第七章-1.-向量及其线性运算

a b (a x b x ,a y b y,a z b z)
a (ax,ay,az)
平行向量对应坐标成比例: 当 a 0 时 ,
bx ax
by ay
bx ax
by ay
bz az
bz az
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求解以向量为未知元的线性方程组 5x 3y a ① 3x 2y b ②
的坐标为 M (x,y,z), 则
z O M O N N M O O A O BC C
r x i y j z k (x,y,z)
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
k o i
j r
M
B
y
A
x
N
沿三个坐标轴方向的分向量.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
四、利用坐标作向量的线性运算
设 a (ax,ay,a z),b (b x,b y,b z), 为实数，则
自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
M2 M1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
( x 1 x 2 ,y 1 y 2 , z 1 z 2 )
A
x1 x2 1
,
y1 y2 1
,
M B
z1 z2 1
o
A
当1时,点 M 为 AB 的中点 , 于是得
中点公式:
B
x1
2
x2
,
y1

(4)实数与向量的积(数乘)．
①定义：实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa，λa 与 a 平行．规定： |λa|＝__|λ_||_a|___，当 λ ＞ 0 时，λa 的方向与 a 的方向 相同 ；当 λ ＜ 0 时，λa 的方向与 a 的方向 相反 ；当 λ＝0 时，λa＝0.
②运算律：λ(μa)＝_(λ_μ_)a__，(λ＋μ)a＝_λ_a＋__μ_a __，λ(a＋b)＝_λ_a_＋_λ_b___．
面内的任意一点，则O→A＋O→B＋O→C＋O→D等于( D )
→ A.OM
B．2O→M
C．3O→M
D．4O→M
【解析】 因为 M 是平行四边形 ABCD 对角线 AC，BD 的交点，所以O→A＋
O→C＝2O→M，O→B＋O→D＝2O→M.所以O→A＋O→B＋O→C＋O→D＝4O→M.
故选 D.
(3)在△ABC 中，延长 BC 至点 M 使得 BC＝2CM，连接 AM，点 N 为 AM 上
A.1A→B－1A→D 23
C．－1A→B＋1A→D 23
B.1A→B－1A→D 32
D．－1A→B＋1A→D 32
4.如图所示，设 O 是△ABC 内部一点，且O→A＋O→C＝－2O→B，则△ABC 与
△AOC 的面积之比为( )
A．4∶1
B．2∶1
C．3∶2
D．4∶3
5、如图所示，在△ABC 中，点 O 是 BC 的中点．过点 O 的直线分别交直线 AB，AC 于不同的两点 M，N，若A→B＝mA→M，A→C＝nA→N，则 m＋n 的值为________
2、如图所示，在△ABC 中，A→N＝1A→C，P 是 BN 上的一点，若A→P＝mA→B＋ 2 A→C，

2
OM 4{1 , 2 , 1} {2,2 2,2}
22 2
M的坐标为{2,2 2,2}
首页 上页 下页 尾页
3. 向量在轴上的投影
若A、B在u轴上的
B
投影分别为A、B，
A


称 AB为 AB的在u轴
A(a)
u
B(b)
方 向 上 的分 向 量，
记e为u方
向
上
的
单
位
由 ax | a | cos
o cos ax y a x
x
|a|
ax2 ay2 az2
首页 上页 下页 尾页
向量 {ax ,ay ,az }方向余弦的坐标表示式
cos cos
ax
ax2
a az
2 y

az2
cos
ay
ax2

a
2 y

az2
11
首页 上页 下页 尾页
例4 设有向量 oM ，已知|| oM || 4 ，它与 x轴和 y 轴的夹角分别为 和 ，求 M 的
34 坐标.
解 设向量 OM 的方向角为 、 、
, 3
cos 1 , 2
, 4
cos 2 , 2
cos2 cos2 cos2 1, cos 1 .

பைடு நூலகம்
x
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
——向量的模的坐标表达式。
两点间距离公式 首 页 上 页 下 页 尾 页
例 2 设 P 在 x轴上，它到P1(0, 2,3)的距离为到点 P2(0,1,1)的距离的两倍，求点P 的坐标.

OM = { x , y , z } 与其终点 的坐标一致. 与其终点M 的坐标一致.
所以要求一个向量的坐标， 所以要求一个向量的坐标 ， 可将其起点移至坐标原点， 可将其起点移至坐标原点 ， 直接求终点的坐标即可. 直接求终点的坐标即可.
o o
z
M( x, y, z) y
x
利用坐标作向量的线性运算 r r r r r 设a = {ax , ay , az }, 即 a = a x i + a y j + a z k ; r r r r r b = bx i + b y j + bz k ; b = {bx , by , bz },
第七章
空间解析几何与向量代数
空间解析几何： 空间解析几何：通过建立空间直角坐标系 把空间几何图形和代数方程联系起来. 把空间几何图形和代数方程联系起来. 向量：既有大小又有方向的量. 向量：既有大小又有方向的量. 本章知识也为讨论多元函数微积分立下几何 基础。 基础。
第七章 七
第一节 空间直角坐标系、 向量及其线性运算
MD = 1 ( b − a) 2
C
b
A
M a B
∴ MA = − 1 ( a + b) MB = − 1 (b − a) 2 2 MC = 1 ( a + b) 2
向量经过数乘运算后与原向量平行。 反之， 向量经过数乘运算后与原向量平行。 反之， 如果两个向量平行，则它们之间必存在数乘关系. 如果两个向量平行，则它们之间必存在数乘关系. r r r r 定理: 设向量a ≠ 0，那末向量b 平行于a 的
2
Q M 1 P = x2 − x1 ,
z
R
• M2
M1