超可解群的若干充分条件
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幂零群 可解群 p-幂零群 超可解群页数:3
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条件c-正规子群对有限群结构的影响
定 义 １ 设 Ｈ 是有 限群 Ｇ 的一个 子群 ， 果 Ｇ有 正规 子群 Ｎ 使 得 ＨＮ ， Ｈ 如 ｑＧ 且 ｎ Ｎ Ｈ ， 则称 Ｈ 为 Ｇ 的条 件 ｃ正规 子群 或者说 Ｈ 在 Ｇ 中是 条件 ｃ正 规 的． 为 Ｈ 一 一 记 ｔ Ｇ． ｃ 显然 ，一 ｃ正规 子群 是条 件 ｃ正 规子 群 ， 之 不然 ． 一 反 事实 上 ， 对于 对称 群 Ｓ 它含 有一 个正 规 子群 Ｋ ， Ｈ ， 设 是 Ｓ 的 Ｓ ｌｗ ３子群 ， ｙｏ － 则可 知 Ｋ Ｈ ＝ Ａ Ｓ ， ｎ Ｋ Ｈ 一 １， 以 Ｈ ， Ｈ 不 为 Ｇ 的 ｃ正 规子 群． 所 ｔＧ 但 ｃ ～
． ６ Ｎｏ ５ ３ ．
Ｓ ｐ． ０ ８ ｅ ｔ２ ０
文章 编 号 ： ０ Ｏ ２ ６ （ ０ ８ ０ —０ ２ 一 Ｏ １０一 ３７２０）５ ０４ ３
条 件 ｃ正 规 子 群对 有 限群结 构 的影 响 一
郭静 安 ， 祥 贵 钟
（ 西 师 范 大 学 数 学 科 学 学 院 ， 西 桂 林 ５ １０ ） 广 广 ４ ０ ４
维普资讯
第３ ６卷 第 ５期 ２０ ０ ８年 ９月
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ 河 南 师Ｎｏ ｍａ学 报ｉｅｓｔ （ 版 ） ａ ｃｅ ｃ ） ｏ ｒ ａ Ｈｅ ａ 范 大 学ｌＵｎ（ ｒｉ科 学 ｔ ｌＳ ｉｎ ｅ ｏ ｎｎ ｒ ｖ自然ｙ Ｎａ ｕ ｒ
结果．
关键 词 ： 条件 ｃ 一 正规子群 ； 超可解群 ； 可解群
中图分类 号 ： １ 文考虑 的群 均为 有限 ， 用符 号和 术语 均是标 准 的． 所
１９ ９ ６年 ，王燕 鸣在 文献 ［ ］ 引入 ｃ正 规子 群 的概 念． １中 一 此后 ， 德 玉 、 秀 云＿ ］ 群 的某 些 子群 的 ｃ正 李 郭 ２就 。 一 规性 对有 限群 结构 的影 响进行 了研 究． 韦华 全＿ 利 用 Ｓ ｌｗ子 群 的极 大 和 极小 子 群 的 ｃ正规 性 对 包 含超 可 ４ ｙｏ 一
X-可换子群与有限群的超可解性
Ａｕ ．０ ８ ｇ２ ０
文 章 编 号 ：６ ３ １ ４ （ ０ ８） ４ ０ ０ － ３ １ ７— ５ ９２ ０ ０ — ０ １ ０
可换 子 群 与有 限群 的超 可解 性
刘 玉凤
（ 山东工商学院数学与信息科学学院， 山东 烟 台 ２４ ０ ） ６０ ５
摘
要 ；利用 ． 可换 子 群 的 概 念 ， 到 了有 限群 超 可解 的 ２ 充 分 条 件 ： １设 Ｇ是 可解 群 ， 是 Ｇ的 子 集 且 得 个 （）
群 。如 果每个 不包含 Ｋ 的 Ｇ的极 大子群在 Ｇ中 ｘ 可 ．
换 ， 么 Ｋ 是超 可解 群 。 那 引理 证 毕 。 证 明 设 结论 不 成立 并 选取 Ｋ 为极 小阶 反 例 。 设 ７是 含 于 Ｋ 的 Ｇ 的 极 小 正 规 子 群 ， ／ １ Ｍ Ｔ是 Ｇ Ｔ ／
的极 大 子群 且 Ｋ Ｈ。 － ＜
１基本概念和 引理
定义 设 Ａ， 是 群 Ｇ 的子 群 ， 是 Ｇ 的 非 空 子 集 。
那 么
由 幂 零 且 ＩＩ Ｇ＝
＝
， 有 ＨＩＫＫ Ｉ 一 ＝ ： Ｉ 是
（） １Ａ和 称为 一 可换，如果存在 ∈ Ｘ，有 Ａ ｅ Ｂ＝
收稿 日期：２０ －３ ７ ０８ － ００ 基金项 目： 国家 自然科 学基金资助项 目（ ０ ７ １ ０ １７１８）
作者简介：刘玉凤 （９５）女 ， １６－， 山东烟 台人 ， 副教授 ， 士， 硕 主要从 事群论 的研 究。
维普资讯
２
四川理 工学 院学报 （ 自然科 学版 ）
包含 Ｇ的极 小子群和极 大子群。 如果 Ｇ的每 个极 大子群和 Ｇ的 ｓｌ ｙ ｗ子群 的每 个极 大子群在 Ｇ中 Ｘ－ ｏ 可换 ， 么 Ｇ 那
关于可解群的三个充分必要条件
关于可解群的三个充分必要条件
何金旅;吴金莲;张佳
【期刊名称】《青海师范大学学报:自然科学版》
【年(卷),期】2021(37)4
【摘要】考察了有限群的可解性.首先,考虑减少极大子群的个数,即从所有的极大子群弱化到所有的c-极大子群(指数是合数的极大子群),并分析了c-极大子群的迹的幂零性质和次正规性质对群的可解性的影响.其次,对于特殊的素因子集合
π(π=π(G/E),其中E可表示群G最大可解正规子群S(G),或者最大的超可解正规子群U(G),或者最大的幂零正规子群F(G)),运用局部化手段,又将迹的幂零性质推广至π-幂零性质,描述了可解群的结构.最终得到了关于可解群的充分必要条件,推广了已有的结果.
【总页数】4页(P17-20)
【作者】何金旅;吴金莲;张佳
【作者单位】西华师范大学数学与信息学院
【正文语种】中文
【中图分类】O152.1
【相关文献】
1.π-可解群的一个充分必要条件
2.有限群可解的若干充分必要条件
3.可解群与超可解群的充分条件
4.交换群和循环群的若干充分必要条件
5.某些半无限多目标规划的弱有效解和有效解的充分和必要条件
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
超可解群的几个充分条件
超可解群的几个充分条件
超可解群的几个充分条件
解群是分析群论中一个比较常见的概念，是研究群的整体性质的一个重要部分。
解群的充分条件是构成群的四个元素之间存在良好的结构关系，它们是结构元素、组织结构、社会差异以及角色功能。
首先，结构元素是解群的基础，每个群体都有一定的固有结构，因此为了达到
解群的要求，需要建立一个解析的内部结构，它可以分解群体的各种结构元素，如定义成员资格、某种组织形式、定义关系和连接等。
其次，组织结构是解群的重要要素。
组织结构指的是群体内成员之间结合的方式，比如群体的层次性、团结性、相互竞争性等，这些方面决定了群体的行为表现和功能定位，为解群提供了一个完整的视角和框架。
此外，社会差异是解群的重要组成部分。
社会差异包括性别、年龄、文化、职业、社会经济地位等方面的差异，这些差异不仅影响群体的成员结构、社会结构，而且也影响群体内部行为表现，因此，要想实现解群，必须明确各类社会差异，并分析其对整个群体发展的影响。
最后，角色功能是构成群体的重要要素。
角色功能包括群体内成员的职责、权限、责任以及社会地位等，它是群体的一个重要组成部分，直接影响着群体的行为表现。
一个良好的角色功能系统，可以控制、引导和管理群体的行为，从而创建一个有目的、有意义的群体文化，从而实现解群的目标。
总之，解群的充分条件是构成群体的四个元素必须存在良好的结构关系。
这个
元素包括结构元素、组织结构、社会差异以及角色功能，它们之间必须互相协调，才能促进群论研究的发展，最终达到解群的目的。
超可解群的几个充分条件
超可解群的几个充分条件在数学中，超可解群（超解群）是一个重要的概念，它表明群或代数结构可以被分解为可解群或更小维度的可解群的组合。
它有一组充分条件，使它可以成立。
本文将着重介绍满足这些充分条件的超可解群的一些特征和特点，并详细介绍相关的条件。
超可解群的第一个充分条件是结构稳定性。
也就是说，超可解群要能够拥有脆性机构，能够抵抗外界环境的变化。
这个条件可以分解到内部连接和外部连接两个方面，也称为稳定性理论，基于对群结构的解释和对可解群结构的特征。
内部稳定性意味着超可解群的每一个部分都应该能够被另一个部分承受，从而产生能够被控制的相互作用效应。
外部稳定性则指群应该能够维持内部的结构，在外界环境变化或干扰的情况下保持可解群结构的完整性。
超可解群的第二个充分条件是可解群结构的关系。
也就是说，要使超可解群成立，则它的组成元素之间必须有严格的关系，这样才能反映出元素之间的相互作用。
这个关系可以表示为群的因果关系，其中一个元素的状态可能会影响其他元素的状态，从而引起不同的变化。
在这种情况下，所有的元素的状态都可以通过因果关系来分解，使其可解性得以保持。
最后一个充分条件是可解群的性质。
也就是说，超可解群最终会得到一系列可解群，而可解群在概念上具有一定的特征，如可计算性、逆性和解析性。
逆性指的是可解群的结构可以从另一个可解群中获得，而解析性则指一个可解群是另一个可解群的有限子集。
这样，超可解群最终可以包含若干个不同的可解群，这些可解群之间具有一定的关系，能够形成一个稳定的系统结构。
综上所述，超可解群的存在有着多个充分条件，在这里介绍了三个充分条件，结构稳定性、可解群结构的关系以及可解群的性质。
虽然这些条件只是决定超可解群是否存在的一部分，但它们能够构建一个独立的超可解群结构，这个结构可以支持复杂的现实场景，并保持某种相对稳定的状态。
通过这些条件，超可解群可以灵活地运行，并具备高度可解性，使它能够应对复杂环境的变化，从而达到更好的应用效果。
p_超可解群的若干充分条件_谢凤艳_闫俊娜
［6 ， ］ 定理1
p 是群 G 的素因子，如果 G 有正规子群 E 使得 G / E 为 p超可解群且 E 的每个 Sylow p子 如果 G 有 p-可解正规子群 E 使得 G / E 为 p-超可解群且 E 的每个 Sylow p-子群的极大
群的极大子群在 G 中 s-半置换的，则 G 为 p-超可解群．
q ≠ p，则存在 x ∈ X 使得 HQ x = Q x H． 从而 ss-半置换，故存在 T ∈ X ss （ H） ． 设 Q ∈ Syl q （ T） ，其中， 中 XN ∩ H = N ∩ HQ x 正规于 HQ x ，即 HQ x ≤ N G （ N ∩ H） ． 因为 N 为交换群，所以 N ∩ H 正规于 N． 又因为 N ∩ H = （ N ∩ E ） ∩ P1 正规于 P1 ，所以 N ∩ H 正规于 NP1 = G p ，故 N ∩ H 正规于 G． 由 N 的极小正规性 从而 G p = P1 ，矛盾． 故 N ∩ H = 1 ． 因为 得 N = N ∩ H 或者 N ∩ H = 1 ． 若 N = N ∩ H，则 N ≤ H ≤ P1 ， N ≤ H， H 是 P 的极大子群且 N ≤ G p ∩ E = P ，所以 P = NH． 故 N = p． = p． 由于 H
x
若（ ii） 成立． 设 P ∈ Syl p （ G ） ，则 N ≤ P． 设 H 为包含在 N 中 P 的极小正规子群，则 H
ssq ≠ p，则存在 x ∈ X 使得 HQ = Q x H． 因 半置换，故存在 T ∈ X ss （ H） ． 设 Q ∈ Syl q （ T） ，其中， 在 G 中 Xx 为 N 为初等交换群，所以 H 正规于 N． 因为 N 正规于 G ，所以 H 是 G 的次正规子群． 由于 Q ∈ Syl q （ G ） ，所 x x x q｝ 群． 故 H ∈ Syl p （ HQ x ） 且 H 是 HQ x 的次正规子群， 从而 H 正规于 HQ ， 以 HQ 为｛ p， 即 Q ≤ N G （ H） ． 又
p 是群 G 的素因子，如果 G 有正规子群 E 使得 G / E 为 p超可解群且 E 的每个 Sylow p子 如果 G 有 p-可解正规子群 E 使得 G / E 为 p-超可解群且 E 的每个 Sylow p-子群的极大
群的极大子群在 G 中 s-半置换的，则 G 为 p-超可解群．
q ≠ p，则存在 x ∈ X 使得 HQ x = Q x H． 从而 ss-半置换，故存在 T ∈ X ss （ H） ． 设 Q ∈ Syl q （ T） ，其中， 中 XN ∩ H = N ∩ HQ x 正规于 HQ x ，即 HQ x ≤ N G （ N ∩ H） ． 因为 N 为交换群，所以 N ∩ H 正规于 N． 又因为 N ∩ H = （ N ∩ E ） ∩ P1 正规于 P1 ，所以 N ∩ H 正规于 NP1 = G p ，故 N ∩ H 正规于 G． 由 N 的极小正规性 从而 G p = P1 ，矛盾． 故 N ∩ H = 1 ． 因为 得 N = N ∩ H 或者 N ∩ H = 1 ． 若 N = N ∩ H，则 N ≤ H ≤ P1 ， N ≤ H， H 是 P 的极大子群且 N ≤ G p ∩ E = P ，所以 P = NH． 故 N = p． = p． 由于 H
x
若（ ii） 成立． 设 P ∈ Syl p （ G ） ，则 N ≤ P． 设 H 为包含在 N 中 P 的极小正规子群，则 H
ssq ≠ p，则存在 x ∈ X 使得 HQ = Q x H． 因 半置换，故存在 T ∈ X ss （ H） ． 设 Q ∈ Syl q （ T） ，其中， 在 G 中 Xx 为 N 为初等交换群，所以 H 正规于 N． 因为 N 正规于 G ，所以 H 是 G 的次正规子群． 由于 Q ∈ Syl q （ G ） ，所 x x x q｝ 群． 故 H ∈ Syl p （ HQ x ） 且 H 是 HQ x 的次正规子群， 从而 H 正规于 HQ ， 以 HQ 为｛ p， 即 Q ≤ N G （ H） ． 又
超可解群的两个充分条件
超可解群的两个充分条件超可解群既是数论及代数结构中一个重要的概念，也是拓扑学及计算机科学中一个常见的概念。
超可解群是一个特殊的群，具有特殊的性质，它的充要条件非常重要。
因此，下面我们将讨论超可解群的两个充分条件，并给出一个实例以展示其特性。
首先，超可解群的第一个充分条件是超级素群。
素群（素群或质群）是不能被非单位元素所划分的拥有单位元素的有限群。
超级素群是特殊的素群，它必须满足以下条件：1.G满足素群U(G)≠1；2.G具有至少两个不同的子群；3.一个子群都符合素群U(G)≠1的条件。
此外，超可解群的第二个充分条件是超完备的。
超完备的群是一种特殊的群，它必须满足以下条件：1.群的元素有每个元素独立的区间；2.群满足完备性，即每个元素在群中可以用有限个元素组成；3.于该群中的任意两个元素，存在一个独立的置换关系。
因此，超可解群的两个充分条件是：超级素群和超完备群。
为了更加直观地理解超可解群，下面我们将介绍一个实例。
以D= {0,1,2,3}为例，它是一个群，它的元素有4个，分别是0,1,2,3，他们之间满足群的乘法性质。
此外，D还满足超级素群的条件：U(D)≠1，因为它有3个子群，分别是{0,2}，{1,3}，{0,1,2,3}，而每个子群都是素群（U(D)≠1）。
另外，D还满足超完备的条件：每个元素都有独立的区间（比如0的区间是[0,0]，1的区间是[1,1]等等），它们满足完备性，即每个元素都可以用有限个元素组成，而且对于该群中的任意两个元素，存在一个独立的置换关系（比如0和2，1和3）。
由上述讨论可知，超可解群的两个充分条件是超级素群和超完备群。
超可解群有着特殊的性质，它可以帮助我们解决一些数论及代数结构中存在的问题。
超可解群的特性及充分条件在下面的实例中得到了验证，也为我们提供了一个有偿的以理解超可解群的方式。
关于可解群的若干充分条件
G
, , BE 1995 5 f 23 ' 1995 11 f 7 ' G
6
2 Iape / C >7_
821
3 A h G t lK B ∈ SG(A), i A ∩ B h B t& lK. 4 . G Hall v "] A ∩ B B.
)A&
4 K A h G t l B ∈ SG(A). A O G . F 2-Sylow v S 2-Sylow v .V%v i) A ∩ B =od " B &od
Hq1 , · · · , Hqn , Bpi = Sylow
Ro h bj ∈ Bpi,
$ W= X g9 X Hqbjj = Hqj .
Hqj Bpi = Bpi Hqj ,
Hqbjj Bpi = Bpi Hqbjj .
H Bb− j 1
qj pi
=
Bb− j 1
pi
Hqj
,
!9 . T od Hqj Bpi = BpiHqj , j = 1, · · · , n.
1 "{%
1 G .v A az G . lKv N#hOFv B, $- AB = G, 7
` B . Skv a . B1 ] AB1 < G. B z A h G t S- A h G t. S- . 5Z
& = SG(A). lKv j] AFs
1 N A = G . lKv 7 i S x ∈ G, Ax = G . lKv
Abel
. g9 . G = G/T . (|T |, |H|) = 1, W H = G π-Hall v
= G1 π-Hall v
关于有限群 p 超可解性的一些新判定
关于有限群 p 超可解性的一些新判定刘阿明;李保军【期刊名称】《中国科学技术大学学报》【年(卷),期】2015(000)009【摘要】有限群G的一个子群 H 称为在G中是n嵌入的，如果存在G的一个正规子群T 使得HT＝HG 且H ∩ T≤ HsG ，其中，HsG是包含在 H 中的G中的最大s拟正规子群。
这里利用某些子群的 n嵌入性质给出有限群为 p超可解群的一些新的判定。
%A subgroup H of a group G is called n‐embedded in G if there exists a normal subgroup T of G , such that H T= HG and H∩ T≤ HsG ,where HsG is the maximum s‐quasinormal subgroup of G contained in H .Here ,some new criteria on p‐supersolubility of finite groups are obtained by n‐embedded property of some subgroups .【总页数】4页(P733-736)【作者】刘阿明;李保军【作者单位】成都信息工程大学应用数学学院，四川成都 610225;成都信息工程大学应用数学学院，四川成都 610225【正文语种】中文【中图分类】O152.1【相关文献】1.关于有限群超可解性的一种新判定方法 [J], 刘阿明;李保军;黄程2.极大超可解子群与有限群的超可解性 [J], 钟祥贵;廖枢华;李明华;谭春归;陈小祥3.有限群的p-超可解性的一些充分条件 [J], 胡玉生;张利英;丁华4.关于有限群p-超可解性与p-幂零性的新判定 [J], 陈德平;尤泽;李保军5.有限群超可解性的一个新刻画 [J], 唐娜;黎先华因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
可解群的若干充分条件
可解群的若干充分条件
陈维红;诸秉政
【期刊名称】《黑龙江农垦师专学报》
【年(卷),期】2002(016)001
【摘要】利用π－拟幂零群的性质给出可解群的若干充分条件。
【总页数】2页(P85-86)
【作者】陈维红;诸秉政
【作者单位】哈尔滨师范大学阿城学院数学系，黑龙江阿城150301;哈尔滨师范大学阿城学院数学系，黑龙江阿城150301
【正文语种】中文
【中图分类】O152
【相关文献】
1.有限群可解的若干充分条件
2.p-超可解群的若干充分条件
3.超可解群的若干充分条件
4.可解群与超可解群的充分条件
5.有限群可解的若干充分条件
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因为 Ｇ可解， 所以 Ｖ ＜． ， ｝ ， Ｊ ， ｀ Ｍ ‘ 有 Ｇ Ｍ ＝ｑ或ｐ， 其中ｔ １２．， Ｅ ，，． ｛ ． 司．
若存在Ｍ＜＂ ＧＭ ｉ ． 较阶 Ｇ且｝： Ｉ ， ＝夕， ＜ｎ比 可得Ｍ＝ ｌ 氨， ＰＱｑ… 其中Ｑ任匆ｌ（） ， ‘ ４Ｇ ， ，
Ｐ ＜Ｐ ＰＥ勿ｌ ）因为Ｇ可解， ， ， ａ ． ｌ 比较阶 可知 Ｈ为Ｇ的ｐ 一Ｈ ｌ ‘ ａ 子群， （） （） ｌ 由（ 和（ 可得Ａ为Ｇ的ｐ 一Ｈ ｌ ２ ３ ’ ａ 子群． ｌ 由Ｇ可解得， 存
２ 主要结果
定理２ 设群Ｇ的Ｓｌ ｙ ｗ子群的极大子群均在Ｇ中共扼可换且Ｇ的任何截断均不同构 ｏ
于内交换群 ， Ｇ超可解． 则 证 设Ｇ为极小阶反例． 由引理 ５ 可知， 本题条件商群遗传， 所以可设 ＶＧ ＝ １下证 ） ．
（ ） １ Ｇ可解．
若 Ｇ的 Ｓｌ ｙ ｗ子群均为素数阶循环群， ｏ 由文［＋ ， ５ ５推论〕 Ｇ为超可解群． Ｐ ６ ５ 知， 矛盾． 故 Ｇ的Ｓ ｌ ｙ ｗ子群不全为素数阶群． ｏ 从而必存在某 １ Ｐ ＜＂ 其中Ｐ ｌ （ ）由题设 ＃ １ Ｐ， ＥＳ ｐ ， ｙ Ｇ Ｐ ＜ｃＧ， ， － 由引理 １Ｐ － ， ，；为 Ｇ 的正 规 ｐ一 子 群．由归纳假设 可知 Ｇ ｐ １ ／ 可解， Ｇ １超
若存在Ｑ任匆１ Ｇ ， ｝ ＞ 其中ｑ ， ）且 Ｑ１ ｑ （ ， 为某个ｑ 则存在 １ Ｑ ＜· ． ｉ ． 笋 ＊ Ｑ 由题设 Ｑ ＜－Ｇ 所以研 为Ｇ的正规ｑ ， ，． 一子群． 从而诺Ｎ＝ＱＧ ，ＸＮ， 故诺 毛几（ ， Ｎ）矛盾于（） ２．
（） ５ Ｇ的极大子群均为 Ｈａ 子群． ｌ ｌ
则 ＨＱ 或 Ｐ Ｇ ｄＧ ．
引理 ４ ，３６Ｔ ．．〕 ２ｐ１，ｈ４７ 设 Ｇ Ｇ ， Ｅ ｌ（ ）则 ３Ｐ Ｅ ｌ（ ，，２ ［ ＝ Ｇ ，Ｐ Ｓ ｐ Ｇ ． ， ｙ ， Ｓ ｐ Ｇ ）Ｐ Ｅ ｙ
Ｓ ｌ （ ２ ， Ｐ＝ Ｐ Ｐ ． ｙｐ ）使 Ｇ ， ，
引理５ 设 Ｇ为有限群， 尸任Ｓｌ ）若 尸的极大子群均在Ｇ中共扼可换， ｙｐ ． （ Ｇ 则对任意
即ＳＮ －Ｋ Ｎ Ｖ Ｉ ＜ ｐ Ｎ／ ． Ｉ ＳＮ 式 Ｎ， Ｎ／ 同理可证 ＳＮ －ＨＮ／ ． Ｉ ＜ ｐ Ｎ 引理 ８ 设 Ｇ为有限群， Ｍ＜－ Ｇ且Ｍ口Ｇ 则 ｛ ： 卜 ｐｐ为素数． ， ＧＭ ＋
证 若 Ｇ： Ｉ ｝ Ｍ 不为素数 ， Ｇ Ｍ 必有非平凡子群 ＡＩ 由此得 Ｍ ＜ Ａ＜ Ｇ 矛盾． 则 ／ Ｍ． ．
｝ Ｎ ｝ Ｉ ｝ ， Ｐ Ｉ ， ＝ｐ 从而Ａ＝ＰＮ ＂ 由题设可知 Ｐ ＜－Ｇ， ＰＮ ， Ｎ． ＜ Ｐ ， ｐ 所以Ｐ州 Ｎ ＜Ｇ Ｎ， ／ ＜－Ｇ Ｎ ， ＜－ ／ 即Ａ Ｎ ｐ／ ． ｐ 引理 ６ ，４， ６ｐ２ 推论 １１］ 设 Ｇ为有限群，｛ Ｉ ＇＇ ， ［ ．０． Ｇ ｑ ， ＝ ｐ ｐ ｑ为素数， ｝ ｑ ｐ一 １ ＇ ，
（） Ｅ匆１（ ） ３ Ｎ ， ． Ｇ Ｖ ｐ ， 尸Ｅ ｌ ）因为Ｎ司 ， Ｓ （ ｙ Ｇ Ｇ 所以Ｎ《 尸 若 Ｎ＜ 尸则存在尸 ＜· ， Ｎ＜ 尸． ． ， ， 尸使 ，由题设 Ｐ ＜－Ｇ， ， ｐ 又由引理 ｌ 居 为Ｇ的正规ｐ ， 一子群， 再由引理 ３ Ｐ门Ｇ或 Ｐ ． Ｐ Ｇ 因 得，， ｄ 若 ＜ Ｇ ，
关键词 ： 共扼可换子群 ； 超可解群 ； 极小非超可解群 ； 截断 ＭＲ ２０ 主题分类号 ： ０ １ ） （００ ２Ｄ ０ 中图分类号 ： １２ ０５
文献标识码： Ａ
文章编号： ２５ ７７２０ ）４０９－６ ０５－ ９ （０５０－ ９ ７ ３ ０
１ 引言及预备结果
设 Ｈ为群Ｇ的子群， Ｈ ＝ Ｈ Ｈ， ｇＣＧ成立， Ｈ为Ｇ的共扼可换子群． 若 Ｈｇ ｇ Ｖ － 则称 记 为 Ｈ －Ｇ 它是由Ｔ Ｆ ｇｅ于 １９ 年在文［」 ＜ ，． ． ｕｌ ９７ ｏ １中首次提出的．国内外尚无其它群论学家
万方数据
４ ０ ０
数
学
杂
志
Ｖｏ． ｌ２ ５
引理 １ 设 Ｇ为有限群， ＜＜Ｇ且Ｈ 为ｐ Ｈ － ， 一群， Ｈ＇ 则 ｀ 必为ｐ一群．
证 由 设 ＜ ，， ｇ Ｇ有 Ｈ ＝ ，性 “ ，Ｇ 垫 ： 假 Ｈ Ｇ即Ｖ Ｅ ， Ｈ ｇ Ｈ由 质 知Ｈ 丝 望二 垫， ＜ － Ｈ ｇ 生
性质１ 若Ｈ＜，Ｇｘ， ， ｘ Ｅ 则 Ｈｉ ．Ｈｎ ，． ，ｌ Ｚ－ｔｎ ， ＝ ＝． ＝＜ Ｇ Ｘ Ｇ ＨＺ ． －
性质２ 若 ＜ ， 设 为Ｇ的一个同态映射， ｆ ＜－ｆ ． Ｈ －Ｇ， ｆ 则 （ Ｈ） ，（） Ｇ 性质 ３ 若 Ｇ为有限群， ＜－Ｇ， ， ， ９ｎ 为 Ｎ （ 在Ｇ中的陪集代表， Ｈ ， ｛ ＋ ｇ｝ ｇ ｇ － ２ ＧＨ） 则
ＮＱ 均有 尸 Ｎ 的极大子群在 Ｇ Ｎ 中共扼可换． Ｇ， Ｎ／ Ｉ 证 设ＡＩ Ｎ＜－ Ｎ， Ｐ Ｎ／ 则Ａ＜＂ 且Ａ＝Ｎ（ Ｐ Ｎ， ＰｎＡ）设 Ｐ ＜＂ 且ＰｎＡ＜ Ｐ ． ｉ Ｐ， 则 Ａ Ｐ Ａ ＜ Ｐ ．因为 Ｐ Ｎ 二 Ｐ （ Ｎ，比较 Ｐ 与 Ｐ Ｎ 的阶可得 ＝ Ｎ（ ｎ ） Ｎ ， （ １ ， １ Ｎ ，
在ｘ 使Ａ 一Ｈ成Ｍ， 而Ａ ＥＧ ｘ 从 镇Ｍ 比 可 ＜Ｍ， 盾于Ａ的 性。 只 ＿ 较阶 知Ａ ， ， 矛 极大 所以
能有 ｛ Ｍ ｝ ｐ． Ｇ： ＝ ０ 结合（） ４ 可知（） （ 成立． ５ 由上讨论可知 Ｇ的每一个极大子群都满足题设条件 ， 由Ｇ极小， Ｇ的每一极大子群都 故 超可解． 所以 Ｇ为极小非超可解群． ３ｐ ， ｂ．〕 Ｇ同构于下述群之一： 由「 ， Ｔ ７３ 知，
（） 阶内交换群，才 一１ ａｐ ＂ ｑ ４ ｐ ｐ ＇ ，＞ （） ｐ ｂ ｐｒ 阶群，－ Ｉ 一ｌｎ ＂ Ｉ ｒ ２
推论 １ 设 Ｇ为群． Ｈ －Ｇ， ７Ｈ） 若 ＜ ｐ 则ｒ （ ＝ｎＨ ） （ Ｇ．
证
Ｈｅ＝ ＨｇＨ９… Ｈｅ． ） ２ ｝
由定理 １ 和性质 １３ ， 可得．
接 收 日期 ： ０ ３０ －８ ２ ０ －９１
条 收稿 日期 ： ０ ３０ － ５ ２ ０ －２２
为 ＶＧ 二 １所以Ｏ Ｐ 二 １从而 Ｐ为初等交换 ｐ ） ， （） ． 一群， Ｐ＜ 几（ ＝ Ｎ， 故 Ｎ） 矛盾于 Ｎ ． ＜Ｐ 从而必有 Ｐ ｄ 同理可得 Ｐ 镇 偏（ ＝Ｎ， Ｐ 二Ｎ 若存在 Ｐ的极大子群 Ｐ ， Ｎ不含 ， ． Ｇ ， Ｎ） 故 ， ． ，使
于只， ｚ ． 且具 ＡＰ 由题设只 ＜ｃＧ 由上面的讨论可知Ｐ ， － ， － ， 不能正规于Ｇ故几ｄ 另一方面， ， Ｇ ．
Ｖｏ． （ ０ ５ ｌ２ ２ ０ ） ５
Ｎｏ ４ ．
数 学 杂 志
Ｊ ｏ Ｍａｈ （ ＲＯ ． ｆ ｔ ． Ｐ
超可解群的若干充分条件‘
张勤海， 赵俊英
（ 山西师范大学数学与计算机科学学院，山西临汾 ０ １０ ） ４０４
摘要： 本文研究了有限群的超可解性问题 ， 利用子群的共扼可换性概念及极小反例法， 获 得了一个群为超可解的若干充分条件． 举例说明了主要结果中的假设条件是不可少的．
Ｐ ＜ ２ Ｐ 所以Ｐ二Ｎ ，这时有 Ｐ ， ＂， Ｐ， 司Ｇ 矛盾． Ｐ 不存在， 故 ： 所以Ｎ为Ｐ的唯一的极大子群， 从 而得 Ｐ循环， 于是 Ｎ循环 ， Ｇ Ｎ超可解 ， Ｇ超可解 ， 由 Ｉ 得 矛盾． 所以（） ３ 成立． （） ｝ ＝ ｐｑ ＊ｑ ４ Ｇ｝ ＂ｌ ＊ ｑ ＊． ２
基金项 目 ：国家自然科学基金（ １１ ６； １ ７０ ）山西省 自然科学基金（ ０１ ４； ０ ８ （ １０ ）教育部回国留学人员基金 ２ ０ ０
（ 教外司留【９９３３ ； １９］６ 号）山西省回国留学人员基金（ 晋留管办【０２１ 号） ２０］６ 的资助项 目． 作者简 介 张勤海（９５） 男， １５－， 山西翼城， 教授， 博士， 研究方向： 群论
‘ ，． ＝１２ 则Ｇ超可解．
引理 ７ 设 Ｇ为有限群 ， ＝ Ｋ． Ｈ 的子群均在Ｋ 中共扼可换 ， Ｇ Ｈ 若 Ｋ的子群均在 Ｈ 中 共扼可换 ， ｄＮ口Ｇ， Ｎ 的子群在 ＫＮ／ 中共辘可换 ， Ｎ／ 则 Ｈ Ｎ／ Ｎ Ｋ Ｎ的子群在 ＨＮ／ 中共 Ｎ 扼可换． 证 Ｖ Ｎ Ｉ 镇 Ｈ Ｎ， Ｎ Ｓ镇 ＨＮ， 而 Ｓ＝ Ｓ 门 Ｈ ＝ （ 门 Ｈ） Ｓ Ｎ／ 有 ＜ 从 Ｎ Ｓ Ｎ．
因为Ｓ Ｈ 由题设（ （Ｈ） ｐ 所以 Ｖ ＥＫ， ＥＫ Ｎ， （ ＜ Ｈ， １ （ １ ＜－Ｋ， Ｓ ｋ ｋ Ｎ Ｎ／ 有
（／ （／ ｋ ｋ Ｎ） Ｓ Ｎ） Ｎ） Ｓ －＝（Ｓ门Ｈ） Ｎ）（ （ Ｎ／ （Ｓ门Ｈ） Ｎ／ ＝（Ｓ门 Ｈ） Ｎ）（ （ ｋ Ｎ／ （Ｓ门 Ｈ） Ｎ） Ｎ／ ＝（ Ｉ － Ｉ ， Ｓ Ｎ） （ Ｎ） Ｓ
所以 Ｇ可解． Ｇ为可解外超可解群． 故 （） Ａ 其中 Ｎ为初等交换群 ， ２ Ｇ＝ Ｎ， Ａ为Ｇ的极大子群， Ａ门Ｎ＝ １ 几 ＜ ＝ Ｎ． 且 Ｎ）
万方数据
Ｎｏ ４ ．
张勤海等 超可解群的若干充分条件
４ ０１
取 Ｎ为Ｇ的极小正规子群， 由Ｇ可解得Ｎ为初等交换ｐ 一群， Ｉ ， Ｇ Ｎ超可解． ｐＩＧＩ 且 Ｉ 由Ｇ非超可解易知 Ｎ 为Ｇ的唯一的极小正规子群． 又因为 Ｏ Ｇ ＝ １由［， ，Ｔ ．．１ （ ） ， ４Ｐ ， ｈ４５ 知 ， ＝ （ ）又由〔 ， ， ． 〕 几 （ 二Ｎ． Ｐ Ｇ ＝ 知存在Ａ＜＂ 使 Ｎ不 Ｎ ＦＧ ， ４ｐ ，＇ ４３ 得， Ｎ） ， ． １ ｈ 由（ ） （ Ｇ， 包含于 Ａ， 由Ａ的极大性得 Ｇ＝ Ａ 且易知 Ａ ｎ ＮＱＧ， Ｎ 的极小性得 Ａ （ Ｎ ＝ １ Ｎ， 由 ．
进一步研究共扼可换子群对群结构的影响问题． 本文尝试用子群的共扼可换性来研究群的 超可解性． 获得了一些初步结果． 如无特别说明， 本文中提到的群均为有限群．用符号 Ｈ ＜＂ Ｇ表示 Ｈ 是群 Ｇ的极大子 群，ｒ ） ７Ｇ 表示 Ｇ的不同素因子的集合 ， ｓ （ Ｈ ｎＧ表示 Ｈ是群Ｇ的次正规子群， ｃａ Ｇ表 Ｈ ｒ ｈ 示 Ｈ 是 Ｇ的特征子群．Ｋ］ 表示 Ｈ 与Ｋ 的半直积。 ［ Ｈ 设 Ｇ为群 Ｈ ， 为 Ｇ的子群． 由定义及文「〕 １ 易知共扼可换子群有下列性质 ：