用向量方法求空间角

专题8.7 立体几何中的向量方法（二）求空间角与距离

一、考纲要求

1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；

2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.

二、考点梳理

考点一 异面直线所成的角

设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

a与b的夹角β l1与l2所成的角θ

范围 (0，π) 0，π2

求法 cos β＝a·b|a||b| cos θ＝|cos β|＝|a·b||a||b|

考点二 求直线与平面所成的角

设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n|.

考点三 求二面角的大小

(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈AB→，CD→〉.

(2)如图②③，n1，n2 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).

【特别提醒】

1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cos θ＝|cos〈a，n〉|.

2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.

三、题型分析

例1. （黑龙江鹤岗一中2019届期末）如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值为( )

A.3－225 B.2－26

C.12 D.32

【答案】A

【解析】因为BC→＝AC→－AB→，所以OA→·BC→＝OA→·AC→－OA→·AB→

线面夹角公式空间向量

在空间几何中，线面夹角是指直线与平面之间的夹角。它是一个重要的概念，在不同的应用领域中都有着广泛的运用。线面夹角的计算方法主要是利用向量的运算，下面将详细介绍线面夹角的公式和计算方法。

首先，需要了解向量的概念。向量是指空间中有大小和方向的量，它可以用一组有序的数表示。向量可以表示为一个有向线段，它的起点和终点分别表示向量的起点和终点。向量具有一些特殊的性质，其中重要的一条是向量的长度表示向量大小，向量的方向表示向量的方向，这些都能够直接应用到线面夹角的计算中。

接下来，我们来看一下线面夹角的定义。线面夹角是指一个直线与一个平面的夹角，该角度是由平面法线向量与直线向量之间的夹角决定的。如果直线向量与平面法线向量是非零向量且不垂直，则可以使用向量积来计算线面夹角，具体公式为：

cosθ = |n·a| / (|n||a|)

其中θ表示线面夹角的大小，n表示平面的法线向量，a表示直线的向量。

当然，在实际应用中，有时候我们并不总是能够直接获得向量的大小和方向，这时候就需要利用向量运算方法来计算。具体方法如下：

1.求出平面的法向量n 对于平面的法向量，我们可以通过两个点得到一条直线，再得到直线的向量，最后使用叉乘积求得法向量。

2.求出直线的向量a

直线的向量可以通过直线上的两个点求解，直接连接两点即可得到直线的向量。

3.求解向量点积和向量模长

使用向量运算法则，求出向量a和向量n的点积和模长。

4.求出角度cosθ

通过向量点积和向量模长的值带入公式，求解出角度cosθ。

最后，需要注意的是，在计算线面夹角时，需要格外注意平面法向量和直线向量是否同向。如果两者同向，则角度为0，如果垂直则角度为90度，如果其它情况则可以通过公式计算。

总体来看，线面夹角是一个重要的几何概念。了解线面夹角的计算方法，不仅可以帮助我们更好地理解空间几何，还能够帮助我们在各种应用领域中更好地应用这个概念。希望本文的介绍能够帮助大家更好地理解和应用线面夹角的公式和计算方法。

利用空间向量求空间角考点与题型归纳

一、基础知识

1．异面直线所成角

设异面直线a，b所成的角为θ，则cos

θ＝|a·b||a||b|❶， 其中a，b分别是直线a，b的方向向量．

2．直线与平面所成角

如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则sin φ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n|❷.

3．二面角

(1)若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量AB―→与CD―→的夹角，如图(1)．

(2)平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α ­l ­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝|n1·n2||n1||n2|❸，如图(2)(3)．

两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为(0，π)，所以公式中要加绝对值．

直线与平面所成角的范围为0，π2，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝对值．

利用公式与二面角的平面角时，要注意〈n1，n2〉与二面角大小的关系，是相等还是互补，需要结合图形进行判断．

二、常用结论

解空间角最值问题时往往会用到最小角定理

cos θ＝cos θ1cos θ2.

如图，若OA为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，OC为平面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cos θ＝cos θ1cos θ2.

考点一 异面直线所成的角

[典例精析]

如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.

(1)求证：MN∥平面BDE；

(2)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为721，求线段AH的长．

学案46 利用向量方法求空间角

自我检测

1．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( )

A．45° B．135°

C．45°或135° D．90°

2．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则( )

A．l1∥l2 B．l1⊥l2

C．l1与l2相交但不垂直 D．以上均不正确

3．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( )

A．120° B．60°

C．30° D．以上均错

4．(2011·湛江月考)二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为( )

A．150° B．45° C．60° D．120°

5．(2011·铁岭模拟)已知直线AB、CD是异面直线，AC⊥CD，BD⊥CD，且AB＝2，CD＝1，则异面直线AB与CD夹角的大小为( )

A．30° B．45° C．60° D．75°

探究点一 利用向量法求异面直线所成的角

例1 已知直三棱柱ABC—A1B1C1，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1，D为B1C1的中点，求异面直线BD和A1C所成角的余弦值．

变式迁移1 如图所示，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求异面直线BA1和AC所成的角．

探究点二 利用向量法求直线与平面所成的角

例2 (2011·新乡月考)如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值．

变式迁移2 如图所示，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE＝AB＝2，CD＝1，点F是AE的中点．求AB与平面BDF所成角的正弦值．