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第三章 变额年金

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保险精算学公式

保险精算学公式
=
= =
= = = =
= =
第四章
寿险名称
现值符号
计算公式
死亡年末给付
终身寿险
n年定期寿险
n年延期寿险
n年养老保险
保额递增的终身寿险
保额递增的n年定期寿险
n年定期递增的终身寿险
递减的n年定期寿险
死亡时给付
终身寿险
n年定期寿险
n年延期寿险
n年养老保险
保额递增的终身寿险
保额递增的n年定期寿险
n年定期递增的终身寿险
第一章
第二章
；
；
第三章
年金名称
给付方式
给付类别
现值符号
计算公式
终身年金
一年给付一次
期末付
期首付
n年定期
一年给付一次
期末付
期首付
n年延期
一年给付一次
期末付
期首付
n年延期的
m年定期
一年给付一次
期末付
期首付
终身年金
一年给付m次
期末付
+
期首付
—
n年延期
一年给付m次
期末付
+
期首付
—
n年定期
一年给付m次
期末付
+ (1— )
n年定期递减的终身寿险
= =
通常以 ， ， 近似 .
寿险与生存年金现值的关系式：
=v -
=v -
= v -
=1-d
=1—d
+i +i =1
=1-
=1- -
=1—
=v -
=v —
= —d
第五章
均衡净保费是基于前面各章节的基础上,综合前面的所有内容，计算以及处理方法类似。

《 金融数学》复习提纲2024秋

《 金融数学》复习提纲2024秋

《金融数学》复习提纲（2024版）利息度量累积函数()a t 是单位本金在时间t 的累积价值，反映了资金随着时间增长变化的过程。

在已知累积函数的情况下，就可以确定资金在任意时点上的价值。

在实践中，常用的两种计息方式是单利和复利，单利的累积函数为()1a t it =+，复利的累积函数为()(1)ta t i =+，其中i 表示年利率。

贴现函数是累积函数的倒数，表示时间t 的单位资金在时间零点的现值，记为1()a t −。

累积函数用于计算资金的终值，贴现函数用于计算资金的现值。

复利计息方式下的贴现函数为1()(1)(1)t ta t i d −−=+=−。

单利的年有效利率随着时间而递减。

复利的年有效利率是一个常数，恒等于复利的年利率。

如果没有特别说明，本书的利息度量工具都是基于复利的累积函数定义的，包括有效利率、有效贴现率、年名义利率、年名义贴现率和利息力。

有效利率和有效贴现率可以定义在任意长度的时间区间。

有效利率等于当期利息与期初本金之比；有效贴现率等于当期利息与期末累积值之比。

在实践中，任意时间区间上定义的有效利率通常会表示为年名义利率的形式。

年名义利率也称为年化利率，定义为一个时间区间上的有效利率除以该时间区间的长度，也可以定义为一个时间区间上的有效利率乘以一年包含的区间个数，记为()m i 。

年名义利率()m i表示将一年等分为m 个时间区间后，每个区间的有效利率为()/m im 。

年名义贴现率也称为年化贴现率，定义为一个时间区间上的有效贴现率除以该时间区间的长度，也可以定义为一个时间区间上的有效贴现率乘以一年包含的区间个数，记为()m d 。

年名义贴现率()m d表示将一年等分为m 个时间区间后，每个区间的有效贴现率为()/m dm 。

利息力也称为瞬时利率，表示资金在一个无穷小的时间区间（一个时点）上的年化利率，换言之，如果将一个无穷小的时间区间上定义的有效利率表示为年名义利率的形式，这个年名义利率就是利息力。

等额年金

等额年金
4
1、 期末付年金（Annuity-immediate）
期末付年金的含义：在 n 个时期中，每个时期末付款1。
年金
1 0 1
1 2
1 3
1 n-1
1 n
时间
5
期末付年金的现值因子
（annuity-immediate present value factor）
an ：a-angle-n
n期期末付年金的现值因子 a ，a表示annuity，i表示每
an 1 v
v
n 1
1 vn 1 vn 1 v d
ห้องสมุดไป่ตู้
sn|i
——期初付年金的积累值因子
sn (1 i )
(1 i ) n (1 i)[1
(1 i ) n 1 d
(1 i)n1 ]
(1 i)n 1 (1 i) (1 i ) 1
本金和利息在第10年末一次还清；
每年产生利息在当年末支付，而本金在第10年末归还。
在10年期内，每年末偿还相同的金额。 问题：请先推测大小。这些利息总额在价值上是否相等？
13
解：
（1）贷款在10年末的累积值为 1000 1.0910 2367.36
利息总额为 2367.361000＝1367.36
n i
期的实际利率（可省略）。
an v v
2
v
n
v(1 v n ) 1 v
1 vn i
6
1 vn an i
期末付定期年金的现值
7
期末付年金的累积值（终值）因子 annuity-immediate accumulated value factor

工银安盛人寿保险有限公司变额年金保险投资账户

工银安盛人寿保险有限公司变额年金保险投资账户

工银安盛人寿保险有限公司变额年金保险投资账户2011年年度信息公告(本信息公告是依据中国保险监督管理委员会《变额年金保险管理暂行办法》及《人身保险新型产品信息披露管理办法》编制并发布)一投资账户简介1. 投资账户名称：工银安盛人寿和谐投资账户2. 设立时间：2011年6月21日3. 账户特征：平衡型4. 资产配置：25％权益类资产，65％固定收益类资产，10％流动性资产5. 投资策略：本账户奉行稳健、长期的投资原则，通过降低投资账户波动、控制投资账户风险，力求获得中长期稳定的投资收益。

6. 投资工具及投资比例：1) 本账户可投资于权益类资产、固定收益类资产和流动性资产。

2) 本账户投资于权益类资产的比例不高于本账户资产总值的60%。

3) 本账户投资将遵守中国保险监督管理委员会规定的其他限制。

7. 投资风险：本账户的投资回报可能经济风险、市场风险、利率风险、通货膨胀等多项风险因素的影响，但市场风险和利率风险是影响本账户投资回报的主要风险。

二投资账户财务状况的简要说明2011年12月31日资产负债表（金额单位：人民币元）资产货币资金3,180,620交易性金融资产62,602,224其中：基金投资债券投资应收利息应收申购款1,369,680资产合计67,678,405负债应付赎回款10,360应付资产管理费1,833应付资产托管费5,197应交税金33,857负债合计51,247净资产67,627,158账户持有人权益账户持有人投入资金69,707,911累计已实现损益-2,080,753账户持有人权益合计67,627,1582011年度投资收益表2011年6月21日(账户成立日) 至2011年12月31日止期间(金额单位：人民币元)经营收入证券投资损益74,270利息收入211,688公允价值变动损益-2,151,877买入返售证券收入25,096-1,840,823经营支出资产管理费-161,782资产托管费-16,178营业税金及附加-35,319其他支出-26,651-239,930已实现净损益-2,080,753三投资账户披露信息(一) 变额年金保险工银安盛人寿和谐账户投资回报率如下:2011/6/21-2011/12/31 -4.05%(二) 变额年金保险账户资产估值原则1. 交易类金融资产包括证券投资基金投资和债券投资。

浅谈货币时间价值与各类年金

浅谈货币时间价值与各类年金

230大众商务年金（Annuity)，是一种特殊的现金流，定义为一系列的付款或收款。

由年金延伸出的各种计算问题关系生活的方方面面，小到分期付款大到养老金的领取等都涉及年金理论的应用。

一、年金年金最早的含义是指一种支付时间和支付金额非常规律的现金流，通俗来讲就是，每年付款一次，每次支付相同金额。

现在，年金的含义更广泛应用于一般的情形，如每季付款一次、每月付款一次，或每周付款一次都可以称作年金。

同时，支付金额也可以是按照某种特定规律变化。

年金在我们的经济生活中非常普遍，如支付房屋的租金、商品的分期付款、分期偿还贷款、发放养老金、银行存储，又或是人人热衷的投资，都属于年金。

由此可见，年金与我们的生活联系紧密。

二、货币时间价值在年金上的体现货币的时间价值，是指由于时间因素的作用而使现在一笔货币资金高于将来某个时期的同等金额的数量差额，或指货币资金随时间的推移所具有的增殖能力。

换言之，即同样数量的货币，在今天比在今后某个时期价值更高。

如果把一笔货币作为本金，经过一段时间，就会带来利润，使自身得到增殖。

比如，现在的1元，按社会利率在未来得到增殖；反过来，未来的1元要按贴现率缩小，才能得到它在现在的价值。

货币的时间价值反映的是人们对货币资金的利用效果。

货币时间价值有现在值、将来值、等年值三种形式。

这几种形式，对应到年金上，也就是我们常说的年金的现值、终值以及一定时间内以每年等额支付的费用。

三、年金的分类现实中的年金多种多样，我们可以从不同的角度对它们进行分类。

第一，确定年金和风险年金。

按照支付时间和支付金额，将两者为事先确定的年金视为确定年金；而两者都不确定则视为风险年金，而现实生活中很多情况下都是风险年金。

第二，定期年金和永续年金。

支付期限有限的年金则视为定期年金；如果支付期限无限，则为永续年金。

某些特殊情形下也可视为永续年金，如没有到期期限的西方债券或是无到期日的优先股。

第三，期初付年金和期末付年金。

在每个支付周期初支付的年金称为期初付年金；在每个支付周期末支付的年金称为期末付年金。

北京地区人身保险经营行为管理办法

北京地区人身保险经营行为管理办法

北京地区人身保险经营行为管理办法第一章总则第一条为了规范人身保险经营行为，维护投保人、被保险人和社会公众利益,根据《保险法》和《保险公司管理规定》、《人身保险新型产品信息披露管理办法》、《保险销售从业人员监管办法》等法律法规,结合北京市场实际,制定本办法。

第二条北京地区保险公司及保险代理机构的人身保险经营行为，应当符合法律、行政法规、中国保监会的有关规定和本办法.第二章销售资质和诚信管理第三条各人身保险公司应加强保险销售从业人员的资质审核和管控，确保本公司及与本公司合作的专、兼业代理机构的保险销售从业人员持有《保险销售从业人员资格证书》(以下简称资格证书).各人身保险公司和专业代理机构的保险销售从业人员除取得资格证书外，还应取得保险公司或专业代理机构发放的执业证书。

商业银行等专、兼业代理机构应在营业网点主动公示保险销售从业人员资质情况，供社会公众查询监督。

第四条各人身保险公司相关管理信息系统应具备对代理机构资质信息进行校验的功能，对于未取得保险监管部门核发许可证或许可证过期的专、兼业代理机构，核心业务系统应自动予以控制，不予出单。

各人身保险公司要将保险销售从业人员信息纳入系统管理。

保险销售从业人员信息应至少包括人员姓名、从业资格证书编号、所属保险公司或代理机构名称等.管理信息系统应具备对保险销售从业人员资质信息进行校验的功能，对于未取得资格证书或资格证书过期的销售人员，核心业务系统应自动予以控制，不予出单.保险公司经营个人意外伤害保险业务不执行本条规定。

第五条对于人身保险代理业务，各人身保险公司应在保单上载明专、兼业代理机构名称和保险销售从业人员姓名等内容.第六条北京保险行业协会要研究建立保险销售从业人员销售资格分级分类管理制度，提高销售人员的专业水平。

第七条北京地区投资连结保险、变额年金保险销售人员应具备以下条件：1。

大学本科及以上学历；2。

一年以上寿险产品销售经验；3。

无重大违规行为和欺诈行为.第八条各人身保险公司应加强保险销售从业人员的诚信管理,如实记录销售人员因不规范销售行为而受到处理的信息，及时将信息登记录入北京人身保险销售从业人员销售行为警示信息管理系统,并将相关材料报送北京保险行业协会。

第三章生存年金2

第二节 连续给付型年金
1
一、连续给付型年金的精算现值

连续生存年金的定义
在保障时期内，以被保险人存活为条件，连
续支付年金的保险。

连续生存年金的种类
终身连续生存年金/定期连续生存年金

连续生存年金精算现值的估计方法 总额支付法（综合支付技巧）：考虑年
金在死亡或到期而结束时的总值。 现时支付法（当期支付技巧）：考虑未 来连续支付的现时值之和。
2－24
课后作业
P76-77:3、18
2－25
2

试求：（1） δ ；（2） A。
x
2－13
答案
⎧ ⎧ ⎪1 = δ a x + Ax ⎪1 = 10δ + Ax 2 ⎪ ⎪ 2 2 = + ⇒ = + 1 2 δ a A 1 14.75 δ Ax x ⎨ ⎨ x ⎪ ⎪ 1 2 1 2 2 ⎪Var aT = 2 ( Ax − ( Ax ) ) ⎪50 = 2 ( Ax − ( Ax ) 2 ) δ δ ⎩ ⎩ ⎧ δ = 0.035 ⎪ ⇒ ⎨ Ax = 0.65 ⎪2 ⎩ Ax = 0.48375
为 n年期两全保险的给付现值随机变量（死亡即付）。
∴ EY = E ( 1− Z
δ
)=
1 − EZ
δ
=
1 − A x:n|
δ
2－10
年金精算现值与寿险趸缴纯保费之间的关系

3、延期n年的终身生存年金：
n|
a x = a x − a x:n| =
1 − Ax
δ
−
1 − Ax:n|
δ
=
Ax:n| − Ax
δ

年金保险


蒋虹 人身保险 （第二版）对外经济贸易大学出版社 7
三、年金保险的分类
（一）根据承保机构分类 分为商业保险年金制和社会保险年金制 （二）根据给付特征分类 分为保证性年金和非保证性年金 （三）根据交费形式和给付时间分类 按交费形式可分为定额或定期交费年金、灵活交费年金、趸交保费年金； 按给付时间的选择，可分为递延年金和即期年金 （四）根据年金的给付水平是否变化分类 可分为定额年金、变额年金、递增性年金
蒋虹 人身保险 （第二版）对外经济贸易大学出版社 5
2．年金保险的大数法则 利用大数法则，年金保险公司就可估算出投保人群体的总体给付金额， 减少个体因素对整个基金给付额波动带来的意外影响
蒋虹 人身保险 （第二版）对外经济贸易大学出版社 6
二、年金保险的特征
（一）年金保险的基本精算特征 （二）年金保险的不可赎回性和不可转移性 （三）年金保险与人寿保险的异同 1.给付事件不同 2.功能不同 3.投保方的道德风险不同 4.财务处理形式不同 5.承保条件不同 6.保险契约关系终止情形不同 7.厘定费率的依据不同
第四章 年金保险
第一节 年金保险概述 第二节 传统年金保险 第三节定额递延年金保险 第四节变额年金保险 第五节个人税收递延型商业养老保险
蒋虹 人身保险 （第二版）对外经济贸易大学出版社 1
第一节 年金保险概述
一、年金保险的概念和基本原理 （一）年金保险的概念 1.年金 从广义上讲，年金就是一系列按照相等时间间隔支付款项的付款方式。
（二）传统年金保险的基本特点
1．长期性 2．预定利率的固定性 3．产品的保障性 4．定额年金 5．种类的单一性
蒋虹 人身保险 （第二版）对外经济贸易大学出版社 14
二、传统年金保险的主要类别

《金融数学》(2)等额年金

• 连续年金（continuous payable annuity）
•2
年金（annuity）
• 含义：一系列的付款（或收款），付款时间和付 款金额具有一定规律性。
•3
年金的类型
• 支付时间和支付金额是否确定？
– 确定年金(annuity-certain) – 风险年金(contingent annuity)。
•12
解：
（1）10年末的累积值为 100 (1 0.06)10 179.08
（2） 6s 100 6 1.0610 1 179.08
10
0.06
（3） 设每年末的偿还额为 R，则
Ra 100 R 100 a
10
10
Rs
s 100 10
100(1+i)10 =179.08
10
a
10
•13
•
期初付年金（annuity-due）
含义：在 n 个时期，每个时期初付款1元。
时间 0
1
2
3 ……
期初付年金
1
11
1 ……
等价的期末付年金
1+ i 1+ i 1+ i ……
n‒1 n 1
1+ i 1+ i
注：比期末付年金前提 1 年，价值增加为 ( 1+ i ) 倍
14
a&& (1 i) a
n
n
时间
0 1 2 3 4 … … n-2 n-1 n
期初付年金
期初付年金的现值 a&& n
等价的期末付年金
1 1 1 1 1 …… 1 1 1+i 1+i 1+i 1+i 1+i … … 1+i 1+i

第三章 货币时间价值与风险收益 (《公司金融》PPT)


2020/6/4
24
预付年金的现值与终值
答案7：
6
V6 10000 (1 0.08)t1 (1 0.08) 10000 7.3261.08 79228.8(元) t 1
答案8：
10
V0 10000
1 (10.0 8)t
(1 0.08)
t 1
10000×6.71×1.08=72468(元)
A2
•
1 (1i )2
An
•
1 (1i )n
2020/6/4
31
第一节 货币时间价值原理
现在我们来讨论在计息期数n、终值或现值、年金 为已知的情况下，如何来倒求贴现率i.
一般来说，倒求贴现率可分为两步：第一步，求出 复利（或年金）的现值（或终值）系数；第二步， 根据该系数再求出其相应的贴现率。这里分两种情 况，一种是，根据复利（或年金）现值（或终值） 系数及相应的计息期数n，通过倒查相应的系数表， 直接得出贴现率i，另一种情形是计算出来的系数在 相应的系数表中没有正好相对应的系数，即它是介 于某两个系数之间，这时要采用插值法来进行计算。
33
第一节 货币时间价值原理
解：已知A=30000，n=5
V0 157950(1 20%) 126360(元)
因为
126360 30000 •
5
1 (1i )t
t 1
所以
5
1 (1i)t
1 2 6 3 6 0
3000
4.212
t 1
查年金现值表得到i=6%（年金现值系数表）
2020/6/4
AAA A A
2020/原理
就现值计算来看，先付年金又恰好比普通年 金少贴现一期利息。为求得先付年金的现值， 可在求出后付年金现值后，再乘以（1+i）
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1 (an 1| v n an 1| 1 v n ) i
1 (1 v n )(an 1| 1) i
n| an| a
16
3、复递增年金
• 含义：付款金额按照某一固定比例增长的年金。 • 期初付复递增年金(compound increasing annuityimmediate) ：在第1年初支付1元，此后每年的支付金额按 的复利 r 增长，直到第 n 年初支付(1+r)n-1。注：r < 0 ，递 减。
X = 54
25
第二次替换为永续年金，每年末支付Y，价值为Y/0.08 原年金剩余10次
X
原年金已支付10次
1.089X
1.0810X
Y
1.0824X
……
价值方程 ( X = 54 ) 为： Y / 0.08 = 54 (1.0810v + 1.0811v2 + … + 1.0824v15) = 54(1.08)9· 15 由此可得：Y = 129.5
2
v
n 1
n (v n v n 1 v) = i
( Da) n
n an i
13
( Da)n|
n an| i
• 递减年金的其他公式：
( Ds)n| (1 i)n ( Da)n| (1 i)n n an| i n(1 i)n sn| i
)n| = (1 + i)(Da)n| (Da
=
n an | d
)n| = (1 i) ( Da )n| ( Ds
n
n(1 i)n sn| d
14
• 例：一项年金在第一年末付款1元，以后每年增加1元，直
至第 n 年。从第 n + 1年开始，每年递减1元，直至最后一
n| 年付款1元。证明该项年金的现值可以表示为 an| a
n1
1 v 1 v ) n ( m ) (1 i ) ( Ia) n ( m ) ( Ia i i
( Ia)
(m) n

i i
(m )
( Ia) n
关系：
( Ia)
(m) n

i
( Ia ) (m ) ni Nhomakorabea( Is)
( m) n
( m) ( Ia)n
) ( Is
• 现值：
10 1 1 （ 1 j） 1000 1000 10042.29 1.04 1.04 j / (1 j)
22
10 j a
例
• 年金的年增长率 r 与年实际利率 i 相等，即 j = 0. 请 计算期初付年金与期末付年金的现值分别是多少？ • 解： 期初付 = n 期末付 = n/(1+i)
200
300
400
500
600
700
800
100 ( I a)8 j 100
8 j 8(1 j ) 8 a j
3148.8
(1 j )4 1 10%
35
每年支付m次的递减年金
( Da)
(m) n
a
( m) 1
n (n 1)v (n 2)v
PV初 1 (1 r)v (1 r)2 v2 (1 r)n1 vn1
18
PV初 1 (1 r)v (1 r)2 v2 (1 r)n1 vn1
1 • 令 (1 r )v 1 j
， 则：
1 1 PV初 1 1 j 1
24
第一次替换时，永续年金的现值为100/0.08＝1250
100
100
100
100
100
100
第一次替换后的递增年金：25次付款
X
1.08X
1.082X
1.083X
1.0824X
由于利率i ＝0.08，与年金增长率相等，故上述递增年金 的现值为： PV = X · n/(1 + i) = 25X/1.08 1250 = 25X/1.08
• 当 n 时，还可以得到递增永续年金的现值为
( Ia ) | lim( Ia ) n | lim n
n
n | nv n a i

1 di
) | lim( Ia )n | lim ( Ia
n n
n | nv n a d

1 d2
• 上式两边乘以(1 + i)： (1 i)( Ia)n| 1 2v 3v2 nvn1
i ( Ia)n| (1 v v 2 v3 v n1 ) nv n
3
•
i ( Ia)n| (1 v v2 v3 v n1 ) nv n
28
每年支付 m 次的递增年金(increasing mthly annuity)： 同一年的每次付款相同
现值：
(Ia)(nm) a1(m) (1 2v 3v2 nvn1 )
29
每年支付m次的递增年金
(Ia)
( m) n
a (1 2v 3v nv )
( m) 1 2
(1 j ) m 1 i
33
例：写出下述年金的现值计算公式（年利率i=10%)：
0 1
2
100
100
100
100
200
200
200
200
400 ( I a)
(4) 2|
400
i i
(4)
( I a) 2
34
例：写出下述年金的现值计算公式（年利率i=10%)：
0 1 2
100
900 200
900 900
900 1000
900a10| 100( I a)10| = 6949.56 + 3937.38= 1088.69 ( 元 )
9
2、递减年金（decreasing annuity）
期末付递减年金(decreasing annuity-immediate)：第一期末 支付 n 元，第二期末支付 n – 1元，…，第 n 期末支付1 元。按算术级数递减。
26
注：v = 1.08-1
回顾与展望（算数级数递增或递减）
( Ia)n n nv a i
1年 支付m次
n
( Da) n
n an i
1年 支付1次
连续支付， 离散变化
连续支付， 连续变化
27
4、每年支付m次的递增年金(increasing mthly annuity)
• 如果每年支付m次，付款又是递增的，将会出现下 述两种情况： – 同一年的每次付款相同（每年递增一次）： increasing mthly annuity – 同一年的每次付款也是递增的（每次付款递增一 次）：mthly increasing mthly annuity （略）
1
2
n
n-1
1
( I a)n| v n ( Da)n1|
15
( I a ) n | v ( D a ) n 1|
n
n| nvn a i
+v
n
(n 1) an1| i
1 (an 1| 1 nv n nv n v n v n an 1| ) i
其中
1 j 1
2
j
n 1
n j a
(1 r )(1 j ) (1 i ) 1 (1 r )v ir 1 j j 1 r
19
• 期末付复递增年金的现值：
PV末
PV初 1+i

n j a 1 i

sn n i
期初付递增年金(increasing annuity-due)
现值
)n (1 i)( Ia) n ( Ia n nv n a d
sn n d
7
累积值
( I s )n = (1 + i)( Is)n

递增永续年金(increasing perpetuity)
其中
ir j 1 r
20
• 例：某10年期的年金在第一年末付1000元，此后的给 付金额按5％递增，假设年实际利率为4%，请计算这 项年金在时刻零的现值。 • 解：年金的现金流如下：
21
• 现值： 1000
n j a 1 i
1000
10 j a 1.04
i r 0.04 0.05 0.009524 • 其中 j 1 r 1 0.05
• 在计算上述极限时，
lim nv n lim
n
n 0 n (1 i ) n
8
• 例：年金在第一年末的付款为1000元，以后每年
增加100元，总的付款次数为10次。如果年实际利
率为5%，这项年金的现值应该是多少？ • 解：年金分解如下：
1000
1100
1800
1900
900 100
变额年金
主要内容
• 递增年金（离散支付，离散递增）
• 递减年金（离散支付，离散递减）
• 复递增年金：按几何级数递增的年金 • 每年支付 m 次的递增年金（递减年金，略） • 连续支付的变额年金：连续支付，离散递增（或递减） • 连续支付、连续递增（或递减）的年金 • 一般形式的连续支付、连续变额现金流
n| nv n a
• 递增年金的现值：
( Ia)n
n nv a i
n
4
• 例：证明下列关系式成立：