第六章系统的状态变量分析

§ 6-2 连续时间系统状态方程的建立
3.由信号流图建立状态方程
H
s
s
1g +1 s
1 +
2
1 +
s
1 +
3
3.2串联型结构
例6-2： e(t)
S-1 x1(t)
S-1 x2(t)
S-1 x3(t)
r(t)
-1
-2
-3
x1' y1
t t
-x1 t + y0
x1
t
rx3t't
t
y
-x1 t
第六章 系统的状态变
量分析
复习
学习要点： 1. 依据电路的独立储能器件选择状态变量，并列写相应的连续系统状
态方程； 2. 依据系统最简的传递函数、信号流图、或实现框图，列写相应的连
续系统或离散系统的状态方程； 3. 使用变域技术或凯莱-哈密顿定理，计算系统状态转移矩阵； 4. 使用时域法或变域法，求解系统状态方程； 5. 线性变换对状态方程的影响； 6. 状态方程描述的系统稳定性判断方法。
§ 6-1 引 言
4.状态变量分析方法的优点
便于研究系统内部物理量的动态变化特性。 与系统复杂程度无关，差别仅在于系统激励矢量和 状态矢量的维数不同，无论是SISO、SIMO、MISO 或MIMO都可用同一形式的状态方程描述。 适用于时变系统或非线性系统，此时状态方程及/ 或输出方程是时变的或非线性的。 状态方程的特性参数鲜明地表征了系统关键性能， 尤其是系统稳定性、系统可控性和系统可观测性。 为系统的CAA或CAD提供了有效途径。
-3x3 t 3 t x3
+ et
+ y2 t t + y2
t
-xy322'xt3ttx-+22xxt22tt
+
x3 t + x2 t
y1
t
-2
x2
t
+
x1
t
-1 0 0
1
X
'
t
1 0
-2
0
X
t
+
0
e
t
1 -3
0
r t 0 1 1 X t
A矩阵一定是下三角阵
§ 6-2 连续时间系统状态方程的建立
e2(t) --
§ 6-2 连续时间系统状态方程的建立
2.由电路图直接建立状态方程
例6-1：
1H
—13 H
i1 t
X
t
i2
t
vC t
2Ω
+ e1(t)
-
x1(t)
—12 F i1(t)
x2(t) ic +
x3(t) -
i2(t)
+
1Ω
r(t) +
e2(t) --
2 x1 1 3 x2
3.1直接型结构 H s b0sn + b1sn-1 + + bn-1s + bn
s n + a1s n-1 + + an-1s + an
1 e(t)
b0
b1
b2
bk-2 bk-1
s-1
s-1
xk
xk-1
-a1
-a2
s-1
s-1
r(t)
x3
x2
x1 bk
-ak-2 -ak-1
-ak
§ 6-2 连续时间系统状态方程的建立
§ 6-2 连续时间系统状态方程的建立
2.由电路图直接建立状态方程 通常，首先选取所有电容电压和电感电流为 自变量； 然后根据KCL和KVL列写电路方程； 最后，判断矩阵 A是否非奇异，若非奇异， 则所选变量就是状态变量；否则消去多余自 变量，只留下状态变量和输入变量，经整理 后就得到所需的系统状态方程。
§ 6-2 连续时间系统状态方程的建立
1.状态方程的一般形式
一个有 m维输入、n维输出的动态系统可一般地表示
为矢性一阶非线性时变微分方程：
状态方程： X ' t f X t, et, t 输出方程： r t h X t, et, t
k 维状态矢量：X t x1 t x2 t L xk t T
§ 6-1 引 言
2.状态变量分析理论的重要意义 卡尔曼（Kalman）提出的以状态变量分析为核心
的现代系统理论用描述系统内部特性的状态变量 取代了描述系统外部特性的系统函数 这种描述可方便地运用于分析多输入-多输出系统 进一步提出的可控性和可观测性概念完整地揭示 了系统内部特性 状态空间法也能成功地应用于分析时变系统或非 线性系统 能方便地使用计算机求解系统
x2
x1 bk
-ak-2 -ak-1
-ak
n
n
r t b0 xn' t + bi xn+1-i t b0e t + bi - b0ai xn+1-i t
i 1
i 1
§ 6-2 连续时间系统状态方程的建立
3.由信号流图建立状态方程
3.1直接型结构
x' 1
t
x' 2
t
x2 x3
n维非线性时变函数矢量
fk X t , e t , t T
h X t , e t , t h1 X t , e t , t h2 X t , e t , t L hn X t , e t , t T
对于线性时不变连续系统的特殊情况，有
状态方程 X ' t AX t + Bet
输出方程 r t CX t + Det
§ 6-1 引 言
1.经典系统分析方法的缺陷 经典系统分析方法包括时域法和变域法，它研
究LTI系统的冲激响应、阶跃响应、零输入响应 和零状态响应等时域特性及系统传递函数、幅 频特性、相频特性等频域特性（尤其是频率响 应特性）的概念。 经典的线性系统理论不能揭示系统内部特性， 不能有效地处理多输入-多输出系统，也不易推 广应用于分析时变系统或非线性系统。它仅适 合于分析单输入-单输出的线性时不变系统的外 部特性，具有相当大的局限性。
0
0
M O M X t + M et
0
L
1
0
-an -an-1 -an-2 L
r t bn - b0an bn-1 - b a0 n-1 L
-a1 b2 - b0a2
1 b1 - b0a1 X t + b0e t
§ 6-2 连续时间系统状态方程的建立
3.由信号流图建立状态方程
D(t)
X´(t)
X(t)
r(t)
B(t)
积分
C(t)
e(t)
A(t)
§ 6-2 连续时间系统状态方程的建立
2.由电路图直接建立状态方程 对含有RLC的电路，选取电容电压和电感电 流为状态变量； 对于仅含LC的电路，选取电容电荷和电感磁 链为状态变量。注意，为确保矩阵 A可逆，每 个状态变量必须是独立变量。
H s 1.5 + - 2 + 0.5
s +1 s + 2 s +3
§ 6-2 连续时间系统状态方程的建立
1.状态方程的一般形式
X ' t AX t + Be t r t CX t + De t
a11 a12 L
A
a21
a22
L
M M O
ak
1
ak 2
L
a1k
b11 b12 L
a2k
,
B
b21b22L源自M M M Oakk
bk1 bk 2 L
3.由信号流图建立状态方程 由系统微分方程或系统函数可得其直接型、 串联型、并联型或并串型实现的信号流图。 3.1直接型结构
H s b0s n + b1s n-1 + + bn-1s + bn
s n + a1s n-1 + + an-1s + an
§ 6-2 连续时间系统状态方程的建立
3.由信号流图建立状态方程
3.由信号流图建立状态方程
3.3并联型结构 H
每个子系统输出为：
s
b0
+
i
Hi
s ,
Hi
s
s
ki - pi
xi t
xi' t pixi t + kiet i 1, 2,L ,n
n
r t xi t
矩阵一定是个对角阵
i 1
各状态变量之间互 相解偶
p1
X
'
t
0 M
0 p2 M
L L O
3.2串联型结构
每个子系统输入为
H s
i
Hi
s ,
Hi
s
ci
+
s
di - pi
H i s yi-1 t
xi ' t yi t
pi xi t xi t
+ di yi-1 t + ci yi-1 t
i 1, 2, , n
每个子系统输出为：
yi t
y0 t et, yn t r t
b1m
b2
m
M
bkm
c11 c12 L C c21 c22 L
M M O cn1 cn2 L
c1k
d11 d12 L
c2k
,
D
d21
d22
L
M M M O
cnk
dn1 dn2 L
d1m
d2
m