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( 人教A版)微积分基本定理课件 (共38张PPT)

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最新人教版高中数学选修1.6-微积分基本定理ppt课件

最新人教版高中数学选修1.6-微积分基本定理ppt课件
C．ab F′ (x)dx＝ F(b)－ F(a)
D．ab F′ (x)dx＝ F(a)－ F(b)
3．下列积分值等于 1 的是( C )
A.01xdx C．011dx
4
4.02(x2－23x)dx＝ ____3____.
B．01 (x＋ 1)dx
D．01
1dx 2
求简单函数的定积分 计算下列定积分：
(4＋2× 3
43)＝ 2
27－ (4＋16)＝53.
33
计算分段函数的定积分
计算下列定积分：
(1)若 f(x)＝x2
x≤0
cos x－1 x＞0
，求－ π2
f(
1
x)dx；
(2)12
[解]
|3－ (1)
2x|dx.
π － 2
f(x)
1
dx＝－ 0
x2
1
dx＋0π2(cos
ห้องสมุดไป่ตู้
sin x0≤x＜π，
2 2．已知函数 f(x)＝ 1π≤x≤2，
2
x－1 2＜x≤4，
先画出函数图象， 再求这个函数在区间 [0,4]上的定积分． 解：函数 f(x)的图象如图所示．
04f(x)dx＝20πsin
xdx＋2 1dx＋ π
24
(
x－
1)dx
＝ (6t2＋ 4at)|x－ a ＝ 6x2＋ 4ax－ (6a2－ 4a2)
＝ 6x2＋ 4ax－ 2a2，
所以0－
(
π
cos
x－e
x
)dx＝－ 0
cos
π
xdx－0－
e
π
x
dx
＝ sin x|0－ π－ex|0－ π＝e1π－ 1.

微积分基本定理PPT课件

微积分基本定理PPT课件


π 0
sinx dx = -cosx
π 0
= -cosπ - -cos0 = -cos2π - -cosπ = -cos2π - -cos0
=2
2π π
sinx dx = -cosx
2π π
= -2
2π 0
sinx dx = -cosx
2π 0
接下来让我们练一练吧
定积分的基本公式,又称牛顿 ----莱布尼兹公式.常表示为

b
a
f(x)dx = F(x) = F b - F a .
b a
例1. 计算 -1
3
1 解: 因为 arctanx = 1 + x2 由微积分基本定理得：
'
dx . 2 1+ x
dx 3 = arctanx -1 -1 1 + x2 = arctan 3 - arctan -1
从几何意义上看，设曲线y=y(t) 上与 t i-1 对应的点为P，PD是P点处 的切线，由导数的几何意义知，切 线PD的斜率等于y' ti-1 ，于是
Δs i ≈ h i = tan∠DPCgΔt = y t i-1 Δt
'
物体的总位移s
s = Δsi ≈ hi = v t i-1 Δt
教学目标
知识与能力
了解微积分的概念和推 导过程以及基本思想，并能利用 微积分的定义解决实际问题.
过程与方法
通过实例（如变速运动物体 在某段时间内的速度与路程的关 系），直观了解微积分基本定理的 含义．
情感态度与价值观
微积分是大学阶段的数学必 修，是高等数学的基础组成部分.高 中阶段的导数是其基础.

( 人教A版)微积分基本定理课件 (共38张PPT)

( 人教A版)微积分基本定理课件 (共38张PPT)
(7)baxdx＝lnaxaba (a>0 且 a≠1)． a
1．计算下列定积分．
(1)1(x3－2x)dx； 0
(2)
2 0
(x＋cos
x)dx；
(3)
2 0
sin2x2dx；
(4)2xx1＋1dx. 1
解析：(1)∵(14x4－x2)′＝x3－2x，
∴1(x3－2x)dx＝(14x4－x2)10 ＝－34. 0
微积分基本定理的应用
[典例]
(本题满分 12 分)已知 f(x)＝21x＋＋x12，，xx∈∈[2－，24，]，2]，
若33f(x)dx＝40，求实 k
数 k 的值．
[解析] 由33f(x)dx＝40，得3f(x)dx＝430.
k
k
根据分段函数的解析式，分－2≤k<2 和 2≤k<3 两种情况讨论：……………2 分
0
函数，求 a，b.
[解析] ∵f(x)＝x3＋ax 为奇函数，
∴
1 1
(x3＋ax)dx＝0，
∴
1 1
(x3＋ax＋3a－b)dx
＝
1 1
(x3＋ax)dx＋
1 1
(3a－b)dx
＝0＋(3a－b)[1－(－1)]
＝6a－2b.
∴6a－2b＝2a＋6，即 2a－b＝3.① 又 g(t)＝[x44＋a2x2＋(3a－b)x]0t ＝t44＋a2t2＋(3a－b)t 为偶函数， ∴3a－b＝0.② 由①②得 a＝－3，b＝－9.
(1)当－2≤k<2 时，
3f(x)dx＝2 (2x＋1)dx＋3 (1＋x2)dx
k
k
2
＝(x2＋x)2k ＋x＋x3332

高中数学人教A版选修2-2课件 第一章 1.6 微积分基本定理

高中数学人教A版选修2-2课件 第一章 1.6 微积分基本定理
目录 退出
当堂检测
π
1.
2
-π2
A.0
(sin
x+cos
x)dx 的值是( B.���4���
) C.2
D.4
π
������
解析:
2
-π2
(sin
x+cos
x)dx=(sin
x-cos
x)|-2���2���=(1-0)-(-1-0)=2.
答案:C
2.计算定积分
1 -1
(x2+sin
x)dx=
.
解析:
目录 退出
解:(1)由于|x-3|=
3-x,x∈[2,3), x-3,x∈[3,5],
所以
5 2
|x-3|dx=
3 2
|x-3|dx+
5 3
|x-3|dx
=
3 2
(3-x)dx+
5 3
(x-3)dx=
3x-
1 2
x2
|23 +
1 2
x2
-3x
|35
=9-92-6+2+225-15-92+9=52.
么
������ ������
f(x)dx=F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫牛顿—莱
布尼茨公式. (2)为了方便,我们常常把 F(b)-F(a)记成 F(x)|ab,即
������ ������
f(x)dx=F(x)|ab
=F(b)-F(a).
目录 退出
预习交流 1
思考:(1)满足 F'(x)=f(x)的函数 F(x)是唯一的吗?这影响微积分
(3)
1 0

16微积分基本定理课件人教A版选修2-2

16微积分基本定理课件人教A版选修2-2

D
ΔSi
sti1
P Δt
hi C
o
t i1
ti
t
图1.62
结合图1.61,可得物体总位移
n
n
n
n
S ΔSi hi vti1Δt s' ti1Δt.
i1
i1
i1
i1
显 ,n 越 然 ,即 大 Δ t越 ,区 小 a ,b 间 的分,划
n
n
Vti1Δt s'ti1Δt与S的近似程度就. 越好
Formula).
为 了 ,我 方 们 F 便 b 常 F a 记 常 F x 成 把 |b a ,即
a bfx d x F x |b aF b F a .
微 积 分 基 本 定,理 计表 算明 定 积abf分 xdx的 关 键
是 找 到 满F'足 xfx的 函F数x.通 常 ,我 们 可 以
3当 位 于x 轴 上 方 的 曲 边 y
梯形的面积等于x位轴于1
下方的曲边梯形面积时,
o
1
定积分的值0(图 为1.65),
ysinx π
图1.65
2π x
且等于位x于轴上方的曲
边梯形的面积减去x轴 位下 于方的曲边梯形. 面积
微 积 分 基 本 定 理 揭导示数了和 定积 分 之 间 的 内
在 联 系,同 时 它 也 提 供 了 计积算分定的 一 种 方. 法
2π x
图1.64
可 以 发 ,定现 积 分 的 值 可也能可取能正取值负 还可能 0: 是
1当 对 应 的 曲 边 x轴梯 上形 方 (图 位 1.时 6于 3),
定 积 分 的,值 且取 等正 于值 曲 边;梯 形 的

微积分基本定理_图文_图文

微积分基本定理_图文_图文
微积分基本定理_图文_图文.ppt
【课标要求】 1．了解微积分基本定理的内容与含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． 【核心扫描】 1．用微积分基本定理求函数的定积分是本课的重点． 2．对微积分基本定理的考查常以选择、填空题的形式出现．
1．微积分基本定理
自学导引
连续
f(x)
F(b)－F(a)

(1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f(x)的一个原函数F(x)； ②计算F(b)－F(a)． (2)注意事项： ①有时需先化简，再求积分； ②f(x)的原函数有无穷多个，如F(x)＋c，计算时，一般只写一个最 简单的，不再加任意常数c.
【变式1】 求下列定积分：
求较复杂函数的定积分的方法： (1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积 函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求 解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正、余 函数、指数、对数函数与常数的和与差． (2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过 积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考 查，解题过程中注意体会转化思想的应用．
【题后反思】 (1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表 示为几段积分和的形式； (2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝 对值号，化为分段函数； (3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论．
2．被积函数为分段函数或绝对值函数时的正确处理方式 分段函数和绝对值函数积分时要分段去积和去掉绝对值符
号去积．处理这类积分一定要弄清分段临界点，同时对于定积分 的性质，必须熟记在心．
题型一 求简单函数的定积分 【例1】 计算下列定积分

微积分的基本定理 课件


0
解析：
2 cos2x2dx＝
2
1＋cos 2
xdx＝
2 1
2 cos xdx＝12x 2 ＋12sin x 2 ＝π4＋12.
0
0
0
答案：π4＋12
(4)利用函数性质求定积分．
1
2
例：
lg11＋－xxdx＝________.
－1
2
解析：记 f(x)＝lg11＋－xx，易知定义域为(－1,1)，因为 f(－x)
a
(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图②，则
bfxdx
＝
a
_－__S_下__．
(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图
③，则bf(x)dx＝ a
S上－S下
；若S上＝S下，则abfxdx＝
0
.
求简单函数的定积分
[例 1] 求下列定积分：
(1)2(x2＋2x＋3)dx； 1
(2)
0
(cos x－ex)dx；
－π
(3) 2 sin2x2dx.
0
[解]
(1)
2
(x2＋2x＋3)dx
1
＝2x2dx＋22xdx＋23dx
1
1
1
＝x33 2 ＋x2 2 ＋3x 2 ＝235.
1
1
1
(2)
0
(cos x－ex)dx＝0 cos xdx－0 exdx
－π
－π
－π
0
＝sin x
0
－ex
＝e1π－1.
－
－
(3)sin2x2＝1－c2os x，
而12x－12sin x′＝12－12cos x，

高中数学(人教版)微积分基本公式课件

( x) x f (t)dt 就是f(x)在[a,b]上的一个原函数 a
定理3 如果函数F(x)为连续函数f(x)在[a,b]上的一个原函数
那么
b
a
f
(
x)
dx
F
(b)
F
(a)
➢注
牛顿 - 莱布尼茨公式
f (函)(b数 a)
F(导)(b数 a)
积分
微分
中值定理
中值定理
牛—莱公式
b
定f积(x分) dx a
0 f (t)dt
定义
设 f (x) C[a,b]
x
( x) a f (t)dt (a x b)
称为积分上限的函数.
性质 若 f ( x)在[a, b]上连续，则 ( x) f ( x)
推论 若 f ( x)在 [a, b]上连续，g( x), h( x) 可导
Φ~( x)
g( x)
f (t)dt
a
b
Ψ ( x) x f (t)dt Ψ~( x) b f (t)dt
f ( )(b a) 微分学 F理
中值定理
牛—莱公式
b
f (x) dx 积分学F (b) F (a) a
例2 计算
例3
计算
1 dx .
2 x
例4
f
(
x)
x
sin
x
1
1 0
x x
0 1
例5 计算曲线y=sinx在[0,π]上
求
1
f (x)dx.
1
y y sin x
第二讲 微积分基本公式
微积分基本公式
一、牛—莱公式及其应用 二、积分上限函数及其应用
微积分基本公式

高中数学16微积分基本定理课件新人教A选修PPT课件


则 下．
b
(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图①，则
a
f(x)dx＝
__S_上___．
第6页/共37页
b
(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图②，则af(x)dx＝ ____－__S_下___．
(3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时，如
图
③
，
则
b
a
f(x)dx
＝
_S_上_－__S_下____
第26页/共37页
定积分的应用
已知
f(x)＝
2x＋1，x∈[－2，2]， 1＋x2，x∈2，4]，
3
求
使
k
f(x)dx
＝
430恒成立的 k 值．
第27页/共37页
• [思路点拨] 第28页/共37页
(1)当k∈(2,3]时，
3
3
kf(x)dx＝k
(1＋x2)dx＝x＋13x3|
3 k
＝3＋13×33－k＋13k3
2
[提示2] 由定积分的几何意义得0 (2x＋1)dx＝6.
第3页/共37页
• [问题3] 求F(2)－F(0)的值． • [提示3] F(2)－F(0)＝4＋2＝6. • [问题4] 你得出什么结论？
2
[提示4] 0f(x)dx＝F(2)－F(0)，且F′(x)＝f(x)．
第4页/共37页
微积分基本定理
第12页/共37页
合作探究 课堂互动
第13页/共37页
求简单函数的定积分
•
求下列定积分：
2
(1) (3x2＋x－1)dx； 0 2π
(2)π (cos x＋sin x)dx；

人教版高一数学课件-微积分基本定理

a
b F '(x )dx
a
f (x )|ba
基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c，则f'(x)=0
2.若f(x)=xn，则f'(x)=nxn-1(n R)
3.若f(x)=sinx，则f'(x)=cosx
4.若f(x)=cosx，则f'(x)=-sinx
5.若f(x)=ax，则f'(x)=ax ln a
6.若f(x)=ex，则f'(x)=ex
7.若f(x)=logax，则f'(x)=
1 xlna
8.若f(x)=lnx，则f'(x)=
1 x
定積分公式
1) (cx )' 2) x n'
c nx n 1
b
cdx
a
cx |ba
b x ndx
1
a
n
xn
1
1 |ba
3) (sin x )' cos x
b
cos xdx
a
sin x |ba
4) (cos x )'
sin x
b
sin xdx
a
cos x |ba
5) (ln x )'
6) (e x )' e x
b e xdx
a
e x |ba
7) (ax )' ax ln a
b axdx
a
ax ln a
|ba
b a
f
(x)dx
2
sinxdx
=
__1_____
例2：求证 sin2xdx = -
例３:計算
2
f ( x)dx,其中
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2
2
答案：D
3．设 f(x)＝x22－，x0，≤1x<≤x≤1，2，
则2f(x)dx 等于________． 0
解析：2f(x)dx＝1x2dx＋2(2－x)dx
0
0
1
＝x3310 ＋(2x－x22)21
＝13＋[(2×2－222)－(2－12)]＝56.
答案：56
探究一 计算简单函数的定积分
[自主梳理]
如果 f(x)是区间[a，b]上的 连续 函数，并且 F′(x) 内容 ＝ f(x)，那么bf(x)dx＝ F(b)－F(a)
a
符号
bf(x)dx＝F(x)ba ＝ F(b)－F(a)
a
二、定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面积为 S 下，则 1．当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图(1)， 则bf(x)dx＝ S 上．
(7)baxdx＝lnaxaba (a>0 且 a≠1)． a
1．计算下列定积分．
(1)1(x3－2x)dx； 0
(2)
2 0
(x＋cos
x)dx；
(3
解析：(1)∵(14x4－x2)′＝x3－2x，
∴1(x3－2x)dx＝(14x4－x2)10 ＝－34. 0
2．(1)若
f(x)＝x2 cos
x≤0 x－1
x>0
2．常见函数的定积分公式： (1)bCdx＝Cxba (C 为常数)．
a
(2)abxndx＝n＋1 1xn＋1ba (n≠－1)． (3)bsin xdx＝－cos xba .
a
(4)bcos xdx＝sin xba . a
(5)b1xdx＝ln xba (b>a>0)． a
(6)bexdx＝exba . a
∴
0
(cos x－ex)dx＝(sin x－ex)0－π
＝(sin 0－e0)－[sin(－π)－e－π]＝e1π－1.
(3)∵(ln x)′＝1x，
∴ e 1
1xdx＝ln
x e1
＝ln
e－ln
1＝1.
(4)∵2xx3－2 1＝2x－x12且x2＋1x′＝2x－x12，
∴ 3
2xx3－2 1＝x2＋1x31
2x， x∈[2，3]
在区间[0,3]上的定积分；
(2)求3 (|2x＋3|＋|3－2x|)dx. -3
[解析] (1)3f(x)dx＝1f(x)dx＋2f(x)dx＋3f(x)dx
0
0
1
2
＝1x3dx＋2 xdx＋32xdx
0
1
2
＝14x410＋23x
3 2
21＋ln2x2 32
＝14＋43 2－23＋ln82－ln42 ＝－152＋43 2＋ln42.
＝9＋13－2＝232.
1．由微积分基本定理求定积分的步骤： 应用微积分基本定理求定积分baf(x)dx 的关键是找到原函数 F(x)：采用逆向 思考的方法，利用基本初等函数的导数公式和运算法则，确定原函数．为避 免出错，应该对原函数进行求导验证． 当被积函数为两个函数的乘积时，一般要转化为和的形式，便于求得函数 F(x)，再计算定积分，具体步骤如下． 第一步：求被积函数 f(x)的一个函数 F(x)； 第二步：计算函数的增量 F(b)—F(a)．
[典例 1] 计算下列定积分：
(1)2(x2＋2x＋3)dx； 1
(2)
0
(cos
x－ex)dx；
(3)1e1xdx； (4)32xx3－2 1dx.
1
[解析] (1)∵13x3＋x2＋3x′＝x2＋2x＋3，
∴12(x2＋2x＋3)dx＝13x3＋x2＋3x21 ＝83＋4＋6－13＋1＋3＝235. (2)∵(sin x)′＝cos x，(ex)′＝ex，
a
2．当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图(2)， 则bf(x)dx＝ －S 下．
a
3．当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则bf(x)dx＝_S__上_－__S__下__， a
若 S 上＝S 下， 则bf(x)dx＝0.
a
[双基自测]
1.1(ex＋2x)dx 等于( ) 0
2
0
＝π4－12＝π－4 2.
(4)∵f(x)＝xx1＋1＝x1－x＋1 1，
且[ln x－ln(x＋1)]′＝x1－x＋1 1，
∴12xx1＋1dx＝12(1x－x＋1 1)dx ＝[ln x－ln(x＋1)]21 ＝ln43.
探究二 计算分段函数的定积分
[典例 2]
x3， x∈[0，1， (1)求函数 f(x)＝ x， x∈[1，2，
－4x，
x<－32，
(2)∵|2x＋3|＋|3－2x|＝6，
－32≤x≤32，
4x， x>32，
∴
3 3
(|2x＋3|＋|3－2x|)dx
＝
3 2
-3
(－4x)dx＋
3
2
3
6dx＋
3 3
4xdx
2
2
＝(－2x2)
3 2
3
＋6x
3
2 3
2
＋2x2
3 3 2
＝45.
求分段函数与绝对值函数定积分的方法： (1)由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是分段函数时，常 常利用定积分的性质(3)，转化为各区间上定积分的和计算． (2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分 再计算．
1.6 微积分基本定理
考纲定位
重难突破
1.了解并掌握微积分基 重点：1.微积分基本定理.
本定理的含义.
2.利用微积分基本定理求定积分.
2.会利用微积分基本定 难点：用微积分基本定理解决与之相关
理求函数的积分.
的综合问题.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
一、微积分基本定理
A．1
B．e－1
C．e
D．e＋1
解析：1(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)10 ＝(e1＋1)－e0＝e. 0
答案：C
2．
2
(1＋cos x)dx 等于(
)
2
A．π
B．2
C．π－2
D．π＋2
解析：∵(x＋sin x)′＝1＋cos x，
∴
2
(1＋cos
x)dx＝(x＋sin
x)
2
＝π＋2.
(2)∵(12x2＋sin x)′＝x＋cos x，
∴
2 0
(x＋cos
x)dx＝(12x2＋sin
π x)20
＝π82＋1.
(3)sin2x2＝1－c2os x，
而(12x－12sin x)′＝12－12cos x，
∴
2 0
sin2x2dx＝
2 0
(21－21cos
x)dx
＝(12x－21sin x)