向量法求空间角(高二数学,立体几何)

制定具体的养护方案

直螺纹接头的加工 A B C

D P

Q 向量法求空间角

1．（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形ABCD为正方形，四边形ADPQ是直角梯形，DPAD，CD平面ADPQ，DPAQAB21．

（1）求证：PQ平面DCQ；

（2）求平面BCQ与平面ADPQ所成的锐二面角的大小．

2．（满分13分）如图所示，正四棱锥P－ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为26．

（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；

（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；

（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．

D B

A C

O E P

制定具体的养护方案

直螺纹接头的加工

3．（本小题只理科做，满分14分）如图,已知AB平面ACD,DE//AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点.

（1）求证:AF//平面BCE;

（2）求证:平面BCE平面CDE;

（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小.

4．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCDP中,PD底面ABCD,且底面ABCD为正方形,GFEPDAD,,,2分别为CBPDPC,,的中点．

（1）求证://AP平面EFG;

（2）求平面GEF和平面DEF的夹角.

制定具体的养护方案

直螺纹接头的加工 HPGFEDCBA

5．如图，在直三棱柱111ABCABC中，平面1ABC 侧面11AABB且12AAAB.

（Ⅰ）求证：ABBC；

（Ⅱ）若直线AC与平面1ABC所成的角为6,求锐二面角1AACB的大小.

6．如图，四边形ABCD是正方形，EA平面ABCD，EAPD，2ADPDEA，F，G， H分别为PB，EB，PC的中点．

（1）求证：FG平面PED；

（2）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小. 制定具体的养护方案

直螺纹接头的加工

参考答案

1．（1）详见解析；（2）4

【解析】

试题分析：（1）根据题中所给图形的特征，不难想到建立空间直角坐标，由已知，DA，DP，DC两两垂直，可以D为原点，DA、DP、DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．表示出图中各点的坐标：设aAB，则)0,0,0(D，),0,0(aC，)0,,(aaQ，)0,2,0(aP，则可表示出),0,0(aDC，)0,,(aaDQ，)0,,(aaPQ，根据数量积为零与垂直的充要条件进行证明，由0PQDC，0PQDQ，故PQDC，PQDQ，即可证明；（2）首先求出两个平面的法向量，其中由于DC平面ADPQ，所以可取平面ADPQ的一个法向量为)1,0,0(1n；设平面BCQ的一个法向量为),,(2zyxn，则02QBn，02QCn，故,0,0azayaxazay即,0,0zyxzy取1zy，则0x，故)1,1,0(2n，转化为两个法向量的夹角，设1n与2n的夹角为，则2221||||cos2121nnnn．即可求出平面BCQ与平面ADPQ所成的锐二面角的大小.

试题解析：（1）由已知，DA，DP，DC两两垂直，可以D为原点，DA、DP、DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

设aAB，则)0,0,0(D，),0,0(aC，)0,,(aaQ，)0,2,0(aP，

故),0,0(aDC，)0,,(aaDQ，)0,,(aaPQ，

因为0PQDC，0PQDQ，故PQDC，PQDQ，

即PQDC，PQDQ， 又DCDQD

所以，PQ平面DCQ．

（2）因为DC平面ADPQ，所以可取平面ADPQ的一个法向量

为)1,0,0(1n，

点B的坐标为),0,(aa，则),,0(aaQB，),,(aaaQC， 制定具体的养护方案

直螺纹接头的加工

设平面BCQ的一个法向量为),,(2zyxn，则02QBn，02QCn，

故,0,0azayaxazay即,0,0zyxzy取1zy，则0x，

故)1,1,0(2n．

设1n与2n的夹角为，则2221||||cos2121nnnn．

所以，平面BCQ与平面ADPQ所成的锐二面角的大小为4

考点：1.空间向量的应用；2.二面角的计算；3.直线与平面的位置关系

2．（1）60; （2）5102; （3）F是AD的4等分点，靠近A点的位置.

【解析】

试题分析：（1）取AD中点M，连接MO，PM，由正四棱锥的性质知∠PMO为所求二面角P－AD－O的平面角，∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角∴tan∠PAO＝26，设AB＝a，则AO＝22a，PO＝23a，MO=12a, tan∠PMO＝3,∠PMO＝60°; （2）依题意连结AE，OE，则OE∥PD ，故∠OEA为异面直线PD与AE所成的角，由正四棱锥的性质易证OA⊥平面POB,故AOE为直角三角形，OE＝21PD＝2122DOPO＝45a ∴tan∠AEO＝EOAO＝5102；（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG，易得BC⊥平面PMN，故平面PMN⊥平面PBC，而△PMN为正三角形，易证MG⊥平面PBC，取MA的中点F,连EF,则四边形MFEG为平行四边形，从而MG//FE,EF⊥平面PBC, F是AD的4等分点，靠近A点的位置.

试题解析：（1）取AD中点M，连接MO，PM，依条件可知AD⊥MO，AD⊥PO，则∠PMO为所求二面角P－AD－O的平面角 （2分） M D B

A C

O E P

制定具体的养护方案

直螺纹接头的加工

∵PO⊥面ABCD，

∴∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角．

∴tan∠PAO＝26

设AB＝a，AO＝22a，

∴ PO＝AO·tan∠POA＝23a，

tan∠PMO＝MOPO＝3．

∴∠PMO＝60°． （4分）

（2）连接AE，OE， ∵OE∥PD，

∴∠OEA为异面直线PD与AE所成的角． （6分）

∵AO⊥BD，AO⊥PO，∴AO⊥平面PBD．

又OE平面PBD， ∴ AO⊥OE．

∵OE＝21PD＝2122DOPO＝45a，

∴tan∠AEO＝EOAO＝5102． （8分）

（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG．

M D B

A C

O E P

M D B

A C

O E P

NGF 制定具体的养护方案

直螺纹接头的加工 ∵BC⊥MN，BC⊥PN，∴BC⊥平面PMN

∴平面PMN⊥平面PBC． （10分）

又PM＝PN，∠PMN＝60°，∴△PMN为正三角形．

∴MG⊥PN．又平面PMN ∩平面PBC＝PN，∴MG⊥平面PBC． （12分）

F是AD的4等分点，靠近A点的位置 （13分）

考点：立体几何的综合问题

3．（1）见解析；（2）见解析；（3）45.

【解析】

试题分析：（1）取CE中点P，连接FP、BP，根据中位线定理可知FP||DE，且且FP=.21DE，而AB||DE，且AB=.21DE则ABPF为平行四边形，则AF||BP，AF平面BCE，BP⊂平面BCE，满足线面平行的判定定理，从而证得结论；

（2）根据AB平面ACD，DE||AB，则DE平面ACD，又AF⊂平面ACD，根据线面垂直的性质可知DEAFAFCDCDDED．又，，满足线面垂直的判定定理，证得AF平面CDE，又BP||AF，则BP平面CDE，BP平面BCE，根据面面垂直的判定定理可证得结论；

（3）由（2），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系F﹣xyz．设AC=2，根据线面垂直求出平面BCE的法向量n，而m=（0，0，1）为平面ACD的法向量，设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为α，根据||cos||||mnmn可求出所求．

试题解析：（1）解:取CE中点P,连结FP、BP,

∵F为CD的中点,∴FP||DE,且FP=.21DE

又AB||DE,且AB=.21DE∴AB||FP,且AB=FP,

∴ABPF为平行四边形,∴AF||BP

又∵AF平面BCE,BP平面BCE,

∴AF||平面BCE

（2）∵△ACD为正三角形,∴AFCD.

∵AB平面ACD,DE||AB,

∴DE平面ACD,又AF平面ACD,

∴DEAF.又AFCD,CD∩DE=D,

∴AF平面CDE