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《变量与函数》课堂笔记
一、知识点梳理
1.
变量与函数的概念
变量：在一个变化过程中，可以取不同数值的量。
函数：对于两个变量x和y，如果x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，则称y是x的函数，x是自变量。
函数的表示方法：列表法、解析式法和图象法。
2.
函数的性质
函数的三种性质：单调性、奇偶性和周期性。
单调性：当x增大时，函数值随之增大（减小）的性质。
奇偶性：函数图象关于原点对称（关于y轴对称）的性质。
周期性：函数值呈现周期性变化的性质。
二、重点难点解析
1.
重点
掌握函数的概念和表示方法，理解函数的三种性质及其应用。
通过具体实例，了解常量、变量的意义，掌握函数的定义及函数的表示方法。
2.
难点
如何确定函数的自变量和因变量，如何用函数解决实际问题。
在实际问题中，如何抽象出函数关系式，如何利用函数解决实际问题。
三、典型例题解析
例1：已知函数y=2x+1，当x=3时，y的值是多少？
解：将x=3代入y=2x+1中，得y=2×3+1=7。
答：当x=3时，y的值为7。
例2：已知函数y=ax+b，当x=1时，y=2；当x=2时，y=5。
求a、b的值。
解：将x=1，y=2和x=2，y=5分别代入y=ax+b中，得方程组\{\begin{matrix} a+b=2, \\ 2a+b=5, \\end{matrix}解得\{\begin{matrix} a=3, \\ b=-1. \\end{matrix}
答：a的值为3，b的值为-1。
变量与函数一、知识回顾1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量，函数中用x表示。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量，往往用c来表示。
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式5、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．6、函数的表示方法（1）列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
（2）解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
（3）图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
二、典型例题例1：骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化．在这一问题中，自变量是（）A．沙漠B．体温 C．时间D．骆驼分析：因为骆驼的体温随时间的变化而变化，符合“对于一个变化过程中的两个量x和y，对于每一个x的值，y都有唯一的值和它相对应”的函数定义，自变量是时间．解答：∵骆驼的体温随时间的变化而变化，∴自变量是时间；故选C．______________________________________________________________________例2：在圆的周长公式C=2r中，变量是________,________,常量是________.分析：根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量．解答：∵在圆的周长公式C=2r中，C与r是改变的，是不变的；∴变量是C，r，常量是2．例3．下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（）分析：根据函数是一一对应的关系，给自变量一个值，有且只有一个函数值与其对应，就是函数，如果不是，则不是函数．解答：在A、B、D、选项的图上任意取一点，做垂直于x的直线，发现只有一个交点，故正确。
变量与函数大一高数知识点高等数学是大一大二学生必修的一门基础课程，其中包括了许多重要的知识点。
其中，变量与函数是高等数学中最为基础和重要的概念之一。
一、变量变量是数学中使用的一种概念，它可以表示不同数值的符号或字母。
在数学中，我们常常用字母来表示变量，如x、y、z等等。
变量可以代表任意数的集合，也可以代表某一个具体的数值。
在数学中，我们通常用变量来表示未知数，通过解方程等方法来求解变量的数值。
变量在实际问题中也很常见，我们可以通过设定变量来描述实际问题的各种情况，从而得到数学模型并解决问题。
二、函数函数是数学中另一个重要的概念。
函数是一个特殊的关系，它将一个集合的元素（自变量）映射到另一个集合（因变量）。
函数常用符号表示为y = f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f为函数关系。
函数包含了定义域、值域和对应关系三个重要的概念。
定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围，对应关系是自变量和因变量之间的映射关系。
函数在数学中有着广泛的应用。
它们可以用来描述各种数学模型，如直线方程、曲线方程等等。
通过函数的性质和图像，我们可以研究函数的增减性、极值、导数等，从而了解函数的行为和特点。
函数可以用来解决各种实际问题，如经济学中的生产函数、物理学中的运动方程等等。
因此，对于函数的理解和掌握是我们学习高等数学的基础。
三、变量与函数的关系变量与函数之间有着密切的关系。
在函数中，自变量常常是一个或多个变量，而函数则是对自变量的一种规定或设定。
变量作为函数中的自变量，它的取值范围和变化规律会影响到函数的性质和行为。
因此，变量的取值是函数研究中一个非常重要的问题。
在实际问题中，我们可以通过设定变量来描述问题的各种情况，从而建立函数模型。
通过分析自变量的取值范围和变化规律，我们可以研究函数的图像、性质和规律。
例如，我们可以用变量来表示一个物体的位置，然后建立位置和时间的函数关系，通过分析函数曲线的形状和变化趋势，我们可以了解物体的运动规律和特点。
第十讲 函数【知识梳理】 1、函数的有关定义（1）函数的定义、在一个变化过程中，数值发生变化的量叫 ,数值始终保持不变的量叫做 ，如果有两个变量x 与y ，并且对于每一个x 确定的值，y 都有 值与其对应，则x 是自变量，y 是x 的函数。
如果当x=a 时，y=b ，那么 叫做当自变量的值为 时的函数值（2）函数关系式、用来表示函数关系的等式叫函数关系式，也称函数解析式。
2、函数自变量的取值范围、自变量的取值范围必须使含自变量的代数式都有意义所以 （1）使分母不为零；（2）开平方时被开方数为非负数； （3）为整式时其自变量的范围是全体实数；另外，当函数关系表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义。
【自我检测】【知识点1】变量与常量1、2x-3y=4中，变量是____________，常量是__________，把它写成用x 的式子表y 的形式是____________。
球的体积公式可以表示为V= 343r π，其中常量是_________，变量是__________。
2、每盒圆珠笔有12支，每盒售价18元，那么圆珠笔的销售总价y (元)与圆珠笔的支数x （支）之间的函数关系式为____________3、若等腰三角的顶角是x 度，底角是y 度，则y 与x 的关系式是___________，其中常量是_________,变量是____________。
4、有一个边长为15的正方形铁皮，在四个角上分别截取边长为x （x ＜7.5）的小正方形后，就可以做成一个无盖的盒子，则盒子的体积V 与x 之间的关系是V=________________5、已知变量x,y,m 满足下列关系:y=2m+1,x=122m -+，则y 与x 之间的关系式是y=________ 【知识点2】函数的概念1、下列问题中，具有函数关系的是（ ）A ．x+2与x B. y 与x+3 C. 22y x =(x ≥0)中的y 与x D 224x y +=中的y 与x2、下列二个变量之间存在函数关系的是（ ）○1圆的面积和半径之间的关系。
《变量与函数》知识总结一知识梳理1 变量与常量：在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量，取值始终保持不变的量叫做常量.2函数；设在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说x是自变量，y是自变量x的函数.函数实际上是变量之间的某种对应关系.3 自变量的取值范围：函数中自变量的取值应使函数有意义，且不能使实际问题失去意义.4 函数值：当自变量取某一数值时所对应的函数的值叫做这个函数当自变量取该值时的函数值.5 函数关系表示法：(1)解析法：用数学式子表示变量间的函数关系的方法叫做解析法.(2)列表法：用表格表示变量间的函数关系的方法叫做列表法.(3)图象法：有图象表示变量间的函数关系的方法叫做图象法.已知一个函数的解析式，通过列表、描点、连线，可以画出这个函数的图象，这种方法叫做描点法。
在画一个函数的图象时要注意自变量的取值范围.6 注意的问题(1) 变量和常量是相对的,并不是一成不变的.在一个过程中是常量,而在另一个过程则s=,当速度一定时,则速度v就是常量,而可能是变量.例如在某一运动过程中有关系式vt时间t和路程s则是变量;当时间一定时,则时间t是常量,而速度v和路程s则是变量;同样若路程一定,则路程s是常量,而时间t和速度v就是变量.特别提醒字母π,它是一个常量.(2)判断两个变量是否具有函数关系,不能只看是否存在关系式,还要看对于x的每一个值,y是否都有唯一确定的值和它对应.满足则具有函数关系,不满足则不具有函数关系.(3)要表明两个函数解析式是同一个函数,必须同时满足:①自变量的取值范围相同;②从自变量到函数的对应规律相同.二典范分析例1一天老王骑摩托车外出旅游,刚开始行驶时,油箱中有油9升,行驶了1小时后发现已耗油1.5升.(1)求油箱中的剩余油量Q(升)与行驶的时间t (小时)之间的函数关系统式,并求出自变量t 的取值范围;(2)画出这个函数的图象;(3)如果摩托车以60千米/小时的速度匀速行驶,当油箱中的余油量为3升时,老王行驶了多少千米?分析: 根据油箱中原有油9升,1小时耗油1.5升,则t 小时耗油1.5t 升,得到行驶t 小时后油箱中余油量为(9-1.5t )升,由此可得出函数关系式.解: (1)Q=9-1.5t , 由9-1.5t =0,得到t =6,故t 的取值范围为0≤t ≤6.(2)列表、描点、连线,画出函数图象.(3)由3=9-1.5t 得到t =4所以240460=⨯==vt S (千米)所以老王行驶了240千米.评析 根据实际问题列出函数关系式,根据关系式画函数图象时,一定要注意函数自变量的取值范围,不能使实际问题失去意义.例2 张华上午8点骑自行车外出办事,如图表示他离家的距离S(千米)与所用时间t (小时)之间的函数图象.根据这个图象回答下列问题:(1)张华何时休息?休息了多少时间?这时离家多远?(2)他何时到达目的地?在那里逗留了多长时间?目的地离家多远?(3)他何时返回?何时到家?返回的平均速度是多少?分析:函数图象中,纵轴表示离家的距离S(千米),横轴表示所用时间t (小时);图中水平线段,即随着时间的增加,路程并没有增加,说明人在休息;返回的平均速度为返回路程与返回时间之比.解:(1)从图中可以看出休息时间是从9:00到9:30;休息了半个小时;这时离家15千米.(2)同样从图中可以得到张华11:00到达目的地;在那里逗留了1个小时,目的地离家30千米.(3)他12:00返回;14:00到家;返回时用了2个小时,行了30千米,返回时的平均速度为15230===t s v (千米/时) 答:张华返回时的平均速度为15千米/时.评注: 解题关键是正确识图,能从函数图象中获取有价值的信息.。
变量与函数知识点一: 常量与变量常量：在一个变化过程中永远都不发生改变的量叫常量．变量：在一个变化过程中发生改变的量叫变量．例如：一辆火车从甲地开往乙地，火车每小时走60km．这一过程中，甲乙两地的路程与火车的速度都始终保持不变，是常量，而火车所走的路程与火车所行驶的时间总在发生变化，它们是变量．知识点二: 函数的意义一般地，设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于变量x的每一个值，变量y都有唯一值与它对应，我们称y是x的函数，其中：x是自变量，y是因变量．(1)在理解函数的意义时要抓住三点：①有一个反映变化的过程．②有两个变量x 和y．③变量x一旦变化，变量y都有唯一值与它对应．．(2)在表示函数时，如果要把y表示成x的函数，其实就是用含x的代数式表示y。
知识点三: 函数中自变量的取值范围及函数值在一个变化过程中，自变量的取值通常有一定的范围，这个范围我们叫它为自变量的取值范围．确定自变量的取值范围通常要从两个方面考虑：①使含自变量的代数式有意义．②结合实际意义，使函数在实际情况下有意义．类型之一:例1.每个同学购买一支钢笔，每支笔5元，求总金额y（元）与学生数n（个）的函数关系并指出式中的函数与自变量，写出自变量的取值范围。
【解析】这里的自变量的取值范围，要考虑它的实际意义。
【解答】y=5n ，n 是自变量，y 是n 的函数。
自变量n 的取值范围是：n 为自然数。
类型之二:例2、一水管以均匀的速度向容积为100立方米的空水池中注水，注水的时间t 与注入的水量Q 如下表：请从表中找出t 与Q 之间的函数关系式，且求当t=5分15秒时水池中的水量Q 的值.【解析】t 和Q 的数值成正比关系：42=84=126=168，表示每分钟流量是2立方米，即Q=2t.一般实例中的解析式都要包含有自变量的取值范围，否则就不是正确答案.【解答】∵水管是匀速流出水于池中，速度是(4÷2)=2，即每分钟2立方米，函数解析式为Q=2t ，自变量t 为非负数.又∵水池容积为100 m 3，时间不能超过100÷2=50(分钟)，∴0≤t ≤50.当t=5分15秒时，Q=2×541=1021，即当t 为5分15秒时，水量为1021立方米. 典型例题1.下列关于变量x 、y 的关系：①3x-2y=5;②y=|x|;③2x-y 2=10.其中表示y 是x 的函数关系的是( )A.①②③B.①②C.①③D.②③【解析】B 对于3x-2y=5和y=|x|，由函数的定义知对于每一个x 值都有唯一确定的y 值与之对应，符合函数关系的要求.但对于2x-y 2=10，即y 2=2x-10，x 与y 不构成上述关系，即y 不是x 的函数.故①②表示y 是x 的函数关系，应选B.2．已知有两人分别骑自行车和摩托车沿着相同的路线从甲地到乙地去，•下图反映的是这两个人行驶过程中时间和路程的关系，请根据图象回答下列问题：（1）甲地与乙地相距多少千米？两个人分别用了几小时才到达乙地？•谁先到达了乙地？早到多长时间？（2）分别描述在这个过程中自行车和摩托车的行驶状态．（3）求摩托车行驶的平均速度．【解析】两人行驶的路程s是时间t的函数．从图象可以看出骑自行车的先出发而后到达乙地，行驶的路程都是100千米．【解答】（1）甲地与乙地相距100千米．两个人分别用了2小时（骑摩托车）、6小时（骑自行车）到达乙地．骑摩托车的先到乙地，早到了1小时．（2）骑自行车的先匀速行驶了2小时，行驶40千米后休息了1小时，然后用3小时到达乙地．骑摩托车的在自行车出发3小时后出发，行驶2小时后到达乙地．（3）摩托车行驶的平均速度是50千米/时．3.根据下列题意写出适当的关系式，并指出其中的变量和常量．（1）多边形的内角和W与边数n的关系（2）甲、乙两地相距y千米，一自行车以每小时10千米的速度从甲地驶向乙地，试用行驶时间t（小时）表示自行车离乙地的距离S（千米）．【解析】①弄清题意，寻找其中的相等关系是解决问题的关键．②在变化过程中，数值发生变化的量是变量，数值没有变化的量是常量．要注意字母表示的量不一定是变量，如第（2）小题中的y．【解答】根据题意列表解答如下：3．一个正方形的边长为5cm ，•它的边长减少xcm•后得到的新正方形的周长为ycm ，写了y 与x 的关系式，并指出自变量的取值范围．【解析】周长y=4（5-x ）；自变量的范围应能使正方形的边长是正数，即满足不等式组500x x ->⎧⎨≥⎩．【解答】y 与x 的函数关系式为y=20-4x ，自变量的取值范围是0≤x<5． 4.一水管以均匀的速度向容器为100立方米的空水池注水，注入的时间t 与注入的水量Q 如下表：t （分） 2 4 6 8 … Q （立方米） 4 8 12 16 …请写出函数关系式，且求当t=5分15秒时，水池中的水量Q 的值。
人教版八年级下册第十九章一次函数第17讲_变量与函数讲义（无答案）初中八年级数学下册第17讲：变量与函数一：思维导图二：知识点讲解知识点一：常量和变量➢概念✧变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫变量✧常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫常量➢变量和常量的区别在于，变量是可以变化的，常量是已知数例如：圆的周长公式r=中，C和r是变量，2和Cπ2π是常量例1：写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些量是常量，哪些量是变量1)购买单价是0.4元的铅笔，总金额y(元)与购买的铅笔数n(支)的关系2)运动员在400m一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t(s)与跑步速度v(m/s)的关系知识点二：函数函数：一般的，如果在一个变化过程中，有两个当用函数解析式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数解析式有意义，还必须符合实际意义。
例3：球下列函数中自变量x 的取值范围：知识点四：函数值对于一个函数，当自变量a x =时，我们可以求出与它对应的y 的值，我们就说这个值是a x =时的函数值。
1. 函数与函数值的区别：函数表示两个变量之间的一种关系，函数值是一个数值。
2. 当自变量的值确定时，函数值是唯一确定的。
但当函数值确定时，对应的自变量的值可以有多个：例如：24x y -=中，当2=x 时，0=y ；而当0=y 时，2±=x 。
例4：已知422+=xy1) 求x 取21和21-时的函数值 2) 求y 取10时x 的值三：知识点复习知识点一：常量和变量1. 一辆汽车以50km/h 的速度行驶，行驶的路程s(km)与行驶的时间t(h)之间的关系式为s=50t ，其中变量是（ ）A . 速度与路程B . 速度与时间C . 路程与时间D . 三者均为变量2. 球的半径和体积分别用r 和V 表示，则它们的关系为334r V π=，在这个变化过程中，常量为 。
知识点二：函数3. 下列变量间的关系不是函数关系的是（ ）A . 长方形的宽一定，其长与面积B . 正方形的面积与周长C . 等腰三角形的面积与底边长 D. 圆的周长与半径4. 下列各关系中，不是函数关系的是（ ）A . ()0≤-=x x yB . ()0≥±=x x y C .()0≥=x x yD .()0≥-=x x y知识点三：自变量的取值范围5. 下列函数中，自变量x 的取值范围不是全体实数的是（ ） A 1-=x y B 1+=x yCxy 1=D2x y =. . . .6. 函数12-=x y 中，自变量x 的取值范围为 。
《变量与函数》知识总结一知识梳理1 变量与常量：在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量，取值始终保持不变的量叫做常量.2函数；设在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y 都有唯一确定的值和它对应，那么就说x是自变量，y是自变量x的函数.函数实际上是变量之间的某种对应关系.3 自变量的取值范围：函数中自变量的取值应使函数有意义，且不能使实际问题失去意义.4 函数值：当自变量取某一数值时所对应的函数的值叫做这个函数当自变量取该值时的函数值.5 函数关系表示法：(1)解析法：用数学式子表示变量间的函数关系的方法叫做解析法.(2)列表法：用表格表示变量间的函数关系的方法叫做列表法.(3)图象法：有图象表示变量间的函数关系的方法叫做图象法.已知一个函数的解析式，通过列表、描点、连线，可以画出这个函数的图象，这种方法叫做描点法。
在画一个函数的图象时要注意自变量的取值范围.6 注意的问题(1) 变量和常量是相对的,并不是一成不变的.在一个过程中是常量,而在另一s=,当速度一定时,则速个过程则可能是变量.例如在某一运动过程中有关系式vt度v就是常量,而时间t和路程s则是变量;当时间一定时,则时间t是常量,而速度v 和路程s则是变量;同样若路程一定,则路程s是常量,而时间t和速度v就是变量.特别提醒字母π,它是一个常量.(2)判断两个变量是否具有函数关系,不能只看是否存在关系式,还要看对于x 的每一个值,y是否都有唯一确定的值和它对应.满足则具有函数关系,不满足则不具有函数关系.(3)要表明两个函数解析式是同一个函数,必须同时满足:①自变量的取值范围相同;②从自变量到函数的对应规律相同.二 典范分析例1 一天老王骑摩托车外出旅游,刚开始行驶时,油箱中有油9升,行驶了1小时后发现已耗油1.5升.(1)求油箱中的剩余油量Q(升)与行驶的时间t (小时)之间的函数关系统式,并求出自变量t 的取值范围;(2)画出这个函数的图象;(3)如果摩托车以60千米/小时的速度匀速行驶,当油箱中的余油量为3升时,老王行驶了多少千米?分析: 根据油箱中原有油9升,1小时耗油1.5升,则t 小时耗油1.5t 升,得到行驶t 小时后油箱中余油量为(9-1.5t )升,由此可得出函数关系式.解: (1)Q=9-1.5t , 由9-1.5t =0,得到t =6,故t 的取值范围为0≤t ≤6.(2)列表、描点、连线,画出函数图象.(3)由3=9-1.5t 得到t =4所以240460=⨯==vt S (千米)所以老王行驶了240千米.评析 根据实际问题列出函数关系式,根据关系式画函数图象时,一定要注意函数自变量的取值范围,不能使实际问题失去意义.例2 张华上午8点骑自行车外出办事,如图表示他离家的距离S(千米)与所用时间t (小时)之间的函数图象.根据这个图象回答下列问题:(1)张华何时休息?休息了多少时间?这时离家多远?(2)他何时到达目的地?在那里逗留了多长时间?目的地离家多远? (3)他何时返回?何时到家?返回的平均速度是多少?分析:函数图象中,纵轴表示离家的距离S(千米),横轴表示所用时间t (小时);图中水平线段,即随着时间的增加,路程并没有增加,说明人在休息;返回的平均速度为返回路程与返回时间之比.解:(1)从图中可以看出休息时间是从9:00到9:30;休息了半个小时;这时离家15千米.(2)同样从图中可以得到张华11:00到达目的地;在那里逗留了1个小时,目的地离家30千米.。
八年级上学期知识梳理《变量与函数》知识梳理一、学习目标1、通过简单实例，了解常量，变量的意义。
2、能结合实例，了解函数概念和三种表示方法。
3、理解函数的对应值与函数图象上的点之间一一对应关系。
4、能结合图象对简单的实际问题的函数关系进行分析，并会确定简单实际问题的函数的自变量的取值范围，并会求函数值。
5、会用描点法画出函数的图象。
6、能对一个变化过程进行恰当地估计和分析。
二、重点难点重点：1、函数概念的形成2、理解函数概念，并能根据具体问题得出相应的函数关系式。
3、把实际问题转化为函数图象4、了解画函数图象的一般步骤，会画出简单的函数图象。
5、函数的三种表示方法及其应用难点：1、正确理解函数的概念2、理解函数概念，并能根据具体问题得出相应的函数关系式。
3、根据函数图像研究实际问题4、函数关系式与函数图象之间的对应关系。
5、函数的三种表示方法及其应用三、知识梳理1、变量与常量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量；数值始终不变的量为常量。
2、函数、函数值一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数，如果当x＝a，y＝b，那么b叫做当自变量的值为a的函数值。
3、函数的图象一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。
函数图象能把复杂的函数关系直观地表示出来，帮助我们发现一些规律。
4、描点法画函数图象的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）不管以何种方式得到的函数图象，关键是找准点的位置，再用平滑的曲线连结，当然要注意自变量的取值范围。
5、函数的三种表示方法（1）列表法：列表法一目了然，给出自变量的一个值，从表中可直接查出它对应的函数值，使用起来很方便，但列出的x、y的值有限。
（2）解析式法：解析法简单明了，准确反映变化过程中两个变量之间的相依关系。
（3）图象法：图象法形象直观，通过函数图象，可以直接、形象地把函数关系表示出来，直观判断出函数y随自变量x变化情况。
表示函数时，要根据具体的情况选择适当的方法，有时为全面地认识问题，需要几种方法同时使用。
6、自变量取值范围的确定必须考虑自变量所取的值使解析式有意义，具体地，整式型的自变量的取值范围是全体实数，分式型的自变量的取值范围是使分母不为0的实数，偶次根型的自变量的取值范围是使被开方数为非负数的实数，复合型的自变量的取值范围由所列不等式组的解集来确定，应用型的自变量的取值范围要考虑实际意义。
7、观察函数图象的题目，一般考察的是函数图象信息提取的能力，如特殊点的坐标的实际意义，满足特定要求的取值区域，图形的变化趋势等等。
论推断。
比如由“1、3、5、7、9……”我们可以推断第n个数是2n－1。
四、误区警示1、不能认为式中出现常数就是常量，字母就是变量，如圆的面积公式，圆周率就是常量。
2、常量与变量的关系不是固定的，要根据具体的问题确定，如路程（S）、速度（v）、时间（t）三者的关系中，有，当速度v一定时，v是常数，s，t是变量；当路程一定时，s是常量，v，t是变量。
3、构成函数需要两个变量，既不能多，也不能少。
4、实际问题中要考虑自变量的取值范围是否符合实际意义。
《一次函数》知识梳理一、学习目标1、理解正比例函数的性质，根据条件确定正比例函数解析式，会画出它的图象并能结合图象回答问题。
2、能利用待定系数法确定一次函数解析式。
3、会画出一次函数图象，理解一次函数的性质，并能结合性质解决图象位置、面积等问题。
4、会通过“平移”的方法探寻一次函数的图象的有关性质。
5、能根据问题的信息确定自变量在不同范围内的一次函数关系式。
二、重点难点重点：1、正比例函数的概念、图象与性质2、一次函数、正比例函数的概念及关系3、会根据已知信息写出一次函数的表达式4、一次函数（包括正比例函数）图象与性质。
5、根据所给信息确定一次函数的表达式。
6、分段函数的初步认识与简单多变量问题难点：1、体验研究函数的一般思路与方法。
2、理解一次函数、正比例函数的概念及关系。
在探索过程中，发展抽象思维及概括能力。
3、如何使学生通过自己的实践与探究发现图象的特点与性质，并培养属性结合解决问题的能力。
4、对数学建模的过程、思想、方法的领会，提升分析解决问题的能力。
三、知识梳理1、一次函数、正比例函数：若两个变量x，y之间的关系可以表示为（k、b为常数，k≠0）的形式，称y是x的一次函数，特别地，当b＝0时，称y是x的正比例函数，显然，正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数，即正比例函数是一次函数的一个特殊情况。
注意：条件中的k≠0千万不要忽视，如果k＝0，直线y＝b不是一次函数。
2、一次函数图象：正比例函数（k≠0）的图象是经过两点（0，0）（1，k）的一条直线，一次函数（k≠0）的图象是经过两点（0，b），（，0）的一条直线，我们把这条直线成为直线。
具体性质如下表。
3、k、b对一次函数图象的影响：（1）当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小。
（2）k决定着一次函数图象的倾斜程度，越大，其图象与x轴的夹角就越大。
（3）b决定着直线与y轴的交点，当b大于0时，交点在y轴正半轴；当b小于0时，交点在y轴负半轴。
（4）直线可以看作由直线平移个长度单位得到（当时，向上平移；当时，向下平移）（5）直线、的几种位置关系：平行：，；重合：，；关于y轴对称：，；关于x轴对称：，；垂直：4、一次函数表达式的确定：一次函数表达式的确定通常有下列几种情况：（1）利用待定系数，根据直线上两点坐标列出方程组确定k、b的值，进而求出一次函数的表达式；（2）根据图表求出一次函数的表达式；（3）从已知条件出发，逐层求解得出一次函数表达式。
注意：已知一次函数上两点坐标可以确定一次函数解析式，可以理解为“两点确定一条直线”；已知一点坐标不可以确定一次函数解析式，因为“经过一点的直线有无数条”，但可以确定正比例函数解析式，因为正比例函数图象经过原点，相当于已知两点；已知三点或超过三点的坐标也不是一定不可以确定一次函数解析式，可以取其中任意两点确定一次函数解析式，再检验其余各点是否符合这个解析式。
5、与一次函数有关的面积问题求解：当一次函数图象与两坐标轴相交或两条相交直线与坐标轴相交时就会得到封闭图形，形成面积问题。
面积问题有两种类型：一是封闭图形是规则图形，这时可以直接使用面积公式。
二是封闭图形不规则，我们可以将一个不规则图形或难于不易求面积的规则图形，分解成几个易于求面积的规则图形，求出各部分面积后相加6、图象平移的三种方法：（1）图象法：先在平面直角坐标系中画出原来的图象，然后根据要求将其平移，根据平移后的图象求出其解析式。
（2）取值法：先在原来图象上任取两点，如（0,0）（1，2），再根据要求求出平移后这两点的坐标，根据所求两点的坐标，用待定系数法求出平移后的解析式。
（3）平移规律：比如将直线向上平移b（b>0）个单位后可得；将直线向下平移b（b>0）个单位后可得；将直线向左平移a（a>0）个单位后可得；将直线向右平移a（a>0）个单位后可得。
7、应用一次函数解实际问题：解答实际问题的关键在于，将实际问题抽象成为一个数学问题，然后利用一次函数有关性质求解，这其实是数学建模思想的一个应用。
四、误区警示1、“成正比例”与“正比例函数”：“正比例函数”中必定存在成正比例的数量关系，而存在“成正比例”关系的不一定是“正比例函数”，比如y与x＋2成正比。
2、正比例函数解析式的条件千万不要忽视，如果k=0，直线y=0就不是正比例函数。
一次函数解析式的条件也不要忽视，如果k=0，直线y=b就不是一次函数。
3、正比例函数是特殊的一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。
如从图象上来看，一次函数是一条不一定经过原点的直线，而正比例函数图象是一条一定经过原点的直线。
《用函数观点看方程（组）与不等式》知识梳理一、学习目标1、理解一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式之间的关系。
2、能用函数观点，把一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式转化为一次函数的问题，并通过“数形结合”的方法进行直观理解和分析。
3、会用图象法求一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式的解（解集）。
4、通过建立数学模型，解决含有多个变量的实际问题。
二、重点难点重点：1、一次函数与一元一次方程的关系的理解。
2、一次函数与一元一次不等式的关系的理解。
3、二元一次方程组的解与两直线交点坐标之间的对应关系的理解。
难点：1、一次函数与一元一次方程的关系的理解。
2、利用一次函数图象确定一元一次不等式的解集。
3、对应关系的理解及实际问题的探究建模。
三、知识梳理1、一次函数与一元一次方程的关系：一元一次方程都可以转化成的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值。
从图象上看，这相当于已知直线,求它与x轴交点的横坐标；2、一次函数与一元一次不等式组的关系：任何一个一元一次不等式都可以转化为或（a、b 为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围，也可以把一次函数在x轴上方的点所对应的x的取值范围看作不等式的解集；3、一次函数与二元一次方程组的关系：任意一个二元一次方程都可以转化为的形式，即每一个二元一次方程都对应着一个一次函数，也对应着一条直线，所以对二元一次方程组而言，都对应着两个一次函数，于是也对应着两条直线，故从数的角度来看，解二元一次方程组就相当于求自变量为多少时，两个函数值相等，以及这个函数的值是多少；从形的角度来看，解方程组相当于求两条直线交点的坐标。
4、图象法解方程（组）或不等式组的注意事项：用图象法得到的方程（组）的解或不等式的解集是否准确，关键在于图象画得是否准确，由于作图总有误差，所以只能求近似解，可以先用代数法求出方程（组）的解或不等式的解集，再来画图就心中有数了。
虽然用一次函数来解方程或不等式未必简单，但是从函数角度看问题，能发现一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的联系，能直观地看到怎样用图形来表示方程的解与不等式的解，这种用函数观点认识问题的方法，对于培养同学们数形结合的思想很有用。
5、一次函数的最值问题：考虑一次函数在a≤x≤b内的最大值和最小值问题的时候，要注意k的符号：k.>0时，则在x= a处取最小值，在x＝b处取最大值；k<0时，结论正好相反。
