东北三省三校2014年高三第二次联合模拟考试数学文试卷(WORD版)(1)

二模文科数学参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112答案 A D C B B A D B A DC C13．22333(1)124n n n +++⋅⋅⋅+= 14．3π 15．3 16．①②④17．（Ⅰ）解：当1=n 时，111151,4=+∴=-a S a ………2分又1151,51++=+=+ n n n n a S a S115,n n n a a a ++∴-= ………4分114n na a +=-即∴数列{}n a 是首项为114=-a ，公比为14=-q 的等比数列，∴1(4=-n n a ………6分 （Ⅱ）n b nn -=-=)41(log 4， ………8分所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++ ………10分 11111(1)()()22311n n T n n n ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥++⎣⎦………12分18．（Ⅰ）解：第三组的频率是0.150×2=0.3；第四组的频率是0.100×2=0.2；第五组的频率是0.050×2=0.1 ………3分 （Ⅱ）设“抽到的两个产品均来自第三组”为事件A ，由题意可知，分别抽取3个，2个，1个。

………6分 不妨设第三组抽到的是123,,A A A ；第四组抽到的是12,B B ；第五组抽到的是1C ，所含基本事件总数为：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}121323111211212221313231,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A B A B A C A B A B A C A B A B A C {}{}{}121121,,,,,B B B C B C………10分所以31()155P A == ………12分 19．（Ⅰ）证明:连结MO1111////A M MA MO AC AO OC MO BMD A C BMD AC BMD =⎫⎫⇒⎬⎪=⎭⎪⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎪⎪⎭平面平面平面 ………4分（Ⅱ）设过1C 作1C H ⊥平面11BDD B 于H ，11BD AA BD AC BD A AC ⊥⊥⊥,得面于是1BD A O ⊥1111116022cos 60ABCDBAD AO AC AB AA AO AC AO ABCD A AC AO BD ⎫⎫⎫⎪⎪∠=⇒==⎬⎪⎪⎪⎪=⎭⎪⎪⎪⎪=⇒⊥⎬⎪⇒⊥⎬⎪∠=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⊥⎪⎭ 平面 ………8分又因为平面//ABCD 平面1111A B C D ，所以点B 到平面1111A B C D 的距离等于点1A 到平面ABCD 的距离13AO = ………10分111111111111132232322B BCD C BB D V V A O C H C H --=⇔⋅⋅⨯=⋅⋅⨯⨯⇒= ………12分20．（Ⅰ）设(,)P x y2(1)18y x y =++⇒= ………4分（Ⅱ）设直线AB ：y kx b =+，1122(,),(,)A x y B x y将直线AB 代入到28x y =中得2880x kx b --=，所以12128,8x x k x x b +==-………6分 又因为2221212121281664x x OA OB x x y y x x b b ⋅=+=+=-+=- 4b ⇒= (1)0分 所以恒过定点(0,4) ………12分21． （Ⅰ）''(),()21b f x g x ax x==- 则''(1)(1)01(1)(1)1g f a g f b ===⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩………3分 （Ⅱ）设()2()()()ln 0u x g x f x x x x x =-=-->()()'211()x x u x x+-=………4分 令'()01u x x =⇒=x()0,11()1,+∞'()u x-+()u x极小所以，()()10u x u ≥= 即()()g x f x ≥ ………7分 (Ⅲ)设()2()()()ln (1,)bh x f x g x x b x xx e =--=-∈，2'2()b x h x x -=，令'()0h x x =⇒=>分所以，原问题()ln 1022b b h x h ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭极大 ………10分又因为()()()()11,bbbh h eb e b e =-=-+设()xt x e x =-（()2,x e ∈+∞）'()10x t x e =->所以()t x 在()2,e +∞上单调递增，()()(2)00xbt x t e e x h e>>∴>∴<所以有两个交点 ………12分22． （Ⅰ）2//AB CD PAB AQCAQC ACB ACB CQAPA O PAB ACB AQ O QAC CBA AC ABAC AB CQ CQ AC⇒∠=∠⎫⎫⇒∠=∠⎬⎪⇒⇒∠=∠⎬⎭⎪⇒∠=∠⎭⇒=⇒=⋅ 为切线为切线 ………5分（Ⅱ）//113622,AB CD BP AP AB AP PC PQ QC QC PC AQ BP AB ⎫⎫⎪⎪⇒===⎬⎪=⇒==⎬⎪⎭⎪⎪==⎭AP 为O切线212AP PB PC QA ⇒=⋅=⇒=又因为AQ 为O切线2AQ QC QD QD ⇒=⋅⇒= ………10分 23．（Ⅰ）221:22C x y +=，:4l x += ………5分（Ⅱ）设),sin Qθθ，则点Q 到直线l的距离d ==≥ ………8分当且仅当242k ππθπ+=+，即24k πθπ=+（k Z ∈）时取等 ………10分24．解：（Ⅰ）由柯西不等式得，2222222()(111)()3a b c a b c ++≤++++=∴a b c ≤++≤所以a b c ++的取值范围是[ ………5分（Ⅱ）同理，2222222()[111]()3a b c a b c -+≤+-+++=（） ………7分 若不等式2|1|1()x x a b c -++≥-+对一切实数,,a b c 恒成立， 则311≥++-x x ，解集为33(,][,)22-∞-⋃+∞………10分。

2014年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知全集U=Z，A={-1，0，1，2}，B={x|x2=x}，则A∩∁U B为（）A.{-1，2}B.{-1，0}C.{0，1}D.{1，2}【答案】A【解析】解：由题设解得B={0，1}，C U B={x∈Z|x≠0且x≠1}，∴A∩C U B={-1，2}，故选AB为二次方程的解集，首先解出，再根据交集、补集意义直接求解．本题考查集合的基本运算，属容易题．2.设i为虚数单位，则复数z=在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】解：由i2=-1，得i3=i2•i=-i，从而=，则复数z在复平面内对应的点的坐标为，，此点位于第四象限，故选D．可先利用i2计算i3，再将分式的分子、分母分别乘以1+i，使分母“实数化”，除法问题通过乘法来解决，复数便化为代数形式，可知其对应的点所在象限．1．高考对复数的考查内容包括复数的概念与计算，要求不高，一般是容易题．2．记住以下常用结论可以加快计算速度：（1）i2=-1，i3=-i，i4=1；（2）设z=a+bi（a，b∈R），则（a+bi）（a-bi）=a2+b2．3.若=（-1，3），=（x+1，-4），且（+）∥，则实数x为（）A.3B.C.-3D.-【答案】B【解析】解：∵=（-1，3），=（x+1，-4），∴，，，，由（+）∥，得-4x-（-1）×（x+1）=0，解得：．故选：B．由向量的坐标加法运算求得的坐标，然后直接利用向量共线的坐标表示列式求解x平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=0，∥⇔a1b2-a2b1=0．是基础题．4.在等差数列{a n}中，a1+a2+a3=18，a18+a19+a20=78，则此数列前20项的和等于（）A.160B.180C.200D.320【答案】D【解析】解：等差数列{a n}中，∵a1+a2+a3=18，a18+a19+a20=78，∴a1+a2+a3+a18+a19+a20=3（a1+a20）=18+78=96，∴a1+a20=32，∴此数列前20项的和S20=（a1+a20）=10×32=320．故选D．由已知条件利用等差数列的通项公式推导出a1+a20=32，由此能求出此数列前20项的和．本题考查等差数列的前20项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的基本性质的灵活运用．5.如果执行所示的程序框图，那么输出的S为（）A.96B.768C.1536D.768【答案】B【解析】解：当i=2时，满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=4，i=4；当i=4时，满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=16，i=6；当i=6时，满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=96，i=8；当i=8时，满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=768，i=10；当i=10时，不满足继续循环的条件，故输出的S值为768．故选：B由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方6.已知a，b，l表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，有下列命题：①若α∩β=a，β∩γ=b，且a∥b，则α∥γ；②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β=a，b在β内，a⊥b，则b⊥α；④若a在α内，b在α内，l⊥a，l⊥b，则l⊥α．其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【解析】解：①如图，若平面ABCD∩平面ABFE=AB，平面ABFE∩平面CDEF=EF，AB∥EF，但平面ABCD与平面CDEF不平行．所以①错误．②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则a，b所在的平面γ满足γ∥α，γ∥β，所以必有α∥β成立，所以②正确．③根据面面垂直的性质定理可知，若α⊥β，α∩β=a，b在β内，a⊥b，则b⊥α，所以③正确．④根据线面垂直的判定定理可知，直线a，b必须是相交直线时，结论才成立，所以④错误．故正确的是②③，故选C．①利用面面平行的判定定理进行判断．②利用面面平行的判定定理判断．③利用面面垂直和线面垂直的定义判断．④利用线面垂直判定定理判断．本题主要考查空间直线和平面，平面和平面平行或垂直的性质和判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理即可．7.在等比数列{a n}中，a1=2，前n项和为S n，若数列{a n+1}也是等比数列，则S n等于（）A.2n+1-2B.3nC.2nD.3n-1【答案】C【解析】解：因数列{a n}为等比，则a n=2q n-1，因数列{a n+1}也是等比数列，则（a n+1+1）2=（a n+1）（a n+2+1）∴a n+12+2a n+1=a n a n+2+a n+a n+2∴a n+a n+2=2a n+1∴a n（1+q2-2q）=0∴q=1即a n=2，所以s n=2n，故选C．根据数列{a n}为等比可设出a n的通项公式，因数列{a n+1}也是等比数列，进而根据等比性质求得公比q，进而根据等比数列的求和公式求出s n．本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力．8.一动圆过点A（0，1），圆心在抛物线y=x2上，且恒与定直线相切，则直线l的方程为（）A.x=1B.x=C.y=-D.y=-1【答案】D【解析】解：根据抛物线方程可知抛物线焦点为（0，1），∴定点A为抛物线的焦点，要使圆过点A（0，1）且与定直线l相切，需圆心到定点的距离与定直线的距离相等，根据抛物线的定义可知，定直线正是抛物线的准线，准线方程为y=-1故答案为：y=-1．要使圆过点A（0，1）且与定直线l相切，需圆心到定点的距离与定直线的距离相等，根据抛物线的定义可知，定直线正是抛物线的准线．本题考查抛物线的定义，考查抛物线的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．9.一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A.①②B.①③C.②④D.③④【答案】C【解析】解：由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，共有6种展开方式，若把平面ABA1和平面BCC1展到同一个平面内，在矩形中连接AC1会经过BB1的中点，故此时的正视图为②．若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内，在矩形中连接AC1会经过CD的中点，此时正视图会是④．其它几种展开方式对应的正视图在题中没有出现或者已在②④中了，故选C本题可把正方体沿着某条棱展开到一个平面成为一个矩形，连接此时的对角线AC1即为所求最短路线．本题考查空间几何体的展开图与三视图，是一道基础题．10.函数f（x）=cos2x+sinx，那么下列命题中假命题的是（）A.f（x）在[-π，0]上恰有一个零点B.f（x）既不是奇函数也不是偶函数C.f（x）是周期函数D.f（x）在区间（，）上是增函数【答案】A【解析】解：∵由f（x）=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx=0，得sinx=，∴f（x）在[-π，0]上恰有2个零点，即A是假命题；∵f（x）=cos2x+sinx，∴f（-x）=cos2x-sinx，故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，即B是真命题；∵f（x）=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx=-（sinx-）2+，∴f（x）是周期函数，即C是真命题；∵f（x）=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx=-（sinx-）2+，∴f（x）在（，）上是增函数，即D是真命题．故选：A．由f（x）=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx=0得f（x）在[-π，0]上恰有2个零点；由f（x）=cos2x+sinx，得f（-x）=cos2x-sinx，故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，由f（x）=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx=-（sinx-）2+，得f（x）是周期函数，f（x）在（，）上是增函数．本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要注意三角函数性质的灵活运用．11.在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且a2-c2=2b，=3，则b等于（）A.3B.4C.6D.7【答案】B【解析】解：===3，即sin A cos C=3cos A sin C，利用正弦定理化简得：a•cos C=3c•cos A，即a•=3c•，整理得：4a2-4c2=2b2，即a2-c2=b2，代入已知等式a2-c2=2b得：2b=b2，解得：b=4或b=0（舍去），则b=4．故选：B．已知第二个等式利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后利用正弦、余弦定理化简，得到a2-c2=b2，代入第一个等式即可求出b的值．此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．12.对实数a和b，定义运算“*”：a*b=，，＞，设函数f（x）=（x2+1）*（x+2），若函数y=f（x）-c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数C的取值范围是（）A.（2，4）∪（5，+∞） B.（1，2]∪（4，5]C.（-∞，1）∪（4，5]D.[1，2]【答案】B【解析】解：当（x2+1）-（x+2）≤1时，f（x）=x2+1，（-1≤x≤2），当（x2+1）-（x+2）＞1时，f（x）=x+2，（x＞2或x＜-1），函数y=f（x）＞或＜的图象如图所示：由图象得：1＜c≤2，4＜c≤5时，函数y=f（x）与y=C的图象有2个交点，即函数y=f（x）-c的图象与x轴恰有两个公共点；故答案选：B．化简函数f（x）的解析式，作出函数y=f（x）的图象，由题意可得，函数y=f（x）与y=C的图象有2个交点，结合图象求得结果．本题主要考查根据函数的解析式作出函数的图象，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.幂函数y=f（x）的图象经过点（-2，），则满足f（x）=27的x的值是______ ．【答案】【解析】解：设幂函数y=f（x）=xα，∵过点，，∴=（-2）α，解得α=-3，∴f（x）=x-3，∴f（x）=27=x-3，解得x=．故答案为：．先设出幂函数的解析式，把点，代入求出α的值，再把27代入解析式求出x的值．本题考查了幂函数的解析式的求法，即利用待定系数法进行求解，属于基础题．14.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1）、B（-1，3），若点C满足=α+β，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为______ ．【答案】x+2y-5=0【解析】解：C点满足=α+β且α+β=1，由共线向量定理可知，A、B、C三点共线．∴C点的轨迹是直线AB又A（3，1）、B（-1，3），∴直线AB的方程为：整理得x+2y-5=0故C点的轨迹方程为x+2y-5=0故答案为x+2y-5=0．通过点C满足=α+β，其中α、β∈R，且α+β=1，知点C在直线AB上，利用两点式方程，求出直线AB的方程即求出点C的轨迹方程．考查平面向量中三点共线的充要条件及知两点求直线的方程，是向量与解析几何综合运用的一道比较基本的题，难度较小，知识性较强．15.双曲线-=1（a＞0，b＞0），双曲线l的渐近线与抛物线y2=8x的准线的一个交点纵坐标为-1，则双曲线的离心率为______ ．【答案】【解析】解：∵抛物线y2=8x的准线方程为x=-2，双曲线-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为，双曲线-=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y2=8x的准线的一个交点纵坐标为-1，∴点（-2，-1）在上，∴a=2b，∴，∴，故答案为：．分别求出抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，由已知条件推导出b=2a，由此能求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握抛物线和双曲线的简单性质．16.在区间[0，1]上任意取两个实数a，b，则函数f（x）=x3+ax-b在区间[-1，1]上有且仅有一个零点的概率为______ ．【答案】【解析】解：由题意知本题是一个几何概型，∵a∈[0，1]，∴f'（x）=1.5x2+a≥0，∴f（x）是增函数若在[-1，1]有且仅有一个零点，则f（-1）•f（1）≤0∴（-0.5-a-b）（0.5+a-b）≤0，即（0.5+a+b）（0.5+a-b）≥0a看作自变量x，b看作函数y，由线性规划内容知全部事件的面积为1×1=1，满足条件的面积为∴概率为=，故答案为：由题意知本题是一个几何概型，根据所给的条件很容易做出试验发生包含的事件对应的面积，而满足条件的事件是函数f（x）=x3+ax-b在区间[-1，1]上有且仅有一个零点，求出导函数，看出函数是一个增函数，有零点等价于在自变量区间的两个端点处函数值符号相反，得到条件，做出面积，根据几何概型概率公式得到结果．本题是一个几何概型，对于这样的问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果．三、解答题(本大题共8小题，共70.0分)17.已知f（x）=2sin（x-）cos（x-）+2cos2（x-）（Ⅰ）求f（x）的最大值及取到最大值时相应的x的集合；（Ⅱ）若函数y=f（x）-m在区间[0，]上恰好有两个零点，求实数m的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）f（x）=2sin（x-）cos（x-）+2cos2（x-）=sin（2x-）+cos（2x-）+=2sin（2x-）+∴函数的最大值为2+，当2x-=2kπ+（k∈Z），即x=kπ+（k∈Z）时取最大值，∴取到最大值时相应的x的集合为{x|x=kπ+，（k∈Z）}（Ⅱ）依（Ⅰ）知f（x）=2sin（2x-）+当x∈[0，]时，2x-∈[-，]，要使函数y=f（x）-m有两个零点即直线与函数的图象有两个交点，依草图可知f（）≤m＜f（x）max即-1≤m＜+2．【解析】（Ⅰ）先对函数解析式进行化简，进而根据三角函数的性质求得函数的最大值及此时x 的范围．（Ⅱ）根据x的范围，画出f（x）的图象，利用数形结合方法求得答案．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用．注意对数形结合思想的灵活运用．18.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE为等腰三角形，AE=BE，平面ABCD⊥平面ABE，动点F在CE上，无论点F运动到何处时，总有BF⊥AE．（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BCE；（Ⅱ）求三校锥的D-ACE体积．【答案】（I）证明：∵点F运动到何处时，总有BF⊥AE，∴AE⊥平面BCE，∵AE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCE；（II）作AB的中点G，连结EG，由（I）知AE⊥平面BCE，∵BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE，∵AE=BE，∴EG⊥AB，EG=AB=1∵平面ABCD⊥平面ABE，EG⊂平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，∴GE⊥平面ABCD，∴V D-ACE=V E-ADC=•AE•S△ADC=×1××2×2=．【解析】（I）根据点F运动到何处时，总有BF⊥AE，推断出AE⊥平面BCE，进而根据面面垂直的判定定理推断出平面ADE⊥平面BCE；（II）作AB的中点G，连结EG，由（I）知AE⊥平面BCE，根据线面垂直的性质可知AE⊥BE，AE=BE，进而根据EG⊥AB，求得EG，根据面面垂直的性质可推断出GE⊥平面ABCD最后根据V D-ACE=V E-ADC求得三校锥的D-ACE体积．本题主要考查了线面垂直，面面垂直的判定定理的应用．判断面面垂直的重要一步就是先判断出线面垂直．19.某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以X（单位：盒，100≤X≤200）表示这个开学季内的市场需求量，Y（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润．（Ⅰ）根据直方图估计这个丌学季内市场需求量X的平均数和众数；（Ⅱ）将Y表示为X的函数；（Ⅲ）根据直方图估计利润不少于4800元的概率．【答案】解：（Ⅰ）由频率直方图得到：需求量为110的频率=0.005×20=0.1，需求量为130的频率=0.01×20=0.2，需求量为150的频率=0.015×20=0.3，需求量为170的频率=0.0125×20=0.25，需求量为190的频率=0.0075×20=0.15，∴这个丌学季内市场需求量X的众数是150，这个丌学季内市场需求量X的平均数：=110×0.1+130×0.2+150×0.3+170×0.25+190×0.15=153．（Ⅱ）∵每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元，∴当100≤x≤160时，y=50x-（160-x）•30=80x-4800，当160＜x≤200时，y=160×50=8000，∴y=．（Ⅲ）∵利润不少于4800元，∴80x-4800≥4800，解得x≥120，∴由（Ⅰ）知利润不少于4800元的概率p=1-0.1=0.9．【解析】（Ⅰ）由频率直方图分别求出各组距内的频率，由此能求出这个开学季内市场需求量X 的众数和平均数．（Ⅱ）由已知条件推导出当100≤x≤160时，y=50x-（160-x）•30=80x-4800，当160＜x≤200时，y=160×50=8000，由此能将Y表示为X的函数．（Ⅲ）利用频率分布直方图能求出利润不少于4800元的概率．本题考查频率分布直方图的应用，考查函数解析式的求法，考查概率的估计，是中档题，解题时要注意频率分布直方图的合理运用．20.平面直角坐标系x O y中，椭圆C：+=1（a＞b＞0），椭圆上、下顶点分别为B1，B2．椭圆上异于于B1，B2两点的任一点P满足直线PB1，PB2的斜率之积等于-，且椭圆的焦距为2，直线y=kx+2与椭圆交于不同两点S，T．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求证：直线B1S与直线B2T的交点在一条定直线上，并求出这条定直线．【答案】解：（I）由已知B1（0，b），B2（0，-b），∵椭圆的焦距为2，∴椭圆方程可化为：设P（x，y），则，∵直线PB1，PB2的斜率之积等于-，∴=-，∴椭圆方程为…（4分）（II），可得（1+4k2）x2+16kx+12=0，△＞0，可得k2＞．设S（x1，y1），T（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=．取直线y=x+2与椭圆交于两点S（-，），T（-2，0）直线B1S：y=x+1，直线B2T：y=-x-1，两条直线的交点为Q1（-3，）取直线y=-x+2与椭圆交于两点S（，），T（2，0）直线B1S：y=-x+1，直线B2T：y=x-1，两条直线的交点为Q2（3，）若交点在一条直线上则此直线只能为l：y=．设直线直线B1S与直线l：y=交点为Q0（x0，y0），直线B2T与直线l：y=交点为Q0′（x0′，y0′），直线B1S：y=+1，B2T：y=-1，分别令y=，可得Q0（•，），Q0′（•，），∴x0-x0′=••-•=0∴点Q0（x0，y0）与Q0′（x0′，y0′）重合，∴交点在直线l：y=上…（12分）【解析】（Ⅰ）椭圆方程可化为：，设P（x，y），则，利用直线PB1，PB2的斜率之积等于-，可得=-，即可求C的方程；（Ⅱ）直线y=kx+2代入椭圆方程，取特殊直线，猜想出定直线，再证明结论即可．本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．21.己知函数f（x）=（nx-n+2）•e x（其中n∈N*）（Ⅰ）求f（x）在[0，2]上的最大值；（Ⅱ）若函数g（x）=（nx+2）（nx-15）（n∈N*），求n所能取到的最大正整数，使对任意x＞0，都有2f′（x）＞g（x）恒成立．【答案】解：（Ⅰ）∵f′（x）=（nx+2）e x，n＞0时，f′（x）=（nx+2）e x=n（x+）e x，f（x）在（-，+∞）上递增，∴f（x）在[0，2]上是增函数，此时f（x）max=f（2）=（n+2）•e2；（Ⅱ）由题设：函数g（x）=（nx+2）（nx-15），（n＞1，n∈N*），f′（x）=（nx+2）•e x，当x＞0时，若2f′（x）＞g（x）恒成立，即2（nx+2）•e x＞（nx+2）（nx-15），∴2e x＞（nx-15），设p（x）=2e x-（nx-15），当x＞0时，p（x）＞0（*）恒成立，∵p′（x）=2e x-n，故p（x）在（0，ln）上递减，在（ln，+∞）递增，故（*）⇔p（x）min=p（ln）=（n-nln+15）＞0，设h（x）=x-x（lnx-ln2）+15，则h′（x）=-ln，故h（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，而h（2e2）=15=15-2e2＞0，且h（15）=15（lne2-ln）＜0，故存在x0∈（2e2，15）使h（x0）=0，且x∈[2，x0]时h（x）＞0，x∈（x0，+∞）时h（x）＜0，又∵h（1）=16-ln＞0，14＜2e2＜15，故所求的最大正整数n=14．【解析】（Ⅰ）先求出f′（x）=（nx+2）e x，n＞0时，f（x）在[0，2]上是增函数，从而综合得出f（x）在[0，2]上的最大值；（Ⅱ）由题设：函数g（x）=n2x2-13nx-30=（nx+2）（nx-15），（n＞1，n∈N*），得2（nx+2）•e x＞（nx+2）（nx-15），得当x＞0时，p（x）＞0（*）恒成立，从而p（x）=p（ln）=（n-nln+15）＞0，设h（x）=x-x（lnx-ln2）+15，故h（x）在（0，2）min递增，在（2，+∞）递减，故存在x0∈（2e2，15）使h（x0）=0，且x∈[2，x0]时h （x）＞0，x∈（x0，+∞）时h（x）＜0，故所求的最大正整数n=14．本题考查函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．22.如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．求证：（1）PA•PD=PE•PC；（2）AD=AE．【答案】证明：（1）∵PE、PB分别是⊙O2的割线∴PA•PE=PD•PB（2分）又∵PA、PB分别是⊙O1的切线和割线∴PA2=PC•PB（4分）由以上条件得PA•PD=PE•PC（5分）（2）连接AC、ED，设DE与AB相交于点F∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB=90°∴AC是⊙O2的切线．（6分）由（1）知，∴AC∥ED，∴AB⊥DE，∠CAD=∠ADE（8分）又∵AC是⊙O2的切线，∴∠CAD=∠AED又∠CAD=∠ADE，∴∠AED=∠ADE∴AD=AE（10分）【解析】（1）根据切割线定理，建立两个等式，即可证得结论；（2）连接AC、ED，设DE与AB相交于点F，证明AC是⊙O2的切线，可得∠CAD=∠AED，由（1）知，可得∠CAD=∠ADE，从而可得∠AED=∠ADE，即可证得结论．本题考查圆的切线，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23.在极坐标系中，O x为极点，点A（2，），B（2，）．（Ⅰ）求经过O，A，B的圆C的极坐标方程；（Ⅱ）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆D的参数方程为（θ是参数，a为半径），若圆C与圆D相切，求半径a的值．【答案】解：（I）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，∴点O（0，0），A（0，2），B（2，2）；过O，A，B三点的圆C的普通方程是（x-1）2+（y-1）2=2，即x2-2x+y2-2y=0；化为极坐标方程是ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ，即ρ=2cos（θ-）；（II）圆D的参数方程化为普通方程是（x+1）2+（y+1）2=a2；当圆C与圆D相切时，+a=2，或a-=2，∴a=，或a=3．【解析】（I）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求出过三点O，A，B的圆的普通方程，再化为极坐标方程；（II）把圆D的参数方程化为普通方程，求出圆心距|CD|，当圆C与圆D相切（内切或外切）时，求出a的值．本题考查了参数方程与极坐标方程的应用问题，解题时可以把参数方程和极坐标方程化为普通方程，再来解答问题，是基础题．24.已知函数f（x）=|x-a|．（1）若f（x）≤m的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a，m的值．（2）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．【答案】解：（1）∵f（x）≤m，∴|x-a|≤m，即a-m≤x≤a+m，∵f（x）≤m的解集为{x|-1≤x≤5}，∴，解得a=2，m=3．（2）当a=2时，函数f（x）=|x-2|，则不等式f（x）+t≥f（x+2）等价为|x-2|+t≥|x|．当x≥2时，x-2+t≥x，即t≥2与条件0≤t＜2矛盾．当0≤x＜2时，2-x+t≥x，即0，成立．当x＜0时，2-x+t≥-x，即t≥-2恒成立．综上不等式的解集为（-∞，]．【解析】（1）根据绝对值不等式的解法建立条件关系即可求实数a，m的值．（2）根据绝对值的解法，进行分段讨论即可得到不等式的解集．本题主要考查绝对值不等式的解法，要求熟练掌握绝对值的化简技巧．。

2014年东北三省三校高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={x|﹣4≤x≤0}，则A∩∁R B=（）A．R B．{x∈R|X≠0}C．{x|0＜x≤2}D．∅2．（5分）若复数z满足iz=2+4i，则复数z=（）A．2+4i B．2﹣4i C．4﹣2i D．4+2i3．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣3x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣3x+2＜0B．∃x∈R，x2﹣3x+2＞0C．∃x∈R，x2﹣3x+2≤0D．∃x∈R，x2﹣3x+2≥04．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4+a6=12，则S7的值是（）A．21B．24C．28D．75．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①f（x）=sinx，②f（x）=cosx，③f（x）=，④f（x）=x2，则输出的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=cosx C．f（x）=D．f（x）=x2 6．（5分）变量x，y满足约束条件，则x+3y最大值是（）A．2B．3C．4D．57．（5分）直线m，n均不在平面α，β内，给出下列命题：①若m∥n，n∥α，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥n，n⊥α，则m∥α；④若m⊥β，α⊥β，则m∥α；则其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．48．（5分）已知函数f（x）=2x+x，g（x）=log3x+x，h（x）=x﹣的零点依次为a，b，c，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 9．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．10．（5分）一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”（如213，312等），若a，b，c∈{1，2，3，4}且a，b，c互不相同，则这个三位数是“凹数”的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），以原点为圆心，c为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为A，若此圆在A点处切线的斜率为，则双曲线C的离心率为（）A ．+1B ．C．2D ．12．（5分）已知函数f（x）=的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，]C．[1，2]D．[，2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若cos （）﹣sinα=，则sin （）=．14．（5分）正方形ABCD的边长为2，=2，=（），则=．15．（5分）正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为．16．（5分）已知函数f（x）=|cosx|•sinx给出下列五个说法：①f （）=﹣；②若|f（x1）|=|f（x2）|，则x1=x2+kπ（k∈Z）；③f（x）在区间[﹣，]上单调递增；④函数f（x）的周期为π；⑤f（x ）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．其中正确说法的序号是．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A﹣C）=2sin2C．（1）求内角B的余弦值；（2）若b=，求△ABC的面积．18．（12分）某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如表：。

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东北三省三校2014年高三第二次联合模拟考试（哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学)数学理试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

）1。

若}7,6,5{}3,2,1{}8,7,6,5,4,3,2,1{===B A U ，，，则()()U U C A C B = A 。

｛4,8} B. {2，4,，6，8｝ C. {1,3，5，7｝ D. {1，2，3,5,6，7}2。

哈尔滨市2014年第三中学第二次高考模拟考试数学（文）试题考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第1I 卷（非选择题）两部分，满分1 50分，考试时间120分钟． （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证弓‘码填。

与清楚； （2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚； （3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，小得折替、小要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题EI 要求的．）1．已知全集U=Z ，集合A={一1，0，1，2}，B={x|x 2=x}，则A C U B 为A ．{一1，2）B ．{一1，0}C ．{0，1）D ．{1，2）2．设i 为虚数单位，则复数31i z i=-在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第_象限C ．第三象限D ．第四象限3．若a=（一1，3），b=（x+1，一4），且（a+b ）//b ，则实数x 为A ．3B ．13C ．一3D ．一134．在等差数列{n a }中，12318192018,78,a a a a a a ++=++=则此数列前20项的和等于A ．160B ．180C ．200D ．2205．如果执行右面的程序框图，那么输出的S 为 A ．96 B ．768C ．1 536D ．7686．已知a ，b ，l ，表示三条不同的直线，,,αβγ表示三个不同的平面，有下列四个命题：A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④7．等比数列{}n a 中，12a =，前n 项和为S n ，且若数列{1}n a +也是等比数列，则S n 等于A ．122n +-B ．3nC ．2nD ．3n —18．一动圆过点A （0，1），圆心在抛物线214y x =上，且恒与定直线，相切，则直线l 的方程为A ．x=1B ．132x =C ．132y =- D ．1y =-9．一只蚂蚁从正方体ABCD —A 1B 2C 1D 1的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C 。

2014年东北三省三校高三第二次联合模拟考试（语文）高考语文2014-04-14 1151()2014年高三三校第二次联合模拟考试语文答案一、1．C（因果倒置。

原文第一段中提到：“东方主义” 建构成一种优劣对比的知识体系，通过教育、媒体以及留学生，向全球扩散，它最严重的后果，就是弱者会被教育得产生“自认劣等意识”。

）2．B（“经济的改变要以权力的改变为前提”错，原文“经济的改变需要权力的改变”，结合本段内容可知，是说东方在经济改变之后，寻求有权力的改变，才会有东西方的关系的改变，“东方主义”才能终结。

）3．C（A项“看似困难，实则容易”是对原文的错误理解。

B项“使中国人不再有”“并能够”都过于绝对。

D项“要真正实现不同民族之间的相互尊重”不正确，原文是“要真正实现对异文化的尊重”，可见文章强调的是“西方”对“东方”，不是“相互”的，“异文化”说成“不同民族”是偷换概念。

）二、（一）4．D（致：送给）5．C (①⑤⑥和“利”无关)6．A（A项三人表现不是截然不同的，凸显性格的说法也不对。

韩康子、魏桓子满足了智伯索要土地的要求，而赵襄子没有。

）7．（1）智伯说：“你怎么知道的？”絺疵回答说：“我看见他俩看我很仔细，然后快步跑开，那是知道我识破他们心思的缘故。

”（何以：凭什么，怎么， 1分；其：他们，他俩，1分；趋疾，快步跑开，1分；故：原因，1分；句子通顺，2分）（2）智伯军队为救水淹而大乱，韩、魏两军从侧面攻击智伯军，赵襄子带领士兵从正面迎击。

（翼：从侧面，1分；将：带领，1分；句子通顺，2分）（二）8．①听觉角度。

角声催促，鸟还未被惊醒，邻户的鸡已啼鸣，这是凌晨在驿站客舍听到的情景，点明题中的“晓”字。

（2分）②视觉角度。

连绵村庄，晨烟未散，行人起，丛林中残月在天，这是晓行所见的情景。

（2分）③感觉角度。

眼泪被寒霜微微凝结，为御寒而喝的酒，还不够抵抗天气的寒冷，这是写晓行的感触和感受。

（2分）9.这首词表达了思乡怀人的惆怅和羁旅漂泊的倦怠。

2014年东北三省三校高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={x|﹣4≤x≤0}，则A∩∁R B=（）A．R B．{x∈R|X≠0}C．{x|0＜x≤2}D．∅2．（5分）若复数z满足iz=2+4i，则复数z=（）A．2+4i B．2﹣4i C．4﹣2i D．4+2i3．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣3x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣3x+2＜0 B．∃x∈R，x2﹣3x+2＞0C．∃x∈R，x2﹣3x+2≤0 D．∃x∈R，x2﹣3x+2≥04．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4+a6=12，则S7的值是（）A．21 B．24 C．28 D．75．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①f（x）=sinx，②f（x）=cosx，③f（x）=，④f（x）=x2，则输出的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=cosx C．f（x）=D．f（x）=x26．（5分）变量x，y满足约束条件，则x+3y最大值是（）A．2 B．3 C．4 D．57．（5分）直线m，n均不在平面α，β内，给出下列命题：②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥n，n⊥α，则m∥α；④若m⊥β，α⊥β，则m∥α；则其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）已知函数f（x）=2x+x，g（x）=log3x+x，h（x）=x﹣的零点依次为a，b，c，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c9．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A． B．C． D．10．（5分）一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a ＞b，b＜c时称为“凹数”（如213，312等），若a，b，c∈{1，2，3，4}且a，b，c互不相同，则这个三位数是“凹数”的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），以原点为圆心，c为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为A，若此圆在A点处切线的斜率为，则双曲线C的离心率为（）A．+1 B．C．2 D．12．（5分）已知函数f（x）=的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，]C．[1，2]D．[，2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若cos （）﹣sinα=，则sin （）=．14．（5分）正方形ABCD的边长为2，=2，=（），则=．15．（5分）正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为．16．（5分）已知函数f（x）=|cosx|•sinx给出下列五个说法：①f （）=﹣；②若|f（x1）|=|f（x2）|，则x1=x2+kπ（k∈Z）；③f（x）在区间[﹣，]上单调递增；④函数f（x）的周期为π；⑤f（x ）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．其中正确说法的序是．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A﹣C）=2sin2C．（1）求内角B的余弦值；（2）若b=，求△ABC的面积．18．（12分）某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如表：（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API（记为ω）的关系式为：S=，试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：k2=19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和DC，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA=2，AD=DC=1，点E在SD上，且AE⊥SD．（1）证明：AE⊥平面SDC；（2）求三棱锥B﹣ECD的体积．20．（12分）椭圆M：（a＞0，b＞0）的离心率为，且经过点P（1，）．过坐标原点的直线l1与l2均不在坐标轴上，l1与椭圆M交于A，C两点，l2与椭圆M交于B，D两点．（1）求椭圆M的方程；（2）若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD面积的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设函数φ（x）=xf（x）+tf′（x）+，存在函数x1，x2∈[0，1]，使得成立2φ（x1）＜φ（x2）成立，求实数t的取值范围．四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题．（选修4-1：几何证明选讲)22．（10分）如图，PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，C是劣弧AB（不包括端点）上一点，直线PC交圆O于另一点D，Q在弦CD上，且∠DAQ=∠PBC．求证：（1）；（2）△ADQ∽△DBQ．（选修4-4：坐标系与参数方程）23．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l经过定点P（3，5），倾斜角为．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．（选修4-5：不等式选讲）24．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥t2﹣3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围．2014年东北三省三校高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={x|﹣4≤x≤0}，则A∩∁R B=（）A．R B．{x∈R|X≠0}C．{x|0＜x≤2}D．∅【解答】解：由A中的不等式解得：0≤x≤2，即A={x|0≤x≤2}，∵B={x|﹣4≤x≤0}，∴∁R B={x|x＜﹣4或x＞0}，则A∩（∁R B）={x|0＜x≤2}．故选：C．2．（5分）若复数z满足iz=2+4i，则复数z=（）A．2+4i B．2﹣4i C．4﹣2i D．4+2i【解答】解：由iz=2+4i，得z==4﹣2i，故选C．3．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣3x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣3x+2＜0 B．∃x∈R，x2﹣3x+2＞0C．∃x∈R，x2﹣3x+2≤0 D．∃x∈R，x2﹣3x+2≥0【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x∈R，x2﹣3x+2≥0”的否定是∃x∈R，x2﹣3x+2＜0，故选：A．4．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4+a6=12，则S7的值是（）A．21 B．24 C．28 D．7【解答】解：∵a+a+a=12，∴a2+a4+a6=12=3a4=12，即a4=4，则S7=，故选：C．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①f（x）=sinx，②f（x）=cosx，③f（x）=，④f（x）=x2，则输出的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=cosx C．f（x）=D．f（x）=x2【解答】解：由程序框图得：输出还是f（x）满足f（x）+f（﹣x）=0且存在零点．∵满足f（x）+f（﹣x）=0的函数有①③，又函数③不存在零点，∴输出函数是①．故选：A．6．（5分）变量x，y满足约束条件，则x+3y最大值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x+3y得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点A（2，1）时y=的截距最大，此时z最大．代入z=x+3y得z=2+3=5．即x+3y的最大值为5．故选：D．7．（5分）直线m，n均不在平面α，β内，给出下列命题：①若m∥n，n∥α，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥n，n⊥α，则m∥α；④若m⊥β，α⊥β，则m∥α；则其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：注意前提条件直线m，n均不在平面α，β内．对于①，根据线面平行的判定定理知，m∥α，故①正确；对于②，如果直线m与平面α相交，则必与β相交，而这与α∥β矛盾，故m∥α，故②正确；对于③，在平面α内任取一点A，设过A，m的平面γ与平面α相交于直线b，∵n⊥α，∴n⊥b，又m⊥n，∴m⊥b，∴m∥α，故③正确；对于④，设α∩β=l，在α内作m′⊥β，∵m⊥β，∴m∥m′，∴m∥α，故④正确．故选：D．8．（5分）已知函数f（x）=2x+x，g（x）=log3x+x，h（x）=x﹣的零点依次为a，b，c，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【解答】解：函数f（x）=2x+x的零点为a，也就是说函数，图象的交点的横坐标，同理，g（x）=log3x+x，h（x）=x﹣的零点也就是函数的图象的交点的横坐标，在同一坐标系中作出函数的图象，如下图所示：故有a＜b＜c，故选：A．9．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A． B．C． D．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故选：D．10．（5分）一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a ＞b，b＜c时称为“凹数”（如213，312等），若a，b，c∈{1，2，3，4}且a，b，c互不相同，则这个三位数是“凹数”的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，要得到一个满足a≠c的三位“凹数”，在{1，2，3，4}的4个整数中任取3个不同的数组成三位数，有C43×=24种取法，在{1，2，3，4}的4个整数中任取3个不同的数，将最小的放在十位上，剩余的2个数字分别放在百、个位上，有C43×2=8种情况，则这个三位数是“凹数”的概率是；故选：C．11．（5分）双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），以原点为圆心，c为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为A，若此圆在A点处切线的斜率为，则双曲线C的离心率为（）A．+1 B．C．2 D．【解答】解：设A的坐标为（m，n），可得直线AO的斜率满足k=﹣，即n=﹣m…①∵以点O为圆心，c为半径的圆方程为x2+y2=c2∴将①代入圆方程，得m2+3m2=c2，解得m=﹣，n=c将点A（﹣，c）代入双曲线方程，得化简得：c2b2﹣c2a2=a2b2，∵c2=a2+b2∴b2=c2﹣a2代入上式，化简整理得c4﹣8c2a2+4a4=0两边都除以a4，整理得e4﹣8e2+4=0，解之得e2=4+2或e2=4﹣2∵双曲线的离心率e＞1，∴该双曲线的离心率e=+1（舍负）．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）=的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，]C．[1，2]D．[，2]【解答】解：∵函数f（x）=的图象如下图所示：∵函数f（x）的值域是[0，2]，∴1∈[0，a]，即a≥1，又由当y=2时，x3﹣3x=0，x=（0，﹣舍去），∴a∴a的取值范围是[1，]．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若cos（）﹣sinα=，则sin（）=．【解答】解：∵cos（）﹣sinα===，∴，∵sin（）=sin（）=，∴sin（）=，故答案为：14．（5分）正方形ABCD的边长为2，=2，=（），则=﹣．【解答】解：如图所示，正方形ABCD中，边长为AB=2，=2，=（），∴=（+）•（+）=•+•+•+•=×2×2cos90°+××2cos180°+×2×2cos135°+××2cos135°=0﹣﹣2﹣=﹣；故答案为：﹣．15．（5分）正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为4π．【解答】解：将四面体ABCD放置于正方体中，如图所示可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，∵正四面体ABCD的棱长为4，∴正方体的棱长为，可得外接球半径R满足，解得R=E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，当截面到球心O的距离最大时，截面圆的面积达最小值，此时球心O到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为r==2，得到截面圆的面积最小值为S=πr2=4π．故答案为：4π16．（5分）已知函数f（x）=|cosx|•sinx给出下列五个说法：①f（）=﹣；②若|f（x1）|=|f（x2）|，则x1=x2+kπ（k∈Z）；③f（x）在区间[﹣，]上单调递增；④函数f（x）的周期为π；⑤f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．其中正确说法的序是①③．【解答】解：①f（）=|cos|•sin==﹣，正确；②若|f（x1）=|f（x2）|，即|sin2x1|=|sin2x2|，则x1=0，x2=时也成立，故②不正确；③在区间[﹣，]上，f（x）=|cosx|•sinx=sin2x，单调递增，正确；④∵f（x+π）≠f（x），∴函数f（x）的周期不是π，不正确；⑤∵函数f（x）=|cosx|•sinx，∴函数是奇函数，∴f（x）的图象关于点（0，0）成中心对称，点（﹣，0）不是函数的对称中心，故不正确．故答案为：①③．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A﹣C）=2sin2C．（1）求内角B的余弦值；（2）若b=，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）三角形ABC中，∵sinB+sin（A﹣C）=2sin2C，∴sin （A +C ）+sin （A ﹣C ）=4sinCcosC ，∴sinA=2sinC ，或cosC=0． ∴a=2c ，或C=90°（不满足a ，b ，c 成公比小于1的等比数列，故舍去）． 由边a ，b ，c 成公比小于1的等比数列，可得b 2=ac ，∴b=c ，∴cosB===．（Ⅱ）∵b=，cosB=，∴ac=b 2=3，sinB=，∴△ABC 的面积S=ac•sinB=．18．（12分）某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API 的监测数据，结果统计如表：（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失S （单位：元）与空气质量指数API （记为ω）的关系式为：S=，试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？ 附：k 2=【解答】解：（1）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A…（1分）由200＜S≤600，得150＜ω≤250，频数为39，…（3分）∴P（A）=…．（4分）（2）根据以上数据得到如表：…．（8分）K2的观测值K2=≈4.575＞3.841…．（10分）所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．…．（12分）19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和DC，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA=2，AD=DC=1，点E在SD上，且AE⊥SD．（1）证明：AE⊥平面SDC；（2）求三棱锥B﹣ECD的体积．【解答】（1）证明：∵侧棱SA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴SA⊥CD．…．（1分）∵底面ABCD直角梯形，AD垂直于AB和DC，∴AD⊥CD，又AD∩SA=A，∴CD⊥侧面SAD，…．（3分）∵AE⊂侧面SAD∴AE⊥CD，∵AE⊥SD，CD∩SD=D，∴AE⊥平面SDC…．（5分）（Ⅱ）解：∵CD⊥AD，CD⊥AE，AD∩AE=A，∴CD⊥平面ASD，∴CD⊥SD，=ED•DC …（7分）∴S△EDC在Rt△ASD中，SA=2，AD=1，AE⊥SD，∴ED=，AE=∴S=1，…（9分）△EDC又∵AB∥CD，CD⊂平面SCD，AB⊄平面SCD，∴AB∥平面SCD，∴点B到平面SCD的距离等于点A到平面SCD的距离AE …（11分）=S△EDC•AE=…（12分）∴V B﹣ECD20．（12分）椭圆M：（a＞0，b＞0）的离心率为，且经过点P（1，）．过坐标原点的直线l1与l2均不在坐标轴上，l1与椭圆M交于A，C两点，l2与椭圆M交于B，D两点．（1）求椭圆M的方程；（2）若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD面积的最小值．【解答】解：（1）∵椭圆M：（a＞0，b＞0）的离心率为，且经过点P（1，），∴，又∵a2=b2+c2，∴a2=2，b2=1，∴椭圆C的方程为．…（4分）（2）设直线AC：y=k1x，直线BD：y=k2x．联立，得方程（2k+1）x2﹣2=0，∴，…（6分）∴|OA|=|OC|=．同理，|OB|=|OD|=．…（8分）又∵AC⊥BD，∴|OB|=|OD|=•，其中k1≠0．从而菱形ABCD的面积S为S=2|OA|•|OB|=2••，整理得S=4，其中k1≠0．…（10分）当且仅当时取“=”，∴当k1=1或k1=﹣1时，…（11分）菱形ABCD的面积最小，该最小值为．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设函数φ（x）=xf（x）+tf′（x）+，存在函数x1，x2∈[0，1]，使得成立2φ（x1）＜φ（x2）成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵函数的定义域为R，f′（x）=﹣…．（2分）∴当x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′（x）＜0．∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．…．（4分）（2）假设存在x1，x2∈[0，1]，使得成立2φ（x1）＜φ（x2）成立，则2φ（x）min＜φ（x）max．∵φ（x）=xf（x）+tf′（x）+=，∴φ′（x）=…（6分）①当t≥1时，φ′（x）≤0，φ（x）在[0，1]上单调递减，∴2φ（1）＜φ（0），即t＞3﹣＞1．…．（8分）②当t≤0时，φ′（x）＞0，φ（x）在[0，1]上单调递增，∴2φ（0）＜φ（1），即t＜3﹣2e＜0．…．（10分）③当0＜t＜1时，在x∈[0，t），φ′（x）＜0，φ（x）在[0，t]上单调递减在x∈（t，1]，φ′（x）＞0，φ（x）在[t，1]上单调递增∴2φ（t）＜max{φ（0），φ（1）}，即2•＜{1，}（*）由（1）知，g（t）=2•在[0，1]上单调递减故≤2•≤2，而≤≤，∴不等式（*）无解综上所述，存在t∈（﹣∞，3﹣2e）∪（3﹣，+∞），使得命题成立．…（12分）四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题．（选修4-1：几何证明选讲)22．（10分）如图，PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，C是劣弧AB（不包括端点）上一点，直线PC交圆O于另一点D，Q在弦CD上，且∠DAQ=∠PBC．求证：（1）；（2）△ADQ∽△DBQ．【解答】证明：（Ⅰ）连接AB．∵△PBC∽△PDB，∴．同理．又∵PA=PB，∴，即．（Ⅱ）∵∠BAC=∠PBC=∠DAQ，∠ABC=∠ADQ，∴△ABC∽△ADQ，即．故．又∵∠DAQ=∠PBC=∠BDQ，∴△ADQ∽△BDQ．（选修4-4：坐标系与参数方程）23．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l经过定点P（3，5），倾斜角为．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ，得曲线C的普通方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=16；∵直线l经过定点P（3，5），倾斜角为，∴直线l的参数方程为：，t为参数．（Ⅱ）将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得t2+（2+3）t﹣3=0，设t1、t2是方程的两个根，则t1t2=﹣3，∴|PA|•|PB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=3．（选修4-5：不等式选讲）24．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥t2﹣3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=，∴原不等式转化为或或，解得：x≥6或﹣2≤x≤﹣或x＜﹣2，∴原不等式的解集为：（﹣∞，﹣]∪[6，+∞）；（2）只要f（x）max＜t2﹣3t，由（1）知，当x∈[0，1]时，f（x）max=﹣1，∴t2﹣3t＞﹣1，解得：t＞或t＜．∴实数t的取值范围为（﹣∞，）∪（，+∞）．。

2014年辽宁省大连市高考数学二模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合U={0，1，2，4，8}，A={1，2，8}，B={2，4，8}，则∁U（A∩B）=（）A.{0，2}B.{4，8}C.{0，1，4}D.{1，8}【答案】C【解析】解：∵U={0，1，2，4，8}，A∩B={1，2，8}∩{2，4，8}={2，8}，∴C U（A∩B）={0，1，4}，故选C．利用两个集合的交集的定义求出A∩B，再利用补集的定义求出C U（A∩B）．本题考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，求出A∩B，是解题的关键．2.设复数z满足zi=-3+i（i为虚数单位），则z的虚部是（）A.-3B.-3iC.3D.3i【答案】C【解析】解：∵复数z满足zi=-3+i，∴z==1+3i，∴z的虚部是3，故选：C．由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求出z，可得z的虚部．本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3.在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A.58B.88C.143D.176【答案】B【解析】解：∵在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，∴a1+a11=a4+a8=16，∴S11==88，故选B．根据等差数列的定义和性质得a1+a11=a4+a8=16，再由S11=运算求得结果．本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．4.平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）【答案】B【解析】解：由已知|a|=2，|a+2b|2=a2+4a•b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12，∴|a+2b|=．故选：B．根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方．本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，根据和的模两边平方，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．5.下列命题中的假命题是（）A.∀x∈R，2x-1＞0B.∃x∈R，lgx＜1C.∀x∈R，x2＞0D.∃x∈R，tanx=2【答案】C【解析】解：根据指数函数的性质，2x-1＞0恒成立，故A正确；当0＜x＜10时，lgx＜1，故B：∃x∈R，lgx＜1正确；当x=0时，x2=0，故C：∀x∈R，x2＞0错误；∵函数y=tanx的值域为的，故D：∃x∈R，tanx=2正确；故选C根据指数函数的值域为（0，+∞）可判断A的真假；根据对数函数的图象和性质，可得0＜x＜10时，lgx＜1，进而判断出B的真假；根据实数平方的非负性，可以判断C的真假；根据正切函数的值域，可以判断D的真假本题以命题的真假判断为载体考查了指数函数、对数函数、二次函数、正切函数的图象和性质，熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解答的关键．6.已知cos（α-）+sinα=，则sin（α+）的值是（）A. B.- C. D.-【答案】A【解析】解：∵cos（α-）+sinα=cosα+sinα+sinα=cosα+sinα=cos（-α）=，∴cos（-α）=，∴sin（α+）=sin[-（-α）]=cos（-α）=，故选：A．由条件利用查两角和差的三角公式、诱导公式求得cos（-α）=，再根据sin（α+）本题主要考查两角和差的三角公式、诱导公式的应用，属于基础题．7.设变量x，y满足约束条件则z=3x-2y的最大值为（）A.0B.2C.4D.3【答案】C【解析】解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z=3x-2y过点D时，在y轴上截距最小，z最大由D（0，-2）知z max=4．故选C．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=3x-2y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．8.抛物线y2=8x的焦点与椭圆+=1的焦点重合，则椭圆的离心率为（）A. B.或 C.或 D.【答案】A【解析】解：由题意可得：抛物线y2=8x的焦点（2，0），∵抛物线y2=8x的焦点与椭圆+=1的焦点重合，∴a2-5=4，∴a2=9，解得：a=3．∴e==．故选A．求出抛物线的焦点坐标，由椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合得到椭圆是焦点在x轴上的椭圆，且求得半焦距c，然后利用a2=b2+c2求出椭圆的半长轴，则离心率可求．本题考查了椭圆的简单性质，涉及圆锥曲线离心率的求解问题，一定要找到关于a，c 的关系，隐含条件a2=b2+c2的应用是解答该题的关键，此题是基础题．9.函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，则其中ω，φ分别为（）【答案】B【解析】解：由图知A=1，T=-=，ω＞0，∴T==π，解得：ω=2；又该函数的图象过（，0），|∴2×+φ=2kπ+π（k∈Z），∴φ=2kπ+（k∈Z），又|φ|＜π，∴φ=；综上所述，ω=2，φ=．故选：B．利用f（x）=A sin（ωx+φ）的图象，可得A=1，T=，从而可求得ω；再由其图象过（，0），|φ|＜π，可求得φ，从而可得答案．本题考查函数y=A sin（ωx+φ）的解析式的确定，着重考查正弦函数的图象与性质，求得φ是难点，属于中档题．10.执行如图所示的程序框图，输入的N=2014，则输出的S=（）A.-B.5C.2013D.【答案】A【解析】解：由程序框图知：第一次循环S=1+4=5，i=2；第二次循环S=1-=，i=3；第三次循环S=1-=-，i=4．第四次循环S=5，i=5，…∴S值的周期为3，∵N=2014，∴跳出循环的i值为2014，∴输出的S=-．故选：A．根据框图的流程依次计算程序运行的结果，发现S值的周期，再根据条件确定跳出循环的i值，利用周期确定输出的S值．本题考查了当型循环结构的程序框图，根据棱台的流程判断S值的周期并利用周期确定输出的S值是关键．11.已知双曲线-=1（b＞0），过其右焦点F作图x2+y2=9的两条切线，切点记作C，D，双曲线的右顶点为E，∠CED=150°，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：如图，∵双曲线-=1（b＞0），过其右焦点F作圆x2+y2=9的两条切线，切点记作C，D，双曲线的右顶点为E，∠CED=150°，∴∠FOC=180°-2∠OEC=30°，∠OCF=90°，∴OC=a，OF=c，CF=c，∴a2+（c）2=c2，解得c=a，∴e==．故选：D．根据已知条件，作出图形，结合图形，由双曲线的性质得到∠FOC=30°，∠OCF=90°，OC=a，OF=c，CF=c，利用勾股定理求出a，c间的等量关系，由此能求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率的求法，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用，是中档题．12.已知函数f（x）满足f（x）=f（3x），当x∈[1，3），f（x）=lnx，若在区间[1，9）内，函数g（x）=f（x）-ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】解：设x∈[3，9），则∈[1，3）∵x∈[1，3），f（x）=lnx，∴f（）=ln，∵函数f（x）满足f（x）=f（3x），∴f（）=f（x）=ln，∴f（x）=，＜，＜，∵在区间[1，9）内，函数g（x）=f（x）-ax有三个不同零点，∴f（x）-ax=0在区间[1，9）上有三个解，即a=有三个解，则y=a与h（x）=的图象有三个交点，当x∈[1，3），h（x）==，则h′（x）==0，解得x=e，∴当x∈[1，e）时，h′（x）＞0，当x∈（e，3）时，h′（x）＜0即函数h（x）==在[1，e）上单调递增，在（e，3）上单调递减，∴当x=e处，函数h（x）==在[1，3）上取最大值，当x∈[3，9），h（x）==，则h′（x）==0，解得x=3e，∴当x∈[3，3e）时，h′（x）＞0，当x∈（3e，9）时，h′（x）＜0即函数h（x）==在[3，3e）上单调递增，在（3e，9）上单调递减，∴当x=3e处，函数h（x）==在[3，9）上取最大值，根据函数的单调性，以及h（1）=0，h（e）=，h（3）=0，h（3e）=，h（9）=，画出函数的大值图象，根据图象可知y=a与h（x）在[1，3）上一个交点，在[3，3e）上两个交点，∴在区间[1，9）内，函数g（x）=f（x）-ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是（，）．故选：B．可以根据函数f（x）满足f（x）=f（3x），求出x∈[3，9）上的解析式，在区间[1，9）内，函数g（x）=f（x）-ax有三个不同零点，可转化成“f（x）-ax=0在区间[1，9）上有三个解，即a=有三个解”，最后转化成y=a与h（x）=的图象有三个交点，根据函数的单调性画出函数h（x）的图象，即可求出所求．本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，同时考查了运算求解的能力，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于难题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为92m2，则h= ______ m．【答案】4【解析】解：由题可知，三视图复原的几何体是一个底面是几何体的表面积是：两个底面积与侧面积的和，所以：=92，解得h=4．故答案为：4．由题可知，图形是一个的底面是直角梯形的四棱柱，利用表面积，求出h即可．本题考查三视图与几何体的关系，几何体的表面积的求法，考查空间想象能力与计算能力．14.设等比数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n．若a1=1，a3=4，S k=63，则k= ______ ．【答案】6【解析】解：由等比数列的通项公式可得，=4又∵a n＞0∴q＞0∴q=2∵S k=63，∴∴2k=64∴k=6故答案为：6先由已知的项可求等比数列的公比，然后代入等比数列的求和公式即可求解k本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题15.如图是某公司10个销售店某月销售某品牌电脑数量（单位：台）的茎叶图，则数落在区间[19，30）内的频率为______ ．【答案】0.6【解析】解：所有的数字有18，19，21，22，22，27，29，30，30，33，共10个，其中数据落在区间[19，30）内的有19，21，22，22，27，29，共6个，故数据落在区间[19，30）内的频率为=0.6，故答案为：0.6所有的数字共有10个，其中数据落在区间[19，30）内的有6个，由此求得数据落在区间[19，30）内的频率．此题考查了古典概型概率计算公式，掌握古典概型概率公式：频率=频数与样本容量之比是解题的关键．16.沿边长为1的正方形ABCD的对角线AC进行折叠，使折后两部分所在平面互相垂直，则折后形成的空间四边形ABCD的内切球的半径为______ ．【答案】【解析】解：由题意可知折后形成的空间四边形ABCD的体积为：=．折后形成的空间四边形ABCD的全面积为：S=2×设内切球的半径为：r，∴=，r==．故答案为：．利用等体积方法，求出内切球的半径即可．本题考查几何体的内切球的半径的求法，等体积法是解题的关键，考查空间想象能力以及计算能力．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos A=．（Ⅰ）求2cos2+sin2（B+C）；（Ⅱ）若a=，求△ABC面积的最大值．【答案】解：（Ⅰ）∵cos A=，∴sin A==，∴=；（Ⅱ）由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A，代入数据可得，∴，∴当且仅当b=c时取等号，∴△ABC面积最大值为【解析】（Ⅰ）由cos A=，可得sin A=，化简要求的式子可得1-cos A-2sin A cos A，代入化简可得；（Ⅱ）由余弦定理和基本不等式可得，结合三角形的面积公式可得．本题考查解三角形，涉及三角函数的运算和基本不等式的应用，属中档题．18.从含有两件一等品、两件二等品和一件三等品的5件产品中，每次任取1件．（Ⅰ）若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件一等品的概率；（Ⅱ）若每次取出后放回，连续取两次，求取出的两件产品属于不同等次的概率．【答案】解：（Ⅰ）设5件产品中，两件一等品为a1、a2，两件二等品为b1、b2，三等品为c．若取出后不放回，连续取两次，所取产品情况构成基本事件空间Ω1，则Ω1={（a1，a2）（a1，b1）（a1，b2）（a1，c）（a2，b1）（a2，b2）（a2，c）（b1，b2）（b1，c）（b2，c）}…（3分）共10个基本事件．设取出的两件产品中恰有一件一等品为事件A，则事件A={（a1，b1）（a1，b2）（a1，c）（a2，b1）（a2，b2）（a2，c）}含有6个基本事件，所以…..（6分）（Ⅱ）若取出后放回，连续取两次，所取产品情况构成基本事件空间Ω2，则Ω2={（a1，a1）（a1，a2）（a1，b1）（a1，b2）（a1，c）（a2，a1）（a2，a2）（a2，b1）（a2，b2）（a2，c）（b1，a1）（b1，a2）（b1，b1）（b1，b2）（b1，c）（b2，a1）（b2，a2）（b2，b1）（b2，b2）（b2，c）（c，a1）（c，a2）（c，b1）（c，b2）（c，c）}共25个基本事件…..（8分）设取出的两件产品属于不同等次为事件B，则事件B={（a1，b1）（a1，b2）（a1，c）（a2，b1）（a2，b2）（a2，c）（b1，a1）（b1，a2）（b1，c）（b2，a1）（b2，a2）（b2，c）（c，a1）（c，a2）（c，b1）（c，b2）}共16个基本事件．所以…（12分）【解析】（Ⅰ）取出后不放回，连续取两次，所取产品情况构成基本事件空间共10个基本事件．设取出的两件产品中恰有一件一等品为事件A，则事件A含有6个基本事件，由此能求出结果．（Ⅱ）若取出后放回，连续取两次，所取产品情况构成基本事件空间包含25个基本事件，取出的两件产品属于不同等次为事件B，则事件B包含16个基本事件，由此能求出取出的两件产品属于不同等次的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19.如图，三棱柱ADF-BCH中，侧面ABCD是菱形，FA=FD，∠BAD=60°，E是AD的中点，点Q在线段FC上．（Ⅰ）求证：AD⊥平面EFB；（Ⅱ）若Q是FC的中点，求证：FA∥平面BDQ（Ⅲ）若V F-BCDE=2V Q-ABCD，试求的值．【答案】（Ⅰ）证明：因为E是AD的中点，FA=FD，所以AD⊥FE因为侧面ABCD是菱形，∠BAD=60°，所以AB=BD，又因为E是AD的中点，所以AD⊥BE，因为FE∩BE=E，所以AD⊥平面EFB…..（4分）（Ⅱ）证明：连接AC交BD于点O，连结OQ．因为O是AC中点，Q是FC的中点，所以OQ为△FAC的中位线，所以OQ∥FA，因为FA⊄平面BDQ，OQ⊂平面BDQ，所以FA∥平面BDQ…．（8分）（Ⅲ）解：设四棱锥F-BCDE，Q-ABCD的高分别为h1，h2，所以V F-BCDE=，因为V F-BCDE=2V Q-ABCD，且底面积所以，因为，所以…（12分）【解析】（Ⅰ）利用线面垂直的判定证明，关键是证明AD⊥FE，AD⊥BE；（Ⅱ）连接AC交BD于点O，连结OQ，利用三角形的中位线定理证明OQ∥FA，即可证明FA∥平面BDQ（Ⅲ）利用体积关系可得高的关系，即可求的值．本题考查线面垂直，考查线面平行，考查体积的计算，解题的关键是掌握线面垂直、线面平行的判定，属于中档题．20.已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的短轴长为4，离心率为，其一个焦点在抛物线C2：x2=2py（p＞0）的准线上，过点M（0，1）的直线交C1于C、D两点，交C2于A、B两点，分别过点A、B作C2的切线，两切线交于点Q．（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）求△QCD面积的最小值．【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的短轴长为4，离心率为，∴，解得a2=8，b=2，c=2，∴C1的方程为：．（2分）∵C1的焦点为（0，2），（0，-2），其一个焦点在抛物线C2：x2=2py（p＞0）的准线上，∴p=4，∴C2的方程：x2=8y．（4分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），Q（x0，y0）．由（Ⅰ）知C2：y=，∴′，∴过A点C2的切线方程为y-y1=，即y=．过B点C2的切线方程为y=．又∵这两条直线均过点Q，∴，，∴点A，B均在直线上．∴直线AB的方程为y=，又∵直线AB过点M（0，1），∴y0=-1．∴直线AB的方程为y=，（6分）联立方程组，得，，．|CD|=|x3-x4|==，（8分）点Q到直线AB的距离为．∴△QCD面积：S=•=．（10分）设=t，∴t．∴S（t）==2（t-），∴当t∈[2，+∞）时，S（t）为单调递增函数．∴S min=．（12分）【解析】（Ⅰ）由已知条件得，由此能求出C1的方程．由C1的焦点为（0，2），（0，-2），其一个焦点在抛物线C2：x2=2py（p＞0）的准线上，得p=4，由此能求出C2的方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），Q（x0，y0）．由C2：y=，利用导数的几何意义知过A点C2的切线方程为y=．过B点C2的切线方程为y=．由此求出直线AB的方程为y=，联立方程组，得，由此利用椭圆弦长公式和点到直线距离公式能求出△QCD面积的最小值．本题考查椭圆方程和抛物线方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．21.已知函数f（x）=（2-a）lnx++2ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（-3，-2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x1）-f（x2）|成立，求实数m的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），当a=0时，f（x）=2lnx+，f′（x）=-=，令f′（x）=0，解得x=，当0＜x＜时，f′（x）＜0；当x≥时，f′（x）＞0又∵f（）=2-ln2∴f（x）的极小值为2-2ln2，无极大值．（Ⅱ）f′（x）=-+2a=当a＜-2时，-＜，令f′（x）＜0得0＜x＜-或x＞，令f′（x）＞0得-＜x＜；当-2＜a＜0时，得-＞，令f′（x）＜0得0＜x＜或x＞-，令f′（x）＞0得＜x＜-；当a=-2时，f′（x）=-≤0，综上所述，当a＜-2时f（x），的递减区间为（0，-）和（，+∞），递增区间为（-，）；当a=-2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；当-2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（-，+∞），递增区间为（，-）．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a∈（-3，-2）时，f（x）在区间[1，3]上单调递减，当x=1时，f（x）取最大值；当x=3时，f（x）取最小值；|f（x1）-f（x2）|≤f（1）-f（3）=（1+2a）-[（2-a）ln3++6a]=-4a+（a-2）ln3，∵（m+ln3）a-ln3＞|f（x1）-f（x2）|恒成立，∴（m+ln3）a-2ln3＞-4a+（a-2）ln3整理得ma＞-4a，∵a＜0，∴m＜-4恒成立，∵-3＜a＜-2，∴-＜-4＜-，∴m≤-【解析】（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2lnx+，求导，令f′（x）=0，解方程，分析导数的变化情况，确定函数的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（-3，-2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x1）-f（x2）|成立，求函数f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m的取值范围．考查利用导数研究函数的极值、单调性和最值问题，在求函数的单调区间时，体现了分类讨论的思想方法；恒成立问题，转化为函数的最值问题，体现了转化的思想．属难题．22.如图，已知PE是⊙O的切线，切点为E，PAB，PCD都是⊙O的割线，且PAB经过圆心O，过点P直线与直线BC，BD分别交于点M，N，且PE2=PM•PN．（Ⅰ）求证D，C，M，N四点共圆；（Ⅱ）求证PB⊥PN．【答案】证明：（Ⅰ）∵PE是⊙O的切线，∴PE2=PC•PD，又∵PE2=PM•PN，∴，又∵∠CPM=∠NPD，∴△PCM∽△PND，∴∠PCM=∠PND，∴∠DCM+∠PND=180°，∴D，C，M，N四点共圆．---------（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠BCD=∠PND，由圆周角定理得∠BCD+∠NBP=90°，∠PND+∠NBP=90°，∴∠BPN=90°，∴PB⊥PN．-------------（10分）【解析】（Ⅰ）证明D，C，M，N四点共圆，只需证明∠DCM+∠PND=180°；（Ⅱ）证明PB⊥PN，只需证明∠BPN=90°，由圆周角定理可证．本题考查了相似三角形的性质和判定，切割线定理，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生的推理能力，综合性比较强，有一定的难度．23.已知点P（1+cosa，sina）（a∈[0，2π]），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点Q在曲线C：ρ=上．（Ⅰ）求点P的轨迹极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求点P的轨迹与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【答案】解：（Ⅰ）∵∴点P的轨迹方程为：（x-1）2+y2=10．将代入得ρ2-2ρcosθ-9=0．∵ρ=，∴ρsinθ-ρcosθ=1，∴曲线C的直角坐标方程为：x-y+1=0．（Ⅱ）由，解得或，∴交点极坐标为（，arccos），（，π+arccos）．【解析】（Ⅰ）先写出点P的轨迹方程，再由代入化简即得P的极坐标方程，运用两角差的正弦公式化简曲线C，再由，即可得到曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）先求出点P的轨迹与曲线C交点的直角坐标，再将其化为极坐标，注意ρ≥0，0≤θ＜2π．本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程和普通方程的互化，考查基本的运算能力．24.已知函数f（x）=|2x-a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为[-2，3]，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n，使得f（n）≤m-f（-n）成立，求实数m的取值范围．【答案】解：（1）原不等式可化为|2x-a|≤6-a，∴，解得a-3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[-2，3]，可得a-3=-2，∴a=1．（2）∵f（x）=|2x-1|+1，f（n）≤m-f（-n），∴|2n-1|+1≤m-（|-2n-1|+1），∴|2n-1|+|2n+1|+2≤m，∵y=|2n-1|+|2n+1|+2=，，＜＜，，∴y min=4，由存在实数n，使得f（n）≤m-f（-n）成立，∴m≥4，即m的范围是[4，+∞）．【解析】（1）原不等式可化为|2x-a|≤6-a，解得a-3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[-2，3]，可得a-3=-2，从而求得a的值；（2）由题意可得|2n-1|+|2n+1|+2≤m，将函数y=|2n-1|+|2n+1|+2，写成分段形式，求得y的最小值，从而求得m的范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，带有绝对值的函数，体现了转化的数学思想，属于中档题．。

黑龙江省齐齐哈尔市2014届高三数学第二次模拟考试文（扫描版）新人教A版齐齐哈尔市高三第二次模拟考试 数学试卷参考答案(文科)1．B ∵A ＝{}0，1，2，∴A ∪B ＝{0，1，2，3}．2．B z ＝1－ai 1＋i ＝1(1)2a a i --+，则1－a2＝－1，得a ＝3，∴z 的虚部为－2.3．D ∵a 4＋a 8＝14，∴a 6＝7，则S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7（a 2＋a 6）2＝35.4．A 由抛物线y 2＝(a 2－9)x 开口向右可得a 2－9＞0，即得a ＞3或a ＜－3，∴“a ＞3”是“方程y 2＝(a 2－9)x 表示开口向右的抛物线”的充分不必要条件，故应选A.5．A 根据题意可得甲组数据的中位数为21，则可得20＋n ＝21，即n ＝1，所以乙组数据的平均数为22，则可得20＋22＋28＋10＋m 4＝22，解得m ＝8，所以mn＝8.6．A 当x ＝3时，f (3)＝23＝8，g (3)＝32＝9，显然f (3)<g (3)，则h (3)＝9，故h (3)－3＝6.7．C 由三视图可知该几何体为半个圆锥，底面半径为1，高为3，∴表面积S ＝12×2×3＋12×π×12＋12×π×1×2＝3＋32π.8．C ∵log 83>log 93>log 985，∴c >a >b .9．D 作出不等式组对应的区域为三角形BCD ，直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图象可知要使直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则有直线的斜率k ≥k MC ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，y ＝x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2，即C (1，2)．又k MC ＝2－（－1）1－0＝3，所以k ≥3，即[3，＋∞)．10．A 将f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin(2x －π6)的图象向左平移m 个单位，得函数g (x )＝2sin(2x ＋2m －π6)的图象，则由题意得2×π6＋2m －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即有m ＝k π2＋π6(k ∈Z )，∵m >π2， ∴当k ＝1时，m 取最小值为2π3. 11．C 因为关于x 的方程f (x 2＋2x )＝a 有6个不等的实根，所以f (t )＝a 应该有三个实根，且x 2＋2x ＝t 有两个不等的实根因为f (t )＝a 有三个实根，所以t 3＋9＝a ，即a ≤9，因为x 2＋2x －t ＝0有两个不等的实根，所以Δ＝4＋4t >0，即t >－1，因为t 3＋9＝a ，所以t ＝3a －9>－1，所以a －9>－1，所以a >8，故选C.12. A 设点P (x ，y )，Q (x ，－y )，可得 A (－a ，0)，B (a ，0)，由PB →·AQ →＝0得x 2－y2＝a 2①，又知点P (x ，y )在双曲线C 上，所以有x 2a 2－y 2b2＝1 ②，由①②可解得a ＝b ，因此双曲线C 的离心率e ＝ 2.13．－10 ∵a ∥b ，∴x ＝－4，又∵b ⊥c ，∴2m ＋12＝0，即m ＝－6，∴x ＋m ＝－10.14. 12 若f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋6＝(x －a )2－a 2＋a ＋6没有零点，则－a 2＋a ＋6＞0，解得－2＜a ＜3，则函数y ＝f (x )有零点的概率P ＝1－3－（－2）5－（－5）＝12.15．11356 ∵a 1＝2，a 2＝－13，a 3＝－32，a 4＝2，∴可知数列{a n }是以3为周期的数列，∴S 2014＝a 1＋671×(2－13－32)＝11356.16.433 设球心到平面ABC 的距离为h ，球的半径为R ，则球面上的点到平面ABC 的最大距离为h ＋R ，由题知R ＝3，又因h ＝3－（22·33)2＝33，所以h ＋R ＝433. 17．解：(1)∵c ＝2b cos A ，由正弦定理得sin C ＝2sin B ·cos A ，∴sin(A ＋B )＝2sin B ·cos A ，即有sin(A －B )＝0，在△ABC 中，∵0<A <π，0<B <π，∴－π<A －B <π，∴A ＝B .(6分) (2)由(1)知a ＝b .∵cos C ＝45，∴sin C ＝35.∵△ABC 的面积S ＝152，∴S ＝12ab sin C ＝152，a ＝b ＝5，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝10，得c ＝10.(12分)18．解：(1)由频率分布表得a ＋0.2＋0.45＋b ＋c ＝1，即a ＋b ＋c ＝0.35. 因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b ＝320＝0.15.等级系数为5的恰有2件，所以c ＝220＝0.1.从而a ＝0.35－b －c ＝0.1.所以a ＝0.1，b ＝0.15，c ＝0.1.(6分)(2)从日用品x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取两件，所有可能的结果为：{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 1，y 1}，{x 1，y 2}，{x 2，x 3}，{x 2，y 1}，{x 2，y 2}，{x 3，y 1}，{x 3，y 2}，{y 1，y 2}．设事件A 表示“从日用品x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取两件，其等级系数相等”，则A 包含的基本事件为：{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 2，x 3}，{y 1，y 2}，共4个．又基本事件的总数为10，故所求的概率P (A )＝410＝0.4.(12分)19．解：(1)取CD 的中点为F ，连结EF ，则EF 为△A 1CD 的中位线．∴EF ∥A 1C .(2分)又EF 平面A 1BC ，∴EF ∥平面A 1BC .(5分)(2)四边形ABCD 为直角梯形且AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，AB ＝BC ＝1，∴AC ＝CD ＝2， ∴AD 2＝AC 2＋CD 2即CD ⊥AC .(7分)又AA 1⊥底面ABCD ，CD 底面ABCD ，∴AA 1⊥CD ，又AA 1∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面A 1ACC 1.(9分) 由CD ⊥平面A 1ACC 1，∴CD 为四棱锥D －A 1ACC 1的底面A 1ACC 1上的高，又AA 1⊥底面ABCD ，∴四边形A 1ACC 1为矩形，∴四棱锥D －A 1ACC 1的体积V D －A 1ACC 1＝13S A 1ACC 1·CD ＝13×2×2×2＝43.(12分)20. 解：(1)因为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)满足a 2＝b 2＋c 2, c a ＝63，(2分)12×b ×2c ＝523，解得a 2＝5，b 2＝53，则椭圆方程为x 25＋y 253＝1.(4分) (2)将y ＝k (x ＋1)代入x 25＋y 253＝1中得(1＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0，Δ＝36k 4－4(3k 2＋1)(3k 2－5)＝48k 2＋20>0，x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－53k 2＋1，所以MA →·MB →＝(x 1＋73，y 1)(x 2＋73，y 2)＝(x 1＋73)(x 2＋73)＋y 1y 2＝(x 1＋73)(x 2＋73)＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(73＋k 2)(x 1＋x 2)＋499＋k 2＝(1＋k 2)3k 2－53k 2＋1＋(73＋k 2)(－6k 23k 2＋1)＋499＋k 2＝－3k 4－16k 2－53k 2＋1＋499＋k 2＝49.(12分) 21.解：(1)当a ＝13时，f (x )＝13x 3－3x 2，∴f ′(x )＝x 2－6x ，∴h (x )＝f ′(x )＋6x ＝x 2，令F (x )＝x 2－2eln x (x ＞0)，∴F ′(x )＝2x －2e x ＝2（x －e ）（x ＋e ）x，∵x ∈(0，e]，F ′(x )≤0，x ∈[e ，＋∞)，F ′(x )≥0，∴当x ＝e 时，且F (x )取得极小值，且F (e)为F (x )在(0，＋∞)上的最小值，∵F (e)＝(e)2－2eln e ＝0，∴F (x )＝x 2－2eln x ≥F (e)＝0，即x 2≥2eln x . （6分）(2)g (x )＝ax 3＋(3a －3)x 2－6x ，x ∈[0，2]， g ′(x )＝3ax 2＋2(3a －3)x －6， (*)令g ′(x )＝0有Δ＝36a 2＋36＞0， 设方程(*)的两根为x 1，x 2， 则x 1x 2＝－2a＜0，设x 1＜0＜x 2，当0＜x 2＜2时，g (x 2)为极小值，∴g (x )在[0，2]上的最大值只能为g (0)或g (2)； 当x 2≥2时，g (x )在[0，2]上单调递减，最大值为g (0)，∴g (x )在[0，2]上的最大值只能为g (0)或g (2); 又已知g (x )在x ＝0处取得最大值，∴g (0)≥g (2)， 即0≥20a －24，解得a ≤65，∴a ∈(0，65]．（12分）22．解：(1)连结AB ，∵AC 是⊙O 1的切线，∴∠BAC ＝∠D .又∵∠BAC ＝∠E ，∴∠D ＝∠E ，∴AD ∥EC .(4分)(2)∵PA 是⊙O 1的切线，PD 是⊙O 1的割线，∴PA 2＝PB ·PD .∴62＝PB ·(PB ＋9)，∴PB ＝3.在⊙O 2中，由相交弦定理得PA ·PC ＝BP ·PE .∴PE ＝4，∵AD 是⊙O 2的切线，DE 是⊙O 2的割线，∴AD 2＝BD ·DE ＝9×16，∴AD ＝12.(10分)23．解：(1)将C 转化为普通方程是x 23＋y 2＝1，将l 转化为直角坐标方程是x ＋y －4＝0.(4分)(2)在x 23＋y 2＝1上任取一点A (3cos α，sin α)，则点A 到直线l 的距离为d ＝|3cos α＋sin α－4|2＝|2sin （α＋60°）－4|2，它的最大值为3 2.(10分)24．证明：①∵ab ≤(a ＋b2)2＝14，当且仅当a =b =12时等号成立,∴1ab≥4. ∵1a 2＋1b 2≥2ab ≥8，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，∴1a 2＋1b 2≥8.(5分) ②∵1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b +1a ＋1b =2(a ＋b )(1a ＋1b )=4+2(b a ＋ab)≥4+4b a ·a b=8, 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8.(10分)。