乘积因子群为超可解群的充分条件

乘积因子群为超可解群的充分条件
钱伟;郭秀云
【期刊名称】《上海大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2011(017)003
【摘要】Let A and B be subgroups of a finite group G and G = AB.Some sufficient conditions are obtained for G to be supersolvable if the length of conjugacy class of every element in A ∪ B is square-free.%设A和B都是有限群G的子群,且G=AB,当A∪B中每一元素的共轭类长无平方因子时,给出有限群G为超可解群的一些充分条件.
【总页数】3页(P286-288)
【作者】钱伟;郭秀云
【作者单位】上海大学理学院,上海,200444;上海大学理学院,上海,200444
【正文语种】中文
【中图分类】O152.1
【相关文献】
1.p-超可解群的若干充分条件 [J], 谢凤艳;闫俊娜
2.超可解群的两个充分条件 [J], 谢凤艳;原冠秀
3.超可解群的两个充分条件 [J], 何丽娜;钱方生
4.超可解群的若干充分条件 [J], 杨东英;钱方生
5.超可解群的几个充分条件 [J], 孟繁聪;钱方生
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

关于有限群p-超可解性与p-幂零性的新判定陈德平;尤泽;李保军【摘要】称群G的一个子群H在G中弱s-置换,如果G中存在一个次正规子群T,使得HT=G且T∩H≤H sG.通过研究弱s-置换子群其对有限群结构的影响,得到了有限群为p-超可解和p-幂零的一些新判定.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(042)003【总页数】4页(P358-361)【关键词】有限群;弱s-置换子群;p-超可解群;p-幂零群【作者】陈德平;尤泽;李保军【作者单位】成都信息工程大学应用数学学院,四川成都 610225;成都信息工程大学应用数学学院,四川成都 610225;成都信息工程大学应用数学学院,四川成都610225【正文语种】中文【中图分类】O152.1本文所研究的群皆为有限群，用G表示一个群，|G|表示群G阶，π(G)为|G|的所有素因子的集合，p为一个素数．文中所用符号和概念大多是标准的，未指明的符号和概念可参见文献［1－2］．群G的子群H与T称为可置换的，如果HT=TH．已知群G的2个子群的乘积仍为子群的充要条件是它们可置换(参见文献［1］的定理1．2)．因此，子群的可置换性为子群的一个重要性质．一个群的正规子群与其所有子群可置换，但反之不然．若群G的子群H与G的所有子群可置换，则称H为G的拟正规子群［3］或置换子群［4］．推广这一概念，群 G的子群H被称为为s－置换子群(或s－拟正规子群)［5－6］，如果 H 与 G 的所有 Sylow 子群可置换．s－置换子群与置换子群有着很多相近的性质，如s－置换子群也是次正规子群以及无核s－置换子群幂零等．近年来，在对置换子群和s－置换子群研究的基础上，一些新的子群广义置换性质被提出并得到了较为广泛的研究，譬如 Guo 等［7－8］对 X－置换子群和c－置换子群的研究;Wang 等［9－10］对 c－正规子群和c－可补子群的研究等．这些广义置换子群也有着很好的性质并深刻的影响着群结构，文献［11］得到群G的无核X－置换子群(其中X为G的某一正规幂零子群)为超可解子群;文献［9］证明所有极大子群皆为c－正规的群一定可解．利用子群各类广义置换性质研究群结构的最为广泛的研究工作是通过极小子群和Sylow子群的极大子群刻画群结构［12－16］．统一和发展这方面的研究．2007 年，Skiba［17］提出了弱s－置换子群的概念，并利用这一概念，给出了一些有意义的研究成果．本文主要研究工作为利用某些子群的弱s－置换性质研究群的p－超可解性和p－幂零性，将得到一些关于群结构的新刻画．1 预备知识首先列出一些文中将会用到的基本概念和引理．定义 1．1［5］群G的一个子群H在G中称为s－置换的，若对G阶的任意素因子p和G的任意Sylow p－子群 P，都有 HP=PH．由定义所有正规子群和置换子群都是s－置换的．根据文献［16］中的引理2．1(5)的证明，容易得到2个s－置换子群的交还是s－置换的．设H、K为G 的2个子群，由于G有限，〈H，K〉一定可分解为有限多个H与K的乘积．因此，如果H与K都是s－置换的，则〈H，K〉也是．定义 1．2［17］群G的一个子群H在G中称为弱s－置换的，如果G中存在一个次正规子群T，使得HT=G且T∩H≤HsG，其中HsG为含于H的G的最大s－置换子群．对弱s－置换子群，有以下基本性质:引理 1．3［17］设H≤K≤G，则有1)如果H在G中s－置换，则H在G中是弱s－置换的;2)假设H是群G的正规子群，则K/H在G/H中弱s－置换当且仅当K在G中也是弱s－置换的;3)如果H在G中弱s－置换，则H在K中也弱s－置换;4)假设H是群G的正规子群，若在G中弱s－置换的子群E满足(|H|，|E|)=1，则商群HE/H在G/H中也弱s－置换．引理 1．4 设H是群G的s－置换子群，P是G的一个 p－子群．若 p|H|，则P≤NG(H)，进而有Oπ (G)≤N(H)，其中π ={p∣ p|H|}．G证明设Gp为G的包含P的一个Sylow p－子群．因为H是群G的s－置换子群，所以HGp=Gp H为G的一个子群．由p|H|知H为HGp的一个Hall子群．另一方面，由于s－置换子群必为次正规子群，得到H次正规于HGp．但次正规的Hall子群必然正规，因此HHGp．于是P≤Gp≤NG(H)．由 P 的任意性，立即可以得到Oπ(G)=〈P∣P为准素子群且(|P|，|H|)=1〉≤NG(H)．引理1．5 设G有唯一极小正规子群N．若N为初等交换 p－群且N ≤/Φ(G)，则N=O p(G)=F(G)=C G(N)．证明因为N≤/Φ(G)，所以存在G的极大子群M使得N≤/M．因此G=NM．由N交换，N∩MNM=G．但N极小正规子群，因此N∩M=1．又由N为初等交换 p－群，显然有N∈Op(G)∈F(G)∈CG(N)．设C=CG(N)，则且C∩MM．于是C∩MNM=G．N的唯一性表明，若C∩M≠1，则N≤C∩M，矛盾于N∩M=1．因此C∩M=1．于是，C=C∩NM=N(C∩M)=N．因此N=Op(G)=F(G)=CG(N)，引理成立．2 主要结果定理2．1 设G为p－可解群．若对于G的任一非Frattini p－主因子 H/K，存在G的 Sylow p－子群的极大子群P1不覆盖H/K且在G中弱s－置换，则G是p －超可解的．证明假设定理不成立，并设G是一个极小阶反例．通过以下步骤完成证明．1)Op'(G)=1．若Op'(G)≠1，假设 N 是包含在Op'(G)中G的极小正规子群．下面考虑商群G/N．设(H/N)/(K/N)为G/N的任一非Frattini p－主因子，则H/K 为G的一个非Frattini p－主因子．由条件，存在G的Sylow p－子群的极大子群P1不覆盖H/K且在G中弱s－置换．显然，P1 N/N为G/N的一个Sylow子群的极大子群．又由HP1 K有所以P1 N/N不覆盖 H/N/K/N．又因为 N为 p'－子群，由引理1．3的 4)，有P1 N/N 在 G/N 中弱 s－置换．因此条件对G/N成立．又由G的极小性有G/N 是p－超可解的，故G也是p－超可解的，矛盾．2)G有唯一的极小正规子群N，NΦ(G)且N=Op(G)=F(G)=CG(N)．设N是G的任意极小正规子群，由1)及G的p－可解性知N为一个初等交换p－子群．设(H/N)/(K/N)为G/N的任一非Frattini p－主因子，则H/K为G的一个非Frattini p－主因子．设P1为Sylow p－子群的一个不覆盖H/K的极大子群，即P1H≠P1 K．若 NP1，则 NP1为 G的一个Sylow p－子群．因此为 p'－数．另一方面|P1 H ∶P1 K|||H ∶K|为 p－数．因此|P1 H ∶P1 K|=1，即P1 H=P1 K，矛盾．所以N≤P1．由引理1．3的2)，P1 N/N在G/N中是弱s－置换的．显然P1 N/N不覆盖(H/N)/(K/N)，因此条件对G/N成立．于是G/N是p－超可解的．若G中包含不同于N的极小正规子群M，则N∩M=1，因此GG/M∩N为p－超可解，矛盾．所以N是G的唯一极小正规子群．又若N≤Φ(G)，则由p－超可解群的群类是一个饱和群系，可知G为p－超可解，因此NΦ(G)．由引理 1．5 有3)最后的矛盾．设N为G的极小正规子群，由2)，N是初等交换p－群且NΦ(G)．故能找到一个G的Sylow p－子群的极大子群P1，使得NP1且P1在G中弱s－置换，即存在LG，使得P1 L=G且P1∩L≤P1sG．由N是G的唯一极小正规子群，有N≤Op(G)≤L．若不然 Op(G)=1，即 G 是p－群，矛盾．于是P1∩N=P1∩L∩N=P1sG∩N 在 G 中是 s－置换的．因此由引理1．4有设Gp为包含P1的G的Sylow p－子群，由P1是Gp的极大子群，有P1Gp．又 NGp，所以P1∩NGp，因此G=OP(G)Gp≤NG(P1∩N)，即P1∩NG．但是 NP1且N为极小正规子群，因此P1∩N=1．于是|Gp|=|N||P1|，所以|N|=p．由 G/N 是 p－超可解，N是p阶的，说明了G也是p－超可解的．这一最后矛盾表明定理成立．注 2．1 定理2．1中G为p－可解群的条件不可去掉．事实上，设G为5次交错群A5，则G的Sylow 3－子群的极大子群都为1，从在A5内是弱s－置换的，但显然A5不是3－超可解的．定理2．2 设p是群 G阶的素因子且(p－1，|G|)=1．若对于G的任一非Frattini p－主因子H/K，存在G的Sylow p－子群的极大子群P1不覆盖H/K且在G中弱s－置换，则G是p－幂零的．证明假设定理不成立，并设G是一个极小阶反例．通过以下步骤完成证明．1)Op'(G)=1．若Op'(G)≠1，假设 N 是包含在Op'(G)中G的极小正规子群．下面考虑商群G/N，设(H/N)/(K/N)为G/N的任一非Frattini p－主因子，则H/K为G的一个非Frattini p－主因子．由条件，存在G的Sylow p－子群的极大子群P1不覆盖H/K 且在 G 中弱 s－置换．由引理1．6，P1 N/N 为 G/N的一个Sylow子群的极大子群．由HP1 K有H/NP1 K/N=(P1 N/N)(K/N)，所以 P1N/N不覆盖(H/N)/(K/N)．又因为 N 为 p'－子群，由引理 2．3的4)，有P1N/N在G/N中弱 s－置换．因此条件对G/N成立．又由G的极小性有G/N是p －幂零的，故G也是p－幂零的，矛盾．2)G的极小正规子群N是p－群．设N是G的任意极小正规子群，由1)知，N 是一个 pd－群．若p2N，则N为p－幂零的，由N的极小性且Op'(G)=1，知N是p－群．又若N≤Φ(G)，则N显然为p－群．设p2 N且NΦ(G)，由定理条件，存在G的Sylow p－子群的极大子群P1在G中弱s－置换，即存在LG，使得P1 L=G且P1∩L≤P1sG．若 N 不是 p－群，则N=Op(N)≤Op(G)≤L，所以P1∩N=P1∩L∩N=P1sG∩N在G中是s－置换的，因此由引理1．4，可得P1∩N≤Op(G)．由 p2|N，P1∩N≠1，从而于是N≤Op(G)，此矛盾说明2)成立．3)G有唯一的极小正规子群N，NΦ(G)且设N是G的任意极小正规子群，由2)知，N为一个p－群．设(H/N)/(K/N)为G/N的任一非Frattini p－主因子，则H/K为G的一个非Frattini p－主因子．设P1不覆盖 H/K，即P1 H≠P1 K．若 NP1，则 NP1为G的一个Sylow p－子群．因此为 p'－数．另一方面|P1 H ∶P1 K|||H ∶K|为 p－数．则|P1 H ∶P1 K|=1，即 P1 H=P1 K，矛盾．所以N≤P1．又显然有P1 N/N不覆盖(H/N)/(K/N)并且根据引理1．3的2)，可得定理条件G/N仍成立．由G的极小性，G/N是p－幂零的．若G中包含不同于N的极小正规子群M，则N∩M=1，因此GG/M∩N为p －幂零，矛盾．所以N是G的唯一极小正规子群．又若N≤Φ(G)，则由p－幂零群的群类是一个饱和群系，可知G为 p－幂零群，因此NΦ(G)．由引理 1．5，N=Op(G)=F(G)=CG(N)成立．4)最后的矛盾．设N为G的极小正规子群，由3)，N是初等交换p－群且NΦ(G)．故能找到一个G的Sylow p－子群的极大子群P1，使得NP1且P1在G 中弱s－置换．即存在LG，使得P1 L=G且P1∩L≤P1sG．由N是G的唯一极小正规子群，有N≤Op(G)≤L．若不然 Op(G)=1，即 G 是p－群．于是P1∩N=P1∩L∩N=P1sG∩N在G中是s－置换的，因此由引理 1．4 有设Gp为包含P1的G的Sylow p－子群，由 P1是 Gp的极大子群，有P1Gp．又 NGp，所以P1∩NGp，因此G=OP(G)Gp≤NG(P1∩N)，即P1∩NG．但是NP1且N为极小正规子群，因此P1∩N=1，于是|Gp|=|N||P1|，所以|N|=p．由N/C 定理，G/CG(N)同构于Aut(N)一个子群．因此但由条件(|G|，p－1)=1，因此 G/CG(N)=1．再由G/N是p－幂零，有G是p－幂零的．推论2．3 设p是群G阶的任意一个素因子．若对于G的任一非Frattini p－主因子H/K，存在G的Sylow p－子群的极大子群P1在G中弱s－置换且H/KP1K/K，则G是超可解的．证明设p是群G阶的极小素因子，必然有(p－1，|G|)=1，由定理 2．2 以及 Feit －Thompson 奇阶群可解定理，知G是可解的．再由定理2．1，对于任意素数p，G是p－超可解的，因此G为超可解．参考文献【相关文献】［1］徐明曜．有限群导引(上)［M］．北京:科学出版社，1999．［2］GUO W B．The Theory of Classes of Groups［M］．Dordrecht:Kluwer Academic Publishers Group，2000．［3］ORE O．Contributions in the theory of groups of finite order［J］．Duke Math J，1939，5(2):431－460．［4］DOERK K，HAWKES T．Finite Soluble Groups［M］．New York:Walter de Gruyter，1992．［5］DESKINS W E．On qusinormal subgroups of finite groups［J］．Math Z，1963，82(2):125－132．［6］KEGEL O H．Sylow－Gruppen und subnormalteiler endlicher gruppen［J］．Math Z，1962，78(1):205－221．［7］GUO W B，SHUM K P，SKIBA A N．X－permutable maximal subgroups of Sylow subgroups of finite groups［J］．Ukrainian Math J，2006，58(10):1299－1309．［8］GUO W B，SHUM K P，SKIBA A N．Conditionally permutable subgroups and supersolubility of finite groups［J］．Southeast Asian Bull Math，2005，29(3):493－510．［9］WANG Y M．c－Normality of groups and its properties［J］．J Algebra，1996，180(3):954－965．［10］WANG Y M．Finite groups with some subgroups of Sylow subgroups c－supplemented［J］．J Algebra，2000，224(2):467－478．［11］LI B J，GUO W B．On some open problems related to X－permutability of subgroups［J］．Communications in Algebra，2011，39(3):757－771．［12］查明明，郭文彬，李保军．关于有限群的 p－超可解性［J］．数学杂志，2007，27(5):563－568．［13］LI B J，SKIBA A N．New characterizations of finite supersoluble groups ［J］．Science in China，2008，A51(5):827－841．［14］MIAO L，GUO W B．Finite groups with some primary subgroups F－s－supplemented［J］．Communications in Algebra，2005，33(8):2789－2800．［15］BALLESTER－BOLINCHES A，PEDRAZA－AGUILERA M C．On minimal subgroups of finite groups［J］．Acta Math Hungar，1996，73(4):335－342．［16］LI B J，ZHANG Z R．The influence of s－conditionally permutable subgroups on finite groups［J］．Science in China，2009，A52(2):301－310．［17］SKIBA A N．On weakly s－permutable subgroups of finite groups［J］．J Algebra，2007，315(1):192－209．。

有限群超可解的几个充分条件
汪苗苗;焦学磊
【期刊名称】《西南民族大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2008(034)002
【摘要】利用有限群子群的弱C-正规性对有限群结构的影响,得到了有限群超可解的若干充分条件.
【总页数】3页(P235-237)
【作者】汪苗苗;焦学磊
【作者单位】四川工商职业技术学院,四川都江堰,611830;成都理工大学,四川成都,610059
【正文语种】中文
【中图分类】O152.1
【相关文献】
1.有限群超可解的一些充分条件 [J], 尤泽;李保军
2.有限群超可解的几个充分条件 [J], 唐锋;金锡嘉
3.有限群的p-超可解性的一些充分条件 [J], 胡玉生;张利英;丁华
4.有限群超可解的一些充分条件 [J], 尤泽;李保军;
5.有限群超可解的若干充分条件 [J], 薛瑞;王品超
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

研究群的子群的乘积是子群的判定条件摘要本次论文研究的题目是子群与子群的乘积是子群的充要条件是什么，所以我们首先要了解子群的定义。

子群，子群！从字面意义上知子群是群的一个子集，所以又必须知道群的定义。

在了解群与子群的定义后，再发现群与子群的性质，掌握群的代数运算，子群与子群之间的代数运算。

现在我所研究的是在已经知道子群与子群的乘积是子群的充要条件下，研究三个子群的乘积是子群的充要条件。

关键字：群子群子群与子群的乘积一、群的定义定义1设G是一个非空集合，⊕是它的一个代数运算，如果满足一下条件：Ⅰ.结合律成立，即对G中任意元素a,b,c都有(a⊕b) ⊕c=a⊕(b⊕c);Ⅱ.G中有元素e，叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e⊕a=a;Ⅲ.对G中每个元素a，在G中都有元素，叫做a的左逆元，使b⊕a=e;则称G对代数运算⊕作成一个群。

如果对群G中任二元素a,b均有a⊕b=b⊕a,即G的代数运算满足交换律，称G为交换群（可换群）或Abel群。

否则称G 为非交换群（非可换群）或非Abel群。

例如，显然全体非零有理数以及全体正有理数对于数的普通乘法都作成群，分别称其为非零有理数群和正有理数群。

但应注意，整数集Z对于数的普通乘法不能作成群。

因为，尽管普通乘法是Z的代数运算，并且满足结合律，也有左单位元1，但是，出去1和-1外其他任何整数在Z中都没有左逆元。

例1设G为整数集，问：G对运算a⊕b=a+b+4是否作成群？解由于对任意整数a,b，显然a+b+4为a与b惟一确定的整数，故所给运算⊕是G的一个代数运算。

其次，有(a⊕b) ⊕c=(a+b+4) ⊕c =(a+b+4)+c+4=a+b+c+8.同理有a⊕(b⊕c)=a+b+c+8.因此，对G中任意元素a,b,c有(a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c),即代数运算⊕满足结合律。

又因为对任意整数a均有（-4）⊕a=-4+a+4=a,故-4是G的左单位元。

最后，由于（-8-a）⊕a=-8-a+a+4=-4故-8-a是a的左逆元。

子群的乘积是子群的充要条件问题的引入：在《近世代数》第二章的第3节（子群）中，我们知道了一些子群的定义和性质。

特别是定理5的给出，使我们有了这样的思考：多个子群在满足哪些条件下，它们的乘积是否还是子群？对于这个问题，我们将在下面对它进行探讨。

群的定义为：设Ｇ是一个非空集合，○是它的一个代数运算，如果满足以下条件：1. 结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（a○b）○ c=a ○（b○c）；2. 对G中有元素e，叫做G的做单位元，它对G中的每个元素a都有e○a=a；3．对G中每个元素a，在G中都有元素a－１，叫做a的左逆元，使a－１○a=e；则称G对代数运算○做成一个群.子群的概念是群论中一个基本概念，群论的全部内容都在不同程度上和子群有联系，特别，有事要根据子群的各种特征来对群进行分类，即根据子群来研究群，这也是研究群的重要方法之一。

在代数学中子群的定义为：设G是一个群，H是群G的一个非空子集。

如果H本身对Ｇ的乘法也作成一个群，则称Ｈ为群Ｇ的一个子群。

课题正文一、群的概论群论有着悠久的历史，现在已经发展成为一门范围广泛和内容十分丰富的数学分支，在近世代数和整个数学中占有重要的地位。

在19世纪，数学中一个长达三世纪之久而未能解决的难题，即五次和五次以上代数方程的根式解问题，被挪威青年数学家阿贝尔和法国青年数学家伽罗瓦所彻底解决。

从而推动了数学的发展，其重要意义是不言而喻的。

但更重要的是，他们在解决这一问题时引入了一种新概念和新思想，即置换群的理论，它对今后数学的发展，特别是代数学的发展起着巨大的关键性作用。

因此可以说，阿贝尔和伽罗瓦是群伦和近世代数的创始人。

在阿贝尔和伽罗瓦之后，人们逐渐发现，对于这一理论中大多数的本质问题来说，用以构成群的特殊材料——置换——并不重要，重要的是只是在于对任意集合里所规定的带属性质的研究，即对代数系统的研究。

这样一个现在看起来很平凡的发现，实际上是一个很大的突破，它的重要意义在于把置换群的研究推进到了更一般的抽象群的研究上去。

关于有限群两个幂零子群积的问题(英文)
海进科;王品超
【期刊名称】《数学研究与评论：英文版》
【年(卷),期】2000(20)3
【摘要】众所周知，有限群的两个幂零子群的积不一定是幂零的．本文研究了Ｅｎｇｅｌ条件对两个幂零子群的影响，得到两个幂零子群的积为幂零群的几个充分条件。

【总页数】4页(P345-348)
【关键词】有限群;幂零子群;积;充分条件
【作者】海进科;王品超
【作者单位】武汉大学数学与计算机学院;曲阜师范大学数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O152.1
【相关文献】
1.Sylow子群的2-极大子群与有限群的p-幂零性 [J], 陈云坤;黎先华
2.关于有限群两个超可解子群之积的问题 [J], 王品超
3.非幂零极大子群指数为素数幂的有限群 [J], 郭秀云
4.非幂零自中心化子群是TI-子群或次正规子群的有限群 [J], 陈婵婵;李玉;卢家宽;张博儒
5.极大幂零子群的阶为素数幂的有限群 [J], 何承春;陈贵云;韩章家
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。