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1-2 概率的定义与基本性质

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概率论与数理统计课件(1-2)

概率论与数理统计课件(1-2)

频率与概率到底有怎样的关系呢？ 频率与概率到底有怎样的关系呢？
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质 硬币时，出现正反面的机会均等。 实验者
De Morgan Buffon K. Pearson K. Pearson
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
这两个公式的思想贯穿着整个概率问题的求解
可重复排列：从含有n 个元素的集合中随机 抽取k 次，每次取一个，记录其结果后放回， 将记录结果排成一列
n n n
n
共有nk 种不同排列方式
无重复排列： 无重复排列：从含有n 个元素的集合中随机抽 每次取一个，取后不放回， 取k 次，每次取一个，取后不放回，将所取元 素排成一列
1.2 概率
从直观上来看，事件A的概率是描绘事件A 从直观上来看，事件A的概率是描绘事件A 发生的可能性大小的量 P（A）应具有何种性质？ （ 应具有何种性质？ 抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ * 抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ * 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ 向目标射击，命中目标的概率有多大？ * 向目标射击，命中目标的概率有多大？
•频率的性质
(1) 0≤ fn(A) ≤1； ≤ ≤ ； (2) fn( )＝1； fn(Φ)=0 ＝ ； Φ (3) 可加性：若AB＝ Φ ，则 可加性： ＝ fn(A∪B)＝ fn(A) ＋fn(B). ＝
二、 概率的公理化定义与性质 注意到不论是对概率的直观理 解，还是频率定义方式，作为事件 的概率，都应具有前述三条基本性 质，在数学上，我们就可以从这些 性质出发，给出概率的公理化定义

概率的基本性质

概率的基本性质
（2）从6名学生中选出4人参加数学竞赛， 共有15种可能情况；
（3）“A没被选中”包含下列5个基本事 件： (B，C，D，E )，(B，C，D，F )， (B，C，E，F )，(B，D，E，F )，
(C，D，E，F )
有关集合知识：
1、集合之间的包含关系：
A B
BA
2、集合之间的运算： （1）交集： A∩B
（2）投掷一颗骰子，掷出的点数不为3， 5.
5、互斥事件
若A∩B为不可能事件（ A∩B = ），那么称事 件A与事件B互斥。
事件A与事件B互斥的含义是：这两个事件在任 何一次试验中都不会同时发生，可用图表示为：
A={出现4点} B={出现6点} M={出现的点数为偶数}
B
A
N={出现的点数为奇数}
解：（1）Ω ={(正,正,正)， (反,正,正)，
(正,反,正)， (正,正,反)， (正,反,反)，
(反,正,反)，(反,反,正)，(反,反,反)}；
解：（1）Ω ={(正,正,正)， (反,正,正)，
(正,反,正)， (正,正,反)， (正,反,反)， (反,正,反)，(反,反,正)，(反,反,反)}；
基本事件空间：所有基本事件构成的集合 称为基本事件空间。基本事件空间常用大 写希腊字母Ω表示。
例如，掷一枚硬币，观察落地后哪一 面向上，这个试验的基本事件空间就是 集合{正面向上，反面向上}。
即 Ω = {正面向上，反面向上}.
或简记为Ω ={正，反}.
掷一颗骰子，观察掷出的点数，这个事 件的基本事件空间是
解：（1）这个试验的基本事件空间是： Ω={(A,B,C,D )，(A,B,C,E )，(A,B,C,F )，
(A,B,D,E )，(A,B,D,F )，(A,B,E,F )，

概率论与数理统计ch1-2

概率论与数理统计ch1-2
绝对偏差 0.1 0.03 0.004 0.0012 0.0022 0.00095 0.00138
试验二：掷色子
设A=“出现1点”
P(A) 1 0.16& 6
试验次数 10 100 1000 5000 10000 20000 50000
A出现的频数 2 15 153 850 1719 3381 8204
摩根法则：
A B A B ； AB A B
★用简单事件的运算来表示复杂事件！
CH1 随机事件及其概率
§1.2 事件的概率
研究随机试验，仅仅知道所有可能结果是不 够的，还需要了解各种结果出现的可能性大小。
概率就是描述事件A发生可能性大小的一个量。
本节给出概率的四种定义：
一、概率的统计定义
二、概率的古典定义★
概率的古典定义仅适用于具有下述特点的试验模型： (1) 试验中所有基本事件的总数是有限的； —有限性 (2) 每次试验中，各基本事件的发生是等可能的。 —等可能性
——古典概型(等可能性模型)
定义： 如果古典概型中，所有基本事件的总数为n，而
A所包含的基本事件数为m，则事件A发生的 概率为：
公理1(非负性)：0 P(A) 1； 公理2(规范性)： P() 1；
公理3(可列可加性)： 对于两两互斥的事件列A1, A2,L , An,L ，有 P( A1 A2 L An L ) P( A1) P( A2) L P( An ) L 概率则是称非P负(A的)为、事规件范A的的、概可率列。可加的集函数。
m1 m2 m1 m2
fn(A+B)= fn(A) +fn(B)
m1 m2 m1 m2
n
nn

概率论1-2资料

概率论1-2资料

二、概率 1 概率的公理化定义
设E是随机试验， S是它的样本空间，对于S中的
每一个事件A，定义一个实数，记为P(A) ，
如果满足下列三个条件: 1o 非负性：对于每一个事件A,有P(A) ≥0
2o 规范性： 对于必然事件S,有 P(S)=1
3o 可列可加性： 若事件A1, A2 ,… 两两互不相容，
例：抛硬币出现的正面的频率
试验 序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n =5
nH fn(H)
2
0.4
3
0.6
1
0.2
5
1.0
1
0.2
2
0.4
4
0.8
2
0.4
3
0.6
3
0.6
表1Leabharlann n =50nH fn(H)
22
0.44
25
0.50
21
0.42
25
0.50
24
0.48
21
0.42
18
0.36
24
即对任意事件A，有 0≤ P(A)≤1 性质6（加法公式）
对任意两事件A、B，有
P(AU B) P(A) P(B) P(AB)
证 A B AB AB
且A与B-AB互不相容
P(AUB) P AU(B AB)
P( A) P(B AB) P( A) P(B) P( AB)
推广到三个事件和的概率为 P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)- P(AC)
§3 事件的频率与概率
研究随机现象，不仅关心试验中会出 现哪些事件，更重要的是想知道： 在一次试验中一个事件出现的可能性大小。

概率的基本性质-高一数学课件(人教A版2019必修第二册)

概率的基本性质-高一数学课件(人教A版2019必修第二册)
第十章 概率
10.1 随机事件与概率
10.1.4概率的基本性质
课程标准
1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机
事件与样本点的关系。了解随机事件的并、交与互斥的含义，
能结合实例进行随机事件的并、交运算；
2.结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事
件的概率；
3.通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则；
什么关系?（大家可以大胆猜想！）
探究 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，
2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球. =“两次都摸
到红球”， =“两次都摸到绿球”.
（1）、这两个事件有什么关系?
（2）事件、事件的和事件是什么？
（3）()、()与( ∪ )的值有什么关系？
性质5:(概率的单调性) 如果 ⊆ ，那么() ≤ ().
新知讲解
问题4 摸球试验中， =“第一次摸到红球”， =“第二次摸到
红球”，“两个球中有红球”= ∪
（1）( ∪ )和() + ()相等吗?如果不相等,请你说明原
因，并思考如何计算( ∪ ).
( ∪ ) = () + () − ( ∩ ).
与性质3的区别是:性质3的事件是互斥的；
但性质6的事件是两个随机事件；
性质3是性质6的特殊情况.
概念生成
性质1：对任意的事件，都有() ≥ .
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0
即() = ，(∅) = .
（2）特殊的事件有哪些？他们的概率分别是多少？
（3）事件间有哪些特殊关系？他们的概率之间有哪些关系？

1-2(概率的定义、古典概率)

1-2(概率的定义、古典概率)

P( AB) P( A) P( B) P( A B)
P( A) P( B) 1 0.3 —— 最小值
最小值在 P( A B) 1 时取得
P( AB) P( A) 0.6
—— 最大值
最大值在 P( A B) P( B) 时取得
三.几何概率
早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不 够的. 把等可能推广到无限个样本点场合,人们 引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另 一方法——几何方法.
P( AB ) P( A) P( AB) 0.7 0.1 0.6 (2) P( A B) P( A) P( B) P( AB) 0.8
(1)
(3) P( A B) P( A B) 0.2
例2 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在 何条件下， P(AB) 取得最大(小)值？最大(小) 值是多少？ 解 P( A B) P( A) P( B) P( AB)
P ( Ai ) P ( Ai )
i 1 i 1 n n 1 i j n
P( A A )
i j
1 i j k n
P( A A A )
i j k
„ ( 1)
n1
P ( A1 A2 „ An )
例1 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能 答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王 (1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率 解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题”

概率统计知识点

一.随机事件和概率1、概率的定义和性质（1）概率的公理化定义设Ω为样本空间，A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =13° 对于两两互不相容的事件1A ，2A ，…有∑∞=∞==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)(i i i i A P A P Υ常称为可列（完全）可加性。

则称P(A)为事件A 的概率。

（2）古典概型（等可能概型）1° {}n ωωωΛ21,=Ω，2° nP P P n 1)()()(21===ωωωΛ。

设任一事件A ，它是由m ωωωΛ21,组成的，则有P(A)={})()()(21m ωωωΥΛΥΥ=)()()(21m P P P ωωω+++Λn m =基本事件总数所包含的基本事件数A =2、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）(1)加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)(2)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当B ⊂ A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时，P(B )=1- P(B)（3）条件概率和乘法公式定义 设A、B 是两个事件，且P(A)>0，则称)()(A P AB P 为事件A 发生条件下，事件B 发生的条件概率，记为=)/(A B P )()(A P AB P 。

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

（4）全概公式设事件B 1, B 2,Λ , B n 满足1°B 1, B 2,Λ , B n两两互不相容，P (B i ) > 0(i = 1,2,Λ , n ) ，2°Υni iB A 1=⊂，则有)|()()|()()|()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +++=Λ。

概率论与数理统计课件：1-2 概率论的基本概念 频率和概率

17
古典概型问题中，样本空间的构造必须 保证其中的每个样本点发生的可能性都相同。
练习1.4.1 抛一枚均匀硬币三次，计算P { 恰好出现一次正面 }。 提示：这里有两种构造样本空间的形式， ① 以随机试验的全部结果构造 S1 = { HHH，HHT，HTH，HTT，THH， THT，TTH，TTT } 因此 P (A ) = 3/8 ； ② 以正面出现的次数构造 S2 = { 0，1，2，3 } 因此 P (A ) = 1/4 。
概率P (B – A) 的值。பைடு நூலகம்
解。分析：由减法公式， P (B – A ) = P (B ) – P (AB ) 只需要计算出概率 P (AB ) 。
(1) A、B互不相容即 AB = ，得到 P (B – A ) = 0.5；
(2) A B 等价于 AB = A，得到 P (B – A ) = 0.2；
频率的这种稳定性表明了随机现象也具有规律性， 称为是统计规律(大量试验下体现出来的规律)。
4
概率的频率定义
自然地，可以采用一个随机事件的频率的稳定值 去描述它在一次试验中发生的可能性大小，即用频率 的极限来作为概率的定义。
然而实际上，我们不可能对每一个随机事件都去 做大量的试验后得到它的频率，并且有些随机事件也 无法去定义它们的频率。
16
例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率 相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A表示事件至少有一个男孩,以H表示某个孩子 是男孩
N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT} N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}
P( A) N ( A) 7 N(S) 8
i 1

高等教育：概率论第1章1-2

三次射击都击中目标
A3 A2 A3 A2 第三次击中但第二次未击中
A1 A2
前两次都未击中目标 A1 A2
A2 A3
后两次至少有一次未击中目标 A2 A3
A1A2 A1A3 A2 A3
至少有两次击中目标
1.2 随机事件的概率及其性质
1.2.1 概率的统计定义
试验一 ： 皮尔逊(pearson)投掷硬币试验
8 解：(1) P(B A) P(B A) P(B AB) P(B) P(AB)
10 1 22
(2) P(B A) P(B) P(AB) P(B) P(A) 1 1 1 23 6
(3) P(B A) P(B) P(AB) 1 1 3 28 8
第1章 随机事件及其概率
1.1 随机事件及其关系
1.1.1 样本空间与随机事件 概率论把观察客观事物的过程称为试验，而把
满足下列三个条件的试验称为随机试验：
1.可重复性 2. 可观察性 3.不确定性
样本点：随机试验的每一个可能结果称为一样本点。 以 e 表示；
样本空间：随机试验的所有结果组成的集合。
记作：A B
(2)事件的相等：若A B且 B A，即A和B的样本点完全相同。 记作：A B
(3) 事件的并(和)--和事件: 事件A和事件B至少有一个发生，这
一事件称为A与B的和事件。记为 A B 或 A B 推广1：有限个 A1 A2 ... An 或 A1 A2 ... An 推广2：可列个 A1 A2 ... An ...
1、交换律：A∪ B＝B ∪ A，AB＝BA 2、结合律：(A ∪ B) ∪ C＝A ∪(B ∪ C)，

新概率1-2(1)


S
A-B B
A
11
(4)对任意两个事件A、B，有 对任意两个事件A 对任意两个事件 P(A∪B)=P(A)+P(B) P(AB) P(A∪B)=P(A)+P(B)—P(AB) B=A∪(B－AB)， 证：A∪B=A∪(B－AB)， 且A∩(B－AB)=Ø， AB (B－AB)= ，
S
A AB B A∪B ∪
(2)规范性 (2)规范性
fn (S) = 1, fn (Φ) = 0,
fn( A) =
m n
事 件 的 频 率
(3)有限可加性 (3)有限可加性 ⋯ 若A1，A2， ，Ak 是两两互不相容的事件则 ，
fn ( A1 ∪ A2 ∪⋯∪ Ak ) = fn ( A1 ) + fn ( A2 ) + ⋯+ fn ( Ak )
13
概率论与数理统计
A,B,C是三事件 是三事件,P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0 例2：设A,B,C是三事件,P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0 1/16,求 全不发生的概率。 P(AC)=P(BC)= 1/16,求A，B，C全不发生的概率。
解： (A B C ) = P ( A ∪ B ∪ C ) P
7
概率论与数理统计
实际中，当概率不易求出时， 实际中，当概率不易求出时， 人们常通过作大量试验， 人们常通过作大量试验，用事件 出现的频率去近似概率. 出现的频率去近似概率. 如若我们希望知道某射手中靶的概率， 若我们希望知道某射手中靶的概率， 应对这个射手在同样条件下大量 射击情况进行观察记录. 射击情况进行观察记录. 若他射击n 若他射击n发，中靶m发，当n很大时， 中靶m 很大时， 可用频率m/n作为他中靶概率的估计. m/n作为他中靶概率的估计 可用频率m/n作为他中靶概率的估计.
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1. 概率的定义
设 E 是随机试验 , S 是它的样本空间 .对于 E 的每一事件 A 赋予一个实数 , 记为 P ( A) , 称为事 件 A 的概率 , 如果集合函数 P ( ⋅ ) 满足下列条件 :
(1) 非负性 : 对于每一个事件 A, 有 P ( A) ≥ 0; (2) 规范性 : 对于必然事件 S , 有 P ( S ) = 1;
P( A1 U A2 ULU An ) = P( A1 ) + P( A2 ) + L+ P( An ).
概率的有限可加性 ( 3) 设 A, B 为两个事件 , 且 A ⊂ B , 则 P ( A) ≤ P ( B ), P ( B − A) = P ( B ) − P ( A).
B A
(4) 对于任一事件 A, P ( A) ≤ 1.
P ( B A) = P ( B ) − P ( A)
1 1 1 = − = . 2 3 6 P ( B A) = P( B) − P ( AB )
1 1 3 = − = . 2 8 8
A AB
B S
小结
1. 频率 (波动 n → ∞ 概率 稳定 波动) 概率(稳定 稳定). 波动 2. 概率的主要性质 (1) 0 ≤ P( A) ≤ 1, P( S ) = 1, P(∅) = 0;
( 2) P ( A) = 1 − P ( A); (3) P( A U B) = P( A) + P(B) − P( AB);
(4) 设 A, B 为两个事件 , 且 A ⊃ B , 则 P ( A) ≥ P ( B ), P ( A − B ) = P ( A) − P ( B ).
(3) 可列可加性 : 设 A1 , A2 ,L是两两互不相容的 事件 ,即对于 i ≠ j , Ai A j = ∅ , i , j = 1, 2,L , 则有 P( A1 U A2 UL) = P( A1 ) + P( A2 ) + L
概率的可列可加性
2. 性质 (1) P (∅ ) = 0. ( 2 ) 若 A1 , A2 ,L , An是两两互不相容的事件 , 则有
2. 性质 设 A 是随机试验 E 的任一事件 则 的任一事件, (1) 0 ≤ f n ( A) ≤ 1; ( 2) f ( S ) = 1, f (∅ ) = 0;
( 3) 若 A1 , A2 , L, Ak 是两两互不相容的事件 , 则 f ( A1 U A2 U L U Ak ) = f n ( A1 ) + f n ( A2 ) + L + f n ( Ak ).
二、
概率的定义与性质
民国22年苏联柯尔莫哥洛夫 民国22年苏联柯尔莫哥洛夫 22 提出概率论的公理化结构， 给出概率的严格定义。概率 论有了迅速的发展. 论有了迅速的发展.
• 光绪 年柯尔莫哥洛夫生于俄国，母亲死于分娩， 光绪29年柯尔莫哥洛夫生于俄国，母亲死于分娩， 年柯尔莫哥洛夫生于俄国 父亲是农艺师，但没有承担抚养责任， 父亲是农艺师，但没有承担抚养责任，其姨母将其 养大。民国8年进入莫斯科大学前当过列车员 年进入莫斯科大学前当过列车员。 养大。民国 年进入莫斯科大学前当过列车员。 • 19岁时构造出 L1中Fourier级数几乎处处发散的例 岁时构造出 级数几乎处处发散的例 民国22年，《概率论的基础 概率论的基础》 子。民国 年，《概率论的基础》第一次在测度论 基础上建立起概率论的严密公理体系。 基础上建立起概率论的严密公理体系。 • 20世纪 年代，将概率论用于研究语言学取得颇具 世纪60年代 世纪 年代， 启迪性的成果， 启迪性的成果，即作诗的概率方法和用概率实验法 确定俄语语言的熵。 确定俄语语言的熵。
的增大, 随n的增大 频率 f 呈现出稳定性 的增大 各做7 实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 遍, 观察正面出现的次数及频率. 观察正面出现的次数及频率 n=5 n = 50 n = 500 试验 序号 nH f nH f nH f
2 3 1 5 1 2 4 0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8
1 1 例 1 设事件 A, B 的概率分别为 和 , 求在下列 3 2 三种情况下 P ( B A) 的值. 1 (1) A与B互斥; ( 2) A ⊂ B; ( 3) P ( AB ) = . 8 解 (1) 由图示得 P ( B A) = P ( B ), 1 故 P ( B A) = P ( B ) = . A B 2 ( 2) 由图示得
27
0.54
波动最小
从上述数据可得 (1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 频率有随机波动性 即对于同样的 随机波动性 所得的f 不一定相同; 所得的 不一定相同 (2) 抛硬币次数 n 较小时 频率 f 的随机波动幅度较大 较小时, , 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性 即当 n 逐渐增大 呈现出稳定性.即当 附近摆动, 时频率 f 总是在 0.5 附近摆动 且逐渐稳定于 0.5.
1-2 概率的定义与 基本性质
一、频率的定义与性质 二、概率的定义与性质
一、频率的定义与性质
1. 定义 在相同的条件下 , 进行了 n 次试验 , 在这 n
次试验中 , 事件 A 发生的次数 n A 称为事件 A 发 nA 生的频数 .比值 称为事件 A 发生的频率 , 并记 n 成 f n ( A ).
实验者 德 ⋅ 摩根 蒲丰 K ⋅ 皮尔逊 K ⋅ 皮尔逊
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
f 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
f (H )
n的增大
1 . 2
重要结论
较小时波动幅度比较大， 频率当n较小时波动幅度比较大，当n 逐渐增大时，频率趋于稳定值， 逐渐增大时，频率趋于稳定值，这个稳定 值从本质上反映了事件在试验中出现可能 性的大小，就是事件的概率 概率。 性的大小，就是事件的概率。 直观地讲，概率是随机事件发生可能性大 直观地讲，概率是随机事件发生可能性大 的数字表征。概率是事件的函数 事件的函数。 小的数字表征。概率是事件的函数。
(5) 设 A 是 A 的对立事件 , 则 P ( A) = 1 − P ( A).
(6) ( 加法公式 ) 对于任意两事件 A, B 有 P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( AB ).
A
AB B
推广 三个事件的情况 P ( A1 U A2 U A3 )
= P ( A1 ) + P ( A2 ) + P ( A3 ) − P ( A1 A2 ) − P ( A2 A3 ) − P ( A1 A3 ) + P ( A1 A2 A3 ).
1 在 处波动较大 256 212 0.42
22 25
0.44 0.50
251 249 247 251 262 258
123 4 5 6 7 123 4 5 6 7
0.502 0.498 0.512 0.494 0.502 0.524 0.516
25
0.50
1 24 0.48 在 处波动较小 2 18 0.36