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线性时不变系统的稳定性分析稳定性是控制系统理论中的重要概念，对于线性时不变系统来说尤其重要。
稳定性分析可以帮助我们确定系统的输出是否会在输入变化或干扰的情况下产生不受控制的波动或发散。
本文将探讨线性时不变系统的稳定性分析方法。
一、线性时不变系统的定义线性时不变系统（Linear Time-Invariant System，LTI系统）是指满足叠加性和时移不变性两个性质的系统。
叠加性指系统对输入的响应是可加的，时移不变性指系统对延时输入的响应是不变的。
线性时不变系统可以用微分方程或差分方程来描述。
二、稳定性的定义在系统稳定性分析中，我们关注的是系统的零输入响应或者零状态响应。
稳定性可以分为BIBO稳定性和渐近稳定性两种类型。
1. BIBO稳定性BIBO稳定性（Bounded-Input Bounded-Output Stability）是指当输入有界时，系统的输出也是有界的。
如果对于任意有界的输入信号，系统的输出都有界，则系统是BIBO稳定的。
2. 渐近稳定性渐近稳定性是指当输入信号趋于稳定时，系统的输出也趋于稳定。
如果对于任意渐近稳定的输入信号，系统的输出也渐近稳定，则系统是渐近稳定的。
三、稳定性分析方法稳定性分析的常用方法包括传输函数法、状态空间法和频域法。
下面将分别介绍这三种方法。
1. 传输函数法传输函数法是用传输函数来描述系统的稳定性。
传输函数是输入和输出的关系，它是Laplace变换或Z变换的比值。
对于连续时间系统，传输函数可以表示为H(s)；对于离散时间系统，传输函数可以表示为H(z)。
通过分析传输函数的极点（Pole）可以判断系统的稳定性。
对于连续时间系统，如果传输函数的极点都位于左半平面，则系统是BIBO稳定的；如果传输函数的极点有位于右半平面的，则系统是不稳定的。
对于离散时间系统，如果传输函数的极点都位于单位圆内部，则系统是BIBO稳定的；如果传输函数的极点有位于单位圆外部的，则系统是不稳定的。
Linear Time-invariant System（线性时不变系统）2-1:Discrete-Time LTI System:The Convolution Sum（离散LTI系统：卷和）本节的关键在于：把任意离散信号x[n]表示为若干个脉冲信号的叠加。
这样，信号x[n]输入某一个系统的输出y[n]，便可以等效为把这些脉冲信号分别输入这个系统之后，再把它们的输出结果叠加。
当系统是LTI系统时，对应每个脉冲信号输入的输出函数都可以由对应单位冲激函数的响应δ[n]的输出h[n]进行时移和乘以系数得到。
把每个脉冲输入的输出叠加便得到了输入信号x[n]的输出y[n]。
用脉冲信号表示任意信号：可以把x[n]看作x[0].δ[n]+ δ[n-1].x[1]+ δ[n-2].x[2]……即P75 2－2式对一个系统LTI，当输入信号为δ[n]时的输出信号h[n]称为单位冲激响应（unit impulse response）卷和而对于每个x[k].δ[n-k]，输入系统后的输出为hk[n]=x[k].h[n-k],因此，x[n]输入后的输出y[n]便应当是全部hk[n]（k从负无穷取到正无穷）的累加。
换言之得到了P78 2-6式（公式请自己看啦，输入太麻烦了，呵呵呵呵）该公式称作x[n]和h[n]的卷和或卷积和（Convolution Sum）。
写作x[n]*h[n]。
是一种基本的运算方式，由两个函数卷和得到一个新函数。
对LTI系统而言，就是输入x[n]与单位冲激响应卷和，得到输出信号y[n]。
x[n]*h[n]=y[n]对于有限长序列卷和的运算：竖式法比较简单。
2－2：continuous-time LTI systems:the convolution integral（连续时间LTI系统：卷积）与离散系统类似，本节的核心也是把输入的一个连续时间信号从时间上拆分成无数个冲激信号的叠加，然后对于每个冲激信号去求它输入这个系统得到的输出，再把所有的这些输出叠加起来，从而得到原信号输入系统的输出。
线性时不变系统线性时不变系统线性时不变系统什么是线性时不变系统线性系统C 根据系统的输入和输出关系是否具有线性来定义满足叠加原理的系统具有线性特性。
即若对两个激励x1(n)和x2(n),有T[ax1(n)+bx2(n)]=aT[x1(n)]+bT[x2(n)],式中a 、b为任意常数。
不满足上述关系的为非线性系统时不变系统C 就是系统的参数不随时间而变化，即不管输入信号作用的时间先后，输出信号响应的形状均相同，仅是从出现的时间不同。
用数学表示为T[x(n)]=y[n]则T[x(nn0)]=y[n-n0],这说明序列x(n)先移位后进行变换与它先进行变换后再移位是等效的。
线性时不变系统线性时不变系统什么是线性时不变系统线性时不变系统(Time-invariant Linear System)C 既满足叠加原理又具有时不变特性，它可以用单位脉冲响应来表示u(t)线性连续系统y(t)y (t ) =∫τ∞ =0g (τ )u (t τ )dτ(2.1)C 如果我们知道g(τ)和系统的输入u(s),就可以求出系统的输出y(t)线性时不变系统y (kT ) =∫τ∞ =0g (τ )u (kT τ )dτ线性时不变系统单位脉冲响应模型对于一个离散辨识系统，假定每隔T个时刻，我们观察系统的输出。
那样系统输出将在以下时刻被观测tk=kT, k=1,2,。
y (kT ) =∫τ∞ =0g (τ )u (kT τ )dτ(2.2)常数T为采样周期在计算机控制系统中，一般两个采样周期之间的系统输入是不变的u (t ) = u k , kT ≤ t (k + 1)T(2.3)线性时不变系统y (kT ) =∫τ∞ =0g (τ )u (kT τ )dτ线性时不变系统单位脉冲响应模型将(2.3)带入(2.2)y (kT ) = =∫τ∞ =0g (τ )u (kT τ )dτ =lt = ( l 1)T∑ ∫τl =1∞lt = (l 1)T ∞g (τ )u (kT τ )dτ∑ ∫τl =1∞g (τ )dτ u k l =∑gl =1(2.4)(l )u k lT其中g T (l ) =∫τlT = (l 1)Tg (τ )dτ(2.5)线性时不变系统y (kT ) =∫τ∞ =0g (τ )u (kT τ )dτ线性时不变系统单位脉冲响应模型为了简化(2.5),我们可以省略掉Ty (t ) =∞∑ g (k )u(t k )k =1t = 0,1,2...(2.6)这样可以看出，系统在一个采样周期t的输出y(t) 是可以通过过去时刻的输入u(t-k)以及系统的模型g(k), k=1,2,3。
线性时不变系统模型的操作与运算一、优先原则与系统属性承继优先原则：不同线性时不变系统(LTI)模型可以进行运算，得到最后结果的形式要根据优先原则来确定，优先原则：FRD>SS>ZPK>TF比如，sys1是一个传递函数模型(TF)，sys2是一个状态空间模型(SS)，则sys=sys1+sys2得到的结果是一个状态空间模型。
例如：>> sys1=tf([1 0],[2 1 1]);>> sys2=zpk([1 0],[1 -2 -3],-2);>> sys3=ss(2,1,-1,0);>> SYS1=sys1+sys2Zero/pole/gain:-1.5 s (s-1.758) (s-1) (s+0.7583)---------------------------------------------(s-1) (s+2) (s+3) (s^2 + 0.5s + 0.5)>> SYS2=sys1+sys3a =x1 x2 x3x1 -0.5 -0.5 0x2 1 0 0x3 0 0 2b =u1x1 0.5x2 0x3 1c =x1 x2 x3y1 1 0 -1d =u1y1 0Continuous-time model.>> SYS3=sys1-sys2+sys3a =x1 x2 x3 x4x5 x6x1 -0.25 1 0 0 0 0x2 -0.4375 -0.25 7.564e-009 1.331 -1.711 0x3 0 0 1 9.769e-009 -1.256e-008 0x4 0 0 0 -2 1 0x5 0 0 0 0 -3 0x6 0 0 0 0 0 2b =u1x1 0x2 1.015x3 7.451e-009x4 0x5 2.136x6 1c =x1 x2 x3 x4 x5 x6y1 -0.6156 2.462 0 0 -0 -1d =u1y1 0Continuous-time model.承继原则：系统运算中，系统中一些属性被保留到系统运算结果里。
一、根据系统的线性特性分类在信号与系统的研究中，线性系统是一个重要的概念。
线性系统具有加性和齐次性质，即当输入信号发生变化时，输出信号也按比例变化。
根据系统的线性特性可以将系统分为以下四种常用的分类方式：1.1、时不变系统：时不变系统是指系统的参数在时间上不随时间变化，即系统的输出只取决于输入的当前值，而与输入的时间点无关。
时不变系统具有很好的稳定性和预测性，能够准确地描述系统的响应特性。
1.2、线性时不变系统：线性时不变系统是指系统同时具有线性和时不变的特性。
线性时不变系统具有简单的数学描述和分析方法，是信号与系统理论中的重要研究对象。
1.3、因果系统：因果系统是指系统的输出只取决于过去和当前的输入值，而与未来的输入值无关。
因果系统具有因果传递性和因果去极限性，能够较好地模拟真实世界的物理过程。
1.4、稳定系统：稳定系统是指系统的输出在有限时间内始终保持在有界范围内，不会发散或趋向无穷大。
稳定系统具有很好的可控性和可观测性，是工程实际中常用的系统类型。
二、根据系统的频率特性分类除了根据系统的线性特性分类外，还可以根据系统的频率特性进行分类，常见的分类方式包括：2.1、时变系统：时变系统是指系统的参数随时间或输入信号的频率变化而变化。
时变系统具有较复杂的动态特性和数学描述，需要使用高级的数学工具进行分析和求解。
2.2、全通系统：全通系统是指系统对所有频率的信号都具有相同的增益和相位延迟，不对信号的频率进行衰减或增强。
全通系统能够保持输入信号的各个频率成分的相对比例，具有较好的频率响应特性。
2.3、低通系统：低通系统是指系统只允许低于一定频率的信号通过，而高于该频率的信号则被衰减或阻塞。
低通系统广泛应用于滤波器和调制解调器中，用于去除高频噪声和保留低频信号。
2.4、高通系统：高通系统是指系统只允许高于一定频率的信号通过，而低于该频率的信号则被衰减或阻塞。
高通系统在通信系统和音频处理中具有重要应用，用于去除低频噪声和保留高频信号。
信号与系统实验报告
实验名称：
线性时不变系统
姓名：姚敏
学号：110404212
班级：通信（2）班
时间：2013.5.17
南京理工大学紫金学院电光系
一、 实验目的
1、 掌握线性时不变系统的特性;
2、 学会验证线性时不变系统的性质。
二、实验基本原理
线性时不变系统具有如下的一些基本特性。
1.线性特性（包含叠加性与均匀性）
对于给定的系统，11()()x t t 、y 和22()()x t t 、y 分别代表两对激励与响应。
对于叠加性：当11()()x t y t −−→,22()()x t y t −−→
则1212()()()()x t x t y t y t +−−→+
图2.1
对于均匀性：
当()()x t y t −−→, 则()()kx t ky t −−→,0k ≠
图2.2
综合以上，则当激励是1122()()k x t k x t ⋅+⋅时，则对应的响应为
1122()()k y t k y t ⋅+⋅。
对于线性时不变系统，如果起始状态为零，则系统满足叠加
性与均匀性(线性性)。
2.时不变特性
对于时不变系统， 当11()()x t t −−→y ,
则1010()()x t t t t -−−→-y
图2.3 3. 微分特性
对于线性时不变系统，当()()x t t −−→y 则
()()
dx t dy t dt dt
−−→
图2.4
4. 因果性
因果系统是指系统在时刻0t 的响应只与0t t =和0t t <时刻的输入有关。
也就是说，激励是产生响应的原因，响应是激励引起的后果，这种特性称为因果性。
通常由电阻器、电感线圈、电容器构成的实际物理系统都是因果系统。
三、实验内容及结果
记录实验过程中的输入输出波形。
1、 线性特性
（1） 叠加性
1()x t 1()y t
\
2()x t 2()y t
112()()()C t y t y t =+ 2()C t
（2） 均匀性（标出峰峰值）
1()e t 1()r t
2()e t 2()r t
2、 时不变特性
()x t 1()y t
以()x t 为基准画出()x t T -，以1()y t 为基准画出2()y t ，
()x t T - 2()y t
3、 微分特性
1()x t 1()y t
2()x t 2()y t
1()x t 1()y t 同坐标
4、 因果性
1()x t 2()x t
将1()x t 1()y t 放入同一个坐标系中， 1()x t （1()y t ）
满足
四、实验分析
1、分析比较
1()
C t和
2()
C t的关系。
说明该系统是否满足叠加性；分析比较
1()
r t
2()
r t 的关系，说明该系统是否满足均匀性；并且说明原因。
答：该系统满足叠加性；因为r1(t)和r2(t)的波形基本相同，r1(t)的峰峰值基本为r2(t)的峰峰值的一半，满足均匀性。
2、分析比较
1()
y t、
2()
y t两者关系，说明系统是否满足时不变特性，并且说明原因。
答：y2（t）的波形与y1(t)延时t0个单位的波形相同，所以该系统满足时不变特性。
3、分析说明
1()
y t
2()
y t两者关系，并且说明系统是否满足微分特性，并且说明原因。
答：x2(t)是x1(t)的倒数，y2(t)的波形与y1(t)的波形也满足倒数关系，所以该系统满足微分特性。
4、分析说明该系统是否是因果系统，并且说明原因。
答：从x1(t)和y1(t)的波形图中可以看出，系统在时刻t0的响应只与t=t0和t<t0时刻的输入有关，也就是说，系统的激励是产生响应的原因，响应是激励引起的后果，所以该系统是因果系统。
