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(3)变额年金

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变额年金与变额寿险给付额的计算

变额年金与变额寿险给付额的计算

变额年金与变额寿险给付额的计算
曾庆五
【期刊名称】《经济数学》
【年(卷),期】1994(000)001
【摘要】目前在人寿保险中，如何对付通货膨胀的不良影响，使对被保人的实际保障不致降低是一个重要问题。

变额年金与变额寿险是因应通货膨胀的寿险产品中最有效的，但其给付额的计算比较复杂。

本文扰某些变额年金与交额寿险保单的给付额的确定做了推导，并分析了利差在克服通货膨胀影响中的作用。

【总页数】6页(P70-75)
【作者】曾庆五
【作者单位】湖南财经学院保险系
【正文语种】中文
【中图分类】F842
【相关文献】
1.一类随机利率下的变额寿险模型 [J], 李昕
2.随机利率下的变额两全寿险模型 [J], 李应求;陈渠;甘柳
3.基于随机利率的变额寿险精算研究 [J], 张潇怡
4.随机利率下的半连续型变额寿险模型 [J], 郭欣
5.变额寿险中增额年金现值通用而简单的计算方法 [J], 肖芸茹
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

《 金融数学》复习提纲2024秋

《 金融数学》复习提纲2024秋

《金融数学》复习提纲（2024版）利息度量累积函数()a t 是单位本金在时间t 的累积价值，反映了资金随着时间增长变化的过程。

在已知累积函数的情况下，就可以确定资金在任意时点上的价值。

在实践中，常用的两种计息方式是单利和复利，单利的累积函数为()1a t it =+，复利的累积函数为()(1)ta t i =+，其中i 表示年利率。

贴现函数是累积函数的倒数，表示时间t 的单位资金在时间零点的现值，记为1()a t −。

累积函数用于计算资金的终值，贴现函数用于计算资金的现值。

复利计息方式下的贴现函数为1()(1)(1)t ta t i d −−=+=−。

单利的年有效利率随着时间而递减。

复利的年有效利率是一个常数，恒等于复利的年利率。

如果没有特别说明，本书的利息度量工具都是基于复利的累积函数定义的，包括有效利率、有效贴现率、年名义利率、年名义贴现率和利息力。

有效利率和有效贴现率可以定义在任意长度的时间区间。

有效利率等于当期利息与期初本金之比；有效贴现率等于当期利息与期末累积值之比。

在实践中，任意时间区间上定义的有效利率通常会表示为年名义利率的形式。

年名义利率也称为年化利率，定义为一个时间区间上的有效利率除以该时间区间的长度，也可以定义为一个时间区间上的有效利率乘以一年包含的区间个数，记为()m i 。

年名义利率()m i表示将一年等分为m 个时间区间后，每个区间的有效利率为()/m im 。

年名义贴现率也称为年化贴现率，定义为一个时间区间上的有效贴现率除以该时间区间的长度，也可以定义为一个时间区间上的有效贴现率乘以一年包含的区间个数，记为()m d 。

年名义贴现率()m d表示将一年等分为m 个时间区间后，每个区间的有效贴现率为()/m dm 。

利息力也称为瞬时利率，表示资金在一个无穷小的时间区间（一个时点）上的年化利率，换言之，如果将一个无穷小的时间区间上定义的有效利率表示为年名义利率的形式，这个年名义利率就是利息力。

等额年金

等额年金
4
1、 期末付年金（Annuity-immediate）
期末付年金的含义：在 n 个时期中，每个时期末付款1。
年金
1 0 1
1 2
1 3
1 n-1
1 n
时间
5
期末付年金的现值因子
（annuity-immediate present value factor）
an ：a-angle-n
n期期末付年金的现值因子 a ，a表示annuity，i表示每
an 1 v
v
n 1
1 vn 1 vn 1 v d
ห้องสมุดไป่ตู้
sn|i
——期初付年金的积累值因子
sn (1 i )
(1 i ) n (1 i)[1
(1 i ) n 1 d
(1 i)n1 ]
(1 i)n 1 (1 i) (1 i ) 1
本金和利息在第10年末一次还清；
每年产生利息在当年末支付，而本金在第10年末归还。
在10年期内，每年末偿还相同的金额。 问题：请先推测大小。这些利息总额在价值上是否相等？
13
解：
（1）贷款在10年末的累积值为 1000 1.0910 2367.36
利息总额为 2367.361000＝1367.36
n i
期的实际利率（可省略）。
an v v
2
v
n
v(1 v n ) 1 v
1 vn i
6
1 vn an i
期末付定期年金的现值
7
期末付年金的累积值（终值）因子 annuity-immediate accumulated value factor

人寿研究十九万能险、投连险、变额年金（一）

人寿研究十九万能险、投连险、变额年金（一）

人寿研究十九万能险、投连险、变额年金（一）与传统险上千年的历史比较，投资型保单历史较短。

分红险、投连险、万能险这三者中，分红险（PARTICIPATING）历史相对最为悠久，起源于1776年英国公正生命保险社，已有超过200年历史。

相对来说，投连险和万能险面世历史较短，但也有几十年历史了，只是中国引入较迟而已。

投资连结寿险，最早于20世纪50年代英国出现，当时在英国叫“基金连锁保单”，由伦敦曼斯特公司于1957年开发。

1961在英国、德国推出时正式称为投资连结保险。

1962年进入美国，发展为变额寿险、变额年金保险。

1976年，美国继英国和加拿大之后，推出万能寿险保单。

（见王庆仁《资产配置理论》），这两种寿险的迅猛发展，是在20世纪90年代的欧美市场，其原因，正因应于这一时期的金融自由化浪潮。

经过20多年的发展，投连险在主要OECD国家市场份额迅猛增长，成了欧美一般家庭财务计划的重要组成部分。

1996年到2000年间，西欧国家投连险业务的年均增长率在剔除通货膨胀因素后达24％，同期传统分红类保单业务的年均增长率只有5％，投连险保费收入规模从1995年的400亿欧元增长为2000年的2400亿欧元。

（见《20世纪末西欧投连险的发展及启示》）“2001年的股票市场危机导致寿险需求的大幅下降，而之后由于欧洲股票市场的好转，欧洲寿险市场在2005年有所增长，投资连结保险发展正得益于此，尤其是在比利时、德国、法国和葡萄牙”。

（见陈辉《寿险合同隐含期权理论综述》）以下几个百科，都解释了投连险的运作形式：比如MBA-lib, 百度百科，互动百科等。

/view/905943.htm/wiki/%E6%8A%95%E8%B5%84%E8%BF%9E%E7%BB%93%E4%BF%9D%E9%99%A9/wiki/%E6%8A%95%E8%BF%9E%E 9%99%A9根据这些百科的内容，简单的说，投资连结保险的主要特点可以总结为：保费分成投资和保障两部分，保单持有人收益主要来源于投资账户的收益，风险由客户自己承担。

3等额年金

3等额年金

含义：初始投资1，历时n个时期。在每个时期，此投资1 将产生在期末支付的利息i，这些利息的现值为ia 。在第
n个时期末，收回本金1，其现值为 v n 。
1
n
i
i
……
i
1
0
n s = a (1 + i ) （2） n n
含义：积累值等于现值乘以积累因子。
10
（3）
证明：
1 1 = +i an sn
1 i +i = +i n sn (1 + i ) − 1
延期年金现值为
m a = v an| = am + n − am| m| n|
29
例： 某年金共有7次付款1，分别在第3期末到第9期末依次 支付。求此年金的现值和在第12期末的积累值。
1 0 1 2 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1 9 10 11 12
30
年金的现值等于
v 2 a7| = a9| − a2|
1 = d
34
n 年的期末付年金可看作下述两个永续年金之 差：
1 第一个是每年末付款1，现值为 ； i
�
第二个是推迟 n 年，从 n + 1年开始每年支付1，现值
vn 为 ，因此 n 年的期末付年金的现值等于 i
1 vn 1 − vn an = − = i i i
（参见下图）
35
现金流时间图
1 1
1 0 1 2 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1 9 10 11 12
32
5、永续年金（Perpetuity）
永续年金：可以永久支付下去的年金，没有结束日期。 记号 a∞| 表示期末付永续年金的现值。

我国变额年金产品如何走出“叫好不叫座”的困境

我国变额年金产品如何走出“叫好不叫座”的困境

我国变额年金产品如何走出“叫好不叫座”的困境作者：陆洋来源：《财经界·学术版》2012年第08期摘要:随着我国进入老龄化社会速度的加快，变额年金以极强的抗通胀能力，灵活的投资方式，一直在养老金市场备受关注。

保监会2011年5月正式批准开展试点后，经历一年时间，变额年金被许多保险公司视为“鸡肋”，究其原因是多方面，本文将分析现有的变额年金市场，并提出对策。

关键词:变额年金税收优惠金融衍生工具个人养老自2011年5月11日保监会正式公布《关于开展变额年金保险试点的通知》（以下简称通知）和《变额年金保险管理暂行办法》（以下简称暂行办法）后，时间已过去一年，变额年金在我国企业年金市场表现差强人意，国内大型保险公司观望之意甚浓，尽管部分外资保险公司推出过变额年金产品，其销售状况惨淡。

这固然有市场培育不充分的因素，现阶段我国变额年金产品准入门槛高，角色界定模糊，是变额年金产品鲜有人问津的重要原因。

一、变额年金及其国内外市场的表现变额年金被形象地理解为投资连结保险、最低保证和年金化支付三者的完美统一，像投资连结保险一样给年金持有人带给相对高的收益，用最低保证解除了年金持有者的风险顾虑，以年金化支付方式提振了年金持有者持有的热情。

在目前全球通胀高企的时代，变额年金被戏称为能跑赢CPI的养老投资。

变额年金自1952年由美国教师保险和年金协会设计后，经历了近六十年的发展，目前变额年金已经成为国际年金市场的主流产品。

据2010年数据统计，美国变额年金销售达1470亿美元，占全美年金市场销售额的63%；（图1显示了1991年后美国变额年金险保费收入增长和变化情况）1997年美国、日本，至2007年，变额年金保险资产余额已达到16.5万亿日元，占个人养老保险市场的70%；欧盟、新加坡，变额年金也已经占据其年金市场的半壁江山。

自2011年5月13日保监会正式批准在北京等五城市开展变额险年金试点后，据统计，在过去的一年中，业界总共推出5支变额年金产品，2011年6月17日，金盛人寿推出了我国第一款内部组合对冲管理模式变额年金， 7月22日中美联泰大都会推出了首款固定乘数平衡管理模式变额年金及华泰人寿针对对不同顾客群体同时推出三个变额年金账户所组成的变额年金组合，但这些变额年金产品都出现了严重的“水土不服”，销售惨淡。

年金保险题

单选1.企业年金是指企业及其职工在依法参加基本养老保险的基础上，自愿建立的（ A ）保险制度。

A.补充养老B.基本养老C.商业养老D.福利计划2.铁煤集团企业年金基金托管人是（C ）。

A.招商银行B.工商银行C.建设银行D.浦发银行3.企业年金方案适用于（ D ）的职工。

A.企业所有职工B.新参加工作C.参加工作满5年D.企业试用期满4.按照国家规定企业年金的企业和职工个人缴费合计一般不超过本企业上年度职工工资总额的（ A ）A.六分之一B.二分之一C.十二分之一D.四分之一5.受托人可以委托具有资格的投资运营机构作为（ C ），负责企业年金基金的投资运营。

A.受托人B.账户管理人C.投资管理人D.托管人6.受托人应当选择具有资格的商业银行或专业托管机构作为（ D ），负责托管企业年金基金。

A.受托人B.账户管理人C.投资管理人D.托管人7.企业年金基金财产的管理、运用或其他情形取得的财产和收益，应当归入（ B ）。

A.建立年金的企业B.基金财产C.职工收入D.受益人8、投资管理人应当具备下列条件：（一）经国家金融监管部门批准，在中国境内注册，具有受托投资管理、基金管理或资产管理资格的独立法人；（二）基金管理公司、信托投资公司、保险资产管理公司或其他专业投资机构注册资本不少于（ B ）人民币。

A.5千万元B.1亿元C.10亿元D.50亿元9.受托人提取的管理费不高于受托管理企业年金基金财产净值的（ B ）。

A. 0.1%B.0.2%C.1.2%D.2%10.投资管理人提取的管理费不高于投资管理企业年金基金财产净值的（ C ）。

A.0.1%B.0.2%C.1.2%D.2%11．关于的含义，下列叙述不正确的是( D )。

Ⅰ．年金保险合同的当事人是保险人和投保人，而年金保险合同的关系人是被保险人和受益人Ⅱ．年金保险合同的被保险人是年金的惟一领取人，如果被保险人不幸过早身故，而保险公司承诺的给付尚未支付完毕时，剩余部分也可支付给除被保险人以外的受益人Ⅲ．年金所代表的就是年金保险Ⅳ．养老保险和年金保险是不同的两个概念，两者不可混淆Ⅴ．年金领取人和投保人可以是同一人也可以是不同的人，但通常情况下是同一人Ⅵ．年金保险是投保人和保险公司之间签订的合同，一旦合同签订后，无论投保人是生存或死亡，都将从保险公司得到约定的给付金额A．Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ B．Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ C．Ⅱ、Ⅲ、Ⅴ、Ⅵ D．Ⅲ、Ⅳ、Ⅵ12．关于年金保险与人寿保险的差别，下列叙述不正确的是( A )。

试论变额年金的会计处理

２ ０ ０ ９年 １月 ，保监 会 下发 的 《 关 于保 险 业 实施 （ 企
险极 低 ，具 有 良好流 动 性 的 资产 ，包 括 现 金 、 国债 、央 行票 据 、政策 性银行 金融 债 、货 币市场 基金 等等 ） 。该 账
户 独立 于 投 资账 户 的核 算 ，账 户 资产 按 市价 估 值 。这 样
入 以外 ，其他 未 通 过重 大 风 险测 试 的投 资性 账 户 被 归类 为非保 险合 同保单 负债 。按 照《 企业会 计准 则第 ２ ２号——
下发 《 关 于 开 展 变 额 年 金保 险试 点 的通 知 》 （ 保 监 寿 险
［ ２ ０ １ １ ］ ６ ２ ４ 号） 和 《 变额年金保险管理暂行办法 》 （ 保监
室 堡型 Ｍ 。 ｄ …Ａ ｃ ｃ ｏ ｕ ｎ ｔ ｉ ｎ ｇ
（ 中宏 人 寿保 险有 限公 司总公 司 ，上海 ２ ０ ０ １ ２ １ ）
【 摘要 】变额年金保险是一种创新型保险产品。文章通过对变额年金会计处理 方法的论述，旨在更好地诠
释创新 型保 险产品对保 险会计 带 来的 一 系列重 大影响 。
一
质量 的要求 提 高 ，具 有抗 通 胀 、养 老 的投 资 功能 变 额年
金产 品将会 有广 阔 的发 展空 间 。
、
变额 年金保 险的会 计处理
变 额 年金 保 险是 指 保 单利 益 与连 结 的投 资 账 户投 资
单位价 格相 关联 ，同时按照合 同约定 具有最低 保单利 益保 证 的一种 人身保 险。上述定 义表 明 ，保单应 当具有保 单账 户 价值 ，其 金额 由投 资账 户 汁算 （ 投资 单位 价格 × 投资 账户 单位 数 ） 。变 额年 金也 可 以简单 地理 解 为 ：变额 年金

培训_1121年金保险第十一讲：年金表及年金保险产品定价(1)


年金保险定价概述 确定年金的费率厘定 生存年金的费率厘定 生存年金的总保费计算
期末付即期确定年金 的现值与终值
期初付即期确定年金 的现值与终值
期末付递延确定年金 的现值与终值
期初付递延确定年金 的现值与终值
确定年金的费率厘定
三、期末付递延确定年金的现值与终值 假设：开始支付年金后，每期末付款额为1个货币单位，预定
年
出现的问题
养老金出现缺口压力
金
保
分析问题出现的原因
你的分析框架是什么？
险课解ຫໍສະໝຸດ 此问题的逻辑风险管理的知识
课程内容定位
程
年金保险的时间简史
的
内
年金保险的涵义
在
逻
辑
课程内容
年金保险的合同
传统年金保险产品
年金保险的产品
账户型定额递延年金产品
变额年金保险
年金保险的精算
年金表、定价、准备金、税负
本讲要解决的问题
积单位，每个累积单位的市场价值为15元。在转换日，根据对应该被
保险人年龄性别的一份趸缴即期纯粹生存年金合同规定，每1000元保
费可以获得的年金给付为每月5.98元。在转换日，变额年金的每个给
付单位每月给付54元。那么转换之后慕先生可以获得的年金单位数为
多少？
解： (5000ⅹ15/1000)ⅹ5.98/54=8.31个
险
课
解决此问题的逻辑
风险管理的知识
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until 25 payments in total are made.

Solution ：
( Ia)10| 10v a15|
10
10 25
0 次数：
1
2
金额：
1
2
10
10
17
3、复递增年金 （compound increasing annuity）


含义：付款金额按照某一固定比例增长的年金。 期末付复递增年金(compound increasing annuityimmediate) ：在第1年末支付1元，此后每年的支付金额按 的复利 r 增长，直到第 n 年末支付(1+r)n-1。

其中 j i r 0.04 0.05 0.0095
1 r 1 0.05

因此该项年金的现值为：
-10 1 1 1 （ 1 0.0095） 1000 a10 6% 1000 10040.94 1.05 1.05 0.0095
21

期初付复递增年金(compound increasing annuity-due) ： 假设一项年金在第1年初支付1元，此后给付金额按复利增 n 1 (1 r ) 长，直到第 n 年初支付金额为 元。
1 v i
v)
=
n an i
13
( Da) n|

n an| i
递减年金的其他公式：
( Ds)n| (1 i)n ( Da) n| (1 i) n n an| i n(1 i)n sn| i
( D a)n| = (1 + i)( Da)n|
1 (1+r) (1+r)2 (1+r)n-1
0
1
2
3
n
PV末 v (1 r )v 2 (1 r ) 2 v 3
(1 r ) n 1 v n
18

上述年金的现值：
PV末 v (1 r )v2 (1 r )2 v3 (1 r )n1 v n
1 (an1| v n an1| 1 v n ) i
1 (1 v n )(an 1| 1) i
an| an|
16

Example：Find the present value of an annuity immediate
such that payments start at 1, each payment thereafter increases by 1 until reach 10, and then remain at that level
11
2、递减年金（decreasing annuity）
期末付递减年金(decreasing annuity-immediate)：第一期末 支付 n 元，第二期末支付 n – 1元，…，第 n 期末支付1 元。按算术级数递减。
时期 0 1 2 3 … n –1 n
递减年金
n
1 1 1 … 1 1 1
( Ia)n (1 i)( Ia)n an nv n d
sn n d
5
累积值
( I s )n = (1 + i)( Is)n

递增永续年金(increasing perpetuity)) 当 n 时，还可以得到递增永续年金的现值为
( Ia) | lim( Ia)n | lim n
解：价值方程为（不考虑最后一次非正常付款）
700 10( Ia)n| 10
700

an| nv n 0.05
（ 1 1.05 n ) /(0.05 /1.05) n(1.05) n 10 0.05
10
20
30
R
8


解上述方程（应用excel求解）即得 n = 14.49。
因此有14次正规支付和在第15年末有一次小额支付。设小 额支付为 R，则
700 10( Ia)14| Rv15 10 66.452 Rv15
700 664.52 15 R 35.48 1.05 73.76 15 v
9

例：写出下述年金的现值公式
P P＋Q P＋2Q …… P＋(n-2)Q P＋(n-1)Q
1
2
n
n-1
1
( I a)n| v n ( Da)n1|
15
( I a ) n | v ( Da ) n1|
n
an| nv n i
+v
n
(n 1) an1| i
1 (an1| 1 nv n nv n v n v n an1| ) i
an| nv n

所以递增年金的现值为
n | nv n a i
( Ia) n |
4
( Ia)n|

an| nv n i
根据现值求得其累积值为
( Is)n (1 i) n ( Ia) n (1 i) n an nv n i

sn n i
期初付递增年金(increasing annuity-due) 现值

上式两边乘以(1 + i)：
(1 i)( Ia)n| 1 2v 3v 2
nv n1
i ( Ia)n| (1 v v 2 v3
v n1 ) nv n
3

i ( Ia)n| (1 v v 2 v3
v n1 ) nv n
=
n an| d
( Ds )n| = (1 i) ( Ds)n|
n
n(1 i ) n sn| d
14

例：一项年金在第一年末付款1元，以后每年增加1元，直 至第 n 年。从第 n + 1年开始，每年递减1元，直至最后一 年付款1元。证明该项年金的现值可以表示为 an| an|
其中
j ir 1 r
an j
23
问题：对于等额年金，期初付年金的现值是期末付 年金的 (1 + i) 倍，对于复递增年金而言，期初付与 期末付存在什么关系？
若 r = i, 期末付的现值为 n/(1+r) = n/(1+i)，期初付 的现值为 n.


若 r≠ i ,
1 PV末 an j 1 r
2
1、递增年金（increasing annuity）

期末付递增年金(increasing annuity-immediate)： 第一 期末支付1元，第二期末支2元，…，第n期末支付n元。 按算术级数递增。 用 ( Ia) n | 表示其现值：

( Ia) n | v 2v 2 3v 3 nvn
22

此项年金的现值：
PV初 1 (1 r )v (1 r ) 2 v 2

(1 r ) n 1 v n 1
若 r = i, 则现值为 PV初 = n
若r i，则可令

1 (1 r )v 1 j
2
，上式变形为：
n 1
1 1 j 1 j
1 2 2 3 3 (1 r ) v (1 r ) v (1 r ) v 1 r

(1 r ) n v n
若 r = i , 则现值为 PV末 = n/(1+i)

1 若r i , 令 (1 r )v 1 j
， 则现值为：
2 n 1 1 1 1 1 PV末 an j ... 1 r 1 j 1 j 1 j 1 r
n –1
1 1 1 … 1 1
n –2
1 1 1 … 1
…
… … …
2
1 1
1
1
等 额 年 金
12

递减年金的现值可以表示为上述等额年金的现值之和，即：
( Da)n an an1 a1
1 v n 1 v n 1 i i
n (v n v n1 = i
变额年金
（Varying Annuities）
孟生旺 中国人民大学统计学院
/mengshw
1
主要内容

递增年金（离散支付，离散递增） 递减年金（离散支付，离散递减）


复递增年金：按几何级数递增的年金
每年支付 m 次的递增年金（略去递减年金） 连续支付的变额年金：连续支付，离散递增（或递减） 连续支付、连续递增（或递减）的年金 一般形式的连续支付、连续变额现金流
n

an | nv n i

1 di
( Ia) | lim( Ia) n | lim
n n
an | nv n d

1 d2

在计算上述极限时， lim nv n lim
n
n 0 n (1 i ) n
6

例：年金在第一年末的付款为1000元，以后每年增加 100元，总的付款次数为10次。如果年实际利率为5%， 这项年金的现值应该是多少？
PV初 an j
ir j 1 r
结论：期初付的现值是期末付的(1+i)倍（参见下页图示）。
24
(1+r)n-1
期末付：
期初付：
25
Exercise

A perpetuity-immediate pays 100 per year. Immediately after the fifth payment, the perpetuity is exchanged for a 25-year annuity-immediate that will pay X at the end of the first year. Each subsequent annual payment will be 8% greater than the preceding payment. Immediately after the 10th payment of the 25-year annuity, the annuity will be exchanged for a perpetuity-immediate paying Y per year. The annual effective rate of interest is 8%. Calculate Y.