高三数学一轮复习精析教案36《等比数列》

等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n ＝q .(2)等比中项：如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.1．在等比数列中易忽视每项与公比都不为0.2．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误． [试一试]1．在1和9之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的和为________．2．(2014·徐州摸底)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝18，S 3＝26，则{a n }的公比q ＝________.1．等比数列的三种判定方法(1)定义：a n ＋1a n＝q (q 是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(2)通项公式：a n ＝cq n －1(c 、q 均是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． 2．等比数列的常见性质(1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(2)若数列{a n }、{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }、⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 、{a 2n }、{a n ·b n}、⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n bn (λ≠0)仍然是等比数列；(3)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k ；(4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ，当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定构成等比数列． 3．求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n 项和的公式中联系着五个量：a 1，q ，n ，a n ，S n ，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a 1与q ，在解题中根据已知条件建立关于a 1与q 的方程或者方程组，是解题的关键．(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必须分类求和，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ；在判断等比数列单调性时，也必须对a 1与q 分类讨论．[练一练]1．(2010·江苏高考)函数y ＝x 2(x >0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．2．已知数列{a n }是公比q ≠±1的等比数列，则在{a n ＋a n ＋1}，{a n ＋1－a n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n ＋1，{na n }这四个数列中，是等比数列的有________个． 答案：3考点一等比数列的基本运算1.(2013·盐城三调)在等比数列{a n }中，若a 2＝－2，a 6＝－32，则a 4＝________.2．(2014·扬州模拟)已知等比数列{a n }中，公比q >1，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则a 2 013＋a 2 014a 2 011＋a 2 012＝________.3．设等比数列{a n}的公比q<1，前n项和为S n，已知a3＝2，S4＝5S2，求{a n}的通项公式．[类题通法]1．对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用．2．在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公比q是否等于1进行判断和讨论．考点二等比数列的判定与证明[典例]已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n＋S n＝n.(1)设c n＝a n－1，求证：{c n}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式．在本例条件下，若数列{b n}满足b1＝a1，b n＝a n－a n－(n≥2), 证明{b n}是等比数列.1证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可． [针对训练]已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝a (a ≠0)，a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n(其中p 为非零常数，n ∈N *)．(1)判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是不是等比数列； (2)求a n .考点三等比数列的性质[典例] (1)(2014·苏州期末)在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7＝－8，则a 2a 8＝________.(2)(2014·盐城二模)若等比数列{a n }满足a m －3＝4且a m a m －4＝a 24(m ∈N *且 m >4)，则a 1a 5的值为________．等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类：①通项公式的变形，②等比中项的变形，③前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． [针对训练]1．(2014·苏北四市调研)已知在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝12，a 3＋a 4＝1，则a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝________.2．(2014·南京二模)已知等比数列{a n }的公比q >0，a 2＝1，a m ＋2＋a m ＋1＝6a m ，则{a n }的前4项和是________．[课堂练通考点]1．(2014·南京学情调研)已知等比数列{a n }的公比q ＝－12，S n 为其前n 项和，则S 4a 4＝________.2．(2014·连云港期末)在正项等比数列{a n }中，a 3a 11＝16，则log 2a 2＋log 2a 12＝________.3．已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1＋2a 2＝3，a 24＝4a 3a 7，则数列{a n }的通项公式为________．4．已知数列{a n }是等比数列，a 1，a 2，a 3依次位于下表中第一行，第二行，第三行中的某一格内，又11。

一．课题：数列综合二．教学目标：系统复习等比数列的概念及有关知识，要求学生能熟练的处理有关问题。

三．教学重、难点：等比数列性质和等比数列前n 项和性质的综合应用；四．教学过程：（一）复习： 等比数列的性质与等差数列比较。

（二）新课讲解：例1． 在公差不为0的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，111a b ==，22a b =，83a b =，（1）求数列{}n a 的公差和数列{}n b 的公比；（2）是否存在,a b 使得对于一切自然数n 都有log n a n a b b =+成立？若存在，求出,a b ；若不存在请说明理由。

解：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，由已知：111a b ==，1d q +=，217d q +=， 解得10q d =⎧⎨=⎩（舍去）或65q d =⎧⎨=⎩， （2）若存在,a b ，使得log n a n a b b =+成立，即11(1)5log 6n a n b -+-⋅=+，∴54(1)log 6a n n b -=-+，∴(5log 6)(4log 6)0a a n b --+-=要使上式对于一切自然数n 成立，必须且只需5log 604log 60a a b -=⎧⎨+-=⎩，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，存在1a b ==使得结论成立。

例2．已知数列{}n a 中13a =对于一切自然数n ，以1,n n a a +为系数的一元二次方程21210n n a x a x +-+=都有实数根αβ，满足(1)(1)2αβ--=，（1）求证：数列1{}3n a -是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）求{}n a 的前n 项和n S ． 解：（1）由题意得：12n n a a αβ++=，1n a αβ⋅=，代入(1)(1)2αβ--=得：1111()323n n a a +-=--，当113n n a a +==时方程无实数根，∴13n a ≠， 由等比数列的定义知：1{}3n a -是以11833a -=为首项，公比为12-的等比数列； （2）由（1）知1181()332n n a --=⨯-， ∴1811()323n n a -=⨯-+， （3）n S 218111[1()()()]32223n n -=+-+-++-+11616()2n =-⨯-． 例3． 已知0a >且1a ≠，数列{}n a 是首项为a ，公比为a 的等比数列，令lg ()n n n b a a n N *=∈， （1）当2a =时，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（2）若数列{}n b 中的每一项总小于它后面的项时，求a 的取值范围。

高考数学第一轮复习第三章 数列第三课时等比数列教案教学目的：理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解决简单的问题．教学重点：等比数列的通项公式及前n 项和公式的的运用。

教学难点：函数与方程思想及等价转化的思想；错位减法的运用。

考点分析及学法指导：等差与等比数列的考察题型即有选择题、填空题，又有解答题；难度即有容易题、中等题，也有难题。

这与每年试卷的结构布局有关。

客观是突出“小而巧”，主观是为“大而全”，着重考察函数与方程、等价转换、分类讨论等重要的数学思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法，加强与函数、方程、不等式等支撑数学笠体系的重点内容的结合，在知识网络交汇点设计命题。

数列的应用题，考察的侧重点是现实客观事的确良数学化。

旨在通过阅读，理解命题的背景材料，运用数学的思想和方法分析题目中多种数量之间的关系，构造数列模型，将现实问题转化为数学问题解决。

资料 教学过程： 一、知识讲解：1．m n m n q a a -=2．若q p n m +=+，m 、n 、p 、q ∈N *，则q p n m a a a a =特别地，当p n m 2=+时，2p n m a a a =3．n n n q qa q a q q a S ⋅---=--=111)1(111(q≠1)，则nn q k k S ⋅-=，其中q 为公比，q ≠0，q ≠1，qa k -=11。

4．若首项1a ＞0，公比q ＞1，或首项1a ＜0，公比0＜q ＜1，则数列为递增数列；若首项1a ＞0，公比0＜q ＜1，或首项1a ＜0，公比q ＞1，则数列为递减数列；公比q ＝1，数列为常数列；公比q ＜0，数列为摆动数列．公比q 不等于零是一大特点．5．在等比数列中，下标成等差数列的项构成等比数列； 6．连续相同个数项的积也构成等比数列；7．在等比数列中{}2n a ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1也成等比数列； 8．若{}n a 为等比数列，则{}n a lg 成等差数列． 二、例题分析 （一）基础知识扫描1．等比数列{}n a 的通项公式为n a =，可推广为 n a =⋅m a ；等比数列前n 项和公式为n S =，其中n ，m ∈N *．2．若等比数列{}n a 中，3021=+a a ，6043=+a a ，则87a a +=. 3．ac b =2是三个数a ，b ，c 成等比数列的() A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，要传遍100万人口的城市，所需的时间大约为( )A ．三个月B ．一个月C ．10天D ．20天 5．给出下面五个命题：①若{}n a 是等比数列，且l k n m +=+，则l k n m a a a a +=+②若{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，则()()n n n n n S S S S S 2322-⋅=-③{}n a 是等比数列的一个充要条件是()1-⋅=nn b a S ，常数a ≠0，b ≠1；④若{}k n 成等差数列，则{}kn a成等比数列，其中a >0，a ≠1；⑤若{}n a 成等差数列，则{}n a lg 成等比数列。

3.3 等比数列【考点及要求】等比数列的定义、等比数列的通项公式、求和公式和等比中项.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式,并能解决简单的实际问题.等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式是解决等比数列的有关计算、论证,等比数列的有关性质的基础和出发点,这类问题往往解法灵活、多变,是高考试题的生长点,选择题、填空题和解答题都可能出现.【要点回放】等比数列 1.定义：q a a nn =+1（常数q 为公比）)(*∈N n （注意隐含条件:0,0n a q ≠≠） 2.通项公式：11-=n n q a a 推广: m n m n q a a -=3.等比中项：如果在a 与b 间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，ab G ±=.)0(>ab .4.前n 项和公式：11(1)(1)(1,0)1n n na q S a q q q q=⎧⎪=-⎨≠≠⎪-⎩且 （易错点:不分类讨论）注意:应用前n 项和公式时,一定要区分11≠=q q 与的两种不同情况,必要的时候要分类讨论. 5.等比数列{}n a 的一些常用性质(1)对于任意正整数s r q p ,,,，如果s r q p +=+，则有s r q p a a a a ⋅=⋅；如果q r p 2=+，则有2q r p a a a =⋅(2)对于任意正整数,1>n 有112+-⋅=n n n a a a(3)对于任意非零实数b ，数列{}n ba 是等比数列，则数列{}n a 是等比数列 (4)已知数列{}n b 是等比数列，则{}n n b a ⋅也是等比数列。

⑸下标成等差数列的项构成等比数列 ⑹连续若干项的和也构成等比数列. 6．证明数列为等比数列的方法:(1)定义法:若{}为等比数列数列n nn a N n q a a ⇔∈=*+)(1(2)等比中项法:若{}为等比数列数列且n n n n n n n a a a a N n a a a ⇔≠∈⋅=++*++)0(21221 (3)通项法:若{}为等比数列数列的常数均是不为n n n a N ，n q c cq a ⇔∈=*)0,( (4)前n 项和法:若{}为等比数列数列且为常数n n n a q q ，q A A Aq S ⇔≠≠-=)1,0,( 7．解决等比数列有关问题的常见思维方法 (1)方程的思想(“知三求二”问题) (2)分类的思想①运用等比数列的求和公式时,需要对11≠=q q 和讨论②{}为递增数列等比数列时或n a q a q a ,10,01,011<<<>> ()1(111-=--+q q a a a n n n ){}为递减数列等比数列时或n a q a q a ,10,01,011<<>>< 【基础训练】1.（江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3 ，前三项和为21，则a 3+ a 4+ a 5= （ C ）( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )1892. 已知等比数列{}n a 中，33a =，10384a =，则该数列的通项公式n a 332n -⋅3.命题甲:211(),2,22x x x -成等比数列，命题乙:lg ,lg(1),lg(3)x x x ++成等差数列，则甲是乙的 必要不充分 条件。

高三第一轮复习《等比数列》教学设计教学目标：1.使学生理解等比数列的概念，掌握其通项公式，并能运用定义及其通项公式解决一些简单的实际问题。

2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系3.用类比的方法研究等比数列 ,使学生对数列建立起一个知识体系,培养用不完全归纳法去发现并解决问题的能力和计算能力,多让学生动手,让学生在解题中,体会成功的快乐教学重点：1.等比数列的通项公式及其推导过程2.等比数列性质的应用教学难点：等比数列的实际应用问题或与其他知识交汇题的题目 教学方法：自主探究、合作学习教学过程：一、知识点的整理:1．等比数列的定义:2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝11-n q a3.等比中项：若xy G =2，那么G 叫做x 与y 的等比中项．4．等比数列的常用性质5．等比数列的前n 项和公式二、典例分析练习 （口答) 性质的应用(1)．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________.(2)．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝________.(3)．在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则公比q 的值是( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3(4)．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和S n ＝3n ＋k ，则实数k ＝________.例1等比数列的基本量的运算（1）已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n（2）在等比数列中，若.14321=a a a a ，816151413=a a a a ，求44434241a a a a 例2等比数列的判定与证明已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1 (n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列；(2)求数列{b n }的通项公式．变式:设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式课堂小结通过本节课的学习，你对等比函数有什么认识？你有什么收获？1.设计意图：等比数列在高中数学中占有很重要的位置.这一节的难点是对公式的理解及灵活应用,如何突破这一难点,就要让学生理解公式的由来和涉及的数学思想,比如累乘法.然后讲一些典型题,易错易漏题.本节课，力图让学生从不同的角度去研究数列，对等比数列进行一个全方位的研究，并通过类比的方法,把研究等差数列的方法迁移过来.本课的教学中我努力实践以下两点：（1）.在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式.（2）.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法.（3）.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法.教学流程：2.预期目标完成：本节课无论是等比数列的概念还是通项公式的推导及其应用，还是例题练习，都是通过学生的自主探究或学生交流或师生交流的方式进行教学。

第29讲等比数列一．【课标要求】1．通过实例，理解等比数列的概念；2．探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式；3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。

体会等比数列与指数函数的关系二．【命题走向】等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位，是高考出题的重点。

客观性的试题考察等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基本的运算要求比较高，解答题大多以数列知识为工具预测2010年高考对本讲的考察为：（1）题型以等比数列的公式、性质的灵活应用为主的1~2道客观题目；（2）关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题的解答题也是重点；（3）解决问题时注意数学思想的应用，象通过逆推思想、函数与方程、归纳猜想、等价转化、分类讨论等，它将能灵活考察考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力三．【要点精讲】1．等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起．．，那么这．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：：数列对于数列（1）（2）（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，5，。

（注意：“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零）2．等比数列通项公式为：。

说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则。

3．等比中项如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）4．等比数列前n项和公式一般地，设等比数列的前n项和是，当时，或；当q=1时，（错位相减法）。

说明：（1）和各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况。

四．【典例解析】题型1：等比数列的概念例1．“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为的等比数列一定是递减数列”；“a,b,c三数成等比数列的充要条件是b2=ac”；“a,b,c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c”，以上四个命题中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解析：四个命题中只有最后一个是真命题。

第三讲 等比数列及其前n 项和A 组基础巩固一、单选题1．在等比数列{a n }中，a 1＝12，q ＝12，a n ＝132，则项数n 为( C )A ．3B ．4C ．5D ．6[解析] a n ＝132＝a 1q n －1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴n ＝5，故选C.2．(2021·陕西西安中学六模)已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2a 6＝4，且a 4＋2a 7＝52，则S 5＝( C )A ．29B ．30C ．31D ．32[解析] 本题考查等比数列性质及基本量的运算．∵a 2a 6＝a 24＝4，且a n >0，∴a 4＝2.又a 4＋2a 7＝52，∴a 7＝14.设{a n }的公比为q ，则a 7a 4＝q 3＝18，q ＝12，∴a n ＝a 4⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －4＝25－n ，∴S 5＝16＋8＋4＋2＋1＝31.3．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( B ) A ．152B ．314C ．334D ．172[解析] 设数列{a n }的公比为q ，则显然q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 11－q 31－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，q ＝－13(舍去)，∴S 5＝a 11－q 51－q＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝314.4．(2021·全国甲理)等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .设甲：q >0，乙：{S n }是递增数列，则( B )A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件[解析] 当q ＝1，a 1<0时，等比数列{a n }的前n 项和S n ＝na 1<0，可知{S n }是单调递减数列，因此甲不是乙的充分条件；若{S n }是递增数列，则当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1>0，即a 1qn －1>0恒成立，而只有当a 1>0，q >0时，a 1q n －1>0恒成立，所以可得q >0，因此甲是乙的必要条件．综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件．故选B.5．(2021·深圳一模)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·3n －1＋b ，则a b＝( A )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[解析] 解法一：a 1＝a ＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a ·3n －2，又∵{a n }是等比数列，∴a ＋b ＝2a ·31－2，∴a b＝－3.故选A.解法二：a 1＝a ＋b ，a 2＝2a ，a 3＝6a . 又∵{a n }是等比数列， ∴a 2a 1＝a 3a 2，∴2a a ＋b ＝6a 2a， ∴a ＝－3b ，∴a b＝－3，故选A.6．(2022·广东惠州一中月考)已知数列{a n }是等比数列，且a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( C )A ．16(1－4－n) B ．16(1－2－n) C ．323(1－4－n)D ．323(1－2－n )[解析] 因为等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝14，所以a 5a 2＝q 3＝18，所以q ＝12.由等比数列的性质，易知数列{a n a n ＋1}为等比数列，其首项为a 1a 2＝8，公比为q 2＝14，所以要求的a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1为数列{a n a n ＋1}的前n 项和．由等比数列的前n 项和公式得a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝323(1－4－n)．故选C.二、多选题7．(2021·辽宁大连八中模拟改编)记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝6，则S 4＝( AC )A ．－10B ．－8C ．8D ．10[解析] 设等比数列的公比为q ，因为a 1＝2，S 3＝6，所以S 3＝2＋2q ＋2q 2＝6，则q 2＋q －2＝0，所以q ＝1或q ＝－2.当q ＝1时，S 4＝S 3＋2＝8；当q ＝－2时，S 4＝S 3＋a 1q 3＝6＋2×(－2)3＝－10，故选A 、C.8．(2021·山西大同期中改编)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a 升，b 升，c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是( BD )A ．a ＝507B ．c ＝507C ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列D ．a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列[解析] 由题意得a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且c ＋2c ＋4c ＝50，即c ＝507，故选B 、D.三、填空题9．(2021·四川南充一诊)数列{a n }满足：log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，若a 3＝10，则a 8＝ 320 . [解析] 由题意知log 2a n ＋1＝log 2(2a n )，∴a n ＋1＝2a n ，∴{a n }是公比为2的等比数列，又a 3＝10，∴a 8＝a 3·25＝320.10．(2021·北京东城区期末)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 2＋2a 3＝6，则公比q ＝ 12 ，S 4＝454. [解析] 本题考查等比数列的通项公式、前n 项和公式．由题意，数列{a n }是各项均为正数的等比数列，由a 1＝6，a 2＋2a 3＝6，可得a 1q ＋2a 1q 2＝6q ＋12q 2＝6，即2q 2＋q －1＝0，解得q ＝12或q ＝－1(舍去)．由等比数列的前n 项和公式，可得S 4＝6×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1241－12＝454.11．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝ 32 .[解析] 由题意知S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝74，a 4＋a 5＋a 6＝S 6－S 3＝634－74＝14＝74·q 3，∴q ＝2.又a 1＋2a 1＋4a 1＝74，∴a 1＝14，∴a 8＝14×27＝32.12．(2021·长春市高三一检)等比数列{a n }的首项为a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝ －12.[解析] 由S 10S 5＝3132，a 1＝－1，知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，所以q ＝－12.四、解答题13．(2021·陕西榆林一模)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a n n. (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式． [解析] (1)由条件可得a n ＋1＝2n ＋1na n ， 将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下： 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ， 又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.14．(2021·安徽联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4.(1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n .[解析] (1)证明：由题意知S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)， 即S n ＝2S n －1－n ＋4，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2]， 又易知a 1＝3，所以S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列． (2)由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n ＝41－2n1－2＋n n ＋12－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82.B 组能力提升1．(2021·安徽六安一中调研)已知1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2的值是( C ) A ．52或－52 B ．－52C ．52D ．12[解析] 由题意得a 1＋a 2＝5，b 22＝4，又b 2与第一项的符号相同，所以b 2＝2.所以a 1＋a 2b 2＝52.故选C. 2．(多选题)(2021·海南海口模拟)已知正项等比数列{a n }满足a 1＝2，a 4＝2a 2＋a 3.若设其公比为q ，前n 项和为S n ，则下面结论不正确的是( C 、D )A ．q ＝2B ．a n ＝2nC ．S 10＝2 047D ．a n ＋a n ＋1>a n ＋2[解析] 本题考查等比数列基本量的计算．因为a 1＝2，a 4＝2a 2＋a 3，公比为q ，所以2q 3＝4q ＋2q 2，得q 2－q －2＝0，解得q ＝2(负值舍去)，故A 正确；a n ＝2×2n －1＝2n，故B 正确；S n ＝2×2n －12－1＝2n ＋1－2，所以S 10＝2 046，故C 错误；a n ＋a n ＋1＝2n ＋2×2n＝3a n ，而a n ＋2＝4a n >3a n ，故D 错误．故选C 、D.3．《张丘建算经》中“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．问日行几何？”意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里路，问每天走的里数为多少？”则该匹马第一天走的里数为( B )A ．128127B ．44 800127C ．700127D ．17532[解析] 由题意知每日所走的路程成等比数列{a n }，且公比q ＝12，S 7＝700，由等比数列的求和公式得a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1271－12＝700，解得a 1＝44 800127.故选B. 4．(2022·南昌模拟)在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＋a 3a n －2＝256，且前n 项和S n ＝126，则n ＝( C )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 因为数列{a n }是等比数列，所以a 2a n －1＝a 3a n －2＝a 1a n ，又因为a 2a n －1＋a 3a n －2＝256，所以a 1a n ＝128，又因为a 1＋a n ＝66.所以a 1＝2，a n ＝64或a 1＝64，a n ＝2.因为S n ＝a 1－a n q1－q，且S n ＝126，所以若a 1＝2，a n ＝64，则2－64q 1－q ＝126，得q ＝2.此时a n ＝2×2n －1＝2n＝64，n＝6；若a 1＝64，a n ＝2，则64－2q 1－q ＝126，得q ＝12，此时a n ＝64×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝2，得n ＝6.综上知，n ＝6.5．设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝4，a 3－a 1＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{log 3a n }的前n 项和．若S m ＋S m ＋1＝S m ＋3，求m . [解析] (1)设{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1qn －1.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝4，a 1q 2－a 1＝8，解得a 1＝1，q ＝3.所以{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)知log 3a n ＝n －1. 故S n ＝n n －12.由S m ＋S m ＋1＝S m ＋3得m (m －1)＋(m ＋1)m ＝(m ＋3)(m ＋2)，即m 2－5m －6＝0.解得m ＝－1(舍去)或m ＝6.。

第3课时 等比数列及其前n 项和1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式．3．能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等比数列与指数函数的关系．『梳理自测』一、等比数列的概念1．(教材改编)在等比数列{a n }中，如果公比q ＜1，那么等比数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．无法确定数列的增减性 2．(教材改编)等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．323．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2D .12『答案』1.D 2.C 3.D◆以上题目主要考查了以下内容： (1)等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示． (2)等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1． (3)等比中项若a ，G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 二、等比数列性质及前n 项和公式1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( ) A ．63 B ．64 C ．127 D ．1282．(课本精选题)在等比数列{a n }中，a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，则a 3＋a 5的值为________．『答案』1.C 2.5◆以上题目主要考查了以下内容： 等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m，(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n ．(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n bn 仍是等比数列．(4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， (5)当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q．『指点迷津』1．一个常数等比数列a na n －1＝q (q ≠0)是一个不变常数．2．三种防范(1)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.(2)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误．(3)任何两个数不一定有等比中项G 2＝a b ＞0(a 、b 同号)如－1、1之间无等比中项．(4)两个数之间可能有一个或者两个． 如：2、3之间等比中项可为6、－6(之一或之二)．考向一 等比数列基本量的计算(1)(2013·高考全国新课标卷)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )A .13B ．－13C .19D ．－19(2)(2014·荆州市高三质检)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5＝2a m ，则m ＝________．『审题视点』 建立关于a 1和q 的方程(组)求所需要的量．『典例精讲』(1)设公比为q ，∵S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，a 1q 4＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝9a 1，a 1q 4＝9，解得a 1＝19，故选C .(2)设数列{a n }的公比为q ，S 9－S 3＝S 6－S 9，显然q ≠1，∴a 4（q 6－1）q －1＝－a 4q 3（q 3－1）q －1，∴q 3＝－12，∴q ＝3－12，又a 2＋a 5＝2a m ，则a 2(1＋q 3)＝2a 2q m －2，即12＝(－1)m －23·(12)m －53，∴m ＝8.『答案』 (1)C (2)8『类题通法』 (1)等比数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，q ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和q 是等比数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．1．(2014·辽宁鞍山质检)数列{a n }的前n 项之和为S n ，S n ＝1－23a n ，则a n ＝________．『解析』n ＝1时，a 1＝S 1＝1－23a 1，得a 1＝35，n ≥2时，S n ＝1－23a n ，S n －1＝1－23a n －1.两式相减得a n ＝23a n －1－23a n ，即53a n ＝23a n －1，a n a n －1＝25.所以{a n }是等比数列，首项为a 1＝35，公比为25，所以a n ＝35·⎝⎛⎭⎫25n －1.『答案』35·⎝⎛⎭⎫25n －1考向二 等比数列的判定或证明(2014·长安模拟)已知数列{a n }中，a 1＝23，a 2＝89.当n ≥2时，3a n ＋1＝4a n －a n －1(n ∈N *)．(1)证明：{a n ＋1－a n }为等比数列； (2)求数列{a n }的通项．『审题视点』 构造a n ＋1－a n 与a n －a n －1的关系用累加法求a n . 『典例精讲』 (1)证明：数列{a n }中a 1＝23，a 2＝89，当n ≥2时，3a n ＋1＝4a n －a n －1(n ∈N *)． ∴当n ≥2时，3a n ＋1－3a n ＝a n －a n －1，即a n ＋1－a n ＝13(a n －a n －1)．∴{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝29为首项，以13为公比的等比数列．(2)由(1)知a n ＋1－a n ＝29⎝⎛⎭⎫13n －1，故a n －a n －1＝29⎝⎛⎭⎫13n －2，a n －1－a n －2＝29⎝⎛⎭⎫13n －3，…a 2－a 1＝29⎝⎛⎭⎫130，累加得a n －a 1＝13－⎝⎛⎭⎫13n，∴a n ＝23＋13－⎝⎛⎭⎫13n即a n ＝1－⎝⎛⎭⎫13n.『类题通法』 等比数列的判定方法：(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2)，则{a n }是等比数列．(2)中项公式法：若数列{a n }中a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均为不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0，1)，则{a n }是等比数列．2．(2013·湖南衡阳市六校联考)已知数列{a n }的满足条件：a 1＝t ，a n ＋1＝2a n ＋1. (1)判断数列{a n ＋1}是否为等比数列；(2)若t ＝1，令c n ＝2n a n a n ＋1，记T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ，证明：①c n ＝1a n －1a n ＋1；②T n ＜1.『解析』(1)由题意得a n ＋1＋1＝2a n ＋2＝2(a n ＋1)，又a 1＋1＝t ＋1，所以，当t ＝－1时，{a n ＋1}不是等比数列， 当t≠－1时，{a n ＋1}是以t ＋1为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知a n ＝2n －1，①c n ＝2n a n a n ＋1＝2n （2n －1）（2n ＋1－1）＝12n －1－12n ＋1－1＝1a n －1a n ＋1. ②T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－17＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1＜1.考向三 等比数列的性质及应用(1)(2014·辽宁沈阳一模)已知各项不为0的等差数列{a n }满足2a 2－a 27＋2a 12＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 3b 11等于( ) A ．16 B ．8 C ．4 D ．2(2)(2013·江西临川模拟)在等比数列中，已知a 1a 38a 15＝243，则a 39a 11的值为()A ．3B ．9C ．27D ．81『审题视点』 利用等比数列的性质或等比中项求解．『典例精讲』 (1)由等差数列性质得a 2＋a 12＝2a 7，所以4a 7－a 27＝0，又a 7≠0，所以a 7＝4，b 7＝4，由等比数列性质得b 3b 11＝b 27＝16，故选A .(2)a 1a 38a 15＝243，∴a 8＝3，又∵a 39a 11＝（a 8q ）3a 8q 3＝a 28，∴a 39a 11＝9.故选B .『答案』 (1)A (2)B『类题通法』 求解数列问题，利用其性质可使求解过程简单．等比中项是数列“脚码和”性质的特例．涉及到等比数列的“两项积”时，可考虑此性质的应用．3．(1)(2014·成都模拟)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n )C .323(1－4－n )D .323(1－2－n )『解析』∵a 2＝2，a 5＝14，∴a 1＝4，q ＝12.a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝323(1－4－n )．『答案』C(2)已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－n x ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则mn 的值为________．『解析』设a ，b ，c ，d 是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－n x ＋2)＝0的四个根，不妨设a ＜c ＜d ＜b ，则a ·b ＝c·d ＝2，a ＝12，故b ＝4，根据等比数列的性质，得到：c ＝1，d ＝2，则m ＝a ＋b ＝92，n ＝c ＋d ＝3，或m ＝c ＋d ＝3，n ＝a ＋b ＝92，则m n ＝32或m n ＝23. 『答案』32或23等差、等比数列综合问题的规范答题(2013·高考全国新课标)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列． (1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.『审题视点』 (1)先设出公差d ，根据已知条件求出公差，可得出通项公式；(2)所求的和构成了一个新的数列，求出该数列的首项和公差，运用数列的前n 项和公式求解． 『思维流程』依等差数列设未知量，依等比数列建立等式关系． 求d ，求通项．判断{a 3n －2}为等差数列． 依据公式求和．『规范解答』 (1)设{a n }的公差为d ，由题意得a 211＝a 1a 13， 即(a 1＋10d)2＝a 1(a 1＋12d)．于是d(2a 1＋25d)＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2.故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .『规范建议』 ①本题求等差数列a n ，就设等差数列中的未知量，用等比数列建立关于d 的方程，分清两个使用层次．②在第二问中，必须指明数列a 1，a 4，a 7，…，a 3n －2所具有的特点．1．(2013·高考全国大纲卷)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( ) A ．－6(1－3－10) B .19(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)『解析』选C .先根据等比数列的定义判断数列{a n }是等比数列，得到首项与公比，再代入等比数列前n 项和公式计算．由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋1a n ＝－13，故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列．又a 2＝－43，可得a 1＝4.所以S 10＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13101－⎝⎛⎭⎫－13＝3(1－3－10)．2．(2013·高考福建卷)已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m(n －1)＋1＋a m(n －1)＋2＋…＋a m(n －1)＋m ，c n ＝a m(n －1)＋1·a m(n －1)＋2·…·a m(n －1)＋m (m ，n ∈N*)，则以下结论一定正确的是()A ．数列{b n }为等差数列，公差为q mB ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2mC ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m『解析』选C.计算出b n ，c n ，并结合等差、等比数列的概念判定数列的类型． b n ＝a 1qm (n －1)＋a 1qm (n －1)＋1＋…＋a 1qm (n －1)＋m －1＝a 1qm (n －1)(1＋q ＋…＋qm －1)＝a 1qm (n －1)·1－q m1－q， ∴b n ＋1b n ＝a 1q mn·1－q m1－q a 1q m （n －1）·1－qm 1－q ＝q m ， ∴{b n }是等比数列，公比为q m . c n ＝a 1q m (n－1)·a 1q m (n－1)＋1·…·a 1q m (n－1)＋m －1＝a m 1qm 2(n －1)＋m （m －1）2， ∴c n ＋1c n ＝a m 1qm2（n ＋1－1）＋m （m －1）2a m 1qm 2（n －1）＋m （m －1）2＝qm 2. ∴{c n }是等比数列，公比为qm 2.3．(2013·高考北京卷)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________．『解析』设出等比数列的公比，利用已知条件建立关于公比的方程求出公比，再利用前n 项和公式求S n .设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则：由a 2＋a 4＝20得a 1q (1＋q 2)＝20.① 由a 3＋a 5＝40得a 1q 2(1＋q 2)＝40.②由①②解得q ＝2，a 1＝2.故S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2.『答案』2 2n ＋1－24．(2013·高考广东卷)设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．『解析』由首项和公比写出等比数列的前4项，然后代入代数式a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|求值．也可以构造新数列，利用其前n 项和公式求解．方法一：a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3|＝15.方法二：因为a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|，数列{|a n |}是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为1－241－2＝15.『答案』15。