人教版高中数学课件微积分基本定理

b
1 4 ∴ (x ) ′＝x3 4 1 即 ( 4 x4) ′＝x3
1 41 1 xd x( x) |0 0 4 4
1 3
1 b 公 式 1 : d x = l n x | l n b l n a 公 式 2 : a a x
x b xd x= | a a n + 1
b n
n + 1
移为S，你能分别用 v ( t ) ，s ( t ) 表示Ｓ吗？
s s( t )
o
t


S S …… S S 1 2 i n
v(ti 1 )t
i 1
v (nt 0 ) t v ( t1 ) t … v(ti 1 ) t … v ( t n ) t
bc b
O
a
b x
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲
边梯形位于 x 轴的下方，
b
积 分 f ( x ) d x 在 几 何 上 表 示 yf (x)
a
y
上述曲边梯形面积的负值。
S[ f (x )] dx
a
b
b
S[ f (x )] dx
a
b

1.6微积分基本定理
(一)复习:
①什么叫定积分? 一起回顾计算

1
f ( ) x x l i m fxd
b a n n i 1 i
0
x 3 dx 的过程：
（分割、近似代替、求和、 1 1 0 3 取极限） f( ) x dx lim n
n
46．凡事不要说＂我不会＂或＂不可能＂，因为你根本还没有去做！ 47．成功不是靠梦想和希望，而是靠努力和实践． 48．只有在天空最暗的时候，才可以看到天上的星星． 49．上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价． 50．现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动。 51．宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子． 52．为成功找方法，不为失败找借口． 53．不断反思自己的弱点，是让自己获得更好成功的优良习惯。 54．垃圾桶哲学：别人不要做的事，我拣来做！ 55．不一定要做最大的，但要做最好的． 56．死的方式由上帝决定，活的方式由自己决定！ 57．成功是动词，不是名词！ 28、年轻是我们拼搏的筹码，不是供我们挥霍的资本。 59、世界上最不能等待的事情就是孝敬父母。 60、身体发肤，受之父母，不敢毁伤，孝之始也； 立身行道，扬名於后世，以显父母，孝之终也。——《孝经》 61、不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海。——荀子《劝学篇》 62、孩子：请高看自己一眼，你是最棒的！ 63、路虽远行则将至，事虽难做则必成！ 64、活鱼会逆水而上，死鱼才会随波逐流。 65、怕苦的人苦一辈子，不怕苦的人苦一阵子。 66、有价值的人不是看你能摆平多少人，而是看你能帮助多少人。 67、不可能的事是想出来的，可能的事是做出来的。 68、找不到路不是没有路，路在脚下。 69、幸福源自积德，福报来自行善。 70、盲目的恋爱以微笑开始，以泪滴告终。 71、真正值钱的是分文不用的甜甜的微笑。 72、前面是堵墙，用微笑面对，就变成一座桥。 73、自尊，伟大的人格力量；自爱，维护名誉的金盾。 74、今天学习不努力，明天努力找工作。 75、懂得回报爱，是迈向成熟的第一步。 76、读懂责任，读懂使命，读懂感恩方为懂事。 77、不要只会吃奶，要学会吃干粮，尤其是粗茶淡饭。 78、技艺创造价值，本领改变命运。 79、凭本领潇洒就业，靠技艺稳拿高薪。 80、为寻找出路走进校门，为创造生活奔向社会。 81、我不是来龙飞享福的，但，我是为幸福而来龙飞的！ 82、校兴我荣，校衰我耻。 83、今天我以学校为荣，明天学校以我为荣。 84、不想当老板的学生不是好学生。 85、志存高远虽励志，脚踏实地才是金。 86、时刻牢记父母的血汗钱来自不易，永远不忘父母的养育之恩需要报答。 87、讲孝道读经典培养好人，传知识授技艺打造能人。 88、知技并重，德行为先。 89、生活的理想，就是为了理想的生活。 —— 张闻天 90、贫不足羞，可羞是贫而无志。 —— 吕坤

物理
在物理学科中，该定理可以用来 解决各种物理量如质量、速度、 力等的积分问题，例如计算物体 的动量、动能等。
工程
在工程领域，该定理可以用来解 决各种实际问题的积分计算，例 如计算电路中的电流、求解流体 动力学中的压力分布等。
02 定理的证明
定理证明的思路
明确问题
首先，我们需要明确微积分的基本定理是关于什 么的，以及它要解决的问题是什么。
难点2
如何利用积分运算法则简化每个小部分的积 分。
关键点1
理解定积分的定义和性质，以及它们在证明 定理中的作用。
关键点2
掌握导数的定义和性质，以及它们在推导原 函数值增量中的应用。
03 定理的推论和扩 展
推论一：积分中值定理
总结词
积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它表明在闭区间上连续的函数一定存在至少一个点，使得该函数在此 点的值为该区间上函数积分的平均值。
详细描述
积分中值定理是微积分中的一个基本定理，它表明如果一个函数在闭区间上连续，那么在这个区间内一定存在至 少一个点，使得该函数在这一点处的值等于该函数在整个区间上的平均值。这个定理在解决一些微积分问题时非 常有用，因为它可以帮助我们找到函数在某个点处的值，而不需要计算整个区间的积分。
推论二：洛必达法则
个定积分的值就是曲边梯形的面积。
应用实例二：求解不定积分
总结词
微积分的基本定理是求解不定积分的关 键工具。
VS
详细描述
不定积分是微分学的逆运算，其求解过程 需要用到微积分的基本定理。根据基本定 理，不定积分∫f(x)dx = F(x) + C，其中 F(x)是f(x)的一个原函数，C是常数。通过 基本定理，我们可以找到一个函数F(x)， 使得F'(x) = f(x)。这样，我们就可以求解 不定积分了。

5.3 微积分基本定理
5.3.1 积分上限函数及其导数 5.3.2 微积分的基本定理
5.3.1 积分上限函数及其导数
1、 问题的提出
在变速直线运动中,) v(t)
物体在时间间隔
内经过的路程为 T2v(t)dt T1
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
又由
～
b0
,得 c1 2
故a 1
例4.
证明
只要证
在
内为单调递增函数 .
F ( x) 0
证:
x
x
f (x)0
f (t)dt
x
f (x)0 t
f (t)dt
x 0
f
(t )d t
2
x
f
(
x
)
(
0
x
t
)
f (t)dt
x
0
f
(t )d t
2
0
例 5 设 f ( x)在[0,1]上连续，且 f ( x) 1.证明
b a
f
( x)dx
F
(
x
)
b a
F (b)
F (a)
★ 微积分基本定理
牛顿——莱布尼兹公式
b
a f ( x)dx
f ( )(b a) F ( )(b a) F(b) F(a)
积分中值定理
微分中值定理
通常把这一公式又叫微积分基本定理
例1 求
2 (2cos x sin x 1)dx.
所以f ( x)在[a, b]上连续
定理 2 如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限的函
数( x)
x
a
f

n i1
b as' n
t i1

b
v t dt
b s' t dt.
a
a
结合①
有S

b
a
v
t
dt

b s' tdt a

sb sa.
微积分基本定理：
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F’(x)＝f（x)，则，
这个结论叫微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫牛顿 －莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).
x
y
1
y sin x
2π
o
π
x
1
图1.6 5
练习2：
1 1 3t 2 2dt _1__ 0
2
2
x

1
dx

_2 3__
ln 2
1
x
3
2
3x2

2x

1dx

__9_
1
4
2
ex

1dx

e__2 _
e

1
1
三、小 结
②
Si

hi

v ti1 t

s' ti1 t

ba n
s' ti1 .
从几何意义上看图1.6 2,
s
设曲线s st上与ti1对应的
s st
点为P,PD是P点处的切线,由 sti
D
导数的几何意义知,切线 PD
的斜率等于s' ti1,于是

3 dx
-1 1 + x2
= arctanx
3 -1
= arctan 3 - arctan -1
=
π 3
-
-
π 4
=
7 12
π
新知探究
例2. 计算
3 1
2x
-
1 x2
dx
解: 因为x2来自'=2x,
1 x
'
=
-
1 x2
,
由微积分基本定理得：
3
1
2x
-
1 x2
dx
=
3
2xdx -
课前导入
学习微积分，数学和思维水平都将进入一个新的阶段，能切实地训练学生的辨证思维.毫不夸张地 说，不学或未学懂微积分，思维难以达到较高的水平，难以适应21世纪对高中学生素质的要求. 利用本节学习的微积分基本定理，我们就能轻松解决首页的问题.
课前导入
学习微积分的意义 微积分是研究各种科学的工具，在中学数学中是研究初等函数最有效的工具.恩格斯称之为“17 世纪自然科学的三大发明之一”. 微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关键事件之一，它引入了若干极其成功的、对 以后许多数学的发展起决定性作用的思想.” 微积分的建立，无论是对数学还是对其他科学以至于技术的发展都产生了巨大的影响，充分显示 了数学对于人的认识发展、改造世界的能力的巨大促进作用.
新知探究
变速直线运动
如图，一个作变速直线运动的物体的运动规律是y=y(t).由导数的概念的可知，它在任意时刻t的
速度
v t = y' t .设这个物体在时间段[a,b]内的位移为s，你能分别用y(t),v(t)表示s吗？

(7)baxdx＝lnaxaba (a>0 且 a≠1)． a
1．计算下列定积分．
(1)1(x3－2x)dx； 0
(2)
2 0
(x＋cos
x)dx；
(3)
2 0
sin2x2dx；
(4)2xx1＋1dx. 1
解析：(1)∵(14x4－x2)′＝x3－2x，
∴1(x3－2x)dx＝(14x4－x2)10 ＝－34. 0
微积分基本定理的应用
[典例]
(本题满分 12 分)已知 f(x)＝21x＋＋x12，，xx∈∈[2－，24，]，2]，
若33f(x)dx＝40，求实 k
数 k 的值．
[解析] 由33f(x)dx＝40，得3f(x)dx＝430.
k
k
根据分段函数的解析式，分－2≤k<2 和 2≤k<3 两种情况讨论：……………2 分
0
函数，求 a，b.
[解析] ∵f(x)＝x3＋ax 为奇函数，
∴
1 1
(x3＋ax)dx＝0，
∴
1 1
(x3＋ax＋3a－b)dx
＝
1 1
(x3＋ax)dx＋
1 1
(3a－b)dx
＝0＋(3a－b)[1－(－1)]
＝6a－2b.
∴6a－2b＝2a＋6，即 2a－b＝3.① 又 g(t)＝[x44＋a2x2＋(3a－b)x]0t ＝t44＋a2t2＋(3a－b)t 为偶函数， ∴3a－b＝0.② 由①②得 a＝－3，b＝－9.
(1)当－2≤k<2 时，
3f(x)dx＝2 (2x＋1)dx＋3 (1＋x2)dx
k
k
2
＝(x2＋x)2k ＋x＋x3332

目录 退出
当堂检测
π
1.
2
-π2
A.0
(sin
x+cos
x)dx 的值是( B.���4���
) C.2
D.4
π
������
解析:
2
-π2
(sin
x+cos
x)dx=(sin
x-cos
x)|-2���2���=(1-0)-(-1-0)=2.
答案:C
2.计算定积分
1 -1
(x2+sin
x)dx=
.
解析:
目录 退出
解:(1)由于|x-3|=
3-x,x∈[2,3), x-3,x∈[3,5],
所以
5 2
|x-3|dx=
3 2
|x-3|dx+
5 3
|x-3|dx
=
3 2
(3-x)dx+
5 3
(x-3)dx=
3x-
1 2
x2
|23 +
1 2
x2
-3x
|35
=9-92-6+2+225-15-92+9=52.
么
������ ������
f(x)dx=F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫牛顿—莱
布尼茨公式. (2)为了方便,我们常常把 F(b)-F(a)记成 F(x)|ab,即
������ ������
f(x)dx=F(x)|ab
=F(b)-F(a).
目录 退出
预习交流 1
思考:(1)满足 F'(x)=f(x)的函数 F(x)是唯一的吗?这影响微积分
(3)
1 0

＝12π2－π6＋14sinπ－sinπ3
＝π6＋14－
23＝π6－
3 8.
第二十七页，共36页。
分段函数的定积分(jīfēn)计算
2
求－2|x2－x|dx. [分析] 由于被积函数是含绝对值的函数，需在积分区间 (qū jiān)[－2,2]上分段积分，这里零点是x＝0，x＝1.
第二十八页，共36页。
典例探究学案
第十九页，共36页。
利用牛顿—莱布尼茨公式(gōngshì)求定积分
求下列定积分：
(1)21xdx； 1
(2)1x3dx； 0
1
(3)
exdx.
－1
[分析] 根据导数(dǎo shù)与积分的关系，求定积分要先找
到一个导数(dǎo shù)等于被积函数的原函数，再根据牛顿—莱
布尼茨公式写出答案，找原函数可结合导数(dǎo shù)公式表．
[答案(dáàn)] 4x＋3
第十二页，共36页。
[解析] 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则
1f(x)dx＝1(ax＋b)dx
0
0
＝12ax2＋bx01 ＝12a＋b＝5，
①
10xf(x)dx＝10(ax2＋bx)dx＝13ax3＋12bx201
＝13a＋12b＝167.
②
由①②得ab＝ ＝43 ，∴f(x)＝4x＋3.
第七页，共36页。
微积分基本(jīběn)定理 思维导航 我们已经(yǐ jing)知道利用定积分可以解决一些实际问题， 但用定义求解却很麻烦，有没有简捷有效的计算方法呢？
第八页，共36页。
新知导学 1．微积分基本定理 如果F(x)是区间[a，b]上的连_续__(l_iá_n_x函ù) 数，并且F ′(x)＝ __f_(x_)___，那么bf(x)dx＝_F_(_b)_－__F_(_a_)_．

4) (cos x )' sin x

b sin xdx
a

-
cos x |ba
5) (ln x )' 1
x
b 1 dx ax
ln|x ||ba
6) (e x )' e x

b e x dx
a
e x |ba
7) (ax )'
ax lna
b ax dx
这个结论叫微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫牛顿－莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).
牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的 基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数
f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间 [a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把计算定
n
n
n
n
S Si hi v(ti1)t s '(ti1)t.
取极限i1 ，由定i1积分的i1 定义得 i1
b
b
S a v(t)dt a s '(t)dt s(b) s(a)
进而得出微积分基本定理.
从定积分角度来看：如果物体运动的速度函数为v=v(t)， 那么在时间区间[a,b]内物体的位移s可以用定积分表示 为

x3
'
3x2 ,
1
'

x

1 x2
原式
3
3x2dx
31 dx
3
3x2dx
3 1 dx
1
x 1
2

S n = f ( x 1 ) D x f2 ( ) D x x fn ( ) D x x
如果 Dx 无限趋近于0时,Sn无限趋近于常数S,那
么称常数S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记
作: S = bf(x)dx. a
2019/11/1
5
问题情景
比由较定麻积烦分(四的步定曲义)可,有以没计有算更加01 x简2dx便=有13 效, 的但

2 sin xdx = ______1_ 0
2019/a 1b 1/1f(x)dx=F (x)|b a=F (b)-F (a)
15

(2) 2 cos xdx 0
解 (sinx)' =cosx


2cosxdx=sin -sin0=1-0=1
0
2
思考:

2cosxdx的 几 何 意 义 是 什 么 ? 0
6 .若 f ( x ) = e x f '( x ) = e x
7 .若 f ( x ) = lo g a x

f '(x) = 1 x ln a
8 .若 2019/11/1 f ( x ) = l n x f ' ( x ) = 1
13
x
例 计算下列定积分
2 1
(1) d x 1x
方法求定积分呢?
(分割---以直代曲----求和------逼近)
2019/11/1
6
微积分基本定理
楚水实验学校高二数学备课组
2019/11/1
7
问题思考 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v = v(t)是时