云南省弥勒市第一中学2019-2020学年高二下学期第三次月考数学周练1含答案

弥勒一中高二年级下学期理数月考41.(1小题共1分)集合A={y∣y=√x,0≤x≤4}，B={x|0<x<3}，那么(∁R A)∩B=〔〕A.[0，2]B.[-2，2)C.(-2，3)D.(2，3)2.(1小题共1分)复数z满足z(1+i)=(3+i)2，那么|z|=〔〕A.√2B.√5C.5√23.(1小题共1分)随机变量ξ＋η=8，假设ξ～B(10，0.4)，那么E(η)，D(η)分别是〔〕4.(1小题共1分)华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理〞、“华氏不等式〞、“华王方法〞等他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法〞和“统筹法〞.“优选法〞，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法〞提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性那么全部放行；假设为阳性，那么对该16人再次抽检确认感染者某组16人中恰有一人感染〔鼻咽拭子样本检验将会是阳性〕，假设逐一检测可能需要15次才能确认感染者现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，假设为阴性那么认定在另一组；假设为阳性，那么认定在本组继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过〔〕次检测5.(1小题共1分)双曲线x2a2−y25=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，那么该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于〔〕A.√5D.4√26.(1小题共1分)设向量a→，b→满足|a→+2b→|=5，|a→−2b→|=3，那么a→⋅b→=〔〕7.p→=(a+c,b)，q→=(b−a,c−a)，假设p→//q→，那么C等于〔〕A.π6B.π3C.π2D.2π38.(1小题共1分)在?九章算术?中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖〔biē nào〕。

弥勒一中高二年级文数月考3一、选择题1. 设集合A ={0，1，2，4}，{14}B x Rx =∈<≤∣，则A ∩B =（ ） A. {1，2，3，4} B. {2，3，4} C. {2，4} D. B ={x |1<x ≤4} 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用交集的定义运算即得解. 【详解】由题得{}{}0,1,2,4{14}24A B x x =<=∣,.故选：C【点睛】本题主要考查集合的交集运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 2. 若复数z=的共轭复数是=a+bi （a ，b ∈R ），其中i 为虚数单位，则点（a ，b ）为（ ）A. （﹣1.2）B. （﹣2，1）C. （1，﹣2）D. （2，﹣1）【答案】B 【解析】试题分析：利用复数的除法的运算法则化简求解即可． 解：复数z===﹣2﹣i ，∴=﹣2+i ，点（a ，b ）为（﹣2，1）．故选B ．考点：复数的代数表示法及其几何意义． 3. 若12cos 13x =，且x 为第四象限的角，则tanx 的值等于（ ） A.125B. －125C. 512D. －512【答案】D 【解析】试题分析：∵x为第四象限的角，5sin 13x ∴==-，于是5513tan 121213x -==-，故选D ．考点：商数关系．4. 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A.13B.12C.23D.34【答案】A 【解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=3193=选A 5. 已知函数()1020x e x f x x x -⎧-≤=⎨->⎩，，，若()1f a =-，则实数a 的值为（ ）A. 2B. ±1C. 1D. -1【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数，分0a ≤和0a >讨论求解.【详解】当0a 时，11a e --=-，解得1a =，舍去； 当0a >时，21a -=-，解得1a =, 综上：实数a 的值为1. 故选：C【点睛】本题主要考查分段函数的应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于基础题.6. “01m ≤≤”是“函数()cos 1f x x m =+-有零点”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 试题分析：()0cos 1f x x m =⇒=-，由01m ≤≤，得011m ≤-≤，且1cos 1x -≤≤，所以函数()cos 1f x x m =+-有零点．反之，函数()cos 1f x x m =+-有零点，只需|1|1m -≤⇒02m ≤≤，故选A ．考点：充分必要条件．7. 将某正方体工件进行切削，把它加工成一个体积尽可能大的新工件，新工件的三视图如图1所示，则原工件材料的利用率为〔材料的利用率=新工件的体积原工件的体积〕（ ）A.78B.67C.56D.45【答案】C 【解析】【详解】试题分析：如图，不妨设正方体的棱长为1，则切削部分为三棱锥111A A B D -，其体积为16，又正方体的体积为1，则剩余部分（新工件）的体积为56，故选C ．考点：三视图．8. 已知m ，n ，m ＋n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则抛物线2mx ny =的焦点坐标是（ ）A. 102⎛⎫ ⎪⎝⎭， B. 102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C. 104⎛⎫ ⎪⎝⎭，D. 104⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件得m 和n 的值，从而得到抛物线的方程，即得到焦点坐标. 【详解】已知m ，n ，m ＋n 成等差数列得2n =m +m +n ， m ，n ，mn 成等比数列得2·n m mn =，解得m =2，n =4， 故抛物线为22x y =，其焦点坐标为102⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 故选：A【点睛】本题考查等差数列的基本概念与性质、等比数列的基本概念与性质和抛物线的简单几何性质，属于基础题.9. 在ABC ∆中，,2,1,,AB AC AB AC AB AC E F +=-==为BC 的三等分点，则·AE AF =( )A.89B.109C.259D.269【答案】B 【解析】试题分析：因为AB AC AB AC +=-，所以AB AC ⊥，以点A 为坐标原点，,AB AC 分别为,x y 轴建立直角坐标系，设()()2,00,1AB AC ==，，又E F ，为BC 的三等分点所以，4122,,,3333AE AF ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以412210,,33339AE AF ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B.考点：平面向量的数量积.【一题多解】若AB AC AB AC +=-，则222222AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅=+-⋅，即有0AB AC ⋅=，,E F 为BC 边的三等分点，则()()1133AE AF AC CE AB BF AC CB AB BC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21123333AC AB AC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22225210(14)099999AC AB AB AC =++⋅=++=,故选B ． 10. 等比数列{}n a 中，1824a a ==，，函数()()()()128f x x x a x a x a =---，则()0f '=（ ）A. 62B. 92C. 122D. 152 【答案】C 【解析】 【分析】由()f x 可得()f x '的表达式，可得()0f '的表达式，利用等比数列的性质可得答案. 【详解】解：由题意，记()()()()128g x x a x a x a =---，则()()()()()f x xg x f x g x xg x ==+''，，故()()()41212818002f g a a a a a '====.故选：C .【分析】本题主要考查等比数列的性质，函数导数的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力.11. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图2，在鳖臑PABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且AP=AC=1，过A 点分别作AE ⊥ PB 于E 、AF ⊥PC 于F ，连接EF 当△AEF 的面积最大时，tan ∠BPC 的值是（ ）A.2B.22C.3 D.33【答案】B 【解析】试题分析：显然BC PAB ⊥平面，则BC AE ⊥，又PB AE ⊥，则AE PBC ⊥平面，于是AE EF ⊥，AE PC ⊥且，结合条件AF PC ⊥得PC AEF ⊥平面，所以AEF 、PEF均为直角三角形，由已知得22AF =，而2221111()()2448AEFSAE EF AE EF AF =⨯≤+==，当且仅当AE EF =时，取“=”，所以，当12AE EF ==时，AEF 的面积最大，此时122tan 222EF BPC PF ∠===，故选B ． 考点：基本不等式、三角形面积． 12. 设2222222211111111111112233420202021S =+++++++++[S]表示不大于S 的最大整数(例如：[2.34]=2，[-π]=-4)则[S]等于（ ） A. 2019 B. 2020C. 2021D. 2022【答案】B 【解析】 【分析】()2221111111(1)11n n n n n n n n ++⎛⎫++==+- ⎪+++⎝⎭，利用裂项相消法求解.【详解】因()()()22222222211111111(1)(1)11n n n n n n n n n n n n n n ++++++⎛⎫++===+- ⎪++++⎝⎭， 所以111111111120211223202020212021S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以[]2020S =. 故选：B【点睛】本题主要考查裂项相消法求和，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.二、填空题13. 如图，这是一个把k 进制数a （共有n 位）化为十进制数b 的程序框图，执行该程序框图，若输人的k ，a ，n 分别为2，110011，6，则输出的b ＝ ．【答案】51 【解析】试题分析：依程序框图得01234512120202121251b =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 考点：程序框图．14. 设实数x，y满足2025020x yx yy--≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩则u＝y xx y-的取值范围是________．【答案】[－83，32]【解析】【详解】试题分析：令ytx=，作出可行域，可知t可视为(),x y，()0,0连线的斜率，1,23t⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且1u tt=-为关于t的增函数，所以83,32u⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.考点：1.线性规划；2.函数的单调性.【方法点晴】本题主要考查学生的是线性规划的基本知识和复合函数的单调性的应用,属于基础题目.首先要画出约束条件的可行域,画图时注意观察题中不等式的端点是否有等号,画出的直线有实虚之分,再求出可行域中各交点坐标,根据目标函数的集合意义,先求出斜率的取值范围,代入函数中转化为单调函数的定义域,从中求出值域.15. 若函数()3211232f x x x ax=-++在23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上存在单调递增区间，则a的取值范围是_________.【答案】19⎛⎫-+∞⎪⎝⎭，【解析】【分析】先对函数求导，将问题转化为存在23x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，，使()0f x '>成立，只需使()max 0f x '>即可；进而可求出结果.【详解】由()3211232f x x x ax =-++得()22112224f x x x a x a ⎛⎫'=-++=--++ ⎪⎝⎭， 为使函数()3211232f x x x ax =-++在23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上存在单调递增区间， 只需存在23x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，，使()0f x '>成立， 即只需()max 0f x '>即可；当23x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，时，()f x '显然单调递减， 所以()f x '的最大值为()max 22239f x f a ⎛⎫'==+⎪⎝'⎭， 由222039f a ⎛⎫=+> ⎪'⎝⎭，解得19a >-， 所以a 的取值范围是19⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，. 故答案为：19⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，. 【点睛】本题主要考查由函数存在增区间求参数，根据导数的方法求解即可，属于常考题型.16. 设椭圆2222 x y E :1(a b 0)a b+=>>的右顶点为A 、右焦点为,F B 为椭圆E 在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC ，则椭圆E 的离心率是______． 【答案】13【解析】试题分析：如图，设AC 中点为M ，连接OM ，则OM 为ABC 的中位线，于是OFM AFB ∽，且12OFFA =，即1123c c a c a =⇒=-．考点：椭圆的离心率．三、解答题17. 已知数列{}n a 的首项11a =，()*142nn n a a n N a +=∈+，（1）证明：数列112n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列：（2）设1n nb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）证明见解析；（2）1122n n-+. 【解析】 【分析】（1）根据递推公式，得到11211442n n n n a a a a ++==+，推出111111222n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即可证明数列是等比数列； （2）先由（1）求出11122n n a =+，即1122n n b =+，再由分组求和的方法，即可求出数列的和.【详解】（1）证明：142n n n a a a +=+，12111442n n n na a a a ++∴==+，111111222n n a a +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭， 又11a =，111122a ∴-=，所以数列112n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，以12为公比的等比数列；（2）由（1）知1111112222n n n a -⎛⎫-=⋅=⎪⎝⎭， 11122n n a =+，11122n n n b a ∴==+ 所以231111111122222222n n S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭211111112211222222212n n n n nn ⎛⎫-⎪⎛⎫⎝⎭=++++=-=-+ ⎪⎝⎭-.【点睛】本题主要考查由递推关系证明数列是等比数列，考查求数列的和，熟记等比数列的概念，等比数列的通项公式与求和公式，以及分组求和的方法即可，属于常考题型. 18. 某校为了解高三年级不同性别的学生对取消艺术课的态度(支持或反对)，进行了如下的调查研究.全年级共有1350人，男女比例为8∶7，现按分层抽样方法抽取若干名学生，每人被抽到的概率均为19，通过对被抽取学生的问卷调查，得到如下2×2列联表：（1）完成列联表，并判断能否有99.9%的把握认为态度与性别有关？（2）若某班有3名男生被抽到，其中1人支持，2人反对；有2名女生被抽到，其中1人支持，1反对，现从这5人中随机抽到一男一女进一步调查原因，求其中恰有一人支持一人反对的概率.参考公式及临界值表：()()()()22()n ad bc K a c b d a b c d -=++++【答案】（1）填表见解析；没有；（2）12. 【解析】 【分析】（1）根据全年级共有1350人，分层抽样方法抽取若干名学生，每人被抽到的概率均为19，得到抽到的人数，再根据男女比例为8∶7，得到男生数和女生数，结合原有的数据完成列联表.利用列联表中的数据求得2K 的值，然后再与临界值表对照下结论.（2）这是古典概型，先列举出随机抽取一男一女所有可能的情况，再找出恰有一人支持一人反对的可能情况，代入公式求解.【详解】（1）因为全年级共有1350人，分层抽样方法抽取若干名学生，每人被抽到的概率均为19， 所以，抽到的人数是150人，又男女比例为8∶7， 所以男生80人，女生70人， 列联表如下： 支持 反对 总计 男生 30 50 80 女生 45 25 70 总计 7575150因为22150(30255045)10.71410.82880707575K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有99.9%的把握认为态度与性别有关.（2）记3名男生为123A a a ，，，其中A 为支持，23a a ，为反对，记2名女生为12B b ，，其中1B 为支持，2b 为反对，随机抽取一男一女所有可能的情况有6种，分别为()()()()()()111221223132A B A b a B a b a B a b ，，，，，，，，，，，，其中恰有一人支持一人反对的可能情况有3种， 所以恰有一人支持一人反对的概率为12P =. 【点睛】本题主要考查分层抽样、独立性检验和古典概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19. 如图，在三棱锥S -ABC 中，ABC 是边长为2的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，2SA SC ==，M 为AB 中点.（1）证明：AC ⊥SB ；（2）求点C 到平面SAB 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2221. 【解析】 【分析】（1）证明AC ⊥平面SDB ，AC ⊥SB 即得证；（2）设点C 到平面SAB 的距离为h ，利用C SAB S ABC V V --=得1133SABABCS h S SD ⋅=⋅，计算即得解.【详解】（1）证明：如图，取AC 的中点D ，连接DS ，DB.因为SA =SC ，BA =BC ，所以AC ⊥DS ，且AC ⊥DB ，DS ∩DB =D ，,DS DB ⊂平面SDB ， 所以AC ⊥平面SDB ，又SB ⊂平面SDB ， 所以AC ⊥SB.（2）因为SD ⊥AC ，平面SAC ⊥平面ABC ， 所以SD ⊥平面ABC.所以在Rt SDB 中，SD =1，3DB =∴SB =2，∴SAB 的等腰三角形，222121147322223222224SABABCS S ∆⎛⎫∴=-=⨯=== ⎪ ⎪⎝⎭设点C 到平面SAB 的距离为h ， 则由C SAB S ABC V V --=得1133SABABCS h S SD ⋅=⋅所以322177ABCSABSSDh S⋅===. 【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查点到平面距离的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 经过点M （0，1），且与椭圆C 交于A ，B 两点，若2AM MB =，求直线l 的方程．【答案】（1）22143x y +=；（2）220x y +=﹣或220x y +=﹣ 【解析】【详解】试题分析：（1）根据椭圆的焦距为2，离心率为12，求出a ，b ，即可求椭圆C 的方程；（2）设直线l 方程为1y kx =+，代入椭圆方程，由2AM MB =得122x x =-，利用韦达定理，化简可得222843434k k k ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，求出k ，即可求直线l 的方程. 试题解析：（1）设椭圆方程为()222210,0x y a b a b+=>>，因为11,2c c a ==，所以2,a b == ，所求椭圆方程为22143x y +=.（2）由题得直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y=kx+1，则由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2234880k x kx ++=（）﹣，且0＞．设()()1122,,,A x y B x y ，则由2AM MB =得122x x =﹣，又122122834834k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，所以222228348234k x k x k ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪-=-⎪+⎩消去2x 得222843434k k k ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，解得214k =，12k =±，所以直线l 的方程为112y x =±+，即220xy +=﹣或220x y +=﹣. 21. 已知f (x )=ln x -x +a +1.（1）若存在x ∈(0，+∞)使得f (x )≥0成立，求a 的取值范围； （2）求证：当x >1时，在（1）的条件下，211ln 22x ax a x x +->+成立. 【答案】（1）[0，＋∞)；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）分离参数得ln 1a x x ≥-+-，令()ln 1g x x x =-+-，利用导数求出()g x 的最小值即可得结果；（2）将原不等式进行转化，令()211ln 22G x x ax x x a =+---，将导数和（1）相结合，根据导数与单调性的关系得()()1G x G ≥进而得证. 【详解】（1）()ln 1(0)f x x x a x =-++>.原题即为存在x 使得ln 10x x a -++≥，∴ln 1a x x ≥-+-， 令()ln 1g x x x =-+-，()111x g x x x-'=-+=. 令()0g x '=，解得x =1.∵当0<x <1时，()0g x '<，∴g (x )为减函数， 当x >1时，()0g x '>，∴g (x )为增函数，()()min 10g x g ∴==，()10a g ∴=.∴a 的取值范围为[0，＋∞).（2）证明：原不等式可化为211ln 0(10)22x ax x x a x a +--->>，. 令()211ln 22G x x ax x x a =+---，则G （1）=0.由（1）可知ln 10x x -->，则()ln 1ln 10G x x a x x x '=+--≥-->，∴G (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴G (x )≥G （1）=0成立， ∴211ln 22x ax a x x +->+成立. 【点睛】本题主要考查了利用导数解决恒成立问题，利用导数证明不等式，熟练掌握导数与单调性的关系是解题的关键，属于较难题.22. 将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 【答案】（1）cos {2sin x t y t ＝＝ （t 为参数）；（2） 34sin 2cos ρθθ=-.【解析】试题分析：（1）设11(,)x y 为圆上的点，在曲线C 上任意取一点（x ，y ），再根据11{2x x y y ==，由于点11(,)x y 在圆221x y +=上，求出C 的方程，化为参数方程．（2）解方程组求得12P P 、 的坐标，可得线段12PP 的中点坐标．再根据与l 垂直的直线的斜率为12，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x cos y sin ρθρθ==、 可得所求的直线的极坐标方程． （1）设11(,)x y 为圆上的点，在已知变换下位C 上点（x ，y ），依题意，得11{2x x y y == 由22111x y +=得22)12(y x =+，即曲线C 的方程为2214y x +=.，故C 得参数方程为cos {2sin x t y t ＝＝ （t 为参数）.（2）由221{4220y x x y +=+-=解得：10x y =⎧⎨=⎩，或02x y =⎧⎨=⎩. 不妨设12(1,0),(0,2)P P ,则线段12PP 的中点坐标为1(,1)2,所求直线的斜率为12k =，于是所求直线方程为111()22y x -=-， 化极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3ρθρθ-=-，即34sin 2cos ρθθ=-.考点：1.参数方程化成普通方程；2.点的极坐标和直角坐标的互化．23. 已知()221f x x x =-++. （1）求不等式()6f x <的解集；（2）设m 、n 、p 为正实数，且()3m n p f ++=，求证：12mn np pm ++≤. 【答案】（1）()1,3-；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解出x 的范围；（2）由基本不等式可以解得222m n p mn np pm ++≥++，将条件平方可得()222222236m n p m n p mn np pm ++=+++++=，代入222m n p mn np pm ++≥++，即可证得要求证得不等式．【详解】（1）当2x ≥时，令()241336f x x x x =-++=-<，解得3x <，此时23x ≤<； 当12x -<<时，令()()22156f x x x x =-++=-+<，解得1x >-，此时12x -<<； 当1x ≤-时，令()()()221336f x x x x =--+=-+<，解得1x >-，此时x ∈∅. 综上所述，不等式()6f x <的解集为()1,3-；（2）因为6m n p ++=，所以2222()22236m n p m n p mn np mp ++=+++++=，因为m 、n 、p 为正实数，所以由基本不等式得222m n mn +≥（当且仅当m n =时取等号）， 同理：222n p np +≥，222p m mp +≥，所以222m n p mn np mp ++≥++， 所以()222222236333m n p m n p mn np mp mn np mp ++=+++++=≥++. 所以12mn np pm ++≤.【点睛】本题主要绝对值不等式的解法、考查利用基本不等式证明不等式等基础知识，考查学生的转化能力和计算能力，属于中档题．。

弥勒一中高二年级第三次月考数学试卷命题 王福忠 制卷 王福忠 审题 刘锦 印刷 刘润琼 一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分) 1 . 不等式2230xx --≤ 的解集是A 13x x =-=或 B{}13x x x <->或C {}13x x -≤≤D {}13x x x ≤-≥或2. 满足不等式0x R y Îìïïíï>ïî的点的集合是 A x轴上方平面 B x轴下方平面 Cy 轴左边平面 Dy轴右边平面3. 直线134x y +=经过的象限是 A 一、二、四 B 二、三、四 C 一、四 D 二、三 4 . 直线3420xy +-=和直线6850x y ++=的距离是A 75 B 710 C 95 D 9105. 直线0x=与圆2240x y x +-=的位置关系是A 相离B 相交于一点C 相交于两点D 相交于两点且过圆心6. 直线10y =-+的倾斜角是A 150°B 120°C 60°D 30°7 . 如果直线210axy ++=与直线20x y +-=互相垂直,那么a 的值是A2- B 2 C13- D 23-8 . ,0A C B ==是方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=为圆方程的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件9 . 圆22220x y x y +-+=的周长为AB2p C D 4p10 . 圆22220x y x y m +-++=的半径为4, 则m 的值为A - 14B 14C - 2D 211 .圆224x y +=与圆22640x y x y ++-=的位置关系是A 相切B 相离C 相交D 内含12 . 已知A （2，2），B （- 2，- 2）, C （-ABC 的是 A 等边三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形 D 钝角三角形 二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)13. 已知M （0，0），N （2，2）, 那么线段MN 的中垂线方程是 。

2021-2022学年云南省红河哈尼族彝族自治州弥勒市第一中学高二下学期第三次月考数学试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{}{}21,240xA x xB x =-≥=-≤，则集()U A B =（ ）A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2]【答案】C【分析】分别求出集合,A B ，再根据交集和补集的定义即可得解. 【详解】解：∵{}21A x x =-≥，∴{1A x x =≤或3}x ≥，∴{13}UA x x =<<，又{}240xB x =-≤，∴{}2B x x =≤，∴(){12}U A B x x ⋂=<≤. 故选：C ．2．已知i)2i z ⋅=（i 为虚数单位），则z =（ ）A 1i 2B 1i 2C ．12+D ．12【答案】D【分析】由复数的除法运算求得z ，由共轭复数的定义即可得到z .【详解】由i)2i z ⋅=，得12z ====，所以12z =， 故选D.3．已知角α的终边经过点(,3)P x -，且3tan 4α=-，则cos sin αα+=（ ）A ．15B ．15±C D ．15-【答案】A【分析】根据三角函数的定义求出x ，再根据三角函数的定义分别求出cos ,sin αα，即可得解.【详解】解：角α的终边经过点(,3)P x -，由3tan 4α=-，可得334x -=-，所以4x =， 所以4cos 5α==，3sin 5α==-，所以431cos sin 555αα+=-=. 故选：A ．4．已知向量()1,2a =，(),4b x =，()2,c y =．若//a b ，a c ⊥，则()a b c ⋅-=（ ） A ．14 B ．14-C ．10D ．6【答案】C【分析】利用平面向量共线的坐标表示可求得x 的值，再利用平面向量数量积的坐标运算以及向量垂直的数量积可求得结果.【详解】由于向量()1,2a =，(),4b x =，()2,c y =，且//a b ，可得142x ⨯=⋅，解得2x =，()2,4b ∴=，则122410a b ⋅=⨯+⨯=，因为a c ⊥，则0a c ⋅=，所以，()10a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅=. 故选：C.5．甲、乙两名射手一次射击得分(分别用X 1，X 2表示)的分布列如下： 甲得分：乙得分：则甲、乙两人的射击技术相比（ ）A ．甲更好 B ．乙更好 C ．甲、乙一样好 D ．不可比较 【答案】B【分析】分别求两个随机变量的数学期望，再比较.【详解】因为E (X 1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，E (X 2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2，所以E (X 2)>E (X 1)，故乙的射击技术更好. 故选：B6．已知三条不同的直线,,l m n 和两个不同的平面,αβ，下列四个命题中正确的是（ ） A ．若//,//m n αα，则//m n B ．若//,l m αα⊂，则//l m C ．若,l αβα⊥⊂，则l β⊥ D ．若//,l l αβ⊥，则αβ⊥【答案】D【解析】根据线线、线面、面面位置关系及平行垂直性质判断逐一判断. 【详解】若//,//m n αα,可以有//m n 或,m n 相交，故A 错； 若//,l m αα⊂，可以有//l m 或l m 、异面，故B 错； 若,l αβα⊥⊂，可以有l β⊥、l 与β斜交、l β//，故C 错； 过l 作平面n γα=，则//l n ，又l β⊥，得n β⊥，n β⊂，所以αβ⊥，故D 正确. 故选:D【点睛】本题考查空间线、面的位置关系，属于基础题.7．设随机变量,X Y 满足2Y X b =+(b 为非零常数)，若()()4,32E Y b D Y =+=，则()E X 和()D X 分别等于（ ） A ．4,8 B ．2,8 C ．2,16 D ．2,16b +【答案】B【分析】利用满足线性关系的两随机变量的均值、方差关系的计算公式即可求得. 【详解】因为随机变量,X Y 满足2Y X b =+，所以()2(4E Y E X b b =+=+）， ()2E X ∴=； ()(),432D Y D X ==()8D X ∴=.故选：B.【点睛】若随机变量,X Y 满足Y kX b =+，他们的期望和方差分别满足：()()2,((E Y kE X b D Y k D X =+=））8．斐波那契数列（Fibonacci Sequence ）又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多，斐波那契（Leonardo Fibonacci ）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波纳契数列被以下递推的方法定义：数列{}n a 满足：12211,n n n a a a a a ++===+，现从数列的前2022项中随机抽取1项，能被3整除的概率是（ ） A ．5052022B ．2522022C ．5042022 D ．14【答案】A【分析】依次写出数列各项除以3所得余数，寻找后可得结论.【详解】根据斐波那契数列的定义，数列各项除以3所得余数依次为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，…，余数数列是周期数列，周期为8，202225286=⨯+，所以数列的前2022项中能被3整除的项有25221505⨯+=，所求概率为5052022P =， 故选A ．9．设P (A |B )＝P (B |A )＝12，P (A )＝13，则P (B )等于（ ）A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】B【分析】由已知可求出()P AB ，再由()()()P AB P B P A B =∣即可求出.【详解】111()()()326P AB P A P B A ==⨯=∣，由()()()P AB P A B P B =∣，得()11()2()63P AB P B P A B ==⨯=∣. 故选：B.10．国际冬奥会和残奥会两个奥运会将于2022年在北京召开，这是我国在2008年成功举办夏季奥运会之后的又一奥运盛事．某电视台计划在奥运会期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的奥运宣传广告，要求第一个和最后一个播放的必须是奥运宣传广告，且3个奥运宣传广告不能两两相邻播放，则不同的播放方式有（ ） A ．144种 B ．72种C ．36种D ．24种【答案】B【分析】先考虑第一个和最后一个位置必为奥运宣传广告，再将另一个奥运广告插入3个商业广告之间，最后对三个商业广告全排列，即可求解.【详解】先考虑第一个和最后一个位置必为奥运宣传广告，有236A =种，另一奥运广告插入3个商业广告之间，有122A =种；再考虑3个商业广告的顺序，有336A =种，故共有62672⨯⨯=种.故选：B.11．已知12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 作双曲线C 的渐近线by x a=的垂线，垂足为P ，且与双曲线C 的左支交于点Q ，若2OQ PF ∥（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A1 BC．D【答案】B【分析】因为2OQ PF ∥，O 是12F F 的中点，所以Q 为1F P 的中点．又1PF OP ⊥，1F 到渐近线by x a=的距离为b ，且1FO c =，得出1PFO ∠的余弦值，在12QF F 中，利用双曲线的定义和余弦定理列方程求解即可.【详解】因为2OQ PF ∥，O 是12F F 的中点，所以Q 为1F P 的中点．因为1PF OP ⊥，所以点1(,0)F c -到渐近线b y x a =的距离1PF b ==，又1FO c =，所以1cos b PFO c ∠=．连接2QF ，易知11122bQF PF ==，则由双曲线的定义可知21222bQF QF a a =+=+．在12QF F 中，由余弦定理，得222124242cos 222b bc a b QF F b c c ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭∠==⨯⨯，整理，得a b =，所以双曲线的离心率为c e a == 故选：B ．12．已知定义在R 上函数()f x 的导函数为()f x '，()0,πx ∀∈，有()()sin cos f x x f x x '<，且()()0f x f x +-=.设π4a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π3b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）. A ．a b c << B ．b c a << C ．a c b << D ．c b a <<【答案】D【分析】首先设函数()()sin f x g x x=，判断函数的单调性，和奇偶性，利用函数的性质比较大小.【详解】设()()sin f x g x x=， ()()()()()()sin sin sin f x f x f x g x g x x x x---====--，即()()g x g x -=，所以函数()g x 是偶函数， 并且()()()2sin cos 0sin f x x f x xg x x'-'=<，所以函数()g x 在()0,π单调递减，444sin 4f a g ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3333sin 3f b f g g πππππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-==-= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 222sin 2f c fg ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0432ππππ<<<<，所以432g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即a b c >>. 故选：D【点睛】本题考查导数与函数性质的综合应用，重点考查构造函数，利用函数的性质比较大小，属于中档题型. 二、填空题13．在一次期中考试中某学校高三全部学生的数学成绩X 服从正态分布()2,N μσ，若()900.5P X ≥=，且()1100.2P X ≥=，则()70P X ≤=________．【答案】0.2【分析】由题意易得90μ=，根据正态分布的特征即可得结果. 【详解】由题意易得90μ=，所以()()701100.2P X P X ≤=≥=， 故答案为：0.2.14．()74111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为___________．【答案】36【分析】()774741111111x x x x x ⎛⎭⎛⎫+⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎝⎪⎝⎭⎭+ ，利用二项式定理分别求出711x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和7411x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的常数项，即可求解. 【详解】由题意得，()774741111111x x x x x ⎛⎭⎛⎫+⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎝⎪⎝⎭⎭+ ，且711x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为17C (0,1,2,,7)r r r T x r -+=⋅=，则令0r =，得711x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的常数项为07C 1=；则令4r =，得7411x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的常数项为47C 35=，所以()74111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为13536+=，故答案为：36.15．已知圆柱的侧面积为2π，其外接球的体积为V ，则V 的最小值为_____________． 【答案】4π343π【分析】设圆柱的底面半径与高，通过圆柱的侧面积求解关系式，表示出外接球的体积V ，利用基本不等式即可得到V 的最小值.【详解】设圆柱的底面半径为r ，高为h ，因为圆柱的侧面积为2π，所以2π2πrh =，得1rh =，设圆柱外接球半径为R ，则2222122h h R r r rh ⎛⎫=+≥⋅== ⎪⎝⎭，当且仅当2h r =，即h r ==时取等号，所以2R 的最小值为1，所以外接球的体积V 的最小值为344ππ33R =． 故答案为：4π3. 16．圆1O ：2220x y x +-=和圆2O ：22240x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有______（填序号）．①公共弦AB 所在直线方程为0x y -=； ②线段AB 的中垂线方程为10x y +-=；③公共弦AB ；④P 为圆1O 上一动点，则Р到直线AB 1． 【答案】①②④【分析】①两圆方程作差即可求出公共弦方程；②线段AB 的中垂线即为两圆圆心的连线，利用点斜式求解即可； ③求出一个圆的圆心道公共弦的距离，利用垂径定理计算即可； ④求出一个圆的圆心道公共弦的距离，加上半径即可求出最值.【详解】因为圆1O ：2220x y x +-=和圆2O ：22240x y x y ++-=的交点为A ，B ， 作差得440x y -=，所以圆1O 与圆2O 的公共弦AB 所在的直线方程为0x y -=，故①正确； 因为圆心1(1,0)O ，2(1,2)O -，12O O 所在直线斜率为2111=---， 所以线段AB 的中垂线的方程为0(1)y x -=--，即10x y +-=，故②正确；圆1O ：2220x y x +-=的圆心为1(1,0)O ，半径11r =，圆心1(1,0)O 到直线0x y -=的距离d ==P 到直线AB 1，圆1O 与圆2O 的公共弦AB的长为=③错误，④正确． 故答案为：①②④. 三、解答题17．对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表如下表和频率分布直方图如图所示：(1)求出表中M ，p 及图中a 的值；(2)若该校高三学生有240人，试估计高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；(3)在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率． 【答案】(1)40M =；0.10p =；0.12a = (2)60人 (3)1415【分析】（1）由=频数频率总数，能求出M ，p ，a 的值； （2）由=⨯频数总数频率，即可求解；（3）可知这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有6人，写出从中任选2人的所有基本事件，求出至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的基本事件个数，利用基本事件个数比求概率.【详解】(1)由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，100.25M=，解得40M =． 因为频数之和为40，所以1024240m +++=，解得4m =，则40.1040m p M ===， 因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以240.12405a ==⨯． (2)因为该校高三学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间的人数为2400.2560⨯=人． (3)这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有26m +=人， 设在区间[20,25)内的人为1234,,,a a a a ，在区间[25,30)内的人为12,b b ，则任选2人共有()12,a a ，()13,a a ，()14,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()23,a a ，()24,a a ，()21,a b ，()22,a b ，()34,a a ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ，()12,b b ，共15种情况，而两人都在[25,30)内只能是()12,b b 一种， 所以所求概率为11411515P =-=．18．在①222a b =+，②2224ABC a b S +-=△这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =_____________．（注：如果选择条件1和条件2作答，则按第一个解答给分） (1)求C ；(2)求ABC 面积的取值范围． 【答案】(1)π4C =(2)⎛ ⎝⎭【分析】（1）选①，根据余弦定理求得cos C ，即可得解；选②，根据三角形的面积公式结合余弦定理即可得出答案；（2）利用正弦定理求出,a b ，用同一个角表示，再利用三角恒等变换化简，结合三角函数的性质即可得解，注意角的范围.【详解】(1)解：选①：∵222,a b c =+=∴222c a b =+，222222,cos 2a b c a b c C ab +-=+-==又02C <<π，∴4Cπ；选②：由三角形面积公式in 12s S ab C =，得2212sin 24a b ab C +-=，根据余弦定理得222cos 2a b C ab+-=，所以sin cos C C =，又02C <<π，所以4Cπ；(2)解：由（1）知,4C c π==由正弦定理得2sin sin sin a b cA B C====， 可得2sin ,2sin a A b B ==，所以1sin sin 2ABC S ab C A B ==△， 因为sin sin[()]sin()sin 4B A C A C A ππ⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭，所以21sin sin sin cos 24242ABC S A A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△， 因为ABC 是锐角三角形，所以π0,23ππ0,42A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得42A ππ<<，所以32444A πππ<-<，πsin 214A ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，1ABC S <≤△ 即ABC面积的取值范围为⎛ ⎝⎭． 19．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，22743a a a =，且3-，4S ，39a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()111nn n b a n n =-++，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）3nn a =；（2）()33141nnn T n ⎡⎤--⎣⎦=++. 【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的通项公式可得()6231113a q a q a q ⋅=，进而可得3q =，再由等差数列的性质、等比数列的知识列方程可得13a =，即可得解；（2）由()1131nn b n n =-+-+，结合等比数列前n 项和公式、裂项相消法及分组求和法即可得解.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，因为22743a a a =，所以()6231113a q a q a q ⋅=，因为10a ≠，所以3q =，又3-，4S ，39a 成等差数列， 所以43293S a =-即()412121393313a a -=⋅--，解得13a =，所以113n nn a a q -==；（2）由题意()()()11113311nnnn b n n n n =-⨯+=-+-++，所以()()()12121111133312231n n n T b b b n n ⎛⎫⎡⎤=+++=-+-++-+-+-++- ⎪⎣⎦+⎝⎭()()()3133311113141nn n n n ⎡⎤⎡⎤-----⎣⎦⎣⎦=+-=+--++. 【点睛】本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了数列求和方法的应用及运算求解能力，属于中档题.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA AB ⊥，底面ABCD 为直角梯形，AD AB ⊥，//DC AB ，1PA AD DC ===，2AB =，3PC =，E 为棱PB 上异于P ，B 的点．(1)若E 为棱PB 的中点，求证：直线//CE 平面PAD ；(2)若存在点E 为棱PB 上异于P ，B 的点，使得直线AE 与ABCD 5求二面角E AC B --的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 6【分析】（1）利用线线平行证明线面平行；（2）设(01)PE PB λλ=<<利用坐标法，根据线面夹角可得点E ，再利用坐标法求二面角余弦值.【详解】(1)证明：取PA 的中点F ，连接EF ，DF ，如图，E 为PB 的中点，//EF AB ∴，且12EF AB =， 又//CD AB ，且12CD AB =， //EF CD ∴，且EF CD =，∴四边形CDFE 为平行四边形，//CE DF ∴，又DF ⊂平面PAD ．CE ⊄平面PAD ． ∴直线//CE 平面PAD ；(2)解：由题意知，1PA =，2AC =3PC =222PA AC PC ∴+=，即PA AC ⊥， 又PA AB ⊥，AB AC A ⋂=，AC AB平面ABCD ，PA ∴⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，PA AD ⊥，又AD AB ⊥，AD ，AB ，AP 两两相互垂直，以A 为坐标原点，以AD ，AB ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示，则()0,0,0A ，()0,0,1P ，()0,2,0B ，()1,1,0C ， 设(),,E x y z ，则(),,1PE x y z =-，()0,2,1PB =-，E 在棱PB 上，设(01)PE PB λλ=<<，即()(),,10,2,1x y z λ-=-，()0,2,1E λλ∴-，易知平面ABCD 的法向量为()0,0,1m =，()0,2,1AE λλ=-，设AE 与平面ABCD 所成角为α，则sin 1m AE m AEα⋅===⨯，解得12λ=，设平面ACE 的法向量为()111,,n x y z =，10,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,1,0AC =，则00n AE n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11111020y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，令11x =，则11y =-，12z =，则()1,1,2n =-，2cos ,6m n m n m n ⋅=== 由题知，二面角E AC B --为锐角， 故二面角E AC B --. 21．已知椭圆C ：()222210xy a b a b +=>>且椭圆C 的右焦点F 到右准线点A 是第一象限内的定点，点M ，N 是椭圆C 上两个不同的动点（均异于点A ），且直线AM ，AN 的倾斜角互补. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线MN 的斜率1k =，求点A 的坐标.【答案】(1)22163xy +=(2)(2,1)A【分析】（1）利用离心率c a =以及题目条件2a c c -=（2）根据MN 的斜率1k =设MN 直线方程，联立直线和椭圆方程，利用直线AM ，AN 的倾斜角互补得两直线的斜率之和为0，化简得()0000222403y x m x y -+-=，再根据直线过定点不受m 影响，解得0021xy =⎧⎨=⎩，从而求出点A 的坐标.【详解】(1)因为椭圆C ，且其右焦点F所以c a =，且2a c c -=解得a c == 所以2223b a c =-=，故椭圆C 的标准方程为22163x y +=．(2)设直线MN 的方程为y x m =+，点()()()112200,,,,,M x y N x y A x y ，直线MN 的方程与椭圆方程联立得22163x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩ , 则2234260x mx m ++-=，所以()1221222432631612260,x x m m x x m m ⎧+=-⎪⎪-⎪=⎨⎪⎪-->⎪⎩, 由直线AM ，AN 的倾斜角互补得：102010200y y y y x x x x --+=--， 得()()()12001200220x x m x y x x x m y +--+--=． 所以()()2000026422033m m x y m x m y -⎛⎫⨯+-----= ⎪⎝⎭， 整理得，()0000222403y x m x y -+-=， 所以000020240y x x y -=⎧⎨-=⎩ 因为点A 在第一象限，所0021x y =⎧⎨=⎩ ， 故点A 的坐标为(2,1)A 22．已知函数2()ln 2f x a x x=+-(0)a >. （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线与直线2y x =+垂直，求函数()y f x =的单调区间；（2）若对(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，试求实数a 的取值范围； 【答案】（1）的单调增区间是(2,)+∞，单调减区间是(0,2);（2）20a e<<. 【详解】试题分析：（1）由导数几何意义得()11f '=-，求导数，列方程，解a 的值.再解导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定函数单调区间；（2）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，即()()21min f x a >-,利用导数确定函数()f x 最小值2f a ⎛⎫⎪⎝⎭，最后解不等式()221f a a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭即得实数a 的取值范围.试题解析：（1）直线2y x =+的斜率1.函数()f x 的定义域为()0,+∞，()22'af x x x=-+， 所以()22'1111a f =-+=-，解得1a =.所以()2ln 2f x x x=+-，()22'x f x x -=. 由()'0f x >解得2x >；由()'0f x <解得02x <<， 所以()f x 的单调增区间是()2,+∞，单调减区间是()0,2. （2）()2222'a ax f x x x x -=-+=，由()'0f x >解得2x a >；由()'0f x <解得20x a <<. 所以()f x 在区间2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间20a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，所以当2x a =时，函数()f x 取得最小值，min 2y f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为对于()0,x ∀∈+∞都有()()21f x a >-成立，所以只须()221f a a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭即可，即2ln a a a >，解得20a e<<.。

弥勒一中高二年级下学期理数月考41.(1小题共1分)已知集合A={y∣y=√x,0≤x≤4}，B={x|0<x<3}，则(∁R A)∩B=（）A.[0，2]B.[-2，2)C.(-2，3)D.(2，3)2.(1小题共1分)已知复数z满足z(1+i)=(3+i)2，则|z|=（）A.√2B.√5C.5√2D.83.(1小题共1分)已知随机变量ξ＋η=8，若ξ～B(10，0.4)，则E(η)，D(η)分别是（）A.4和2.4B.2和2.4C.6和2.4D.4和5.64.(1小题共1分)华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”.“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者某组16人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（）次检测A.3B.4C.6D.75.(1小题共1分)已知双曲线x2a2−y25=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）A.√5B.3C.5D.4√26.(1小题共1分)设向量a→，b→满足|a→+2b→|=5，|a→−2b→|=3，则a→⋅b→=（）A.1B.2C.3D.47.(1小题共1分)ΔABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.设向量p→=(a+ c,b)，q→=(b−a,c−a)，若p→//q→，则C等于（）A.π6B.π3C.π2D.2π38.(1小题共1分)在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖（biē nào）。

文科数学ML 参考答案·第1页（共7页）弥勒一中2022届高二年级下学期第三次月考文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A D C B B D A D B B B 【解析】1．集合{|4}A x x x =<≤，{12345}B =，，，，，则{234}A B = ，，，故选D ． 2．i (i)(1i)1(1)i=1i (1i)(1i)2a a a a -----+=++- ，所以1010a a -=⎧⎨+≠⎩，，1a =，故选A ． 3．由题可得32x =，4y =，222233330(14)1(34)2(54)3(74)2222333301232222b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1025=， 34212a =-⨯=，则回归方程为 21y x =+，将A ，B ，C ，D 四项分别代入方程，只有(1.54)，这个点在直线上，故选D ．4．若 l α⊥，αβ⊥，则l β⊂或l β∥，即A 不符合题意；若l α∥，αβ∥，则l β⊂或l β∥，即B 不符合题意；若l α∥，αβ⊥，则l ，β平行或垂直或相交，即D 不符合题意，故选C ． 5．因为钢球与棱锥的四个面都接触，所以钢球与棱锥的棱相离，而与棱对应的高相切．所以经过棱锥的一条侧棱和高所作的截面中，球的截面圆与两条高相切，而与棱相离，且与棱锥的高相交，故选B ．6．π1tan 1tan 41tan 3ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，解得1tan 2α=，22tan 14sin 211tan 514ααα===++，故选B ． 7．本程序的功能为54433238S =⨯+⨯+⨯=，故选D ．8．因为等比数列{}n a 的公比12q =，所以21112a a q a == ，4141112151812a S a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-，则42154S a =，故选A ．文科数学ML 参考答案·第2页（共7页）9．曲线213ln (0)2y x x m x =-+>的导数为3y x x'=-，由题意直线21y x =-+是曲线213ln 2y x x m =-+的一条切线，设其切点为00()x y ，，∴0032x x -=-，解得01x =(舍负)，切点在直线上，所以切点坐标为(11)-，，所以112m +=-，即32m =-，故选D ． 10．甲的平均数568101014181822252730303841433451616x +++++++++++++++==甲，乙的平均数1012182022232327313234343842434816x +++++++++++++++==乙45716，所以x x <甲乙．甲的中位数为20，乙的中位数为29，所以m m <甲乙，故选B ． 11．由a ，b 是单位向量，0a b = ，可设(10)a = ，，(01)b = ，，()c x y = ，，由向量c满足||2c a b --=，∴|(11)|2x y --=，2=，即22(1)(1)4x y -+-=，其圆心(11)C ，，半径2r =，∴||OC =，∴2||2c =+，故选B ．12．由题意，原方程等价于()y f x =与8log (2)y x =+的图象的交点个数问题．由(2)f x +=(2)f x -，可知()f x 的图象关于2x =对称，作出()f x 在(02)，上的图象，再根据()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，结合对称性，可得作出()f x 在(26)-，上的图象，如图1所示．再在同一坐标系下，画出8log (2)y x =+的图象，同时注意其图象过点(61)，，由图可知，两图象在区间(26)-，内有三个交点，从而原方程有三个根，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）图1文科数学ML 参考答案·第3页（共7页）【解析】13．因为命题x ∃，P 的否定为x ∀，p ⌝，故答案为π02x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，，tan sin x x >．14．设2n S an bn =+，则n S an b n =+，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，其公差是a ，其中1111S a ==， 由73673S S -=知，46a =，32a =，所以3311(1)222n S n n n =+-⨯=-，53157522S =⨯-=，535S =，4311144222S =⨯-=，422S =，554352213a S S =-=-=． 15．如图2所示，设左焦点为1F ，连接1AF ，1BF ，由椭圆的对称性及AF BF ⊥，可知1AF BF 为矩形，∴||||OA OF c ==．由直线y =得60AOF =︒∠，∴||AF c =，且130AF F =︒∠，1||AF =．由椭圆的定义可得，1||||2AF AF c a +=+=，∴1c e a ===． 16．由已知得到可行域如图3：可求出三个交点坐标(32)A ，，(12)B -，，5233C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，目标函数(0)z x ty t =+>的最大值为11，几何意义是直线1zy x t t=-+截距的最大值为11，由图得知，当1zy x t t =-+过点A 截距取得最大值， 故1132t =+，解得4t =．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵1524547581053135376.520⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，…………………………………………………（3分）∴估计文科数学平均分为76.5．…………………………………………………（4分）又理科总人数50140010005020⨯=+，样本中理科考生有28人及格，图2图3文科数学ML 参考答案·第4页（共7页）所以估计有10002856050⨯=， ∴理科考生有560人及格．………………………………………（7分）（Ⅱ）2270(1520530) 1.4 2.70620502545K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯， ……………………………（10分）故没有90%的把握认为概念失分与文、理考生的不同有关．………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵1sin 22ABC S bc A ==△，∴12sin 602b ︒= 1b =． ………………………………………（3分）由余弦定理得222222cos 12212cos603a b c bc A =+-=+-⨯⨯︒= ，所以a =………………………………………………………（6分）（Ⅱ）由余弦定理得2222222a c b a c a b c ac+-=⇒+=， 所以90C =︒∠． ………………………………………………………（9分）在Rt △ABC 中，sin a A c =，所以ab c a c== ， 所以△ABC 是等腰直角三角形． ……………………………………（12分）19．（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）因为 PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以PA CD ⊥，因为AC CD ⊥，PA AC A = ， 所以CD ⊥平面P AC ，又AE ⊂平面P AC ， 所以CD AE ⊥．…………………………………………………………（4分）（Ⅱ）由PA AB BC ==，60ABC =︒∠， 可得AC PA =，因为E 是PC 的中点，所以AE PC ⊥． 由（Ⅰ）知AE CD ⊥，且PC CD C = ， 所以AE ⊥平面PCD ．………………………………………………………（7分）文科数学ML 参考答案·第5页（共7页）又PD ⊂平面PCD ，所以AE PD ⊥．因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥． 又AB AD ⊥，PA AD A = ，P A ，AD ⊂平面P AD ，所以AB ⊥平面P AD ，………………………………………………………（10分）又PD ⊂平面P AD ，所以AB PD ⊥． 又AE AB A = ，所以PD ⊥平面ABE ． …………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为2135()ln 424g x x x x =-+-， 所以131()22g x x x '=-+， ……………………………………………（2分）所以13(1)1022g '=-+=， 又因为切点为512⎛⎫- ⎪⎝⎭，，…………………………………………………（4分）所以切线的方程为52y =-．………………………………………（5分）（Ⅱ）若函数()g x 在[14]，上有两个不同的零点， 可得213ln 42b x x x -=-+在[14]，内有两个实根． ……………………………………………………………（6分）设213()ln 42h x x x x =-+，131(1)(2)()222x x h x x x x--'=-+=， 当(12)x ∈，时，()h x 递减，当(24)x ∈，时，()h x 递增， 由5(1)4h =-，(2)2ln 2h =-+，(4)ln 42h =-，…………………………………（9分）画出()y h x =的图象，如图4所示， 可得52ln 24b -+<--≤， 解得52ln 24b <-≤．…………………………………………（12分）图4文科数学ML 参考答案·第6页（共7页）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设11()A x y ，，22()P x y ，，11()Q x y -，，则212233x y y G +⎛⎫⎪⎝⎭，，所以212833233x y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，，所以122A ⎛⎫⎪⎝⎭，，(88)P ，，所以AP ：5480x y --=． …………………………………………………（4分）（Ⅱ）设PQ ：2y mx =+，由228y mx x y =+⎧⎨=⎩，，得28160x mx --=， 所以12()16x x -=-，即1216x x =．………………………………………（6分）又设AP ：y kx n =+，由28y kx n x y =+⎧⎨=⎩，得2880x kx n --=， 所以12816x x n =-=，所以2n =-， 所以AP ：2y kx =-． …………………………………………………（8分）即AP 过定点(02)E -，， 所以121211||||||2OAP OEP OEA S S S S OE x x x x ==-=-=-△△△， 2111||||||2OFQ S S OF x x === △， ………………………………………（10分）所以222222122112112()3223232S S x x x x x x +=-+=-+-=-≥，当且仅当7412x =，9422x =时等号成立， 所以2212S S +的最小值为32．…………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由1212x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，消去参数t 得20x y +-=， 即直线l 的普通方程为20x y +-=．………………………………………（2分）文科数学ML 参考答案·第7页（共7页）把222x y ρ=+，cos x ρθ=，代入26cos 50ρρθ-+=， 整理得22650x y x +-+=，故圆C 的直角坐标方程22650x y x +-+=， 即22(3)4x y -+=． …………………………………………………（5分）（Ⅱ）把1212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，(t 为参数)代入22(3)4x y -+=，化简得：210t -+=， ………………………………………………（7分）184140∆=-=>． 设1t ，2t 是该方程的两根，则12t t +=121t t =．所以10t >，20t >，又直线l 过(11)P ，，所以1212||||||||PA PB t t t t +=+=+=． …………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）由题得211()312122x x f x x x x x ⎧⎪-+-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，，，≥，∴()4f x >等价于241x x -+>⎧⎨-⎩，≤或34112x x ->⎧⎪⎨-<<⎪⎩，或2412x x ->⎧⎪⎨⎪⎩，≥， 解得2x <-或6x >，综上，原不等式的解集为{|26}x x x <->或． …………………………………（5分）（Ⅱ）∵||||2||x a x a a --+-≥，由（Ⅰ）知13()22f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭≥，∴32||2a --≤，∴实数a 的取值范围为3344⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，，． …………………………（10分）。