新人教版高中数学《函数的概念》导学案

【新教材】3.1.1 函数的概念（人教A版）1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则。

2.掌握判定函数和函数相等的方法。

3.学会求函数的定义域与函数值。

重点：函数的概念，函数的三要素。

难点：函数概念及符号y=f(x)的理解。

一、预习导入阅读课本60-65页，填写。

1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的，在集合B中都有和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫做，叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合B的．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)3．其它区间的表示1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)区间表示数集，数集一定能用区间表示． ( ) (2)数集{x |x ≥2}可用区间表示为[2，＋∞]． ( )(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.（ ） (4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应.（ ） (5)函数的定义域和值域一定是无限集合． ( ) 2．函数y ＝1x ＋1的定义域是 ( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1,0)C ．(－1，＋∞)D ．(－1,0) 3．已知f (x )＝x 2＋1，则f ( f (－1))＝ ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．用区间表示下列集合：(1){x |10≤x ≤100}用区间表示为________． (2){x |x ＞1}用区间表示为________．题型一 函数的定义例1 下列选项中(横轴表示x 轴,纵轴表示y 轴),表示y 是x 的函数的是( )跟踪训练一1.集合A={x|0≤x ≤4},B={y|0≤y ≤2},下列不表示从A 到B 的函数的是( )题型二 相等函数例2 试判断以下各组函数是否表示同一函数:(1)f(x)=(√x )2,g(x)=√x 2;(2)y=x 0与y=1(x ≠0);(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z). 跟踪训练二1.试判断以下各组函数是否表示同一函数: ①f(x)=x 2-x x,g(x)=x-1;②f(x)=√xx ,g(x)=√x ;③f(x)=√(x +3)2,g(x)=x+3;④f(x)=x+1,g(x)=x+x 0;⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t ≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x ≤5). 其中表示相等函数的是 (填上所有正确的序号). 题型三 区间例3 已知集合A={x|5-x ≥0},集合B={x||x|-3≠0},则A ∩B 用区间可表示为 . 跟踪训练三1.集合{x|0<x<1或2≤x ≤11}用区间表示为 .2. 若集合A=[2a-1,a+2],则实数a 的取值范围用区间表示为 . 题型四 求函数的定义域 例4 求下列函数的定义域:(1)y=(x+2)|x |-x ; (2)f(x)=x 2-1x -1−√4-x . 跟踪训练四1.求函数y=√2x +3√2-x1x 的定义域.2.已知函数f(x)的定义域是[-1,4],求函数f(2x+1)的定义域. 题型五 求函数值（域） 例5 (1)已知f(x)＝11+x(x ∈R ，且x ≠－1)，g(x)＝x 2＋2(x ∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________. (2)求下列函数的值域：①y ＝x ＋1； ②y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； ③y ＝3x−11+x； ④y ＝2x －√x −1.跟踪训练五1.求下列函数的值域： (1)y ＝ √2x +1 ＋1；(2)y ＝1−x 21+x 2.1．对于集合A ={x |0≤x ≤2}，B ={y |0≤y ≤3}，由下列图形给出的对应f 中，不能构成从A 到B 的函数有（ ）个A.1个B.2个C.3个D.4个2．函数()2121f x ax x =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．a >1B ．0<a <1C ．a <0D ．a <13．函数f （x ）=√x−1x+3的定义域为 A ．{x|1≤x <3或x >3} B ．{x|x >1} C ．{x|1≤x <2} D ．{x|x ≥1}4．已知函数f (2x +1)的定义域为(−2,0)，则f (x )的定义域为（ ） A.(−2,0)B.(−4,0)C.(−3,1)D.(−12,1)5．下列各组函数中，()f x 与()g x 相等的是（ ）A ．()()2,2f x x g x x =-=-B ．()()32,f x x g x ==C ．()()22,2x f x g x x x=+=+D ．()()22,1x x x f x g x x x-==- 6．集合A ={x |x ≤5且x ≠1}用区间表示____________．7．已知函数8()2f x x =-（1）求函数()f x 的定义域； （2）求(2)f -及(6)f 的值． 8．求下列函数的值域： （1）f （x ）=211x x -+；（2）f （x ）=x ．答案小试牛刀1．（1）× （2） × （3）√ （4）× （5 ）× 2．C 3．D4. (1)[10,100] (2)(1，＋∞) 自主探究 例1 【答案】D 跟踪训练一【答案】C 例2 【答案】见解析【解析】:(1)因为函数f(x)=(√x )2的定义域为{x|x≥0},而g(x)=√x 2的定义域为{x|x ∈R},它们的定义域不同,所以它们不表示同一函数.(2)因为y=x 0要求x ≠0,且当x ≠0时,y=x 0=1,故y=x 0与y=1(x ≠0)的定义域和对应关系都相同,所以 它们表示同一函数.(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z)两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一函数. 跟踪训练二【答案】⑤【解析】①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数; ②f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一函数; ③f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一函数; ④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同,是同一函数. 例3 【答案】(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5] 【解析】∵A={x|5-x ≥0},∴A={x|x ≤5}. ∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x ≠±3}. ∴A ∩B={x|x<-3或-3<x<3或3<x ≤5}, 即A ∩B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]. 跟踪训练三【答案】(1)(0,1)∪[2,11] (2)(-∞,3)【解析】 (2)由区间的定义知,区间(a,b)(或[a,b])成立的条件是a<b. ∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1<a+2.∴a<3, ∴实数a 的取值范围是(-∞,3).例4【答案】(1) (-∞,-2)∪(-2,0) (2) (-∞,1)∪(1,4]【解析】(1)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{x +2≠0,|x |-x ≠0,即{x ≠-2,|x |≠x ,解得x<0,且x ≠-2.故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).(2)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{4-x ≥0,x -1≠0,即{x ≤4,x ≠1.故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4]. 跟踪训练四【答案】(1) {x |-32≤x <2,且x ≠0} (2) [-1,32]【解析】(1)要使函数有意义,需{2x +3≥0,2-x >0,x ≠0,解得-32≤x<2,且x ≠0,所以函数y=√2x +3−√2-x+1x 的定义域为{x |-32≤x <2,且x ≠0}.(2)已知f(x)的定义域是[-1,4],即-1≤x≤4. 故对于f(2x+1)应有-1≤2x+1≤4, ∴-2≤2x≤3,∴-1≤x≤32.∴函数f(2x+1)的定义域是[-1,32]. 例5【答案】（1）1317 （2）① R ② [2,6) ③ {y|y ∈R 且y≠3} ④ ⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞ 【解析】(1) ∵f (x)＝11＋x ，∴f(2)＝11＋2＝13.又∵g (x)＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6， ∴f ( g(2))＝f (6)＝11＋6＝17.(2) ①(观察法)因为x ∈R ，所以x ＋1∈R ，即函数值域是R.②(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．③(分离常数法)y ＝3x －1x ＋1＝3x ＋3－4x ＋1＝3－4x ＋1.∵4x ＋1≠0，∴y≠3， ∴y ＝3x －1x ＋1的值域为{y|y ∈R 且y≠3}．④(换元法)设t ＝x －1，则t≥0且x ＝t 2＋1，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞.跟踪训练五【答案】(1) [1，＋∞) (2) (－1,1]【解析】(1)因为2x ＋1≥0，所以2x ＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)． (2)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x2，又函数的定义域为R ，所以x 2＋1≥1，所以0＜21＋x 2≤2，则y ∈(－1,1]． 所以所求函数的值域为(－1,1]. 当堂检测1-5．CADCD 6．(,1)(1,5]-∞7．【答案】（1）()f x 的定义域为[3,2)(2,)-⋃+∞；（2）(2)1f -=-；(6)5f = 【解析】（1）依题意，20x -≠，且30x +≥，故3x ≥-，且2x ≠，即函数()f x 的定义域为[)()3,22,-⋃+∞. （2）()8223122f -=+-+=---，()8663562f =+=-. 8. 【答案】（1）（–∞，2）∪（2，+∞）； （2）[–54，+∞）. 【解析】（1）因为f （x ）=()2131x x +-+=2–31x +，所以f （x ）≠2， 所以函数f （x ）的值域为（–∞，2）∪（2，+∞）．（21x +（t≥0），则x=t 2–1，所以y=t 2–t –1（t≥0）． 因为抛物线y=t 2–t –1开口向上，对称轴为直线t=12∈[0，+∞），所以当t=12时，y取得最小值为–54，无最大值，所以函数f（x）的值域为[–54，+∞）．。

第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念1．函数的概念对吗？(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？提示：(1)这种看法不对．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y 是自变量的函数，当x 允许取某一具体值时，相应的y 值为与该自变量值对应的函数值．y ＝f (x )仅仅是函数符号，不表示“y 等于f 与x 的乘积”．在研究函数时，除用符号f (x )外，还常用g (x )，F (x )，G (x )等来表示函数．(2)f (x )与f (a )的区别与联系：f (a )表示当x ＝a 时，函数f (x )的值，是一个常量，而f (x )是自变量x 的函数，一般情况下，它是一个变量，f (a )是f (x )的一个特殊值，如一次函数f (x )＝3x ＋4，当x ＝8时，f (8)＝3×8＋4＝28是一个常数．2．区间及有关概念 (1)一般区间的表示设a ，b ∈R ，且a <b ，规定如下：(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． (2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．1．函数y ＝1x ＋1的定义域是( ) A ．[－1，＋∞) B ．[－1,0) C ．(－1，＋∞) D ．(－1,0) 2．若f (x )＝11－x 2，则f (3)＝________. 3．用区间表示下列集合：(1){x |10≤x ≤100}用区间表示为________；(2){x|x>1}用区间表示为________．函数的概念【例1】(1)下列各组函数是同一函数的是()①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x与g(x)＝x2；③f(x)＝x0与g(x)＝1x0；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.A．①②B．①③C．③④D．①④(2)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．1．判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空实数集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．2．判断函数相等的方法(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．1．下列四个图象中，不是函数图象的是()A B C D2．下列各组函数中是相等函数的是()A ．y ＝x ＋1与y ＝x 2－1x －1 B ．y ＝x 2＋1与s ＝t 2＋1C ．y ＝2x 与y ＝2x (x ≥0)D ．y ＝(x ＋1)2与y ＝x 2 求函数值【例2】 设f (x )＝2x 2＋2，g (x )＝1x ＋2， (1)求f (2)，f (a ＋3)，g (a )＋g (0)(a ≠－2)，g (f (2))． (2)求g (f (x ))．[思路点拨] (1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可； (2)把f (x )直接代入g (x )中便可得到g (f (x ))．函数求值的方法(1)已知f (x )的表达式时，只需用a 替换表达式中的x 即得f (a )的值. (2)求f (g (a ))的值应遵循由里往外的原则.3．已知f (x )＝x 3＋2x ＋3，求f (1)，f (t )，f (2a －1)和f (f (－1))的值． 求函数的定义域[探究问题]1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？ 提示：不可以．如f (x )＝x ＋1x 2－1.倘若先化简，则f (x )＝1x －1，从而定义域与原函数不等价．2．若函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y ＝f (x )的定义域是什么？提示：[1,2]是自变量x 的取值范围． 函数y ＝f (x )的定义域是x ＋1的范围[2,3]． 【例3】 求下列函数的定义域：(1)f(x)＝2＋3x－2；(2)f(x)＝(x－1)0＋2x＋1；(3)f(x)＝3－x·x－1；(4)f(x)＝(x＋1)2x＋1－1－x.[思路点拨]要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．(变结论)在本例求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零.(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零.(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.1．对于用关系式表示的函数．如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合．这也是求某函数定义域的依据．2．函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此，判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同．3．函数符号y＝f(x)是学习的难点，它是抽象符号之一．首先明确符号“y＝f(x)”为y是x的函数，它仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”.1．思考辨析(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．()(2)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．()(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．()(4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应．()(5)函数的定义域和值域一定是无限集合．( ) 2．下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( )A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．y ＝|x |D ．y ＝3x 3 3．将函数y ＝31－1－x的定义域用区间表示为________．4．已知函数f (x )＝x ＋1x ， (1)求f (x )的定义域； (2)求f (－1)，f (2)的值；(3)当a ≠－1时，求f (a ＋1)的值．3.1.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法函数的表示法思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗？ 提示：不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D (x )＝⎩⎨⎧0，x ∈Q ，1，x ∈∁R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．1．已知函数f (x )由下表给出，则f (3)等于( )2．二次函数的图象的顶点为(0，－1)，对称轴为y 轴，则二次函数的解析式可以为( )A ．y ＝－14x 2＋1B ．y ＝14x 2－1 C ．y ＝4x 2－16 D ．y ＝－4x 2＋16 3．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则其定义域是______．函数的三种表示方法【例1】 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x 与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在用三种方法表示函数时要注意：①解析法必须注明函数的定义域；②列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；③图象法中要注意是否连线．1．(1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )A B C D(2)由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于()图象的画法及应用【例2】作出下列函数的图象并求出其值域．(1)y＝－x，x∈{0,1，－2,3}；(2)y＝2x，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2)．描点法作函数图象的三个关注点(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图.(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象.(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心圈.提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.2．画出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x>1，或x<－1)．函数解析式的求法[探究问题]已知f(x)的解析式，我们可以用代入法求f(g(x))，反之，若已知f(g(x))，如何求f(x)．提示：若已知f(g(x))的解析式，我们可以用换元法或配凑法求f(x)．【例3】(1)已知f(x＋1)＝x－2x，则f(x)＝________；(2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)＝________；(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则f(x)＝________.[思路点拨](1)用换元法或配凑法求解；(2)用待定系数法求解；(3)用方程组法求解．1．(变条件求函数解析式的四种常用方法(1)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可.(2)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可.(3)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x 代替两边所有的“g(x)”即可.(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性.1．函数有三种常用的表示方法，可以适时的选择，以最佳的方式表示函数．2．作函数图象必须要让作出的图象反映出图象的伸展方向，与x轴、y轴有无交点，图象有无对称性，并标明特殊点．3．求函数解析式的主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)，注意有的函数要注明定义域.1．思考辨析(1)任何一个函数都可以用解析法表示．()(2)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．()2．已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式是()A．f(x)＝3x－1B．f(x)＝3x＋1 C．f(x)＝3x＋2 D．f(x)＝3x＋43．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．4．已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)．(1)画出f(x)图象的简图；(2)根据图象写出f(x)的值域．第2课时分段函数分段函数如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．思考：分段函数是一个函数还是几个函数？ 提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数．1．下列给出的式子是分段函数的是( )①f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，1≤x ≤5，2x ，x <1.②f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋1，x ∈R ，x 2，x ≥2.③f (x )＝⎩⎨⎧ 2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1.④f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋3，x <0，x －1，x ≥5.A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④ 2．函数y ＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0的值域是________．3．函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x >1，则f (f (4))＝________.分段函数的求值问题【例1】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52的值；(2)若f (a )＝3，求实数a 的值．1．分段函数求函数值的方法：(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值求字母取值的步骤： (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．1．函数f (x )＝⎩⎨⎧x －3，x ≥10，f (f (x ＋5))，x <10，则f (7)＝________.分段函数的解析式【例2】 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为2 2 cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 关于x 的函数解析式，并画出大致图象．[思路点拨] 可按点E 所在的位置分E 在线段AB ，E 在线段AD 及E 在线段CD 三类分别求解．1．当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．2．通过本例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识，培养学生的建模素养．2．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)． 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．分段函数的图象及应用[探究问题]1．函数f (x )＝|x －2|能用分段函数的形式表示吗？能否作出其图象？ 提示：能．f (x )＝⎩⎨⎧x －2，x ≥2，2－x ，x <2.函数f (x )的图象如图所示．2．结合探究点1，你能说一下画含有绝对值的函数图象的方法吗？ 提示：含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．【例3】 已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)． (1)用分段函数的形式表示f (x )； (2)画出f (x )的图象； (3)写出函数f (x )的值域．[思路点拨] (1)分－2<x <0和0≤x ≤2两种情况讨论，去掉绝对值可把f (x )写成分段函数的形式；(2)利用(1)的结论可画出图象；(3)由(2)中得到的图象，找到图象最高点和最低点的纵坐标，可得值域．把本例条件改为“分段函数图象的画法作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.1．分段函数是一个函数，而不是几个函数．2．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．3．分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意确定每段图象的端点是空心点还是实心点，各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象．1．思考辨析(1)分段函数由几个函数构成．( )(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x >1是分段函数．( )2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23 D.1393．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则其解析式为________．4．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1.(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域．3.2 函数的基本性质 3.2.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性1．增函数与减函数的定义12提示：定义中的x1，x2有以下3个特征：(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1<x2；(3)属于同一个单调区间．2．函数的单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．思考2：函数y＝1x在定义域上是减函数吗？提示：不是．y ＝1x 在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y ＝1x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．1．函数y ＝f (x )的图象如图所示，其增区间是( ) A ．[－4,4] B ．[－4，－3]∪[1,4] C ．[－3,1] D ．[－3,4]2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是( ) A ．y ＝－1x B ．y ＝x C ．y ＝x 2 D ．y ＝1－x 3．函数f (x )＝x 2－2x ＋3的单调减区间是________． 求函数的单调区间【例1】 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．(1)f (x )＝－1x ；(2)f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1；(3)f (x )＝－x 2＋2|x |＋3.求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；(2)利用函数的图象，如本例(3)．提醒：若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)．1．(1)根据如图所示，写出函数在每一单调区间上函数是增函数还是减函数；(2)写出y ＝|x 2－2x －3|的单调区间． 函数单调性的判定与证明【例2】 证明函数f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数． [思路点拨] 设元0<x 1<x 2<1―→作差：f (x 1)－f (x 2) ――→变形判号：f (x 1)>f (x 2)――→结论减函数利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2.(2)作差变形：作差f (x 1)－f (x 2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子.(3)定号：确定f (x 1)－f (x 2)的符号.(4)结论：根据f (x 1)－f (x 2)的符号及定义判断单调性.提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式.2．试用函数单调性的定义证明：f (x )＝2x x －1在(1，＋∞)上是减函数．函数单调性的应用[探究问题]1．若函数f (x )是其定义域上的增函数，且f (a )>f (b )，则a ，b 满足什么关系．如果函数f (x )是减函数呢？提示：若函数f (x )是其定义域上的增函数，那么当f (a )>f (b )时，a >b ；若函数f (x )是其定义域上的减函数，那么当f (a )>f (b )时，a <b .2．决定二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 单调性的因素有哪些？ 提示：开口方向和对称轴的位置，即字母a 的符号及－b2a 的大小．【例3】 (1)若函数f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数y ＝f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x －3)>f (5x －6)，则实数x 的取值范围为________．[思路点拨] (1)分析f (x )的对称轴与区间的关系――→数形结合建立关于a 的不等式――→ 求a 的范围(2)f (2x －3)>f (5x －6)――――――――――――――――→f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数建立关于x 的不等式――→ 求x 的范围1．(变条件函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.1．定义单调性时应强调x 1，x 2在其定义域内的任意性，其本质是把区间上无限多个函数值的大小比较转化为两个任意值的大小比较．2．证明函数的单调性(利用定义)一定要严格遵循设元、作差、变形、 定号、结论的步骤，特别在变形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的运用，直到符号判定水到渠成才可．3. 已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识， 如f (x )在D 上递增，则f (x 1)<f (x 2)⇔x 1<x 2.二是数形结合意识，如处理一(二)次函数及反比例函数中的含参数的范围问题.1．思考辨析(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( )(2)若函数y ＝f (x )在区间[1,3]上是减函数，则函数y ＝f (x )的单调递减区间是[1,3]．( )(3)函数f (x )为R 上的减函数，则f (－3)>f (3)．( )(4)若函数y ＝f (x )在定义域上有f (1)<f (2)，则函数y ＝f (x )是增函数．( ) (5)若函数f (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，则f (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．( )2．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )，则下列关于函数f (x )的说法错误的是( )A ．函数在区间[－5，－3]上单调递增B ．函数在区间[1,4]上单调递增C ．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D ．函数在区间[－5,5]上没有单调性 3．如果函数f (x )＝x 2－2bx ＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b 的取值范围为( )A ．b ＝3B ．b ≥3C ．b ≤3D ．b ≠3 4．证明：函数y ＝x x ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．第2课时 函数的最大(小)值函数最大值与最小值提示：不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．1．函数y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A．－1,0B．0,2 C．－1,2 D.12，22．设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)()A．有最大值B．有最小值C．既有最大值又有最小值D．既无最大值又无最小值3．函数f(x)＝1x，x∈[1,2]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．利用函数的图象求函数的最值(值域)【例1】 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5].(1)在直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．利用图象求函数最值的方法 (1)画出函数y ＝f (x )的图象；(2)观察图象，找出图象的最高点和最低点；(3)写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值.1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1x ，x >1，求f (x )的最大值、最小值．利用函数的单调性求最值(值域)【例2】 已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1. (1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，则f (x )在区间[a ，b ]上的最小(大)值是f (a )，最大(小)值是f (b )．(2)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，在区间[b ，c ]上是减(增)函数，则f (x )在区间[a ，c ]上的最大(小)值是f (b )，最小(大)值是f (a )与f (c )中较小(大)的一个．提醒：(1)求最值勿忘求定义域．(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．2．求函数f(x)＝x＋4x在[1,4]上的最值．函数最值的实际应用【例3】一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？解实际应用题的四个步骤(1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系.(2)建模：建立数学模型，列出函数关系式.(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围).(4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案.3．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？二次函数的最值问题[探究问题]1．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的对称轴与区间[m ，n ]可能存在几种位置关系，试画草图给予说明？提示：2．求二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 在[m ，n ]上的最值，应考虑哪些因素？ 提示：若求二次函数f (x )在[m ，n ]上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x ＝－b2a 与区间[m ，n ]的关系．【例4】 已知函数f (x )＝x 2－ax ＋1，求f (x )在[0,1]上的最大值． [思路点拨] f (x )＝x 2－ax ＋1――→分类讨论分析x ＝a 2与[0，1]的关系――→数形结合求f (x )的最大值1．在题设条件不变的情况下，求f (x )在[0,1]上的最小值．2．在本例条件不变的情况下，若a ＝1，求f (x )在[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值．二次函数在闭区间上的最值设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)，则二次函数f (x )在闭区间[m ，n ]上的最大值、最小值有如下的分布情况：1．函数的最大(小)值，包含两层意义：一是存在，二是在给定区间上所有函数值中最大(小)的，反映在函数图象上，函数的图象有最高点或最低点．2．求函数的最值与求函数的值域类似，常用的方法是：(1)图象法，即画出函数的图象，根据图象的最高点或最低点写出最值；(2)单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的意义求出最值；(3)对于二次函数还可以用配方法研究，同时灵活利用数形结合思想和分类讨论思想解题．3．通过函数最值的学习，渗透数形结合思想，树立以形识数的解题意识．1．思考辨析(1)任何函数都有最大(小)值．()(2)函数f(x)在[a，b]上的最值一定是f(a)(或f(b))．()(3)函数的最大值一定比最小值大．()2．函数y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域为()A．[0,3]B．[－1,0] C．[－1，＋∞)D．[－1,3]3．函数y＝ax＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则a＝______.4．已知函数f(x)＝2x－1(x∈[2,6])．(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；(2)求函数的最大值和最小值．3.2.2 奇偶性 第1课时 奇偶性的概念函数的奇偶性提示：定义域关于原点对称．1．下列函数是偶函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝2x 2－3 C ．y ＝1xD ．y ＝x 2，x ∈[0,1]2．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )A B C D3．函数y ＝f (x )，x ∈[－1，a ](a >－1)是奇函数，则a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．无法确定4．若f (x )为R 上的偶函数，且f (2)＝3，则f (－2)＝________. 函数奇偶性的判断【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3＋x ；(2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝2x 2＋2xx ＋1；(4)f (x )＝⎩⎨⎧x －1，x <0，0，x ＝0，x ＋1，x >0.判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法：(2)图象法：1．下列函数中，是偶函数的有________．(填序号) ①f (x )＝x 3；②f (x )＝|x |＋1；③f (x )＝1x 2； ④f (x )＝x ＋1x ；⑤f (x )＝x 2，x ∈[－1,2]． 奇偶函数的图象问题【例2】已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题．巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称.(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.2．如图是函数f(x)＝1x2＋1在区间[0，＋∞)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据．利用函数的奇偶性求值[探究问题]1．对于定义域内的任意x，若f(－x)＋f(x)＝0，则函数f(x)是否具有奇偶性？若f(－x)－f(x)＝0呢？提示：由f(－x)＋f(x)＝0得f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．由f(－x)－f(x)＝0得f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)的值可求吗？若f(x)为偶函数呢？提示：若f(x)为奇函数，则f(0)＝0；若f(x)为偶函数，无法求出f(0)的值．【例3】(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；(2)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.[思路点拨](1)f(x)是偶函数――→定义域关于原点对称求a的值――→图象关于y轴对称求b的值(2)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx―→判断g(x)的奇偶性―→计算g(－3)―→代入求得f(3)利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数.(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解.3．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.1．奇偶性是函数“整体”性质，只有对函数f(x)定义域内的每一个值x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说f(x)是奇函数(或偶函数)．2．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用．1．思考辨析(1)函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．()(2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．()(3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．()(4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．()2．函数f(x)＝|x|＋1是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数3．已知函数f (x )＝ax 2＋2x 是奇函数，则实数a ＝______.4．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示．(1)请补出完整函数y ＝f (x )的图象； (2)根据图象写出函数y ＝f (x )的增区间； (3)根据图象写出使f (x )<0的x 的取值集合．第2课时 奇偶性的应用用奇偶性求解析式【例1】 (1)函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，求f (x )的解析式；(2)设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝1x －1，求函数f (x )，g (x )的解析式．[思路点拨] (1)设x <0，则－x >0――→当x >0f (x )＝－x ＋1求f (－x )――→奇函数得x <0时f (x )的解析式――→奇函数的性质f (0)＝0――→分段函数f (x )的解析式(2)f (x )＋g (x )＝1x －1――→用－x 代式中x得f (－x )＋g (－x )＝1－x －1――→奇偶性得f (x )－g (x )＝－1x ＋1――→解方程组得f (x )，g (x )的解析式把本例(2)利用函数奇偶性求解析式的方法(1)“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x 就应在哪个区间上设. (2)要利用已知区间的解析式进行代入.(3)利用f (x )的奇偶性写出－f (x )或f (－x )，从而解出f (x ).提醒：若函数f (x )的定义域内含0且为奇函数，则必有f (0)＝0，但若为偶函数，未必有f (0)＝0.函数单调性和奇偶性的综合问题[探究问题]1．如果奇函数f (x )在区间(a ，b )上单调递增，那么f (x )在(－b ，－a )上的单调性如何？如果偶函数f (x )在区间(a ，b )上单调递减，那么f (x )在(－b ，－a )上的单调性如何？提示：如果奇函数f (x )在区间(a ，b )上单调递增，那么f (x )在(－b ，－a )上单调递增；如果偶函数f (x )在区间(a ，b )上单调递减，那么f (x )在(－b ，－a )上单调递增．2．你能否把上述问题所得出的结论用一句话概括出来？提示：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．3．若偶函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，那么f (3)和f (－2)的大小关系如何？。

121 《函数的概念》（2）导案【习目标】1 会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；2 掌握判别两个函数是否相同的方法【重点难点】重点：用区间符号正确表示数的集合，求简单函数定义域和值域及函数相等的判断。

难点：求函数定义域和值域。

【知识链接】（预习教材P18~ P19，找出疑惑之处）复习1：函数的三要素是、、函数23xyx=与y＝3是不是同一个函数？为何？复习2：用区间表示函数y＝＋b、y＝a2＋b＋c、y＝kx 的定义域与值域，其中0k≠，0a≠【习过程】※ 习探究探究任务：函数相同的判别讨论：函数y =、y 2、y =32x x 、y 、y 有何关系？试试：判断下列函数()f x 与()g x 是否表示同一个函数，说明理由？① ()f x = 0(1)x -；()g x = 1[]② ()f x = ； ()g x③ ()f x = 2；()g x = 2(1)x +④ ()f x = ；()g x小结：① 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关※ 典型例题例1 求下列函数的定义域 （用区间表示）（1）23()2x f x x -=-；（2）()f x（3）1()2f x x =-试试：求下列函数的定义域（用区间表示）（1）2()3x f x x -=-；（2）()f x =小结：（1）定义域求法（分式、根式、组合式）；（2）求定义域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组）例2求下列函数的值域（用区间表示）：（1）y ＝2－3＋4； （2）()f x =[]（3）y ＝53x -+； （4）2()3x f x x -=+变式：求函数(0)ax b y ac cx d +=≠+的值域小结：求函数值域的常用方法有： 观察法、配方法、拆分法、基本函数法※ 动手试试练1 若2(1)21f x x +=+，求()f x练2 一次函数()f x 满足[()]12f f x x =+，求()f x【习反思】※ 习小结1 定义域的求法及步骤；2 判断同一个函数的方法；3 求函数值域的常用方法※ 知识拓展对于两个函数()y f u =和()u g x =，通过中间变量u ，y 可以表示成的函数，那么称它为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作(())y f g x = 例如y =y =21u x =-复合※ 自我评价 你完成本节导案的情况为（ ）A 很好B 较好 一般 D 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1 函数()1f x 的定义域是（ ）A [3,1]-B (3,1)- R D ∅2 函数2132x y x -=+的值域是（ ）[&&]A 11(,)(,)33-∞--+∞B 22(,)(,)33-∞+∞[]11(,)(,)22-∞--+∞ D R 3 下列各组函数()()f x g x 与的图象相同的是（ ）A 2(),()f x x g x ==B 22(),()(1)f x x g x x ==+0()1,()f x g x x ==D ()||,()x f x x g x x ⎧==⎨-⎩(0)(0)x x ≥<4 函数f 12x-的定义域用区间表示是 5 若2(1)1f x x -=-，则()f x =1 设一个矩形周长为80，其中一边长为，求它的面积y 关于的函数的解析式，并写出定义域2 已知二次函数f ()=a 2+b （a ，b 为常数，且a ≠0）满足条件f (－1)=f (3－)且方程f ()=2有等根，求f ()的解析式。

第一章 集合与函数概集合 1.2.1 函数的概念一、学习目标1.理解函数的概念,了解构成函数的三要素；2.会判断给出的两个函数是否是同一函数；3.能正确使用区间表示数集，会求函数定义域、值域及函数相等的判断。

【重点、难点】重点：理解函数的概念，用区间符号正确表示数的集合；难点：对函数概念及符号y=f(x)的理解，求函数定义域和值域。

二、学习过程【情景创设】初中的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。

【导入新课】问题1：对教科书中第15页的实例(1)，你能得出炮弹飞行1s,5s,10s,20s 时距地面多高吗？其中t 的取值范围是什么？(点拨：用解析式刻画变量之间的对应关系，关注t 和h 的范围)解:h(1)= ，h(5)= ， h(10)= ， h(20)= 炮弹飞行时间t 的变化范围是数集{026}A x x =≤≤，炮弹距地面的高度h 的变化范围是数集{0845}B h h =≤≤，对应关系21305h t t =- （*）。

从问题的实际意义可知，对于数集A 中的任意一个时间t ，按照对应关系（*），在数集B 中都有唯一确定的高度h 和它对应。

问题2：对教科书中第15页的实例(2)，你能从图中可以看出哪一年臭氧空洞面积最大？哪些年的臭氧空洞面积大约为2000万平方千米？其中t 的取值范围是什么？(点拨：用图像刻画变量之间的对应关系)。

例子（2）中数集{19792001}A t t =≤≤，{026}B S S =≤≤，并且对于数集A 中的任意一个时间t ，按图中曲线，在数集B 中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S 和它对应。

1.2.1函数的概念教学目标1.理解函数的概念；2.了解构成函数的三要素；3.正确使用函数、区间符号．教学过程一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《1．2.1 函数的概念》课件“情景引入”部分，让学生与大家分享自己的了解。

通过举例说明和互相交流，做好教师对学生的活动的梳理引导，并给予积极评价.二、自主学习1．函数的概念：设A，B是________的________集，如果按照某种确定的________f，使对于集合________中的________一个数x，在集合________中都有__________的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作________，x∈A.其中，x叫做________，x的取值范围A叫做函数的________；与x的值相对应的y值叫做________，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________，值域是集合B的子集．提示：非空数对应关系A任意B唯一确定y＝f(x)自变量定义域函数值值域2.一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的________相同，并且__________完全一致，我们就称这两个函数相等．提示：定义域对应关系3.填写下表中不等式、区间和数轴的对应关系：三、合作探究探究点1：函数的概念问题1初中时用运动变化的观点定义函数，用这种观点能否判断只有一个点(0,1)，算不算是函数图象？提示：因为只有一个点，用运动变化的观点判断就显得牵强，因此有必要引入用集合和对应来定义的函数概念．问题2用函数的上述定义可以轻松判断：A＝{0}，B＝{1}，f：0→1，满足函数定义，其图象(0,1)自然是函数图象．试用新定义判断下列对应是不是函数？(1)f：求周长；A＝{三角形}，B＝R；(2)；(3)；(4)；(5).提示：(1)不是，因为集合A不是数集．(2)是．对于数集A中的每一个x，在数集B中都有唯一确定的y和它对应．(3)是．对于数集A中的每一个x，在数集B中都有唯一确定的y和它对应．(4)不是．一个x＝1，对应了三个不同的y，违反了“唯一确定”．(5)不是．x＝3没有相应的y与之对应．例1判断下列对应是否为集合A到集合B的函数．(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x；(4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.提示： (1)A 中的元素0在B 中没有对应元素，故不是集合A 到集合B 的函数． (2)对于集合A 中的任意一个整数x ，按照对应关系f ：x →y ＝x 2在集合B 中都有唯一一个确定的整数x 2与其对应，故是集合A 到集合B 的函数．(3)集合A 中的负整数没有平方根，在集合B 中没有对应的元素，故不是集合A 到集合B 的函数．(4)对于集合A 中任意一个实数x ，按照对应关系f ：x →y ＝0在集合B 中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A 到集合B 的函数．名师点评：判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断：(1)A ，B 必须是非空数集；(2)A 中任何一个元素在B 中必须有元素与其对应；(3)A 中任何一个元素在B 中必须有唯一一个元素与其对应．例2 (1)已知函数f (x )＝2x ＋1，求f (0)和f [f (0)]；(2)求函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数的定义域，值域；(3)若f (x )、g (x )对应关系分别由下表给定，求f [g (x )]的值域.提示： (1)f (0)＝2×0＋1＝1. ∴f [f (0)]＝f (1)＝2×1＋1＝3.(2)x 为有理数或无理数，故定义域为R .只有两个函数值0,1，故值域为{0,1}． (3)f [g (x )]中的x ＝1,2,3.由表知g (1)＝1，g (2)＝2，g (3)＝1，∴f [g (1)]＝f (1)＝3，f [g (2)]＝f (2)＝2，f [g (3)]＝f (1)＝3. ∴值域为{2,3}．名师点评：“某种确定的对应关系f ”可以有各种表现形式，可以是传统的一个解析式，可以是分成若干段，每段一个解析式，也可以用表格硬性指定对应关系．探究点2：函数相等例3 下列函数中哪个与函数y ＝x 相等？ (1)y ＝(x )2；(2)y ＝3x 3；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x 2x. 提示： (1)y ＝(x )2＝x (x ≥0)，y ≥0，定义域不同且值域不同，所以不相等； (2)y ＝3x 3＝x (x ∈R )，y ∈R ，对应关系相同，定义域和值域都相同，所以相等；(3)y ＝x 2＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，y ≥0；值域不同，且当x <0时，它的对应关系与函数y ＝x 不相同，所以不相等；(4)y ＝x 2x的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x 的定义域不相同，所以不相等．名师点评：在两个函数中，两个函数的定义域、值域、对应关系有一个不同，两函数就不相等，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才相等．四、当堂检测1．对于函数y ＝f (x )，以下说法正确的有( ) ①y 是x 的函数；②对于不同的x ，y 的值也不同；③f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量； ④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．下列说法中，不正确的是( )A ．函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了D ．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素 3．下列关于函数与区间的说法正确的是( ) A ．函数定义域必不是空集，但值域可以是空集 B ．函数定义域和值域确定后，其对应关系也就确定了 C ．数集都能用区间表示D ．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应 4．区间(0,1)等于( ) A ．{0,1} B ．{(0,1)} C ．{x |0<x <1}D ．{x |0≤x ≤1}5．对于函数f：A→B，若a∈A，则下列说法错误的是()A．f(a)∈B B．f(a)有且只有一个C．若f(a)＝f(b)，则a＝b D．若a＝b，则f(a)＝f(b)提示：1．B 2.B 3.D 4.C 5.C五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?提示：1．函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系．由于函数的定义域和对应关系一经确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等只须两个函数的定义域和对应关系一样即可．2．f(x)是函数符号，f表示对应关系，f(x)表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x 的乘积．在不同的函数中f的具体含义不同，对应关系可以是解析式、图象、表格等．函数除了可用符号f(x)表示外，还可用g(x)，F(x)等表示．六、课例点评本节课环节紧凑，重难点突出，设计合理。

§3．1．1 函数的概念导学目标：1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。

2．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．（预习教材P59~ P66，回答下列问题）回忆：初中学习的函数概念是什么？设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，则称x是自变量，y是x的函数；其中自变量x的取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y的值叫做函数的值域。

情景：请同学们考虑以下两个问题：①1y=是函数吗？②y x=和2xyx=是同一个函数吗？为了得到函数更准确的定义，我们一起看下面几个函数，回答相应的问题：问题一：某“复兴号”高速列车加速到350km后保持匀速运行半小时，这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t(单位：h）的关系可以表示为350S t=．①思考1：有人说：“根据对应关系350S t=，这趟列车加速到50/km t后，运行1h就前进了350km．”你认为这个说法正确吗?本题中，t和S是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是t的函数．第二章 一元二次函数、方程和不等式- 2 -问题二：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资。

显然，工人一周的工资w （元）和他一周工作天数d （天）的关系可表示为350w d ．②思考2：问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么?问题三：下图是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图．如何根据该图确定这一天内任一时刻t 的空气质量指数的值I ？思考3：本题中变量I 是变量t 的函数吗？问题四：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。

函数及其表示【2013年高考会这样考】1．主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法．2．考查分段函数的简单应用．3．由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查．【复习指导】掌握：(1)求函数的定义域的方法；(2)求函数解析式的基本方法；(3)分段函数及其应用．基础梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义：设A、B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A. (2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫值域．值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据．2．函数的三种表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．3．映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．两个防范(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域． (2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性． 三个要素函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等．函数是特殊的映射，映射f ：A →B 的三要素是两个集合A 、B 和对应关系f .双基自测1．(人教A 版教材习题改编)函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( )． A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．[1，＋∞)解析 ∵3x ＋1＞1，∴f (x )＝log 2(3x ＋1)＞log 21＝0. 答案 A2．(2011·江西)若f (x )＝1log 122x ＋1，则f (x )的定义域为( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞)解析 由log 12(2x ＋1)＞0，即0＜2x ＋1＜1，解得－12＜x ＜0.答案 A3．下列各对函数中，表示同一函数的是( )． A ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg x B ．f (x )＝lg x ＋1x －1，g (x )＝lg(x ＋1)－lg(x －1) C ．f (u )＝1＋u1－u，g (v )＝ 1＋v1－vD ．f (x )＝(x )2，g (x )＝x 2 答案 C4．(2010·陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )． A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510 解析 根据规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，即余数分别为7、8、9时可增选一名代表．因此利用取整函数可表示为y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310.故选B. 答案 B5．函数y ＝f (x )的图象如图所示．那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________．答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]考向一 求函数的定义域【例1】►求下列函数的定义域： (1)f (x )＝|x －2|－1log 2x －1；(2)f (x )＝ln x ＋1－x 2－3x ＋4. [审题视点] 理解各代数式有意义的前提，列不等式解得．解(1)要使函数f (x )有意义，必须且只须⎩⎨⎧|x －2|－1≥0，x －1>0，x －1≠1.解不等式组得x ≥3，因此函数f (x )的定义域为[3，＋∞)． (2)要使函数有意义，必须且只须⎩⎨⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，即⎩⎨⎧x >－1，x ＋4x －1<0，解得：－1<x <1.因此f (x )的定义域为(－1,1)．求函数定义域的主要依据是(1)分式的分母不能为零；(2)偶次方根的被开方式其值非负；(3)对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.考向二 求函数的解析式【例2】►(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )；(2)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式．[审题视点] (1)用代换法求解；(2)构造方程组求解． 解 (1)令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1. (2)x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 以－x 代x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．求函数解析式的方法主要有：(1)代入法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)解函数方程等．【训练2】 (1)已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，试求f (x )的表达式．(2)已知f (x )＋2f (1x)＝2x ＋1，求f (x )．解 (1)由题意可设f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，则a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1 ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1 ∴⎩⎨⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝12，b ＝12.因此f (x )＝12x 2＋12x .(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ＋1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝2x ＋1，消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，得f (x )＝4＋x －2x 23x.考向三 分段函数【例3】►(2011·辽宁)设函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )．A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞) D．[0，＋∞) [审题视点] 对于分段函数应分段求解，最后再求其并集． 解析 f (x )≤2⇔⎩⎨⎧x ≤1，21－x≤2或⎩⎨⎧x ＞1，1－log 2x ≤2⇔0≤x ≤1或x ＞1，故选D.分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题，如本例中，需分x ≤1和x ＞1时分别解得x 的范围，再求其并集．一、选择题1．已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )A.12B.45 C ．2 D ．93．定义x ⊗y ＝x 3－y ，则h ⊗(h ⊗h )＝( ) A ．－h B ．0 C ．h D ．h 34．已知函数f (x )的图象是两条线段(如图，不含端点)，则f⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝( )A ．－13 B.13C ．－23 D.235．(2012·济南模拟)已知函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则f (3)＝( )A ．8B ．9C ．11D ．10二、填空题6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2ax ，x ≥22x ＋1，x ＜2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．7．已知函数f (x )＝2x ＋1与函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝2成轴对称图形，则函数y ＝g (x )的解析式为________．答案：g (x )＝9－2x 三、解答题 8．若函数f (x )＝xax ＋b(a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式．解：由f (2)＝1得22a ＋b＝1，即2a ＋b ＝2； 由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0， 解此方程得x ＝0或x ＝1－ba ， 又因方程有唯一解，∴1－ba ＝0， 解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，∴f (x )＝2x x ＋2. 9．设x ≥0时，f (x )＝2；x <0时，f (x )＝1，又规定：g (x )＝3f (x －1)－f (x －2)2(x >0)，试写出y ＝g (x )的表达式，并画出其图象．解：当0<x <1时，x －1<0，x －2<0， ∴g (x )＝3－12＝1； 当1≤x <2时，x －1≥0，x －2<0， ∴g (x )＝6－12＝52； 当x ≥2时，x －1>0，x －2≥0， ∴g (x )＝6－22＝2.故g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，(0<x <1)，52，(1≤x <2)，2，(x ≥2).其图象如图学后反思：-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------。

1.2 《函数的概念及表示》导学案【导入新课】回顾问题导入：1．回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量.新授课阶段（一）函数的概念：1. 函数的定义：设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称 为从集合A 到集合B 的一个 （function ），记作：(),y f x x A=∈. 其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作 （domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫 （range ）.显然，值域是集合B 的子集. 1．判断下列图中对应关系是否是函数2.下列函数中，哪些函数相等？①y x = ②||y x =③y ④2y = ⑤3y =（判别方法：函数是否为同一个函数，主要看 和 是否相同.）3．已知函数 f (x )＝12 x ＋1 求： f (0)，f (1)，f (－2)， f (a )2. 区间及写法：设a 、b 是两个实数，且a<b ，则：满足不等式a x b≤≤的实数x 的集合叫做 ，表示为 ； 满足不等式a x b<<的实数x 的集合叫做 ，表示为 ； 满足不等式a x b a x b≤<<≤或的实数x 的集合叫做 ，表示为[)(],,,ab ab ； 这里的实数a 和b 都叫做相应区间的 .（数轴表示见课本P 17表格）符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”.我们把满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别表示为[)(),,,,a a +∞+∞(](),,,b b -∞-∞. 例1 对范围1x a-≤≤用区间表示正确的为（ ） A ．()1,a - B ．[]1,a - C ．[)1,a - D ．(]1,a -1.将下列集合与区间互化 ⑴ {}32≤≤-x x ⇔ ⑵{}20<<x x ⇔ ⑶x ∈{}xm x n <≤⇔ ⑷x ∈{}13-≤<-x x⇔ ⑸x ∈{}x x h ≥⇔ ⑹{}3<x x ⇔ （7）(),x∈-∞+∞⇔ （8）(),x b ∈-∞⇔ （9）()[]2,53,7⋂⇔3. 函数定义域的求法：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指 .1.()45f x x =-+ 2. 8()2f x x =+3. ()f x★4. 0()(1)f x x =-例2 函数x x y 22-=的定义域为{}3,2,1,0，那么其值域为 （ ） A ．{}3,0,1- B ．{}3,2,1,0 C ．{}31≤≤-y y D ．{}30≤≤y y 例3 如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数式()y f x=，并写出它的定义域．（二）函数的三种表示方法：1. 结合课本P 15 给出的三个实例，说明三种表示方法的适用范围及其优点：解析法：就是用 表示两个变量之间的对应关系；优点：简明扼要；给自变量求函数值.图象法：就是用 表示两个变量之间的对应关系；优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势.列表法：就是列出 来表示两个变量之间的对应关系.优点：不需计算就可看出函数值，如股市走势图； 列车时刻表；银行利率表等.例4 函数||)(x x x f =的图象是（ ）2. 分段函数的定义：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做 ，如以下的例9的函数就是分段函数.说明：（1）分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出；（2）分段函数只是一个函数，只不过x 的取值范围不同时，对应法则不相同.例5画出下列函数的图象．（1）y ＝x －2，x ∈Z 且｜x ｜2≤；（2）y ＝－22x ＋3x ，x ∈（0，2］；（3）y ＝｜x ｜； （4）3232232x y x x x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≥＜－，＝－－＜－．.例6已知⎩⎨⎧>-<+=0404)(x x x x x f ，则)3([-f f ]的值为 .练习1.下列说法中正确的是 （ ）A.函数定义中的集合B 就是值域B.实数集可以表示为区间[,]-∞+∞C.任何一个集合都可以用区间来表示D.一个函数只要定义域和对应关系确定，那么这个函数就是确定的2.判断下列各组中的两个函数是否相等，若不相等，请说明理由。

A B C D ．已知函数一个面积为2100cm的等腰梯形，上底长为cmx,下底长为上底长的3倍，则把它的高的函数为( ).()()()) >>>500；(B) y=100；(C) y=0； (D) y=.x x x x x第 3 页 共 4 页 第 4页 共4页类型2．由原函数求复合函数，即由()f x 求(())f g x . 例3．已知 2()1f x x =-，求2()f x x + 、1()f x .类型3.由复合函数求原函数即由(())f g x 求()f x 例4．21)f x =+()f x .类型4．对于变量出现互为相反数，倒数的情况时，常用解方程组法. 例5．()f x 满足．()2()32f x f x x --=+，求()f x . 探究三 图象法问题1． 图象法的优点有哪些？ 问题2． 说出你对分段函数的理解 例6． 设22, (41)(), (12)2, (24)x x f x x x x x +-≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≤≤⎩≤（1）((1))f f -=_______________ ；（2）若()3f x =则x =_________；(3)求函数()f x 的定义域，值域，并画出函数图象.探究四 常见含有绝对值的函数的图象的画法 例7．画出函数()f x x =的图象.变式1．画出函数()1f x x =-的图象.变式2．画出函数()12f x x x =-++的图象.变式3．画出函数2()23f x x x =--的图象. 变式4．画出函数2()23f x x x =--的图象. 探究五 映射问题1．映射的概念是什么？问题2．函数与映射有哪些区别与联系？例8．从集合A 到集合B 一些对应法则，哪些是映射？（1）A ={P | P 是数轴上的点}，B =R ； 对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应 （2）A ={三角形}，B ={圆}；对应关系f ：每个三角形都有对应它的内切圆；（3）A ={ P | P 是平面直角体系中的点}，{(,)|,}B x y x R y R =∈∈；对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（4）A ={建始一中高一班级}，B = {建始一中高一学生}.对应关系f ：每个班级都对应班里的学生；巩固案A 级1 某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x 与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来.2. 已知一次函数)(x f y =满足()46f f x x ⎡⎤⎣⎦＝＋，则()f x ＝________.3.下列曲线中，能表示函数)(x f y =的有 个.B 级4．已知二次函数()f x 满足(0)=0f ，且对任意x ∈R 总有(+1)=()++1f x f x x ，求()f x ． C级5. 动点P 从单位正方形ABCD 顶点A 开始运动一周，设沿正方形ABCD 的运动路程为自变量x ，写出P 点与A 点距离y 与x 的函数关系式.。

1.2.1《函数的概念》导学案【使用说明】1、认真阅读课本，提前预习，明确基本概念，完成课前导学与自测部分， 要求：人人参与并独立完成；2、课堂积极讨论，大胆展示，发挥高效学习小组作用，完成合作探究部分；3、针对学生在预习环节可能解决不了的问题，课堂上教师进行点拨指导。

【学习目标】1、通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；2、了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域与值域；3、能够正确使用“区间”的符号表示某些集合.【课前导学与自测】预习教材第15-18页，找出疑惑之处，完成新知学习阅读课本，理解函数、定义域与值域的概念。

函数的定义：设A 、B 是 ，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的 一个数x ，在集合B 中都有 确定的数()f x 和它对应，那么称：:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈.（简称：函数()f x ）其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作 （domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫 （range ）.1. 在实例(1)中对应关系“f ”可以用一个式子来表示，我们就把该式子称作函数的解析式，实例(1)中的函数解析式为：2()1305h f t t t ==-，其定义域为___________；值域为___________.2．（1）已知2()23f x x x =-+，求(0)f 、(1)f 、(2)f 、(1)f -的值.（2）函数223,{1,0,1,2}y x x x =-+∈-值域是 .4．用区间表示.（1）{x |x ≥a }= 、{x |x >a }= 、{x |x ≤b }= 、{x |x <b }= .（2）{|01}x x x <>或= .（3）函数y 的定义域是 ，值域是 . （观察法）5．已知函数()f x =（1）求(3)f 的值；（2）求函数的定义域（用区间表示）；（3*）求2(1)f a -的值.我的疑惑：记录下你的疑惑，让我们在课堂上共同解决。