第六章 系统的状态变量分析 (1)

武大信号与系统考点分布
读下面三段三遍以上，不想学习的时候再读读：
一、根据往年考题的情况，以下几章是不考的：《信号与系统》郑君里第二版，上册的第六章“信号的矢量空间分析”；下册的第九章“离散傅里叶变换以及其离散正交变换”；第十章“模拟与数字滤波器”；第十一章“反馈系统”（但是这一章里的画信号流图和劳斯表每年基本必考）；第十二章“系统的状态变量分析”（这一章只要求你会列状态方程，不要求你去解状态方程）
二、根据往年考题的情况，大题一般的分布情况：第三章与第五章傅里叶变换及应用每年绝对的大题，甚至不止一道；第二章与第四章可能是一道大题可以用时域解也可以用S域解，看你的选择方法，往往就是给你电路图每年必考一道或两道大题；第七章，主要是考列解差分方程，每年一道大题，有时考文字叙述的应用题；第八章，每年基本两道大题，很重要；第十一章，十二章，每年一道信号流图加劳斯表，列状态方程的大题；第一章的关于线性，连续，时不变，稳定等系统的判断也常考。

三、课后习题，考过的真题要熟练。

1、做题养成好习惯，步骤过程清晰，计算要仔细
2、重复一下第1条，因为真的很重要，步骤过程认真仔细，开始想不犯错很难，要尽量少犯错
3、容易出错的题型多动笔做做，这几年题型都很基础，熟练就能得高分。

连续系统的状态变量方程求解连续系统的状态变量方程求解通常采用数值方法，例如龙格-库塔法（Runge-Kutta）等。

在这个过程中，需要将连续系统的状态方程离散化，即将连续时间步长的微分方程转化为离散时间步长的离散方程。

求解离散方程可采用递推的方式，根据系统的初始条件和上一时刻的状态变量值，计算出当前时刻的状态变量值。

以下是一个求解连续系统状态变量方程的步骤：1. 确定连续系统的状态变量方程。

例如，给定线性定常系统dx/dt = Ax + Bu，其中x为状态变量，A和B为系统矩阵。

2. 离散化。

将状态变量方程转化为离散方程。

常见的离散化方法有前项差分变换、后项差分变换和Tustin变换。

具体变换方法取决于系统的特性以及所需的数值稳定性和精度。

例如，使用Tustin变换将连续系统离散化，得到离散状态方程x[k+1] = A*x[k] + B*u[k]。

3. 初始化。

给定初始条件，如x[0] 和u[0]，初始化状态变量值。

4. 数值求解。

使用数值方法（如龙格-库塔法）递推计算离散方程，得到一系列状态变量值x[1], x[2], ...，以及对应的输出值y[1], y[2], ...。

5. 分析结果。

根据求解得到的状态变量值和输出值，分析系统的性能，如稳定性、收敛速度等。

在MATLAB中，可以使用ode45等函数求解连续系统的状态变量方程。

以下是一个简单的示例：```MATLAB定义系统矩阵A、B和输入信号uA = [1 0; -1 1];B = [0 1];u = [1; 0.5];定义初始条件x0 = [1; 2];设置求解参数tspan = [0, 10];options = odeset('RelTol', 1e-6, 'AbsTol', 1e-6);求解状态变量方程[x, u] = ode45(@(t, x) A*x + B*u, tspan, x0, options);绘制状态变量曲线figure;plot(t, x(:, 1), 'b', 'LineWidth', 2);hold on;plot(t, x(:, 2), 'r', 'LineWidth', 2);xlabel('Time');ylabel('State Variables');legend('x1', 'x2');```这个示例中，我们使用ode45函数求解了一个线性定常系统在给定输入信号下的状态变量演化。

《现代控制理论》第6章习题解答6.1 分析开环状态估计方案的误差动态特性。

（说明开环形式的观测器其误差的衰减是不变的，而闭环形式的观测器其误差的衰减是可以改变的）。

答：针对线性时不变系统x Ax Buy Cx=+⎧⎨=⎩ (1) 开环形式的观测器：x Ax Bu =+误差动态方程为e x x Ae =-=其初始误差(0)e 的时间响应为()(0)At e t e e =误差的衰减是由系统模型的状态矩阵决定的，无法改变。

(2) 闭环形式的观测器：()()x Ax Bu L y Cx A LC x Bu Ly =++-=-++误差动态方程为()()e x x Ax Bu A LC x Bu Ly A LC e =-=+----=-其初始误差(0)e 的时间响应为()()(0)A LC t e t e e -=误差的衰减由A LC -决定，其中A 、C 由系统模型确定，而观测器增益矩阵L 由设计者决定，所以误差的衰减是可以改变的。

6.2 为什么要构建状态观测器？画出全维状态观测器的系统结构图。

写出状态观测器的状态方程。

答: 构建状态观测器的原因：（1）在许多实际系统中，系统的状态变量并非都是物理量，从而这些状态变量未必都可以直接测量得到。

（2）即使状态变量是物理量，可以通过传感器测量得到，但要直接测量所有的信号一方面会造成系统成本的提高，另一方面，大量传感器的引入会使系统可靠性降低。

状态观测器的模型为()()x Ax Bu L y y A LC x Bu Ly=++-=-++其中，x 是观测器的n 维状态，L 是一个n p ⨯维的待定矩阵。

全维状态观测器的系统结构图为：+-y x6.3 存在龙伯格状态观测器的条件是什么？龙伯格状态观测器中的增益矩阵L 的行数和列数怎样确定？答：存在龙伯格状态观测器的条件是：系统是状态能观的。

龙伯格状态观测器中的增益矩阵L 的行数和列数分别等于状态变量和输出量的个数。

信号与系统智慧树知到课后章节答案2023年下宁波大学宁波大学第一章测试1.下列信号的分类方法不正确的是（）A:数字信号和离散信号 B:确定信号和随机信号 C:周期信号和非周期信号 D:连续信号与离散信号答案:数字信号和离散信号2.下列表达式中正确的是（）A:δ(2t)＝δ(2/t) B:δ(2t)＝δ(t) C:δ(2t)＝2δ(t) D:δ(2t)＝δ(t)/2答案:δ(2t)＝δ(t)/23.信号平移、反转和尺度变化的最佳作图顺序是（）A:先平移，再尺度变换，最后反折 B:先尺度变换，再平移，最后反折 C:先平移，再反折，最后尺度变换 D:先反折，再尺度变换，最后平移答案:先平移，再尺度变换，最后反折4.差分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。

未知序列项变量最高序号与最低序号的差数，称为差分方程的阶数。

（）A:对 B:错答案:对5.系统y(t)=2(t+1)x(t)+cos(t+1)是因果系统。

（）A:对 B:错答案:对第二章测试1.线性系统响应满足以下规律（）A:若初始状态为零，则零状态响应为零 B:若系统的零状态响应为零，则强迫响应也为零 C:若系统的起始状态为零，则系统的自由响应为零 D:若初始状态为零，则零输入响应为零。

答案:若初始状态为零，则零输入响应为零。

2.卷积δ(t)*f(t)*δ(t)的结果为（）A:δ(t) B:f(2t) C:f(t) D:δ(2t)答案:f(t)3.（）A: B: C: D:答案:4.若y(t)=x(t)*h(t)，则y(-t)=x(-t)*h(-t)。

（）A:对 B:错答案:错5.已知，，则的非零值区间为［0，3］。

（）A:错 B:对答案:对第三章测试1.某人每月初在银行存入一定数量的款f(k)，月息为β，建立求第k个月初存折上款数的差分方程（）。

A: B:C:D:答案:2.ε(k)∙ε(k-5)=（）A:ε(k-5) B:ε(k) C:ε(k-4) D:(k-4)ε(k-5)答案:ε(k-5)3.某离散时间系统的差分方程a1y(k+1)+a2y(k)+a3y(k-1)=b1f(k+1)+b2f(k)，该系统的阶次为（）A:4 B:2 C:3 D:1答案:24.离散系统的零状态响应等于激励信号f(k)与单位样值响应h(k)的卷积（）A:对 B:错答案:对5.若y（t）＝x（t）*h（t），则y（－t）＝x（－t）*h（－t）。

第一章测试1【判断题】(10分)正弦连续函数一定是周期信号A.对B.错2【判断题】(10分)正弦离散函数一定是周期序列。

A.错B.对3【判断题】(10分)余弦连续函数一定是周期信号。

A.错B.对4【判断题】(10分)余弦离散序列一定是周期的A.对B.错5【判断题】(10分)两个离散周期序列的和一定是周期信号。

A.对B.错6【判断题】(10分)两个连续周期函数的和一定是周期信号。

A.对B.错7【判断题】(10分)两个连续正弦函数的和不一定是周期函数。

A.对B.错8【判断题】(10分)取样信号属于功率信号。

A.对B.错9【判断题】(10分)门信号属于能量信号。

A.错B.对10【判断题】(10分)两个连续余弦函数的和不一定是周期函数。

A.错B.对第二章测试1【判断题】(10分)微分方程的齐次解称为自由响应。

A.对B.错2【判断题】(10分)微分方程的特解称为强迫响应。

A.错B.对3【判断题】(10分)微分方程的零状态响应是稳态响应的一部分A.对B.错4【判断题】(10分)微分方程的零输入响应是稳态响应的一部分A.对B.错5【判断题】(10分)微分方程的零状态响应包含齐次解部分和特解两部分。

A.错B.对6【判断题】(10分)微分方程的零状态响应中的特解部分与微分方程的强迫响应相等。

A.错B.对7【判断题】(10分)对LTI连续系统，当输入信号含有冲激信号及其各阶导数，系统的初始值往往会发生跳变。

A.对B.错8【判断题】(10分)对线性时不变连续系统，当输入信号含有阶跃信号，系统的初始值往往会发生跳变A.对B.错9【判断题】(10分)冲激函数匹配法是用于由零负初始值求解零正初始值。

A.对B.错10【判断题】(10分)LTI连续系统的全响应是单位冲激响应与单位阶跃响应的和。

A.对B.错第三章测试1【判断题】(10分)LTI离散系统的响应等于自由响应加上强迫响应。

A.错B.对2【判断题】(10分)LTI离散系统的响应等于齐次解加上零状态响应的和。

状态变量分析法的优点：1. 便于观察系统内部某些物理量的变化过程；2. 与系统的复杂程度无关，复杂系统和简单系统的数学模型相似，适于多输入多输出系统;3. 适于研究非线性或时变系统。

因为一阶微分方程或差分方程是研究非线性和时变系统的有效方法。

4. 便于研究系统的稳定性、可控性、可观测性及系统内部参数变化对系统特性的影响；5. 状态方程都是一阶微分方程或差分方程，便于采用数值解法在计算机上实现系统分析。

系数矩阵由系统的参数决定，非时变系统为常数，时变系统为时间的函数。

,A B 四、输出方程(output equation))(,),(),(21t y t y t y r Λ输出方程是由状态变量和激励信号的线性方程，因此对线性系统而言，输出方程是一组线性方程。

例如，假设系统有个输出，r mrm r r n rn r r r mm n n mm n n e d e d e d x c x c x c t y e d e d e d x c x c x c t y e d e d e d x c x c x c t y +++++++=+++++++=+++++++=ΛΛMΛΛΛΛ22112211222212122221212121211112121111)()()(则,A B矩阵形式为：)(10081910120010321'3'2'1t e x x x x x x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡01000112198⎡⎤⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦A 依此方法选择的状态变量常称为相变量状态变量，状态方程叫相变量状态方程。

状态方程和输出方程中的系数矩阵与输入输出方程有关。

[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3210410)(x x x t y 001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B []1040=C 0=D矩阵形式为：1211012110''13'22'1)()(+--+++=+----====m m n n n nn x b x b x b t y t e x a x a x a x x xx x x x ΛΛM )(1000100010211210''2'1t e x x x a a a a x x x n n n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-M M ΛM ΛΛM[]001111n n n n n nb b a b b a b b a b --∴=---=C D L 当时，矩阵不再为0。

第五章 线性定常系统的状态反馈和状态观测器设计闭环系统性能与闭环极点（特征值）密切相关，经典控制理论用输出反馈或引入校正装置的方法来配置极点，以改善系统性能。

而现代控制理论由于采用了状态空间来描述系统，除了利用输出反馈以外，主要利用状态反馈来配置极点。

采用状态反馈不但可以实现闭环系统极点的任意配置，而且还可以实现系统解耦和形成最优控制规律。

然而系统的状态变量在工程实际中并不都是可测量的，于是提出了根据已知的输入和输出来估计系统状态的问题，即状态观测器的设计。

§5-1 状态反馈与闭环系统极点的配置一、状态反馈1、状态反馈的概念状态反馈就是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数反馈到输入端与参考输入相加，其和作为受控系统的输入。

设SISO 系统的状态空间表达式为：bu Ax x+= cx y =状态反馈矩阵为k ，则状态反馈系统动态方程为：()()x A x b v k x A b k x b v=+-=-+cx y =式中：k 为n ⨯1矩阵，即[]11-=n o k k k k ，称为状态反馈增益矩阵。

)(bk A -称为闭环系统矩阵。

闭环特征多项式为)(bk A I --λ。

可见，引入状态反馈后，只改变了系统矩阵及其特征值，c b 、阵均无变化。

【例5.1.1】已知系统如下，试画出状态反馈系统结构图。

u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100200110010 ， []x y 004= 解：[]x k k k v kx v u21-=-=其中[]21k k k k=称为状态反馈系数矩阵或状态反馈增益矩阵。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-==1333222142x y u x x x x xx x说 明：如果系统为r 维输入、m 维输出的MIMO 系统，则反馈增益矩阵k 是一个m r ⨯维矩阵。

即mr rm r r m m k k k k k k k k k k ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 2122221112112、状态反馈增益矩阵k 的计算控制系统的品质很大程度上取决于该系统的极点在s 平面上的位置。