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第三章变额年金

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复递增年金和每年支付m次的变额年金

复递增年金和每年支付m次的变额年金

nm
m
1
1
m 1[vm 1( 1 vm 1vn)]nm vnv1 m (1vm 1v)1vni (mn )ivn1
(Ia)(m) n
1
vn nivn1 ivi(m)
1vn nvn iv i(m)
a (1i) nvn a&&nvn
n i(m)
n
i(m)
(Is)(nm) (Ia)(nm)(1i)n-& s& n i(m )n
-
付款频率大于计息频率的等差递
增型年金
• 每个计息期内的m次付款额保持不变。若 m次的付款的每次付款额相等,则其和为1 单位付款的倍数。付款的增长发生在每个 计息期期初。增长幅度为1/m，故增长后 本付款期付款总额要比上一次付款期付款 额增长1单位。从计息期看，每个计息期 付款总额成等差数列，但每个计息期内的 付款总额却保持不变，这种变化年金的现 值用符号表示( Ia )(m ) ，且有
n
-
(Ia)(m) 1(vm 1vm 2Lv)2(v1m 1v1m 2Lv2)L
nm
m
n(vn1m 1vn1m 2Lvn) m
v(Ia)(m)1(v1m 1v1m 2Lv2)2(v2m 1v2m 2Lv3)L
nmபைடு நூலகம்
m
n(vnm 1vnm 2Lvn1) m
-
iv(Ia)(m)1(vm 1vm 2Lvv1m 1v1m 2Lvn)n(vnm 1vnm 2Lvn1)
-
• 若 i k ，则
PV n
-
• 【例3-8】投资者拥有一份20年期的期 初付递增年金，该年金在第一年初给付 200元，以后给付今额按10%的复利递 增，假设年实际利率为5%，请计算此项 年金在时刻零时的现值。

变额年金保险管理暂行办法

变额年金保险管理暂行办法

变额年金保险管理暂行办法第一章总则第一条变额年金保险，是指保单利益与连结的投资账户投资单位价格相关联，同时按照合同约定具有最低保单利益保证的人身保险。

变额年金保险应当约定年金给付保险责任，或提供满期保险金转换为年金的选择权。

年金给付应当在保单签发时确定领取标准，并不允许趸领。

年金选择权可以在保单签发时保证领取标准，或在满期保险金转换为年金时再确定年金的领取标准。

变额年金保险可以提供以下最低保单利益保证：（一）最低身故利益保证，是指被保险人身故时，若保单账户价值低于保单约定的最低身故金，受益人可以获得最低身故金；若保单账户价值高于最低身故金，受益人可以获得保单账户价值。

（二）最低满期利益保证，是指保险期间届满时，若保单账户价值低于保单约定的最低满期金，受益人可以获得最低满期金；若保单账户价值高于最低满期金，受益人可以获得保单账户价值。

（三）最低年金给付保证，是指在保单签发时确定最低年金领取标准。

（四）最低累积利益保证，是指在变额年金保险累积期内的当前资产评估日，若投资单位价格低于历史最高单位价格的约定比例，保单账户价值以历史最高投资单位价格的该比例计算；若投资单位价格高于历史最高投资单位价格的约定比例，保单账户价值以投资单位价格计算。

历史最高投资单位价格，是指账户设立以来的最高历史投资单位价格。

第二条本通知所称投资账户，是指保险公司依照《投资连结保险管理暂行办法》（保监发〔2000〕26号）和《投资连结保险精算规定》（保监寿险〔2007〕335号）设立、管理和评估的投资账户。

变额年金保险可以连结到一个或多个投资账户。

第三条变额年金保险保单应当具有保单账户价值。

保单账户价值为保单连结的投资账户单位数乘以投资单位价格。

在最低累积利益保证的情形下，若投资单位价格低于历史最高单位价格乘以约定比例，保单账户价值为保单连结的投资账户单位数乘以历史最高单位价格乘以约定比例。

变额年金保险保单连结多个投资账户的，保单账户价值应当将保单在各个投资账户中的价值加总计算。

第三章 确定年金讲义教材

第三章 确定年金讲义教材

(2-7A)
1 vn a=
nd
(2-8A)
1+d s =(1+i)n n
(2-7B)
(1 i)n 1
s=
n
d
(2-9A)
例3.3. 有一位40岁的工人打算通过在25年内每年 初存款￥1000来积蓄一笔退休金，从65岁开始， 此工人打算在以后的15年内每年初取款一次。试 确定他从65岁开始每年取款金额。其中头25年实 质利率为8%，而此后仅为7%。
例3.4答案
（1）
Ra
300000
15120.465%
R2464
（2）
PV60
Ra 1200.465%
22621.504
或者
PV60
3000001.0046650
Rs 600.465%
22621.504
例3.5
• 假定现在起立即开始每6个月付款200直 到满4年，随后再每6个月付款100直到 从现在起满10年，若
a s vn
n|
n|
注3: 1ia vn n|
字面解释：考虑初始投资1，历时n个时期。在每个时 期，此投资1将产生在期末支付的利息i.这些利息
的现时值为 ia.在n | 第 n 个时期，原始投资的本金
1仍收回，它的现时值为Vn.这样，方程两边都表 示投资1在投资之日的现时值。
例3.1. 一辆新汽车的现金价为$10000，某顾客想 以月度转换18%利率的分期付款来购买此车，如果 它在四年内每月末付款$250，问现付款需为多少？
• 解：
n 4 1 2 4 8 ,i 1 8 % 0 .0 1 5 ,p m t 2 5 0 1 2
现 付 款 $ 1 0 0 0 02 5 0a n |

第三章变额年金(1)

第三章变额年金(1)

mn v
n
令 R v 2v 3v
1 m
1 m
2 m
3 m
mn v n

在式两边同时乘以(1 i) ，则有
R(1 i) 1 2v 3v
R 1 i
1 m 1 2 1 1 v m v m
50 eu du
0
0.5
2 50 exp 0.1 t 0.06 t 0
0.5
2.68
25

非立即支付现金流的现值：一个现金流的起始时刻为a > 0， 结束时刻为b，计算在0点的现值：

方法一：计算此现金流在时刻 a 的现值，再将此现值从 时刻a贴现到时刻零。
1 m
1 m
2 m
mnv
v
n 1 m
n
1 m
n ( m) n mn v ma mn v n
5
1 ( m) m R 1 i 1 man mn v n

上式两边同时乘以m，则有
( m) m2 an m2 n v n
a b t exp s ds rt exp s ds dt 0 a a

方法二：改变前式对利息力积分的下积分限来得到在
时刻零的现值：
t rt exp s ds dt a 0
b
26
例：一个连续支付现金流的支付率为 rt = 3 元，支付期限从 时刻2到时刻6，并且具有固定的利息力t = 0.05，试计算 此现金流在时刻零的现值。 解： 改变对利息力积分的积分限，有：

经济衰退时变额年金对策研究

经济衰退时变额年金对策研究

经济衰退时变额年金对策研究作者：侯婵指导老师：孙妍摘要中国保监会于2010年授权相关的寿险公司进行了变额年金的试点，因为变额年金能够同时满足投资者养老资金防通胀与安全性两方面的需求，发展势头迅猛，但同时，变额年金也因为产品形态复杂，资本市场的关联度较高且我国资本市场的不完善，而具有一定的风险。

正是因为变额年金本身的特点使其在经济衰退时呈现出一定的弱势，所以本文首先研究了变额年金的风险识别和对冲模式，同时应对我国的经济情况进行了分析，并考虑了经济衰退时变额年金的发展情况。

最后，结合我国现阶段的经济状况提出了相应的对策。

所以本文具有较强的实用性，希望能为变额年金的发展提供一定的参考。

关键词：变额年金; 风险对冲;产品分析;经济衰退对策AbstractThe CIRC authorized the life insurance company the amount of variable annuities experimental unit in 2010, because change forehead annuity could satisfy investors endowment funds against inflation and safety of both aspects of the demand, fast development situation, but at the same time, become the forehead annuity also because product form complex, capital market and higher degree of the capital market in China is not perfect, and has certain risks. It is for variable amount of pension itself characteristics in the recession has a certain vulnerable, so this paper first studied variable amount of pension risk identification and hedge mode, and reply to the economic analysis, and consider the economic recession amount of development of the time-varying pension. Finally, according to the current state of the economy and puts forward the countermeasures. So this paper has strong practicability, the hope can change the forehead annuity the development to provide certain reference.Key words: variable annuity; Risk hedge; Product analysis; Recession strategies目录一引言 (1)（一）研究背景及意义 (1)（二）国内外学者对该问题研究的主要文献综述 (2)（三）本文的基本思路和逻辑结构 (3)二变额年金传统定义和风险对冲模式 (3)（一）变额年金定义 (3)（二）变额年金风险识别及经济衰退时的表现 (4)（三）国外变额年金风险对冲模式 (8)三变额年金在国外市场的发展与我国市场分析 (9)（一）国外变额年金市场 (9)（二）变额年金在我国市场发展的分析 (9)（三）我国变额年金案例分析 (10)四变额年金经济衰退时对策研究 (13)（一）对变额年金的有序发展提出对策 (13)（二）对该对策的实用性分析 (16)五结论 (16)致谢 (17)参考文献 (18)一引言（一）研究背景及意义根据第六次全国人口普查的数据，我国60岁以上的老年人已经占到总人口的13%以上，65岁以上已经占到8.8%。

第三章 变额年金

第三章 变额年金
1 (an 1| v n an 1| 1 v n ) i
1 (1 v n )(an 1| 1) i
n| an| a
16
3、复递增年金
• 含义：付款金额按照某一固定比例增长的年金。 • 期初付复递增年金(compound increasing annuityimmediate) ：在第1年初支付1元，此后每年的支付金额按 的复利 r 增长，直到第 n 年初支付(1+r)n-1。注：r < 0 ，递 减。
X = 54
25
第二次替换为永续年金，每年末支付Y，价值为Y/0.08 原年金剩余10次
X
原年金已支付10次
1.089X
1.0810X
Y
1.0824X
……
价值方程 ( X = 54 ) 为： Y / 0.08 = 54 (1.0810v + 1.0811v2 + … + 1.0824v15) = 54(1.08)9· 15 由此可得：Y = 129.5
2
v
n 1
n (v n v n 1 v) = i
( Da) n
n an i
13
( Da)n|
n an| i
• 递减年金的其他公式：
( Ds)n| (1 i)n ( Da)n| (1 i)n n an| i n(1 i)n sn| i
)n| = (1 + i)(Da)n| (Da
=
n an | d
)n| = (1 i) ( Da )n| ( Ds
n
n(1 i)n sn| d
14
• 例：一项年金在第一年末付款1元，以后每年增加1元，直

(3)变额年金


until 25 payments in total are made.

Solution ：
( Ia)10| 10v a15|
10
10 25
0 次数：
1
2
金额：
1
2
10
10
17
3、复递增年金 （compound increasing annuity）


含义：付款金额按照某一固定比例增长的年金。 期末付复递增年金(compound increasing annuityimmediate) ：在第1年末支付1元，此后每年的支付金额按 的复利 r 增长，直到第 n 年末支付(1+r)n-1。

其中 j i r 0.04 0.05 0.0095
1 r 1 0.05

因此该项年金的现值为：
-10 1 1 1 （ 1 0.0095） 1000 a10 6% 1000 10040.94 1.05 1.05 0.0095
21

期初付复递增年金(compound increasing annuity-due) ： 假设一项年金在第1年初支付1元，此后给付金额按复利增 n 1 (1 r ) 长，直到第 n 年初支付金额为 元。
1 v i
v)
=
n an i
13
( Da) n|

n an| i
递减年金的其他公式：
( Ds)n| (1 i)n ( Da) n| (1 i) n n an| i n(1 i)n sn| i
( D a)n| = (1 + i)( Da)n|
1 (1+r) (1+r)2 (1+r)n-1

可以把变额年金保险简单理解为变额年金保险=投资连结保险 最低

2011年5月10日【保監會】中國保監會人身保險監管部負責人就變額年金保險試點答記者問中國保監會近日發佈了《關於開展變額年金保險試點的通知》和《變額年金保險管理暫行辦法》，開始推動變額年金保險試點。

中國保監會人身保險監管部負責人回答了記者的有關問題。

問：什麼是變額年金保險？具有什麼特點？答：變額年金保險，是指包含保險保障功能，保單利益與連結的投資帳戶投資單位價格相關聯，同時按照保單約定具有最低保單利益保證的人身保險產品。

可以把變額年金保險簡單理解為：變額年金保險＝投資連結保險＋最低保證＋年金化支付具備以下特點：1、由保險公司設立獨立帳戶，與其他資產隔離，以確保核算清晰，不侵佔、損害被保險人利益。

2、投資收益完全歸屬于被保險人，保險公司只按保單約定收取各項費用。

3、投資帳戶價格定期公佈，以方便被保險人查詢，透明度很高。

4、可提供最低保單利益保證。

為以下4種之一：最低身故利益保證、最低滿期利益保證、最低年金給付保證和最低累積利益保證。

以最低滿期利益保證為例，即保單滿期時，被保險人可以獲得當時帳戶價值與約定的最低滿期金的較大者。

對於另外一些風險程度較高的最低保單利益保證，如最低退保利益保證，從控制風險角度出發，目前暫不開展試點。

5、提供年金給付方式或年金轉換權。

以最低滿期保證為例，滿期時，被保險人可按當時的帳戶價值與最低保證的較大者轉換為未來每年能領取的年金。

6、保險保障風險完全由保險公司承擔，且保險公司承擔提供最低保證帶來的投資風險。

高於最低保證以上部分的投資風險由被保險人承擔。

問：請簡要介紹變額年金保險在國際上發展的情況。

答：變額年金保險在歐美保險市場是一款主流產品，最早出現於二十世紀五十年代，九十年代後由於風險對沖技術的發展和各類最低保證的相繼出現，開始快速發展。

在金融危機前的2007年，美國變額年金保險保費收入為1700億元美元，約占年金保險市場的68.5%，占人身險市場的20%，總資產餘額約1.5萬億美元。

新利息理论教案第3章

新利息理论教案第3章第3章：变额年金本课程第2章讨论的都是等额支付的年金问题。

本章将讨论年金不相等的情况。

如果每次支付的金额没有任何变化规律，那么只好分别计算每次付款的现值与终值，然后将其相加求得年金的现值与终值。

但某些变额年金仍然是有规律可循的，本节将讨论这方面的年金。

第3.1节：递减年金本节内容：3.1.1期末交递减年金假设第一期末支付1元，第二期末支付2元，…，第n期末支付n元，那么这项年金就是按算术级数递增的。

一、年金现值(ia)nn(ia)如果用(ia)n表示其现值，则有v2v23v3...nvn（1）公式推论过程：上式两边同乘（1+i）(1?i)(ia)?1?2v?3v2?...?nvn?1n用第二式减去第一式i(ia)?(1?v?v2?v3?...?vn?1)?nvnnannvn所以：(ia)?ann?nvni（2）公式的另一种推论思路（略）二、年金终值(is)nnnii三、例题基准1、一项20年期的递减年金，在第1年末缴付65元，第2年末缴付70元，第3年末缴付75元，以此类推，最后一次缴付出现在第20年末，假设年实际利率为6%，谋此项年金在时刻零的现值。

解：最后一次支付的金额应该为65?19?5?160元。

将此年金分解成一项每1(is)?(1?i)(ia)n?sn?n?sn?1?(n?1)年末支付60元的等额年金和一项第1年末支付5，每年递增5元的递增年金。

这时：基准2、一项递减年金，第1年末缴付300元，第2年末缴付320元，第3年末缴付340元，以此类推，直至最后一次缴付600元，假设年实际利率为5%，先行排序此项年金在最后一次缴付时刻的终值。

20上述年金的现值为：60a20?5(ia)?1181.70解：支付金额每次递增20元，因为600?300?15?20，所以一共支付了16次。

最后一次支付发生在第16年末。

将此年金分解成一项每年末缴付280元的等额年金和一项第1年末缴付20，每年递减20元的递减年金。

(3)变额年金-2


(1.061837) 2 − 1 = 2.124948 0.06
( Is ) 2 =
2.124948 − 2 = 2.082467 0.06
⎡3( Is )2 − 4 s2 ⎤ e0.06×(7 − 2) = ⎡3( Is )2 − 4 s2 ⎤ e0.3 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
• 因此，本例年金的终值为：
0.5 0
=
∫ (10t + 3) exp ⎡ −(0.1t ⎣
0
2
+ 0.06t ) ⎤dt ⎦
77
= 2.68
78
非立即支付现金流的现值：一个现金流的起始时刻为a > 0，结束时刻为b，计算在0点的现值： 方法一：计算此现金流在时刻 a 的现值，再将此现值从 时刻a贴现到时刻零。
⎡ a ⎤ b ⎡ t ⎤ exp ⎢ − ∫ δ s ds ⎥ ⋅ ∫ ρt exp ⎢ − ∫ δ s ds ⎥ dt ⎣ 0 ⎦ a ⎣ a ⎦
81 82
因此上述现金流在时刻零的现值为：
10.88 × 0.90484 = 9.84
3
a 0
t
1
b
c
为了将一个连续支付的现金流累积到支付期间以后的某一 时点 c，有两种方法：
方法一：利用前面的公式计算此现金流在时刻b的终 值，再将此值累积到时刻c。
⎡c ⎤ b ⎡b ⎤ exp ⎢ ∫ δ s ds ⎥ ⋅ ∫ ρt exp ⎢ ∫ δ s ds ⎥ dt ⎣b ⎦ a ⎣t ⎦
上式右边可用分部积分法展开：
6、连续支付连续递增的年金（简称：连续递增年金）
（continuously increasing annuity） 假设在时刻t的付款比率为t，常数利息力为δ，则连续支付 连续递增年金的现值为：
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1 1
j

a nj
其中
(1 r)v

1 1
j

(1 r)(1


j

i 1
r r
j)

(1 i)
19
• 期末付复递增年金的现值：
PV末

PV初 1+i
a nj
1 i
ir 其中 j
1 r
20
• 例：某10年期的年金在第一年末付1000元，此后的给 付金额按5％递增，假设年实际利率为4%，请计算这 项年金在时刻零的现值。
1250 = 25X/1.08
X = 54
25
第二次替换为永续年金，每年末支付Y，价值为Y/0.08 原年金剩余10次
X
1.089X
原年金已支付10次
1.0810X
Y
……
1.0824X
价值方程 ( X = 54 ) 为：
Y / 0.08 = 54 (1.0810v + 1.0811v2 + … + 1.0824v15)
• 上式两边乘以(1 + i)：
(1 i)(Ia) 1 2v 3v2 nvn1 n|
i (Ia) (1 v v2 v3 vn1) nvn n|
3
i (Ia) (1 v v2 v3 vn1) nvn n|
•
a nvn n|

i i(m)
(Ia) n
关系：
(Ia)(m) n

i i(m)
(Ia) n
(Is)(m) n
(Ia)(m) n
(Is)(m) n 31
• 每年支付 m 次的递增年金(mthly increasing mthly annuity)：同一年的每次付款递增
两种方法计算现值： （1）看做nm次付款的递增年金，应用递增年金的公式。 （2）建立新公式（略）
现值
a nvn
(Ia) (1 i)(Ia) n
n
n
d
累积值
(I s) = (1 + i)(Is)
n
n
s n n
d
7
递增永续年金(increasing perpetuity)
• 当 n 时，还可以得到递增永续年金的现值为
a nvn
(Ia) |

lim(Ia)
n
n|
2|
i(4)
2
34
例：写出下述年金的现值计算公式（年利率i=10%)：
0
1
2
100 200
300 400 500 600
700 800
a 8(1 j)8
100 (I a) 100 8 j
3148.8
8j
j
(1 j)4 110%
35
每年支付m次的递减年金
(Da)(m) a(m) n (n 1)v (n 2)v2 vn1
2
1、递增年金（increasing annuity）
• 期末付递增年金(increasing annuity-immediate)： 第一期末支付1元，第二期末支2元，…，第n期末支 付n元。按算术级数递增。
• 用 (Ia)n| 表示其现值： (Ia)n| v 2v2 3v3 nvn
(I a) vn (Da)
n|
n1|
15
(I a)n| vn (Da)n1|
a nvn (n 1) a
n|
+vn
n1|
i
i
1 (a 1 nvn nvn vn vna )
i n1|
n1|
1(a vna 1 vn)
i n1|
n1|
现值： (Ia)(m) a(m) (1 2v 3v2 nvn1)
n
1
29
每年支付m次的递增年金
(Ia)(m) a(m) (1 2v 3v2 nvn1)
n
1
1 v (Ia) 1 v (1 i) (Ia)
i(m)
i n
(m)
n
(Ia)(m) n
lim n
n|
i
1 di
a nvn
(Ia) lim(Ia) lim n |
| n
n | n
d

1 d2
lim nvn lim n 0
• 在计算上述极限时，n
n (1 i)n
8
• 例：年金在第一年末的付款为1000元，以后每年 增加100元，总的付款次数为10次。如果年实际利 率为5%，这项年金的现值应该是多少？
• 递增年金的现值：
a nvn
(Ia) n
n
i
4
• 例：证明下列关系式成立：
a (n 1)vn
（1）
(Ia) n1 | n|
i
（2）
a nvn
(Ia) a n|
n|
n|
i
a nvn
已知： (Ia) n|
n|
i
5
例：写出下述年金的现值公式
P P＋Q P＋2Q
• 含义：连续支付，但支付金额离散变化。 – 连续支付的递增年金 – 连续支付的递减年金
• 假设在第一年连续支付1元，第二年连续支付2元，…， 第n 年连续支付 n 元，如下图所示：
38
• 连续支付的递增年金的现值：
(I a) = lim(Ia)(m) lim i (Ia) = i (Ia)
n m
0123
……
P＋(n-2)Q
……
n-1
P＋(n-1)Q
n
设A表示此年金的现值，则
A P a Q v (Ia)
n
n1
6
• 根据现值求得其累积值为
a nvn
(Ia) n|
n|
i
(Is)
(1 i)n (Ia)
(1 i)n
a n
nvn
n
n
i
s n n
i
期初付递增年金(increasing annuity-due)
32
应用递增年金公式计算现值：
I (m)a (m) 1 Ia , (1 j)m 1 i
n
m2
nm j
33
例：写出下述年金的现值计算公式（年利率i=10%)：
0
1
2
100 100
100 100 200 200
200 200
400 (I a)(4) 400 i (I a)
1 (1 vn )(a 1)
i
n1|
a a n| n| 16
3、复递增年金
• 含义：付款金额按照某一固定比例增长的年金。 • 期初付复递增年金(compound increasing annuity-
immediate) ：在第1年初支付1元，此后每年的支付金额按 的复利 r 增长，直到第 n 年初支付(1+r)n-1。注：r < 0 ，递 减。
• 如果每年支付m次，付款又是递增的，将会出现下 述两种情况：
– 同一年的每次付款相同（每年递增一次）： increasing mthly annuity
– 同一年的每次付款也是递增的（每次付款递增一 次）：mthly increasing mthly annuity （略）
28
每年支付 m 次的递增年金(increasing mthly annuity)： 同一年的每次付款相同
时期
0 1 2 3 … n –1 n
递减年 金
等 额 年 金
n n –1 n –2 … 2
1 1 1…1 1 1 1…1 1 1 1… ……… 111 11
1 1
12
• 递减年金的现值可以表示为上述等额年金的现值之和，
即：
(Da) a a a
n
n
n1
1
1 vn 1 vn1
1 v
23
Exercise
• A perpetuity-immediate pays 100 per year. • Immediately after the fifth payment, the perpetuity is
exchanged for a 25-year annuity-immediate that will pay X at the end of the first year. Each subsequent annual payment will be 8% greater than the preceding payment. • Immediately after the 10th payment of the 25-year annuity, the annuity will be exchanged for a perpetuity-immediate paying Y per year. • The annual effective rate of interest is 8%. • Calculate Y.
= 54(1.08)9·15
注：v = 1.08-1
由此可得：Y = 129.5
26
回顾与展望（算数级数递增或递减）
a nvn
(Ia) n
n
i
na
(Da)
n
n
i
1年 支付1次
1年 支付m次
连续支付， 离散变化
连续支付， 连续变化
27
4、每年支付m次的递增年金(increasing mthly annuity)