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第九章 系统的状态变量分析

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系统的状态变量分析

系统的状态变量分析

Chap.9 系统的状态变量分析1.系统状态及状态方程的基本概念2. 信号流图signal flow graph信号流图的代数运算1. 只有一个输入支路的结点值等于输入信号乘以支路增益。

3. 并联支路的合并：并联支路的总增益等于所有各支路增益之和（并联相加）。

2. 串联支路的合并：串联支路的总增益等于所有各支路增益的乘积（串联相乘）。

x 3信号流图的代数运算（续）4.结点的吸收和变换：输出结点可以消掉，混合结点也可以通过增加一个具有单位传输的支路变为输出结点。

5. 环路吸收：带有环路系统的总增益等于断开环路后所有输入输出支路增益乘积除以因式（1-环路增益）。

信号流图简化步骤环路吸收，去掉结点1X 例2结点吸收环路吸收信号流图简化步骤（续）环路吸收，去掉结点闭环4X 结点吸收，去掉结点4X信号流图简化步骤（续）442233221432443322432133222244444321332243211)1)(1(1)1)(1(G H G H G H G H G H H H G H G H G H H H H H H G H G G H H G H G H H H G H G H G H H H H H ++++++=++−−−−++=得到系统函数并联相加环路吸收)()(14422332214324433224321G H G H G H G H G H H H G H G H G H H H H H H ++++++=对于例2, 用梅森公式求系统的转移函数。

求信号流图的特征行列式△△=1+(H 2G 2+ H 3G 3+ H 4G 4+H 2H 3H 4G 1)+(H 2G 2H 3G 3+ H 2G 2H 4G 4)系统具有4个环路，分别为：L1=（X 1→X 2→X 1）=-H 2G 2L2= （X 3→X 4→X 3）=-H 3G 3L3= （X 4→Y →X 4）=-H 4G 4L4= （X 1→X 2→X 3→X 4→Y →X 1）=-H 2H 3H 4G 1互不接触环路为：L1和L2, L1和L3前向通路只有一条：g1=H 1H 2H 3H 4，其特征行列式的余子式△1为△1=1 –0 + 0 -……22)()0t e b)(t e i βp 1i α−1)(t r i p α+321===λλλ&&&321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡λλλ&&&。

系统的状态变量分析法

系统的状态变量分析法

出
状
方
态
程
方
程
9-1 连续系统状态空间方程建立
一、引例 t<0，K在2；t=0，K从2打到1。求t>0时，电压uR和uL。
（
状
态
方
程
）
（ 输 出
uR t Ri(t)
方 程
uL t Ri(t) uc (t) us (t)
）
状态方程和输出方程通称为
状态空间方程
uc(t)和i(t)称为状态变量
说明：同一系统函数或微分方程，可以有不同的模拟图或信号流图，所以 可以得到不同的状态方程和输出方程，但特征根相同，同一系统，它的系 统矩阵A相似。
练习1：列写状态方程和输出方程，已知系统函数为
状态变量：选积分器输出。
练习2：已知系统函数，用级联型信号流图列写状态方程和 输出方程
状态变量：选积分器输出。来自3、系统函数矩阵与单位冲激响应矩阵 1）系统函数矩阵
2）单位冲激响应矩阵： 3）系统自然频率：
意义：第j个激励单独作用时 与所产生的第i个响应之间的 关系。
3、状态方程：描述系统状态变量和激励与状态变量一阶导数关系 的微分方程组。
4、输出方程：描述系统状态变量和激励与输出响应关系的代数方程组。 5、状态向量：由状态变量做分量所构成的向量。（n维） 6、状态空间：状态变量所有取值的集合。即状态向量所在的空间。 7、状态轨迹：在状态空间中状态向量端点随时间变化所形成的轨迹。
（2）便捷的运用到多输入多输出系统； （3）可以分析系统的“可观测性”和“可控制性”； （4）可以描述非线性系统和时变系统； （5）便于计算机求解（一阶微分方程、差分方程）。
4、分析方法：状态变量法
以系统内部的状

第9章系统的状态变量分析

第9章系统的状态变量分析
状态变量法不仅关心输入和输出间的关系，而且可提供系 统内部各变量的情况。它是用两组方程来描述系统，即： （1）状态方程，它描述了系统内部状态变量与激励之间的关 系。对于线性时不变系统是一阶常系数微分方程组（连续系统） 和一阶差分方程组（离散系统）； （2）输出方程，它描述了系统的响应与状态变量和激励的关 系，输出方程通常是代数方程。因而特别适用于多输入、多输 出系统。它不仅适用于线性时不变系统，也便于推广应用于时 变系统和非线性系统。
(9.1-1)
式中 a ij，bij 是由系统参数组成的系数。对于线性非时变系统，
它们都是常数。
用矩阵形式表达为 x(t) Ax(t) Bf (t)
式中
def
x(t) x1(t)
def
x(t) x1(t)
def
f (t) f1(t)
x2 (t) xn (t)T x2 (t) xn (t)T f2 (t) fn (t)T
(9.1-2)
a11
A
a21
an1
a12 a1n
a22
a2n
(9.1-3)
an2
ann
b11
B
b21
bn1
b12 b1p
b22
b2 p (9.1-4)
bn2 bnp
分别为系数矩阵，对于线性非时变系统，它们都是常量矩阵， 其中A为n×n方阵，常称为系统矩阵，B为n×n矩阵，常称为
第9章 系统的状态变量分析
9.1 系统状态方程与输出方程 9.2 状态方程、输出方程的时域求解方法 9.3 状态方程、输出方程的变换求解方法
9 .1 系统状态方程与输出方程
9.1.1 状态变量与状态方程的基本概念 9.1.2 状态方程、输出方程的建立方法 9.1.3 系统的可控性和可观察性

[工学]系统的状态变量分析法

[工学]系统的状态变量分析法

前向通路的增益 : g1 H1H2H3
由于所有环路都与该条 前向通路接触
H1(s) g111
H1H2H3
1[H1H2G1 H2H3G3 H3G2 H1H2H3G1G2]
§9.4连续时间系统状态方程的建立
状态方程的建立方法
直接编写法
直观编写 网络拓扑分析编写 系统编写（借助计算机自动编写）
+


e(t-)
I1 L
uL I2
UR
ห้องสมุดไป่ตู้
I 2 (s) [uL (s) uR (s)]c2 s
uR (s) RI2 (s)
E(s)
I1(s)
uL (s)
I2 (s)
uR (s)
R(s)
c1s
Ls
c2s
R
1
c1s ls c2s
H (s) 1

k
Tk k
1 (Lc1s 2 Lc2 s 2 Rc2 s) Lc1c2 Rs 3
a
nn

x
n

b n1
b12 . b1n f1
b 22
.
b
2p

f
2

. . . .
bn2
.
b
2p

f
p

n p
y1 c11 c12 .
y .
2


c 21 .
c 22 .
. .
yq
cq1

1RL
C
1 L 0

iL (t) vC (t)

第九章 系统的状态变量分析

第九章 系统的状态变量分析
解：对于连续系统，通常用积分器来模拟
b0 bm 1 bm b1 n m 1 ... n 1 n nm s s s H (s) s an 1 an a1 a2 1 ( 2 ... n 1 n ) s s s s
分母的实现：分母可以看成是n个环路组成的，且环路是相互接触的 分子的实现：分子可以看成是m+1条前向通路构成的增益之和，并且没有 与第k（k=1，2，…，m+1）条前向通路不接触的环路
9.2 系统模拟
二、级联实现（2）
实现步骤
H(s)（或H(z)）分解为几个较简单的子系统函数Hi(s)（或Hi(z)）的乘积。 注意：将H(s)（或H(z)）的分母多项式分解为一些一次因式和二次因式 的乘积时，这些因式的系数必须是实数。 画出每一个子系统的信号流图； 将所有子系统的信号流图级联，获得系统级联形式的信号流图； 根据系统级联形式的信号流图，画出系统级联形式的模拟框图。
1）找环路，计算 环路L1=(X1X2X1)=H2G2 环路L2=(X3X4X3)=H3G3 环路L3=(X4YX4)=H4G4
环路L4=(X1X2X3X4YX1)=H2H3H4G1
中国民航大学 CAUC
9.1
系统的信号流图
二、梅森公式（3）
[例] 利用梅森公式求图示系统的转移函数。
9.1
二、梅森公式（6）
系统的信号流图
[例] 利用梅森公式求图示前向通路 第2条：XX1X3X4Y 2）找前向通路，计算gk、k g2=H1H6H4H5 前向通路共有三条 2=1 第1条：XX1X2X3X4Y 第3条：XX1X2Y g1=H1H2H3H4H5 1=1
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9.1
系统的信号流图

第9章 系统的状态变量分析

第9章 系统的状态变量分析
I L max
i L t
即可完全
此方法称为状态变量或状态空间分析法； 为状态变量。 O 1 0 v C t
E
t
O i L t
t
则
I L max
t0 t 1
E
t0
v C t
0
四、名词定义
状态：表示动态系统的一组最少变量（被称为状态 变量），只要知道 时这组变量和 时的输 入，那么就能完全确定系统在任何时间 的行为。 状态变量：能够表示系统状态的那些变量成为状态 变量。例如上例中的 。
1
-G 3
X5 X4 H4 -G 4
1
X3
H3
Y
解（1）消去X1，X1结点有三个输入信号
-G1 H 2
H1 H 2
X
1
-G 3
X5 X4 H4 -G 4
1
X2 -G2 H 2
X3
H3
Y
（2）消去X2，这个结点有二个输入信号和一个环路。有二种
方法。第一种方法：把所有输入支路增益除以（1+G2H2）
状态矢量：能够完全描述一个系统行为的k个状态变 量，可以看作矢量 的各个分量的坐标。 称为 状态矢量。 状态空间：状态矢量 所在的空间。
状态轨迹：在状态空间中状态矢量端点随时间变化 而描出的路径称为状态轨迹。
五、状态变量分析法的优点
（1）便于研究系统内部的一些物理量在信号转换过程中的变化。 它们用状态矢量分量表示。 （2）系统的状态变量分析法与系统的复杂程度没有关系， 复杂系统和简单系统的数学模型形式相似，都表示为一 些状态变量的线性组合，这种以矢量和矩阵表示的数学 模型特别适用于描述多输入-多输出系统。 （3）状态变量分析法也适用于非线性或时变系统。 （4）状态方程的主要参数表征系统的关键性能。利用状态方程 分析系统的稳定性比较方便。

信号与系统-第九章-线性系统的状态变量分析


d1m e1 d 2 m e2 d rm em
(9---11b)
y=Cx+De
若只需 R2上的电压作为输出，则 y5(t)=R2x2 其矩阵形式为
(9---14)
y5 0
式中 C=[ 0 R2 0 ]，
x'
输出方程
A
0 x1 0 x 2 x3
x D=[0]
x
B
e
y 1
y
C
9.3---2 由转移函数和模拟框图建立状态方程
1. 由级联模拟图建立状态方程
设
d3y d2y dy de 8 2 19 12 y 4 10e 3 dt dt dt dt
Ll L2 + C1+ _ C2 _ +u L1 _ C3 L2 L3
C2 +
iL
uC
_
C1 C2
uC1 u C3
iL 1
iL 3
iL 2
(a)一独立电流
(b)一独立电压
(c) 二独立电压
(d) 二独立电流
网络的复杂度 n=b l c-n c-n l 节点 式中 b l c 为网络中储能元件 L、C 的总数； n c 为仅由电容或电容和电压源组成的独立回路的总数； n l 为仅由电感或电感和电流源组成的独立割集的总数。
R
+ + _ uc(t) _
n 最小
il(t)
+
例：uc(t)和i l(t)为已知，则uR(t)=Ri l(t); ul(t)=uc(t) - Ril(t); 可确定uR(t)和u l(t)的值。 又如 ul(t) 和 i1(t) 为已知，则

系统的状态变量分析共37页

14
例1 写出图示电路的状态方程和输出方程。
R1
x2(t) L
+
+ f (t)

i1(t)
+
x1(t)
C

i2(t)
R2 y(t)

解： 选择电容的电压x1(t)和电感的电流x2(t)作为系 统的状态变量。
回路电流和状态变量的关系为
x2(t)i2(t)
C x 1(t)i1(t)i2(t)
15


y

x
2

x 3


0
0
3
0


x
2



1

f
0 4 x 3 1
x1
y0.511.5
x
2

x 3
28
离散时间系统状态方程的建立
由模拟框图建立状态方程 由差分方程或系统函数建立状态方程
s1 2
x2 s1 2.5


的矩阵表示式为
2
3
s1 x3 y

4
x 1 2

x
2



2
x 3 2
0 0 x1
3
0


x
2

0.5 4 x 3
0


0

f
1
x1
x[k1]A[xk]B[fk] y[k]C[xk]D[fk]
9
二、离散时间系统状态方程的一般形式
x[k1]A[xk]B[fk] y[k]C[xk]D[fk]

信号与系统课件：系统的状态变量分析

状态变量，得到状态方程为
输出方程为
系统的状态变量分析 写成矩阵形式，状态方程和输出方程分别为
系统的状态变量分析
2. 并联模拟 由式(7. 2－15b )，系统函数可写为
系统的状态变量分析 即可用 3 个简单的子系统的并联来表示。其中每个简 单子系统的系统函数为
其模拟框图如图 7.2－4 所示。
系统的状态变量分析
(1)可以有效地提供系统内部的信息，使人们能够较为 容易地解决那些与系统内部情况有关的分析设计问题。
(2)状态变量描述法不仅适用于线性非时变的单输入单 输出系统特性的描述，也适用于非线性时变多输入多输出系 统特性的描述。
(3)描述方法规律性强，便于应用计算机技术解决复杂 系统的分析设计问题。
系统的状态变量分析 【例 7.2－1 】 电路如图 7. 2 1 所示，激励为 u s ( t )，
响应为 i (t )，试写出其状态方程和输出方程。
图 7.2－1 例 7. 2－1 用图
系统的状态变量分析
系统的状态变量分析
将式(7. 2－2 )中状态变量的一阶导数放在等式左端，把状态 变量和激励放在等式右端，则可写成
前面几章讨论的分析方法属于输入 输出描述法( Input-OutputDescription )，又称端口分析法，也称外部法。 它主要关心的是系统的激励与响应之间的关系，而不直接涉 及系统的内部情况。这种分析法对于较为简单系统的分析是 合适的。其相应的数学模型是 n 阶微分(或差分)方程。
系统的状态变量分析
系统的状态变量分析 将式(7. 2－12 )最高阶导数项留在等式左边，其余各项移到 等式右边，代入状态变量符号，得
于是，写出其状态方程和输出方程为
系统的状态变量分析 写成矩阵形式，状态方程为

系统的状态变量分析


第7-9页
H 1
k
gk k
1
H1H
2
H
3
H
4
9
桂林电子科技大学信息工程教研室
信号与系统分析
7.1 系统的信号流图
三、系统的信号流图模拟
1.直接型（正则型）
以连续系统为例，设
H
s
bmsm bm1sm1 ... b0 sn an1sn1 ... a0
（m≤n）
将之变为： H s bmsnm bm1snm1 ... b0sn
（2）节点：表示信号或变量的圆点，具有加法器的功能
共有三类节点：
源点：只有输出支路的节点，通常对应系统的
输入信号；
阱点：只有输入支路的节点，通常对应系统的
输出信号；
混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。
4
第7-4页
桂林电子科技大学信息工程教研室
信号与系统分析
7.1 系统的信号流图
（3）通路与开通路：沿箭头方向所经过的支路组成的路 径称为通路；与通路上任意节点相交不多于一次的通路 称为开通路；
信号与系统分析
第七章
7.1 系统的信号流图
一、信号流图 二、梅森公式 三、系统信号流图模拟
7.2 系统的状态方程和输出方程
一、状态和状态变量 二、连续系统的状态方程和输出方程 三、离散系统的状态方程和输出方程
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1
第7-1页
桂林电子科技大学信息工程教研室
信号与系统分析
7.1 系统的信号流图
7.1 系统的信号流图
一、信号流图---模拟框图的简化表示
1、信号流图：对系统s域或z域模拟框图的简化，具体 说来，就是用有向线段表示信号的传输路径，有向线段 起点和终点表示信号，起点信号与终点信号之间的转移 关系（传输函数）标于线段的上方，加法器用节点表示。 比如，下图（a）所示的模拟框图经简化后得到的流图 如图（b）所示。
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解：对于连续系统，通常用积分器来模拟
b0 bm-1 bm b1 n -m 1 ... n -1 n n-m s s s H ( s) s an -1 an a a2 1 - (- 1 - 2 - ... - n -1 - n ) s s s s
分母的实现：分母可以看成是n个环路组成的，且环路是相互接触的 分子的实现：分子可以看成是m+1条前向通路构成的增益之和，并且没 有与第k（k=1，2，…，m+1）条前向通路不接触的环路
1）找环路，计算 环路L1=(X1X2X1)=-H2G2 环路L2=(X3X4X3)=-H3G3 环路L3=(X4YX4)=-H4G4
环路L4=(X1X2X3X4YX1)=-H2H3H4G1
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9.1
系统的信号流图
二、梅森公式（3）
[例] 利用梅森公式求图示系统的转移函数。
系统模拟
b2 s 2 b1s b0 ， [例] 设二阶系统的系统函数为 H ( s) 2 s a1s a0
用直接形式模拟此系统。
解：
b2 b1s -1 b0 s -2 H ( s) 1 - (-a1s -1 - a0 s -2 )
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9.2
二、直接实现（3）
系统的信号流图
二、梅森公式（4）
[例] 利用梅森公式求图示系统的转移函数。
-G1
L4 X H1 X1 H2 L1 -G2 1 X2 X3
-G3
L2 H3 X4 H4 L3 -G 4 Y
解：
关键是①找环路；②找前向通路
3）计算转移函数H
H H1H 2 H 3 H 4 1 ( H 2G2 H 3G3 H 4G4 H 2 H 3 H 4G1 ) ( H 2G2 H 3G3 H 2G2 H 4G4 )
X1 H24 H14 X4 H46 X6 X5
X4=H14X1+H24X2-H34X3 X5=H45X4 X6=H46X4
H45
X2 X3
-H34
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9.1
二、梅森公式（1）
系统的信号流图
利用梅森公式可以根据信号流图很方便求得输入输出间的系统函数
1 H gk k k
系统模拟
2s -2 4s -3 H ( s) 1 - (-3s -1 - 5s -2 - 3s -3 )
2 s-1 4
s-1 -5 -3
R(s)
-3
2 + 4 S + + R(s)
E(s)
S
-
s-1 3
·
s-1
·
s-1
·
5 3
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9.2
二、级联实现（1）
系统模拟
将系统函数H(s)或H(z)分解为几个较简单的子系统函数的 乘积，其中每一个子系统Hi(s)或Hi(z)选用一阶或二阶函数， 并用直接形式实现各子系统。
相接触的子图的特征行列式
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9.1
二、梅森公式（2）
系统的信号流图
-G1
L4
[例] 利用梅森公式求图示系统的转移函数。
-G3
L2 X3 H3 X4 H4 L3 -G 4 Y
X
H1 X1
H2 L1 -G2
1 X2
解：
关键是①找环路；②找前向通路 L1和L2、L1和L3为不接触环路 =1+(H2G2+H3G3+H4G4+H2H3H4G1) +(H2G2H3G3+H2G2H4G4)
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g3=H1H2H7 3=1+H4G1
9.1
系统的信号流图
二、梅森公式（7）
[例] 利用梅森公式求图示系统的转移函数。
H7 H6 H1 X1 H2 X2 H3 X3 H4 X4 H5
X
Y
-G1 -G 2
解：
关键是①找环路；②找前向通路
3）计算转移函数H
H1H 2 H 3 H 4 H 5 H1H 6 H 4 H 5 H1H 2 H 7 (1 H 4G1 ) H 1 H 4G1 H 2 H 7G2 H 4 H 5 H 6G2 H 2 H 3 H 4 H 5G2 H 2 H 4 H 7G1G2
是不接触环路）
通路（开通路或环路）增益：通路中各支路增益的乘积 前向通路：从输入结点到输出结点的开通路。（X1X2X3路增益：前向通路中，各支路增益的乘积
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9.1
系统的信号流图
信号流图的基本性质
一、信号流图基本概念（7）
信号只能沿支路箭头方向传输，支路的输出是该支路输入与 支路增益的乘积。 当结点有多个输入时，该结点将所有输入支路的信号相加， 并将和信号传输给所有与该结点相连的输出支路。
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9.1
二、梅森公式（5）
系统的信号流图
7
[例] 利用梅森公式求图示系统的转移函数。 H
H6 H1 X1 H2 X2 H3 X3 H4
X
H5 X4
Y
-G1 -G 2
解：
关键是①找环路；②找前向通路 L1和L2为不接触环路
=1+(H4G1+H2H7G2+H4H5H6G2+H2H3H4H5G2) +(H2H4H7G1G2)
9.1
系统的信号流图
信号流图的一些术语
d
一、信号流图基本概念（5）
X1
1 X2
a e f X3
b X4
c g X5
通路：从任一结点出发，沿着支路箭头方向连续经过各相连的不同的支
路和结点到达另一结点的路径。
开通路：该通路与任一结点相遇不多于一次。（X1X2X3X4X5，
X4X2X3）
-G1
L4 X H1 X1 H2 L1 -G2 1 X2 X3
-G3
L2 H3 X4 H4 L3 -G 4 Y
解：
关键是①找环路；②找前向通路 前向通路只有一条：XX1X2X3X4Y g1=H1H2H3H4
2）找前向通路，计算gk、k
1=1-0+0-…=1
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9.1
Signals and Systems
信号与系统
倪育德
中国民航大学
Signals and Systems
第9章
9.1
9.2 9.3 9.4
系统的状态变量分析
系统的信号流图
系统模拟 系统状态方程的建立 系统状态方程的求解
9.1
系统的信号流图
一、信号流图基本概念（1）
系统的信号流图表示就是用一些点和支路来描述系统。
中国民航大学 CAUC
9.1
系统的信号流图
信号流图的一些术语
d
一、信号流图基本概念（4）
X1
1 X2
a e f X3
b X4
c g X5
支路：连接两个结点之间的有向线段。（X1X2，X3X4）
系统函数：每条支路的权值（支路增益）就是该两结点 间的系统函数（转移函数）。
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系统模拟
2s 4 ， 3 2 s 3s 5s 3
[例] 某系统的系统函数为 H ( s ) 用直接形式模拟此系统。
解：
2s -2 4s -3 H ( s) 1 - (-3s -1 - 5s -2 - 3s -3 )
中国民航大学 CAUC
9.2
二、直接实现（5）
E(s) 1 s-1
b0 b1 b1s b0 s H (s) s a0 1 - (- a0 ) s b
1
X(s)
1
1/s X1(s) b0 X2(s)
1
Y(s)
-a0
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9.2
一、概述
系统模拟
系统模拟（或仿真）是根据被模拟系统（它可能已知，也 可能正在设计中）的具体情况，求得一个模拟系统，使它与 被模拟系统具有相同的数学模型，因而它们的输入输出关系 也相同。系统模拟是数学意义上的模拟。 系统模拟常通过系统函数进行 直接形式 级联形式 并联形式
由麻省理工学院的梅森（Mason）于20世纪50年代初首先提
出。
H(s) E(s) H(s) R(s) E(s) R(s)
H(z) X(z) H(z) 方框图 Y(z) X(z) 信号流图 Y(z)
R(s)=E(s)H(s) Y(z)=X(z)H(z)
H(s)或H(z)标记在线段的一侧。 每一条支路相当于标量乘法器。
b0 bm-2 bm-1
X
1
1/s
X1 1/s
X2
Xn-m
Xn-2
1/s Xn-1
1/s Xn
bm
Y
-a1 -a2 -an-m -an-2 -an-1
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-an
9.1
系统的信号流图
二、梅森公式（10）
[例] 若系统的激励和响应分别为x(t)和y(t)，其数学模型以如下 的一阶微分方程描述，画出它的信号流图。 d d y (t ) a0 y (t ) b1 x(t ) b0 x(t ) dt dt 解：
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9.2
二、直接实现（1）
系统模拟
由系统函数，直接利用梅森公式画出信号流图，来模拟实 现系统。 实现步骤 利用梅森公式画出信号流图； 由流图画出系统的模拟框图。 特点 实现过程简单； 当调节某个参数时，所有的零点或极点位置都将变动。
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9.2
二、直接实现（2）
H－系统函数 －流图的特征行列式 =1-（所有不同环路的增益之和）+（每两个互不接触的环路增益 乘积之和）-（每三个互不接触的环路增益乘积之和）+… k－由源点到汇点之间第k条前向通路的标号 gk－由源点到汇点之间第k条前向通路的增益 k－第k条前向通路特征行列式的余子式，它是与第k条前向通路不