第三章变额年金(2)
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变额年金保险管理暂行办法
变额年金保险管理暂行办法第一章总则第一条变额年金保险，是指保单利益与连结的投资账户投资单位价格相关联，同时按照合同约定具有最低保单利益保证的人身保险。
变额年金保险应当约定年金给付保险责任，或提供满期保险金转换为年金的选择权。
年金给付应当在保单签发时确定领取标准，并不允许趸领。
年金选择权可以在保单签发时保证领取标准，或在满期保险金转换为年金时再确定年金的领取标准。
变额年金保险可以提供以下最低保单利益保证：（一）最低身故利益保证，是指被保险人身故时，若保单账户价值低于保单约定的最低身故金，受益人可以获得最低身故金；若保单账户价值高于最低身故金，受益人可以获得保单账户价值。
（二）最低满期利益保证，是指保险期间届满时，若保单账户价值低于保单约定的最低满期金，受益人可以获得最低满期金；若保单账户价值高于最低满期金，受益人可以获得保单账户价值。
（三）最低年金给付保证，是指在保单签发时确定最低年金领取标准。
（四）最低累积利益保证，是指在变额年金保险累积期内的当前资产评估日，若投资单位价格低于历史最高单位价格的约定比例，保单账户价值以历史最高投资单位价格的该比例计算；若投资单位价格高于历史最高投资单位价格的约定比例，保单账户价值以投资单位价格计算。
历史最高投资单位价格，是指账户设立以来的最高历史投资单位价格。
第二条本通知所称投资账户，是指保险公司依照《投资连结保险管理暂行办法》（保监发〔2000〕26号）和《投资连结保险精算规定》（保监寿险〔2007〕335号）设立、管理和评估的投资账户。
变额年金保险可以连结到一个或多个投资账户。
第三条变额年金保险保单应当具有保单账户价值。
保单账户价值为保单连结的投资账户单位数乘以投资单位价格。
在最低累积利益保证的情形下，若投资单位价格低于历史最高单位价格乘以约定比例，保单账户价值为保单连结的投资账户单位数乘以历史最高单位价格乘以约定比例。
变额年金保险保单连结多个投资账户的，保单账户价值应当将保单在各个投资账户中的价值加总计算。
2.2年金(保险精算课程讲义)
1 2 3 。。。。 n-1 n 金额
0
1
2
3
。。。。
n-1
n
年份
v 2v 2 (n 1)v n1 nv n
( Ia) n v 2v 2 ... nv n , (1 v)( Ia) n iv( Ia) n v v 2 ... v n nv n 1 i ( Ia ) n 1 v v 2 ... v n 1 nv n an nv n , ( Ia) n an nv n i
例子
Ex2.12若存入银行10万元建立一项永续奖励 基金，从存款后1年开始支取年金,设利率为 4%，求每年可以提取的最大数额。
2.2.3 变额年金
等比变化与等差变化，我们主要研究等差变化年金。
Ia n Ia n
Da n Da n
Ia Ia
I n年定期递增年金
a
(m)
1 1 v v .... m m 1 v 1 1 ( m) 1 1 m i m m 1 v m[(1 i ) 1]
1 m
1 m
2 m
(m) an (m) n
a
1 vn m i n 1 v m d
(m) Sn (m) n
S
(1 i) n 1 m i n (1 i) 1 m d
III 两者的关系
Sn Sn v
or
Sn (1 i)Sn
利用前述两种理解与证明的方法
例子
Ex2.8某人从银行贷款20万元用于购房，规定的还 款期是30年假设贷款利率为5%，如果从贷款第2 年开始每年等额还款，求每年需要换款数额是多 少？ Ex2.9某人在30岁时计划每年初存入银行300元建立 个人帐户，假设他在60岁退休，存款年利率假设 恒定为3%。（1）求退休时个人帐户的累积额； （2）如果个人帐户累积额在退休后以固定年金的 方式在20年内每年领取一次，求每年可以领取的 数额。
0
1
2
3
。。。。
n-1
n
年份
v 2v 2 (n 1)v n1 nv n
( Ia) n v 2v 2 ... nv n , (1 v)( Ia) n iv( Ia) n v v 2 ... v n nv n 1 i ( Ia ) n 1 v v 2 ... v n 1 nv n an nv n , ( Ia) n an nv n i
例子
Ex2.12若存入银行10万元建立一项永续奖励 基金，从存款后1年开始支取年金,设利率为 4%，求每年可以提取的最大数额。
2.2.3 变额年金
等比变化与等差变化，我们主要研究等差变化年金。
Ia n Ia n
Da n Da n
Ia Ia
I n年定期递增年金
a
(m)
1 1 v v .... m m 1 v 1 1 ( m) 1 1 m i m m 1 v m[(1 i ) 1]
1 m
1 m
2 m
(m) an (m) n
a
1 vn m i n 1 v m d
(m) Sn (m) n
S
(1 i) n 1 m i n (1 i) 1 m d
III 两者的关系
Sn Sn v
or
Sn (1 i)Sn
利用前述两种理解与证明的方法
例子
Ex2.8某人从银行贷款20万元用于购房，规定的还 款期是30年假设贷款利率为5%，如果从贷款第2 年开始每年等额还款，求每年需要换款数额是多 少？ Ex2.9某人在30岁时计划每年初存入银行300元建立 个人帐户，假设他在60岁退休，存款年利率假设 恒定为3%。（1）求退休时个人帐户的累积额； （2）如果个人帐户累积额在退休后以固定年金的 方式在20年内每年领取一次，求每年可以领取的 数额。
1中国开展变额年金试点的构想
与投资连结保险相比：保险公司承担部分投资风险来为保险 消费者提供最低保证。有利于改变现行投连险投资风险全部 由保险消费者承担，消费者纠纷突出的局面。
与万能产品和分红产品相比：通过投资账户模式管理，更加 透明。
3 试点变额年金的意义
33
3.2 符合业务结构调整方向
提供年金给付方式或年金转换权，将促进年金类业 务发展。
* 约定金额可为：所交保费（还本）；按一定利率累积的所交保费(如每年 2.5%）。
市场状况良好情形
趸交保费
账户价值
提供上升的空间
趸交保费
提供市场不好时的保障
市场状况不好情形
2 变额年金的发展历程
20
2.2 常见的产品形态
最低账户价值保证（GMAB）（衍生形态） 最低累积利益保证:
账户保证价值＝Max(帐户历史最高价格的约定比例（如80 ％），账户价值)
2 变额年金的发展历程
17
2.2 常见的产品形态
2 变额年金的发展历程
18
2.2 常见的产品形态
最低身故利益保证（GMDB） 身故保证给付＝Max(趸交保费，账户价值)
趸交保费
2 变额年金的发展历程
身故给付 账户价值
19
2.2 常见的产品形态
最低账户价值保证（GMAB）（标准形态）
满期利益＝Max(约定金额，账户价值)
2 变额年金的发展历程
28
2.3 金融危机的教训与最近的发展
2009年，市场开始反弹
虽然变额年金在金融危机中销售规模有一定下降，但 2009年美国变额年金仍有高达1,231亿美元的销售规模。
据国际寿险行销研究协会（LIMRA）预测市场对变额年金产品 的需求在强劲恢复中，预计未来几年变额年金市场会有每年 10%的增长。
与万能产品和分红产品相比：通过投资账户模式管理，更加 透明。
3 试点变额年金的意义
33
3.2 符合业务结构调整方向
提供年金给付方式或年金转换权，将促进年金类业 务发展。
* 约定金额可为：所交保费（还本）；按一定利率累积的所交保费(如每年 2.5%）。
市场状况良好情形
趸交保费
账户价值
提供上升的空间
趸交保费
提供市场不好时的保障
市场状况不好情形
2 变额年金的发展历程
20
2.2 常见的产品形态
最低账户价值保证（GMAB）（衍生形态） 最低累积利益保证:
账户保证价值＝Max(帐户历史最高价格的约定比例（如80 ％），账户价值)
2 变额年金的发展历程
17
2.2 常见的产品形态
2 变额年金的发展历程
18
2.2 常见的产品形态
最低身故利益保证（GMDB） 身故保证给付＝Max(趸交保费，账户价值)
趸交保费
2 变额年金的发展历程
身故给付 账户价值
19
2.2 常见的产品形态
最低账户价值保证（GMAB）（标准形态）
满期利益＝Max(约定金额，账户价值)
2 变额年金的发展历程
28
2.3 金融危机的教训与最近的发展
2009年，市场开始反弹
虽然变额年金在金融危机中销售规模有一定下降，但 2009年美国变额年金仍有高达1,231亿美元的销售规模。
据国际寿险行销研究协会（LIMRA）预测市场对变额年金产品 的需求在强劲恢复中，预计未来几年变额年金市场会有每年 10%的增长。
金融数学课件3变额年金
*孟生旺中国人民大学统计学院变额年金〔Varying Annuities〕*主要内容递增年金〔离散支付，离散递增〕递减年金〔离散支付，离散递减〕复递增年金：按几何级数递增的年金每年支付 m 次的递增年金〔略去递减年金〕连续支付的变额年金：连续支付，离散递增〔或递减〕连续支付连续递增〔或递减〕的年金一般的连续支付连续变额现金流*回忆：等额年金公式年金根本年金永续年金的现值现值累积值期末付期初付*年金每年支付m次的年金永续年金的现值现值累积值期末付期初付*连续支付的年金〔连续年金〕连续支付的永续年金的现值现值累积值*1、递增年金〔increasing annuity〕期末付递增年金：第一期末支付1元，第二期末支9>2元，…，第n期末支付n元。
按算术级数递增。
假如用表示其现值，那么有上式两边同时乘以(1 + i)那么有*用第二式减去第一式那么有所以递增年金的现值为*递增年金分解表时期?B style='color:white;background-color:#990099'>2?B style='color:white;background-color:#990099'>2123…n –1n递增年金123…n –1n等额年金11…1111…111…11………111递增年金 = n 年定期年金+ 延期1年的 (n – 1) 年定期年金 + 延期2年的 (n – 2) 年定期年金+ …+ 延期 (n – 1) 年的1年定期年金将上述各项年金的现值相加即得递增年金的现值为*根据现值求得其累积值为期初付递增年金的现值期初付递增年金的累积值建议：只记忆期末付年金的现值公式。
*当时，还可以得到递增永续年金的现值为在计算上述极限时，*例：某人希望购置一项年金，该项年金在第一年末的付款为1000元，以后每年增加100元，总的付款次数为10次。
假如年实际利率为5%，这项年金的现值应该是多少？解：年金分解如下：10001100180019009009009009001002009001000*例：写出下述年金的现值公式设A表示此年金的现值，那么*例：证明以下关系式成立：〔1〕〔2〕*〔2〕由于，因此〔1〕*时期?B style='color:white;background-color:#990099'>2?B style='color:white;background-color:#990099'>223…n –1 n递减年金nn –1 n –2 …21等额年金111…1111…1111…………111111期末付递减年金：第一期末支付 n 元，第二期末支付 n – 1元，…，第 n 期末支付1元。
(3)变额年金
until 25 payments in total are made.
Solution ：
( Ia)10| 10v a15|
10
10 25
0 次数：
1
2
金额：
1
2
10
10
17
3、复递增年金 （compound increasing annuity）
含义：付款金额按照某一固定比例增长的年金。 期末付复递增年金(compound increasing annuityimmediate) ：在第1年末支付1元，此后每年的支付金额按 的复利 r 增长，直到第 n 年末支付(1+r)n-1。
其中 j i r 0.04 0.05 0.0095
1 r 1 0.05
因此该项年金的现值为：
-10 1 1 1 （ 1 0.0095） 1000 a10 6% 1000 10040.94 1.05 1.05 0.0095
21
期初付复递增年金(compound increasing annuity-due) ： 假设一项年金在第1年初支付1元，此后给付金额按复利增 n 1 (1 r ) 长，直到第 n 年初支付金额为 元。
1 v i
v)
=
n an i
13
( Da) n|
n an| i
递减年金的其他公式：
( Ds)n| (1 i)n ( Da) n| (1 i) n n an| i n(1 i)n sn| i
( D a)n| = (1 + i)( Da)n|
1 (1+r) (1+r)2 (1+r)n-1
变额年金险-精选文档
2019/2/15 7
为孩子累计教育资金。
中产以上家庭适合投保
对养老金有一定规划的人群,补充部分养老金
使激进型投资者实现部分资产保本,优化资产配置
2019/2/15
8
刘先生45岁时投保“保得盈”变额年金险1,000,000元
2019/2/15
9
Байду номын сангаас019/2/15
10
高流动性
在投保期间可以随时领取个人账户余额，并且享有更低的退保手续费。
人身险
意外身故1-2倍偿还个人账户价值，最高可达百万元。
年金转换权 合同满期时，可自动转为年金
2019/2/15 5
市场覆盖广，对冲机制 丰富
变额年金保险在国外市场 覆盖率很高，截止2019年，美 国变额年金保费收入达1700亿 美元，约占年金保险市场的 68.5%，总资产余额1.5万亿美 元。日本变额年金险余额达 16.5万亿日元，占个人养老市 场的70%。 海外保险公司运用大量金融 衍生品对冲风险。如看空期权、 金融期货、利率掉期等。
产品种类较少，内部对冲 为主 “步步稳赢”月销售额达 4600万，“保得盈”40天销 售额超3000万。华泰保险公 司的变额年金产品也即将面 市。 在风险对冲上，国内保险 公司主要采取”内部对冲法 和“CPII”法，目前上不能 进行衍生品对冲。
市场规模逐步扩大，风险管理 机制逐步完善。 随着中国老龄化的加剧, CPI 高位难降，变额年金险的需求 将逐年增加。 随着中国金融市场的逐步完 地方 善，金融管制的逐步放松，越 来越多的金融衍生品将被允许 使用。证监会表示，在未来的 一年中，中国将首次推出国债 期货及期权产品，中国金融衍 生品市场即将建立，变额年金 险的投资尺度和风险对冲将被 加强
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在投保期间可以随时领取个人账户余额，并且享有更低的退保手续费。
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意外身故1-2倍偿还个人账户价值，最高可达百万元。
年金转换权 合同满期时，可自动转为年金
2019/2/15 5
市场覆盖广，对冲机制 丰富
变额年金保险在国外市场 覆盖率很高，截止2019年，美 国变额年金保费收入达1700亿 美元，约占年金保险市场的 68.5%，总资产余额1.5万亿美 元。日本变额年金险余额达 16.5万亿日元，占个人养老市 场的70%。 海外保险公司运用大量金融 衍生品对冲风险。如看空期权、 金融期货、利率掉期等。
产品种类较少，内部对冲 为主 “步步稳赢”月销售额达 4600万，“保得盈”40天销 售额超3000万。华泰保险公 司的变额年金产品也即将面 市。 在风险对冲上，国内保险 公司主要采取”内部对冲法 和“CPII”法，目前上不能 进行衍生品对冲。
市场规模逐步扩大，风险管理 机制逐步完善。 随着中国老龄化的加剧, CPI 高位难降，变额年金险的需求 将逐年增加。 随着中国金融市场的逐步完 地方 善，金融管制的逐步放松，越 来越多的金融衍生品将被允许 使用。证监会表示，在未来的 一年中，中国将首次推出国债 期货及期权产品，中国金融衍 生品市场即将建立，变额年金 险的投资尺度和风险对冲将被 加强
中国保监会关于印发《保险公司业务范围分级管理办法》的通知
中国保监会关于印发《保险公司业务范围分级管理办法》的通知文章属性•【制定机关】中国保险监督管理委员会(已撤销)•【公布日期】2013.05.02•【文号】保监发[2013]41号•【施行日期】2013.05.02•【效力等级】部门规范性文件•【时效性】现行有效•【主题分类】保险正文中国保监会关于印发《保险公司业务范围分级管理办法》的通知（保监发〔2013〕41号）各保监局，各保险公司：为规范保险公司业务范围管理，建立健全保险市场准入和退出机制，促进保险行业专业化、差异化发展，根据《保险法》、《外资保险公司管理条例》、《保险公司管理规定》等有关法律、行政法规和规章，我会制定了《保险公司业务范围分级管理办法》，现印发给你们，请遵照执行。
中国保监会2013年5月2日保险公司业务范围分级管理办法第一章总则第一条为规范保险公司业务范围管理，建立健全保险市场准入和退出机制，促进保险行业专业化、差异化发展，引导保险公司集约化、精细化经营，根据《保险法》、《外资保险公司管理条例》、《保险公司管理规定》等有关法律、行政法规和规章，制定本办法。
第二条本办法所称保险公司，是指经中国保险监督管理委员会（以下简称“中国保监会”）批准设立，并依法登记注册的保险公司。
第三条本办法所称业务范围，是指保险公司的原保险业务，不包括再保险业务、保险资金运用业务和代理销售其他保险公司的产品。
中国保监会根据有关法律、行政法规和规章，对保险公司业务范围实施监督管理。
第二章分类方式第四条根据保险业务属性和风险特征，保险公司业务范围分为基础类业务和扩展类业务两级。
第五条财产保险公司基础类业务包括以下五项：（一）机动车保险，包括机动车交通事故责任强制保险和机动车商业保险；（二）企业/家庭财产保险及工程保险（特殊风险保险除外）；（三）责任保险；（四）船舶/货运保险；（五）短期健康/意外伤害保险。
第六条财产保险公司扩展类业务包括以下四项：（一）农业保险；（二）特殊风险保险，包括航空航天保险、海洋开发保险、石油天然气保险、核保险；（三）信用保证保险；（四）投资型保险。
新利息理论教案第3章
新利息理论教案第3章第3章：变额年金本课程第2章讨论的都是等额支付的年金问题。
本章将讨论年金不相等的情况。
如果每次支付的金额没有任何变化规律，那么只好分别计算每次付款的现值与终值，然后将其相加求得年金的现值与终值。
但某些变额年金仍然是有规律可循的，本节将讨论这方面的年金。
第3.1节：递减年金本节内容：3.1.1期末交递减年金假设第一期末支付1元，第二期末支付2元，…，第n期末支付n元，那么这项年金就是按算术级数递增的。
一、年金现值(ia)nn(ia)如果用(ia)n表示其现值，则有v2v23v3...nvn（1）公式推论过程：上式两边同乘（1+i）(1?i)(ia)?1?2v?3v2?...?nvn?1n用第二式减去第一式i(ia)?(1?v?v2?v3?...?vn?1)?nvnnannvn所以：(ia)?ann?nvni（2）公式的另一种推论思路（略）二、年金终值(is)nnnii三、例题基准1、一项20年期的递减年金，在第1年末缴付65元，第2年末缴付70元，第3年末缴付75元，以此类推，最后一次缴付出现在第20年末，假设年实际利率为6%，谋此项年金在时刻零的现值。
解：最后一次支付的金额应该为65?19?5?160元。
将此年金分解成一项每1(is)?(1?i)(ia)n?sn?n?sn?1?(n?1)年末支付60元的等额年金和一项第1年末支付5，每年递增5元的递增年金。
这时：基准2、一项递减年金，第1年末缴付300元，第2年末缴付320元，第3年末缴付340元，以此类推，直至最后一次缴付600元，假设年实际利率为5%，先行排序此项年金在最后一次缴付时刻的终值。
20上述年金的现值为：60a20?5(ia)?1181.70解：支付金额每次递增20元，因为600?300?15?20，所以一共支付了16次。
最后一次支付发生在第16年末。
将此年金分解成一项每年末缴付280元的等额年金和一项第1年末缴付20，每年递减20元的递减年金。
(3)变额年金-2
(1.061837) 2 − 1 = 2.124948 0.06
( Is ) 2 =
2.124948 − 2 = 2.082467 0.06
⎡3( Is )2 − 4 s2 ⎤ e0.06×(7 − 2) = ⎡3( Is )2 − 4 s2 ⎤ e0.3 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
• 因此，本例年金的终值为：
0.5 0
=
∫ (10t + 3) exp ⎡ −(0.1t ⎣
0
2
+ 0.06t ) ⎤dt ⎦
77
= 2.68
78
非立即支付现金流的现值：一个现金流的起始时刻为a > 0，结束时刻为b，计算在0点的现值： 方法一：计算此现金流在时刻 a 的现值，再将此现值从 时刻a贴现到时刻零。
⎡ a ⎤ b ⎡ t ⎤ exp ⎢ − ∫ δ s ds ⎥ ⋅ ∫ ρt exp ⎢ − ∫ δ s ds ⎥ dt ⎣ 0 ⎦ a ⎣ a ⎦
81 82
因此上述现金流在时刻零的现值为：
10.88 × 0.90484 = 9.84
3
a 0
t
1
b
c
为了将一个连续支付的现金流累积到支付期间以后的某一 时点 c，有两种方法：
方法一：利用前面的公式计算此现金流在时刻b的终 值，再将此值累积到时刻c。
⎡c ⎤ b ⎡b ⎤ exp ⎢ ∫ δ s ds ⎥ ⋅ ∫ ρt exp ⎢ ∫ δ s ds ⎥ dt ⎣b ⎦ a ⎣t ⎦
上式右边可用分部积分法展开：
6、连续支付连续递增的年金（简称：连续递增年金）
（continuously increasing annuity） 假设在时刻t的付款比率为t，常数利息力为δ，则连续支付 连续递增年金的现值为：
变额年金
什么是变额年金保险根据保险合同的规定,年金领取人每期领取的年金数额随着帐户投资业绩的变化而变化的年金保险.变额年金保险为年金与变额保险特性相结合之商品，保单的现金价值以及年金给付额度都随著投资绩效好坏而变动。
在通货膨胀时期，由于物价上涨使定额年金的货币购买力下降，为了对付通货膨胀，变额年金在20世纪50年代应运而生。
这是一种保险公司把收取的保险费计入特别账户，主要投资于公开交易的证券，并且将投资红利分配给参加年金的投保者，保险购买者承担投资风险，保险公司承担死亡率和费用率的变动风险。
对投保人来说，购买这种保险产品，一方面可以获得保障功能，另一方面可以以承担高风险为代价得到高保额的返还金。
因此购买变额年金类似于参加共同基金类型的投资，如今保险公司还向参加者提供多种投资的选择权。
由此可见，购买变额年金保险主要可以看做是一种投资。
在风险波动较大的经济环境中，人寿保险市场的需求重点在于保值以及与其他金融商品的比较利益。
变额年金保险提供的年金直接随资产的投资结果而变化。
变额年金保险，是专门为了对付通货膨胀，为投保者提供一种能得到稳定的货币购买力而设计的保险产品形式。
[编辑]变额年金保险的特色1、保户可自由选择投资工具。
2、提供高报酬率可能性与自负投资风险。
3、保费另设分离帐户免于保险公司债权人追偿。
4、变额年金保证最低死亡给付。
所谓投资连结保险，其正式名字是“变额寿险”。
顾名思义，投连险最大的特点就是身故保险金和现金价值是可变的。
投连险是一种新形式的终身寿险产品，它集保障和投资于一体。
保障主要体现在被保险人保险期间意外身故，会获取保险公司支付的身故保障金，同时通过投连附加险的形式也可以使用户获得重大疾病等其他方面的保障。
投资方面是指保险公司使用投保人支付的保费进行投资，获得收益。
投连险的费用主要包括初始保费、风险保险费、帐户转换费用、投资单位买卖差价、资产管理费、部分支取和退保手续费等，根据产品的不同上述费用的收取也存在差异，一般头几年的费用较高，适合于长线的理财规划。
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n
exp(
n)
exp( 2
n)
1
2
1
exp(
n)
n
exp(
n)
a nvn n
v e
11
连续递增年金的终值为
(Is )
(1 i)n (Ia)
s n n
n
n
12
例：一项10年期的连续递增年金，在时刻 t 的付款比率为 9t+6，利息力为9％，计算此项年金在时刻零的现值。
解：可以将此项年金的现金流分解成两部分： 连续递增年金 连续等额年金
例：一项年金的付款期是从第2年末至第7年末，并且在时 刻t的付款比率为3t-4，假设固定利息力为6％，试求此项 年金在第7年末的终值。
解： 假设此年金的付款期是从时刻0到第7年末，则其终值 可表示为：
3(Is ) 4s
7
7
从时刻0到第2年末的付款累积到第7年末的价值为：
[3(Is ) 4s ]e0.06(72) [3(Is ) 4s ]e0.3
na n
n
n(1 vn ) a nvn
n
na
n
18
例：一份10年期的年金，在时刻 t 的付款比率为 10t， 假设利息力为5％，试计算此项年金在时刻零的现值和 在第10年末的终值。
n
(I a ) tetdt n 0
注意，此年金是连续递增并且连续支付的，因此
上式中字母 I 和 a 上都有横线。
10
上式右边可用分部积分法展开：
n
t exp( t)dt
0
n 0
t
dexp( t)
t
exp(
t
)
n 0
n 0
exp( t)dt
n
exp(
n)
1
2
exp(
t
)
n 0
3.4、每年支付m次的递增年金
假设支付n年，每年支付m次，那么总的付款次数为 m n。 如果每年支付m次，付款又是递增的，那么将会出现下
述两种情况： 同一年的每次付款相同 同一年的每次付款也是递增的
1
每年支付 m 次的递增年金：同一年的每次付款相同
现值： (Ia)(m) a(m) (1 2v 3v2 nvn1)
1
1
2
n 1
R(1 i)m 1 2vm 3vm mnv m
R
1
1
im
1
1
1
vm
2
vm
n 1
vm
mn
vn
ma(m) mnvn n
5
R
1
1
im
1
ma(m) n
mn vn
上式两边同时乘以m，则有
R i(m)
m2a(m) n
m2n vn
R
m2a(m) m2n vn n i(m)
因此其现值为：
9(Ia) 6a 928.088592 66.593670 292.36
10
10
其中： i e0.09 1 9.4174%
1 (1.094174)10
a
6.593670
10
0.09
6.593670 10(1.094174)10
(Ia)
28.088592
10
0.09
13
3
3.5、每年支付m次，每年递增m次的年金
现值：
I (m)a
(m) n
1 m2
1 vm
2
2vm
3
3vm
mn
v
n
4
I (m)a
(m) n
1 m2
1 vm
2
2vm
3
3vm
mn
பைடு நூலகம்
vn
1
2
3
令 R vm 2vm 3vm mn vn
1
在式两边同时乘以(1 i)m ，则有
每年支付 1次
(Ia) n|
a nvn n| i
s n
(Is) n
n
i
(Ia) 1 di
每年支付 m次
a nvn
(I a)(m) n|
n|
i(m)
s n
(Is)(m) n|
n|
i(m)
(Ia)(m) 1
di(m)
连续支付
a nvn
(I a) n
n
s n
(I s ) n
n
(I a) 1
n
1
注：见下页说明
2
第一年内所有付款的现值为 a(m) 1
第二年内所有付款的现值为 2va(m) 1
……
第n年内所有付款的现值为 nvn1a(m) 1
因此该项年金的现值为：
(Ia)(m) a(m) (1 2v 3v2 nvn1)
n
1
1 v i(m)
a n
nvn d
a nvn
n
i(m)
d
8
年金
每年支付 1次
现值
递减年金 累积值
na
(Da) n
n
i
n(1 i)n s
(Ds)
n
n
i
连续支付
na
(Da ) n
n
n(1 i)n s
(Ds )
n
n
9
3.7、连续支付连续递增年金
含义：连续支付，连续递增。
假设在时刻t的付款比率为t，常数利息力为，则
连续递增年金的现值为：
17
3.8、连续支付连续递减年金
连续支付，连续递减。假设某项年金的支付期为 n 年，在
时刻 t 的付款比率为 n t，固定利息力为，则称此年金为
一项连续递减年金，其现值用符号 (Da) 表示。 n
连续递减年金的现值公式：
n
(Da) (n t)etdt na (Ia)
n
n
n
0
a nvn
(Ia) lim(Ia)
n
n
a nvn lim n
n
1 (1 i)n nvn
lim
n
10 0
1
2
16
例：一项连续支付的永续年金在时刻 t 的付款比率为 3t， 付款从 0 时刻起并一直延续下去，年实际利率为5％，则 其现值为：
3( Ia )
3
1
ln(1.05)2
1260.25
所以
I (m)a
(m) n
R m2
a(m) nvn n i(m)
6
比较：
a nvn
(I a)(m) n|
n|
i(m)
(每年的付款是常数)
a(m) nvn
(I (m)a)(m) n|
n|
i(m)
(每年的付款递增)
请大家写出累积值的公式。
7
变额年金公式小结
年金
递增年金
现值
累积值
永续年金的 现值
2
2
2
2
因此，本例年金的终值为：
3(Is ) 4s [3(Is ) 4s ]e0.3
7
7
2
2
14
通过计算可得： i e0.06 1 6.1837%
(1.061837)7 1
s
8.699360
7
0.06
(Is ) 8.699360 7 28.322667
7
0.06
s (1.061837)2 1 2.124948
2
0.06
(Is ) 2.124948 2 2.082467
2
0.06
故本例年金的终值为：
3(Is ) 4s [3(Is ) 4s ]e0.3
7
7
2
2
3 28.322667 48.699360 (3 2.082467 4 2.124948)e0.3 53.21
15
连续递增的永续年金：在连续递增年金的现值公式中，令 n 趋于无穷大，则可以得到连续递增永续年金的现值公式：