线性时不变系统

第6章线性时不变系统尹霄丽6.1 引言MATLAB •••利用函数,和计算LTI系统的输出；研究离散时间LTI系统的多conv ls 个性质主要；连续i 时内容：间卷积m 的filter 数值近似；例1[][][][]1, 040, n x n n y n x n x n ≤≤⎧=⎨⎩=∗考虑如下有限长信号其余(a)用解析方法计算。

[][][](b) 编程实现% exe2_1_a.m, see also exe2_1_b.mx=ones(1,5);nx=0:4;y=conv(x,x);ny=(min(nx)+min(nx)):(max(nx)+max(nx)); h=stem(ny,y);set(h,'linewidth',2);xlabel('n');ylabel('x[n]*x[n]');作业3[][][][][][][]1, 050, , 050, (a) ;(b) MATLAB(c)conv y n x n nn n h n ny n x n h n x n h n ≤≤⎧=⎨⎩≤≤⎧=⎨⎩=∗考虑下面有限长信号：其余其余不用编程，请计算卷积和用生成信号和，并画出相应的图形。

用计算卷积和，并用stem画出其图形。

注：图形请加上必要的标注。

6.3 MATLAB函数filterfilterFILTER One-dimensional digital filter.Y = FILTER(B,A,X) filters the data in vector X with the filter described by vectors A and B to create the filtered data Y. The filter is a "Direct Form II Transposed"implementation of the standard difference equation:a(1)*y(n) + a(2)*y(n-1) + ... + a(na+1)*y(n-na) =b(1)*x(n) + b(2)*x(n-1) + ... + b(nb+1)*x(n-nb)[][][][]00LTI 1 filte r KMk mk m x x x a y n k b x n m x n n n n N y n ==−=−≤≤+−∑∑命令计算由线性常系数差分方程表征的因果系统在某一给定输入时的输出。

一、根据系统的线性特性分类在信号与系统的研究中，线性系统是一个重要的概念。

线性系统具有加性和齐次性质，即当输入信号发生变化时，输出信号也按比例变化。

根据系统的线性特性可以将系统分为以下四种常用的分类方式：1.1、时不变系统：时不变系统是指系统的参数在时间上不随时间变化，即系统的输出只取决于输入的当前值，而与输入的时间点无关。

时不变系统具有很好的稳定性和预测性，能够准确地描述系统的响应特性。

1.2、线性时不变系统：线性时不变系统是指系统同时具有线性和时不变的特性。

线性时不变系统具有简单的数学描述和分析方法，是信号与系统理论中的重要研究对象。

1.3、因果系统：因果系统是指系统的输出只取决于过去和当前的输入值，而与未来的输入值无关。

因果系统具有因果传递性和因果去极限性，能够较好地模拟真实世界的物理过程。

1.4、稳定系统：稳定系统是指系统的输出在有限时间内始终保持在有界范围内，不会发散或趋向无穷大。

稳定系统具有很好的可控性和可观测性，是工程实际中常用的系统类型。

二、根据系统的频率特性分类除了根据系统的线性特性分类外，还可以根据系统的频率特性进行分类，常见的分类方式包括：2.1、时变系统：时变系统是指系统的参数随时间或输入信号的频率变化而变化。

时变系统具有较复杂的动态特性和数学描述，需要使用高级的数学工具进行分析和求解。

2.2、全通系统：全通系统是指系统对所有频率的信号都具有相同的增益和相位延迟，不对信号的频率进行衰减或增强。

全通系统能够保持输入信号的各个频率成分的相对比例，具有较好的频率响应特性。

2.3、低通系统：低通系统是指系统只允许低于一定频率的信号通过，而高于该频率的信号则被衰减或阻塞。

低通系统广泛应用于滤波器和调制解调器中，用于去除高频噪声和保留低频信号。

2.4、高通系统：高通系统是指系统只允许高于一定频率的信号通过，而低于该频率的信号则被衰减或阻塞。

高通系统在通信系统和音频处理中具有重要应用，用于去除低频噪声和保留高频信号。

线性时不变系统的叠加性的含义及意义线性时不变（LTI）系统是一种可以表示现实物理系统的有效方法，广泛应用于各种工程领域。

其中，叠加性是LTI系统的一种重要性质，是分析和理解LTI系统的重要基础。

本文旨在回顾线性时不变系统的叠加性的定义，探讨其含义及意义，以及它是如何影响系统响应的。

首先，让我们回顾线性时不变系统的叠加性的定义。

叠加性是指LTI系统的输入和输出响应之间的一种关系，它基本上是：如果系统同时受到多个输入，那么系统将产生多个输出，其结果就是输出的总和，等于多个输入响应的总和。

即：出=∑(输入响应)从简单的角度来看，叠加性意味着系统在多输入情况下，输出结果不会受到多个输入信号的相互影响。

这是因为系统的输入和输出信号之间存在着线性关系，因此输出信号的总和与多个输入信号的总和相等，而不会受到其中的任何一个输入信号的影响。

叠加性也为许多器件的设计提供了基础。

比如放大器，它能够以线性的方式将其输入信号叠加并输出放大后的信号，以将输入信号的信号强度提高。

而电路设计中另一个重要的方面滤波器，也使用叠加性来使衰减信号。

因为加法性的叠加性，滤波器能够以线性的方式减弱或“抑制”掉不需要的频率，从而让信号中只留下我们需要的频率。

另外，由于LTI系统的广泛应用，叠加性也可以用于系统建模及状态估计。

由于LTI系统的叠加性假设，可以对不同输入信号模型进行分析，而不必考虑其相互影响，从而使系统建模变得简单，这也就为时变系统的模型预测及状态估计提供了可能性。

从以上可见，叠加性作为LTI系统的重要性质，在许多工程技术中有着广泛的应用：用于放大器的线性叠加提高了信号强度；用于滤波器的线性叠加可以减弱不需要的频率；此外，还可用于系统建模及状态估计。

就简单的理解来说，叠加性是指多个输入信号的总和和输出信号的总和之间没有相互影响的现象，输出结果只受到单独输入信号的影响。

可以总结出，线性时不变系统的叠加性是LTI系统的重要性质，其定义是指：如果系统同时受到多个输入，那么系统的总输出结果将是多个输入的总和，不受其中任何一个输入的影响。

线性时不变系统主要内容线性系统12时不变系统线性时不变系统3满足叠加、比例(齐次、均匀)性(1) 分解性线性系统的三个条件：系统响应可分解为：零输入响应+零状态响应y (t )=y zi (t )+y zs (t )(2)零输入线性(3)零状态线性线性系统的定义：y zi (t )是零输入响应，y zs (t )是零状态响应1、线性系统(2)零输入线性叠加性与比例性。

输入为零时，由各初始状态{x 1(0),x 2(0), ⋅⋅⋅,x n (0)}引起的响应满足则nk =1∑a k x k (0) 若x k (0) →y zik (t )(k =1~n )n ∑→a k y zik (t )k =1零输入响应满足叠加、比例(齐次、均匀)性(3) 零状态线性初始状态为零时，由各激励f 1(t )、f 2(t )、⋅⋅⋅、f m (t ) 引起的响应具有叠加性与比例性（均匀性）。

若f k (t ) →y zsk (t )则m∑b k f k (t ) →k =1m ∑b k y zsk (t ) k =1零状态响应满足叠加、比例(齐次、均匀)性(k =1~m )y (t )=2+4f (t )例讨论具有如下输入、输出关系的系统是否线性。

解f 2 (t ) →y 2(t )= 2+4f 2(t )f 1 (t ) +f 2(t ) →不满足零输入线性，是非线性系统。

2+4[f 1 (t )+ f 2(t )]≠y 1 (t )+ y 2(t )=4+4[f 1 (t )+ f 2(t )]f 1 (t ) →y 1(t )= 2+4f 1(t)y (t )=2+4f (t )=y zi (t )+y zs (t )在初始状态相同的情况下，系统响应与激励加入的时刻无关。

系统参数不随时间变化的系统，也称非时变系统、常参系{x 1(0),x 2(0), ⋅⋅⋅,x n (0)}{x 1(t 0)= x 1(0),x 2(t 0)=x 2(0), ⋅⋅⋅,}f (t −t 0)→y (t −t 0)f (t )→y (t )时不变系统定义统，定常系统等；系统参数随时间变化的是时变系统，也称变参系统。