p_超可解群的若干充分条件_谢凤艳_闫俊娜

关于有限群可解的几个充要条件
杨立英
【期刊名称】《广西大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1997(022)004
【摘要】讨论有限群一类特殊极大子群的θ－子群偶对该群可解性的影响，得出若干充要条件。

【总页数】4页(P315-318)
【作者】杨立英
【作者单位】广西大学数学与信息科学系
【正文语种】中文
【中图分类】O152.1
【相关文献】
1.有限群超可解的若干充要条件 [J], 张洪;王存才;钟祥贵
2.有限群为超可解群的充要条件 [J], 郭秀云
3.有限群可解的几个充要条件 [J], 杨立英
4.有限群可解、超可解及幂零的充要条件 [J], 杨立英
5.有限群为超可解群的一个充要条件 [J], 王彩云;张玉珠
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超可解群的若干充分条件
陶司兴
【期刊名称】《商丘师范学院学报》
【年(卷),期】2008(24)3
【摘要】利用子群之间条件置换和完全条件置换的性质,得到了有限群为超可解群的若干充分条件.
【总页数】2页(P46-47)
【作者】陶司兴
【作者单位】商丘师范学院数学系,河南,商丘,476000
【正文语种】中文
【中图分类】O152.1
【相关文献】
1.超可解群的若干充分条件 [J], 温凤桐
2.p-超可解群的若干充分条件 [J], 谢凤艳;闫俊娜
3.超可解群的若干充分条件 [J], 张勤海;赵俊英
4.超可解群的若干充分条件 [J], 杨东英;钱方生
5.超可解群的若干充分条件 [J], 李世荣;卢家宽;孟伟
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超可解群的几个充分条件
超可解群的几个充分条件
解群是分析群论中一个比较常见的概念，是研究群的整体性质的一个重要部分。

解群的充分条件是构成群的四个元素之间存在良好的结构关系，它们是结构元素、组织结构、社会差异以及角色功能。

首先，结构元素是解群的基础，每个群体都有一定的固有结构，因此为了达到
解群的要求，需要建立一个解析的内部结构，它可以分解群体的各种结构元素，如定义成员资格、某种组织形式、定义关系和连接等。

其次，组织结构是解群的重要要素。

组织结构指的是群体内成员之间结合的方式，比如群体的层次性、团结性、相互竞争性等，这些方面决定了群体的行为表现和功能定位，为解群提供了一个完整的视角和框架。

此外，社会差异是解群的重要组成部分。

社会差异包括性别、年龄、文化、职业、社会经济地位等方面的差异，这些差异不仅影响群体的成员结构、社会结构，而且也影响群体内部行为表现，因此，要想实现解群，必须明确各类社会差异，并分析其对整个群体发展的影响。

最后，角色功能是构成群体的重要要素。

角色功能包括群体内成员的职责、权限、责任以及社会地位等，它是群体的一个重要组成部分，直接影响着群体的行为表现。

一个良好的角色功能系统，可以控制、引导和管理群体的行为，从而创建一个有目的、有意义的群体文化，从而实现解群的目标。

总之，解群的充分条件是构成群体的四个元素必须存在良好的结构关系。

这个
元素包括结构元素、组织结构、社会差异以及角色功能，它们之间必须互相协调，才能促进群论研究的发展，最终达到解群的目的。

超可解群的几个充分条件在数学中，超可解群（超解群）是一个重要的概念，它表明群或代数结构可以被分解为可解群或更小维度的可解群的组合。

它有一组充分条件，使它可以成立。

本文将着重介绍满足这些充分条件的超可解群的一些特征和特点，并详细介绍相关的条件。

超可解群的第一个充分条件是结构稳定性。

也就是说，超可解群要能够拥有脆性机构，能够抵抗外界环境的变化。

这个条件可以分解到内部连接和外部连接两个方面，也称为稳定性理论，基于对群结构的解释和对可解群结构的特征。

内部稳定性意味着超可解群的每一个部分都应该能够被另一个部分承受，从而产生能够被控制的相互作用效应。

外部稳定性则指群应该能够维持内部的结构，在外界环境变化或干扰的情况下保持可解群结构的完整性。

超可解群的第二个充分条件是可解群结构的关系。

也就是说，要使超可解群成立，则它的组成元素之间必须有严格的关系，这样才能反映出元素之间的相互作用。

这个关系可以表示为群的因果关系，其中一个元素的状态可能会影响其他元素的状态，从而引起不同的变化。

在这种情况下，所有的元素的状态都可以通过因果关系来分解，使其可解性得以保持。

最后一个充分条件是可解群的性质。

也就是说，超可解群最终会得到一系列可解群，而可解群在概念上具有一定的特征，如可计算性、逆性和解析性。

逆性指的是可解群的结构可以从另一个可解群中获得，而解析性则指一个可解群是另一个可解群的有限子集。

这样，超可解群最终可以包含若干个不同的可解群，这些可解群之间具有一定的关系，能够形成一个稳定的系统结构。

综上所述，超可解群的存在有着多个充分条件，在这里介绍了三个充分条件，结构稳定性、可解群结构的关系以及可解群的性质。

虽然这些条件只是决定超可解群是否存在的一部分，但它们能够构建一个独立的超可解群结构，这个结构可以支持复杂的现实场景，并保持某种相对稳定的状态。

通过这些条件，超可解群可以灵活地运行，并具备高度可解性，使它能够应对复杂环境的变化，从而达到更好的应用效果。

超可解群的两个充分条件超可解群既是数论及代数结构中一个重要的概念，也是拓扑学及计算机科学中一个常见的概念。

超可解群是一个特殊的群，具有特殊的性质，它的充要条件非常重要。

因此，下面我们将讨论超可解群的两个充分条件，并给出一个实例以展示其特性。

首先，超可解群的第一个充分条件是超级素群。

素群（素群或质群）是不能被非单位元素所划分的拥有单位元素的有限群。

超级素群是特殊的素群，它必须满足以下条件：1.G满足素群U(G)≠1；2.G具有至少两个不同的子群；3.一个子群都符合素群U(G)≠1的条件。

此外，超可解群的第二个充分条件是超完备的。

超完备的群是一种特殊的群，它必须满足以下条件：1.群的元素有每个元素独立的区间；2.群满足完备性，即每个元素在群中可以用有限个元素组成；3.于该群中的任意两个元素，存在一个独立的置换关系。

因此，超可解群的两个充分条件是：超级素群和超完备群。

为了更加直观地理解超可解群，下面我们将介绍一个实例。

以D= {0,1,2,3}为例，它是一个群，它的元素有4个，分别是0,1,2,3，他们之间满足群的乘法性质。

此外，D还满足超级素群的条件：U(D)≠1，因为它有3个子群，分别是{0,2}，{1,3}，{0,1,2,3}，而每个子群都是素群（U(D)≠1）。

另外，D还满足超完备的条件：每个元素都有独立的区间（比如0的区间是[0,0]，1的区间是[1,1]等等），它们满足完备性，即每个元素都可以用有限个元素组成，而且对于该群中的任意两个元素，存在一个独立的置换关系（比如0和2，1和3）。

由上述讨论可知，超可解群的两个充分条件是超级素群和超完备群。

超可解群有着特殊的性质，它可以帮助我们解决一些数论及代数结构中存在的问题。

超可解群的特性及充分条件在下面的实例中得到了验证，也为我们提供了一个有偿的以理解超可解群的方式。

p-幂零子群的两个充分条件王燕;谢凤艳;於遒【摘要】利用准素数子群的c-正规和Φ-可补性得到p-幂零群的两个充分条件.%By using the properties of c-normal subgroups and Φ-supplemented groups,two sufficient conditions was obtained under which a group isp-nilpotent.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2015(035)004【总页数】4页(P1-4)【关键词】c-正规子群;Φ-可补子群;p-幂零群;Sylow-子群【作者】王燕;谢凤艳;於遒【作者单位】江苏师范大学科文学院基础教学中心,江苏徐州,221116;安阳师范学院人文管理学院,河南安阳,455000;淮海工学院理学院,江苏连云港,222001【正文语种】中文【中图分类】O152.1设G是一个群，H是G的子群，若群G中存在子群T，使得且，则称H在G中可补．利用有限群的可补性研究有限群的结构是有限群研究的一个重要课题[1-5]．文献[1]证明了：群G可解当且仅当G的任意Sylow子群在G中可补．文献[5]证明了：群G可解的充要条件是G的Sylow 2和Sylow 3子群在G中可补．近几年，将可补子群进行推广成为群研究的一个热点．文献[6]引进了c-正规子群的概念，文献[7]引入Φ-可补的概念．本文利用准素数子群的c-正规和Φ-可补性得到p-幂零群的两个充分条件．文中所有群都是有限群，所有概念和符号都是标准的，未交待的符号和术语见文献[8-9]．若群G中存在正规子群K，使得且，则称群G的子群H在群G中c-正规[6]955．令，则T正规于G，且．故c-正规也可以描述为：定义1 若群G中有正规子群T，使得且，则称子群H在群G中c-正规，其中：HG是包含在H中G的最大正规子群．若群G中存在正规子群K，使得且，则称群G的子群H在G中Φ-可补[7]63．令．因为正规于H，K正规于G，所以对H，K中任意元素，即T正规于G．又由于G = HT且，故-可补也可以描述为：定义2 设G是一个群，H是G的子群．若群G中存在正规子群T，使得且，则称H在G中Φ-可补，其中：Φ(H)为H的Frattini子群．引理1[10]15假设G为群，则下列的断言成立．（1）若且H在G中c-正规，则H在群M中c-正规；（2）若H在G中c-正规，则在中c-正规；（3）若，H在G中c-正规，则在中c-正规．引理2[7]64假设G为群，则下列的断言成立．（1）若且H 在G 中可补，则H 在群M中可补；（2）若在G 中可补，则在中可补；（3）若，H 在G 中Φ -可补，则在中可补．定理1 群G存在正规子群H，使得为p-幂零群，．如果且P的每个极大子群在G 中c-正规或者Φ-可补，则G为p-幂零群．证明假设结论不成立，G为极小阶反例．（1）H = G．显然为p-幂零群．由引理1和引理2可知，P的每个极大子群在H中c-正规或者Φ-可补．假设H是G的真子群，则H为p-幂零群．设K 是 H 的子群，则K特征于H，故K正规于G．若K≠ 1，考虑商群．因为为p-幂零群，故．设是的极大子群，则存在P的一个极大子群1P，使得．由定理条件及引理1和引理2可知，在中c-正规或者Φ-可补．由G的极小选择可知，为p-幂零群．因为K是p＇群，所以G为p-幂零群．故K=1．因此H =P.设L是包含在P中G的极小正规子群．由引理1和引理2可知，对来说满足定理的条件．从而为p-幂零群．若，则由特征于P和P正规于G可知，Φ(P)正规于G．因为，所以为p-幂零群，故G为p-幂零群，与假设矛盾．因此Φ(P)=1.设 P1是P的任意一个极大子群，则 P1正规于P，故Φ(P1) ≤Φ(P)，从而Φ（P1）=1．若P1在G中Φ-可补，则G中存在正规子群T，使得且故设，则，从而．由可知，，因而有．由定理可知，T为p-幂零群．由T的正规性可知，T的正规＇子群也是G的正规 Hallp＇子群．因此G为p-幂零群，矛盾．所以G中存在正规子群T，使得且因为p-幂零群系为饱和群系，所以存在一个包含在P中G的唯一极小正规子群N．由于，所以．由的选取可知，，这与矛盾．故H G= ．（2）设N是G的极小正规子群，则为p-幂零群．因为，所以．设是的极大子群．因为所以是的一个极大子群．令，则M =P1N且P1是P的极大子群．由定理的条件可知，G中存在正规子群T，使得且或者若，则．又因为NT G≤=1PT，所以．故为p的方幂．从而N为初等交换p群且N为P的真子群．因此，存在P的一个极大子群2P，使得．由引理1和引理2可知，在中c-正规或者Φ-可补．若N ≤T，由于G = P1T，所以．显然，若，则．若，则．所以满足定理的条件，故为p-幂零群．（3）N是G的唯一极小正规子群且由（2）及p-幂零群系为饱和群系可知，N是G的唯一极小正规子群且（4）N为非G-幂零的，从而N为非可解群．设N为G-幂零的．当p≠2时，因为，所以N为奇数阶群，故N可解．当p= 2时，设K是N的正规子群，则K和可解，故N可解．又因为N是G的极小正规子群，所以N为初等交换q群（q为G的素因子）．若，即N是p＇群，则由（2）可知，为p-幂零群，从而G为 p-幂零群．故q p= ．因为G-幂零群系为饱和群系，所以G中存在一个极大子群M，使得且．从而存在M的一个-子群K，使得．因为K是P的真子群，所以P中存在一个极大子群P1，使得．由定理的条件可知，G中存在正规子群T，使得且或者．由于N是G的唯一极小正规子群，所以如果，则，从而．因此，从而．因为同构于的一个子群且，所以，矛盾．如果且，则由N的极小正规性及可知，．故矛盾．因此（4）成立．（5）最后的矛盾．因为，所以由引理 1和引理 2可知，PN满足定理条件．若PN是G的真子群，则PN为p-幂零的．因此N为p-幂零的，与（2）矛盾．故PN = G．由（3）及为p-幂零群可知，中存在一个正规子群M N，使得（G N :M N ）= p，所以G = MP．因为P: P ∩M=MP: M =p ，所以P1 = P ∩M是P的极大子群且正规于P．G中存在正规子群T，使得G = P1T且P1 ∩T= P1G或者P1 ∩T =Φ(P1)．由于N是G的唯一极小正规子群，所以N ≤T．若，则．由文献[11]的定理4.7可知，N为p-幂零的．若且．由N的极小正规性可知，．从而N可解，矛盾．因此极小反例不成立，从而定理成立．证毕．由定理1可得到推论1和推论2，并得到文献[7]中的定理5.3.3（即推论3）.推论1 设群G中存在正规子群H，使得为p-幂零群，．如果且P的每个极大子群在G中c-正规，则G为p-幂零群．推论2 设G是一个群，p是的素因子，．如果且P的每个极大子群在G中Φ-可补，则G为p-幂零群．推论 3[7]68设G是一个群，p是G的最小素因子，．如果P的每个极大子群在G中Φ-可补，则G为p-幂零群．定理2 设群G有正规子群H，使得为p-幂零群，．如果且P的每个p阶子群和4阶循环子群在G中c-正规或者Φ-可补，则G为p-幂零群．证明假设结论不成立，G为极小阶反例．（1）G是P和Q的半直积，其中：是G的主因子且或4．设L是群G的真子群．如果p不是L的素因子，则L为p-幂零群．如果p是L的素因子，则易知-幂零群，，且的p阶子群和4阶循环子群分别是P的p阶子群和4阶循环子群．由引理1和引理2可知，L满足定理的条件．由G的极小选择可知，L 为p-幂零群．所以G是极小非p-幂零群．由文献[9]中定理3.4.11可知，G是P和Q的半直积，其中：是G的主因子且或4．（2）对P中的任意元素x，设．如果p= 2，则由文献[12]中定理10.1.9可知，G为p-幂零群．如果，由（1）可知，．因而．因为同构于的一个子群且所以．由Burnside定理可知，G 为p-幂零群．故（3）最后的矛盾．设x是P的任意元素，且x ∉Φ(P)．则或者，且存在G的正规子群T，使得且或者设，则N正规于G．从而是的正规子群．因为是G的主因子，所以或者．如果，则，与（2）矛盾．故从而，进而有．因此，从而正规于G，进而正规于．又因为是的极小正规子群，故，所以，与（2）矛盾．从而定理成立．证毕．由定理2可得到推论4，并得到文献[10]中的定理4（即推论5）.推论4 设G是一个群，p是的素因子，．如果且P的每个p阶子群和每个4阶循环子群在G中Φ-可补，则G为p-幂零群．推论5[10]17设群G中存在正规子群H，使得为p-幂零群，．如果且 P的每个p 阶子群和4阶循环子群在G中c-正规，则G为p-幂零群．【相关文献】[1] Hall P．Complemented groups[J]．London Math Soc，1937（12）：201-204[2] Ballester B A，Guo X Y．On complemented subgroups of finite groups[J]．Arch Math，1999，72：161-166[3] Miao L．On complemented subgroups of finite groups[J]．Czechoslovak Math J，2006，56：1019-1028[4] 贾君，於遒．关于F-Z-可补子群的一个注记[J]．高师理科学刊，2011，31（4）：3-4[5] Arad Z，Mard M B．New criteria for the solubility of finite groups[J]．J Algebra，1982（77）：234-246[6] Wang Y．c-Normality of groups and its properties[J]．J Algebra，1996（180）：954-965[7] 於酋．若干代数系统的自同构与导子及局部性质[D]．徐州：中国矿业大学，2008[8] 徐明耀．有限群导引（上，下册）[M]．北京：科学出版社，1999[9] 郭文彬．群类论[M]．北京：科学出版社，2000[10] 李长稳．关于c-正规子群的几个定理[J]．徐州师范大学学报：自然科学版，2006，24（2）：15-17[11] Huppert B．Endiche Gruppen I[M]．Berlin：Springer-Verlag，1967：21-27[12] Doerk J S．A Course in Theory of Group[M]．Berlin：Spinger-Verlag，1982：285-292。

可解群的若干充要条件
边平西;温锡九
【期刊名称】《曲阜师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1996(022)001
【摘要】利用正规指数的概念得到有限群为可解群的若干充要条件，推广了多个已知结果。

【总页数】5页(P14-18)
【作者】边平西;温锡九
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】O152.1
【相关文献】
1.有限超可解群的若干充要条件 [J], 王晓静;张艳;温凤桐
2.有限群超可解的若干充要条件 [J], 张洪;王存才;钟祥贵
3.超可解群的若干充要条件 [J], 王晓静
4.有限群可解、超可解及幂零的充要条件 [J], 杨立英
5.群为超可解群的另一个充要条件 [J], 曾利江
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