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线性时不变系统

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线性时不变系统

线性时不变系统

第6章线性时不变系统尹霄丽6.1 引言MATLAB •••利用函数,和计算LTI系统的输出；研究离散时间LTI系统的多conv ls 个性质主要；连续i 时内容：间卷积m 的filter 数值近似；例1[][][][]1, 040, n x n n y n x n x n ≤≤⎧=⎨⎩=∗考虑如下有限长信号其余(a)用解析方法计算。

[][][](b) 编程实现% exe2_1_a.m, see also exe2_1_b.mx=ones(1,5);nx=0:4;y=conv(x,x);ny=(min(nx)+min(nx)):(max(nx)+max(nx)); h=stem(ny,y);set(h,'linewidth',2);xlabel('n');ylabel('x[n]*x[n]');作业3[][][][][][][]1, 050, , 050, (a) ;(b) MATLAB(c)conv y n x n nn n h n ny n x n h n x n h n ≤≤⎧=⎨⎩≤≤⎧=⎨⎩=∗考虑下面有限长信号：其余其余不用编程，请计算卷积和用生成信号和，并画出相应的图形。

用计算卷积和，并用stem画出其图形。

注：图形请加上必要的标注。

6.3 MATLAB函数filterfilterFILTER One-dimensional digital filter.Y = FILTER(B,A,X) filters the data in vector X with the filter described by vectors A and B to create the filtered data Y. The filter is a "Direct Form II Transposed"implementation of the standard difference equation:a(1)*y(n) + a(2)*y(n-1) + ... + a(na+1)*y(n-na) =b(1)*x(n) + b(2)*x(n-1) + ... + b(nb+1)*x(n-nb)[][][][]00LTI 1 filte r KMk mk m x x x a y n k b x n m x n n n n N y n ==−=−≤≤+−∑∑命令计算由线性常系数差分方程表征的因果系统在某一给定输入时的输出。

[new]xie第二章 线性时不变系统

[new]xie第二章 线性时不变系统


1 例2： x[n] (n) 0
n h( n) h[n] 0
0n4 otherwise
1, 0 n 6
otherwise
x[k ]
1
h[n k ]
k
n k
k
n6
0
0
4
n
① n 0 时，
yy(n]) 0 [n
n n
y[n] nk n k ② 0 n 4 时， y ( n) k 0 k 0
由于LTI系统满足齐次性和可加性，并且具
有时不变性的特点，因而为建立信号与系统分析
的理论与方法奠定了基础。 基本思想：如果能把任意输入信号分解成基 本信号的线性组合，那么只要得到了LTI系统对 基本信号的响应，就可以利用系统的线性特性， 将系统对任意输入信号产生的响应表示成系统对 基本信号的响应的线性组合。
号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信号的
线性组合。
至少单位阶跃与单位冲激之间有这种关系：
u(t ) ( )d (t )d
0
t

对一般信号 x(t ) ，可以将其分成很多 宽度的区段， 用一个阶梯信号 近似表示 。当 时，有: x (t ) x(t ) 0
非线性、时不变
y(t ) t 2 x(t 1) 线性、时变
y[t ]
n n0
k n n0
x[k ]
2
线性、时不变 非线性、时不变 线性、时不变
y[n] x [n 2]
y[n] x[n 1] x[n 1]
y[n] xo [n]
线性、时变
观察上述系统后，得到如下结论：
第五章线性时不变系统的变换分析

第五章线性时不变系统的变换分析


相位失真：线性相移 一种轻微的失真 产生序列上的移位 延迟失真 （不产生波形上的变形） 近似理想滤波器设计：线性相位响应 理想模型 例：具有线性相位的理想低通滤波器
具有线性相位的理想频率选择性滤波器： 分隔输入信号频带(频率选择) 非因果 输出延迟nd 群延迟（group delay）: 相位特性线性程度的一种度量 定义： 含义：对窄带输入x[n]=s[n]cos(ω0n) s[n] 为包络，ω0载波频率 即X(ejω)仅在ω= ω0附近为非零 系统的相位效果（在ω= ω0附近）： 即系统的输出： 包络的延迟 相位特性导数的负值
表示H(z)的全部零点在单位圆内。 当且仅当H(z)的零点和极点都在单位圆内时。 稳定因果系统 稳定因果逆系统 定义为：最小相位系统（minimum-phase systems）
5.2.3 有理系统函数的单位脉冲响应 H(z)作z反变换（部分分式法） h[n] 一阶极点的有理系统函数：
若系统因果，可得：
例子：衰减和群延迟的效果
5.2 用线性常系数差分方程表征系统的系统函数
理想频率选择性滤波器 （近似、逼近）一类频率选择性滤波器 考虑由线性常系数差分方程表示的一类系统：
a
k 0
N
k
y[n k ] bk x[n k ]
k 0
M
对于初始松弛（initial rest）的辅助条件因果、线性、时不变 z变换 （分析、描述） 线性常系数差分方程（表示系统）的性质、特征 方程两边z变换 N M k k a z Y ( z ) b z k k X ( z)
j 1
极点：z = 0 零点：z = rejӨ 频率响应： ( z
e j )
e re H (e ) j e
线性时不变系统

线性时不变系统


线性时不变系统
传递函数
• 在考虑扰动的情况下，系统的传递函数可以写成
y (t ) = G (q )u (t ) + H (q )e(t )
（2.12）
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
线性时不变系统
稳定性
• 系统的传递函数如果满足以下条件
G (q ) =
∞ ∞
∑
k =1
线性时不变系统
传递函数
• 我们定义q算子
qu (t ) = u (t + 1)
• 同样
q −1u (t ) = u (t − 1)
（2.9）
（2.10）
• 那么（2.6）就可以写成
y (t ) =
∞ k =1
∑ g (k )u(t − k ) =∑ g (k )q
k =1
∞
−k
u (t )
（2.11）
y (t ) = G (q )u (t )
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
线性时不变系统
传递函数
• 如果系统是稳定的，随着k的增大，g(k)趋近于0， 则上式可以简化为
G (q ) = ∑ g (k )q − k
k =1
n
• 其中g(n+1)，g(n+2)，…接近于0，可以忽略不计
（2.3）
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
线性时不变系统
单位脉冲响应模型
• 将（2.3）带入（2.2）
y (kT ) = =
∫τ
第2章 线性时不变系统

第2章 线性时不变系统

y(t ) x( )h(t )d h( ) x(t )d
0 t
2.4 LTI系统的性质
举例：累加系统（accumulator）
y[n]
k
x[k ]
n
它是LTI系统，其单位脉冲响应为
h[n] u[n]
h[n] k [n] Memory h[n] 0, n 0 Causal
2.4 LTI系统的性质
从以上推导得出以下结论： DT LTI 系统的单位阶跃响应是其单位脉冲响应的求和函数； DT LTI 系统的单位脉冲响应是其单位阶跃响应的一次差分 同理，对于CT LTI 系统： 单位阶跃响应是其单位冲激响应的积分函数
s(t ) h( )d
t
单位冲激响应是其单位阶跃响应的一阶导数
2.7小结
2.1概述
（1）线性与时不变性（Linearity and Time-Invariance）： 很多物理过程都具有这两个性质 这些物理过程能用LTI系统表征 可以对LTI系统进行详细的分析：
能够将LTI系统的输入用一组基本信号的线性组合表示 根据该系统对基本信号的响应，利用叠加性质求得整个系统的输出
2.4 LTI系统的性质
离散时间LTI系统用 卷积和表示
连续时间LTI系统用 卷积积分表示
LTI系统的特性可以 完全由其单位冲激响 应决定
2.4 LTI系统的性质
卷积的交换律性质 The Commutative Property of Convolution
2.4 LTI系统的性质
卷积的三个代数性质：交换律、结合律、分配律 Three algebraic properties of convolution
第二章 线性时不变系统

第二章 线性时不变系统

利用多项式算法求卷积和的逆运算 已知 y[n] h[n] x[n] 已知 y[n] x[n] h[n]
9
例5 y[n] 6,5,24,13,22,10,n 0,1,2,3,4,5 h[n] 3,1,4,2 n 0,1,2,3
y[n] x[n]h[n] 求 x[n]
2 t 5t2 x(t)
x[n] x[k] [n k] 离散的信号分解成脉冲
k
信号的 线性组合的形式
把任意一个序列表示成一串移位的单位脉冲序列 [n k]
的线性组合，而这个线性组合式中的权因子就是 x[k]
4
二. 离散时间线性时不变系统卷积和表示
[n] h[n]
[n k] h[n k]
时不变
x[k] [n k] x[k]h[n k] 齐次性
11
二. 连续时间线性时不变系统的卷积积分表示
(t) h (t)
(t k)
x(k) (t k)
x(k) (t k)
k
h (t k)
时不变
x(k
)h
(t
k
)
齐次性
x(k)h (t k) 可加性
k
xˆ(t)
yˆ (t )
y(t) x( )h(t )d x(t) h(t)
12
卷积的计算
（1）由定义计算卷积积分
例：设某一线性时不变系统的输入为x(t)，其单位冲
激响应为h(t) x(t) eatu(t) , a 0 h(t) u(t)
试求 x(t) h(t)
x(t) h(t) ea u( )u(t )d
t ea d ,
0
t0
0,
t0
1 1 eat u(t) a
1
信号与系统列写四种常用的系统分类方式

信号与系统列写四种常用的系统分类方式

一、根据系统的线性特性分类在信号与系统的研究中，线性系统是一个重要的概念。

线性系统具有加性和齐次性质，即当输入信号发生变化时，输出信号也按比例变化。

根据系统的线性特性可以将系统分为以下四种常用的分类方式：1.1、时不变系统：时不变系统是指系统的参数在时间上不随时间变化，即系统的输出只取决于输入的当前值，而与输入的时间点无关。

时不变系统具有很好的稳定性和预测性，能够准确地描述系统的响应特性。

1.2、线性时不变系统：线性时不变系统是指系统同时具有线性和时不变的特性。

线性时不变系统具有简单的数学描述和分析方法，是信号与系统理论中的重要研究对象。

1.3、因果系统：因果系统是指系统的输出只取决于过去和当前的输入值，而与未来的输入值无关。

因果系统具有因果传递性和因果去极限性，能够较好地模拟真实世界的物理过程。

1.4、稳定系统：稳定系统是指系统的输出在有限时间内始终保持在有界范围内，不会发散或趋向无穷大。

稳定系统具有很好的可控性和可观测性，是工程实际中常用的系统类型。

二、根据系统的频率特性分类除了根据系统的线性特性分类外，还可以根据系统的频率特性进行分类，常见的分类方式包括：2.1、时变系统：时变系统是指系统的参数随时间或输入信号的频率变化而变化。

时变系统具有较复杂的动态特性和数学描述，需要使用高级的数学工具进行分析和求解。

2.2、全通系统：全通系统是指系统对所有频率的信号都具有相同的增益和相位延迟，不对信号的频率进行衰减或增强。

全通系统能够保持输入信号的各个频率成分的相对比例，具有较好的频率响应特性。

2.3、低通系统：低通系统是指系统只允许低于一定频率的信号通过，而高于该频率的信号则被衰减或阻塞。

低通系统广泛应用于滤波器和调制解调器中，用于去除高频噪声和保留低频信号。

2.4、高通系统：高通系统是指系统只允许高于一定频率的信号通过，而低于该频率的信号则被衰减或阻塞。

高通系统在通信系统和音频处理中具有重要应用，用于去除低频噪声和保留高频信号。

信号处理与系统分析 第2章线性时不变系统

信号处理与系统分析 第2章线性时不变系统


从波形的角度来观察离散时间信号，它可以 看成是由许多加权了的单位冲激信号组合 而成的
x[n] x[1] [n 1] x[0] [n] x[2] [n 2]
对于任意的离散时间信号：
累加序号 自变量
加权值 移位的冲激信号
x[n]
k
x[k ] [n k ]
n
卷积公式是无穷多项求和，而我们实际遇到的常 常是有限长度序列，特别是在计算机离线处理的场 合，因为计算机不可能处理无穷多的信息。 在进行有限长度的序列的卷积时候，长度为N和M 的2个序列作卷积时，反转序列从左到右进入重叠 直至移出重叠，只有存在重叠项时，卷积和才可能 非零。 卷积序列的长度为M+N-1。
求解系统响应的卷积方法是系统分析的重要工具。
单位冲激响应h[n]完全描述了线性时不变系统的变换 规律。不同的系统输入，都在h[n]的作用下产生相应的 响应，因此，给定了一个LTI系统的单位冲激响应h[n]就 等于给定了该系统。
从计算某一个特定点的角度来看
yy [n [n 0]
k k
第2章 线性时不变系统
线性时不变（简称LTI，Linear， Time-invariant）系统
为什么引入LTI ？
如果不对系统的性质加以限制，那么分析 一个系统将是十分困难的。 给系统加上线性和时不变性的限制，那么 系统的分析将变得十分简便。 LTI系统的分析还为非线性系统的分析方法 提供了思路。例如，线性时不变系统可以 用冲激响应来表达，非线性系统可以用 Volterra级数来表达。

上式应该理解为许多以为n自变量的函数的相 加，而不是数值相加。
许多移了位的冲激信号的加权和，构成了x[n] 。
特别地，我们有
线性时不变系统--习题

线性时不变系统--习题


dt
dt
dt
et t et t
t t t
t
方法二没有注意利用冲激函数的性质，求解过
程较繁。另外，对冲激偶信号的性质
f t t f 0 t f 0 t
往往被错误写成
f t t f 0 t
从而得出错误结论。
(2) f t t e3 δτ d τ
1 O t 3 1
t
t 3 1
t
3
1
即2 t 4
g(t) 1 1(t )d t 2 t 2
t3 2
42
T4
1 f1
f2 t
t
1 O
1 t3
t-31
即t 4
gt 0
卷积结果
f1t
1
1 O 1 t
f2 t
3
2
O
3t
t2 t 1
g(t
)
4 t
t
2
2
4
x(t t0 ) h(t) x(t) h(t t0 ) y(t t0 )
例1 粗略绘出下列各函数式的波形图
(1) f1t u t2 1
(2)
f2 t
d dt
et cos tut
描绘信号波形是本课程的一项基本训练，在绘 图时应注意信号的基本特征，对所绘出的波形，应标 出信号的初值、终值及一些关键的值，如极大值和极 小值等，同时应注意阶跃、冲激信号的特点。
设x3(t) ax1 t bx2 t x3 t y3 t x32 t ax1 t bx2 t 2 a2 x12 t b2 x22 t 2abx1 t x2 t
a2 y1 t b2 y2 t 2abx1 t x2 t ay1 t by2 t
第2章-线性时不变系统

第2章-线性时不变系统


卷积和：对位相乘法
计算 x 1n x 2n ，其中
x 1 n 2 n n 1 4 n 2 n 3 x 2n 3 n n 1 5 n 2
x1 n : x2 n:
2 1 41 3 15
10 5 20 5
21 4 1
6 3 12 3
x1n x2 n: 6 5 23 12 21 5
用的。
例1: x (t) e a tu (t), a 0 h(t)u(t)
y(t) x(t) h(t) x( )h(t )
ea u( )u(t )d
t ea d 1 (1 eat )u(t)
0
a
u(t )
x ( )
1
1
0
0t
例2 :
x(t)10
0tT otherwise
x(k)
t
0
k (k1)
引用 (t，) 即：
(t) 1/0
0t otherwise
则有： (t) 1 0
0t otherwise
第 个k 矩形可表示为： x (k ) (t k )
这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号 x ，( t )
即： x(t) x(k)(tk) k 当 0时， k d (t k ) (t ) x(t)x(t)
etut*ut 1ut 1
1[e(t1) 1]u(t 1) 1[e(t1) 1]u(t 1)
信号与系统
举例
❖ 已知某线性时不变系统的单位冲激响应和激
励信号分别为：e2tut ，ut1ut2，则系
利用z变换求解
❖ x1nnn1n2 x2nn1n2
X 1zX 2z1z 1z 2 z 1z 2
z 1z 2z 2z 3z 3z 4
2LTI线性时不变系统

2LTI线性时不变系统

对于一个离散时间LTI系统，假设x[n]是它 的任意一个输入信号，y[n]是相应的输出 信号，按照（2.2）式，任意的输入可表示 为移位的单位脉冲序列的线性组合：
x[n] x[k][n k] k
12
假设该系统对δ[n]的响应为h[n]，即
[n] uLuTuurI h[n]
根据系统的时不变性，将有：
16
卷积和的图解法
两个信号x[n]和h[n]的卷积和的基本步骤为：
（1）将x[n]和h[n]的自变量换成k。
(2)将h[k]反转后，得到h[-k]，再右移n（n>0），或 左移n（n<0）,得到h[n-k] 。（”卷积“或”褶积
“由此得名） (或者将横坐标值加n，n从-∞~+∞变化）
（3）将x[k]和上一步得到的h[n-k]相乘，得到卷积 和的被求和序列x[k] h[n-k]。 （4）在（-∞， ∞ ）区间上，将上述被求和序列求 和，得到y[n]。 （5）为计算所有时刻的y[n]，必须对所有的n，重 复上述（2）到（4）的步骤。
[n k] uLuTuurI h[n k], k 0, 1, 2,L
再根据线性叠加性，又有：
x[k][n k] uLuTuurI x[k ]h[n k ]
k
k
13
故，离散时间LTI系统的输入输出信号变 换关系为：
y[n] x[k]h[n k] k
（2.6）
这就是卷积和。
0
k -2 –1 0 1
19
Step3：
n=0
0.5 2 x[k]
k 01
1 h[-k] -2 –1 0 1
n=0
k
y[0] x[k]h[0 k] k 0.5*1
0.5

第2章__线性时不变系统

dg (t ) h(t ) dt
g (t ) u(t ) h(t ) h()d
求系统零状态响应举例：如图所示系统， hD (t ) (t 1 ) hG (t ) u(t ) u(t 3) ， ，输入 x(t ) u(t ) u (t 1)，求零状态响应y（t）

k
h[k ]x[n k ]

2、分配律
x[n] (h1[n] h2 [n]) x[n] h1[n] x[n] h2 [n]
x(t ) (h1 (t ) h2 (t )) x(t ) h1 (t ) x(t ) h2 (t )
物理意义： （1）LTI系统对两个输入的和的响应等于对 单个输入响应的和
y[n]
k
x[k ]h [n]
k

• 若该线性系统又是时不变的 ，则有
hk [n] h[n k ]
其中h[n]是系统输入为δ[n]时的零状态响应, 称为单位脉冲(样本)(序列)响应 y[n] x[k ]h[n k ] 所以对LTI系统,有 ： k 对照卷积的定义，有： y[n] x[n] h[n] 称为卷积和
通信中的编码器都是可逆的 例： y(t ) 2 x(t ) w(t ) 1 y(t )
2
y[n]
k
x[k ]
n
w[n] y[n] y[n 1]
不可逆：
y[n] c
y(t ) x (t )
2
2.2.3 因果性
因果系统 ：系统在任何时刻的输出只决定于现在 的输入以及过去的输入
y (t )
因此当 h(t ) dt 时，输出为有界-充分性 亦可证必要性 h(t ) dt 连续时间LTI系统的稳定性 离散时间LTI系统的稳定性 h[n]

第四章 线性时不变离散时间系统


4.1 线性时不变(LTI)系统的性质
x(n)和 y(n) 分别表示输入和输出序列，则系统的输入输出
关系可记为：
y(n) T[x(n)]
其中，T 表示将输入信号转换为输出信号，系统的一般
输入输出关系图为：
x(n)
y(n)
h(n)
系统的输入输出关系图
4.1 线性时不变(LTI)系统的性质
系统的举例
线性
线性系统基本特征就是满足叠加原理。假设系统的输 入分别为 x1(n) 和 x2 (n) ，相应的输出分别为 y1(n) 和 y2 (n) ， 即：
y1(n) T [x1(n)]
y2(n) T[x2(n)]
则当且仅当
T[ x1(n) x2(n)] T[x1(n)] T[x2(n)]
y1(n) y2(n)
s (n)
1 M
M 1
x(n
l 0
l)
1 M
M
1
x
(n
l0
l)
x(n
M)
x(n
M
)
1 M
M l1
x(n
l)
x(n)
x(n
M )
1 M
M
1
x(n
l0
1 l)
x(n)
x(n
M )
M 1 s (n 1) 1 x(n) x(n M )
M
M
4.1 线性时不变(LTI)系统的性质
假设输入信号经过m 步移位得到 x(n m) ，送入同一系
统，若系统的输出为 y(n m) ，用公式表示就是:
时，系统为线性系统，其中, 为任意常数。
4.1 线性时不变(LTI)系统的性质
举例

线性时不变系统


e2t H r2t
则 1e1t 2e2 t
1r1t 2r2 t
H
1e1(t ) 2e2 (t ) 1r1(t ) 2r2 (t )
X
第
3
判断方法
页
先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性运算
f1 t
C1 C1 f1 t
f2 t
C2 C2 f2 t
H •
HC1 f1 t C2 f2 t
f1 t H• H f1t C1 C1H f1 t
f2 t H• H f2 t C2 C2 H f2 t
C1H f1 t C2 H f2 t
若 HC1 f1t C2 f2t C1H f1t C2H f2t
则系统 H[•]是线性系统,否则是非线性系统。 注意：外加激励与系统非零状态单独处理。
系统的这种特性称为因果特性。
符合因果性的系统称为因果系统(非超前系统)。
2.判断方法
输出不超前于输入
X
第
3.实际的物理可实现系统均为因果系统
9 页
非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信号 的压缩、扩展，语音信号处理等。
若信号的自变量不是时间，如位移、距离、亮度等 为变量的物理系统中研究因果性显得不很重要。
r(t) r(t t0)
r(t)
O
T
e(t t0 )
tO r(t t0 )
O t0
t t0 T
O t0
第 5 页
t
t
X
第
6
2. 判断方法
页
先时移，再经系统＝先经系统，再时移
f t
H •
H f t
yt
DE
yt

线性时不变系统的叠加性的含义及意义

线性时不变系统的叠加性的含义及意义线性时不变（LTI）系统是一种可以表示现实物理系统的有效方法，广泛应用于各种工程领域。

其中，叠加性是LTI系统的一种重要性质，是分析和理解LTI系统的重要基础。

本文旨在回顾线性时不变系统的叠加性的定义，探讨其含义及意义，以及它是如何影响系统响应的。

首先，让我们回顾线性时不变系统的叠加性的定义。

叠加性是指LTI系统的输入和输出响应之间的一种关系，它基本上是：如果系统同时受到多个输入，那么系统将产生多个输出，其结果就是输出的总和，等于多个输入响应的总和。

即：出=∑(输入响应)从简单的角度来看，叠加性意味着系统在多输入情况下，输出结果不会受到多个输入信号的相互影响。

这是因为系统的输入和输出信号之间存在着线性关系，因此输出信号的总和与多个输入信号的总和相等，而不会受到其中的任何一个输入信号的影响。

叠加性也为许多器件的设计提供了基础。

比如放大器，它能够以线性的方式将其输入信号叠加并输出放大后的信号，以将输入信号的信号强度提高。

而电路设计中另一个重要的方面滤波器，也使用叠加性来使衰减信号。

因为加法性的叠加性，滤波器能够以线性的方式减弱或“抑制”掉不需要的频率，从而让信号中只留下我们需要的频率。

另外，由于LTI系统的广泛应用，叠加性也可以用于系统建模及状态估计。

由于LTI系统的叠加性假设，可以对不同输入信号模型进行分析，而不必考虑其相互影响，从而使系统建模变得简单，这也就为时变系统的模型预测及状态估计提供了可能性。

从以上可见，叠加性作为LTI系统的重要性质，在许多工程技术中有着广泛的应用：用于放大器的线性叠加提高了信号强度；用于滤波器的线性叠加可以减弱不需要的频率；此外，还可用于系统建模及状态估计。

就简单的理解来说，叠加性是指多个输入信号的总和和输出信号的总和之间没有相互影响的现象，输出结果只受到单独输入信号的影响。

可以总结出，线性时不变系统的叠加性是LTI系统的重要性质，其定义是指：如果系统同时受到多个输入，那么系统的总输出结果将是多个输入的总和，不受其中任何一个输入的影响。

第三章线性时不变系统的标准形与最小实现


A=
0 an
1 1
an1 an2
1
P
1 a1
h
hA
hA2
hAn1
其中， hAn anh an1hA an2hA2 (凯莱 哈密尔顿定理）
a1hAn1
6
另一方面，注意到U1U I
1 0 0
[b
Ab
An1b] I= 0
h
0
1
我们有 hb 0,hAb 0, ，hAn2b 0,hAn1b 1
A1 PAT P1， b1 PcT ， c1 bT P1
24
对
A1 PAT P1， b1 PcT ， c1 bT P1
转置处理后有：
A1T (PT )1APT
A
c1T (PT )1b
b
令
b1T cPT
c
A : A1T , b (PT )1b, c cPT
则(A,b, c)就是可观标准形。
0
00
0
00
0
01
0
1
29
p
0 0
0 0
1
0 0
B= 0 0
0
1
0
0
0 0
0 0
0
0
1
0
0
2
0
0 1
p
C=CP1 没有任何特点
30
下面介绍变换的具体做法。
1）. 不失一般性，假设B=[b1 b2,……bp]列满秩；
2）. 列出可控性矩阵：
U [b1 b2 b p Ab1 Ab2 Ab p
A P2AP21, B P2B,C CP21
34
讨论：1）P2的可逆性证明：
只要证明：若有列向量 ，满足P2 0 0即可。

判断系统线性-时变-因果方法


时不变性
2. 判断方法
先时移，再经系统＝先经系统，再时移
若 则系统
是非时变系统,否则是时变系统.
三．线性时不变系统的微分特性
线性时不变系统满足微分特性、积分特性
利用线性证明，可推广至高阶。
四.因果系统与非因果系统
1. 定义
因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出 现输出（响应）的系统。也就是说，因果系统的（响 应）不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。
原方程两端乘A：
(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足均匀性
证明叠加性
假设有两个输入信号 所给微分方程式分别有：
分别激励系统，则由
当 应有
同时作用于系统时，若该系统为线性系统，
(3)+(4)得
(5)、(6)式矛盾，该系统为不具有叠加性
例1-7-2
判断下列两个系统是否为非时变系统． 系统1： 系统2：
若 则系统 是线性系统,否则是非线性系统. 注意：外加激励与系统非零状态单独处理
二．时变系统与时不变系统
1.பைடு நூலகம்义
一个系统，在零初始条件下，其输出响应与输入信号 施加于系统的时间起点无关，称为非时变系统，否则 称为时变系统。
认识:
•电路分析上看:元件的参数值是否随时间而变 • 从方程看:系数是否随时间而变 •从输入输出关系看:
系统的这种特性称为因果特性。
符合因果性的系统称为因果系统(非超前系统)。
2.判断方法
输出不超前于输入
3.实际的物理可实现系统均为因果系统
非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信 号的压缩、扩展，语音信号处理等。
若信号的自变量不是时间，如位移、距离、亮 度…为变量的物理系统中研究因果性显得不很重要。
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叠加性：
e1 ( t ) r1 ( t ) e1 ( t ) e2 ( t ) r1 ( t ) r2 ( t ) e2 ( t ) r2 ( t )
X
第
线性特性
e1 ( t ) e2 t
1e1 t 2e2 t
3 页
H H
r1 t
r2 t
5 页
认识:
•电路分析上看:元件的参数值是否随时间而变 • 从方程看:系数是否随时间而变 •从输入输出关系看:
X
第
时不变性
e( t ) e( t t 0 )
e( t )
6 页
H
r (t ) r ( t t0 )
r (t )
O
T
t
O
t
e( t t 0 )
r (t t 0 )
O t0
t0 T
现输出（响应）的系统。也就是说，因果系统的输出
第 9 页
（响应）不会出现在输入信号激励系统以前的时刻。
系统的这种特性称为因果特性。 符合因果性的系统称为因果系统(非超前系统)。
2.判断方法
输出不超前于输入XFra bibliotek第3.实际的物理可实现系统均为因果系统
非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信 号的压缩、扩展，语音信号处理等。 若信号的自变量不是时间，如位移、距离、亮度 等为变量的物理系统中研究因果性显得不很重要。
§1.7 线性时不变系统
•线性系统与非线性系统 •时变系统与时不变系统 •线性时不变系统的微分特性 •因果系统与非因果系统
北京邮电大学电子工程学院 2003.1
第
一．线性系统与非线性系统
1.定义
线性系统： 指具有线性特性的系统。 线性:指均匀性，叠加性。 均匀性(齐次性)：
2 页
et r t ket kr t
C2
H
C 2 f 2 t
H f 1 t

C 1 H f 1 t
H
H C 1 f 1 t C 2 f 2 t
C1
f 2 t
H
H f 2 t
C2
C 2 H f 2 t

C 1 H f 1 t C 2 H f 2 t
t
O
t0
t
X
第
2. 判断方法
先时移，再经系统＝先经系统，再时移
f t
H
7 页
H f t
y t
DE

y t
f t
DE

f t
H
H f t
若 H f t yt 则系统 H 是非时变系统,否则是时变系统。
X
三．线性时不变系统的微分特性
线性时不变系统满足微分特性、积分特性
et
de t dt
第 8 页
系统
系统
r t
dr t dt

t

e t dt
r t dt
t
系统
利用线性证明，可推广至高阶。
X
四.因果系统与非因果系统
1. 定义
因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出
10 页
4.因果信号
t = 0接入系统的信号称为因果信号。
表示为：
e( t ) e( t )u( t ) 相当于t 0, e(t ) 0
X
1r1 t 2 r2 t
H
1 e1 (t ) 2 e2 (t ) 1 r 1 (t ) 2 r 2 (t )
X
第
2. 判断方法
先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性运算
f 1 t
C1
4 页
C 1 f 1 t
f 2 t
f 1 t
若 H C1 f1 t C2 f 2 t C1 H f1 t C2 H f 2 t
则系统 H 是线性系统,否则是非线性系统。 注意：外加激励与系统非零状态单独处理。
X
第
二．时变系统与时不变系统
1.定义
一个系统，在零初始条件下，其输出响应与输入信号 施加于系统的时间起点无关，称为非时变系统，否则 称为时变系统。