人教版八年级数学下册导学案17.2 第1课时 勾股定理的逆定理

第十七章 勾股定理17.2 勾股定理的逆定理第1课时 勾股定理的逆定理学习目标：1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数；2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.重点：掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数.难点：能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形. 一、知识回顾1.勾股定理的内容是什么？2. 求以线段a 、b 为直角边的直角三角形的斜边c 的长：① a ＝3，b ＝4；② a ＝2.5，b ＝6；③ a ＝4，b ＝7.5.一、要点探究探究点1：勾股定理的逆定理量一量 有以下三组数，分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.算一算 这三组数在数量关系上有什么相同点？思考 据此你有什么猜想呢?猜测：如果三角形的三边长a,b,c 满足___________,那么这个三角形是_________三角形.活动2 为了验证活动1的猜测，下面我们根据全等进行证明.证一证 已知：如图，△ABC 的三边长a ，b ，c ，满足a 2+b 2=c 2．求证：△ABC 是直角三角形．证明：作Rt △A ′B ′C ′，使∠C ′=90°，A ′C ′=b ，B ′C ′=a ，则A ′B ′2=_______+________ 。

∵a 2+b 2=c 2，∴A ′B ′=_______.在△ABC 和△A ′B ′C ′中，A ′C ′=AC ，B ′C ′=BC ， ∴△ABC____△A ′B ′C ′(________) .______=_______,∴∠C____∠C ′_____90° ， 即△ABC 是__________三角形.要点归纳：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是自主学习 课堂探究特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对应的角为直角.典例精析例1(教材P32例1变式题)若△ABC的三边a,b,c满足a:b: c=3:4:5，是判断△ABC的形状.方法总结:已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.例2(1)若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=14，试说明△ABC是直角三角形.(2)若△ABC的三边a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状.例3如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝1CB，试判断AF与4EF的位置关系，并说明理由.针对训练1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．3，4，6C．5，12，13 D．4，6，72.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则该三角形最长边上的高是( ）A．4 B．3 C．2.5 D．2.43.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是_______________________.探究点2：勾股数要点归纳：勾股数：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.常见的勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.例4 下列各组数是勾股数的是( )A.6，8，10B.7，8，9C.0.3，0.4，0.5D.52，122，132方法总结:根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.探究点3：互逆命题与互逆定理想一想 1.前面我们学习了两个命题，分别为：命题1，如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2；命题2，如果三角形的三边长a ，b ，c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.两个命题的条件和结论分别是什么？2.两个命题的条件和结论有何联系？要点归纳：原命题、逆命题与互逆命题：题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.针对训练1说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？(1)两条直线平行，内错角相等；(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；(3)全等三角形的对应角相等；(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.二、课堂小结内容勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.勾股定理的逆定理的作用从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形.注意1.最长边不一定是c，∠C也不一定是直角.2.勾股数一定是正整数.1.下列各组数是勾股数的是 ( )A.3，4，7B.5，12，13C.1.5，2，2.5D.1，3，5当堂检测A.是直角三角形B.可能是锐角三角形C.可能是钝角三角形D.不可能是直角三角形3.在△ABC中，∠A, ∠B, ∠C的对边分别a,b,c.①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC是直角三角形；②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°；③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形;④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形.以上命题中的假命题个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个4.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式2220c a b c a+-+-=，则△ABC的形状是_ _______________．5.(1)一个三角形的三边长分别为15cm,20cm,25cm，则该三角形最长边上的高是______cm;(2)“等腰三角形两底角相等”的逆定理为_______________________________________．6.已知△ABC,AB=n2-1,BC=2n,AC=n2+1(n为大于1的正整数).问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.7.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，AD=CD=52,求四边形ABCD 的面积.。

八年级数学下册 17.2 勾股定理的逆定理导学案1(新版)新人教版1、了解勾股定理的逆定理的证明方法和过程；2、理解互逆命题、互逆定理、勾股数的概念及互逆命题之间的关系；3、能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形、学习重点：勾股定理的逆定理及其应用。

学习难点：勾股定理的逆定理的证明。

学习过程一、自学导航ABC1、勾股定理：直角三角形的两条_________的平方____等于______的_______，即___________、2、填空题（1）在Rt△ABC，∠C=90，8，15，则。

（2）在Rt△ABC，∠B=90，3，4，则。

（如图）二、合作交流1、怎样判定一个三角形是直角三角形？2、下面的三组数分别是一个三角形的三边长a、b、c5、12、137、24、258、15、17（1）这三组数满足吗？（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？猜想命题2：如果三角形的三边长、、，满足，那么这个三角形是三角形问题二：命题1：命题2：命题1和命题2的和正好相反，把像这样的两个命题叫做命题，如果把其中一个叫做，那么另一个叫做由此得到勾股定理逆定理：命题2：如果三角形的三边长、、满足，那么这个三角形是直角三角形、已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，且求证：∠C=90证明：三、展示提升1、判断由线段、、组成的三角形是不是直角三角形：（1）；（2）、2、说出下列命题的逆命题、这些命题的逆命题成立吗?（1）两条直线平行，内错角相等、（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等、（3）全等三角形的对应角相等、（4）在角的平分线上的点到角的两边的距离相等、3、以下列各组线段为边长，能构成三角形的是____________，能构成直角三角形的是____________、（填序号）①3，4，5 ②1，3，4 ③4，4，6 ④6，8，10 ⑤5，7，2 ⑥13，5，12 ⑦7，25，243、在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A、a=9，b=41，c=40B、a=b=5，c= C 、a∶b∶c=3∶4∶5 D a=11，b=12，c=154、若一个三角形三边长的平方分别为：32，42，x2，则此三角形是直角三角形的x2的值是（）A、42B、52C、7D、52或7课题：17、2勾股定理逆定理（2）学习目标：1、勾股定理的逆定理的实际应用；2、通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合、学习重点：勾股定理的逆定理及其实际应用。

17.2勾股定理的逆定理（第1课时）一、内容和内容解析1.内容勾股定理的逆定理证明及简单应用。

2.内容解析勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、 b 、 c满足a2+b2=c2, 那么这个三角形是直角三角形。

勾股定理的逆定理是利用边长关系来判定三角形是直角三角形的一种方法。

本节课的教学重点：探究并证明勾股定理的逆定理。

二、目标和目标解析1.目标（1）理解勾股定理的逆定理，并能运用它解决一些简单的实际问题。

（2）经历“实验操作——猜想——论证”的定理探究过程，体会“构造法”证明数学命题的基本思想。

（3）会用三角形三边的数量关系来判断三角形是否是直角三角形，体验数与形的内在联系。

2.目标解析经历勾股定理的逆定理的探究及证明过程，并理解通过构造一个直角三角形，证明此三角形和原三角形全等，从而证明三角形为直角三角形的方法，能用勾股定理的逆定理来判断一个三角线是直角三角形。

三、学生学情分析尽管已到八年级下学期学生知识增多，能力增强，但思维的局限性还很大，能力也有差距。

证明勾股定理的逆定理的实质，是通过a2+b2=c2证明三角形中有一个角是90°，直接证明结论很困难，但学生学过全等三角形，可以先构造一个直角三角形，使得它的直角边分别为a，b，如果两个三角形全等，由全等三角形的对应角相等可知这个三角形是直角三角形，这种方法学生首次见到，较难理解。

基于以上分析，可以确定本节课的教学难点为：用“同一法”证明勾股定理的逆定理。

难点：探究勾股定理的逆定理的推导方法。

四、教学问题诊断分析：在教学中，我采用直观教学，多媒体等手段，开展以探究活动为主的教学模式，边设疑边操作，边讨论，启发学生提出问题，分析问题，进而解决问题，从而达到突出重点的目的。

勾股定理的逆定理的证明关键是构建全等的直角三角形，教学中采取了从特殊到一般、从动手操作到推理证明的顺序，以问题串的形式，使学生在动手操作的基础上和合作交流的良好氛围中，通过巧妙而自然地在学生的认识结构与几何知识结构之间筑了一个信息流通渠道，进而达到完善学生的数学认识结构的目的，更有利于突破难点。

图18.2-2 课型 新授课 课题 17.2 勾股定理的逆定理（1）学习目标1．探究勾股定理的逆定理的证明方法。

2．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。

3．经历直角三角形判别条件的探究过程，体会命题、定理的互逆性。

重点难点 重点：掌握勾股定理的逆定理及简单应用。

难点：勾股定理的逆定理的证明。

设计意图教学流程二次学习通过简单复习，巩固所学的知识，初步感知以3、4、5为三边的三角形是直角三角形。

为勾股定理的逆定理的推导做准备。

【知识链接 课前自我学习】1、勾股定理的内容： ___ （直角三角形的边的性质）2、在Rt △ABC 中，∠C =90°,已知a =8,c =10,则b =3、直角三角形两条直角边分别是3和4，则斜边上的高是【课堂新知探究】1、三边长度分别为3 cm 、4 cm 、5 cm 的三角形（△ABC ）与以3 cm 、4 cm 为直角边的直角三角形（Rt △A 1B 1C 1）之间有什么关系？你是怎样得到的？Rt △A 1B 1C 1中，由勾股定理求得斜边A 1B 1=____cm ，在△ABC 和Rt △A 1B 1C 1中，三边对应相等吗？这两个三角形全等吗？因此，猜想以3、4、5为三边的三角形是直角三角形吗？2 、根据上题，你能证明以6cm 、8cm 、10cm 为三边长的三角形是直角三角形吗？3.此定理与勾股定理之间有怎样的关系？（1）什么叫互逆命题？_________和_________正好相反的两个命题叫做互逆命题，其中一个叫__________，另一个叫___________。

（2）说出下列命题的逆命题。

这些命题的逆命题成立吗？①两直线平行，内错角相等；_____________________________证明定理，加深对定理的理解。

规范解题过程②全等三角形的对应角相等；____________________________ ③角平分线上的点到角两边的距离相等；_________________ _________________________________________________ ④如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2逆命题：____________________________________________ _________________________________________________________例：如图18.2-2，若△ABC 的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+，试证明△ABC 是直角三角形，请简要地写出证明过程．小结：1、勾股定理：________________________________________2、勾股定理的逆定理：______________________________________3、勾股定理逆定理的用途：已知三角形的 ，可判定三角形的 。

八年级数学下册 17 勾股定理 17.2 勾股定理的逆定理（1）导学案（新版）新人教版17、2 勾股定理的逆定理第一课时勾股定理的逆定理新授课学习目标：1、了解互逆命题和互逆定理的概念、2、理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理、学习重点和难点重点：勾股定理的逆定理难点：勾股定理的逆定理的应用一、新课导入什么是勾股定理？如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a+b=c、二、探究新知1、故事导入，激发兴趣引入新知、古埃及人曾用下面的方法得到直角：三、用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角、四、按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？五、请同学们观察,这个三角形的三条边有什么关系吗?2、作图印证动动脑、动动手一个三角形ＡＢＣ的三边分别３、４、５，那么它的形状是确定的吗？你可以将它画出来吗？通过测量，∠C的度数是90度、三、概念建模；下面的两组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：2、5cm，6cm，6、5cm；4cm，7、5cm，8、5cm、（1）这两组数都满足a+b=c吗？（2）画出图形,它们都是直角三角形吗？3、猜想由上面几个例子你发现什么了吗?请以命题的形式说出你的观点!命题2如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形、4、勾股定理的逆命题如果三角形的三边长a、b、c满足a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形、由这个命题你会联想到什么？勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么有a2 + b2 = c2、可以发现：这两个命题题设、结论正好相反、称为互逆命题、定义：若两个命题的题设、结论正好相反，我们就把这样的两个命题叫做互逆命题、如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题、四、例题讲解（精讲）例1：判断由线段、、组成的三角形是不是直角三角形：（1）；（2）、（3）；（4）；五、巩固练习课本P33习题17、2—1、2、教学后记。

17.2 勾股定理逆定理（第1课时）课题: 17.2 勾股定理逆定理（第1课时）教学目标1．知识与能力：应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形. 2．灵活应用勾股定理及逆定理解综合题.进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识.过程与方法：在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度.使学生能归纳总结数学思想方法在题目中应用的规律.情感态度价值观：通过引例问题情境的创设，诱发学生的求知欲，进一步认识数学与生活的密切联系；在解决问题的过程中，培养学生的数学建模能力；发展学生与他人交流、合作的意识。

教学重、难点重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

学情分析八年级学生认知结构、心理特征趋于逐渐成熟时期，是学生由试验几何向推理几何过渡的重要阶段。

这个时期的学生对所学知识有一种急于尝试和运用的冲动，若不能正确引导，则必将对其学习数学的积极性造成伤害。

课前准备利用教学平台多媒体,对本节知识做一些补充，以增大课堂容量，最大限度地激发学生的学习兴趣，优化课堂结构，提高课堂教学效率。

教学过程教师活动学生活动设计意图【活动1】创设情境，导入课题 （1） 我们已经学习了勾股定理，你能叙述吗？ （2） 【实验观察】 实验方法：用一根钉上13个等距离结的细绳子，让同学操作，用钉子钉在第一个结上，再钉在第4个结上，再钉在第8个结上，最后将第十三个结与第一个结钉在一起．然后用角尺量出最大角的度数．（90°），可以发现这个三角形是直角三角形．(3) 提出课题§《18.2.2勾股定理的逆定理》归纳结论：勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

【教师活动】 （1）出示问题 【学生活动】 学生通过思考举手回答及总结得出勾股定理的逆定理。

【媒体使用】（略） 【赏 析】旨在通过复习勾股定理来引入本课时的学习任务——应用勾股定理及逆定理解决有关实际问题。

17．2 勾股定理的逆定理（一）一、教学目的1．体会勾股定理的逆定理得出进程，把握勾股定理的逆定理。

2．探讨勾股定理的逆定理的证明方式。

3．明白得原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

二、重点、难点1．重点：把握勾股定理的逆定理及证明。

2．难点：勾股定理的逆定理的证明。

三、例题的用意分析例1（补充）使学生了解命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系。

例2通过让学生动手操作，画好图形后剪下放到一路观看可否重合，激发学生的爱好和求知欲，锻炼学生的动手操作能力，再通过探讨理论证明方式，使实践上升到理论，提高学生的理性思维。

例3（补充）使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是是直角三角形的一样步骤：①先判定那条边最大。

②别离用代数方式计算出a2+b2和c2的值。

③判定a2+b2和c2是不是相等，假设相等，那么是直角三角形；假设不相等，那么不是直角三角形。

四、课堂引入创设情境：⑴如何判定一个三角形是等腰三角形？⑵如何判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对照，从勾股定理的逆命题进行猜想。

五、例习题分析例1（补充）说出以下命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？⑴同旁内角互补，两条直线平行。

⑵若是两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。

⑶线段垂直平分线上的点到线段两头点的距离相等。

⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。

分析：⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。

⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。

解略。

例2证明：若是三角形的三边长a，b，c知足a2+b2=c2，那么那个三角形是直角三角形。

分析：⑴注意命题证明的格式，第一要依照题意画出图形，然后写已知求证。

⑵如何判定一个三角形是直角三角形，此刻只明白假设有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判定一个角是直角。