面积与微积分基本定理

微积分基本定理的推导微积分在数学领域中占有重要的地位，它是研究变化的数学分支。

微积分分为微分和积分两个部分，微分用于研究函数的变化，而积分则是对函数的累积。

微积分基本定理是微积分的基础，下面将对微积分基本定理进行推导。

一、微积分基本概念在进行微积分基本定理的推导之前，我们需要了解微积分的一些基本概念。

1.导数导数是描述函数变化率的数学工具，它表示函数在某一点上的变化速率。

求导数的过程叫做微分。

设y=f(x)，则函数f在点x处的导数表示为：f'(x) = lim((f(x+h)-f(x))/h)，h→02.不定积分不定积分表示对函数进行积分，但不规定积分上下限。

设f(x)为连续函数，则对f(x)进行不定积分的结果表示为：∫f(x)dx3.定积分定积分表示对函数在一定区间上进行积分。

设f(x)为连续函数，a和b为区间上限和下限，则对f(x)在[a,b]区间上进行定积分的结果表示为：∫a^b f(x)dx二、了解了微积分的基本概念后，我们来推导微积分基本定理。

1.微积分基本定理第一部分微积分基本定理第一部分表明不定积分和导数之间存在一一对应的关系，即如果f(x)是一个连续函数，F(x)是f(x)的不定积分，则F(x)的导数为f(x)，即：(F(x))' = f(x)证明：我们假设F(x)是f(x)的不定积分，则有：∫f(x)dx = F(x) + C其中C为常数。

对F(x)求导数，有：(F(x))' = (F(x) + C)' = (F(x))' + C'由于C为常数，所以C'为0，得到：(F(x))' = f(x)因此，推导出微积分基本定理第一部分。

2.微积分基本定理第二部分微积分基本定理第二部分表明对函数在[a,b]区间上的定积分可以转化为对原函数F(x)在区间上的值的差值，即：∫a^b f(x)dx = F(b) - F(a)证明：假设F(x)是函数f(x)的一个原函数。

微积分基本定理1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的积分．1．微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃba f (x )d x ＝F (b )－F (a )．2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则(1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图(1)，则ʃb a f (x )d x ＝S 上． (2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图(2)，则ʃb a f (x )d x ＝－S 下．(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则ʃb a f (x )d x ＝S 上－S 下，若S上＝S 下，则ʃb a f (x )d x ＝0.[情境导学]从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f (x )＝x 3非常简单，但直接用定积分的定义计算ʃ10x 3d x 的值却比较麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？另外，我们已经学习了两个重要的概念——导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们能否利用这种联系求定积分呢？探究点一微积分基本定理问题你能用定义计算ʃ211x d x吗？有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？思考1如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段[a，b]内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？答由物体的运动规律是y＝y(t)知：s＝y(b)－y(a)，通过求定积分的几何意义，可得s＝ʃb a v(t)d t＝ʃb a y′(t)d t，所以ʃb a v(t)d t＝ʃb a y′(t)d t＝y(b)－y(a)．其中v(t)＝y′(t)．小结(1)一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．(2)运用微积分基本定理求定积分ʃb a f(x)d x很方便，其关键是准确写出满足F′(x)＝f(x)的F(x)．思考2对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使F′(x)＝f(x)？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？答不唯一，根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实数c，[F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′＝f(x)．不影响，因为ʃb a f(x)d x＝[F(b)＋c]－[F(a)＋c]＝F(b)－F(a)例1计算下列定积分：(1)ʃ211x d x；(2)ʃ31(2x－1x2)d x；(3)ʃ－π(cos x－e x)d x.反思与感悟 求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．跟踪训练1 若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1 D ．S 3<S 2<S 1探究点二 分段函数的定积分例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4.先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分．反思与感悟 求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．跟踪训练2 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤0，cos x －1， x >0，求ʃ1－1f (x )d x .探究点三 定积分的应用 例3 计算下列定积分：ʃπ0sin x d x ，ʃ2ππsin x d x ，ʃ2π0sin x d x .由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．反思与感悟 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0：定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于x 轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分；(2)位于x 轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值就是位于x 轴上方曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积．跟踪训练3 求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围图形的面积(如图所示)．1．π2π2-⎰(1＋cos x )d x 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋22．若ʃa1(2x ＋1x )d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 3．ʃ20(x 2－23x )d x ＝________.4．已知f (x )＝⎩⎨⎧4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算ʃπ0f (x )d x .[呈重点、现规律]1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数．一、基础过关1．已知物体做变速直线运动的位移函数s ＝s (t )，那么下列命题正确的是( ) ①它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝s (t )|b a ； ②它在某一时刻t ＝t 0时，瞬时速度是v ＝s ′(t 0)； ③它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝lim n→∞∑='-ni i s n ab 1)(ξ； ④它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝ʃba s ′(t )d t .A ．①B ．①②C ．①②④D ．①②③④2．若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( ) A ．F (x )＝13x 3B ．F (x )＝x 3C ．F (x )＝13x 3＋1D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)3．ʃ10(e x ＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23 D ．－23 5．π20⎰sin 2x2d x 等于( )A.π4B.π2－1 C ．2D.π－246．若ʃ10(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________.二、能力提升7．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0x ＋a 03t 2d t ，x ≤0，若f [f (1)]＝1，则a ＝________. 9．设f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为________． 10．计算下列定积分：(1)ʃ21(e x ＋1x )d x ； (2)ʃ91x (1＋x )d x ；(3)ʃ200(－0.05e－0.05x ＋1)d x ； (4)ʃ211x (x ＋1)d x .11．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3].求ʃ30f (x )d x 的值．12．已知f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值．三、探究与拓展13．求定积分ʃ3－4|x ＋a |d x ..。

微积分基本定理：若函数f（x）在[a，b]上连续，且存在原函数F（x），即，则f在[a，b]上可积，且，这称为牛顿莱布尼茨公式，它也常写成。

定积分1、定积分解决的典型问题（1）曲边梯形的面积（2）变速直线运动的路程2、函数可积的充分条件定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。

定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。

3、定积分的若干重要性质性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。

推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。

推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。

性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m（ba）≤∫abf(x)dx≤M（ba）,该性质说明由被积函数在积分区间上的.最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。

性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)（ba）。

4、关于广义积分设函数f(x)在区间[a,b]上除点c（a<c<b）外连续，而在点c 的邻域内无界，如果两个广义积分∫acf(x)dx与∫cbf(x)dx都收敛，则定义∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx，否则（只要其中一个发散）就称广义积分∫abf(x)dx发散。

定积分的应用1、求平面图形的面积（曲线围成的面积）直角坐标系下（含参数与不含参数）极坐标系下（r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ）(扇形面积公式S=R2θ/2) 旋转体体积（由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成）（且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程）平行截面面积为已知的立体体积（V=∫abA（x）dx,其中A（x）为截面面积）功、水压力、引力函数的平均值（平均值y=1/(ba)*∫abf(x)dx）定积分的计算一般思路与步骤1.分析积分区间是否关于原点对称，即为[a,a]，如果是，则考虑被积函数的整体或者经过加减拆项后的部分是否具有奇偶性，如果有，则考虑使用“偶倍奇零”性质简化定积分计算。

定积分、微积分基本定理1．定积分、微积分基本定理【定积分】定积分就是求函数在区间中图线下包围的面积．即由所围成图（f X）[a，b] y＝0，x＝a，x＝b，y＝（f X）形的面积．这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形，表示的是一个面积，是一个数．定积分的求法：求定积分首先要确定定义域的范围，其次确定积分函数，最后找出积分的原函数然后求解，这里以例题为例．【微积分基本定理】在高等数学中对函数的微分、积分的研究和对相关概念及用途的数学称作微积分．积分学、极限、微分学及其应用是微积分的主要内容．微积分也称为数学分析，用以研究事物运动时的变化和规律．在高等数学学科中，微积分是一个基础学科．其中，微积分的核心（基本）定理是푏푎F（x）＝（f x）（f x）푓(푥)푑푥= 퐹(푏)―퐹(푎)，其中，而必须在区间（a，b）内连续．2例 1：定积分|3 ―2푥|푑푥=1解：1 | 3﹣2x | dx2=321(3 ―2푥)푑푥+232(2푥―3)푑푥3＝（﹣2）1 +（x2﹣3x）|233x x |221/ 2=12通过这个习题我们发现，第一的，定积分的表示方法，后面一定要有；第二，每一段对应的被积分函数的表dx达式要与定义域相对应；第三，求出原函数代入求解．例 2：用定积分的几何意义，则39 ―푥2푑푥．―3解：根据定积分的几何意义，则39 ―푥2푑푥表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，―3故3―39 ―푥2푑푥=12 × 휋× 32 =9휋．2这里面用到的就是定积分表示的一个面积，通过对被积分函数的分析，我们发现它是个半圆，所以可以直接求他的面积．【考查】定积分相对来说比较容易，一般以选择、填空题的形式出现，这里要熟悉定积分的求法，知道定积分的含义，上面两个题代表了两种解题思路，也是一般思路，希望同学们掌握．2/ 2。

微积分基本定理微积分是数学中的一个重要分支，研究了函数的变化率、积分和微分。

在微积分中，存在着一些重要的定理，其中最基本的定理是微积分基本定理，也称为牛顿－莱布尼茨公式。

微积分基本定理由两个部分组成：第一部分是微分学基本定理，第二部分是积分学基本定理。

第一部分：微分学基本定理微分学基本定理是指在定积分和不定积分之间的关系。

它声称如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，并且存在它的原函数F(x)，即F'(x) = f(x)，那么函数f(x)在[a, b]上的定积分等于原函数F(x)在a和b处的差值。

换句话说，定积分就是原函数在区间上的差值。

数学表达式为：∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)这个定理的重要性在于，它给出了计算定积分的一种方法，通过求出函数的原函数，再计算原函数在区间的差值来得到定积分的值。

这在实际应用中非常有用，例如计算曲线下面积、求解概率密度函数等都可以利用微积分基本定理。

第二部分：积分学基本定理积分学基本定理是微积分中另一个重要的部分。

它描述了反过程，即求解函数的原函数的过程。

根据积分学基本定理，如果一个函数f(x)在[a, b]上连续，并且存在其原函数F(x)，那么函数f(x)在[a, b]上的定积分等于原函数F(x)在[a, b]上的增量。

也就是说，定积分就是原函数在区间上的增量。

数学表达式为：∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)这个定理可以用于求解函数的原函数。

通过计算函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，可以得到其原函数F(x)在a和b处的值。

综合应用：微积分基本定理在实际应用中有着广泛的应用。

例如，在物理学中，可以利用微积分基本定理计算物体的位移、速度和加速度等；在经济学中，可以用来计算边际效益和利润最大化问题；在工程学中，可以用于求解曲线的长度、曲率和曲线下面积等。

总结：微积分基本定理是微积分中的一个重要定理，它由微分学基本定理和积分学基本定理组成。

定积分是积分学中的一个重要概念，它涉及到曲线、面积、速度等多个领域。

在定积分中，有几个重要的定理，它们对于理解和应用定积分具有关键的作用。

1.微积分基本定理（也称为牛顿-莱布尼兹公式）：这是定积分中的核心定理。

它建立了定积分与不定积分（原函数）之间的联系，即一个函数在区间上的定积分等于其原函数在该区间的端点值的差。

这个定理使得定积分的计算变得更为简单，因为它允许我们通过找到被积函数的原函数来求解定积分。

2.中值定理：定积分的中值定理表明，在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]
上的定积分等于f(x)在[a,b]上的某一个值c乘以区间[a,b]的长度，即∫abf(x)dx=f(c)(b−a)。

这个定理在理论上很重要，因为它揭示了定积分与函数值之间的关系。

3.可积性定理：如果一个函数在闭区间[a,b]上只有有限个第一类间断点，那么
这个函数在[a,b]上是可积的。

这个定理给出了函数可积的充分条件，是定积分存在性的基础。

以上三个定理在定积分中占据重要地位。

它们不仅提供了定积分的计算方法，还揭示了定积分与被积函数之间的关系，以及定积分存在的条件。

在理解和应用定积分时，这些定理都是不可或缺的。

微积分的基本定理微积分是数学的重要分支和基石，广泛应用于物理、工程学、经济学和其他各种领域。

微积分的基本定理是微积分中最基本的一条公式，它用于计算定积分和求导数，是微积分计算的基础。

定积分是将函数在一定区间内的面积进行求和的过程。

而求导是计算函数的变化率，也就是斜率的过程。

微积分的基本定理连接了这两种计算方法。

基本定理分为两部分：第一部分，也被称为牛顿-莱布尼茨公式，描述了一个定积分的值可以通过函数的原函数来计算：∫a~b f(x)dx = F(b) - F(a)其中，F(x)是函数f(x)的原函数，a和b是积分区间的端点。

第二部分是求导和积分的关系，它描述了函数f(x)和它的原函数F(x)之间的对应关系：d/dx ∫a~x f(t)dt = f(x)这意味着，积分与求导是互逆的操作。

如果我们首先用函数f(x)在区间[a, x]上的面积来定义函数F(x)，那么F'(x) = f(x)。

也就是说，如果我们知道函数f(x)的积分，那么就可以计算出它的导数。

基本定理是微积分的基础之一，它允许我们对复杂的函数进行计算。

例如，我们可以用基本定理来计算一个函数的平均值、最大值和最小值。

这些计算在数学模型、数据分析和工程中都非常有用。

此外，基本定理还允许我们计算偏导数。

如果一个函数有多个自变量，那么我们需要对其中一个自变量求偏导数。

基本定理可以用于计算偏导数，从而得到函数在某个变量上的变化率。

基本定理的重要性还体现在物理中。

如果我们想计算一个物体的速度或加速度，我们需要知道其位置或速度随时间的变化率。

基本定理允许我们计算这些变化率，从而在物理学中得到非常有用的结果。

微积分的基本定理是微积分中最基本的定理之一，它连接了定积分和求导两个计算方法，为微积分提供了基础。

基本定理的应用非常广泛，既包括学术领域，也包括实际应用中。

熟练掌握这个定理是理解微积分和充分利用微积分的关键。

最漂亮与最实⽤的微积分公式：微积分第⼀、第⼆基本定理对于曲线下的阴影⾯积，可以表⽰为⼀个函数F(x)，现在的问题是，如何构建函数表达式？
阴影⾯积可以使⽤黎曼积分的⼀元⽅程，通过分割、近似、求和、取极限去计算，但过程繁
琐，且⼀些情形⽆法通过此⽅法计算出。

⾯积函数F(x)与曲线函数肯定存在某种特殊关系。

⾸先考虑如何计算以下曲线下的阴影⾯积，如果h→0，以下阴影⾯积相当于就是函数F(x)的导数
F'(x)：
直接从导数的公式推导：
惊奇发现，F(x)的导数竟然是f(x)。

这就是微积分的第⼀基本定理：
积，F(b)是曲线下直线nb左边的⾯积，F(b)-F(a)就是阴影部分的⾯积。

以上就是微积分的第⼆基本定理，⽤于定积分的计算：
微积分的两个基本定理，描述了⾯积函数与曲线函数的导数与反导数关系，让定积分的计算有了⼀般的表达式。

－End－。

授课主题 微积分基本定理教学目标1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的积分．教学内容1. 微积分基本定理：如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a ) .定理中的式子称为“牛顿—莱布尼茨公式”，通常称F (x )是f (x )的一个原函数．在计算定积分时，常常用记号F (x )|b a来表示F (b )－F (a )，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作ʃb a f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a ).2. 定积分和曲边梯形面积的关系：设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则 (1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图(1)，则ʃb a f (x )d x ＝S 上. (2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图(2)，则ʃb a f (x )d x ＝－S 下.(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则ʃba f (x )d x ＝S 上－S 下，若S 上＝S 下，则ʃb a f (x )d x ＝0.题型一 利用微积分基本定理求定积分 例1 (1)求定积分⎰202x d x 的值；(2)求定积分⎰1－1(2x －x 2)d x 的值；(3)求定积分⎰0－π(sin x ＋2e x )d x 的值． 解析：(1) ⎰202x d x ＝2⎰20x d x ＝2×⎪⎪12x 220＝22－02＝4.(2) ⎰1－1(2x －x 2)d x ＝⎰1－12x d x ＋⎰1－1(－x 2)d x ＝x 2|1－1－13x 3|1－1＝－23. (3) ⎰－π(sin x ＋2e x )d x ＝⎰0－πsin x d x ＋2⎰－πe x d x ＝－cos x |0－π＋2e x |0－π＝－cos 0＋cos(－π)＋2(e 0－e －π)＝－2eπ. 点评：应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F (x )的导函数F ′(x )＝f (x )为止(一般情况下忽略常数)，然后再利用微积分基本定理求出结果． 巩 固 求下列定积分的值．(1) ⎰10(2x ＋3)d x ； (2) ⎰1－2(1－t 3)d t ；(3) ⎰π02sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ； (4) ⎰31⎣⎡⎦⎤6x ⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x . 分析：利用微积分基本定理，关键是求出相应被积函数的一个原函数． 解析：(1)∵(x 2＋3x )′＝2x ＋3，∴⎰10(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )|10＝1＋3＝4.(2)∵⎝⎛⎭⎫t －14t 4′＝1－t 3， ∴⎰1－2(1－t 3)d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫t －14t 41－2＝1－14－⎣⎡⎦⎤－2－14(－2)4＝7－14＝274. (3)因为2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2⎝⎛⎭⎫sin x ·22＋cos x ·22＝sin x ＋cos x ， 又(－cos x ＋sin x )′＝sin x ＋cos x ，所以 ⎰π02sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝⎰π0( sin x ＋cos x ) d x ＝(－cos x ＋sin x )|π0 ＝(－cos π＋sin π)－(－cos 0＋sin 0)＝2. (4) ⎰31⎣⎡⎦⎤6x ⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝⎰31(6x 2+6+12x ) d x ＝(2x 3+6x +6x 2)|31＝(54＋18＋54)－(2＋6＋6)＝112 题型二 求分段函数的定积分例2 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3]，求⎰30f (x )d x 的值．解析：由积分的性质，知：⎰30f (x )d x ＝⎰10f (x )d x ＋⎰21f (x )d x ＋⎰32f (x )d x ＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2＝－512＋432＋4ln 2. 点评：分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行；带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解． 巩 固 ⎰3-3 (|2x ＋3|＋|3－2x |)d x .解析：设y＝|2x＋3|＋|3－2x|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x，x≤－32，6，－32<x<32，4x，x≥32.所以⎰3－3(|2x＋3|＋|3－2x|)d x＝323(4)x---⎰d x＋32326-⎰d x＋3324x⎰d x＝＝(－2)×⎝⎛⎭⎫322－(－2)×(－3)2＋6×32－6×⎝⎛⎭⎫－32＋2×32－2×⎝⎛⎭⎫322＝45.题型三利用定积分求参数例3已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，⎰10f(x)d x＝－2，求a，b，c的值．解析：由f(－1)＝2得a－b＋c＝2.①因为f′(x)＝2ax＋b，所以f′(0)＝b＝0.②又⎰10f(x)d x＝⎰10(ax2＋bx＋c)d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13ax3＋12bx2＋cx10＝13a＋12b＋c，所以13a＋12b＋c＝－2③解①②③组成的方程组得a＝6, b＝0，c＝－4.点评：利用定积分求参数，根据题设条件列出关于参数的方程(组)，解方程(组)得参数的值．巩固f(x)是一次函数，且⎰10f(x)d x＝5，⎰10xf(x)d x＝176，求f(x)的解析式．解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则⎰10(ax＋b)d x＝⎰10ax d x＋⎰10b d x＝12ax2⎰10＋bx⎰10＝12a＋b，⎰10x(ax＋b)d x＝⎰10(ax2＋bx)d x＝13ax3⎰10＋12bx2⎰10＝13a＋12b，由⎩⎨⎧12a＋b＝5，13a＋12b＝176，解得a＝4，b＝3，故f(x)＝4x＋3.A组1．下列各定积分等于1的是()A.⎰10x d xB.⎰10(x＋1)d xC.⎰101d xD.⎰1012d x解析：⎰10x d x ＝12x 2⎰10＝12； ⎰10(x ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x ⎰10＝32；⎰101d x ＝x |10＝1； ⎰1012d x ＝12x ⎰10＝12. 答案：C 2． ⎰421xd x 等于( ) A ．－2ln 2 B ．2ln 2 C ．－ln 2 D ．ln 2 解析：⎰421xd x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2. 答案：D3．函数y ＝⎰x 0cos x d x 的导数是( )A ．cos xB ．－sin xC ．cos x －1D ．sin x 答案：AB 组一、选择题1. ⎰10(e x＋2x )d x ＝( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1 答案：C2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0＜x ≤1，则⎰1－1f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23 D ．－23 答案：B3．由曲线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图阴影部分)是( )A. ⎰20(x 2－1)d xB. |⎰20(x 2－1)d x |C. ⎰20|x 2－1|d xD. ⎰20(x 2－1)d x ＋⎰21(x 2－1)d x答案：C4．下列定积分计算正确的是( )A. ⎰π－πsin x d x ＝4 B. ⎰102xd x ＝1C. ⎰21⎝⎛⎭⎫1－1x d x ＝ln e 2D. ⎰1－13x 2d x ＝3解析：⎰π－πsin x d x ＝－cos x|π－π＝0； ⎰102xd x ＝12ln 2x＝log 2e ； ⎰21⎝⎛⎭⎫1－1x d x ＝ |(x －ln x )21＝1－ln 2＝ln e 2； ⎰1－13x 2d x ＝x 3|1－1=2.故选C.答案：C5.若⎰a 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则正数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5解析：⎰a 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝ |(x 2＋ln x )a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，所以a 2－1＝3，所以a ＝－2(舍去)，a ＝2.故选B. 答案：B 二、填空题6．定积分⎰21x d x ＝__________. 答案：23(22－1)7．若⎰T 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．解析：因为⎝⎛⎭⎫x 33′＝x 2，所以⎰T 0x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33|T 0＝9，所以T ＝3. 答案：38．计算定积分⎰1－1(x 2＋sin x )d x ＝________. 答案：23三、解答题9．计算下列定积分：(1) ⎰30|2－x |d x ；解析： ⎰30|2－x |d x ＝⎰20(2－x )d x ＋⎰32(x －2)d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －12x 220＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2－2x 32＝2＋12＝52. (2)⎰π2－π2cos 2x d x .解析：10．若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，且⎰10f (x )d x ＝1，求证：⎰10[f (x )]2d x >1.证明：由于⎰10f (x )d x ＝⎰10(ax ＋b )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫12ax 2＋bx 10＝12a ＋b ， 所以12a ＋b ＝1，所以⎰10[f (x )]2d x ＝⎰10(ax ＋b )2d x ＝⎰10(a 2x 2＋2abx ＋b 2)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13a 2x 3＋abx 2＋b 2x 10＝13a 2＋ab ＋b 2＝⎝⎛⎭⎫12a ＋b 2＋112a 2＝1＋112a 2>1(a ≠0)，故原不等式成立．1． 设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则ʃ21f (－x )d x 的值等于 ( )A.56 B.12 C.23 D.16答案 A解析 由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1， 所以f (x )＝x 2＋x ，于是ʃ21f (－x )d x ＝ʃ21(x 2－x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12x 2|21＝56. 2．(sin x －a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．－ 3 D. 3 答案 A 解析＝－a ＋1＝2，a ＝－1.3． 由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为 ( )A.12 B ．1 C.32D. 3答案 D 解析4． 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈[1，e](其中e 为自然对数的底数)，则ʃe 0f (x )d x 的值为( )A.43B.54C.65D.76答案 A解析 根据定积分的运算法则，由题意，可知ʃe 0f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃe 11x d x ＝13x 3|10＋ln x |e 1＝13＋1＝43. 5． ʃ30(x 2＋1)d x ＝________.答案 12解析 ʃ30(x 2＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x |30＝13×33＋3＝12. 6. 如图所示，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________．答案 43解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋1y ＝1，得x 1＝0，x 2＝2.∴S ＝ʃ20(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝ʃ20(－x 2＋2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 33＋x 2|20＝－83＋4＝43.。

微积分基本定理概述概念介绍微积分是数学中一个重要的分支，研究函数的变化率、积分和微分运算等。

微积分基本定理是微积分中的核心理论之一，它包括两个定理：牛顿-莱布尼茨的第一基本定理和第二基本定理。

这两个定理为微积分提供了重要的工具，使我们能够更好地理解和应用微积分的知识。

第一基本定理牛顿-莱布尼茨的第一基本定理，也被称为积分的基本定理，是微积分中的重要定理之一。

它建立了微积分中微分和积分的关系。

简单来说，第一基本定理告诉我们，如果一个函数在一个区间上连续，并且它的导函数存在，则通过积分可以得到该函数在该区间上的原函数（不同的常数项除外）。

具体来说，设函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且在(a, b)内有一个原函数F(x)，那么有以下公式成立：∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)这个公式可以理解为函数f(x)在[a, b]上的积分等于它在b和a处的原函数值的差。

这个定理的意义在于，它给出了计算定积分的一个便捷方法。

第二基本定理第二基本定理是微积分中的另一个重要定理，也被称为微积分基本定理的加法形式。

它表明，对于一个函数f(x)在一个区间上的原函数F(x)，我们可以通过对其求导得到f(x)本身。

具体来说，设函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且在(a, b)内存在一个原函数F(x)，那么有以下公式成立：d/dx ∫[a,x] f(t)dt = f(x)这个公式的意义很重要。

它告诉我们，如果一个函数在一个区间上连续，并且有一个原函数，那么对这个原函数求导将得到它本身。

这个定理对于求解微分方程和函数的导数等问题非常有用。

基本定理的应用微积分的基本定理在科学和工程领域中具有广泛的应用。

它们为我们提供了一种建立函数和导函数之间关系的方法，使得我们能够更好地理解和分析各种变化的现象。

举个例子来说，基本定理可以用于计算曲线下的面积和体积，解决物理学中的运动和力学问题，以及在统计学中对概率密度函数进行积分等。

微积分基本定理证明引言微积分是数学中重要的分支之一，它研究函数的变化和变化率，以及定量描述曲线下面积和曲线长度。

微积分的基本定理是微积分的核心内容之一，它提供了计算不定积分和定积分的方法。

在本文中，我们将探讨微积分基本定理的证明过程。

定理表述微积分基本定理可以分为两个部分：第一个部分称为求导和积分的基本定理，第二个部分称为积分区间上的平均值定理。

求导和积分的基本定理表述如下：定理1：求导和积分的基本定理如果函数 f 是连续的，并且 F 是 f 的一个原函数，那么对于区间 [a, b] 上的任意一点 x，有∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)另外，如果 F 是 f 的原函数，那么对于区间 [a, b] 上的任意一点 x，函数 f 在 x处的导数f’(x) 可以通过 F 在 x 处的值 F(x) 来计算。

接下来，我们将证明这个定理。

证明证明1：求导和积分的基本定理首先，我们需要证明∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)。

根据积分的定义，对于一个函数 f(x)，我们可以通过近似求和的方式来计算函数在区间 [a, b] 上的定积分。

我们可以将区间 [a, b] 划分为若干个小区间，然后在每个小区间上取一个代表点 xi，并计算 f(xi) 与小区间长度Δxi 的乘积，最后将这些乘积相加。

当我们将小区间的数量无限增多时，这个近似求和方法就可以精确地计算出函数在 [a, b] 上的定积分。

现在，我们考虑函数F(x) = ∫[a,x] f(t)dt，其中 a 是常数。

根据定义，F(x) 是 f(x) 的一个原函数。

因此，我们可以得到以下结论：F(x) = ∫[a,x] f(t)dt = ∫[a,c] f(t)dt + ∫[c,x] f(t)dt其中 c 是在区间 [a, x] 内的任意一点。

现在，我们将右侧第一项中的上限从 c 改为 x，结果不会改变，因此有：F(x) = ∫[a,c] f(t)dt + ∫[c,x] f(t)dt因此，我们可以将 F(x) 分成两部分，第一部分是∫[a,c] f(t)dt，第二部分是∫[c,x] f(t)dt。