线性时不变系统

第6章线性时不变系统尹霄丽6.1 引言MATLAB •••利用函数,和计算LTI系统的输出；研究离散时间LTI系统的多conv ls 个性质主要；连续i 时内容：间卷积m 的filter 数值近似；例1[][][][]1, 040, n x n n y n x n x n ≤≤⎧=⎨⎩=∗考虑如下有限长信号其余(a)用解析方法计算。

[][][](b) 编程实现% exe2_1_a.m, see also exe2_1_b.mx=ones(1,5);nx=0:4;y=conv(x,x);ny=(min(nx)+min(nx)):(max(nx)+max(nx)); h=stem(ny,y);set(h,'linewidth',2);xlabel('n');ylabel('x[n]*x[n]');作业3[][][][][][][]1, 050, , 050, (a) ;(b) MATLAB(c)conv y n x n nn n h n ny n x n h n x n h n ≤≤⎧=⎨⎩≤≤⎧=⎨⎩=∗考虑下面有限长信号：其余其余不用编程，请计算卷积和用生成信号和，并画出相应的图形。

用计算卷积和，并用stem画出其图形。

注：图形请加上必要的标注。

6.3 MATLAB函数filterfilterFILTER One-dimensional digital filter.Y = FILTER(B,A,X) filters the data in vector X with the filter described by vectors A and B to create the filtered data Y. The filter is a "Direct Form II Transposed"implementation of the standard difference equation:a(1)*y(n) + a(2)*y(n-1) + ... + a(na+1)*y(n-na) =b(1)*x(n) + b(2)*x(n-1) + ... + b(nb+1)*x(n-nb)[][][][]00LTI 1 filte r KMk mk m x x x a y n k b x n m x n n n n N y n ==−=−≤≤+−∑∑命令计算由线性常系数差分方程表征的因果系统在某一给定输入时的输出。

Linear Time-invariant System（线性时不变系统）2-1:Discrete-Time LTI System:The Convolution Sum（离散LTI系统：卷和）本节的关键在于：把任意离散信号x[n]表示为若干个脉冲信号的叠加。

这样，信号x[n]输入某一个系统的输出y[n]，便可以等效为把这些脉冲信号分别输入这个系统之后，再把它们的输出结果叠加。

当系统是LTI系统时，对应每个脉冲信号输入的输出函数都可以由对应单位冲激函数的响应δ[n]的输出h[n]进行时移和乘以系数得到。

把每个脉冲输入的输出叠加便得到了输入信号x[n]的输出y[n]。

用脉冲信号表示任意信号：可以把x[n]看作x[0].δ[n]+ δ[n-1].x[1]+ δ[n-2].x[2]……即P75 2－2式对一个系统LTI，当输入信号为δ[n]时的输出信号h[n]称为单位冲激响应（unit impulse response）卷和而对于每个x[k].δ[n-k]，输入系统后的输出为hk[n]=x[k].h[n-k],因此，x[n]输入后的输出y[n]便应当是全部hk[n]（k从负无穷取到正无穷）的累加。

换言之得到了P78 2-6式（公式请自己看啦，输入太麻烦了，呵呵呵呵）该公式称作x[n]和h[n]的卷和或卷积和（Convolution Sum）。

写作x[n]*h[n]。

是一种基本的运算方式，由两个函数卷和得到一个新函数。

对LTI系统而言，就是输入x[n]与单位冲激响应卷和，得到输出信号y[n]。

x[n]*h[n]=y[n]对于有限长序列卷和的运算：竖式法比较简单。

2－2：continuous-time LTI systems:the convolution integral（连续时间LTI系统：卷积）与离散系统类似，本节的核心也是把输入的一个连续时间信号从时间上拆分成无数个冲激信号的叠加，然后对于每个冲激信号去求它输入这个系统得到的输出，再把所有的这些输出叠加起来，从而得到原信号输入系统的输出。

线性时不变系统模型的操作与运算一、优先原则与系统属性承继优先原则：不同线性时不变系统(LTI)模型可以进行运算，得到最后结果的形式要根据优先原则来确定，优先原则：FRD>SS>ZPK>TF比如，sys1是一个传递函数模型(TF)，sys2是一个状态空间模型(SS)，则sys=sys1+sys2得到的结果是一个状态空间模型。

例如：>> sys1=tf([1 0],[2 1 1]);>> sys2=zpk([1 0],[1 -2 -3],-2);>> sys3=ss(2,1,-1,0);>> SYS1=sys1+sys2Zero/pole/gain:-1.5 s (s-1.758) (s-1) (s+0.7583)---------------------------------------------(s-1) (s+2) (s+3) (s^2 + 0.5s + 0.5)>> SYS2=sys1+sys3a =x1 x2 x3x1 -0.5 -0.5 0x2 1 0 0x3 0 0 2b =u1x1 0.5x2 0x3 1c =x1 x2 x3y1 1 0 -1d =u1y1 0Continuous-time model.>> SYS3=sys1-sys2+sys3a =x1 x2 x3 x4x5 x6x1 -0.25 1 0 0 0 0x2 -0.4375 -0.25 7.564e-009 1.331 -1.711 0x3 0 0 1 9.769e-009 -1.256e-008 0x4 0 0 0 -2 1 0x5 0 0 0 0 -3 0x6 0 0 0 0 0 2b =u1x1 0x2 1.015x3 7.451e-009x4 0x5 2.136x6 1c =x1 x2 x3 x4 x5 x6y1 -0.6156 2.462 0 0 -0 -1d =u1y1 0Continuous-time model.承继原则：系统运算中，系统中一些属性被保留到系统运算结果里。

第1章绪论线性时不变系统线性时不变系统（Linear Time Invariant ，LTI ）（1）叠加性若：1122()(), ()()e t r t e t r t →→则：1212()()()()e t e t r t r t +→+系统系统系统（2）均匀性将迭加性与均匀性结合起来，有()()e t r t →则()()ke t kr t →若若1122()(), ()()e t r t e t r t →→则11221122()()()()k e t k e t k r t k r t +→+系统系统系统线性（Linearity ）（3）时不变性（time invariance ）()()e t r t →则00()()e t t r t t -→-若ETt e (t )E tr (t )r (t -t 0)ET +t 0t e (t -t 0)t 0系统E t t 0系统（3）微（积）分特性（4）因果性（causality ）若系统在t 0时刻的响应只与t= t 0和t< t 0时刻的输入有关，这种特性称为因果性。

dtt dr dt t de t r t e )()()()(→⇒→()()()()t te t r t e d r d ττττ-∞-∞→⇒→⎰⎰[例]：判断下列系统特性（因果、线性、时不变、稳定）①i) 线性:ii) 时不变:iii) 因果：iv) 稳定：121212()()(2)(2)()()ae t be t ae t be t ar t br t ⇒+→-+-=+)2()(-=t e t r 111222()()(2)()()(2)e t r t e t e t r t e t →=-→=-10()()(2)()()e t r t e t e t e t t →=-⇒=-→100()(2)()r t e t t r t t =--=-Mt e M t e ≤-⇒≤)2()(02t -时刻输入决定时刻输出0t②()()r t e t =-i) 线性：)()()()()()()()()()()()(212121222111t br t ar t be t ae t be t ae t e t r t e t e t r t e +=-+-→+⇒-=→-=→()()e t M e t M≤⇒-≤ii) 时变：时刻输入决定2t =-时刻输出由210100()()()()()()()()e t r t e t e t e t t r t e t t r t t →=-⇒=-→=--≠-iii) 非因果：iV)稳定：[]111222121212()()()cos()()()()cos()()()()()cos()()()e t r t e t t e t r t e t t ae t be t ae t be t t ar t br t →=→=⇒+→+=+)()cos()()cos()()cos()()()()()cos()()()(00001101t t r t t t t e t t t e t t e t r t t e t e t t e t r t e -=--≠-==→-=⇒=→③r (t )=e (t )cos(t )i)线性:ii)时变:时刻的激励时刻的响应只决定于00t t t t ==Mt t e M t e ≤⇒≤)cos()()(iii)因果:iv)稳定:12()()121212()()()()()()e t e t e t e t a r t r t r t r t ++→=⋅≠+)()()()(0)(1010t t r at r t t e t e t t e -==→-=-时刻的激励时刻的响应只决定于00t t t t ==K a M t e t e ≤⇒≤)()(④r (t )=i)非线性:ii)时不变:iii)因果:iv)稳定:)(t e a总结线性时不变系统。

线性时不变系统（LTI system）是一类非常重要的信号处理系统，它在很多领域都有着广泛的应用。

本文将对线性时不变系统的定义、特性以及其在信号处理、控制系统、通信系统等方面的应用进行详细的介绍。

首先，我们来解释一下什么是线性时不变系统。

线性系统是指输出信号是输入信号的线性函数，即对于任意的输入信号x1和x2，以及任意的常数a1和a2，都有输出信号y1=ax1+by1和y2=ax2+by2。

时不变系统是指系统的输出信号只与输入信号的形态有关，而与时间无关。

因此，线性时不变系统就是既是线性系统又是时不变系统。

线性时不变系统有着许多优秀的特性，使得它在信号处理、控制系统、通信系统等领域都有着广泛的应用。

其中，最重要的优秀特性就是线性性和时不变性。

因为线性性使得系统的输出信号可以通过线性变换得到，而时不变性使得系统的输出信号与时间无关，这为信号的分析和处理带来了巨大的便利。

在信号处理领域，线性时不变系统可以用来模拟各种不同的信号处理器。

例如，低通滤波器就是一种常见的线性时不变系统，它可以用来消除高频噪声，使得信号更加平稳。

此外，线性时不变系统还可以用来提取信号的特征，例如通过频谱分析来获取信号的频率成分。

在控制系统领域，线性时不变系统也有着重要的应用。

例如，在飞行控制系统中，可以使用线性时不变系统来模拟飞机的运动方程，并通过调节系统的参数来实现飞机的姿态控制。

此外，在工业生产过程中，也可以使用线性时不变系统来控制生产设备的运行状态，从而实现生产过程的自动化。

在通信系统领域，线性时不变系统也有着广泛的应用。

例如，在数字通信系统中，可以使用线性时不变系统来模拟信道的传输特性，并通过调节系统的参数来实现信号的增益控制。

此外，在无线电通信系统中，也可以使用线性时不变系统来模拟电磁波的传播特性，并通过调节系统的参数来实现信号的功率控制。

总之，线性时不变系统是一类非常重要的信号处理系统，它在信号处理、控制系统、通信系统等领域都有着广泛的应用。