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2014届高考数学一轮复习课件：第三章第6课时函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

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2014年高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件：第21讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质

2014年高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件：第21讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质
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第21讲
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质
•
［归纳总结］“变量变化”与“图像变化”的关系： (1)当 x→x＋φ 时， 若 φ>0， 则向左平移 φ 个单位； 若 φ<0， 点则向右平移|φ|个单位． 面 (2)当 y→y＋m 时，若 m>0，则向下平移 m 个单位；若 讲 考m<0，则向上平移|m|个单位． 向 1 (3)当 x→ωx(ω>0)时，其横坐标变为原来的 . ω 1 (4)当 y→ky(k>0)时，其纵坐标变为原来的k .
(2)[2013· 苏州模拟]
已知函数y＝sin(ωx＋φ)ω>0，0<φ ≤
• 点 面 讲 考 向
π 213所示，则φ的值为________． 2 的部分图像如图4-
图4213
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第21讲2 [答案] (1)3 (2) 3 15π 3π 9π 3 [解析] (1)由图像可知4T＝ 8 －（－ 8 ）＝ 4 ，所以T
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第21讲
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质
•
π 变式题 为了得到函数y＝cos(x＋ 3 )的图像，只需将 点 函数y＝sin x的图像向左平移________个长度单位．
面 讲 考 5π 向 [答案] 6
π [解析] 因为y＝sin x＝cos（x－ 2 ），且y＝cos（x＋ π π 5π 5π 3 ）＝cos（x－ 2 ＋ 6 ），所以向左平移 6 个单位长度．
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第21讲
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质
•
π [解析] (1)函数y＝2sin 3 x的图像向右平移1个单位长度得y π π π ＝2sin 3 (x－1)＝2sin 3 x－ 3 的图像，将所得图像上每一点的 点 π 面横坐标扩大为原来的 3 倍(纵坐标保持不变)，则得到y＝ 讲

高三数学第三章第6课时优质课件

高三数学第三章第6课时优质课件

【答案】
A
目录
【名师点评】
用“五点法”作图应抓住四条：
(1)将原函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) 或 y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的形式； 2π (2)求出周期 T＝ ； ω (3)求出振幅 A； (4)列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的 图像时，应列出该区间内的特殊点．
第6课时
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图
像及三角函数模型的简单应用
2014高考导航
考纲展示 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ) 的物理意义；能画出函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图像，了 解参数A，ω，φ对函数图像 变化的影响． 2.了解三角函数是描述周期 变化现象的重要函数模型， 会用三角函数解决一些简单 的实际问题. 备考指南 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的变 换以及根据图像确定A，ω，φ的问 题是高考的热点，主要考查识图、 用图能力，同时也考查三角变换 问题． 2.从题型来看，选择题、填空题 主要考查“五点法作图”及图像 变换的问题；解答题主要结合三 角恒等变换，考查y＝Asin(ωx＋ φ)的性质及应用.
(1)求 A，b.确定函数的最大值 M 和最小值 m， M－m M＋m 则 A＝ ，b＝ . 2 2 2π (2)求 ω 确定函数的周期 T，则 ω＝ . T (3)求 φ 常用方法有：代入法和五点地．
目录
跟踪训练 2．(2013· 潍坊模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0， ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，则其导函数f′(x)的解 析式为( )
目录
π 3．将函数 y＝f′(x)sin x 的图像向左平移 个单位，得到函数 y 4 ＝1－2sin2 x 的图像，则 f(x)可以是( A．2cos x C．2sin x B．cos x D．sin x )

高考数学一轮复习 第三章三角函数 解三角形第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型

高考数学一轮复习 第三章三角函数 解三角形第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型
将函数 y＝sin2x 的图象向右平移 个单 4 位，再向上平移 1 个单位，所得图象的函数解析式是
_
_______．
π 解析：函数 y＝sin2x 的图象向右平移 个单位后得到 y＝sin2(x 4 π π － )＝sin(2x－ )＝－cos2x 的图象，再向上平移 1 个单位可以 4 2 得到 y＝－cos2x＋1 的图象，由二倍角公式知 y＝2sin2x.
1 法二：将 y＝sinx 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的 倍， 2 纵坐标不变，得到 y＝sin2x 的图象； π π 再将 y＝ sin2x 的图象向左平移 个单位，得到 y＝ sin2(x＋ )＝ 6 6 π π sin(2x＋ )的图象；再将 y＝sin(2x＋ )的图象上每一点的横坐标保 3 3 π 持不变，纵坐标伸长为原来的 2 倍，得到 y＝2sin(2x＋ )的图象． 3
1 π 解：(1)y＝3sin( x－ )的周期 T＝4π. 2 4 π 振幅为 3，初相为－ . 4
(2)在x∈[0,4π]上确定关键点列表：
x 1 π x－ 2 4 1 π 3sin( x－ ) 2 4 0 － － π 4 π 2 0 0 3π 2 π 2 3 5π 2 π 0 7π 2 3π 2 4π
π (3)法一：把 y＝sinx 的图象上所有的点向左平移 个单位，得到 y＝ 3 π π sin(x＋ )的图象， 再把 y＝sin(x＋ )的图象上的点的横坐标缩短到原 3 3 1 π 来的 倍(纵坐标不变)， 得到 y＝sin(2x＋ )的图象，最后把 y＝sin(2x 2 3 π ＋ )上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，即可得到 y 3 π ＝2sin(2x＋ )的图象． 3
答案：0
1. y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx 振幅 ＋φ)(A>0， ω>0)，

苏教版高考总复习一轮数学精品课件 第六节 函数y=Asin(ω+φ)的图象与性质及三角函数的应用

苏教版高考总复习一轮数学精品课件 第六节 函数y=Asin(ω+φ)的图象与性质及三角函数的应用
折的方向；对于三角函数名不同的图象变换问题,应先将三角函数名统一,再进行变换.
（2）“异名”函数图象的平移变换问题的关键是借助诱导公式,将“异名”函数先化为
“同名”函数,可以将“已知函数名称”化为“所求函数名称”,也可将“所求函数名称”转化为
“已知函数名称”.
题型二由图象确定 = + 的解析式
如图所示,则 1 =() B
A.− 3B.−1C.1D. 3
[解析]根据题图可知,函数 的最小正周期
=





+


=
=
= , = , =


= ,


× + = −,又 < < ,所以 = ,所以




+ ,所以 = + = −.故选B.
=−
最小,此时 =
∈ ,得 = −


+ , ∈ ,∵ > ,∴当 = 时,
π
1
（2）将函数 = 2cos + 的图象作怎样的变换可以得到函数 =
3
2
π
1
3
解将函数 = 2cos + 的图象向右平移 个单位长度,可得函数
3
2
2π
π
3
1
π
= 2cos[ −
（2）已知函数
= sin + > 0, > 0, < π 的部分图象
如图所示,则下列说法正确的是() C
A.函数
3π
的初相是
4
B.函数 的最大值是2

【金版教程】2014届高考数学总复习 第3章 第4讲 正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用课件 理 新人教A版

【金版教程】2014届高考数学总复习 第3章 第4讲 正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用课件 理 新人教A版

③ω的确定：结合图象，先求出周期T，然后由T＝
2π ω
(ω>0)来确定ω；
④φ的确定：ⅰ)代入法：把图象上一个已知点代入解析式(此 时，A，ω，k已知)，一般代最值点，代其它点时要注意所代 点处于上升区间还是下降区间上． ⅱ)五点法：往往寻找“五点法”中的点为突破，具体如下： 起始点(即图象上升时与x轴的交点)时，ωx＋φ＝0；
π 6
1 (3)cos2x
cos(12x－1π2)
核心要点研究
例1 [2013·无锡模拟]f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝ f(x)图象的一条对称轴是直线x＝8π.
(1)求φ； (2)画出函数y＝f(x)在区间上[0，π]的图象．
[审题视点] (1)根据题目给出的图象特征对称轴，确定参 数φ的值；(2)采用“五点法”作图，应注意定义域为[0，π]．同 时注意列表时要列端点值．
[变式探究] [2013·福建厦门模拟]已知向量a＝(sinx， 2 3sinx)，b＝(2cosx，sinx)，定义f(x)＝a·b－ 3.
[变式探究]
已知函数f(x)＝sin(ωx＋
π 4
)(x∈R，ω>0)的
最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cosωx的图象，只要将
y＝f(x)的图象( )
A．向左平移8π个单位长度 B．向右平移8π个单位长度
C．向左平移π4个单位长度 D．向右平移4π个单位长度 答案：A
解析：由题意得2ωπ＝π，ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋π4)，g(x)
[审题视点] 利用函数图象的平移和伸缩的变换规律逐步 完成．
[解析] y＝cos2x＋1通过伸缩、平移变换后得到y＝cos(x＋ 1)，对应图象为A项．

高考数学一轮总复习三角函数解三角形第6节 函数y=sin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的应用

高考数学一轮总复习三角函数解三角形第6节 函数y=sin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的应用

解析:由题图可知 T=

所以

||


- = (T 为 f(x)的最小正周期),即 T=π,


=π,即ω=±2,又ω>0,故 f(x)=2cos(2x+ ).








点( ,0)可看作“五点法”中的第二个点,故 2× + = ,得 =- ,



则 f(x)=2cos(2x-),所以 f()=2cos(2×-)=- .


t=+2kπ或 t= +2kπ,k∈Z,

由题图可知,ωx2+ -(ωx1+ )= -= ,

即ω(x2-x1)= ,所以ω=4.




因为 f( )=sin( + )=0,所以 + =2kπ,k∈Z,即 =- +2kπ,

[课程标准要求]
1.了解函数y=Asin(ωx+ )的物理意义,能画出y=Asin(ωx+ )
的图象,了解参数A,ω, 对函数图象变化的影响.2.会用三角函
数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的
重要函数模型.
积累·必备知识
回顾教材,夯实四基
1.y=Asin(ωx+ )的有关概念
√

D.0,,,,


解析:令x 依次等于 0,,π, ,2π,得 x 依次为 0,π,2π,3π,4π.
故选 C.

3.(必修第一册 P239 练习 T2 改编)为了得到函数 y=sin(x-)的图象,只要把

高考数学 一轮 第三章 三角函数 3.6 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及简单应用

0)或y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的形式;②求出周期T=2 ;③求出振幅A;④
ω
列出一个周期内的五个特殊点,当要画出某指定区间上的图象时,应列出
该区间内的特殊点. (2)图象变换法 ①平移变换 沿x轴平移,遵循“左加右减”法则; 沿y轴平移,遵循“上加下减”法则. ②伸缩变换
沿x轴伸缩时,横坐标x伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的1 (纵坐标不变);
12
t
3
,故有10-2sin
12
tt
3
<-
1 2
.
又0≤t<24,因此 7 < t+ <11 ,即10<t<18.
6 12 3 6
故10时至18时实验室需要降温.
ωx+φ
0
π
π
2
3π
2π
2
x
π
π
12
3
Asin(ωx+φ)
0
5
7π
5π
13π
12
6
12
0
-5
0
且函数表达式为f(x)=5sin
2x
6
.
(2)由(1)知
f(x)=5sin
2x
6
,
得g(x)=5sin
2x
2θ
6
.
令2x+2θ- =kπ,解得x=k + -θ,k∈Z.
6
2 12
由于函数y=g(x)的图象关于点
5 12
,
0
中心对称,
则可令 k + -θ=5 ,解得θ= k - ,k∈Z.

高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第五节y=Asinωx+φ的图象及应用课件新人教版


其中所有正确结论的编号是( D )
A．①④
B．②③ C．①②③ D．①③④
[解析] 已知 f(x)＝sinωx＋π5(ω＞0)在[0,2π]有且仅有 5 个零点，如图， 其图象的右端点的横坐标在[a，b)上，此时 f(x)在(0,2π)有且仅有 3 个极
大值点，但 f(x)在(0,2π)可能有 2 或 3 个极小值点，所以①正确，②不正 确；当 x∈[0,2π]时，ωx＋π5∈5π，2πω＋π5，由 f(x)在[0,2π]有且仅有 5 个 零点可得 5π≤2πω＋π5＜6π，得 ω 的取值范围是152，2190，所以④正确； 当 x∈0，1π0时，π5＜ωx＋π5＜π1ω0 ＋π5＜41090π＜π2，所以 f(x)在0，1π0单调递 增，所以③正确．
三角函数的零点、不等式问题的求解思路 (1)把函数表达式转化为正弦型函数情势y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0， ω>0)． (2)画出长度为一个周期的区间上的函数图象． (3)利用图象解决有关三角函数的零点、不等式问题．
[题组突破]
1．(2021·佛山四校联考)已知x0＝
π 3
是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一个极大值
点，则f(x)的一个单调递减区间是( B )
A.6π，23π C.2π，π
B．3π，56π D．23π，π
角，∴2A＝π3，A＝π6，故tan
A＝
3 3.
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m， 则A＝M－2 m，b＝M＋2 m. (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝2Tπ.
(3)求φ常用的方法： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入 图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在 降落区间上)． ②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体 如下：

《金版学案》高考数学文科一轮复习课件3-6函数y=Asin(ωx+φ)的图象 及三角函数模型的应用


栏 目 链
∴f(0)＝
2sin2kπ＋π3 ＝
6 2.
接
栏 目 链 接
考点探究
考点1 五点法作图及图象变换
【例 1】 已知函数 y＝3sin12x－π4 .
栏
(1)用五点法作出函数的图象；
目
(2)说明此图象是由 y＝sin x 的图象经过怎么样的变化得到的；
链 接
(3)求此函数的振幅、周期和初相；
π
π
C.向左平移12个单位 D.向左平移 4 个单位
链
接
易错点拨：本题若考生把 y＝sin 3x＋cos 3x 恒等变换成 y＝sin 3x＋cos 3x＝
2sin3x＋π4 ，再考虑平移难度就很大；若记错公式把 y＝sin 3x＋cos 3x 化成 y ＝ 2cos3x＋π4 ，容易错选 C.题目的“倒装语句”叙述，也容易发生错误判断．
接
考点探究
(2)“先平移，后伸缩”．
π 先把 y＝sin x 的图象上所有点向右平移 4 个单位，得到 y＝
sinx－π4 的图象；再把 y＝sinx－π4 的图象上所有点的横坐标伸长 栏
到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin12x－π4 的图象，最后将 y
链
的图象的作图方法(用五点法)：先取横坐标分别为 0，π2 ，π，32π，2π的
接
五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一
个周期内的图象．再将一个周期内的图象向左右平移 2kπ(k∈N*)个单位长
度，即得函数的整个图象．
课前自修
(2)正切函数的图象：作正切曲线常用三点二线作图法． 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象：
课前自修
解析：本题考查三角函数的图象变换及三角恒等变换，难度中等．

高考数学一轮复习 第3章《三角函数》三角函数的图象课件


∴φ=-ωx0=-
2
(3
2)=
3
.
返回目录
解法四：（平移法）
由图象知，将y=5sin
2 3
x的图象沿x轴向左平移
2
个单
位，就得到本题图象.故所求函数解析式为
y=5sin〔 2 ( x+ )〕=5sin( 2 x+ ).
3
2
33
返回目录
考点三 三角函数图象的对称性
已知函数y=sin2x+acos2x= 1 a2 sin(2x+φ)(其中
3
(2)由此题两种解法可见,在由图象求解析式时，
“第一个零点”的确定是重要的，应尽量使A取正值.
(3)已知函数图象求函数
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式时,常用的解题 方法是待定系数法,由图中的最大值或最小值确定A,由 周期确定ω,由适合解析式的点的坐标来确定φ,但由
返回目录
图象求得的y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式一般不唯 一,只有限定φ的取值范围,才能得出唯一解,否则φ的值不 确定,解析式也就不唯一.
学案3 三角函数的图象
考点分析
1. “五点法”作y=Asin(ωx+φ)(A＞00,,ω,＞,30)的,2简图
五点的取法是：设X=ωx+φ，由X取 2 2 来求相应的x值，及对应的y值，再描点作图.
2.变换作图法作y=Asin(ωx+φ)（A＞0,ω＞0）的 图象
(1)振幅变换：y=sinx→y=Asinx 返回目录
以“五点法”中的第一零点(
,0)作为突破口，要从图
象的升降情况找准第一零点的位置.要善于抓住特殊量和特
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2x－ π ＋π －2sin2x＋ π ＋π (2)g(x)＝2sin 12 6 12 6 2x＋π ＝2sin 2x－2sin 3 1 3 ＝2sin 2x－2 sin 2x＋ cos 2x 2 2 2x－π . ＝sin 2x－ 3cos 2x＝2sin 3
2x－π ＞ 2， (3)cos 3 2
π π π ∴2kπ－ ＜2x－ ＜2kπ＋ ，k∈Z， 4 3 4 π 7 2kπ＋ ＜2x＜2kπ＋ π，k∈Z， 12 12 π 7 kπ＋ ＜x＜kπ＋ π，k∈Z， 24 24 π 7 ∴x 的取值范围是{x|kπ＋ ＜x＜kπ＋ π，k∈Z}． 24 24
跟踪训练 π 2．已知函数 y＝Asin(ωx＋φ) A＞0，ω＞0， 0＜φ＜2 的图象经过点(0,1)，且一个最高点的坐标为(1,2)，则 ω 的 最小值是________．
(
解析：因为最高点的纵坐标为 2，所以 A＝2. 又因为图象经过点(0,1)，所以 2sin φ＝1， 1 π π 即 sin φ＝ .又 0＜φ＜ ，所以 φ＝ . 2 2 6 又最高点的坐标为(1,2)， ω＋π ＝2，解得 ω＝2kπ＋π(k∈Z)， 所以 2sin 6 3 π 所以 ω 的最小值是 . 3 π 答案： 3
π 2 A
π 0
3π 2 －A
2π 0
3.函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0) 的图象的步骤
课前热身
2x－π 的振幅、频率和初相分别为( 1．y＝2sin 4
1 π A．2、 、－ π 4 1 π C．2、 、－ π 8 1 π B．2、 、－ 2π 4 1 π D．2、 、－ 2π 8 )
π 答案：( ，0) 6
2π ( ，1) 3
7π ( ，0) 6
5π ( ，－1) 3
13π ( ，0) 6
5．图中的曲线是函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象(A>0，ω>0， π |φ|< )，则 ω＝________，φ＝________. 2
解析：设周期为 T， 3 5 π 3 则 T＝ π－ ＝ π， 4 6 12 4 ∴T＝π，∴ω＝2. π π π ∴2× ＋φ＝ ，∴φ＝ . 12 2 3
第6课时
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图
象及三角函数模型的简单应用
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考纲展示 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的 物理意义，能画出函数y＝ Asin(ωx＋φ)的图象，了解参 数A，ω，φ对函数图象变化 的影响. 2.了解三角函数是描述周期变 化现象的重要函数模型，会 用三角函数解决一些简单的 实际问题. 备考指南 1.“五点法”作图及图 象的变换是考查的重点. 2.结合三角恒等变换考 查y＝Asin(ωx＋φ)的性 质及简单应用是考查的 热点. 3.主要以选择题、解答 题为主.
本节目录
教 材 回 顾 夯 实 双 基
考 点 探 究 讲 练 互 动
名 师 讲 坛 精 彩 呈 现
知 能 演 练 轻 松 闯 关
教材回顾夯实双基
基础梳理
1.y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx 振幅 ＋φ) (A>0， ω >0)，x∈ A [0，＋∞) 周期 T＝ 2π ____ ω 频率 1 f＝ ＝ T ω 2π ____ 相位 ωx ＋φ 初相 φ
考点 2 由图象求函数解析式 例2 (2012· 考 湖 南 卷 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ Asin(ωx ＋ 高 x∈R，ω＞0，0＜φ＜π 的部分图象如图所示． φ) 2
(1)求函数 f(x)的解析式； x－ π －fx＋ π 的单调递增区间． (2)求函数 g(x)＝f 12 12
11π－5π＝π， 【解】 (1)由题设图象知，周期 T＝2 12 12
2π 所以 ω＝ ＝2. T 5π，0在函数图象上，所以 Asin2×5π＋φ ＝0， 因为点 12 12 5π＋φ ＝0. 即 sin 6 π 5π 5π 4π 又因为 0＜φ＜ ，所以 ＜ ＋φ＜ . 2 6 6 3 5π π 从而 ＋φ＝π，即 φ＝ . 6 6 π 又点(0,1)在函数图象上，所以 Asin ＝1，解得 A＝2. 6 2x＋π . 故函数 f(x)的解析式为 f(x)＝2sin 6
【答案】
B
【名师点评】
三角函数模型在实际中的应用体现在两个方
面：一是已知函数模型求解数学问题，如本例，关键是准确 理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系；二是把 实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用 三角函数的有关知识解决问题，其关键是迅速建模．
跟踪训练 3．如图，某市拟在长为 8 km 的道路 OP 的一侧修建一条 运动赛道，赛道的前一部分为曲线段 OSM，该曲线段为函 数 y＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最 高点为 S(3,2 3)； 赛道的后一部分为折线段 MNP.为保证参 赛运动员的安全，限定∠MNP＝120° . 求 A，ω 的值和 M，P 两点间的距离．
x＋1 ， 解析：选 C.∵y＝cos(2x＋1)＝cos2 2
1 ∴只要将函数 y＝cos2x 的图象向左平移 个单位即可,故选 C. 2
π 4．用五点法作函数 y＝sin(x－ )在一个周期内的图象时， 6 主要确定的五个点是 ________、 ________、________、 ________、________.
1.5 1.0
0.5 0.99
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数 y＝Acos ωt＋b 的 图象．根据以上数据，你认为一日(持续 24 小时)内，该海滨浴场 的海浪高度超过 1.25 米的时间为( A．10 小时 C．6 小时 B．8 小时 D．4 小时 )
【解析】
－A＋b＝0.5 依题意得 2π ω ＝12
答案：2 π 3
考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 三角函数的图象及其变换 设函数 f(x)＝sin ωx＋ 3cos ωx(ω>0)的周期为 π.
例1
(1)求它的振幅、初相； (2)用五点法作出它在一个周期上的图象； (3)说明函数 f(x)的图象可由 y＝sin x 的图象经过怎样的变 换而得到．
考点 3 三角函数模型的简单应用 金丽衢十二校联考)已知我省某海滨浴场的海浪高度 例3 (2013· y(米)是时间 t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作 y＝f(t)．下表是 某日各时的浪高数据： t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 1.5
y(米) 1.5 1.0
0.5 1.0
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五
个关键点，如下表所示.
φ － ω _____
0 0
π φ － 2ω ω _______
x ωx＋φ y＝Asin (ωx＋φ)
π φ － ω ω ______
3π φ 2π φ － － _______ _________ 2ω ω ω ω
【思维升华】 (1)用“五点法”作图应抓住四条：①将原函 数化为 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)或 y＝Acos(ωx＋φ)(A>0， 2π ω>0)的形式；②求出周期 T＝ ；③求出振幅 A；④列出一 ω 个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应 列出该区间内的特殊点． (2)图象变换法 平移变换： ①沿 x 轴平移，按“左加、右减”法则； ②沿 y 轴平移，按“上加、下减”法则． 伸缩变换： ①沿 x 轴伸缩时，横坐标 x 伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)为原 1 来的 倍(纵坐标 y 不变)； ω ②沿 y 轴伸缩时，纵坐标 y 伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)为原 来的 A 倍(横坐标 x 不变)．
π π π 由 2kπ－ ≤2x－ ≤2kπ＋ ，k∈Z， 2 3 2 π 5π 得 kπ－ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z. 12 12
kπ－ π ，kπ＋5π ,k∈Z. 所以函数 g(x)的单调递增区间是 12 12
【规律小结】 确定 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的解 析式的步骤： (1)求 A，b，确定函数的最大值 M 和最小值 m， M－m M＋m 则 A＝ ，b＝ . 2 2 2π (2)求 ω，确定函数的周期 T，则 ω＝ . T (3)求 φ，常用方法有： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，b 已 知)或代入图象与直线 y＝b 的交点求解(此时要注意交点在 上升区间上还是在下降区间上)．
(2)列出下表，并描点画出图象如图. π π 0 2x＋ 3 2 π π x － 6 12 π 2 y＝2sin(2x＋ ) 0 3
π π 3 0
3π 2 7π 12 －2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2π 5π 6 0
π (3)把 y＝sin x 图象上所有的点向左平移 个单位，得到 y＝ 3 π π sin(x＋ )的图象， 再把 y＝sin(x＋ )的图象上所有点的横坐标 3 3 1 π 缩短到原来的 (纵坐标不变)，得到 y＝sin(2x＋ )的图象，然 2 3 π 后把 y＝sin(2x＋ )的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 3 π 倍(横坐标不变)，即可得到 y＝2sin(2x＋ )的图象． 3
π ＝cos2×π ＋φ ∵f 4 4 π＋φ ＝－sin φ＝ 3， ＝cos 2 2
∴sin φ＝－ 3 . 2
π π ∵－ ＜φ＜0，∴φ＝－ . 2 3
2x－π ，列表如下： (2)f(x)＝cos 3
π 2x－ 3 x f(x) 图象如图： π － 3 0 1 2 π 0 2 π 5 π 6 12 1 0 π 2 π 3 －1 3 π 2 11 π 12 0 5 π 3 π 1 2