关于有限p-超可解群的一个注记

关于有限群p-超可解性与p-幂零性的新判定陈德平;尤泽;李保军【摘要】称群G的一个子群H在G中弱s-置换,如果G中存在一个次正规子群T,使得HT=G且T∩H≤H sG.通过研究弱s-置换子群其对有限群结构的影响,得到了有限群为p-超可解和p-幂零的一些新判定.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(042)003【总页数】4页(P358-361)【关键词】有限群;弱s-置换子群;p-超可解群;p-幂零群【作者】陈德平;尤泽;李保军【作者单位】成都信息工程大学应用数学学院,四川成都 610225;成都信息工程大学应用数学学院,四川成都 610225;成都信息工程大学应用数学学院,四川成都610225【正文语种】中文【中图分类】O152.1本文所研究的群皆为有限群，用G表示一个群，|G|表示群G阶，π(G)为|G|的所有素因子的集合，p为一个素数．文中所用符号和概念大多是标准的，未指明的符号和概念可参见文献［1－2］．群G的子群H与T称为可置换的，如果HT=TH．已知群G的2个子群的乘积仍为子群的充要条件是它们可置换(参见文献［1］的定理1．2)．因此，子群的可置换性为子群的一个重要性质．一个群的正规子群与其所有子群可置换，但反之不然．若群G的子群H与G的所有子群可置换，则称H为G的拟正规子群［3］或置换子群［4］．推广这一概念，群 G的子群H被称为为s－置换子群(或s－拟正规子群)［5－6］，如果 H 与 G 的所有 Sylow 子群可置换．s－置换子群与置换子群有着很多相近的性质，如s－置换子群也是次正规子群以及无核s－置换子群幂零等．近年来，在对置换子群和s－置换子群研究的基础上，一些新的子群广义置换性质被提出并得到了较为广泛的研究，譬如 Guo 等［7－8］对 X－置换子群和c－置换子群的研究;Wang 等［9－10］对 c－正规子群和c－可补子群的研究等．这些广义置换子群也有着很好的性质并深刻的影响着群结构，文献［11］得到群G的无核X－置换子群(其中X为G的某一正规幂零子群)为超可解子群;文献［9］证明所有极大子群皆为c－正规的群一定可解．利用子群各类广义置换性质研究群结构的最为广泛的研究工作是通过极小子群和Sylow子群的极大子群刻画群结构［12－16］．统一和发展这方面的研究．2007 年，Skiba［17］提出了弱s－置换子群的概念，并利用这一概念，给出了一些有意义的研究成果．本文主要研究工作为利用某些子群的弱s－置换性质研究群的p－超可解性和p－幂零性，将得到一些关于群结构的新刻画．1 预备知识首先列出一些文中将会用到的基本概念和引理．定义 1．1［5］群G的一个子群H在G中称为s－置换的，若对G阶的任意素因子p和G的任意Sylow p－子群 P，都有 HP=PH．由定义所有正规子群和置换子群都是s－置换的．根据文献［16］中的引理2．1(5)的证明，容易得到2个s－置换子群的交还是s－置换的．设H、K为G 的2个子群，由于G有限，〈H，K〉一定可分解为有限多个H与K的乘积．因此，如果H与K都是s－置换的，则〈H，K〉也是．定义 1．2［17］群G的一个子群H在G中称为弱s－置换的，如果G中存在一个次正规子群T，使得HT=G且T∩H≤HsG，其中HsG为含于H的G的最大s－置换子群．对弱s－置换子群，有以下基本性质:引理 1．3［17］设H≤K≤G，则有1)如果H在G中s－置换，则H在G中是弱s－置换的;2)假设H是群G的正规子群，则K/H在G/H中弱s－置换当且仅当K在G中也是弱s－置换的;3)如果H在G中弱s－置换，则H在K中也弱s－置换;4)假设H是群G的正规子群，若在G中弱s－置换的子群E满足(|H|，|E|)=1，则商群HE/H在G/H中也弱s－置换．引理 1．4 设H是群G的s－置换子群，P是G的一个 p－子群．若 p|H|，则P≤NG(H)，进而有Oπ (G)≤N(H)，其中π ={p∣ p|H|}．G证明设Gp为G的包含P的一个Sylow p－子群．因为H是群G的s－置换子群，所以HGp=Gp H为G的一个子群．由p|H|知H为HGp的一个Hall子群．另一方面，由于s－置换子群必为次正规子群，得到H次正规于HGp．但次正规的Hall子群必然正规，因此HHGp．于是P≤Gp≤NG(H)．由 P 的任意性，立即可以得到Oπ(G)=〈P∣P为准素子群且(|P|，|H|)=1〉≤NG(H)．引理1．5 设G有唯一极小正规子群N．若N为初等交换 p－群且N ≤/Φ(G)，则N=O p(G)=F(G)=C G(N)．证明因为N≤/Φ(G)，所以存在G的极大子群M使得N≤/M．因此G=NM．由N交换，N∩MNM=G．但N极小正规子群，因此N∩M=1．又由N为初等交换 p－群，显然有N∈Op(G)∈F(G)∈CG(N)．设C=CG(N)，则且C∩MM．于是C∩MNM=G．N的唯一性表明，若C∩M≠1，则N≤C∩M，矛盾于N∩M=1．因此C∩M=1．于是，C=C∩NM=N(C∩M)=N．因此N=Op(G)=F(G)=CG(N)，引理成立．2 主要结果定理2．1 设G为p－可解群．若对于G的任一非Frattini p－主因子 H/K，存在G的 Sylow p－子群的极大子群P1不覆盖H/K且在G中弱s－置换，则G是p －超可解的．证明假设定理不成立，并设G是一个极小阶反例．通过以下步骤完成证明．1)Op'(G)=1．若Op'(G)≠1，假设 N 是包含在Op'(G)中G的极小正规子群．下面考虑商群G/N．设(H/N)/(K/N)为G/N的任一非Frattini p－主因子，则H/K 为G的一个非Frattini p－主因子．由条件，存在G的Sylow p－子群的极大子群P1不覆盖H/K且在G中弱s－置换．显然，P1 N/N为G/N的一个Sylow子群的极大子群．又由HP1 K有所以P1 N/N不覆盖 H/N/K/N．又因为 N为 p'－子群，由引理1．3的 4)，有P1 N/N 在 G/N 中弱 s－置换．因此条件对G/N成立．又由G的极小性有G/N 是p－超可解的，故G也是p－超可解的，矛盾．2)G有唯一的极小正规子群N，NΦ(G)且N=Op(G)=F(G)=CG(N)．设N是G的任意极小正规子群，由1)及G的p－可解性知N为一个初等交换p－子群．设(H/N)/(K/N)为G/N的任一非Frattini p－主因子，则H/K为G的一个非Frattini p－主因子．设P1为Sylow p－子群的一个不覆盖H/K的极大子群，即P1H≠P1 K．若 NP1，则 NP1为 G的一个Sylow p－子群．因此为 p'－数．另一方面|P1 H ∶P1 K|||H ∶K|为 p－数．因此|P1 H ∶P1 K|=1，即P1 H=P1 K，矛盾．所以N≤P1．由引理1．3的2)，P1 N/N在G/N中是弱s－置换的．显然P1 N/N不覆盖(H/N)/(K/N)，因此条件对G/N成立．于是G/N是p－超可解的．若G中包含不同于N的极小正规子群M，则N∩M=1，因此GG/M∩N为p－超可解，矛盾．所以N是G的唯一极小正规子群．又若N≤Φ(G)，则由p－超可解群的群类是一个饱和群系，可知G为p－超可解，因此NΦ(G)．由引理 1．5 有3)最后的矛盾．设N为G的极小正规子群，由2)，N是初等交换p－群且NΦ(G)．故能找到一个G的Sylow p－子群的极大子群P1，使得NP1且P1在G中弱s－置换，即存在LG，使得P1 L=G且P1∩L≤P1sG．由N是G的唯一极小正规子群，有N≤Op(G)≤L．若不然 Op(G)=1，即 G 是p－群，矛盾．于是P1∩N=P1∩L∩N=P1sG∩N 在 G 中是 s－置换的．因此由引理1．4有设Gp为包含P1的G的Sylow p－子群，由P1是Gp的极大子群，有P1Gp．又 NGp，所以P1∩NGp，因此G=OP(G)Gp≤NG(P1∩N)，即P1∩NG．但是 NP1且N为极小正规子群，因此P1∩N=1．于是|Gp|=|N||P1|，所以|N|=p．由 G/N 是 p－超可解，N是p阶的，说明了G也是p－超可解的．这一最后矛盾表明定理成立．注 2．1 定理2．1中G为p－可解群的条件不可去掉．事实上，设G为5次交错群A5，则G的Sylow 3－子群的极大子群都为1，从在A5内是弱s－置换的，但显然A5不是3－超可解的．定理2．2 设p是群 G阶的素因子且(p－1，|G|)=1．若对于G的任一非Frattini p－主因子H/K，存在G的Sylow p－子群的极大子群P1不覆盖H/K且在G中弱s－置换，则G是p－幂零的．证明假设定理不成立，并设G是一个极小阶反例．通过以下步骤完成证明．1)Op'(G)=1．若Op'(G)≠1，假设 N 是包含在Op'(G)中G的极小正规子群．下面考虑商群G/N，设(H/N)/(K/N)为G/N的任一非Frattini p－主因子，则H/K为G的一个非Frattini p－主因子．由条件，存在G的Sylow p－子群的极大子群P1不覆盖H/K 且在 G 中弱 s－置换．由引理1．6，P1 N/N 为 G/N的一个Sylow子群的极大子群．由HP1 K有H/NP1 K/N=(P1 N/N)(K/N)，所以 P1N/N不覆盖(H/N)/(K/N)．又因为 N 为 p'－子群，由引理 2．3的4)，有P1N/N在G/N中弱 s－置换．因此条件对G/N成立．又由G的极小性有G/N是p －幂零的，故G也是p－幂零的，矛盾．2)G的极小正规子群N是p－群．设N是G的任意极小正规子群，由1)知，N 是一个 pd－群．若p2N，则N为p－幂零的，由N的极小性且Op'(G)=1，知N是p－群．又若N≤Φ(G)，则N显然为p－群．设p2 N且NΦ(G)，由定理条件，存在G的Sylow p－子群的极大子群P1在G中弱s－置换，即存在LG，使得P1 L=G且P1∩L≤P1sG．若 N 不是 p－群，则N=Op(N)≤Op(G)≤L，所以P1∩N=P1∩L∩N=P1sG∩N在G中是s－置换的，因此由引理1．4，可得P1∩N≤Op(G)．由 p2|N，P1∩N≠1，从而于是N≤Op(G)，此矛盾说明2)成立．3)G有唯一的极小正规子群N，NΦ(G)且设N是G的任意极小正规子群，由2)知，N为一个p－群．设(H/N)/(K/N)为G/N的任一非Frattini p－主因子，则H/K为G的一个非Frattini p－主因子．设P1不覆盖 H/K，即P1 H≠P1 K．若 NP1，则 NP1为G的一个Sylow p－子群．因此为 p'－数．另一方面|P1 H ∶P1 K|||H ∶K|为 p－数．则|P1 H ∶P1 K|=1，即 P1 H=P1 K，矛盾．所以N≤P1．又显然有P1 N/N不覆盖(H/N)/(K/N)并且根据引理1．3的2)，可得定理条件G/N仍成立．由G的极小性，G/N是p－幂零的．若G中包含不同于N的极小正规子群M，则N∩M=1，因此GG/M∩N为p －幂零，矛盾．所以N是G的唯一极小正规子群．又若N≤Φ(G)，则由p－幂零群的群类是一个饱和群系，可知G为 p－幂零群，因此NΦ(G)．由引理 1．5，N=Op(G)=F(G)=CG(N)成立．4)最后的矛盾．设N为G的极小正规子群，由3)，N是初等交换p－群且NΦ(G)．故能找到一个G的Sylow p－子群的极大子群P1，使得NP1且P1在G 中弱s－置换．即存在LG，使得P1 L=G且P1∩L≤P1sG．由N是G的唯一极小正规子群，有N≤Op(G)≤L．若不然 Op(G)=1，即 G 是p－群．于是P1∩N=P1∩L∩N=P1sG∩N在G中是s－置换的，因此由引理 1．4 有设Gp为包含P1的G的Sylow p－子群，由 P1是 Gp的极大子群，有P1Gp．又 NGp，所以P1∩NGp，因此G=OP(G)Gp≤NG(P1∩N)，即P1∩NG．但是NP1且N为极小正规子群，因此P1∩N=1，于是|Gp|=|N||P1|，所以|N|=p．由N/C 定理，G/CG(N)同构于Aut(N)一个子群．因此但由条件(|G|，p－1)=1，因此 G/CG(N)=1．再由G/N是p－幂零，有G是p－幂零的．推论2．3 设p是群G阶的任意一个素因子．若对于G的任一非Frattini p－主因子H/K，存在G的Sylow p－子群的极大子群P1在G中弱s－置换且H/KP1K/K，则G是超可解的．证明设p是群G阶的极小素因子，必然有(p－1，|G|)=1，由定理 2．2 以及 Feit －Thompson 奇阶群可解定理，知G是可解的．再由定理2．1，对于任意素数p，G是p－超可解的，因此G为超可解．参考文献【相关文献】［1］徐明曜．有限群导引(上)［M］．北京:科学出版社，1999．［2］GUO W B．The Theory of Classes of Groups［M］．Dordrecht:Kluwer Academic Publishers Group，2000．［3］ORE O．Contributions in the theory of groups of finite order［J］．Duke Math J，1939，5(2):431－460．［4］DOERK K，HAWKES T．Finite Soluble Groups［M］．New York:Walter de Gruyter，1992．［5］DESKINS W E．On qusinormal subgroups of finite groups［J］．Math Z，1963，82(2):125－132．［6］KEGEL O H．Sylow－Gruppen und subnormalteiler endlicher gruppen［J］．Math Z，1962，78(1):205－221．［7］GUO W B，SHUM K P，SKIBA A N．X－permutable maximal subgroups of Sylow subgroups of finite groups［J］．Ukrainian Math J，2006，58(10):1299－1309．［8］GUO W B，SHUM K P，SKIBA A N．Conditionally permutable subgroups and supersolubility of finite groups［J］．Southeast Asian Bull Math，2005，29(3):493－510．［9］WANG Y M．c－Normality of groups and its properties［J］．J Algebra，1996，180(3):954－965．［10］WANG Y M．Finite groups with some subgroups of Sylow subgroups c－supplemented［J］．J Algebra，2000，224(2):467－478．［11］LI B J，GUO W B．On some open problems related to X－permutability of subgroups［J］．Communications in Algebra，2011，39(3):757－771．［12］查明明，郭文彬，李保军．关于有限群的 p－超可解性［J］．数学杂志，2007，27(5):563－568．［13］LI B J，SKIBA A N．New characterizations of finite supersoluble groups ［J］．Science in China，2008，A51(5):827－841．［14］MIAO L，GUO W B．Finite groups with some primary subgroups F－s－supplemented［J］．Communications in Algebra，2005，33(8):2789－2800．［15］BALLESTER－BOLINCHES A，PEDRAZA－AGUILERA M C．On minimal subgroups of finite groups［J］．Acta Math Hungar，1996，73(4):335－342．［16］LI B J，ZHANG Z R．The influence of s－conditionally permutable subgroups on finite groups［J］．Science in China，2009，A52(2):301－310．［17］SKIBA A N．On weakly s－permutable subgroups of finite groups［J］．J Algebra，2007，315(1):192－209．。

有限可解群的p超可解性和p幂零性条件李保军;郭文彬;胡滨【期刊名称】《中国科学技术大学学报》【年(卷),期】2008(038)009【摘要】A subgroup T of a group G is called an F-s-supplement of a subgroup H in G if G=TH and T/T∩HG is an F-group. By means of this concept, some new criterions of p-supersolubility and p-nilpotency of a group were given.%群G的一个子群T称为子群H在G中的F-s补, 如果G=TH 且T/T∩HG是一个F群.利用这一概念,给出了关于有限群p超可解性和p幂零性的一些新的判别准则.【总页数】6页(P1057-1062)【作者】李保军;郭文彬;胡滨【作者单位】中国科学技术大学数学系,安徽合肥,230026;成都信息工程学院数学与信息科学系,四川成都,610225;中国科学技术大学数学系,安徽合肥,230026;徐州师范大学数学系,江苏徐州,221116;徐州师范大学数学系,江苏徐州,221116【正文语种】中文【中图分类】O152.1【相关文献】1.有限群可解、超可解及幂零的充要条件 [J], 杨立英2.有限π-拟幂零群的正规性与幂零可解之间的群 [J], 陈维红;诸秉政;李秋3.关于有限群p-超可解性与p-幂零性的新判定 [J], 陈德平;尤泽;李保军4.关于有限群的p-幂零性与超可解性判别准则 [J], 霍丽君;王丽丽5.关于有限群的p-幂零性与超可解性判别准则 [J], 霍丽君;王丽丽;因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

有限群超可解的若干充分条件
薛瑞;王品超
【期刊名称】《扬州大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2005(8)4
【摘要】称群G的一个子群H在G中弱c-正规,若存在G的一个次正规子群K,使G=H K且H∩K≤HG.主要利用子群的弱c-正规性对有限群结构的影响,得到了有限群超可解的若干充分条件.
【总页数】4页(P9-11)
【关键词】有限群;弱c-正规子群;超可解群;次正规子群
【作者】薛瑞;王品超
【作者单位】曲阜师范大学数学科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O152.1
【相关文献】
1.有限群为超可解群的一个充分条件 [J], 宋迎春
2.有限群超可解性的若干充分条件 [J], 海进科;孙清滢
3.p-超可解群的若干充分条件 [J], 谢凤艳;闫俊娜
4.超可解群的若干充分条件 [J], 杨东英;钱方生
5.有限群为超可解群的充分条件 [J], 于越华
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半CAP-子群与有限群的p-超可解性戴乔;韦华全;李雪;袁卫峰【摘要】设G为有限群,H为G的子群.称H为G的半CAP-子群,如果存在G的一个主群列1=G0<G1<?<G n=G,使得对每一个i=1,2,?,n,H或者覆盖Gi/Gi-1,或者远离Gi/Gi-1.该文主要利用Sylow p-子群的极大及极小子群的半覆盖-远离性来刻画有限群的结构,得到群为p-超可解或者p-幂零的几个充分或必要条件.【期刊名称】《广西师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(035)002【总页数】4页(P1-4)【关键词】有限群;CAP-子群;半CAP-子群;p-超可解;p-幂零【作者】戴乔;韦华全;李雪;袁卫峰【作者单位】广西大学数学与信息科学学院 ,广西南宁 530004;广西大学数学与信息科学学院 ,广西南宁 530004;广西大学数学与信息科学学院 ,广西南宁530004;广西大学数学与信息科学学院 ,广西南宁 530004【正文语种】中文【中图分类】O152.1本文所有的群都是有限群，π(G)表示群G的阶G的所有素因子的集合.1962年，Gaschüt z W.在[1]中提出覆盖-远离子群(CAP-子群)的定义,后来有许多学者用子群的覆盖-远离性研究群的结构, 给出了一个群是可解群、p-幂零群、超可解群和局部定义群系的一些充分或必要条件, 如[2～5]. 2006年,樊恽、郭秀云和岑嘉评在[6] 中引入了半覆盖-远离性的定义,利用极大子群和Sylow子群的这个性质,给出了有限群为可解群的一些特征.2008年,杨元韡和黎先华在[7]中用极小子群和4阶循环群的半覆盖远离性刻画了有限群的结构.除此之外也有其他关于子群半覆盖-远离性的论文, 如[8,9,10]. 周知，覆盖-远离性质是商群封闭的,但不是子群封闭的，而比覆盖-远离性质更弱的半覆盖-远离性质是子群封闭的, 这为研究群的结构提供了便利.本文主要利用Sylow p-子群的极大及极小子群的半覆盖-远离性来研究群的p-超可解性和p-幂零性，得到有限群是p-超可解的或者p-幂零的几个充分或必要条件.1 预备知识引理1([8，引理2.5]) 设G是群，H和K都是G的子群.若H是群G的半 CAP-子群且H≤K，则H是群K的半CAP-子群.引理2([8，引理2.6]) 设H是群G的半CAP-子群，N是G的正规子群.若下列条件之一成立，则HN/N是G/N的半CAP-子群：(1) N≤H；(2) gcd(H,N)=1,这里gcd(-,-)=1表示最大公因子.引理 3([5，引理2.7]) 设G是一个群，p∈π(G)且(G,p-1)=1，则(1) 若N是G的正规子群且阶为p，则N≤Z(G)；(2) 若G有循环的Sylow p-子群，则G是p-幂零的；(3) 若M是G的指数为p的子群，则M正规于G.引理4([11]) 设A是G的次正规子群且A是π-群，则A≤Oπ(G).引理5([5，引理2.9]) 设G是群且N是G的子群，则有：(1) 若N≤G，则F*(N)≤F*(G).(2) 若G≠1，则F*(G)≠1.从而有，F*(G)/F(G)=Soc(F(G)CG(F(G))/F(G)).(3) F*(F*(G))=F*(G)≥F(G).从而，若F*(G)是可解的，则F*(G)=F(G).(4) CG(F*(G))≤F(G).引理6([12，引理2.10]) 设G是一个群，则有：(1)(2) 从而有(3) 若是p-可解的，则(4) 若C=CG(Fp(G)/Op′(G))，则引理7 设G是p-超可解群，其中p∈π(G),则G的任意p-子群都是G的CAP-子群.证明设A/B为G的任意主因子，H为G的任意p-子群.因G是p-超可解群，故A/B为p阶群或为p′-群.若A/B为p阶群，则(A/B)∩(HB/B)=1或者(A/B)∩(HB/B)=A/B.于是A∩HB=B或者A≤HB，即A∩H=B∩H或者AH=BH.若A/B为p′-群，则A/B∩HB/B=1，即A∩HB=B.进一步，A∩H=B∩H.综合之，H为G的CAP-子群.2 主要结果定理1 设G是群，P是G的Sylow p-子群，其中p∈π(G).若P的极大子群都是G的半CAP-子群，则G是超可解群或者P=p.证明假设定理不成立，G是极小阶反例.以下分几步证极小阶反例不存在.(1) Op′(G)=1.若T=Op′(G)>1，则虑商群显然PT/T是H/T的Sylow p-群.设P1是P的极大子群，则根据引理2(2)，P1T/T是G/T的半CAP-子群，故G/T满足题设条件.于是，G/T是p-超可解群或者PT/T=p.由此可推出G是p-超可解群或者P=p，矛盾. (2) 设N是G的极小正规子群，则N≤Op(G).设P1是P的极大子群，则存在G的一个主群列1=G0<G1<…<Gn=G使得对任意的i=1,2,…,n-1，P1或者覆盖Gi+1/Gi，或者远离Gi+1/Gi.显然，存在j使得N∩Gj=1但N∩Gj+1≠1.由N的极小正规性，N∩Gj+1=N,从而Gj+1=NGj.若P1覆盖Gj+1/Gj，即P1Gj+1=P1Gj，则(P1Gj/Gj)·(Gj+1/Gj)=P1Gj/Gj,于是N≅Gj+1/Gj≤P1Gj/Gj为p-群.若P1远离Gj+1/Gj,即P1∩Gj+1=P1∩Gj，则P1∩N=P1∩Gj∩N=1.于是可得到P∩N≤p，再由(1)得P∩N≤p.进而，P∩N<P.现取R为P的包含P∩N的极大子群，则R∩N=P∩N.重复上面的讨论，有R∩N=1，这与R∩N=P∩N为p阶群矛盾.(3) 设N是G的极小正规子群，则G/N是p-超可解群或者P/N=p.这由(2)及引理2(1)即得.(4) G有唯一的极小正规子群，记为N.若否，则令N和M是G的两个极小正规子群，我们将利用(3)导出矛盾.若G/N和G/M都是p-超可解群，则G同构于G/N×G/M的子群，所以G是p-超可解群，矛盾.若G/N是p-超可解群且P/M=p，则N≅NM/M≤P/M,从而有N=p.由G/N为p-超可解群即得G为p-超可解群，矛盾.同理，若G/M是p-超可解群且P/N=p,则我们也得到矛盾.故P/N=p且P/M=p，于是P=P∶M∩N≤P∶MP∶N=p2.但P≠p,故P=p2，P=M×N，其中M=N=p.再由G/P是p′群知G为p-超可解群，矛盾.所以，N是G唯一的极小正规子群.(5) 最后的矛盾.设P1是P的极大子群.由于N是唯一的，N必定包含在G的任意主群列里.根据题设，P1或者覆盖N/1，或者远离N/1.若P1覆盖N/1,则P1N=P1,即N≤P1.由P1的任意性得N≤Φ(P),从而N≤Φ(G).若G/N为p-超可解群，则G是p-超可解群，矛盾.若P/N=p,则N=Φ(P),N为循环群.进一步有，N=p，而P=p2,这与[13，定理7]矛盾.若P1远离N/1，则P1∩N=1,于是我们有N=p.此时，若G/N为p-超可解群，则G是p-超可解群，矛盾.若P/N=p ，则P=p2，这仍与[13，定理7]矛盾.定理2 设H是群G的包含的次正规子群，P∈Sylp(H),其中(G,p-1)=1，则G是p-幂零群当且仅当P的极大子群都是群G的半CAP-子群.证明若G是p-幂零的，则于是H=G.根据引理7，P的极大子群都是群G的CAP-子群，自然P的极大子群都是群G的半CAP-子群.反之，设P的极大子群都是群G的半GAP-子群，则我们要证G是p-幂零的.假设G是极小阶反例.以下分步证明极小阶反例不存在.(1) Op′(G)=1.对于T=Op′(G)>1,考虑商群因故显然PT/T是H/T的Sylow p-子群.设P1是P的极大子群，则根据引理2(2)，P1T/T是G/T的半CAP-子群，故G/T满足题设条件.于是，G/T是p-幂零的，这导致G为p-幂零群，矛盾.(2) P=Op(G)=F*(G).根据引理1,P的极大子群都是群H的半CAP-子群,于是由定理1，H是p-超可解群，再由引理3知H为p-幂零群.设Hp′为H的正规p-补，则Hp′是G的次正规子群.由引理4，Hp′≤Op′(G)，再由(1)得H=P.这样，P≤Op(G).根据引理5(3)及引理6(2)得，由此即得P=Op(G)=F*(G).(3) 最后的矛盾.考虑PQ,其中Q∈Sylq(G)且p≠q.由引理1，定理1及引理3，PQ是p-幂零群.于是根据引理5(4)有，Q≤CG(P)=CG(F*(G))≤F(G)=P,矛盾.定理3 群G是超可解群当且仅当对任意p∈π(G)，存在G的包含的次正规子群H 使得H的Sylow p-子群的极大子群都是G的半CAP-子群.证明若G是超可解群，则G的任意子群L都是CAP-子群，自然L是G的半CAP-子群.反之，设对任意p∈π(G)，存在G的包含的次正规子群H使得H的Sylow p-子群的极大子群都是G的半CAP-子群，则我们要证G是超可解的.令p是G的最小素因子.根据定理2，G是p-幂零的，即G存在一个正规 p-补K.特别地，G可解.假设q是K的最小素因子，则因为 K而K char G，所以Fq(K)正规于G，从而Fq(K)≤Fq(G).根据题设，存在◁◁G，且Q∈Sylq(H)，使得Q的每个极大子群是G的半CAP-子群.显然Fq(G)≤H∩K◁◁K，又Q≤K，于是Q∈Sylq(H∩K).根据引理1，Q的每个极大子群都是K的半CAP-子群.由定理2知K是q-幂零的.这表明G是超可解型Sylow塔.令r为G的极大素因子且R∈Sylr(G)，则R正规于G.对任意的r≠s∈π(G)，因故G/R满足定理的条件.由归纳法知G/R是超可解的，从而，G是s-超可解的，其中r≠s∈π(G).若R=r，则G是超可解群.下设R>r.因故R是G的任意包含的子群的Sylow r-子群.由定理1，G为r-超可解群，这样G为超可解群.群G的子群H称为在G中s-拟正规，若对G的任意Sylow子群S，有HS=SH.定理4 设A是群G的s-拟正规子群，B是G的子群且G=AB,则G是p-幂零群当且仅当A和B的Sylow p-子群的极大子群都是G的半CAP-子群，其中p∈π(G)且(G,p-1)=1.证明若G是p-幂零群，则由引理7，G的p-子群都是G的半CAP-子群.现设A和B的Sylow p-子群的极大子群都是群G的半CAP-子群，则我们要证G是p-幂零群.假设定理不成立，G是极小阶反例.以下分步证明极小阶反例不存在.(1) Op′(G)=1.令T=Op′(G)>1.考虑商群显然满足题设条件，于是是p-幂零群，这样G是p-幂零群，矛盾.(2) A是p-群.根据定理2，A是p-幂零的.设Ap′为A的正规p-补,则Ap′ char A.又A在G中s-拟正规，故A在G中次正规，从而Ap′在G中次正规.由引理4，Ap′≤Op′(G)，再由(1)即得A是p-群.(3) 最后的矛盾.由定理2，B是p-幂零的，即B存在一个正规p-补Bp′.因为A是p-群且G=AB，所以Bp′是G的Hall p′-子群.又因为A在G中s-拟正规，故ABp′ 是G的子群.由定理2知ABp′是p-幂零的，故A正规化Bp′.由这就得到Bp′≤AB=G.由(1)得Bp′=1，故B也是p-群，这样G是p-群.当然，G是p-幂零的，矛盾.定理5 设A是群G的s-拟正规子群，B是G的子群且G=AB，则G是p-幂零群当且仅当A和B的p阶及4阶循环子群都是G的半CAP-子群，其中p∈π(G)且(G,p-1)=1.证明由引理7，只需证充分性.事实上，由[7，定理2.1]，A和B都是p-幂零的.用类似于定理4的证明方法，即可得到本定理.参考文献：[1] GASCHÜTZ W.Praefrattini gruppen [J]. 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