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2
0
1 1 x
2
dx 1 2
2
0
2
1 1 x
2
d (1 x )
2
2
1 x
2 0
5 1
例4. . | 1 x | dx
0
(1
0
1
x ) dx
2
( x 1 ) dx
1
2
2 1 1 1 2 ( x 1 x ) ( x x ) 0 [ 0 ( )] 1 2 2 2 2 1 0
a
x
f ( t ) dt , x [ a , b ]
[
x t
2
x
f ( t ) dt ] f ( x )
x
2
公式
a
3
例1 . [ e dt ] e
2
,
sin x
2
[ cos
x
2
t dt ] cos
sin x x
2
2
x
例2 .
d dx
2
x
2
sin t t
2
b
f ( t ) dt
a
即 f ( x ) dx F ( b ) F ( a )
a
b
证毕.
6
例1. 例2.
1
2 1 3 x dx x
1 0
0
1
3
1 0 1 3 3
1 2
dx x
2
(ln
x
x )
ln 1 ln 2 ln 2
2
例3.
2
0
1 dx 2 2 1 x
P (x)
a
x
f ( t ) dt , x [ a , b ]
在[a,b]上可导, 且
P ( x ) f ( x ) , x [ a , b ]
2
定理5.2.1 (原函数存在定理)
如果函数 f (x) 在[a,b]上连续, 则 P ( x ) 是 f (x) 在[a,b]上的一个原函数, 即
F(0)=0.
8
x 2 , x [ 0 ,1 ) , 例7.设 f ( x ) x , x [1, 2 ]
0
x
1
x
2
求 ( x )
0
x
f ( t ) dt 在[0,2]上的表达式.
解. 当 x [ 0 ,1) 时, ( x ) 当 x [1, 2 ] 时,
f ( t ) dt f [ ( x )] ' ( x ) f [ ( x )] ' ( x ) (x)
10
(x)
7
1
例5 .计算 解
2
0
x2, f ( x ) dx , 其中 f ( x ) x 1,
x 1 x 1
2
f ( x ) dx
1 0
0
1
x dx
2
0
2
2
( x 1) dx
1
3 1 x 3
1 x 2 x] 1 1 5 [ 3 2 6 2 1
4
例3 .
d dx
x x
3
dt 1 t
2
2
2x 1 x
4
1 1 x
6
( x )
3
1 1 x
4
( x )
2
3x
2
1 x
6
例4. lim
0
sin t dt x
3
2
2x
lim
2 sin t dt 2x 0
lim
2
sin( 2 x ) ( 2 x )'
(x)
0
x
f ( t ) dt
0
x
1 3 2 t dt x 3
0
x
f ( t ) dt
0
1
t dt
2
1
x
2 1 1 1 2 1 t dt ( x 1 ) x 3 2 2 6
1 x3, x [ 0 ,1 ) 3 所以 ( x ) 1 x 2 1 , x [1, 2 ] 6 2
1
dt
( x )' 2
2
x
sin t t
dt
1
u
sin t t
dt , u x
2
1
3
说明: 变限积分求导:
[ f ( t ) dt ] f ( x )
a x
[ f ( t ) dt ] f ( x )
x
b
[
(x)
a
f ( t ) dt ] f [ ( x )] ( x )
2
x 0
x 0
( x )'
3
x 0
3x
2
2 3
lim
sin 4 x x
2
2
x 0
2 3
lim
4x x
x 0
2
8 3
5
5.2.2 牛顿—莱布尼茨(Newton-Leibniz )公式 定理5.2.2 设函数 f (x) 在[a , b]上连续, F(x)是f (x)的一个原函数，
9
内容小结
1. 微积分基本公式
设 f ( x) C [a, b] , 且 F ( x) f ( x) , 则有
a f ( x) d x
b
f ( )(b a) F ( )(b a ) F (b) F (a)
积分中值定理
微分中值定理
牛顿 – 莱布尼兹公式
2. 变限积分求导公式
则 记
b
f ( x ) dx F ( b ) F ( a ) 微积分学基本公式 f ( x ) dx F ( x )
b a
a b
F (b ) F ( a )
a
证 F(x)是f (x)的一个原函数，
P (x)
x
f ( t ) dt 也是 f (x)的一个原函数,
a
F ( x) P ( x) c (a x b) F (b ) P (b ) c , F ( a ) P ( a ) c F ( b ) F ( a ) P ( b ) P ( a ) P (b )
(x)
(x)
a (x) f [ ( x )]t dt( x ) f [ ((tx dt ' ( x ) f( )' f ) )] f ( t ) dt a (x)
f [ ( x )] ' ( x ) f [ ( x )] ' ( x )
例6 .求 F ( x )
0
x
2 t 1 dt 在区间[0,1]上的最大值和最小值. 2 t t 1
解 因为F ( x )
2x 1 x x 1
2
0,
所以F(x)在区间[0,1]上单增, 最大值为F(1), 最小值为F(0), 且 F (1)
0
1
1 2 t 1 dt 2 ln( t t 1) ln 3 , 2 0 t t 1
§5.2 微积分基本定理
一、积分上限的积分函数及其导数
二、牛顿—莱布尼茨 (Newton-Leibniz) 公式
1
5.2.1 积分上限函数
设函数 f (x) 在[a,b]上可积, x [ a , b ],
P (x)
x
f ( t ) dt
(a x b)
a
x
x
b
a
积分上限函数
定理5.2.1 如果函数 f (x) 在[a,b]上连续, 则函数
