判断．

二、常用结论

解空间角最值问题时往往会用到最小角定理

cos θ＝cos θ1cos θ2.

如图，若OA为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，OC为平面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cos θ＝cos θ1cos θ2.

考点一 异面直线所成的角

[典例精析]

如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.

(1)求证：MN∥平面BDE；

(2)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为721，求线段AH的长．

专题 利用法向量求空间角和距离

（一）如何求法向量

1.法向量：在空间几何中，如果一个向量所在直线垂直于一个平面，我们就说该向量是这个平面的一个法向量，平面α的法向量n是求线线角，线面角，面面角和点到平面距离的必备工具，那么如何求一个平面的法向量呢？

2.方法：由n⊥α可知，要求法向量n，只需在平面α上找出两个不共线向量a,b，通过解方程组 a·n=0b·n=0 得到，需注意的是平面α的法向量不是唯一的，一般取一个研究即可.有时也可先证明某一条直线是平面的垂线，在平面的垂线上取一个向量即为法向量.

3.例题

例1 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面ACD1的法向量n和单位法向量n0.

例2 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=900,侧棱AA1=2，D,E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是三角形ABD的重心G，建立适当的空间直角坐标系，求平面ABD的法向量及平面AED的法向量.

小结：

动手试试：

已知ABCD是边长为4的正方形，E,F分别是AB,AD的中点，GC垂直于ABCD所在平面，且GD=2，建立适当的空间直角坐标系，求平面EFG的法向量.

（二）利用向量法求空间角

1.求线线角的大小

结论1：异面直线a与b所成角为θ，且A∈a,B∈a,C∈b,D∈b,则cosθ=|AB → ·CD →

|AB → ||CD → | |.

例3.在正四棱锥V-ABCD中，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为2，高为1，求异面直线BE与VA所成的角.

小结：

2.求线面角的大小

结论2：设θ为直线l与平面α所成的角，m为l的方向向量，n为平面α的法向量，则有

sinθ=|m·n|m||n| |.

例4.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，求AB1与侧面ACC1A1所成的角的余弦值.

小结：

3.求二面角的大小

学案46 利用向量方法求空间角

自我检测

1．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( )

A．45° B．135°

C．45°或135° D．90°

2．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则( )

A．l1∥l2 B．l1⊥l2

C．l1与l2相交但不垂直 D．以上均不正确

3．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( )

A．120° B．60°

C．30° D．以上均错

4．(2011·湛江月考)二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为( )

A．150° B．45° C．60° D．120°

5．(2011·铁岭模拟)已知直线AB、CD是异面直线，AC⊥CD，BD⊥CD，且AB＝2，CD＝1，则异面直线AB与CD夹角的大小为( )

A．30° B．45° C．60° D．75°

探究点一 利用向量法求异面直线所成的角

例1 已知直三棱柱ABC—A1B1C1，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1，D为B1C1的中点，求异面直线BD和A1C所成角的余弦值．

变式迁移1 如图所示，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求异面直线BA1和AC所成的角．

探究点二 利用向量法求直线与平面所成的角

例2 (2011·新乡月考)如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值．

变式迁移2 如图所示，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE＝AB＝2，CD＝1，点F是AE的中点．求AB与平面BDF所成角的正弦值．

空间向量求空间角

教学知能目标：1．理解空间向量求解空间角的一般方法；

2．能用空间向量解决空间角问题。

教学情感目标：培养学生探究新知的精神，培养学生数形结合的能力，化归的能力。

教学重点：理解空间向量求解空间角的一般方法，并能利用空间向量解决空间角问题。

教学难点：线面角，面面角的化归。

一、复习引入：

1 ．在三棱锥PABC中，,,,PAABABACACPA

2PAPBPC，则面ABC的法向量是什么？面PBC

的法向量又怎么求？

2 ．空间向量的数量积运算公式是什么？

二、新课探究：

四棱柱1111ABCDABCD的底面是的边长为1的正方形，侧棱垂直底面，11,4,,,ABAAEFG分

别是11,,CCACBB的中点。

问题1：求异面直线11,BFDE所成角的余弦值.

探究：如何用空间向量求异面直线所成的角？

设l1与l2是两异面直线，,ab分别为l1、l2的方向向量，它们所成角为， l1、l2所成的角为，则θ与相等或互补，则coscosabab

ZYXGFED1C1B1A1DCBAαbaCBAP

问题2：求直线AC与平面1AGF所成角的余弦值；

探究：如何用空间向量求直线与平面所成的角？

如图，设l为平面的斜线，lA，,a为l的方向向量， n为平面的法向量，它们所成角为θ， l与平面所成的角为，则sincosanan

问题3：求二面角1AAGF的平面角的余弦值。

探究：如何用空间向量求二面角？

平面与相交于直线l，平面的法向量为1n，平面的法向量为2n，12,nn = ，则二面角l为或.设二面角的大小为，则2112coscosnnnn

φnaCBAαφn2n1lBAOβα

三、巩固提高：

已知四棱锥SABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，（1）当时2SAa时，求异面直线AB和SC所成角的余弦值；（2）当2SAa时求直线BD和平面SCD所成角的余弦值；（3）当SAAB的值为多少时，二面角BSCD的大小为120?