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- .word.zl 空间向量的应用----求空间角与距离
一、考点梳理
1.自新教材实施以来，近几年高考的立体几何大题，在考察常规解题方法的同时，更多地关注向量法〔基向量法、坐标法〕在解题中的应用。坐标法〔法向量的应用〕，以其问题〔数量关系：空间角、空间距离〕处理的简单化，而成为高考热点问题。可以预测到，今后的高考中，还会继续表达法向量的应用价值。
2.利用法向量求空间角和空间距离，其常用技巧与方法总结如下：
1)求直线和直线所成的角
假设直线AB、CD所成的角是，cos=|,cos|CDAB||||||CDABCDAB•
2).利用法向量求线面角
设为直线l与平面所成的角，为直线l的方向向量v与平面的法向量n之间的夹角，那么有2或2。
特别地0时， 2，l；2时，0，l或l。计算公式为：
||sincos||||vnvn或||sinsin()cos(0)2||||||||vnvnvnvnvn
3).利用法向量求二面角
设1n、2n分别为平面、的法向量，二面角l的大小为，向量1n、2n的夹角为，那么有或。. -
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用空间向量法求解立体几何问题典例及解析
以多面体为载体，以空间向量为工具，来论证和求解空间角、距离、线线关系以及线面关系相关问题，是近年来高考数学的重点和热点，用空间向量解立体几何问题，极大地降低了求解立几的难度，很大程度上呈现出程序化思想。更易于学生们所接受，故而执教者应高度重视空间向量的工具性。
首先，梳理一下利用空间向量解决立体几何的知识和基本求解方法
一：利用空间向量求空间角
(1)两条异面直线所成的夹角
范围：两条异面直线所成的夹角的取值范围是 。
向量求法：设直线,ab的方向向量为a,b，其夹角为，则有cos___________.
(2)直线与平面所成的角
定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。
范围：直线和平面所夹角的取值范围是 。
向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线与法向量所成角的余弦值为|cos|___________.直线与平面所成的角为，则有sin___________.或在平面内任取一个向量m，则|cos|___________..
(3)二面角
二面角的取值范围是 .
二面角的向量求法：
方法一：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量，则这两个向量所成的
即为所求的二面角的大小；
方法二：设1n，2n分别是两个面的 ，则向量1n与2n的夹角(或其补角)即为所求二面角的平面角的大小。
二：利用空间向量求空间距离
（1）点面距离的向量公式
平面的法向量为n，点P是平面外一点，点M为平面内任意一点，则点P到平面的距离d就是 ，即d=||||MPnn.
（2）线面、面面距离的向量公式
平面∥直线l，平面的法向量为n，点M∈、P∈l，平面与直线l间的距离d就是MP在向量n方向射影的绝对值，即d= .
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）
1.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )
A.1010 B.15
C.31010 D.35
2.已知直二面角αlβ，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1， 则CD＝( )．
A．2 B.3 C.2 D．1
3.如图，在四面体ABCD中，AB＝1，AD＝23，BC＝3，CD＝2.∠ABC＝∠DCB＝π2，则二面角A－BC－D的大小为 (
)．
A.π6 B.π3 C.5π3
D.5π6
4.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（ ）
A. 110 B. 25 C. 3010 D. 22
5.已知正四棱柱1111ABCDABCD中，12AAAB，则CD与平面1BDC所成角的正弦值等于（ ）
A．23 B．33 C．23 D．13 6.已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面垂直，体积为49，底面是边长为3的正三角形，若P为底面111ABC的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为
A.125 B.3 C.4 D.6
7.已知二面角l为60，AB，ABl，A为垂足，CD，Cl，135ACD，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为 （ ）
立体几何中的向量方法(二)——求空间角与距离备考策略易错点
【易错点】
1．直线的方向向量与平面的法向量
(1)若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β.(×)
(2)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角．(×)
(3)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则a∥c，a⊥b.(√)
2．空间角
(4)两异面直线夹角的范围是0，π2，直线与平面所成角的范围是0，π2，二面角的范围是[0，π]．(√)
(5)已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos
(6)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为45°.(×)
(7)在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为60°.(√)
剖析:
1．利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化．主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算．
2．两种关系
一是异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角，如(2)．
二是二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补，如(6).
