专题10 反比例函数(1)-九年级数学专题讲座之剖析经典总结规律(解析版)

反比例函数内容讲解1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y=kx（k•为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 2．反比例函数的图象和性质．利用画函数图象的方法，可以画出反比例函数的图象，它的图象是双曲线，反比例函数y=kx具有如下的性质①当k>0时，函数的图象在第一、三象限，•在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内，y 随x 的增加是减小；②当k<0时，•函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y 随x 的增加而增大．3．反比例函数的确定方法：由于在反比例函数关系式y=kx中，•只有一个待定系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数．因此，只需给出一组x 、y 的对应值或图象上点的坐标，代入y=kx中即可求出k 的值，从而确定反比例函数的关系式． 4．用待定系数法求与反比例函数关系式的一般步骤是：①设所求的反比例函数为：y=kx（k ≠0）；•②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k 的方程；③由代入法解待定系数k 的值；④把k 值代入函数关系式y=kx中．例题剖析例1 如果函数y=k 222k k x +-的图象是双曲线，且在第二、四象限，•那么k 的值是多少？分析：若函数的图象是双曲线，则此函数为反比例函数y=kx，且k ≠0，若图象在第二、四象限，则k<0，故可求出k 的值．解：由反比例函数定义，得211221,200k k k k k k ⎧⎧=-=+-=-⎪⎨⎨<⎩⎪<⎩或所以k=-1，这时函数为y=-1x． 评注：函数y=k x m 反比例函数，则m=-1，k ≠0；若y=mkx 是反比例函数，则m=1，k ≠0．例2 函数y=kx 和y=kx（k<0）•在同一坐标系中的图象是（ ）分析：对于y=kx 来说，当k>0时，图象经过一、三象限，当k<0时，图象经过二、四象限；对于y=kx来说，当k>0时，图象在一、三象限，当k<0时，图象在二、四象限，所以应选（C ）． 解：（C ）．评注：由于两个函数中的k 是相同的，所以可以把k 分为两类进行讨论，当k>•0时的图象是什么？当k<0时的图象是什么？例3 如图，正比例函数y=3x 的图象与反比例函数y=kx（k>0）的图象交于点A ，若取k 为1，2，3，…，20，对应的Rt △AOB 的面积分别为S 1，S 2，…，S 20，则S 1+S 2+…+S 20=_________．分析：因为过正比例函数与反比例函数的交点作x 轴的垂线，x 轴，•正比例函数与垂线所围成的Rt △AOB 的面积是k 的一半． 解：105．评注：若k 取大于0的自然数1，2，3，……n ，则对应的Rt △AOB 的面积分别为S 1，S 2，S 3……S n ，则S 1+S 2+S 3+……+S n =(1)4n n ． 例4 正比例函数y=-x 与反比例函数y=-1x的图象相交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于B ，CD ⊥x 轴于D （如图）•，•则四边形ABCD•的面积为________．分析：易知四边形ABCD 是一平行四边形，故可知其面积为S 的4倍，为一常数． 解：函数y=x 与y=1x的图象交点A 、C 的坐标分别为（1，1），（-1，-1），所以△AOB•的面积等于12，根据反比例函数的图象是中心对称图形，得平行四边形ABCD 的面积为2．评注：理解反比例函数中的不变量k 的几何意义是解题的关键． 例5 两个反比例函数y=3x ，y=6x在第一象限内的图象如图所示，点P 1，P 2，P 3，…，P 2005在反比例函数y=6x图象上，它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，…，x 2005，纵坐标分别是1，3，•5，•…，•共2005个连续奇数，过点P 1，P 2，P 3，…，P 2005分别作y 轴的平行线，与y=3x的图象交点依次是Q 1（•x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），Q 3（x 3，y 3），…，Q 2005（x 2005，y 2005），则y 2005=________．分析：解题关键是抓住点P 1，P 2，P 3，…，P 2005与点P 1，P 2，P 3，…，P 2005的横坐标相同．解：当点P 1，P 2，P 3，…，P 2005在函数y=6x的图象上，它们的纵坐标分别取1，3，5，...，4009•时相应的横坐标分别为666,,135， (6)4009．Q 1（x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），Q 3（x 3，y 3），…，Q 2005（x 2005，y 2005）在函数y=3x的图象上，•且这些点的横坐标分别与点P 1，P 2，P 3，…，P 2005的横坐标相同，点Q 2005横坐标是64009．所以点Q 2005的纵坐标是y 2005=k x =34009624009． 评注：本题以能力立意，一方面通过“数”与“形”的转换考查了学生的数学表达能力，另一方面也考查了学生自主探索与合情推理等能力．此类题背景较新颖，有时规律较隐蔽，而成为填空题中的“把关题”．例6 设函数f （x ）对所有非零实数x ，有f （x ）+2f （1x）=3x ，求方程f （x ）=f （-x ）的解．分析：通过观察，发现x 与1x 互为倒数，把1x 换成x 后可得到关于f （x ）和f （1x）的两个方程，可以求解．解：由f （x ）+2f （1x ）=3x 得f （1x ）+2f （x ）=3x ， 联立两式，消去f （1x ），得3f （x ）=6x -3x ，所以f （x ）=2x-x ．从而方程f （x ）=f （-x ），可化为2x -x=-2x+x ，解得：x=经检验是方程的解．评注：本题由于方程比较特殊，抓住x 与1x互为倒数的特点是解题的关键．例7 反比例函数y=kx（k>0）在第一象限内的图像如图所示，P 为该图像上任意一点，PQ 垂直于x 轴，垂足为Q ．设△POQ 的面积为S ，•那么S 的值与k 的值是否存在关系？若有关系，请写出S 与k 之间的关系式；若没有关系，请说明理由．分析：因为S △POQ =12·OQ ·PQ ，若设P 点坐标为P （x ，y ），则OQ=│x │，PQ=│y │，又因为P•点在第一象限，所以x>0，y>0，因此可以得到S △POQ =12xy ，而由y=kx可以得到xy=k ，•于是可以确定S 与k 的关系式． 解：S 与k 之间的关系式为S=12k ， 设P 点的坐标为P （x ，y ），则OQ=│x │，PQ=│y │． ∵点P 在第一象限内，∴x>0，y>0， ∴OQ=x ，PQ=y ．∴S△POQ=12·OQ·PQ=12xy．又∵xy=k，∴S△POQ =12k．评注：反比例函数的系数k与过双曲线上的点作x轴、y轴的垂线所围成的矩形的面积之间的关系在解题中作用很大，要熟练掌握．例8如图所示，已知反比例函数y=12x的图像与一次函数y=kx+4的图像相交于P、•Q两点，并且P点的纵坐标是6．（1）求这个一次函数的解析式；（2）求△POQ的面积．分析：由已知条件P点的纵坐标是6，而点P在反比例函数y=12x上，可以求得P•点的横坐标为x=2，即P点坐标为（2，6）．又P点也在一次函数y=kx+4上，把点（2，6）•代入即可求出一次函数的解析式，•△POQ的面积可以分成△PON与△QON两部分，这两部分的面积能通过P、Q两点的坐标得到．解：（1）∵点P在反比例函数y=12x的图像上，且其纵坐标为6．∴12x=6解得x=2，∴P（2，6）．又∵点P在函数y=kx+4的图像上，∴6=2k+4，解得k=1．∴所求一次函数的解析式为y=x+4．（2）解方程组12124,62122, 6.,y x x x y y y x =+⎧=-=⎧⎧⎪⎨⎨⎨=-==⎩⎩⎪⎩得 ∴点Q 的坐标为（-6，-2）． 令y=0，代入y=x+4，解得x=-4．∴函数y=x+4的图像与x 轴的交点是N （-4，0）．∴△PON 和△QON 的公共边ON=4，ON 边上的高分别为PA=6，QB=2． ∴S △POQ =S △PON +S △QON =12×4×6+12×4×2=16． 评注：本题涉及一次函数及反比例函数的图像，识别图形的形状位置及交点是挖掘此类题目隐含条件的关键．例9 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧后，y 与x 成反比例（如图）．观测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克，•请根据题中提供的信息，解答下列问题：（1）•药物燃烧时，•y•关于x•的函数关系式为________，•自变量x•的取值范围是__________；药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为________．（2）研究表明，当空气中的每立方米含药量低于1.6毫克时，学生方可进教室，•那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室．（3）研究表示，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10•分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？分析：这是一道紧扣生活热点的应用题，应引起同学们的重视，•同时要学会看图形．解：由图知药物燃烧时，函数为正比例函数设y与x的解析式为y=kx（k≠0）∵点（8，6）在直线上，∴6=8k，∴k=34，∴y与x的解析式为y=34x（0<x≤8）．药物燃烧后函数为反比例函数设y与x的解析式为y=`kx（k′≠0），点（8，6）在曲线上，∴k′=8×6=48．∴y与x的解析式为y=48x（x>8）．（2）将x=1.6代入反比例函数解析式中y=481.6=30（分钟）答：从消毒开始，至少要经过30分钟后学生才能回教室．（3）把y=3分别代入两个函数解析式，解得x=4和x=16，而16-4=12>10．即空气中每立方米的含药量不低于3毫克的持续时间为12分钟，∴这次消毒有效．评注：本题通过具体问题情境，既考数学的应用，又考应用的数学．•解答这类问题要善于从图象中提取有效信息、从实际问题中构建出数学模型．例10 某厂从2001年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：（1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式；（2）按照这种变化规律，若2005年已投入技改资金5万元．①预计生产成本每件比2004年降低多少万元？②如果打算在2005年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元）？分析：观察表格发现“投入技改资金x ”与“产品成本y ”的积不变，•故表中数据满足反比例函数关系．解：（1）设其为一次函数，解析式为y=kx+b 当x=2.5时，y=7.2；当x=3时，y=6 7.2 2.5 2.46313.2k b k k b b =+=-⎧⎧⎨⎨=+=⎩⎩解得 ∴一次函数解析式为y=-2.4x+13.2． 把x=4时，y=4.5代入此函数解析式 左边≠右边，∴其不是一次函数． 同理，其也不是二次函数． 设其为反比例函数，解析式为y=kx当x=2.5时，y=7.2可得7.2=2.5k，得k=18 ∴反比例函数为y=18x ． 验证：当x=3时，y=183=6，符合反比例函数．同理可验证：x=4时，y=4.5；x=4.5时，y=4成立．∴可用反比例函数y=18x表示其变化规律． （2）解：①当x=5万元时，y=185=3.6．∵4-3.6=0.4（万元），∴生产成本每件比2004年降低0.4万元．②当y=3.2时，3.2=18x，得x=5.625，∵5.625-5=0.625≈0.63（万元）．∴还需投入0.63万元．评注：这是一道渗透新课程理念的好题．它没有直接给出函数的解析式，而是让学生从表中获取信息，来索取与其变化规律相合拍的函数，并付诸于具体实际的应用问题之中．较好地考查了学生直觉思维能力和合情推理探索能力、建模能力和解决实际问题的能力．例11 已知，如图所示，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，•点C在y轴上，点B在函数y=kx（k>0，x>0）的图像上，点P（m，n）是函数y=kx上的任意一点，过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合的部分面积为S．（1）求B点的坐标和k的值；（2）当S=92时，求点P的坐标；（3）写出S关于m的函数关系式．分析：把矩形面积用坐标表示，A、B坐标可求，S矩形OAGF可用含n的代数式表示，解题的关键是双曲线关于y=x对称，符合题设条件的P点不惟一，故思考须周密．解：（1）依题意，设B点坐标为（x0，y0）．所以S正方形OABC=x0y0=9，x0=y0=3即B（3，3），所以x0y0=k，k=9；（2）①P （m ，n ）在y=9x上，S 正方形OEP1F =mn=9，所以S矩形OAGF =3n ，由已知可得S=9-3n=92，解得n=32，m=6，•所以P 1（6，32）． ②如图（a ）所示，同理可求得P 2（32，6）．（3）如图（b ）所示，当0<m<3时，因为点P 坐标为（m ，n ），所以S 矩形OEGC =3m ，S=S 矩形OEPF -S 矩形OEGC所以S=9-3m （0<m<3）如图（c ）所示，当m ≥3时，因为P 点坐标为（m ，n ） 所以S 矩形OAGF =3n ，mn=9，n=9m，所以S=9-3n=9-27m ． 评注：求两个函数图象的交点坐标，一般通过解这两个函数解析式组成的方程组得到，求符合某种条件的点的坐标，需根据问题中的数量关系和几何元素间的关系建立关于纵横坐标的方程（组），解方程（组）便可求得有关点的坐标，对于几何问题，•还应注意图形的分类讨论．例12 三个反比例函数（1）y=1k x ；（2）y=2kx ；（3）y=3k x在x 轴上方的图象如图所示，•由此推出k 1，k 2，k 3的大小关系．分析：由图象所在的象限可知：k 1<0，k 2>0，k 3>0；在（2）（3）中，为了比较k 与k 的大小，可取x=a>0，作直线x=a ，与两图象相交，找到y=2k x 与y=3k x的对应函数值b 和c ，由于k 2=ab ，k 3=ac ，而c>b>0，因而k 3>k 2>k 1． 解：k 3>k 2>k 1．评注：比较反比例函数的系数k 的大小一般先从图象上去考虑，图象在一、•三象限的k 值比图象在二、四象限的k 值大，同一个象限内图象在外部的k•值比在内部的k 值大． 例13 已知点（1，3）在函数y=kx（k>0）的图象上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E•是对角线BD 的中点，函数y=kx（k>0）的图象．经过A 、E 两点，点E 的横坐标为m ．（1）求k 的值；（2）求点C 的横坐标（用m 表示）；（3）当∠ABD=45°时，求m 的值．分析：由点P 在反比例函数上，可以先求出k 值，利用对称性可以求出点C 的坐标． 解：（1）因为点（1，3）在函数y=kx（x>0）的图象上， 所以3=1k，所以k=3； （2）因为点E 在函数y=3x 的图象上，所以E 点的纵坐标为3m．所以点E 的坐标为（m ，3m ），•设B 点的坐标为（b ，0），所以A 点的坐标为（b ，6m）． 因为A 点在函数y=3x 的图象上，所以6m =3b ，所以b=2m．所以C 点的横坐标为OB+BC=b+2（m-b ）=2m +2（m-2m ）=2m +m=32m ；（3）当∠ABD=45°时，│AB │=│AD │，所以6m =32m -2m=m ．所以m 2=6，又因为m>0，所以评注：此题是函数和几何综合题，所以在解题中一定要先看图、读懂图，找出图形中的内在联系．例14 有一个Rt △ABC ，∠A=90°，∠B=60°，AB=1，•将它放在直角坐标系中，使斜边BC 在x 轴上，直角顶点A 在反比例函数y=x的图象上，求点C 的坐标．分析：通过画图可发现：点A 的位置有两种情况（在第一象限的那支图象上或在第三象限的那支图象上），点B 、C 的位置也有两种情况（可能点靠近原点，也可能点不靠近原点），解题时要注意利用反比例函数图象的对称性． 解：本题共有4种情况．（1）如图①，过点A 做AD ⊥BC 于D ，∵AB=1，∠B=60°，∴BD=12，AD=2，∴点A 的纵坐标为2．将其代入y=x ，得x=2，即OD=2． 在Rt △ADC 中，DC=32，所以OC=72，即点C 1的坐标为（72，0）．（2）如图②，过点A 作AE ⊥BC 于E 则AE=2，OE=2，CE=32，所以OC=12．即点C 2的坐标为（12，0）．• 根据双曲线的对称性，得点C 3的坐标为（-72，0），点C 4的坐标为（-12，0）．所以点C 的坐标分别为：（72，0）、（12，0）、（-72，0）、（-12，0）．评注：根据题意，进行分类，是解决本题的突破口．此题涉及与反比例函数相关的综合性问题，能较好地展示学生的思维过程和思维个性，着重考查学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力，具有较好的选拨功能． 巩固练习一、填空题1．若一次函数y=kx+b 的图象如图所示，则抛物线y=x 2+kx+b•的对称轴位于y•轴的_______侧；反比例函数y=kbx的图象在第_______象限，在每一个象限内，y 随x•的增大而________． 2．反比例函数y=kx的图象经过点A （m ，n ），其中m ，n 是一元二次方程x 2+kx+4=0的两个根，则A 点坐标为________． 3．如图：函数y=-kx （k ≠0）与y=-4x的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC ⊥y 轴，•垂足为点C ，则△BOC 的面积为________．4．已知，点P （n ，2n ）是第一象限的点，下面四个命题： （1）点P 关于y 轴对称的点P 1的坐标是（n ，-2n ）；（2）点P 到原点O ； （3）直线y=-nx+2n 不经过第三象限； （4）对于函数y=nx，当x<0时，y 随x 的增大而减小；其中真命题是_______．（填上所有真命题的序号） 二、选择题5．已知反比例函数y=1mx的图像上两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），当x 1<0<x 2时，有y 1<y 2，则m 的取值范围是（ ） （A ）m<0 （B ）m>0 （C ）m<12 （D ）m>126．已知反比例函数y=kx的图象如图（a ）所示，则二次函数y=2k x 2-x+k 2的图象大致为（ ）7．函数y=-ax+a 与y=ax（a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）8．如图，A 、B 是函数y=1x的图象上的点，且A 、B 关于原点O 对称，AC ⊥x 轴于C ，BD•⊥x 轴于D ，如果四边形ACBD 的面积为S ，那么（ ）（A ）S=1 （B ）1<S<2 （C ）S>2 （D ）S=29．如图，在直角坐标系中，直线y=6-x 与函数y=4x（x>0）的图象相交于点A 、B ，•设点A 的坐标为（x 1，y 1），那么长为x 1，宽为y 1的矩形面积和周长分别为（ ） （A ）4，12 （B ）8，12 （C ）4，6 （D ）8，6 三、解答题10．如图，已知一次函数y=kx+b （k≠0）的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，•且与反比例函数y=mx（m ≠0）的图像在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D ，若OA=OB=OD=1．（1）求点A 、B 、D 的坐标；（2）求一次函数和反比例函数的解析式．11．如图，一次函数y=ax+b 的图象与反比例函数y=kx的图象交于M 、N 两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．12．已知反比例函数y=2kx和一次函数y=2x-1，其中一次函数图像经过（a ，b ），（a+•1，b+k ）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，已知点A 在第一象限，且同时在上述两个函数的图像上，求A 点坐标； （3）利用（2）的结果，请问：在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．13．反比例函数y=kx的图象上有一点P（m，n），其中m、n是关于t•的一元二次方程t2-3t+k=0的两根，且P到原点O，则该反比例函数的解析式为________．14．老师给出一个函数y=f（x），甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数图像不经过第三象限；乙：函数图像经过第一象限；丙：当x<2时，y随x的增大而减小；丁：当x<2时，y>0已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数：_______．15．已知反比例函数y=12x的图象和一次函数y=kx-7的图象都经过点P（m，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）如果等腰梯形ABCD的顶点A、B在这个一次函数的图象上，顶点C、D在这个反比例函数的图象上，两底AD、BC与y轴平行，且A、B的横坐标分别为a和a+2，求a 的值．16．通过市场调查，一段时间内某地区特种农产品的需求量y（千克）•与市场价格x（元/千克）存在下列函数关系式：y=100000x+6000（0<x<100）；又已知该地区农民的这种农产品的生产数量z（千克）与市场价格x（元/千克）成正比例关系：z=400x（0<x<100），现不计其他因素影响，如果需求数量y等于生产数量z时，即供需平衡，•此时市场处于平衡状态．（1）根据以上市场调查，请你分析当市场处于平衡状态时，•该地区这种农产品的市场价格与这段时间内农民的总销售收入各是多少？（2）受国家“三农”政策支持，该地区农民运用高科技改造传统生产方式，减少产量，以大力提高产品质量．此时生产数量z与市场价格x的函数关系发生改变，•而需求函数关系未发生变化，当市场再次处于平衡状态时，市场价格已上涨了a（0<a<25）•元，问在此后的相同时间段内该地区农民的总销售收入是增加了还是减少了？变化多少？17．如图，直线经过A（1，0），B（0，1）两点，点P是双曲线y=12x（x>0）上任意一点，PM•⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M，N．PM与直线AB交于点E，PN的延长线与直线AB交于点F．（1）求证：AF×BE=1；（2）若平行于AB的直线与双曲线只有一个公共点，求公共点的坐标．18．已知矩形ABCD的面积为36，以此矩形的对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，设点A的坐标为（x，y），其中x>0，y>0．（1）求出y与x之间的函数关系式，求出自变量x的取值范围；（2）用x、y表示矩形ABCD的外接圆的面积S，并用下列方法，解答后面的问题：方法：∵a2+22ka=（a-ka）+2k（k为常数且k>0，a≠0），且（a-ka）2≥0，∴a2+22ka≥2k，∴当a-ka=0，•即a=a2+22ka取得最小值2k．问题：当点A在何位置时，矩形ABCD的外接圆面积S最小？并求出S的最小值；（3）如果直线y=mx+2（m<0）与x轴交于点P，与y轴交于点Q，那么是否存在这样的实数m，使得点P、Q与（2）中求出的点A构成△PAQ的面积是矩形ABCD面积的16？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．19．已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1，这条曲线是函数y=12x的图象在第一象限内的一个分支，点P•是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a，b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN（点M、N•为垂足）分别与直线AB相交于点E和点F．（1）设交点E和F都在线段AB上（如图所示），分别求点E、点F的坐标（用a的代数式表示点E的坐标，用b的代数式表示点F的坐标，只须写出答案，不要求写出计算过程）．（2）求△OEF的面积（结果用a、b的代数式表示）．（3）△AOF与△BOE是否一定相似，如果一定相似，请予以证明；如果不一定相似或者一定不相似，请简要说明理由．（4）当点P在曲线上移动时，△OEF随之变动，指出在△OEF的三个内角中，•大小始终保持不变的那个角和它的大小，并证明你的结论．答案:一、1．右，二、四、增大 2．（-2，-2） 3．2 4．②、③、④二、5～9．CDCDA三、10．（1）A （-1，0），B （0，1），D （1，0）；（2）y=2x，y=x+1． 11．（1）将N （-1，-4）代入y=k x 中得到k=4，反比例函数的解析式为y=4x， 将M （2，m ）•代入解析式y=4x 中得m=2， 将M （2，2），N （-1，-4）代入y=ax+b 中，224a b a b +=⎧⎨-+=-⎩解得a=2，b=-2，• 一次函数的解析式为y=2x-2．（2）由图象可知：当x<-1或0<x<2时反比例函数的值大于一次函数的值．12．（1）k=2，y=1x； （2）解方程组121,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得x 1=1，x 2=-12（舍去）， 从而y=1，点A 的坐标为（1，1）；（3）符合条件的点P 存在，有下列情况：①若OA 为底，则∠AOP 1=45°，OP 1=P 1A •得P 1（1，0）；②若OA 为腰，AP 为底，则由P 2（0），P 30）； ③若OA 为腰，OP 为底，则由OP=2，P 4（2，0）．13．y=2x-． 14．可填入的答案为：y=1x （x>0）或y=-x+2或y=（x-2）2或y=│x-2│等均可． 15．（1）y=32x-7；（2）A （32a ，a-7），B （a+2，32a-4），C （a+2，122a +），D （a ，12a）． 由AB=CD ，得22+32=22+（122a +-12a）2， 即（122a +-12a）=±3，解方程得a=-4，a=2均为所求的值． 16．（1）由已知市场处于平衡，此时y=z 得100000x +6000=400x （x-25）（x+10）=0， ∴x 1=25，x 2=-10（•舍去），把x=25代入z=400x 中，得z=10000（千克）．• 一段时间内该地区农民的总销售收入=25×10000=250000（元）．（2）∵需求函数关系未变，∴平衡点仍在需求函数图象上．由已知此时价格为（a+25）元/千克，代入y=100000x +6000中得： 此时的需求数量y 1=10000025a ++6000（千克）． 又∵此时市场处于平衡，生产数量z 1=需求数量y 1， ∴此时的总销售收入为：（a+25）·（10000025a ++6000）=250000+6000a （•0<a<25）． ∴农民总销售收入增加了（250000+6000a ）-250000=6000a （元）．17．（1）过点E ，F 分别作y 轴，x 轴垂线，垂足分别为D 、C ，则△AOB ，△FCA ，△DBE•为等腰直角三角形．设P （x 0，y 0），则FC=y 0，DE=x 0，0，∴AF·0=2x 0y 0， 又y 0=012x ，即2x 0y 0=1，∴AF ·BE=1； （2）平行于AB 的直线L 的解析式为y=-x+b ，设L 与双曲线的惟一公共点Q 的坐标为（x ，y ）．联立12y x b y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩， 得2x 2-2bx+1=0，由△=4b 2-8=0，得所以x=2，y=2，即Q 点的坐标为（2，2）． 18．（1）y=9x ，x>0； （2）S=π（x 2+y 2）=π [x 2+（9x ）2]≥18π， 当且仅当x=9x ，即x=3，S 最小=18π，此时，y=9x=3， 所以当点A 的坐标为（3，3）时，矩形的外接圆面积S 最小，S 的最小值为18π．（3）存在，如图，设AB 与y 轴相交于点E ，由已知得A （3，3），Q （0，2），P （-2m，0）， ∴S △PAQ =S 梯形APOE -S △AEQ -S △OPQ =12 [（-2m +3）×3-1×3-2×（-2m ）]=3-1m． ∴3-1m =16×36，解得m=-13．19．（1）E （a ，1-a ），F （1-b ，b ）（2）当PM 、PN 和线段AB 相交时，S △EOF =S △AOB -S △AOE -S △BOF =12×1×1-12×1×（1-a ）-12×1×（-b ）=12a b +-．• 当PM 、PN 中一条与线段AB 相交，另一条与线段AB 的延长线相交时，也可求得S △EOF =12a b +-． （3）△AOF 一定和△BOE 相似，∵OA=OB=1，∴∠OAF=∠EBO ，，，∴点P在函数y=12x图象上，∴b=12a，即：2ab=1．∴AF OAOB BE=，∴△AOF∽△BEO．（4）当点P在曲线上移动时，△OEF中，∠EOF=45°，∵△AOF和△BOE一定相似，•∴∠AFO=∠BOE而∠AFO=∠B+∠BOF，∠BOE=∠BOF+∠EOF，∴∠EOF=45°．。

初三数学 解读反比例函数 知识精讲初中阶段我们学习反比例函数，主要研究其概念、图象、画法，并根据图象归纳反比例函数的性质。

学习反比例函数与其他函数一样，要善于利用数形结合思想。

一、解读新知识点1. 反比例函数的图象及其画法反比例函数图象是双曲线，它的两个分支分别位于第一、三象限或二、四象限，它们关于原点对称。

由于反比例函数中自变量x ≠0，函数值y ≠0，所以函数图象与坐标轴没有交点，即双曲线的两个分支无限接近于坐标轴，但永远达不到坐标轴。

图象如图l 、图2所示。

图1图22. 反比例函数的性质自变量0x ≠，函数值0y ≠。

当k>0时，函数的两个分支在一、三象限，y 随x 的增大而减小；当k<0时，函数的两个分支在二、四象限，y 随x 的增大而增大。

3. 反比例函数)0k (xk y ≠=中比例系数k 的几何意义 （1）如图3，过双曲线上任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN ，所得矩形PMON 的面积 |x y ||y ||x |PN PM S =⨯=⨯=。

① 因为)0k (xk y ≠=，所以xy=k ② 由①、②得S=|k|。

（2）如图3，过双曲线上任意一点E 作EF 垂直其中一坐标轴，连接OE ，则|k |21S EOF =∆。

图3二. 知识要点的应用例1. 已知反比例函数x k 4y -=，分别根据下列条件求出字母k 的取值范围。

（1）函数图象位于一、三象限；（2）在每个象限内y 随x 的增大而增大。

分析：由于已知函数的比例系数为k 4-，所以根据反比例函数的性质列出不等式，进而求出k 的取值范围。

解：（1）因为函数图象位于一、三象限，所以0k 4>-，所以k<4；（2）因为已知函数在每个象限内y 随x 的增大而增大，所以0k 4<-，所以k>4。

例2. 如图4，点P 是x 轴正半轴上的动点，过点P 作x 轴的垂线PA 交双曲线x1y =于点A ，连接OA 。

专题06反比例函数（10个考点）【知识梳理+解题方法】一．反比例函数的定义（1）反比例函数的概念形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．（2）反比例函数的判断判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．二．反比例函数的图象用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．三．反比例函数图象的对称性反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点．四．反比例函数的性质反比例函数的性质（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．五．反比例函数系数k的几何意义比例系数k的几何意义在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．六．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．七．待定系数法求反比例函数解析式用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．八．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．九．根据实际问题列反比例函数关系式根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式．根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的．注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围．十．反比例函数的应用（1）利用反比例函数解决实际问题①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．（2）跨学科的反比例函数应用题要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．（3）反比例函数中的图表信息题正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．【专题过关】一．反比例函数的定义（共3小题）1．（2021秋•遵化市期末）下列函数关系式中属于反比例函数的是（）A．y＝4x B．2x+y＝4C．y＝x2+3D．2．（2022•东营模拟）函数y＝（m﹣2）是反比例函数，则m＝．3．（2022•西宁一模）函数的自变量x的取值范围是．二．反比例函数的图象（共4小题）4．（2021秋•大城县期末）反比例函数的图象如图所示，则k的值可以是（）A．﹣2B．C．1D．35．（2021秋•大城县期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．6．（2021秋•襄州区期末）问题呈现：我们知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数（k、m、n为常数且k≠0）的图象还是双曲线吗？它与反比例函数的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅……探索思考：我我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数的图象．（1）画出函数图象．①列表：x…﹣6﹣5﹣4﹣3﹣201234…y…﹣1﹣2﹣4421…②描点并连线．（2）观察图象，写出该函数图象的两条不同类型的特征：①，②；（3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向平移个单位，其对称中心的坐标为．（4）灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数的图象大致位置，并根据图象指出，当x满足时，y≥3．7．（2022•市南区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴是直线x＝，点A的坐标为（1，0），AB垂直于x轴，连接CB，则下列说法一定正确的是（）A．如图①，四边形ABCO是矩形B．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx，一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的图象大致如图②所示C．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x（ax+b）+c与反比例函数y＝的图象大致如图③所示D．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝bx﹣ac与反比例函数y＝在的图象大致如图④所示三．反比例函数图象的对称性（共3小题）8．（2022•高要区一模）若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y＝图象的一个交点坐标为（﹣1，2），则另一个交点的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）9．（2022春•洪泽区月考）如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是．10．（2022•自贡模拟）如图，半径为2的两圆⊙O1和⊙O2均与x轴相切于点O，反比例函数（k＞0）的图象与两圆分别交于点A，B，C，D，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）四．反比例函数的性质（共6小题）11．（2021秋•政和县期末）反比例函数中，反比例常数k的值为．12．（2022秋•青浦区期中）已知正比例函数y＝中，y的值随x的值的增大而增大，那么它和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（）A．B．C．D．13．（2021秋•丰宁县期末）已知反比例函数，则下列描述不正确的是（）A．图象位于第一、第三象限B．图象必经过点C．图象不可能与坐标轴相交D．y随x的增大而减小14．（2022•威县校级模拟）如图，矩形ABCO在平面直角坐标系中，点A（﹣5，0），点C（0，6），双曲线L1：y＝﹣（x＜0）和双曲线L2：y＝（x＜0）．[把矩形ABCO内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为“优点”]（1）若k＝﹣12，则L2和L1之间（不含边界）有个“优点”；（2）如果L2和L1之间（不含边界）有4个“优点”，那么k的取值范围为．15．（2022•杞县模拟）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．（1）列表：x…﹣3﹣2﹣10123…y…m12101n…其中，m＝，n＝．（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象．（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点，在函数图象上，则y1y2，x1x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）②当函数值时y＝1，求自变量x的值．16．（2022•沙市区模拟）探究分段函数y＝的图象与性质．列表：x…﹣1﹣012…y…210121…描点：描出相应的点，并连线，如图所示结合图象研究函数性质，回答下列问题：（1）点A（3，y1），B（5，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1y2，x1 x2；（填“＞”、“＝”或“＜”）（2）当函数值y＝2时，自变量x的值为；（3）在直角坐标系中作出y＝x的图象；（4）当方程x+b＝有三个不同的解时，则b的取值范围为．五．反比例函数系数k的几何意义（共5小题）17．（2022•茂南区二模）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是l1和l2，设点P 在l1上，PC⊥x轴于点C，交l2于点A，PD⊥y轴于点D，交l2于点B，则四边形P AOB的面积为（）A．k1+k2B．k1﹣k2C．k1k2D．k2﹣k118．（2022•河池）如图，点P（x，y）在双曲线y＝的图象上，P A⊥x轴，垂足为A，若S△AOP＝2，则该反比例函数的解析式为．19．（2022•开远市二模）若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为2的是（）A．B．C．D．20．（2022•靖江市二模）反比例函数，（n＜0）的图象如图所示，点P为x轴上不与原点重合的一动点，过点P作AB∥y轴，分别与y1、y2交于A、B两点．（1）当n＝﹣10时，求S△OAB；（2）延长BA到点D，使得DA＝AB，求在点P整个运动过程中，点D所形成的函数图象的表达式．（用含有n的代数式表示）．21．（2022•德城区模拟）如图，A、B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，其中k＞0，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，且AC＝1（1）若k＝2，则AO的长为，△BOD的面积为；（2）若点B的横坐标为k，且k＞1，当AO＝AB时，求k的值．六．反比例函数图象上点的坐标特征（共9小题）22．（2022秋•合浦县期中）如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（）A．（﹣1，﹣1）B．（1，﹣1）C．D．（﹣2，1）23．（2021秋•碧江区期末）如图，△OAB、△BA1B1、△B1A2B2、…、△B n﹣1A n B n都是等边三角形，顶点A、A1、A2、…、A n在反比例函数（x＞0）的图象上，则B2020的坐标是．24．（2022秋•杜集区校级月考）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线x＝n（n为常数）对称，则把该函数称之为“X（n）函数“．（1）在下列关于x的函数中，是“X（n）函数”的是（填序号）；①；②y＝|4x|；③y＝x2﹣2x﹣5．（2）若关于x的函数y＝|x﹣h|（h为常数）是“X（3）函数”，与（m为常数，m＞0）相交于A （x A，y A）、B（x B，y B）两点，A在B的左边，x B﹣x A＝5，则m＝．25．（2022•思明区校级二模）阅读理解：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”．（1）若A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值；（2）若实数a，b，c是“和谐三数组”，且满足a＞b＞c＞0，求点与原点O的距离OP的取值范围．26．（2022•牧野区校级三模）如图，矩形ABCD的边BC在x轴上，E为对角线AC，BD的交点，点A，C 的坐标分别为A（﹣3，3），C（﹣1，0）．（1）反比例函数y1＝在第三象限的图象经过D点，求这个函数的解析式；（2）点E是否在函数y1＝的图象上？说明理由；（3）一次函数y2＝k2+b的图象经过点B，点D，根据图象直接写出不等式k2x+b＜的解集．27．（2022•荷塘区校级二模）如图，点A（a，a），B（b，b）是直线y＝x上在第一象限的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线y＝（x＞0）于C，D两点．（1）当b＝2，BD＝1时，求k的值；（2）当k＝1时：①若AC＝BD，求a与b的数量关系；②若AC＝2BD，求4OD2﹣OC2的值．28．（2021秋•梧州期末）在函数y＝（其中a≠0，a为常数）经过点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x3＜0＜x1＜x2，则把y1、y2、y3按从小到大排列为．29．（2022•营口）如图，在平面直角坐标系中，△OAC的边OC在y轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A和点B（2，6），且点B为AC的中点．（1）求k的值和点C的坐标；（2）求△OAC的周长．30．（2022秋•东湖区期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在y 轴上，顶点C在x轴上，反比例函数y＝k的图象过AB边上一点E，与BC边交于点D，BE＝2，OE＝10．（1）求k的值；（2）直线y＝ax+b过点D及线段AB的中点F，点P是直线OF上一动点，当PD+PC的值最小时，直接写出这个最小值．七．待定系数法求反比例函数解析式（共4小题）31．（2021秋•平泉市期末）如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8，E是DC的中点，反比例函数的图象经过点E，与AB交于点F．（1）若点B的坐标为（﹣6，0），求m的值．（2）若AF﹣AE＝2，求反比例函数的解析式．32．（2022•蓬江区一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点C，OA＝2，OB＝4．（1）求反比例函数的解析式；（2）若将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形A'B'C'D'，当点D'在反比例函数的图象上时，请求出点B'的坐标，并判断点B'是否在该反比例函数的图象上，说明理由．33．（2022•睢阳区二模）如图，平行四边形ABCD的面积为12，AB∥y轴，AB，CD与x轴分别交于点M，N，对角线AC，BD的交点为坐标原点，点A的坐标为（﹣2，1），反比例函数的图象经过点B，D．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P为y轴上的点，连接AP，若△AOP为等腰三角形，求满足条件的点P的坐标．34．（2021秋•孟村县期末）已知y与x成反比例，当x＝﹣1时，y＝﹣6．（1）y与x的函数解析式为；（2）若点A（a，﹣4），B（b，﹣8）都在该反比例函数的图象上，则a，b的大小关系是．八．反比例函数与一次函数的交点问题（共5小题）35．（2022•市南区校级一模）如图，直线y＝kx+3与x轴、y轴分别交于点B、C，与反比例函数y＝交于点A、D，过D作DE⊥x轴于E，连接OA，OD，若A（﹣2，n），S△OAB：S△ODE＝1：2．（1）求反比例函数的表达式；（2）求点C的坐标；（3）直接写出关于x不等式：＞kx﹣3的解为．36．（2022•宝安区校级模拟）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m ≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx＞﹣b的解集是（）A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜0C．x＜﹣1或0＜x＜2D．﹣1＜x＜0或x＞237．（2022•仁怀市模拟）如图，直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数y＝的图象交于点D，过点A作AC⊥x轴与反比例函数的图象相交于点C，若AC＝AD，则k的值为（）A．3B．4C．D．38．（2022•市南区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，1），以点O为顶点作等腰直角三角形AOB，双曲线y1＝在第一象限内的图象经过点B．设直线AB的表达式为y2＝k2x+b，回答下列问题：（1）求双曲线y1＝和直线AB的y2＝k2x+b表达式；（2）当y1＞y2时，求x的取值范围；（3）求△AOB的面积．39．（2022•吉阳区模拟）如图，函数y＝与函数y＝kx（k＞0）的图象相交于A、B两点，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积等于（）A．24B．18C．12D．6九．根据实际问题列反比例函数关系式（共3小题）40．（2022秋•滁州期中）某电子产品的售价为8000元，购买该产品时可分期付款：前期付款3000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．41．（2021•东胜区一模）A、B两地相距400千米，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t 小时，行驶速度为v千米/小时，且全程限速，速度不超过100千米/小时．（1）写出v关于t的函数表达式；（2）若某人开车的速度不超过每小时80千米，那么他从A地匀速行驶到B地至少要多长时间？（3）若某人上午7点开车从A地出发，他能否在10点40分之前到达B地？请说明理由．42．（2021•杭州二模）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求这个函数的解析式；（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3）一十．反比例函数的应用（共4小题）43．（2022秋•涟源市期中）如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（）A．当I＜0.25时，R＜880B．I与R的函数关系式是I＝（R＞0）C．当R＞1000时，I＞0.22D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.2544．（2022•南阳二模）在对物体做功一定的情况下，力F（N）与此物体在力的方向上移动的距离s（m）成反比例函数关系，其图象如图所示，点P（4，3）在其图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是（）A．2.4m B．1.2m C．1m D．0.5m45．（2022•邓州市二模）给定一个函数：y＝x++1（x＞0），为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，进行如下探索：（1）图象初探①列表如下x…1234…y…m3n…请直接写出m，n的值；②请在如下的平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．（2）性质再探请结合函数的图象，写出当x＝，y有最小值为；（3）学以致用某农户要建造一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为3千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元，可得到y与x的函数关系式为：y＝x++3．根据以上信息，请回答以下问题：①水池总造价的最低费用为千元；②若该农户预算不超过5.5千元，请直接写出x的值应控制在什么范围？．46．（2021秋•丰南区期末）在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（天）与每天完成工程量x米的函数关系图象如图所示，是双曲线的一部分．（1）请根据题意，求y与x之间的函数表达式；（2）若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？（3）工程队在（2）的条件下工作5天后接到防汛紧急通知，最多再给5天时间完成全部任务，则最少还需调配几台挖掘机？。

九年级反比例函数知识点总结讲解【导言】反比例函数是数学中比较重要的一种函数类型。

在九年级的数学课程中，学生们会接触到反比例函数的概念、性质和应用。

本文将对九年级反比例函数的知识点进行总结和讲解。

【1. 反比例函数的定义】反比例函数是指当自变量增大时，因变量以相反的比例减小，或当自变量减小时，因变量以相反的比例增大的函数。

反比例函数通常可以表示为y = \(\frac{a}{x}\)，其中a为常数。

【2. 反比例函数的性质】反比例函数有以下几个重要的性质：1) 定义域和值域：对于反比例函数y = \(\frac{a}{x}\)，其定义域为除了x = 0以外的所有实数，其值域为除了y = 0以外的所有实数。

2) 对称中心和对称轴：反比例函数的对称中心为原点(0, 0)，对称轴为y轴。

3) 渐近线：反比例函数的图像以x轴和y轴为渐近线，即当x 趋近于正无穷或负无穷时，y趋近于0；当y趋近于正无穷或负无穷时，x趋近于0。

4) 变化趋势：反比例函数在定义域内是递减的，在值域内是递增的。

【3. 反比例函数的图像特点】反比例函数的图像具有以下几个特点：1) 形状：反比例函数的图像呈现出一条由左上向右下倾斜的直线。

2) 渐近线：除了x轴和y轴外，反比例函数的图像没有其他渐近线。

3) 均匀变化：反比例函数图像上的任意两点，其纵坐标之积为常数。

4) 原点截距：反比例函数图像与坐标轴的交点为原点(0, 0)。

5) 比例关系：反比例函数图像上的任意点坐标(x, y)，有xy = a 成立。

【4. 反比例函数的应用】反比例函数在实际问题中有广泛的应用，下面分别介绍几个常见的应用场景：1) 电阻和电流关系：根据欧姆定律，电阻R与电流I之间存在反比关系，即R = \(\frac{U}{I}\)，其中U为电压常数。

当电流变大时，电阻减小；当电流变小时，电阻增大。

2) 速度和时间关系：在匀速运动过程中，速度v与时间t之间存在反比关系，即v = \(\frac{s}{t}\)，其中s为位移常数。

反比例函数精华总结教案学习目标1、使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式()0≠=k k xky 为常数，，能判断一个给定函数是否为反比例函数。

2、能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式和图像法的各自特点。

3、能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数()0≠=k k xky 为常数，的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题。

4、再次经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，进一步体会函数是刻画显示世界中变化规律的重要数学模型。

5、使学生在学习一次函数的基础上，进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法。

知识结构反比例函数基本概念定义解析式图象画法形状 位置 性质增减性 反比例函数与一次函数K 的几何意义反比例函数应用要点梳理要点l. 反比例函数的概念重点：掌握反比例函数的概念 难点：理解反比例函数的概念 1、反比例函数的定义一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成xk y =或y=kx -1（k 为常数，0k ≠）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。

反比例函数的概念需注意以下几点： （1）k 是常数，且k 不为零；（2）xk中分母x 的指数为1，如22y x =不是反比例函数。

（3）自变量x 的取值范围是0x ≠一切实数.（4）自变量y 的取值范围是0y ≠一切实数。

例：下列等式中，哪些是反比例函数 （1）3x y = （2）xy 2-= （3）xy ＝21 （4）25+=x y （5）x y 23-= （6）31+=xy （7）y ＝x －4 分析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成xky =（k 为常数，k ≠0）的形式，这里（1）、（7）是整式，（4）的分母不是只单独含x ，（6）改写后是xxy 31+=，分子不是常数，只有（2）、（3）、（5）能写成定义的形式答案：（2）、（3）、（5） 练习题：1、下列各式中，哪些表示y 是x 的反比例函数：224,31,21,14,53,1,xy x y x y x y x y x k y x k y =-==+==+==2、下列各式中，哪些表示y 是x 的反比例函数：36,32,8,2,3=-====xy x y xyx y x y 3、下列各式中，哪些表示y 是x 的反比例函数：21,32,,51,,12--===-=-=+=x y x y x y x y x y x y2、反比例函数的意义：①0≠k②其中x 是自变量，且0≠x ③其中y 是函数，且0≠y④表达形式：()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠∙=≠=≠=-0001k k x y k k xy k x k y⑤在表达形式()0≠=k xky 中，x 的次数是1；在表达形式()01≠∙=-k k x y ，x 的次数是﹣1例：（1）函数m x y -=2是反比例函数，求m 的值 （2）函数()21+-=m x m y 是反比例函数，求m 的值（3）已知反比例函数()32+-=m x m y ，当x=3时，对应的函数值是多少？ 解：（1）依题意得，12-=-m 所以，解得 3m = （2）依题意得，⎩⎨⎧≠--=+②①0112m m由①得3-=m ；由②得1≠m 所以，有3-=m（3）依题意得，⎩⎨⎧≠--=+②①0213m m由①得4-=m ；由②得2≠m所以，有4-=m当4-=m 时，()32--=m x m y 是反比例函数，即xy 4-=. 故当x=3时，34-=y 举一反三： 1. 若3-=m x y 是反比例函数，求m 的值 2. 若15+=m xy 是反比例函数，求m 的值3. 若函数()是常数m x y m 11-=是反比例函数，求m 的值4. 若函数()52--=k xk y 是反比例函数，求k 的值 5. 若函数()mxm y -+=15是反比例函数，求m 的值6. 若函数()21ky k x -=-是反比例函数，求k 的值 7. 若函数()2103ky k x-=-是反比例函数，求k 的值8. 若函数y=（m+2）x |m|-3是反比例函数，求m 的值 9. 在反比例函数()53--=k xk y 中，当x=20时，对应的函数值是多少 10. 在反比例函数()mxm y +-=15中，当x =﹣2时，对应的函数值是多少要点2. 反比例函数解析式的确定。

一、反比例函数的定义：
反比例函数是指其表达式可以表示为y=k/x（k≠0），其中k为常数，x≠0。

二、反比例函数的一般式：
1.y=k/x
2.k为比例系数，表示常数项。

三、反比例函数的图像特点：
1.垂直于y轴；
2.不过原点，但会经过x轴的正半轴和y轴的正半轴；
3.上升（k>0）或下降（k<0）。

四、反比例函数的性质：
1.定义域：x≠0，值域：y≠0
2.渐近线：x轴和y轴是反比例函数的渐近线。

3.对称性：关于y轴对称。

4.单调性：k>0时，单调递减；k<0时，单调递增。

五、反比例函数图像的平移：
1.y=k/(x-h)：左右平移h个单位；
2.y=k/(x)+v：上下平移v个单位。

六、反比例函数与直线的关系：
1. 反比例函数与直线y=kx的图像在一起；
2. 直线y=kx可以看做反比例函数的简化形式，即k=1
七、反比例函数的应用：
1.反比例函数在实际中常用于描述两个变量之间的比例关系，如一方
的量增大，另一方的量就会减小的规律。

2.可以用反比例函数解决实际问题，如物品的价格与销量之间的关系、速度与时间之间的关系等。

初三反比例知识点总结数学一、反比例的性质和规律1. 反比例函数的定义反比例函数是指一个变量的变化导致另一个变量的变化与之成反比的函数。

通常表示为y=k/x，其中k是常数。

2. 反比例函数的图像特点反比例函数的图像呈现出一种特殊的曲线，即双曲线。

当x无限增大时，y趋于0；当x无限接近于0时，y趋于无穷大。

3. 反比例函数的性质（1）当x增大时，y减小；当x减小时，y增大。

（2）当x1>x2时，y1<y2；当x1<x2时，y1>y2。

4. 反比例函数与直线的关系反比例函数的图像在第一象限内有一条反比例函数的零点在原点的直线。

其斜率为常数k，而且直线关于原点对称。

二、反比例函数的应用1. 反比例函数在实际中的应用反比例函数在实际生活中有很多应用，比如说人均时间和工作效率、工程材料的数量和造价、飞机的飞行时间和速度、光合作用的速率和光照强度等。

这些都可以用反比例函数来表示并解决实际问题。

2. 反比例函数的解决问题在解决实际问题中，可以使用反比例函数来理解和分析问题，比如说通过反比例函数计算出两个变量之间的关系，由此得出一个变量的值；或者通过反比例函数的特性分析出两个变量之间的变化规律。

三、反比例函数的解析式与图像的绘制1. 反比例函数的解析式反比例函数的一般形式为y=k/x，其中k是比例系数。

在实际问题中，可以根据已知条件求出k，然后写出反比例函数的解析式。

2. 反比例函数的图像绘制绘制反比例函数的图像时，可以取三个以上的点，并将这些点连成光滑的曲线。

反比例函数的图像总是呈现出一种双曲线的形状，且与x轴和y轴都有渐近线。

四、反比例函数的解决问题1. 反比例函数的基本解法（1）一元一次反比例函数问题的解法：可以通过列方程，代入已知条件，解出未知量的值。

（2）一元二次反比例函数问题的解法：可以通过列方程，利用二次函数的解法来求得未知量的值。

2. 反比例函数问题的实例分析通过反比例函数的性质、规律，可以应用到各种实际问题中，比如有关时间、速度、数量、工作效率等各种问题。

第一讲 反比例函数知识要点1、反比例函数的图象和性质：反比例函数(0)ky k x=≠ k 的符号 0k > 0k <图象性质①x 的取值范围是0x ≠， y 的取值范围是0y ≠．②当0k >时，函数图象的两个分支分别在第一、第三象限．在每个象限内，y 随x 的增大而减小． ①x 的取值范围是0x ≠， y 的取值范围是0y ≠．②当0k <时，函数图象的两个分支分别在第二、第四象限．在每个象限内，y 随x 的增大而增大．反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．2函数 正比例函数反比例函数解析式 (0)y kx k =≠(0)ky k x=≠ 图象 直线，经过原点 双曲线，与坐标轴没有交点自变量取值范围 全体实数0x ≠的一切实数图象的位置当0k >时，在一、三象限； 当0k <时，在二、四象限．当0k >时，在一、三象限； 当0k <时，在二、四象限．性质当0k >时，y 随x 的增大而增大； 当0k <时，y 随x 的增大而减小．当0k >时，y 随x 的增大而减小；当0k <时，y 随x 的增大而增大．xyOxyO一、定义1、下列函数中，y 是x 的反比例函数是（ ） （A ） 1)1(=-y x （B ） 11+=x y （C ） 21xy = （D ） x y 31=2、已知22)1(--=a xa y 是反比例函数，则a=____ ．3、若反比例函数y = (2m -1)22-m x 的图象在第二、四象限，则m = ，该反比例函数的解析式为 ；4. 已知y 与x -1成反比例，当x = 12 时，y = - 13，那么，当x = 2时，y 的值为 ；二、增减性1.如果点A (7，y 1)，B (5，y 2)在反比例函数y = x1的图象上，那么，y 1与y 2的大小关系是 ； 2、若M(12-,1y )、N(14-,2y )、P(12,3y )三点都在函数xy 4=的图象上， 则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）（A ）132y y y >> （B ）312y y y >> （C ） 213y y y >> （D ）123y y y >>3.点A (a ，b )，B (a -1，c )均在反比例函数y = 1x 的图象上，若a < 0, 则b c (填“>”、“<”或“=”)；4、在反比例函数xk y 1+=的图象上有两点11()x y ，和22()x y ，，若x x 120<<时，y y 12>， 则k 的取值范围是 ．三、函数图像1、在同一直角坐标系中，函数y=kx-k 与(0)ky k x=≠的图像大致是（ ）2、如图，A 为反比例函数ky x=图象上一点，AB 垂直x 轴 于B 点，若AOB S ∆＝5，则k 的值为（ ） （A ） 10 （B ） 10- （C ） 5- （D ）25-3、某村的粮食总产量为a （a 为常数）吨，设该村的人均粮食产量为y 吨，人口数为x ， 则y 与x 之间的函数关系式的大致图像应为（ ）4、已知：甲、乙两地相距100千米，如果把汽车从甲地到乙地所用的时间y （小时）表示为汽车行驶的平均速度x （千米/小时）的函数，则此函数的图象大致是（ ）；四、综合题：1.已知y 与12-x 成反比例，且当1=x 时，2-=y 。