立体几何中的向量方法(二)——求空间角与距离备考策略易错点
【易错点】
1．直线的方向向量与平面的法向量
(1)若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β.(×)
(2)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角．(×)
(3)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则a∥c，a⊥b.(√)
2．空间角
(4)两异面直线夹角的范围是0，π2，直线与平面所成角的范围是0，π2，二面角的范围是[0，π]．(√)
(5)已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos
(6)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为45°.(×)
(7)在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为60°.(√)
剖析:
1．利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化．主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算．
2．两种关系
一是异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角，如(2)．
二是二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补，如(6).
专题8.7 立体几何中的向量方法（二）求空间角与距离
一、考纲要求
1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；
2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.
二、考点梳理
考点一 异面直线所成的角
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
a与b的夹角β l1与l2所成的角θ
范围 (0，π) 0，π2
求法 cos β＝a·b|a||b| cos θ＝|cos β|＝|a·b||a||b|
考点二 求直线与平面所成的角
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n|.
考点三 求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈AB→，CD→〉.
(2)如图②③，n1，n2 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).
【特别提醒】
1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cos θ＝|cos〈a，n〉|.
2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.
三、题型分析
例1. （黑龙江鹤岗一中2019届期末）如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值为( )
A.3－225 B.2－26
C.12 D.32
【答案】A
【解析】因为BC→＝AC→－AB→，所以OA→·BC→＝OA→·AC→－OA→·AB→
立体几何中的向量方法(二)——求空间角与距离备考策略易错点
主标题：立体几何中的向量方法(二)——求空间角与距离备考策略易错点
副标题：从考点分析立体几何中的向量方法(二)——求空间角与距离备考策略易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。
关键词：空间角，距离，易错点
难度：2
重要程度：4
【易错点】
1．直线的方向向量与平面的法向量
(1)若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β.(×)
(2)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角．(×)
(3)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则a∥c，a⊥b.(√)
2．空间角
(4)两异面直线夹角的范围是0，π2，直线与平面所成角的范围是0，π2，二面角的范围是[0，π]．(√)
(5)已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos＝－12，则l与α所成的角为150°.(×)
(6)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为45°.(×)
(7)在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为60°.(√)
剖析:
1．利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化．主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算． 2．两种关系
一是异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角，如(2)．
二是二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补，如(6).
第 五讲 空间向量与立体几何（2012-2-4）
利用空间向量证明空间中线面关系，计算空间的各种角是高考对立体几何的常规考法．它以代数运算代替复杂的空间的想象，给解决立体几何问题带来了鲜活的方法．另外，空间向量还可以用来解决许多探索性问题，这类问题具有一定的思维深度，更能考查学生的能力，因此正逐渐成为高考命题的热点题型．
一、 空间向量的基本概念：
1、空间向量的数量积：
2、两个重要的向量：
(1)直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的向量，一条直线的方向向量有
个．
(2)平面的法向量
直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有 个，它们是共线向量．
3．利用空间向量求空间角
(1)求两条异面直线所成的角 (2)求直线与平面所成的角
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ.
则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝ .
（3）求二面角的大小：
二、 点题热身：
1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则
( )
A．l1∥l2 B．l1⊥l2
C．l1与l2相交但不垂直 D．以上均不正确
2．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为
( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°
3、正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角
的余弦值为________．
