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第九章 系统的状态变量分析

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系统的状态变量分析

系统的状态变量分析

Chap.9 系统的状态变量分析1.系统状态及状态方程的基本概念2. 信号流图signal flow graph信号流图的代数运算1. 只有一个输入支路的结点值等于输入信号乘以支路增益。

3. 并联支路的合并：并联支路的总增益等于所有各支路增益之和（并联相加）。

2. 串联支路的合并：串联支路的总增益等于所有各支路增益的乘积（串联相乘）。

x 3信号流图的代数运算（续）4.结点的吸收和变换：输出结点可以消掉，混合结点也可以通过增加一个具有单位传输的支路变为输出结点。

5. 环路吸收：带有环路系统的总增益等于断开环路后所有输入输出支路增益乘积除以因式（1-环路增益）。

信号流图简化步骤环路吸收，去掉结点1X 例2结点吸收环路吸收信号流图简化步骤（续）环路吸收，去掉结点闭环4X 结点吸收，去掉结点4X信号流图简化步骤（续）442233221432443322432133222244444321332243211)1)(1(1)1)(1(G H G H G H G H G H H H G H G H G H H H H H H G H G G H H G H G H H H G H G H G H H H H H ++++++=++−−−−++=得到系统函数并联相加环路吸收)()(14422332214324433224321G H G H G H G H G H H H G H G H G H H H H H H ++++++=对于例2, 用梅森公式求系统的转移函数。

求信号流图的特征行列式△△=1+(H 2G 2+ H 3G 3+ H 4G 4+H 2H 3H 4G 1)+(H 2G 2H 3G 3+ H 2G 2H 4G 4)系统具有4个环路，分别为：L1=（X 1→X 2→X 1）=-H 2G 2L2= （X 3→X 4→X 3）=-H 3G 3L3= （X 4→Y →X 4）=-H 4G 4L4= （X 1→X 2→X 3→X 4→Y →X 1）=-H 2H 3H 4G 1互不接触环路为：L1和L2, L1和L3前向通路只有一条：g1=H 1H 2H 3H 4，其特征行列式的余子式△1为△1=1 –0 + 0 -……22)()0t e b)(t e i βp 1i α−1)(t r i p α+321===λλλ&&&321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡λλλ&&&。

系统的状态变量分析法

系统的状态变量分析法

出
状
方
态
程
方
程
9-1 连续系统状态空间方程建立
一、引例 t<0，K在2；t=0，K从2打到1。求t>0时，电压uR和uL。
（
状
态
方
程
）
（ 输 出
uR t Ri(t)
方 程
uL t Ri(t) uc (t) us (t)
）
状态方程和输出方程通称为
状态空间方程
uc(t)和i(t)称为状态变量
说明：同一系统函数或微分方程，可以有不同的模拟图或信号流图，所以 可以得到不同的状态方程和输出方程，但特征根相同，同一系统，它的系 统矩阵A相似。
练习1：列写状态方程和输出方程，已知系统函数为
状态变量：选积分器输出。
练习2：已知系统函数，用级联型信号流图列写状态方程和 输出方程
状态变量：选积分器输出。来自3、系统函数矩阵与单位冲激响应矩阵 1）系统函数矩阵
2）单位冲激响应矩阵： 3）系统自然频率：
意义：第j个激励单独作用时 与所产生的第i个响应之间的 关系。
3、状态方程：描述系统状态变量和激励与状态变量一阶导数关系 的微分方程组。
4、输出方程：描述系统状态变量和激励与输出响应关系的代数方程组。 5、状态向量：由状态变量做分量所构成的向量。（n维） 6、状态空间：状态变量所有取值的集合。即状态向量所在的空间。 7、状态轨迹：在状态空间中状态向量端点随时间变化所形成的轨迹。
（2）便捷的运用到多输入多输出系统； （3）可以分析系统的“可观测性”和“可控制性”； （4）可以描述非线性系统和时变系统； （5）便于计算机求解（一阶微分方程、差分方程）。
4、分析方法：状态变量法
以系统内部的状

第9章系统的状态变量分析

第9章系统的状态变量分析
状态变量法不仅关心输入和输出间的关系，而且可提供系 统内部各变量的情况。它是用两组方程来描述系统，即： （1）状态方程，它描述了系统内部状态变量与激励之间的关 系。对于线性时不变系统是一阶常系数微分方程组（连续系统） 和一阶差分方程组（离散系统）； （2）输出方程，它描述了系统的响应与状态变量和激励的关 系，输出方程通常是代数方程。因而特别适用于多输入、多输 出系统。它不仅适用于线性时不变系统，也便于推广应用于时 变系统和非线性系统。
(9.1-1)
式中 a ij，bij 是由系统参数组成的系数。对于线性非时变系统，
它们都是常数。
用矩阵形式表达为 x(t) Ax(t) Bf (t)
式中
def
x(t) x1(t)
def
x(t) x1(t)
def
f (t) f1(t)
x2 (t) xn (t)T x2 (t) xn (t)T f2 (t) fn (t)T
(9.1-2)
a11
A
a21
an1
a12 a1n
a22
a2n
(9.1-3)
an2
ann
b11
B
b21
bn1
b12 b1p
b22
b2 p (9.1-4)
bn2 bnp
分别为系数矩阵，对于线性非时变系统，它们都是常量矩阵， 其中A为n×n方阵，常称为系统矩阵，B为n×n矩阵，常称为
第9章 系统的状态变量分析
9.1 系统状态方程与输出方程 9.2 状态方程、输出方程的时域求解方法 9.3 状态方程、输出方程的变换求解方法
9 .1 系统状态方程与输出方程
9.1.1 状态变量与状态方程的基本概念 9.1.2 状态方程、输出方程的建立方法 9.1.3 系统的可控性和可观察性

信号与系统第9章系统的状态变量分析法

信号与系统第9章系统的状态变量分析法
0
1
C
vC
(t)
0
1
0 R2
iL1 iL2
(t ) (t)
L1 0
L2
0
0
e1 e2
(t) (t)
1
L2
（9.1-5）
v(t) 0 iC (t) 0
0 1
R2 1
vC iL1 iL2
(t) (t) (t)
0 0
1 e1(t)
0
e2
(t
)
（9.1-6）
第9章 系统的状态变量分析法
9.1.2 连续系统的状态方程和输出方程
对于一个 n 阶多输入/多输出的连续时间系统，其状态方程和输出 方程的一般形式可以表示为
状
d1(t)
dt
f1 1(t), 2 (t),
, n (t); e1(t), e2 (t),
, em (t), t
态 方
d2 (t) dt
dvC
(t
)
dt
1 C
iL1
(t)
1 C
iL2
(t)
diL1 (t dt
)
1 L1
vC
(t)
R1 L1
iL1
(t)
1 L1
e1 (t )
diL2
(t
)
dt
1 L2
vC (t)
R2 L2
iL2
(t)
1 L2
e2 (t)
（9.1-3）
第9章 系统的状态变量分析法
式（9.1-3）是由三个内部变量 vC (t) 、 iL1 (t) 和 iL2 (t) 构成的一阶微分联立方程组。由微分方程理论 可知，如果这三个变量在初始时刻 t t0 的值 vC (t0 ) 、iL1 (t0 ) 和 iL2 (t0 ) 已知，那么根据 t t0 时的激励 e1(t) 和 e2 (t) ，就可以唯一地确定该一阶微分方程组在 t t0 时的解 vC (t) 、iL1 (t) 和 iL2 (t) 。这样，系统的输出 v(t) 和 iC (t) 就可以很容易通过这三个内部变量 vC (t) 、 iL1 (t) 、 iL2 (t) 和系统的激励 e1(t) 、 e2 (t) 求出，此时

[工学]系统的状态变量分析法

[工学]系统的状态变量分析法

前向通路的增益 : g1 H1H2H3
由于所有环路都与该条 前向通路接触
H1(s) g111
H1H2H3
1[H1H2G1 H2H3G3 H3G2 H1H2H3G1G2]
§9.4连续时间系统状态方程的建立
状态方程的建立方法
直接编写法
直观编写 网络拓扑分析编写 系统编写（借助计算机自动编写）
+


e(t-)
I1 L
uL I2
UR
ห้องสมุดไป่ตู้
I 2 (s) [uL (s) uR (s)]c2 s
uR (s) RI2 (s)
E(s)
I1(s)
uL (s)
I2 (s)
uR (s)
R(s)
c1s
Ls
c2s
R
1
c1s ls c2s
H (s) 1

k
Tk k
1 (Lc1s 2 Lc2 s 2 Rc2 s) Lc1c2 Rs 3
a
nn

x
n

b n1
b12 . b1n f1
b 22
.
b
2p

f
2

. . . .
bn2
.
b
2p

f
p

n p
y1 c11 c12 .
y .
2


c 21 .
c 22 .
. .
yq
cq1

1RL
C
1 L 0

iL (t) vC (t)

信号与系统分析第9章 线性系统的状态变量分析

信号与系统分析第9章 线性系统的状态变量分析

设iL 0 0, vC 0 0,
et Eut , R 2 L
则
C
i
L
t
E L
te0t
vC t E 1 e 0t 0t 1
0
1 LC
iL t
I Lmax
O 1 0
t
vC t
E
O
t
iL t
I Lmax t0
t 0 t 1 0
E vC t
用状态变量分析系统的优点:
... bn 2
... ... ...
...
bnm
f
m
•
x Ax Bf
3．输出方程
y1 c11 c12 ... c1n x1 d11 d12 ... d1m f1
y2
c21
c22
...
c2n
x2
d21
d22
...
d2m
f2
... .... ... ... ... ... .... ... ... ... ...
(1)提供了系统的内部特性以供研究； (2)一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行
数值计算； (3)便于分析多输入－多输出系统； (4)容易推广应用于时变系统或非线性系统；
(5)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。
9.2 连续时间系统状态方程的建立
1．状态变量的选取
对于一个电路,选择状态变量最常用的方 法时取全部独立的电感电流和独立的电 容电压. 状态变量的个数,等于系统的阶数.
3．状态方程的矢量表示
•
x1
a11
a12
...
a1n x1 b11
b12
... b1m f1

第九章 系统的状态变量分析

第九章 系统的状态变量分析
解：对于连续系统，通常用积分器来模拟
b0 bm 1 bm b1 n m 1 ... n 1 n nm s s s H (s) s an 1 an a1 a2 1 ( 2 ... n 1 n ) s s s s
分母的实现：分母可以看成是n个环路组成的，且环路是相互接触的 分子的实现：分子可以看成是m+1条前向通路构成的增益之和，并且没有 与第k（k=1，2，…，m+1）条前向通路不接触的环路
9.2 系统模拟
二、级联实现（2）
实现步骤
H(s)（或H(z)）分解为几个较简单的子系统函数Hi(s)（或Hi(z)）的乘积。 注意：将H(s)（或H(z)）的分母多项式分解为一些一次因式和二次因式 的乘积时，这些因式的系数必须是实数。 画出每一个子系统的信号流图； 将所有子系统的信号流图级联，获得系统级联形式的信号流图； 根据系统级联形式的信号流图，画出系统级联形式的模拟框图。
1）找环路，计算 环路L1=(X1X2X1)=H2G2 环路L2=(X3X4X3)=H3G3 环路L3=(X4YX4)=H4G4
环路L4=(X1X2X3X4YX1)=H2H3H4G1
中国民航大学 CAUC
9.1
系统的信号流图
二、梅森公式（3）
[例] 利用梅森公式求图示系统的转移函数。
9.1
二、梅森公式（6）
系统的信号流图
[例] 利用梅森公式求图示前向通路 第2条：XX1X3X4Y 2）找前向通路，计算gk、k g2=H1H6H4H5 前向通路共有三条 2=1 第1条：XX1X2X3X4Y 第3条：XX1X2Y g1=H1H2H3H4H5 1=1
中国民航大学 CAUC
9.1
系统的信号流图

第9章 系统的状态变量分析

第9章 系统的状态变量分析
I L max
i L t
即可完全
此方法称为状态变量或状态空间分析法； 为状态变量。 O 1 0 v C t
E
t
O i L t
t
则
I L max
t0 t 1
E
t0
v C t
0
四、名词定义
状态：表示动态系统的一组最少变量（被称为状态 变量），只要知道 时这组变量和 时的输 入，那么就能完全确定系统在任何时间 的行为。 状态变量：能够表示系统状态的那些变量成为状态 变量。例如上例中的 。
1
-G 3
X5 X4 H4 -G 4
1
X3
H3
Y
解（1）消去X1，X1结点有三个输入信号
-G1 H 2
H1 H 2
X
1
-G 3
X5 X4 H4 -G 4
1
X2 -G2 H 2
X3
H3
Y
（2）消去X2，这个结点有二个输入信号和一个环路。有二种
方法。第一种方法：把所有输入支路增益除以（1+G2H2）
状态矢量：能够完全描述一个系统行为的k个状态变 量，可以看作矢量 的各个分量的坐标。 称为 状态矢量。 状态空间：状态矢量 所在的空间。
状态轨迹：在状态空间中状态矢量端点随时间变化 而描出的路径称为状态轨迹。
五、状态变量分析法的优点
（1）便于研究系统内部的一些物理量在信号转换过程中的变化。 它们用状态矢量分量表示。 （2）系统的状态变量分析法与系统的复杂程度没有关系， 复杂系统和简单系统的数学模型形式相似，都表示为一 些状态变量的线性组合，这种以矢量和矩阵表示的数学 模型特别适用于描述多输入-多输出系统。 （3）状态变量分析法也适用于非线性或时变系统。 （4）状态方程的主要参数表征系统的关键性能。利用状态方程 分析系统的稳定性比较方便。

信号分析第九章 线性连续系统的状态变量分析.ppt

信号分析第九章 线性连续系统的状态变量分析.ppt
状态矢量：能够完全描述一个系统行为的k个状
态变量，可以表示为矩阵。
状态方程: 用状态变量和激励表示的一组微分方程组
输出方程: 用状态变量和激励表示的一组代数方程组
系统方程: 状态方程和输出方程的总称.
说明:
1.对于线性系统,状态方程和输出方程是状态变量和 输入信号的线性组合;
2. 若A,B,C,D矩阵中的各元素都为常数,不随时间 变化,表明系统是线性时不变的; 若A,B,C,D矩阵是 时间的函数,表明系统是线性时变的.
R L
iL
t


vC
t


1 C
iL
t

1 L
vC
t
1 L
et
写为矩阵形式：
d

dt
d
dt
iL
t



vC t

1RL C
1 L 0

iL t

vC
t



1

L
0

et


只要知道iL(t), vC (t) 的初始状态及输入 e(t)即可完全确
x
t


L1 sI A1 x 0
L1 sI A1 BF s


y

t


C1444s4I4444A2441 4x4404443
零输入解

14C444s4I444A44421 B44444D444F4(4s43)
几种注意情况：
1.几个电感串联，独立状态变量只有一个iL (t)
2.几个电容并联，独立状态变量只有一个uC (t) 3.一个闭合回路中有n个电容和m个电源， 独立电容电压变量(：n 1)个 4.一个节点有n个电感和m个电流源汇合，而无其它元件， 独立电流变量： (n 1)个

信号与系统-第九章-线性系统的状态变量分析

信号与系统-第九章-线性系统的状态变量分析

d1m e1 d 2 m e2 d rm em
(9---11b)
y=Cx+De
若只需 R2上的电压作为输出，则 y5(t)=R2x2 其矩阵形式为
(9---14)
y5 0
式中 C=[ 0 R2 0 ]，
x'
输出方程
A
0 x1 0 x 2 x3
x D=[0]
x
B
e
y 1
y
C
9.3---2 由转移函数和模拟框图建立状态方程
1. 由级联模拟图建立状态方程
设
d3y d2y dy de 8 2 19 12 y 4 10e 3 dt dt dt dt
Ll L2 + C1+ _ C2 _ +u L1 _ C3 L2 L3
C2 +
iL
uC
_
C1 C2
uC1 u C3
iL 1
iL 3
iL 2
(a)一独立电流
(b)一独立电压
(c) 二独立电压
(d) 二独立电流
网络的复杂度 n=b l c-n c-n l 节点 式中 b l c 为网络中储能元件 L、C 的总数； n c 为仅由电容或电容和电压源组成的独立回路的总数； n l 为仅由电感或电感和电流源组成的独立割集的总数。
R
+ + _ uc(t) _
n 最小
il(t)
+
例：uc(t)和i l(t)为已知，则uR(t)=Ri l(t); ul(t)=uc(t) - Ril(t); 可确定uR(t)和u l(t)的值。 又如 ul(t) 和 i1(t) 为已知，则

信号与系统课件：系统的状态变量分析

信号与系统课件：系统的状态变量分析
状态变量，得到状态方程为
输出方程为
系统的状态变量分析 写成矩阵形式，状态方程和输出方程分别为
系统的状态变量分析
2. 并联模拟 由式(7. 2－15b )，系统函数可写为
系统的状态变量分析 即可用 3 个简单的子系统的并联来表示。其中每个简 单子系统的系统函数为
其模拟框图如图 7.2－4 所示。
系统的状态变量分析
(1)可以有效地提供系统内部的信息，使人们能够较为 容易地解决那些与系统内部情况有关的分析设计问题。
(2)状态变量描述法不仅适用于线性非时变的单输入单 输出系统特性的描述，也适用于非线性时变多输入多输出系 统特性的描述。
(3)描述方法规律性强，便于应用计算机技术解决复杂 系统的分析设计问题。
系统的状态变量分析 【例 7.2－1 】 电路如图 7. 2 1 所示，激励为 u s ( t )，
响应为 i (t )，试写出其状态方程和输出方程。
图 7.2－1 例 7. 2－1 用图
系统的状态变量分析
系统的状态变量分析
将式(7. 2－2 )中状态变量的一阶导数放在等式左端，把状态 变量和激励放在等式右端，则可写成
前面几章讨论的分析方法属于输入 输出描述法( Input-OutputDescription )，又称端口分析法，也称外部法。 它主要关心的是系统的激励与响应之间的关系，而不直接涉 及系统的内部情况。这种分析法对于较为简单系统的分析是 合适的。其相应的数学模型是 n 阶微分(或差分)方程。
系统的状态变量分析
系统的状态变量分析 将式(7. 2－12 )最高阶导数项留在等式左边，其余各项移到 等式右边，代入状态变量符号，得
于是，写出其状态方程和输出方程为
系统的状态变量分析 写成矩阵形式，状态方程为

第九章 系的状态变量分析

第九章 系的状态变量分析

第九章系统的状态变量分析1、内容简介在系统的状态变量分析中，介绍了状态和状态变量的基本概念，由电路原理图建立状态方程的方法，由微分方程建立状态方程的方法，由系统模拟框图建立状态方程的方法，状态方程的时域和变换域求解，状态矢量的线性变换，系统的可控制性和可观测性的基本概念，离散系统的状态方程的建立和求解。

最后介绍了用MATLAB求解系统的状态方程。

2、学习目标1、理解系统的状态与状态空间的概念。

2、掌握连续系统由电路、微分方程、系统模拟框图和系统函数建立状态方程。

3、掌握离散系统由差分方程、系统模拟框图和系统函数建立状态方程。

4、了解状态方程求解的基本方法，能够用MATLAB求解系统的状态方程。

3、重点难点1.系统状态和状态空间的概念。

2.如何建立系统的状态方程。

4、应用利用MATLAB求解系统状态方程。

5、教案内容（1） 系统的状态变量的概念状态变量系统在时刻0t 的状态是指一组数10()x t ，20()x t ，…， 0()n x t ，不仅要求这组数的个数是最少的，而且还可由10()x t ，20()x t ，…， 0()n x t 和0t t >时系统的输入得出0t t >时所有的状态或输出。

这组变量10()x t ，20()x t ，…， 0()n x t 称为系统的状态变量。

状态空间分析法状态空间分析法不仅适用与单输入单输出系统，而且适用于多输入多输出系统的分析，它可以描述系统的外部特性，也可以描述系统的内部特性，而且能够推广到时变系统和非线性系统。

（2）系统状态方程的一般形式m 个输入p 个输出的N 阶连续时间系统的状态方程为N 个一阶微分方程组，可以用矩阵形式表示为即离散时间系统的状态方程具有与连续系统状态方程相似的形式，对于一个有m 个输入p 个输出的N 阶离散时间系统可以用N 个一阶差分方程描述，其状态方程和输出方程的一般形式为其中A ，B ，C ，D 为状态方程和输出方程的系数矩阵。

信号与系统9-1系统的状态变量分析课件

信号与系统9-1系统的状态变量分析课件

s 1
x1
b0
y(t)
x1 x2
x2 x3
x1
y(t)
y(t)
x3
(b0a2ax03b3) b0 x1 b1x2
a1bx(b221x3 aa01bbx313x)3
f(b(t2)
a2b3
)
x2
b3
x3
f
(t)
b0 x1 b1x2 b2 x3 b3[ f (t) a2 x3 a1x2 a0 x1]
状态变量描述法：是以系统内部某些变量作为状态变量，
这种描述法表达出系统的全部状态和性能，构成了对系统的 内部描述，称为内部表达法。
状态和状态变量：
对于一个动态系统，状态是表示系统的一组最少变量（被称为 状态变量），它满足两条：
只要知道t=t0时这组变量和tt0的输入函数； 决定tt0的系统的全部的其它变量。
4
系统的状态变量表达式
系统动态方程由两部分组成：
状态方程：一阶微分方程组或一阶差分方程组。
输出方程：由状态变量和激励表示的输出响应。
一般形式为：
连续系统
x(t) Ax(t) Bf(t) 状态方程 y(t) C x(t) Df (t) 输出方程
其中 x (t)为状态变量的一阶导数
离散系统 x(k 1) Ax(k) Bf (k) 状态方程
11
由H(s)求状态方程
H(s) 信号流图 状态方程
并联模拟
数的节点电流方程。 消去非状态变量。 写成标准形式。
6
例 9.2
列写电路的状态方程和输出方程。
解 列写连接电容支路的A节点电流方程 和含有电感的回路电压方程。
C
x1 (t)
x2 (t)

线性系统的状态空间分析法

线性系统的状态空间分析法

e(t)
1/L
x1
x1 x2
x2
e0 (t )


1/C
-R/L -1/LC
解法2.
选取 则有

x1 i
x2 idt

x 1


R L
x1

1 LC
x2

1 L
e(t)
x 2 x1
x 1

x
2


1RL

1
LC 0

b0 - an
- an-1
-a2
x1
-
a1



x
2

xn
x1
b0u bn
bn-1

b1
x2


xn
在 一 般 情 况 下b0 0则 得 到
x1
y bn
bn-1

b1
x2


xn
y cx
输出方程
0 1 0 0
A

0

0 1 0
- a n

an1


a1

0
B

0
1
系统矩阵
输入矩阵
C [1 00] 输出矩阵
状态变量图
u
+
Xn
Xn-1


-a1 -a2
-an-1
X2


X1=y
-an
例1.设控制系统的运动方程为 y(2) 3 y 2 y u
试写出该系统的状态空间表达式。方框图如下：
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第九章系统的状态变量分析
1、内容简介
在系统的状态变量分析中，介绍了状态和状态变量的基本概念，由电路原理图建立状态方程的方法，由微分方程建立状态方程的方法，由系统模拟框图建立状态方程的方法，状态方程的时域和变换域求解，状态矢量的线性变换，系统的可控制性和可观测性的基本概念，离散系统的状态方程的建立和求解。

最后介绍了用MATLAB求解系统的状态方程。

2、学习目标
1、理解系统的状态与状态空间的概念。

2、掌握连续系统由电路、微分方程、系统模拟框图和系统函数建立状态方程。

3、掌握离散系统由差分方程、系统模拟框图和系统函数建立状态方程。

4、了解状态方程求解的基本方法，能够用MATLAB求解系统的状态方程。

3、重点难点
1.系统状态和状态空间的概念。

2.如何建立系统的状态方程。

4、应用
利用MATLAB求解系统状态方程。

5、教案内容
（1） 系统的状态变量的概念
状态变量
系统在时刻0t 的状态是指一组数10()x t ，20()x t ，…， 0()n x t ，不仅要求这组数的个数是最少的，而且还可由10()x t ，20()x t ，…， 0()n x t 和0t t >时系统的输入得出0t t >时所有的状态或输出。

这组变量10()x t ，20()x t ，…， 0()n x t 称为系统的状态变量。

状态空间分析法
状态空间分析法不仅适用与单输入单输出系统，而且适用于多输入多输出系统的分析，它可以描述系统的外部特性，也可以描述系统的内部特性，而且能够推广到时变系统和非线性系统。

（2）系统状态方程的一般形式
m 个输入p 个输出的N 阶连续时间系统的状态方程为N 个一阶微分方程组，可以用矩阵形式表示为
即
离散时间系统的状态方程具有与连续系统状态方程相似的形式，对于一个有m 个输入p 个输出的N 阶离散时间系统可以用N 个一阶差分方程描述，其状态方程和输出方程的一般形式为
其中A ，B ，C ，D 为状态方程和输出方程的系数矩阵。

（3）、系统状态方程的建立
不管是连续时间系统还是离散时间系统建立状态方程的规则均相同。

状态方程建立重点掌握建立状态方程的规律。

对于线性时不变连续时间系统而言， 其状态方程为n 元一阶微分方程组，建立方法主要有两种：直观编写法----根据给定的电路列写系统的状态方程，和间接编写法----根据给定系统的微分方程，系统函数或信号流图列写状态方程。

对于线性时不变离散时间系统而言， 其状态方程为n 元一阶差分方程组，建立方法主要是间接编写法----根据给定系统的差分方程，系统函数或信号流图列写状态方程。

不论上述哪种系统或哪种方法，一般都遵循以下步骤：
（1）确定系统的状态-----系统的阶数；
（2）选择状态变量----对于连续时间系统的直观编写法，一般选择电容上的电压和流过电感的电流；对于连续时间系统的间接编写法，一般首先是获得系统的信号流图，选择积分器的输出作为状态变量；对于离散时间系统，一般首先是获得系统的信号流图，选择延时器的输出作为状态变量
（3）根据系统的给定形式，列写系统的状态方程；
（4）化简状态方程，并写成矩阵形式。

（4）系统方程的求解
求解状态方程可应用经典的时域法和变换域法。

状态方程一般是一组一阶微分方程式或差分方程，不管是时域还是变换域求解，都会遇到大量的矩阵运算，计算比较复杂。

但利用计算机辅助计算就可以大大简化计算工作量。

MATLAB 中的lsim 可以用来获得状态方程的数值解。

求解连续时间系统状态方程时，lsim 的调用形式为
00[,,](,,,)y t x lism sys f t x =
求解离散时间系统状态方程时，lism 的调用形式为
0[,,](,,[],)
y n x lism sys f x =
6、例题
【例9-1】由电路图建立系统的状态方程。

【例9-2】由微分方程建立系统的状态方程。

【例9-3】由系统模拟方框图建立系统的状态方程。

由模拟框图直接建立状态方程的一般规则是：
（1）选取积分器的输出（或微分器的输入）作为状态变量；
（2）围绕加法器列写状态方程或输出方程。

由此例可见，系统的状态变量和状态方程不是唯一的。

对同样一个系统。

可以用许多形式不同的状态方程来描述。

虽然这些状态方程形式不同，但它们所描述的输入和输出关系是等价的。

并联型的状态方程中的A矩阵是一对角阵。

【例9-4】状态方程的变换域求解。

【例9-4】系统的可控制性和可观测性。

【例9-5】离散系统的状态方程的建立和求解。

【例9-6】填空。

1、MATLAB中的（lsim）可以用来获得状态方程的数值解。

2、系统的状态变量描述一般可以分为两个部分：描述系统状态变量和系
统输入的关系的方程称为（状态方程），描述系统每一个输出变量与系
统状态变量及系统输入之间的关系的方程为（输出方程）。

7、本章小结
1、状态变量以及与之有关的各个术语的意义：
状态：表示系统的一组最少的物理量；
状态变量：能够表示系统状态的那些变量；
2、状态变量分析法便于研究系统内部的一些物理量在信号转换过程中的变化；简化系统的分析，因为状态变量分析法与系统的复杂程度无关；适用于非线性系统或时变系统；定性研究系统的稳定性和系统可控制性和可观测性；便于采用计算机数值解法。

3、对于线性时不变连续时间系统而言，其状态方程为n元一阶微分方程组，建立方法主要有两种：直观编写法----根据给定的电路列写系统的状态方程，和间接编写法----根据给定系统的微分方程，系统函数或信号流图列写状态方程。

对于线性时不变离散时间系统而言，其状态方程为n元一阶差分方程组，建立方法主要是间接编写法----根据给定系统的差分方程，系统函数或信号流图列写状态方程。

4．求解连续时间系统和离散时间系统的状态方程的求解方法一般有两种：时间域解法和变换域解法。

时间域解法要利用矩阵指数的运算进行求解；而变换域解法是利用拉氏变换或z变换，将微分方程组或差分方程组转换为代数方程组，利用线性代数的方法进行求解，从而可以简化方程的求解。

8、重点习题
例9-1；例9-2；例9-3；例9-4；例9-5；例9-6；。