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等差、等比的公式性质以及数列的求和方法第一节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1（d 为公差）（2≥n ，*n N ∈）注：下面所有涉及n ，*n N ∈省略，你懂的。
2、等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差推广公式：()n m a a n m d =+-变形推广：mn a a d m n --=3、等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或ba A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4、等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A、B是常数，所以当d≠0时，S n 是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔{}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a （3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A、B是常数）。
6、等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔{}n a 是等差数列．7、等差数列相关技巧：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。
等额年金法的计算公式等额年金法是一种在财务和经济领域中常用的计算方法，用于在一系列等额的现金流中确定其现值或终值。
咱先来说说等额年金法的计算公式，它就像是一个神奇的魔法公式，能帮我们理清很多财务上的头绪。
等额年金法的基本公式是：年金现值 = 等额年金×年金现值系数。
这里的年金现值系数可以通过查年金现值系数表或者用相应的财务函数计算得到。
举个例子吧，比如说小明打算在未来 5 年每年年底存入银行 1 万块钱，银行的年利率是 5%，那这 5 年存的钱在现在值多少钱呢？这时候咱们就可以用等额年金法来算算。
首先，每年存入 1 万块，这就是等额年金。
然后，5 年的年利率是 5%，通过查找年金现值系数表或者用财务软件，能得到 5 年期、年利率 5%的年金现值系数。
最后，用每年存的 1 万块乘以这个系数，就能得出这 5 年存款在现在的价值啦。
再比如，小李想买一套房子，贷款 50 万，贷款期限 20 年，年利率6%，等额本息还款。
那每个月他要还多少钱呢？这也能用等额年金法来算。
先把年利率换算成月利率，然后根据贷款期限算出对应的年金现值系数，最后用贷款总额除以这个系数，就能得出每个月的等额还款额。
在实际生活中，等额年金法的应用可广泛了。
就像我之前遇到过一个朋友，他想投资一个项目，这个项目预计未来 5 年会每年给他带来10 万元的收益。
但是投资需要一次性投入 30 万元。
他就很纠结，不知道这个投资划不划算。
我就帮他用等额年金法算了算，把未来 5 年每年 10 万元的收益换算成现值，和投资的 30 万元一比较，结果就一目了然啦。
等额年金法不仅能帮助我们在投资决策中做出更明智的选择，还能在企业的财务管理中发挥大作用。
比如说企业要购置一批设备，有几种付款方案可供选择，这时候用等额年金法就能算出哪种方案对企业更有利。
总之，等额年金法这个计算公式虽然看起来有点复杂，但只要掌握了，就能在很多财务决策中派上大用场，帮我们算清楚钱的事儿，让我们的财务规划更清晰、更合理。
各种年金的计算公式梳理及推导过程年金是指在一定期限内，等额、定期的系列收支。
在财务和经济领域，年金有着广泛的应用，不同类型的年金，其计算公式和推导过程也有所不同。
接下来，咱们就一起梳理梳理各种年金的计算公式，并看看它们是怎么推导出来的。
先来说说普通年金。
普通年金就是从第一期期末开始，每期期末等额收付的年金。
比如说，咱们每个月月底发工资，这就可以近似看作是一个普通年金。
普通年金的终值计算公式是：F = A×[(1 + i)^n - 1]/i 。
这里的 F 表示年金终值，A 表示年金数额，i 表示利率，n 表示期数。
咱们来推导一下这个公式。
假设每年年末存入 A 元，年利率为 i ，存了 n 年。
第一年的 A 元到第 n 年末的本利和是 A×(1 + i)^(n - 1) ；第二年的 A 元到第 n 年末的本利和是 A×(1 + i)^(n - 2) ；以此类推，第 n 年的 A 元到第 n 年末的本利和就是 A 元。
把这些加起来，就得到了普通年金终值的计算公式。
再看看普通年金现值的计算公式：P = A×[1 - (1 + i)^(-n)]/i 。
这个 P 表示年金现值。
推导过程是这样的：假设未来 n 年内每年年末有 A 元的现金流入，年利率为 i 。
第 1 年年末的 A 元折合到现在的价值是 A/(1 + i) ；第 2 年年末的 A 元折合到现在的价值是 A/(1 + i)^2 ；一直到第 n 年年末的A 元折合到现在的价值是 A/(1 + i)^n 。
把这些现值加起来，就得到了普通年金现值的计算公式。
接着说预付年金。
预付年金是在每期期初等额收付的年金。
比如说，年初交房租，这就是预付年金。
预付年金终值的计算公式是：F = A×[(1 + i)^n - 1]/i ×(1 + i) 。
推导的时候，咱们可以把预付年金看成是普通年金，先计算出在 n - 1 期末的普通年金终值，然后再乘以 (1 + i) ，就得到了预付年金的终值。
等额年金计算公式
等额年金是指投资者在投资固定期限内，按指定时间定期支付投资者一定金额、等值的年金，投资过程以每期投资金额相等为特点的投资方式，是最常见的投资方式之一。
等额年金计算公式是：
每期投资金额=贷款总额×月利率
每期利息=贷款本金×月利率
还款总额=每期投资金额×投资期数
投资者可以通过计算机或手工计算使用此题要求的等额年金计算公式，来计算投资每期的投资金额和投资期的总还款额等重要数据。
投资者可以根据自我的经济、经营能力，灵活地调整自己的投资结构，以求达到最优的投资效果。
等额年金的优点：它可以把年金投资者在相同投资期内，把一笔投资拆分为多少期投资；同时，它也可以把本金中的一部分投资，以一定数量的期数进行投资；这种方式也可以方便投资者投资和还款。
无论什么投资方式，投资者都应该加强理财的意识，把握投资的风险。
建议投资者在选择投资后，及时、有效地对投资项目进行效果评估，以此检验投资理念、投资策略、投资要素及结果，以便及早发现投资风险。
此外，还应定期对投资项目情况进行追踪，分析和及时补充资金，确保投资计划的顺利实施，并有效发挥投资收益。
等额年金值计算公式等额年金是指在一定的期限内，每年支付相等的金额的一种投资方式。
在金融领域中，等额年金是一种常见的投资方式，可以用来计算贷款的月供、养老金的支出等。
在实际应用中，我们经常需要根据一定的利率和期限来计算等额年金的值。
下面我们将介绍等额年金值的计算公式及其应用。
等额年金值计算公式如下：\[ PV = PMT \times \left( \frac{1 (1 + r)^{-n}}{r} \right) \]在这个公式中，PV代表等额年金的现值，PMT代表每期支付的金额，r代表每期的利率，n代表期数。
在实际应用中，我们经常需要根据这个公式来计算等额年金的现值。
例如，假设某人希望在退休后每年领取相同的养老金，而他希望在退休后的20年内领取，而且他希望每年领取的养老金是10,000美元。
如果当前的利率是5%，那么我们可以使用上述公式来计算出这笔养老金的现值。
\[ PV = 10000 \times \left( \frac{1 (1 + 0.05)^{-20}}{0.05} \right) \]通过计算，我们可以得出这笔养老金的现值是149,734.78美元。
这意味着如果这个人希望在退休后每年领取10,000美元的养老金，那么他需要在退休前一次性存入149,734.78美元。
除了计算现值，等额年金值的公式还可以用来计算每期支付的金额。
如果我们已知等额年金的现值、期数和利率，那么我们可以使用下面的公式来计算每期支付的金额：\[ PMT = PV \times \left( \frac{r}{1 (1 + r)^{-n}} \right) \]通过这个公式，我们可以得出每期支付的金额。
例如，如果某人希望在退休后的20年内每年领取10,000美元的养老金，而且当前的利率是5%，那么我们可以使用上述公式来计算出他需要每年存入多少钱才能达到这个目标。
\[ PMT = 149,734.78 \times \left( \frac{0.05}{1 (1 + 0.05)^{-20}} \right) \]通过计算，我们可以得出每期支付的金额是10,000美元。
等差变额年金法的计算公式
等差变额年金法的计算公式为：
乩■ &诂丽W+和
・（耳|和』）］｝ ■
该式为等差变额年金法第1期租金的计算公式。
公式中的d 表示每期租金 比前1期增加（或减少）的常数。
当d>0时，是等差递增变额年金法；
当d<O 时，是等差递减变额年金法；
当d=0时，是等额年金法。
事实上，等额年金法可以看做是等差变额年金法的特例。
根据第I 期租金, 可求出其余各期租金和租金总额。
/? = — 27?i + （n — l ）］d 2
变额年金法的分类及计算⑴
变额年金法分为 等差变额年金法 和等比变额年金法。
①等差变额年金法。
在这种方法下，每期 租金都比前一期增加一个常数d 。
其公式是:
式中：R i 真为第一期期末支付的租金；d 为常数。
根据定义：R 2 = R + d R 3 = R + 2d
R = R + (n - 1)d
将上面R IRR ……F n 的内容代入
P = —— H ------- =— | 1 + ^(1 + 02 ,(1 + 级 厲=(1+!-1 [P I 一仏 (1 + 缈一“ 一 迫+缈)1 ~nd
R n
E 7得:
1+Z (1 + 02
(1+?)3 J?1 +(Tl — 1)(/1
(i + O n
=^[(T+Tj I (1 +
级 (THF 1+<i[ ②等比变额年金法。
在这种方法下，每期租金与前一期租金的比值总是一个常数 q 。
公 式如
下：
厂.(1 + £_ 0|
1 ~(i+7)n
式中：R i 为第一期期末支付的租金额；q 为常数。
公式可推导如下：
1 ( (1 I 0
2 + (1+ 沪 (斤一 1)
+训 厂(1 +订”一1 」 =Ri i (i + n" +ndx
所以：
(1+井“_卍 | i [n Ri —
如果d >
0, 增变额年金法。
如果d <
0,
减变额年金法。
(1+缈一 1 Jf 二 n H 4 (14-i) X -- 则后一期租金比前一期租金增加一个正数，称为等差递 则后一期租金比前一期租金增加一个负数，称为等差递
则为等额年金法，因此，等额年金法是变额年金法的特
2
R 》=R\ • q Rs =血• q =
他=汕•厂i
把上式代入等式 得: 所以， ^ L = >(1 + i - TKTTiy
如果q > 1,则为等比递增变额年金法。
如果q < 1则为等比递减变额年金法。
如果q 二1则为等额年金法。
由此我们可以看出，使用变额年金法，每次支付租金的金额不同， 有时递增、有时递减；此法符合 收益与成本相配比的原则；d 与q 的大 小难以确定，而且d 、q 越大，租金增额越多 （注：范文素材和资料部分来自网络，供参考。
只是收取少量整理收集费用，请预 览后才下载，期待你的好评与关注）
(1 + 02
R\ R 、q p= — 4 I I I (1 + 02
丑好F 1 (T+Tp 1(1+2) (1 [+ 2-)2 ■ 1 - (命)"
1 +
2 — q
i-(l)
+{T H F 1
或者
(1 + i)n — q n。
