线性系统的状态变量分析

实验二线性系统分析一、实验目的通过实验，掌握线性系统的特性和分析方法，了解系统的幅频特性和相频特性。

二、实验原理1.线性系统线性系统是指遵循叠加原理和比例原理的系统，可以表示为y(t)=h(t)⊗x(t)，其中h(t)为系统的冲激响应，x(t)为输入信号，y(t)为输出信号，⊗为线性卷积操作。

2.系统的频域特性系统的频域特性可以通过离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）来进行分析，DFT是将离散时间域信号变换到离散频域的方法。

3.系统的幅频特性系统的幅频特性描述了输出信号的幅度随频率变化的规律，可以通过对系统的单位冲激响应进行DFT来得到。

4.系统的相频特性系统的相频特性描述了输出信号的相位随频率变化的规律，可以通过对系统的单位冲激响应进行DFT来得到。

三、实验步骤1.准备工作：a.将信号发生器的频率设置为100Hz，幅度设置为5V。

b.将示波器的触发模式设置为自动，并调节水平位置使信号波形居中显示。

2.测量系统的幅频特性：a.将信号发生器的输出信号连接到线性系统的输入端口，将示波器的通道1连接到线性系统的输入端口，将示波器的通道2连接到线性系统的输出端口。

b.调节示波器的时间基准使波形显示在适当的范围内。

c.调节信号发生器的频率和示波器的触发模式，观察输入信号和输出信号的波形。

d.在示波器中进行幅度测量，并记录下输入信号和输出信号的幅值。

e.使用DFT算法对输入信号和输出信号进行频谱分析，得到幅频特性曲线。

f.绘制输入信号和输出信号的幅频特性曲线，并进行比较和分析。

3.测量系统的相频特性：a.调节信号发生器的频率和示波器的触发模式，观察输入信号和输出信号的相位差。

b.在示波器中进行相位测量，并记录下输入信号和输出信号的相位。

c.使用DFT算法对输入信号和输出信号进行频谱分析，得到相频特性曲线。

d.绘制输入信号和输出信号的相频特性曲线，并进行比较和分析。

大连理工大学2021年硕士研究生入学考试大纲科目代码：852 科目名称：信号与系统一、绪论1.信号的定义﹑分类、性质，信号的时域运算；2.系统的定义﹑分类，线性时不变系统的性质及判断（要求判断过程）。

二、连续时间系统的时域分析1.线性时不变连续时间系统数学模型的建立；2.冲激信号和阶跃信号的定义、性质及时域求解，信号的时域分解；3.线性时不变系统单位冲激响应和单位阶跃响应的定义及时域求解；4.卷积积分定义、性质及求解；5.零输入响应及零状态响应的定义及时域求解。

三、连续时间信号的频域分析1.周期信号的傅立叶级数分解，周期信号的频谱及其性质；2.非周期信号的傅立叶变换及其性质，非周期信号的频谱，常见信号的频谱；3.信号功率与能量的概念及帕塞瓦尔定理。

四、连续时间系统的频域分析1.连续时间系统频率响应函数的定义及求解；2.连续时间系统的频域分析法；3.理想低通、高通、带通、带阻滤波器，系统的因果性，佩利维纳准则；4.幅度调制的基本概念、原理、频谱图及功率；5.线性系统不失真传输条件。

五、连续时间系统的复频域分析1.拉普拉斯变换的定义、收敛域、性质，以及常见信号的拉普拉斯变换；2.拉普拉斯反变换的求解；3.连续时间系统的复频域分析；4.无阻尼，临界阻尼，欠阻尼，过阻尼；5.系统模拟框图；6.信号流图。

六、连续系统的系统函数1.系统函数的定义及表示方法；2.系统函数零极点分布与系统频率响应之间的关系；3.稳定系统的定义及判别；4.最小相移网络、非最小相移网络和全通网络。

七、离散时间系统的时域分析1.采样信号，采样信号频谱及采样定理；2.离散时间信号的定义及时域运算；3.线性时不变离散时间系统的差分方程描述与模拟框图描述；4.线性时不变离散时间系统单位函数响应的定义及求解；5.卷积和及其主要性质；6.离散时间系统的零输入响应和零状态响应的时域求解。

八、离散时间系统z变换分析1.z变换的定义、收敛域、性质，以及常见信号的z变换；2.反z变换的计算方法；3.z变换与拉普拉斯变换的关系；4.离散系统的z变换分析方法；5.离散系统系统函数的概念，系统零极点的概念及其应用；6.离散时间系统的稳定性，离散系统频率响应的概念及与系统零极点分布的关系。

线性系统状态空间分析和运动解状态空间分析方法是一种用来描述线性系统的分析方法。

它将系统的动态特性用一组状态变量来表示，并通过矩阵形式的状态方程进行分析和求解。

状态空间方法是目前广泛应用于自动控制系统设计与分析的一种方法，它可以对系统的稳定性、可控性、可观性以及性能等进行定量分析。

在状态空间分析方法中，首先需要将系统的微分方程表示为矩阵形式的状态方程。

状态方程描述了各个状态变量和它们的变化率之间的关系。

假设系统有n个状态变量x1, x2, ..., xn和m个输入变量u1, u2, ..., um，状态方程可以表示为:dx/dt = Ax + Bu其中，dx/dt是状态变量的变化率，A是状态矩阵，描述状态变量之间的耦合关系，B是输入矩阵，描述输入变量对状态变量的影响。

状态空间分析方法的基本思想是将系统转化为状态空间表达式，然后通过对状态方程进行分析和求解来得到系统的特性和响应。

常见的分析方法包括对系统的稳定性、可控性和可观性进行评估。

稳定性是系统的基本性质之一，用来描述系统在受到扰动时是否能够恢复到平衡状态。

在状态空间方法中，通过研究系统的特征根（或特征值）可以判断系统的稳定性。

特征根是状态方程的解的根，系统的稳定性与特征根的实部有关。

如果特征根的实部都小于零，则系统是稳定的；如果特征根存在实部大于零的情况，则系统是不稳定的。

可控性是指系统是否可以通过输入变量来控制系统的状态变量。

在状态空间方法中，通过可控性矩阵来判断系统的可控性。

如果可控性矩阵的秩等于系统的状态变量个数，则系统是可控的；如果可控性矩阵的秩小于系统的状态变量个数，则系统是不可控的。

可观性是指系统的状态变量是否可以通过观测变量来测量得到。

在状态空间方法中，通过可观性矩阵来判断系统的可观性。

如果可观性矩阵的秩等于系统的状态变量个数，则系统是可观的；如果可观性矩阵的秩小于系统的状态变量个数，则系统是不可观的。

除了稳定性、可控性和可观性外，状态空间分析方法还可以用来分析系统的性能指标，如系统的响应时间、稳态误差和系统的最大误差等。

信号与系统分析简述题一、简述《信号与系统》的主要研究内容。

《信号与系统》主要是以线性时不变系统作为研究对象，当信号作用与线性时不变系统时，从输入输出描述法和状态变量法来研究系统响应。

当求得系统响应后，根据系统的激励与响应之间的关系求得系统函数，进而根据系统的固有属性来研究系统的内在属性，例如：因果性、稳定性和滤波特性等。

二、输入输出描述法和状态变量分析法的区别。

输入输出描述法：将系统看作一个黑匣子，根据系统的输入和基本属性来求解系统的输出响应，只描述系统单输入和单输出的关系，而不讨论系统内部的结构。

状态变量分析法：通过列些系统的状态方程和输出方程，进而求解得出系统函数和各响应。

不仅揭示了系统的内部特性，还可以用来描述非线性、时变系统和多输入多输出系统。

三、简述常用的输入输出描述法及其优缺点。

常用的输入输出描述法主要包括时域分析和变换域分析。

时域分析法：主要通过系统的微分方程（差分方程）、激励和起始状态，利用经典法、双零法和卷积法等来求解系统响应。

该方法均在时域中进行计算，物理概念清晰，但是计算量大。

变换域分析法：对于连续系统来说主要包括傅里叶变换和拉普拉斯变换；对于离散系统来说，则采用z变换。

变换域求解的计算量小，但是物理意义不清晰，因此常常会进行逆变换，将结果变换成时域的形式。

四、如何判断系统的因果性、稳定性、滤波特性等。

当用系统作用表示时，可通过定义法即响应不得超前激励，有界输入有界输出来判断因果稳定；当用h（t）表示时，则通过u（t）和绝对可积来判断因果稳定；当用系统函数来表示时，对于连续系统，通过系统函数的极点只能分布在s平面的左半开平面来判断，对于离散系统，通过系统函数的极点只能位于单位圆内来判断。

滤波特性则是通过系统函数的零极点分布粗略画出幅频特性曲线，根据幅频特性曲线的走势来判断。

五、连续时间信号、离散时间信号、模拟信号和数字信号有什么区别。

连续时间信号是指时间自变量在其定义的范围内，除若干不连续点以外均是连续的。

第二章 线性系统的状态空间描述§2-1 状态空间的基本概念1、状态：系统的状态，是指系统的过去、现在和将来的状况。

（如：一个质点作直线运动，它的状态就是它每个时刻的位置和速度）2、状态变量：能完全表征系统运行状态的最小数目的一组变量。

（如果用最少的n 个变量x 1(t)， x 2(t)，……， x n (t)就能完全描述系统的状态，那么这n 个变量就是一组状态变量。

）3、状态向量：设一个系统有n 个状态变量，即x 1(t)，x 2(t)，……，x n (t)，用这n 个状态变量作为分量构成的向量x(t)称为该系统的状态向量。

记为Tn t x t x t x t x )](,),(),([)(21 =4、状态空间：由n 个状态变量作为坐标轴所构成的n 维空间，称为状态空间。

引入了状态和状态空间的概念之后，就可以建立动力学系统的状态空间描述了。

从结构的角度讲，一个动力学系统可用图2-1所示的方块图来表示。

其中x(t)表征系统的状态变量，u(t)为系统控制量（即输入量），y(t)为系统的输出变量。

与输入—输出描述不同，状态空间描述把系统动态过程的描述考虑为一个更为细致的过程：输入引起系统状态的变化，而状态和输入则决定了输出的变化。

5、状态方程：状态变量的一阶导数与状态变量、输入量的关系，称为系统的状态方程。

例：设单输入线性定常系统(LTI-Linear Time Invariant )的状态变量为x 1(t)，x 2(t)，……，x n (t)，输入为u(t),则一般形式的状态方程为：)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(2211222221212112121111t u b t x t a t x t a t x a t x t u b t x t a t x t a t x a t x t u b t x t a t x t a t x a t x n n nn n n nn n n n ++++='++++='++++='图2-1 动力学系统结构示意图上式可写成向量—矩阵形式：其中：6、输出方程：在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量、输入量之间的函数关系式，称为系统的输出方程。

状态变量分析法的优点：1. 便于观察系统内部某些物理量的变化过程；2. 与系统的复杂程度无关，复杂系统和简单系统的数学模型相似，适于多输入多输出系统;3. 适于研究非线性或时变系统。

因为一阶微分方程或差分方程是研究非线性和时变系统的有效方法。

4. 便于研究系统的稳定性、可控性、可观测性及系统内部参数变化对系统特性的影响；5. 状态方程都是一阶微分方程或差分方程，便于采用数值解法在计算机上实现系统分析。

系数矩阵由系统的参数决定，非时变系统为常数，时变系统为时间的函数。

,A B 四、输出方程(output equation))(,),(),(21t y t y t y r Λ输出方程是由状态变量和激励信号的线性方程，因此对线性系统而言，输出方程是一组线性方程。

例如，假设系统有个输出，r mrm r r n rn r r r mm n n mm n n e d e d e d x c x c x c t y e d e d e d x c x c x c t y e d e d e d x c x c x c t y +++++++=+++++++=+++++++=ΛΛMΛΛΛΛ22112211222212122221212121211112121111)()()(则,A B矩阵形式为：)(10081910120010321'3'2'1t e x x x x x x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡01000112198⎡⎤⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦A 依此方法选择的状态变量常称为相变量状态变量，状态方程叫相变量状态方程。

状态方程和输出方程中的系数矩阵与输入输出方程有关。

[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3210410)(x x x t y 001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B []1040=C 0=D矩阵形式为：1211012110''13'22'1)()(+--+++=+----====m m n n n nn x b x b x b t y t e x a x a x a x x xx x x x ΛΛM )(1000100010211210''2'1t e x x x a a a a x x x n n n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-M M ΛM ΛΛM[]001111n n n n n nb b a b b a b b a b --∴=---=C D L 当时，矩阵不再为0。