现代控制理论参考答案第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图,并建立其状态空间表达式; 解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ,则1x y =所以,系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示;以电压)(t u 为输入量,求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程,和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程; 解：由图,令32211,,x u x i x i c ===,输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：1-4 两输入1u ,2u ,两输出1y ,2y 的系统,其模拟结构图如图1-30所示,试求其状态空间表达式和传递函数阵;解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式,并画出相应的模拟结构图; 解：令..3.21y x y x y x ===，，,则有 相应的模拟结构图如下： 1-6 2已知系统传递函数2)3)(2()1(6)(+++=s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现,并画出相应的模拟结构图解：ss s s s s s s s W 31233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++-++-=+++=1-7 给定下列状态空间表达式[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321100210311032010x x x y u x x x x x x ‘（1） 画出其模拟结构图（2） 求系统的传递函数 解：2⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=-=31103201)()(s s s A sI s W 1-8 求下列矩阵的特征矢量3⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6712203010A 解：A 的特征方程 061166712230123=+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=-λλλλλλλA I 解之得：3,2,1321-=-=-=λλλ当11-=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---3121113121116712203010p p p p p p 解得： 113121p p p -== 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P 或令111-=p ,得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P 当21-=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---32221232221226712203010p p p p p p解得： 1232122221,2p p p p =-= 令212=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1423222122p p p P或令112=p ,得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21213222122p p p P 当31-=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---33231333231336712203010p p p p p p 解得： 133313233,3p p p p =-= 令113=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3313323133p p p P 1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型并联分解2⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32121321321110021357213311201214x x x y y u x x x x x x解：A 的特征方程 0)3)(1(311212142=--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-λλλλλλA I 当31=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3121113121113311201214p p p p p p 解之得 113121p p p == 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P 当32=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1113311201214312111312111p p p p p p解之得 32222212,1p p p p =+= 令112=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0013222122p p p P 当13=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--332313332313311201214p p p p p p 解之得3323132,0p p p == 令133=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1203323133p p p P约旦标准型1-10 已知两系统的传递函数分别为W 1s 和W 2s试求两子系统串联联结和并联连接时,系统的传递函数阵,并讨论所得结果 解：1串联联结 2并联联结1-11 第3版教材已知如图1-22所示的系统,其中子系统1、2的传递函数阵分别为 求系统的闭环传递函数 解：1-11第2版教材 已知如图1-22所示的系统,其中子系统1、2的传递函数阵分别为 求系统的闭环传递函数 解：1-12 已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示,并使驱动函数u 的系数b 即控制列阵为 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11b 解法1： 解法2：求T,使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-111B T 得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-10111T 所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1011T 所以,状态空间表达式为第二章习题答案2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数At e ;2 A=1141⎛⎫⎪⎝⎭解：第一种方法： 令0I A λ-=则11041λλ--=-- ,即()2140λ--=;求解得到13λ=,21λ=- 当13λ=时,特征矢量11121p p p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦由 111Ap p λ=,得11112121311341p p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即112111112121343p p p p p p +=⎧⎨+=⎩,可令112p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦当21λ=-时,特征矢量12222p p p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦由222Ap p λ=,得121222221141p p p p -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦即1222121222224p p p p p p +=-⎧⎨+=-⎩ ,可令212p ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦则1122T ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,111241124T -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦第二种方法,即拉氏反变换法：第三种方法,即凯莱—哈密顿定理 由第一种方法可知13λ=,21λ=-2-5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件,如果满足,试求与之对应的A 阵;3()22222222t tt t ttt t e e e e t e e e e --------⎡⎤--Φ=⎢⎥--⎣⎦ 4()()()()3333112412t t t t t tt t e e e e t e e e e ----⎡⎤+-+⎢⎥Φ=⎢⎥⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦解：3因为 ()10001I ⎡⎤Φ==⎢⎥⎣⎦,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件 4因为()10001I ⎡⎤Φ==⎢⎥⎣⎦,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件2-6 求下列状态空间表达式的解：初始状态()101x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,输入()u t 时单位阶跃函数;解： 0100A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 因为 01B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,()()u t I t =2-9 有系统如图所示,试求离散化的状态空间表达式;设采样周期分别为T=和1s,而1u 和2u 为分段常数; 图 系统结构图 解：将此图化成模拟结构图 列出状态方程则离散时间状态空间表达式为 由()At G T e =和()0TAt H T e dtB =⎰得：当T=1时 ()()()()11111001111k e e x k x k u k e ke ----⎡⎤-⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦当T=时 ()()()()()0.10.10.10.11001110.90.1k e e x k x k u k e k e ----⎡⎤-⎡⎤⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦第三章习题3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性;系统中a,b,c,d 的取值对能控性和能观性是否有关,若有关,其取值条件如何 1系统如图所示： 解：由图可得： 状态空间表达式为：由于•2x 、•3x 、•4x 与u 无关,因而状态不能完全能控,为不能控系统;由于y 只与3x 有关,因而系统为不完全能观的,为不能观系统; 3系统如下式：解：如状态方程与输出方程所示,A 为约旦标准形;要使系统能控,控制矩阵b 中相对于约旦块的最后一行元素不能为0,故有0,0≠≠b a ;要使系统能观,则C 中对应于约旦块的第一列元素不全为0,故有0,0≠≠d c ; 3-2时不变系统试用两种方法判别其能控性和能观性; 解：方法一：方法二：将系统化为约旦标准形;⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1-111T ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=21212121T 1- B T -1中有全为零的行,系统不可控;CT 中没有全为0的列,系统可观; 3-3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数i i βα和 解：构造能控阵：要使系统完全能控,则211αα≠+,即0121≠+-αα 构造能观阵：要使系统完全能观,则121αα-≠-,即0121≠+-αα 3-4设系统的传递函数是1当a 取何值时,系统将是不完全能控或不完全能观的 2当a 取上述值时,求使系统的完全能控的状态空间表达式; 3当a 取上述值时,求使系统的完全能观的状态空间表达式; 解：1 方法1 ：)6)(3)(1()()()(++++==s s s as s u s y s W 系统能控且能观的条件为Ws 没有零极点对消;因此当a=1,或a=3或a=6时,系统为不能控或不能观; 方法2：系统能控且能观的条件为矩阵C 不存在全为0的列;因此当a=1,或a=3或a=6时,系统为不能控或不能观;2当a=1, a=3或a=6时,系统可化为能控标准I 型3根据对偶原理,当a=1, a=2或a=4时,系统的能观标准II 型为 3-6已知系统的微分方程为：u y y y y 66116...=+++试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数; 解：63611603210=====b a a a a ，，，，系统的状态空间表达式为 传递函数为其对偶系统的状态空间表达式为： 传递函数为61166)(23+--=s s s s W 3-9已知系统的传递函数为 试求其能控标准型和能观标准型;解：345213486)(222++++=++++=s s s s s s s s W系统的能控标准I 型为 能观标准II 型为3-10给定下列状态空间方程,试判别其是否变换为能控和能观标准型;解：[]100210311032010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=C b A ，， 3-11试将下列系统按能控性进行分解1[]111,100,340010121-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=C b A 解：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==9310004102b A Ab bM rankM=2<3,系统不是完全能控的; 构造奇异变换阵c R ：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==010*********R Ab R b R ，，,其中3R 是任意的,只要满足c R 满秩;即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=031100010c R 得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-010*******c R 3-12 试将下列系统按能观性进行结构分解1 []111,100,340010121-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=C b A 解： 由已知得[]111,100,340010121-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=C b A 则有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4742321112CA CA C Nrank N=2<3,该系统不能观构造非奇异变换矩阵10R -,有10111232001R --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 则0311210001R --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦3-13 试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解1[]211,221,102322001=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=C b A 解：由已知得211121226202M A Ab Ab ⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦rank M=3,则系统能控 rank N=3,则系统能观所以此系统为能控并且能观系统取211121226202c T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,则1217344173215344c T -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦则002105014A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,12100c B T b -⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦,[]271323c c cT == 3-14求下列传递函数阵的最小实现; 1 ()111111w s s ⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦解： 01α=,01111B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,1001c A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 1001c B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,1111c C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,0000c D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 系统能控不能观取101101R -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则01101R -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所以10010ˆ01A R AR --⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦,1011ˆ01c B R B -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ 010ˆ10c C C R ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦,00ˆ00D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所以最小实现为ˆ1m A =,[]ˆ11m B =,1ˆ1m C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,00ˆ00m D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 验证：()()1111ˆˆˆ111m mm C sI A B w s s -⎡⎤-==⎢⎥+⎣⎦3-15设1∑和2∑是两个能控且能观的系统1试分析由1∑和2∑所组成的串联系统的能控性和能观性,并写出其传递函数； 2试分析由1∑和2∑所组成的并联系统的能控性和能观性,并写出其传递函数; 解： 11∑和2∑串联当1∑的输出1y 是2∑的输入2u 时,331222x x x x =-++010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,[]001y x = 则rank M=2<3,所以系统不完全能控; 当2∑得输出2y 是1∑的输入1u 时011034100021x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,[]210y x = 因为 2001016124M bAbA b ⎡⎤⎢⎥⎡⎤==-⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎣⎦rank M=3 则系统能控因为2210321654c N cA cA ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦rank N=2<3 则系统不能观 21∑和2∑并联010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,[]211y x = 因为rank M=3,所以系统完全能控 因为rank N=3,所以系统完全能观现代控制理论第四章习题答案4-1判断下列二次型函数的符号性质：1222123122313()31122Q x x x x x x x x x x =---+-- 2222123122313()4262v x x x x x x x x x x =++--- 解：1由已知得110∆=-<,2112013-∆==>-,31111711302411112--∆=--=-<--- 因此()Q x 是负定的 2由已知得110∆=>,2113014-∆==>-,3111143160131--∆=--=-<--因此()Q x 不是正定的 4-2已知二阶系统的状态方程：试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件;解：方法1：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定,则要求满足A 的特征值均具有负实部;即：有解,且解具有负实部; 即：1122112212210a a a a a a +<>且方法2：系统的原点平衡状态0e x =为大范围渐近稳定,等价于T A P PA Q +=-;取Q I =,令11121222PP P P P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则带入TA P PA Q +=-,得到 若 11211211222111221122122112222204()()0022a a a a a a a a a a a a a a +=+-≠,则此方程组有唯一解;即 其中11221221det A A a a a a ==- 要求P 正定,则要求 因此11220a a +<,且det 0A >4-3试用lyapunov 第二法确定下列系统原点的稳定性;11123x x -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 21111x x -⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦解：1系统唯一的平衡状态是0e x =;选取Lyapunov 函数为2212()0V x x x =+>,则 ()V x •是负定的;x →∞,有()V x →∞;即系统在原点处大范围渐近稳定;2系统唯一的平衡状态是0e x =;选取Lyapunov 函数为2212()0V x x x =+>,则 ()V x •是负定的;x →∞,有()V x →∞;即系统在原点处大范围渐近稳定;4-6设非线性系统状态方程为： 试确定平衡状态的稳定性;解：若采用克拉索夫斯基法,则依题意有： 取P I =很明显,()Q x 的符号无法确定,故改用李雅普诺夫第二法;选取Lyapunov 函数为2212()0V x x x =+>,则()V x •是负定的;x →∞,有()V x →∞;即系统在原点处大范围渐近稳定;4-9设非线性方程：试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性; 解：1采用克拉索夫斯基法,依题意有：x →∞,有()V x →∞; 取P I =则2121013()132x Q x x ⎡⎤-+=⎢⎥-+⎣⎦,根据希尔维斯特判据,有： 2221121210310310132x x x -∆=∆==->-+，（）,()Q x 的符号无法判断; 2李雅普诺夫方法：选取Lyapunov 函数为421233()042V x x x =+>,则 ()V x •是负定的;x →∞,有()V x →∞;即系统在原点处大范围渐近稳定;4-12试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数 解：假设()V x 的梯度为： 计算()V x 的导数为：选择参数,试选112212211,0a a a a ====,于是得：12x V x ⎛⎫∇= ⎪⎝⎭,显然满足旋度方程12122121,0V V x xx x x x ∂∇∂∇∂∂===∂∂∂∂即,表明上述选择的参数是允许的;则有：如果121211202x x x x -><或,则()V x •是负定的,因此,1212x x <是12x x 和的约束条件; 计算得到()V x 为：()V x 是正定的,因此在121211202x x x x -><即范围内,0e x =是渐进稳定的;现代控制理论第五章习题答案5-1已知系统状态方程为：试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为-1,-2,-3; 解：依题意有：2011012112M bAbA b ⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦3rankM =,系统能控; 系统0(,,)A b C =∑的特征多项式为：则将系统写成能控标准I 型,则有010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦; 引入状态反馈后,系统的状态方程为：()x A bK x bu =++,其中3K ⨯为1矩阵,设[]012K k k k =,则系统(,,)K A bK C =∑的特征多项式为：根据给定的极点值,得到期望特征多项式为：比较*()()f f λλ与各对应项系数,可解得：012599k k k =-=-=-，则有：[]-5-9-9K =;5-3有系统：（1） 画出模拟结构图;（2） 若动态性能不满足要求,可否任意配置极点 （3） 若指定极点为-3,-3,求状态反馈阵; 解1系统模拟结构图如下：2系统采用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统0(,,)A b C =∑完全能控; 对于系统0(,,)A b C =∑有： []0111M bAb ⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦2rankM =,系统能控,故若系统动态性能不满足要求,可任意配置极点;3系统0(,,)A b C =∑的特征多项式为：则将系统写成能控标准I 型,则有010231x x u ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦; 引入状态反馈后,系统的状态方程为：()x A bK x bu =++,设[]01K k k =,则系统(,,)KA bK C =∑的特征多项式为：根据给定的极点值,得到期望特征多项式为：比较*()()f f λλ与各对应项系数,可解得：[]017373k k K =-=-=--，; 5-4设系统传递函数为试问能否利用状态反馈将传递函数变成 若有可能,试求出状态反馈K ,并画出系统结构图;解：6522)3)(2)(1()2)(1()(232--+-+=+-++-=s s s s s s s s s s s W由于传递函数无零极点对消,因此系统为能控且能观; 能控标准I 型为 令[] 210k k k K =为状态反馈阵,则闭环系统的特征多项式为由于状态反馈不改变系统的零点,根据题意,配置极点应为-2,-2,-3,得期望特征多项式为比较 )(λf 与 )(*λf 的对应项系数,可得 即[]52118---=K 系统结构图如下：5-5使判断下列系统通过状态反馈能否镇定;11222 A 011,01011b ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦解：系统的能控阵为：2240010115M bAbA b -⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦3rankM =,系统能控; 由定理 5.2.1可知,采用状态反馈对系统0(,,)A b C =∑任意配置极点的充要条件是(,,)A b C =∑完全能控;又由于3rankM =,系统0(,,)A b C =∑能控,可以采用状态反馈将系统的极点配置在根平面的左侧,使闭环系统镇定; 5-7设计一个前馈补偿器,使系统 解耦,且解耦后的极点为1,1,2,2----; 解：0()()() d W s W s W s = 5-10已知系统：试设计一个状态观测器,使观测器的极点为-r,-2rr>0;解：因为1001c N cA ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦满秩,系统能观,可构造观测器; 系统特征多项式为[]21det det 0I A λλλλ-⎡⎤-==⎢⎥⎣⎦,所以有10010,0,10a a L ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦ 于是11001100x T ATx T bu x u --⎡⎤⎡⎤=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 引入反馈阵12g G g ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,使得观测器特征多项式：根据期望极点得期望特征式：比较()f λ与()*f λ各项系数得：即223r G r ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,反变换到x 状态下2201321023r r G TG r r ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 观测器方程为：。
