用空间向量法求解立体几何问题典例及解析
以多面体为载体，以空间向量为工具，来论证和求解空间角、距离、线线关系以及线面关系相关问题，是近年来高考数学的重点和热点，用空间向量解立体几何问题，极大地降低了求解立几的难度，很大程度上呈现出程序化思想。更易于学生们所接受，故而执教者应高度重视空间向量的工具性。
首先，梳理一下利用空间向量解决立体几何的知识和基本求解方法
一：利用空间向量求空间角
(1)两条异面直线所成的夹角
范围：两条异面直线所成的夹角的取值范围是 。
向量求法：设直线,ab的方向向量为a,b，其夹角为，则有cos___________.
(2)直线与平面所成的角
定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。
范围：直线和平面所夹角的取值范围是 。
向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线与法向量所成角的余弦值为|cos|___________.直线与平面所成的角为，则有sin___________.或在平面内任取一个向量m，则|cos|___________..
(3)二面角
二面角的取值范围是 .
二面角的向量求法：
方法一：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量，则这两个向量所成的
即为所求的二面角的大小；
方法二：设1n，2n分别是两个面的 ，则向量1n与2n的夹角(或其补角)即为所求二面角的平面角的大小。
二：利用空间向量求空间距离
（1）点面距离的向量公式
平面的法向量为n，点P是平面外一点，点M为平面内任意一点，则点P到平面的距离d就是 ，即d=||||MPnn.
（2）线面、面面距离的向量公式
平面∥直线l，平面的法向量为n，点M∈、P∈l，平面与直线l间的距离d就是MP在向量n方向射影的绝对值，即d= .
利用空间向量求空间角考点与题型归纳
一、基础知识
1．异面直线所成角
设异面直线a，b所成的角为θ，则cos
θ＝|a·b||a||b|❶， 其中a，b分别是直线a，b的方向向量．
2．直线与平面所成角
如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则sin φ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n|❷.
3．二面角
(1)若AB，CD分别是二面角αlβ的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量AB―→与CD―→的夹角，如图(1)．
(2)平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α l β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝|n1·n2||n1||n2|❸，如图(2)(3)．
两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为(0，π)，所以公式中要加绝对值．
直线与平面所成角的范围为0，π2，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝对值．
利用公式与二面角的平面角时，要注意〈n1，n2〉与二面角大小的关系，是相等还是互补，需要结合图形进行判断．
二、常用结论
解空间角最值问题时往往会用到最小角定理
cos θ＝cos θ1cos θ2.
如图，若OA为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，OC为平面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cos θ＝cos θ1cos θ2.
考点一 异面直线所成的角
[典例精析]
如图，在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.
(1)求证：MN∥平面BDE；
(2)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为721，求线段AH的长．
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第九节 利用空间向量求空间角
一、基础知识
1．异面直线所成角
设异面直线a，b所成的角为θ，则cos
θ＝|a·b||a||b|， 其中a，b分别是直线a，b的方向向量．
2．直线与平面所成角
如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则sin φ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n|.
3．二面角
(1)若AB，CD分别是二面角αlβ的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量AB―→与CD―→的夹角，如图(1)．
(2)平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α l β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝|n1·n2||n1||n2|，如图(2)(3)．
两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为(0，π)，所以公式中要加绝对值．
直线与平面所成角的范围为0，π2，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝对值．
利用公式与二面角的平面角时，要注意〈n1，n2〉与二面角大小的关系，是相等还是互补，需要结合图形进行判断．
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二、常用结论
解空间角最值问题时往往会用到最小角定理
cos θ＝cos θ1cos θ2.
如图，若OA为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，OC为平面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cos θ＝cos θ1cos θ2.
[解题技法]
用向量法求异面直线所成角的一般步骤
(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；
(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
(4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值．
能力拓展提升
一、选择题
9．(2013·大纲理，10)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )
A.23 B.33 C.23 D.13
[答案] A
[解析] 如图，连接C1O，过C作CM⊥C1O.
∵BD⊥平面C1CO，∴BD⊥CM，
∵C1O∩BD＝O，∴CM⊥平面BC1D，
∴∠CDM即为CD与平面BDC1所成的角，
令AB＝1，∴AA1＝2，CO＝22，
C1O＝22＋222＝92＝322，
由CM·C1O＝CC1·CO得，CM＝23，
∴sin∠CDM＝CMCD＝23. 10．把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，O是正方形中心，则折起后，∠EOF的大小为( )
A．(0°，90°) B．90°
C．120° D．(60°，120°)
[答案] C
[解析] OE→＝12(OA→＋OD→)，OF→＝12(OB→＋OC→)，
∴OE→·OF→＝14(OA→·OB→＋OA→·OC→＋OD→·OB→＋OD→·OC→)＝－14|OA→|2.
又|OE→|＝|OF→|＝22|OA→|，
∴cos〈OE→，OF→〉＝－14|OA→|212|OA→|2＝－12.
∴∠EOF＝120°，故选C.
11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若F、G分别是棱AB、CC1的中点，则直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于( )
A.23 B.54 C.33 D.36
[答案] D
[解析] 解法一：过F作BD的平行线交AC于M，则∠MGF即为所求．
设正方体棱长为1，MF＝24，GF＝62，
∴sin∠MGF＝36. 解法二：分别以AB、AD、AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则易知平面ACC1A1的一个法向量为n＝(－1,1,0)，
