高中数学选修1-1模块测试题打印1.doc

高中数学学习材料马鸣风萧萧 *整理制作模块检测卷选修 1－1时间 120 分钟，满分 150 分。

一、选择题 (本大题共10 个小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U＝R， A? U ， B? U，如果命题p： a∈(A∩ B)，则命题 ?p 为 ()A ． a∈ A B． a∈ ?U BC．a∈ (A∪ B)D． a∈ (?U A∪ ?U B)[答案] D[解析 ]p： a∈ (A∩ B)，?p： a?(A∩B)即 a∈ ?U(A∩ B)，又 ?U(A∩ B)＝ ?U A∪?U B，所以选 D.2．“ (m－ 1)(a－ 1)>0 ”是“ log a m>0”的 ()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案 ] B[解析 ] 由 (m－ 1)( a－ 1)>0m>1 m<1log a m>0 等价于m>1等价于或a<1，由或a>1 a>10<m<1B.，所以条件仅具有必要性，故选0<a<13．已知椭圆 C 的两个焦点分别为F1(－ 1,0)、 F2(1,0) ，短轴的两个端点分别为B1、 B2，若△ F1B1B2为等边三角形，则椭圆 C 的方程为 ( )A ． 4x2＋ 3y2＝ 1 B． 4y2＋ 3x2＝ 13x2 2 2 3y2C. 4＋3y ＝1 D．3x ＋4＝ 1[答案 ] Cx 2 y 2a ＝ 2b24 [解析 ] 设椭圆 C 的方程为 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0) ．根据题意知 a 2－ b 2＝ 1 ，解得 a ＝3，2 1 ，故椭圆 C 的方程为 x 2 y 2 3x 2 2b ＝ ＋ ＝ 1，即 4 ＋ 3y ＝ 1.3 4 1 3 34．已知曲线 y ＝x 2－ 3lnx 的一条切线的斜率为－ 1，则切点的横坐标为 ()4 2A ． 3B ． 2C ．1D ． 12[答案 ] B[解析 ]∵ y ＝ x 2 x 3x － 3 1－3ln x(x>0)，∴ y ′＝ － .再由导数的几何意义，有2 x ＝－ ，解得 x4 2 x2＝2 或 x ＝－ 3( 舍去 )．25．双曲线x 2－ y＝ 1 的离心率大于 2的充分必要条件是 ( m1A ． m>2B ． m ≥ 1C ．m>1D ． m>2[答案 ]C21＋ mc ， e 2 ＝c2[解析 ] ＝ 1 >2 ，得 1＋ m>2，所以依题意， e ＝ a a)m>1，选 C.6． (2015 湖·南文， 8)设函数 f(x)＝ ln(1 ＋ x)－ ln(1 － x)，则 f(x) 是( )A ．奇函数，且在 (0,1) 上是增函数B ．奇函数，且在 (0,1) 上是减函数C ．偶函数，且在 (0,1) 上是增函数D ．偶函数，且在 (0,1) 上是减函数[答案]A[解析 ]求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．函数 f(x)＝ ln(1 ＋ x)－ ln(1 － x)，函数的定义域为 (－ 1,1)，函数 f(－ x)＝ ln(1 － x)－ ln(1 ＋ x)＝－ [ln(1＋x)－ln(1 －x)] ＝－ f(x)，所以函数是奇函数． f ′ (x)＝1＋ 1＝ 22，已知在 (0,1)上f ′( x) 1＋ x 1－x 1－ x＞0，所以 f(x)在 (0,1) 上单调递增，故选A.7．(2013 ·南安阳中学高二期末河)f(x)是定义在 (0，＋∞ )上的非负可导函数， 且满足 xf ′ (x)＋f(x)≤ 0，对任意正数 a 、 b ，若 a<b ，则必有 ()A ． af( b)≤ bf(a)C ．af(a)≤ f(b)[答案]AB ． bf(a)≤ af(b)D ． bf(b)≤ f(a)[解析 ]令F(x)＝xf(x)，(x>0)，则F′ (x)＝xf′ (x)＋f(x)≤0，∴ F(x)在(0，＋∞ )上为减函数，∵0<a<b，∴ F(a)>F( b)，即 af( a)> bf(b)，与选项不符；由于 xf ′ (x)＋ f(x) ≤0 且 x>0， f(x)≥ 0，∴ f ′ (x)≤－f x≤ 0，∴ f(x)在 (0，＋∞ )上为减 x函数，∵0<a<b，∴ f(a)>f(b)，∴bf(a)>af(b)，结合选项知选 A.8．已知三次函数 f(x)＝ 1 x3－ (4m－ 1)x2＋(15m2－ 2m－ 7)x＋2 在R上是增函数，则m 的3取值范围是 ( )A ． m<2 或 m>4 B．－ 4<m<－2C．2< m<4 D．以上皆不正确[答案 ] D[解析 ] f ′ (x)＝ x2－2(4m－ 1)x＋ 15m2－ 2m－7，由题意得 x2－ 2(4m－1)x＋ 15m2－ 2m－ 7≥ 0 恒成立，∴＝4(4m－1)2－4(15m2－2m－7) ＝64m2－ 32m＋ 4－ 60m2＋ 8m＋ 28＝4(m2－6m＋ 8)≤ 0，∴2≤m≤ 4，故选 D.19． (2015 浙·江文， 5)函数 f(x)＝ x－x cos x(－π≤ x≤ π且 x≠ 0)的图像可能为() A．B．C． D.[答案 ] D1 1[解析 ] 因为 f(－ x)＝ (－ x＋x)cos x＝－ (x－x) ·cos x＝－ f(x)，故函数是奇函数，所以排1 1除 A ，B；取 x＝π，则 f( π)＝( π－ )cos ＝π－ ( π－ )<0 ，故选 D.ππx2 y210．(2014 江·西文， 9)过双曲线C：a2－b2＝ 1 的右顶点作 x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线相交于 A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A、O 两点 (O 为坐标原点 )，则双曲线C的方程为()x2－ y2＝1 B． x2－ y2＝1A. 4 12 7 9C.x2－ y2＝1 D． x2 －y2＝18 8 12 4[答案 ] Ab [解析 ] 如图设双曲线的右焦点F，右顶点 B，设渐近线 OA 方程为 y＝a x，由题意知，以 F 为圆心， 4 为半径的圆过点O，A，∴|FA|＝ |FO|＝ r＝ 4.∵ AB⊥ x 轴， A 为 AB 与渐近线 y＝bx 的交点，a∴可求得 A 点坐标为 A(a， b)．∴在 Rt△ABO 中， |OA |2＝OB2＋ AB2＝ a2＋ b2＝ c＝ |OF|＝ 4，∴△ OAF 为等边三角形且边长为4， B 为 OF 的中点，从而解得|OB|＝ a＝2， |AB|＝ b＝2 3，∴双曲线的方程为x2－ y2 ＝ 1，故选 A.4 12二、填空题 (本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分，将正确答案填在题中横线上)11． (2014 深·圳高级中学月考)给出如下四个命题：①若“ p 或 q”为假命题，则p， q 均为假命题；②命题“若 x≥ 2 且 y≥ 3，则 x＋ y≥ 5”的否命题为“若x<2 且 y<3，则 x＋ y<5”；③在△ ABC 中，“ A>45°”是“ sinA> 2”的充要条件；2④命题“若x＝ y，则 sinx＝ siny”的逆否命题为真命题．其中正确命题的个数是________．[答案] 2[解析 ]①若“ p或q”为假命题，则p，q 均为假命题，所以①正确．②同时否定条件和结论得原命题的否命题是：“若 x<2 或 y<3，则 x＋ y<5”，所以②错误．③在△ABC 中，当 A ＝ 150°时， sinA< 2，所以③错误．④因为命题 “若 x ＝ y ，则 sinx ＝ siny ”是真命题，所2以它的逆否命题也是真命题，所以④正确．则正确命题的个数为 2.12． (2014 福·建安溪一中、养正中学联考 )曲线 y ＝ x(3ln x ＋ 1)在点 (1,1) 处的切线方程为 ________．[答案 ] 4x － y － 3＝ 0[解析 ]y ′ |x ＝ 1＝ (3ln x ＋ 4)|x ＝ 1＝ 4，∴切线方程为 y － 1＝ 4(x －1) ，即 4x － y － 3＝ 0.13． (2014 福·建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)已知函数 f(x)＝ x 3－ax 2 － 3x 在区间 [1，＋∞ )上是增函数，则实数 a 的取值范围是 ________．[答案 ](－∞， 0][解析 ]∵ f(x)＝ x 3 －ax 2－ 3x ，∴ f ′ (x)＝ 3x 2－ 2ax － 3，又因为 f(x)＝ x 3－ ax 2－ 3x 在区间 [1，＋ ∞)上是增函数， f ′ (x) ＝3x 2－2ax － 3≥0 在区间 [1，＋ ∞ )上恒成立，a≤1，解得 a ≤0，∴3f ′ 1 ＝ 3× 12－ 2a － 3≥ 0，故答案为 (－∞，0]．x 2 y 214．已知椭圆 25＋16＝ 1 内有两点 A(1,3) ，B(3,0)，P 为椭圆上一点，则 |PA|＋ |PB|的最大值为 ________．[答案 ] 15[解析 ]在椭圆中，由 a ＝ 5，b ＝ 4 得 c ＝ 3，故焦点坐标为 (－ 3,0)和 (3,0) ，则点 B 是右焦点，记另一焦点为C( － 3,0)，则由椭圆定义得 |PB|＋ |PC|＝ 10，从而 |PA|＋ |PB|＝ 10＋ |PA|－ |PC|，又 ||PA|－ |PC||≤ |AC|＝ 5，故当点 P ，A ，C 共线时， |PA|＋ |PB|取得最大值，最大值为 15.n15．对正整数 n ，设曲线 y ＝x (1－ x)在 x ＝ 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ，则数a n列 n ＋ 1 的前 n 项和是 ________．[答案 ] 2n ＋1－2[解析 ]nnnn － 1n∵ y ＝ x (1－ x)，∴ y ′ ＝ (x )′(1 － x)＋ (1－ x)′ ·x ＝ n ·x (1 － x)－ x .f ′ (2) ＝－ n ·2n － 1－ 2n ＝ (－n － 2) ·2n －1.在点 x ＝2 处点的纵坐标为y ＝－ 2n .∴切线方程为 y ＋2n ＝ (－ n － 2) ·2n －1(x － 2)．令 x ＝ 0 得， y ＝ (n ＋ 1) ·2n ， ∴ a n ＝ (n ＋ 1) ·2n ，a n 的前 n 项和为 2 2 n－ 1 n ＋1∴数列＝ 2－ 2.n ＋ 1 2－ 1三、解答题 (本大题共 6 小题，共 75 分，前 4 题每题 12 分， 20 题 13 分， 21 题 14 分) 16．(1) 设集合 A ＝ { x|－ 2－ a<x<a ，a>0} ．命题 p ：1∈ A ；命题 q ：2∈ A.若 p ∨ q 为真命题， p ∧ q 为假命题，求 a 的取值范围；(2)已知 p ： 4x ＋ m<0， q ： x 2－ x － 2>0，且 p 是 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围．[解析 ] (1)若命题 p 为真，则－ 2－ a<1<a ，解得 a>1 ；若命题 q 为真，则－ 2－ a<2< a ，解得 a>2. 因为 p ∨ q 为真， p ∧ q 为假，所以 p ， q 一真一假．当 p 真 q 假时， 1<a ≤ 2；当 p 假 q 真时， a 的值不存在．所以 a 的取值范围是 (1,2] ．(2)由 x 2－ x － 2>0 ，得 x>2 或 x<－ 1，令 A ＝ { x|x>2 或 x<－ 1} ；由 4x ＋ m<0，得 x<－m4，令 B ＝ { x|x<－ m4 } ．因为 p 是 q 的充分条件，所以B? A ，于是－ m≤ －1，得 m ≥ 4，所以实数 m 的取值范4围是 [4，＋ ∞)．4 17．已知双曲线过点P(－32， 4)，它的渐近线方程为y ＝ ± x.3(1)求双曲线的标准方程；(2)设 F 1 和 F 2 为该双曲线的左、右焦点，点 P 在此双曲线上，且 |PF 1| |PF · 2|＝ 41，求∠F 1PF 2 的余弦值．22(2)9[答案 ](1)x － y ＝ 19 1641[解析 ] (1)由渐近线方程知双曲线中心在原点，且渐近线上横坐标为－ 3 2的点 P ′的纵坐标的绝对值为4 2.∵ 4 2>4 ，∴双曲线的焦点在 x 轴上，22xy设方程为 a 2－ b 2＝ 1.∵双曲线过点 P(－ 3 2， 4)，18 － 16∴ 2 2＝1 ① a b又∵ b a ＝ 43 ②，由①②，得 a 2＝ 9，b 2＝ 16，22∴所求的双曲线方程为 x－ y＝ 1.9 16(2)设 |PF 1|＝ d 1， |PF 2|＝ d 2，则 d 1·d 2＝ 41.又由双曲线的几何性质知 |d 1－ d 2|＝ 2a ＝ 6.由余弦定理得d 12＋ d 22－ |F 1F 2 |2cos ∠ F 1PF 2＝2d 1d 222＝ d 1－ d 2＋2d 1 d 2－|F 1F 2| ＝ 92d 1d 241.1 2x18． (2014 成·都质量检测 )已知函数 f(x)＝－ x＋ 2x － ae .2(1)若 a ＝ 1，求 f(x)在 x ＝1 处的切线方程；(2)若 f(x)在 R 上是增函数，求实数a 的取值范围．11[答案 ] (1)y ＝ (1－ e)x ＋ 2(2)( －∞，－ e 3][解析 ](1)当 a ＝ 1 时， f(x)＝－ 1x 2＋ 2x － e x ，2则 f(1) ＝－12× 12＋ 2× 1－ e ＝32－e ，f ′ (x)＝－ x ＋ 2－ e x ， f ′ (1) ＝－ 1＋ 2－ e ＝ 1－ e ，故曲线 y ＝ f(x)在 x ＝1 处的切线方程为y －(32－ e)＝ (1－ e)(x － 1)，即 y ＝ (1－ e)x ＋12.(2)∵ f(x)在 R 上是增函数，∴ f ′ (x)≥ 0 在 R 上恒成立，∵ f(x)＝－ 1x 2＋ 2x － ae x ， f ′ (x) ＝－ x ＋ 2－ae x ，2 于是有不等式－ x ＋ 2－ ae x ≥ 0 在 R 上恒成立，2－ x即 a ≤ e x 在 R 上恒成立，令 g(x)＝2－ xx － 3x，则 g ′ (x)＝ x ，ee令 g ′ (x)＝ 0，解得 x ＝ 3，列表如下：x (－∞ ， 3)3 (3，＋ ∞ )g ′( x)－＋g(x)1减 极小值－ e 3 增故函数 g(x)在 x ＝ 3 处取得极小值，亦即最小值， 即 g(x)＝－1133mine ，所以 a ≤ － e ，1即实数 a 的取值范围是 (－ ∞，－ e 3]．219．(2013 ·淀区高二期中海 )已知函数 f(x) ＝ax 3 － 2ax 2＋bx ，其中 a 、 b ∈ R ，且曲线 y ＝3f(x)在点 (0， f(0)) 处的切线斜率为 3.(1) 求 b 的值；(2) 若函数 f(x)在 x＝ 1 处取得极大值，求 a 的值．[答案 ] (1)3 (2)1[解析 ] (1)f ′(x)＝ a2x2－ 4ax＋ b，由题意 f ′(0) ＝ b＝ 3.(2)∵函数 f(x)在 x＝ 1 处取得极大值，∴f ′ (1) ＝ a2－ 4a＋ 3＝ 0，解得 a＝ 1 或 a＝ 3.①当 a＝ 1 时， f ′ (x)＝ x2－ 4x＋3＝ (x－ 1)(x－ 3)，x、 f ′ (x)、 f(x)的变化情况如下表：x (－∞， 1) 1 (1,3) 3 (3，＋∞ )f ′ (x) ＋0 －0 ＋f(x) 极大值极小值由上表知，函数f(x)在 x＝ 1 处取得极大值，符合题意．②当 a＝ 3 时， f ′ (x)＝ 9x2－ 12x＋ 3＝ 3(3x－ 1)(x－ 1)，x、 f ′ (x)、 f(x)的变化情况如下表：x ( －∞，1)1 1， 1) 1 (1，＋∞ ) 3 3(3f ′ (x) ＋0 －0 ＋f(x) 极大值极小值由上表知，函数f(x)在 x＝ 1 处取得极小值，不符合题意．综上所述，若函数f(x)在 x＝1 处取得极大值， a 的值为 1.3 2 3 x2 y220．若直线 l： y＝3 x－ 3 过双曲线a2 －b2 ＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行．(1)求双曲线的方程；(2)若过点 B(0， b) 且与 x 轴不平行的直线与双曲线相交于不同的两点M ，N， MN 的垂直平分线为 m，求直线 m 在 y 轴上截距的取值范围．3 2 3得 c＝2，b＝3，结合 a2＋ b2＝ c2，[解析 ] (1)由 y＝3 x－3 a 3解得 a＝3， b＝ 1.2故双曲线的方程为x －y2＝1.3(2)由 (1) 知 B(0,1)，依题意可设过点 B 的直线方程为y＝ kx＋ 1(k≠ 0)，M(x1， y1)， N(x2，y2)．马鸣风萧萧y ＝ kx ＋122 26k由x － y 2＝ 1得 (1－3k )x － 6kx － 6＝ 0，所以 x 1＋ x 2＝ 1－ 3k 2，3＝ 36k 2＋ 24(1－3k 2)＝ 12(2－ 3k 2)>0? 0< k 2<2，且 1－ 3k 2≠ 0? k 2≠1.33设 MN 的中点为 Q(x ， y＝ x 1＋ x 2＝3k 2， y ＝kx ＋ 1＝1 20)，则 x 02 1－ 3k 01－3k .故直线 m 的方程为 y － 12＝－ 1 (x － 3k2)，即 y ＝－ 14 2.kk x ＋1－3k 1－ 3k1－ 3k所以直线 m 在 y 轴上的截距为42，1－ 3k由 0<k 2 2 21 得 1－3k 2< ，且 k≠∈ (－ 1,0)∪ (0,1)，334所以 1－ 3k 2∈ (－ ∞ ，－ 4) ∪(4，＋ ∞ )． 即直线 m 在 y 轴上的截距的取值范围为(－∞ ，－ 4)∪ (4，＋ ∞ )．21． (2013 ·州文博中学高二期末福 )设 f(x)＝ lnx ， g(x)＝ f(x)＋f ′ (x)．(1)求 g(x)的单调区间和最小值；1(2)讨论 g(x)与 g(x )的大小关系；(3)求 a 的取值范围，使得g(a)－ g(x)< 1对任意 x>0 成立．a1[答案 ] (1)减区间 (0,1) 增区间 (1，＋∞ ) 最小值 1(2)0< x<1 时， g(x)> g( x ) x>1 时，1 1g(x)<g(x )x ＝ 1 时， g(x)＝ g( x ) (3)(0 ，e)1 [解析 ](1)由题设知 g(x) ＝lnx ＋ x ，∴ g ′ (x)＝ x － 1x 2 ，令 g ′ (x)＝ 0，得 x ＝ 1.当 x ∈ (0,1)时， g ′ (x)<0，故 (0,1)是 g(x)的单调递减区间．当 x ∈ (1，＋ ∞ )时， g ′ (x)>0 ，故 (1，＋ ∞ )是 g(x)的单调递增区间，因此， x ＝ 1 是 g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)＝ 1.1(2)g( x ) ＝－ ln x ＋ x ，设 h(x)＝ g(x)－ g(1)＝ 2ln x － x ＋ 1，则xx h ′ (x)＝－ x － 1 2x 2 .当 x＝ 1 时， h(1) ＝ 0，即 g(x)＝ g(1 x)．当 x∈ (0,1)∪ (1，＋∞ )时， h′(x)<0， h′ (1)＝ 0，因此， h(x)在 (0，＋∞ )内单调递减．1当 0<x<1 时， h(x)>h(1)＝ 0，即 g(x)>g(x)，当 x>1 时， h(x)<h(1) ＝0，即 g(x)<g(1 x)．(3)由 (1) 知 g( x)的最小值为1，所以 g(a)－g(x)< 1对任意x>0 成立 ? g(a)－ 1<1，a a即 lna<1 ，从而得0<a<e，即 a 的取值范围为 (0， e)．11 / 12马鸣风萧萧12 / 12。

人教A版高二数学选修1-1单元综合素质检测-选修1-1全册选修1－1综合素质检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2009·天津高考)命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是()A．不存在x0∈R,2x0>0 B．存在x0∈R,2x0≥0 C．对任意的x∈R,2x≤0 D．对任意的x∈R,2x>02．设p：大于90°的角叫钝角，q：三角形三边的垂直平分线交于一点，则p与q的复合命题的真假是()A．“p∨q”假B．“p∧q”真C．“¬q”真D．“p∨q”真3．已知抛物线x2＝4y的焦点F和点A(－1,8)，点P为抛物线上一点，则|PA|＋|PF|的最小值为() A．16B ．6C ．12D ．94．如果双曲线经过点(6，3)，且它的两条渐近线方程是y ＝±13x ，那么双曲线方程是( ) A.x 236－y 29＝1 B.x 281－y 29＝ 1C.x 29－y 2＝1D.x 218－y 23＝1 5．设f (x )可导，且f ′(0)＝0，又lim x →0 f ′(x )x＝－1，则f (0)＝( )A ．可能不是f (x )的极值B ．一定是f (x )的极值 C ．一定是f (x )的极小值 D ．等于06．下列判断不正确．．．的是( ) A ．命题“若p 则q ”与“若¬q 则¬p ”互为逆否命题B ．“am 2<bm 2”是“a <b ”的充要条件C ．“矩形的两条对角线相等”的否定为假D ．命题“∅{1,2}或4∈{1,2}”为真7．(2010·广东文，8)“x＞0”是“3x2＞0”成立的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．非充分非必要条件D．充要条件8．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值依次是()A．12，－15 B．5，－15 C．5，－4 D．－4，－159．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x－1有极大值和极小值，则a的取值范围是() A．－1<a<2 B．－3<a<6 C．a<－3或a>6 D．a<－1或a>210．(2010·山东文，9)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2D．x＝－211．设F1、F2是双曲线x24a－y2a＝1的两个焦点，点P在双曲线上，∠F1PF2＝90°，若Rt△F1PF2的面积是1，则a的值是()A．1 B.52C．2D. 512．下列四图都是同一坐标中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是()A．①②B．③④C．①③D．①④二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．实系数方程x2＋ax＋b＝0的两个实根一个比1大，一个比1小的充要条件是________．14．使y＝sin x＋ax为R上的增函数的a的范围为______．15．一座抛物线形拱桥，高水位时，拱顶离水面2m ，水面宽4m ，当水面下降1m 后，水面宽________m.16．以下四个关于圆锥曲线的命题：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，若|PA→|－|PB →|＝k ，则动点P 的轨迹为双曲线； ②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O为坐标原点，若OP →＝12(OA →＋OB →)，则动点P 的轨迹为椭圆；③方程2x 2－5x ＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线x 225－y 29＝1与椭圆x 235＋y 2＝1有相同的焦点．其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知P：{x|a－4<x<a ＋4}，Q：{x|x2－4x＋3<0}，且x∈P是x∈Q的必要条件，求实数a的取值范围．18．(本题满分12分)求与⊙C1：(x＋1)2＋y2＝1相外切且与⊙C2：(x－1)2＋y2＝9相内切的动圆圆心P的轨迹方程．19．(本题满分12分)过抛物线y＝ax2(a>0)的顶点O作两条相互垂直的弦OP和OQ，求证：直线PQ恒过一个定点．20．(本题满分12分)已知a>0，a≠1，设p：函数y＝log a(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，如果p与q有且只有一个正确，求a的取值范围．21．(本题满分12分)设a∈R，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.(1)求f(x)的单调区间；(2)当x∈[0,2]时，若|f(x)|≤2恒成立，求a 的取值范围．22．(本题满分14分)(2010·重庆文，19)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式：(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．1[答案] D[解析]特称命题的否定为全称命题，故选D.2[答案] D[解析]p假，q真，故“p∨q”真．3[答案] D[解析]如图，过点A作准线的垂线，B为垂足，与抛物线交于一点P ，则点P 为所求的点，|PA |＋|PF |的最小值为|AB |的长度．4[答案] C[解析] 设双曲线方程为⎝⎛⎭⎪⎪⎫13x ＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x －y ＝λ将点(6，3)代入求出λ即可．答案C.5[答案] B[解析] 由lim x →0 f ′(x )x ＝－1，故存在含有0的区间(a ，b )使当x ∈(a ，b )，x ≠0时，f ′(x )x <0，于是当x ∈(a,0)时，f ′(x )>0；当x ∈(0，b )时，f ′(x )<0，这样f (x )在(a,0)上单增，在(0，b )上单减．6[答案] B[解析]am2<bm2⇒a<b，但a<b⇒/ am2<bm2.例如：m＝0时．7[答案] A[解析]本题考查了充要条件的判定问题，这类问题的判断一般分两个方向进行，x>0显然能推出3x2>0，而3x2>0⇔|x|>0⇔x≠0，不能推出x>0，故选A.8[答案] B[解析]y′＝6x2－6x－12＝6(x2－x－2)＝6(x－2)(x＋1)，令y′＝0，得x＝－1或x＝2，∵x∈[0,3]，∴x＝－1舍去．列表如下：x 0 (0,2) 2 (2,3) 3 f ′(x )－0 ＋f (x ) 5极小值－15－4由上表可知，函数在[0,3]上的最大值为5，最小值为－15，故选B.9[答案] C[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6，令f ′(x )＝0，即3x 2＋2ax ＋a ＋6＝0，由题意，得Δ＝4a 2－12(a ＋6)＝4(a 2－3a －18)＝4(a －6)(a ＋3)>0，∴a >6或a <－3，故选C.10[答案] B[解析] 本题考查了抛物线的方程及中点弦问题，可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)， ∴y 1＋y 22＝2，⎩⎨⎧y 21＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ②①－②得y 21－y 22＝2p (x 1－x 2)⇒y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝p y 1＋y 22，∴k AB ＝1＝p 2⇒p ＝2，∴y 2＝4x ，∴准线方程式为：x ＝－1，故选B.11[答案] A[解析] ∵||PF 1|－|PF 2||＝4a (a >0)，∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝16a，又∵∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝4c2＝20a，∴|PF1|·|PF2|＝2a，∴S△F1PF2＝1 2|PF1|·|PF2|＝a＝1.12[答案] B[解析]二次函数为导函数，③中x<0时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，0)内应递增，故③为假，同理，知④也为假．13[答案]a＋b＋1<0[解析]实系数方程x2＋ax＋b＝0的两个实根一个比1大，一个比1小的充要条件是f(1)＝a ＋b＋1<0.14[答案]a≥1[解析]y′＝cos x＋a≥0在R上恒成立，∴a≥－cos x在R上恒成立，又cos x∈[－1,1]，∴－cos x∈[－1,1]，∴a≥1.15[答案]2 6[解析]设抛物线方程为：x2＝－2py(p>0)，点(2，－2)在抛物线上，∴p＝1，设水面下降1m后，水面宽2x m，则点(x，－3)在抛物线上，∴x2＝6，∴x＝ 6.16[答案]③④[解析]①中当k＝|AB|时，点P的轨迹是一条射线．②中，点P的轨迹是以AC中点为圆心，以定圆半径的一半长为半径的圆．17[解析] 因为P ：{x |a －4<x <a ＋4}， Q ：{x |1<x <3}，又因为x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，所以Q ⊆P ，所以⎩⎨⎧a －4≤1a ＋4≥3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5a ≥－1，即－1≤a ≤5.18[解析] 设动圆圆心P 的坐标为(x ，y )，半径为r ，由题意得|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝3－r ， ∴|PC 1|＋|PC 2|＝r ＋1＋3－r ＝4>|C 1C 2|＝2， 由椭圆定义知，动圆圆心P 的轨迹是以C 1、C 2为焦点，长轴长2a ＝4的椭圆，椭圆方程为：x 24＋y 23＝1. 19[解析] 证明：设P (x 1，ax 21)，Q (x 2，ax 22)，则直线PQ 的斜率为k PQ ＝a (x 1＋x 2)∴其方程为y －ax 21＝a (x 1＋x 2)(x －x 1)， 即y －a (x 1＋x 2)x ＋ax 1x 2＝0，∵OP ⊥OQ ，∴k OP ·k OQ ＝－1⇒a 2x 1·x 2＝－1. ∴y －1a ＝a (x 1＋x 2)(x －0)． ∴PQ 恒过定点⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，1a .20[解析] 当0<a <1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a >1时，y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减．曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同两点等价于(2a －3)2－4>0.即a <12或a >52.(1)p 正确，q 不正确． 则a ∈(0,1)∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪⎪12≤a ≤52且a ≠1，即a ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，1.(2)p 不正确，q 正确．则a ∈(1，＋∞)∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪⎪0<a <12或a >52，即a ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫52，＋∞.综上，a 取值范围为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，1∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52，＋∞. 21[解析] (1)对函数f (x )求导数， 得f ′(x )＝3x 2－2x －1.令f ′(x )>0，解得x >1或x <－13；令f ′(x )<0，解得－13<x <1.所以，f (x )的单调递增区间为(－∞，－13)和(1，＋∞)，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13，1.(2)由(1)知，f (x )在(0,1)上是递减的，在(1,2)上是递增的，所以，f (x )在[0,2]上的最小值为f (1)＝－1＋a ；由f (0)＝a ，f (2)＝2＋a ，知f (0)<f (2)， 所以，f (x )在[0,2]上的最大值为f (2)＝2＋a . 因为，当x ∈[0,2]时， |f (x )|≤2⇔－2≤f (x )≤2⇔⎩⎨⎧－1＋a ≥－22＋a ≤2，解得－1≤a ≤0，即a的取值范围是[－1,0]．22[解析]本题主要考查函数的奇偶性、单调性、最值等基础知识．考查导数在函数中的应用，同时还考查综合分析问题和解决问题的能力．解：(1)由题意得f′(x)＝3ax2＋2x＋b，因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.因为函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，即对任意x，有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b ＋2)(－x)＋b＝－[ax3＋(ba＋1)x2＋(b＋2)x＋b]，b＝0.从而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－13因此f(x)的解析表达式为f(x)＝－13＋x2.3x(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0.解得x 1＝2，x 2＝2，则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0时，从而g (x )在区间(－∞，－2]，[2，＋∞)上是减函数； 当－2<x <2时，g ′(x )>0，从而g (x )在区间[－2，2]上是增函数，由单调性可知，在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43. 因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43.。

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·北京高考)设a ，b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 设a ＝1，b ＝－2，则有a >b ，但a 2<b 2，故a >bD ⇒/a 2>b 2；设a ＝－2，b ＝1，显然a 2>b 2，但a <b ，即a 2>b 2D ⇒/a >b .故“a >b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件．【答案】 D2．过点P (1，－3)的抛物线的标准方程为( )A ．x 2＝13y 或x 2＝－13yB ．x 2＝13yC ．y 2＝－9x 或x 2＝13y D ．x 2＝－13y 或y 2＝9x 【解析】 P (1，－3)在第四象限，所以抛物线只能开口向右或向下，设方程为y 2＝2px (p ＞0)或x 2＝－2py (p ＞0)，代入P (1，－3)得y 2＝9x 或x 2＝－13y .故选D.【答案】 D3．(2016·南阳高二检测)下列命题中，正确命题的个数是( ) ①命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x2－3x＋2≠0”；②“p∨q为真”是“p∧q为真”的充分不必要条件；③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；④对命题p：∃x0∈R，使得x20＋x0＋1<0，则¬p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0.A．1B．2 C．3D．4【解析】①正确；②由p∨q为真可知，p，q至少有一个是真命题即可，所以p∧q不一定是真命题；反之，p∧q是真命题，p，q 均为真命题，所以p∨q一定是真命题，②不正确；③若p∧q为假命题，则p，q至少有一个假命题，③不正确；④正确．【答案】 B4．函数f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f(－1)与f(1)的大小关系为() A．f(－1)＝f(1) B．f(－1)<f(1)C．f(－1)>f(1) D．无法确定【解析】f′(x)＝2x＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2.∴f(x)＝x2＋2x·f′(1)＝x2－4x，f(1)＝－3，f(－1)＝5.∴f(－1)>f(1)．【答案】 C5．(2014·福建高考)命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0D．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥0【解析】 故原命题的否定为：∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0.故选C.【答案】 C6．已知双曲线的离心率e ＝2，且与椭圆x 224＋y 28＝1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±13xB ．y ＝±33xC ．y ＝±3xD ．y ＝±23x【解析】 双曲线的焦点为F (±4,0)，e ＝c a ＝2，∴a ＝2，b ＝c 2－a 2＝23，∴渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x .【答案】 C7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( ) 【导学号：26160107】A ．1 B.32 C ．2 D ．3【解析】 因为双曲线的离心率e ＝c a ＝2，所以b ＝3a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，与抛物线的准线x ＝－p 2相交于A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，32p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－32p ，所以△AOB 的面积为12×p 2×3p ＝3，又p ＞0，所以p ＝2.【答案】 C8．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋3上移动，过点P 的切线的倾斜角的取值范围为( )A ．[0，π)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 【解析】 f ′(x )＝3x 2－1≥－1，即切线的斜率k ≥－1，所以切线的倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 【答案】 B9．椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A ，B 是它的两个焦点，其长轴长为2a ，焦距为2c (a ＞c ＞0)，静放在点A 的小球(小球的半径不计)，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是( )A ．2(a －c )B ．2(a ＋c )C ．4aD ．以上答案均有可能【解析】 如图，本题应分三种情况讨论：当小球沿着x 轴负方向从点A 出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(a －c )；当小球沿着x 轴正方向从点A 出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(a ＋c )；当是其他情况时，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是4a .【答案】 D10．若函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1在区间(0,4)上是减函数，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13 【解析】 f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x .由题意知3kx 2＋6(k －1)x ≤0，即kx ＋2k －2≤0在(0,4)上恒成立，得k ≤2x ＋2，x ∈(0,4)，又13＜2x ＋2＜1，∴k ≤13. 【答案】 D11．若直线y ＝2x 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1, 5)B ．(5，＋∞)C ．(1, 5]D ．[5，＋∞)【解析】 双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y ＝b a x .由条件知，应有b a >2，故e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2> 5. 【答案】 B12．(2014·湖南高考)若0<x 1<x 2<1，则( )A ．e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1B ．e x 2－e x 1<ln x 2－ln x 1C ．x 2e x 1>x 1e x 2D ．x 2e x 1<x 1e x 2【解析】 设f (x )＝e x －ln x (0<x <1)，则f ′(x )＝e x －1x ＝x e x－1x .令f ′(x )＝0，得x e x －1＝0.根据函数y ＝e x 与y ＝1x 的图象，可知两函数图象交点x 0∈(0,1)，因此函数f (x )在(0,1)上不是单调函数，故A ，B 选项不正确．设g (x )＝e x x (0<x <1)，则g ′(x )＝e x(x －1)x 2.又0<x <1，∴g ′(x )<0.∴函数g (x )在(0,1)上是减函数．又0<x 1<x 2<1，∴g (x 1)>g (x 2)，∴x 2e x 1>x 1e x 2.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________．【解析】 a ＋b ＋c ＝3的否定是a ＋b ＋c ≠3，a 2＋b 2＋c 2≥3的否定是a 2＋b 2＋c 2<3.【答案】 若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<314．曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________________. 【导学号：26160108】 【解析】 y ′＝e x ＋x e x ＋2，k ＝y ′|x ＝0＝e 0＋0＋2＝3，所以切线方程为y －1＝3(x －0)，即3x －y ＋1＝0.【答案】 3x －y ＋1＝015.如图1为函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则不等式xf ′(x )＜0的解集为________________．图1【解析】 当x ＜0时，f ′(x )＞0，此时f (x )为增函数，由图象可知x ∈(－∞，－3)；当x ＞0时，f ′(x )＜0，此时f (x )为减函数，由图象可知x ∈(0, 2)． ∴xf ′(x )＜0的解集为(－∞，－3)∪(0, 2)．【答案】 (－∞，－3)∪(0, 2)16．若O 和F 分别是椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为________． 【解析】 由椭圆x 24＋y 23＝1可得点F (－1,0)，点O (0，0)，设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP→取得最大值6. 【答案】 6三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设命题p ：方程x 21－2m ＋y 2m ＋4＝1表示的曲线是双曲线；命题q ：∃x ∈R,3x 2＋2mx ＋m ＋6<0.若命题p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求实数m 的取值范围．【解】 对于命题p ，因为方程x 21－2m ＋y 2m ＋4＝1表示的曲线是双曲线，所以(1－2m )(m ＋4)<0，解得m <－4或m >12，则命题p ：m <－4或m >12.对于命题q ，因为∃x ∈R,3x 2＋2mx ＋m ＋6<0，即不等式3x 2＋2mx ＋m ＋6<0在实数集R 上有解，所以Δ＝(2m )2－4×3×(m ＋6)>0，解得m <－3或m >6.则命题q ：m <－3或m >6.因为命题p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，所以命题p 与命题q 有且只有一个为真命题．若命题p 为真命题且命题q 为假命题，即⎩⎨⎧ m <－4或m >12，－3≤m ≤6，得12<m ≤6； 若命题p 为假命题且命题q 为真命题， 即⎩⎨⎧ －4≤m ≤12，m <－3或m >6，得－4≤m <－3.综上，实数m 的取值范围为[－4，－3)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，6. 18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx (x ∈R )，已知g (x )＝f (x )－f ′(x )是奇函数．(1)求b ，c 的值；(2)求g (x )的单调区间与极值．【解】 (1)∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .从而g (x )＝f (x )－f ′(x )＝x 3＋bx 2＋cx －(3x 2＋2bx ＋c )＝x 3＋(b －3)x 2＋(c －2b )x －c∵g (x )是奇函数，∴－x 3＋(b －3)x 2－(c －2b )x －c＝－[x 3＋(b －3)x 2＋(c －2b )x －c ]得(b －3)x 2－c ＝0对x ∈R 都成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧b －3＝0，c ＝0，得b ＝3，c ＝0. (2)由(1)知g (x )＝x 3－6x ，从而g ′(x )＝3x 2－6，由此可知，(－∞，－2)和(2，＋∞)是函数g (x )的单调递增区间；(－2， 2)是函数g (x )的单调递减区间．g (x )在x ＝－2时，取得极大值，极大值为42，g (x )在x ＝2时，取得极小值，极小值为－4 2.19．(本小题满分12分)已知抛物线y 2＝4x 截直线y ＝2x ＋b 所得的弦长为|AB |＝3 5.(1)求b 的值； 【导学号：26160109】(2)在x 轴上求一点P ，使△APB 的面积为39.【解】 (1)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2x ＋b ，消去y ，得方程：4x 2＋(4b －4)x ＋b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝1－b ，x 1x 2＝b 24，|AB |＝5(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5(1－b )2－b 2＝35，解得b ＝－4.(2)将b ＝－4代入直线y ＝2x ＋b ，得AB 所在的直线方程为2x －y －4＝0，设P (a,0)，则P 到直线AB 的距离为d ＝|2a －4|5. △APB 的面积S ＝12×|2a －4|5×35＝39，则a ＝－11或15， 所以P 点的坐标为(－11,0)或(15,0)．20．(本小题满分12分)某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0≤x ≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？【解】 (1)设商品降低x 元时，多卖出的商品件数为kx 2，若记商品在一个星期的销售利润为f (x )，则依题意有f (x )＝(30－x －9)·(432＋kx 2)＝(21－x )·(432＋kx 2)，又由已知条件24＝k ·22，于是有k ＝6，所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,30]．(2)根据(1)，有f ′(x )＝－18x 2＋252x －432＝－18(x －2)(x －12)．当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：因为f (0)＝9 072，f (12)＝11 664，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大． 21．(本小题满分12分)(2016·大连高二检测)已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x (a <0)．(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值；(2)若∀x >0，不等式f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围． 【解】 由题意，x >0.(1)当a ＝－1时，f (x )＝12x 2－ln x ， f ′(x )＝x －1x ，令f ′(x )＝x －1x >0，解得x >1， 所以f (x )的单调增区间为(1，＋∞)； f ′(x )＝x －1x <0，得0<x <1， 所以f (x )的单调减区间为(0,1)， 所以函数f (x )在x ＝1处有极小值f (1)＝12. (2)因为a <0，f ′(x )＝x ＋ax . 令f ′(x )＝0，所以x ＝－a ， 列表：这时f (x )min ＝f (－a )＝－a2＋a ln －a ， 因为∀x >0，不等式f (x )≥0恒成立， 所以－a2＋a ln －a ≥0，所以a ≥－e ， 所以a 的取值范围为[－e,0)．22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，且离心率e ＝12. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0，求k 的取值范围. 【导学号：26160110】【解】 (1)由题意e ＝12， 即e ＝c a ＝12，∴a ＝2c . ∴b 2＝a 2－c 2＝(2c )2－c 2＝3c 2. ∴椭圆C 的方程可设为x 24c 2＋y 23c 2＝1. 代入A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，得14c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3223c 2＝1. 解得c 2＝1，∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，(2)由方程组⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. 由题意，Δ＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0， 整理得：3＋4k 2－m 2＞0，① 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， MN 的中点为P (x 0，y 0)， x 0＝x 1＋x 22＝－4km 3＋4k 2，y 0＝kx 0＋m ＝3m3＋4k 2.由已知，MN ⊥GP ，即k MN ·k GP ＝－1， 即k ·3m3＋4k 2－0－4km 3＋4k 2－18＝－1，整理得：m ＝－3＋4k 28k .代入①式，并整理得：k 2＞120，即|k |＞510，∴k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－510∪⎝ ⎛⎭⎪⎫510，＋∞.。

第三章《导数及其应用》检测题一、选择题(每小题只有一个正确答案)1.已知曲线y = |x2-2上一点P(屈一$,则过点P切线的倾斜角为()乙乙A.30°B. 45°C. 60°D. 120°2.设P为曲线C： y = F+2x + 3上的点，且曲线c在点P处切线倾斜角的取值范围7T 7T为则点P横坐标的取值范围为()4 2( JiA. —co,—B. [—1,0]1D. , + 823.定义在(0, +8)上的函数f(x)的导函数为广(无)，且对VxG (0,+oo)都有c. [0,1]/z(x)lnx<^/'(x),则(A. 4/(e) > e3/(e4) > 2e/(e2) C. e3/(e4) > 4/(e) > 2e/(e2) )(其中e«2. 7)B.e3/(e4) > 2e/(e2) > 4/(e) D. 4/(e) > 2e/(e2) > e3/(e4)4.曲线/(x) = (x + l)e x在点(0, f(0))处的切线方程为()A. y = % 4- 1B. y = 2x 4- 1C. y = + 1D.y 弓x+15.对于函数/(x)=—,下列说法正确的有()①f(兀)在x = €处取得极大值》②f(x)有两个不同的零点；③门4) < f (兀)< /(3); @7T4 < 4兀.A.4个B.3个C.2个D. 1个6.定义在R上的奇函数f (x)满足f (・1)=0,且当x>0时，f (x) >xf (x),则下列关系式中成立的是()A. 4f (i) >f (2)B. 4f (2) <f (2)C. f (i) >4f (2)D. f (i) f (2) > 2 2 2 27.定义在［0, +oo)的函数fO)的导函数为f(x),对于任意的%>0,恒有/Xx) </(%),m = n = 则m, zi的大小关系是()・e e zA. m > nB. m < nC. m = nD.无法确定&函数/(x) = e x + x3 - 2在区间(0,1)内的零点个数是().A. 0B. 1C. 2D. 39 .在平面直角坐标系xOy中，已知好一In%! - = 0 , x2 - y2 ~ 2 = 0 ,则(%i -x2)2 +(7i -y2)2的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 410.已知直线2是曲线y = e x与曲线y = e2x-2的一条公切线，2与曲线y =/x 一2切于点(a,b),且a是函数£仗)的零点，贝”仗)的解析式可能为()A. /(%) = e2x(2x + 21n2 -1)-1B. f(x) = e2x(2x + 21n2 -1)-2C.f(x) = e2x(2x一21n2 -1)-1D. /(x) = e2x(2x一21n2 -1)-2二、填空题设函数fd)的导数为f f (x),且f(x)=f‘(^sinx + cosx,则f' (? = _____________________ 12.如图，函数y = f(x)的图象在点P处的切线方程是y = -兀+ 5,则/'⑶+厂⑶=_. Array13._____ 函数y=f (x)的导函数y = f(jc)的图象如图所示，则函数y=f (x)的图象可能是_________ (填序号).(D ②③④14.已知函数/(x)=xlnx + i%2, %是函数f(x)的极值点，给出以下几个命题：乙@0 < %0 < -；②尢o>2；+ X o < 0；④fOo) + Xo>0;e e其中正确的命题是______________ •(填出所有正确命题的序号)、215 .已知函数/(X)= X3 +OT2 +/?JC+C在X =——与兀=1时都取得极值，若对xe[-l,2],不等式f(x)<c2恒成立，则c的取值范围为___________________________ o三、解答题16.求下列函数的导函数®y = X4—3x2—5x + 6 ③y = x2cos x ②y二x+古@y = tan x17.已知函数/'(兀)=|%2一(a + l)x + a\nx.(1)当a VI时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若不等式f(X) + (a + l)x n牛+対+ 1 一对于任意x G [e~1,e]成立，求正实数a 的取值范围.18.已知函数f (尤)=^x3— ax1 2 + l(a 6 /?).(1)若曲线y = /(%)在(l,f(l))处的切线与直线x-y + l = 0垂直，求a的值.(2)若a>0,函数y = /(%)在区间(a,a2 - 3)±存在极值，求a的取值范圉.(3)若a >2,求证：函数y = f(x)在(0,2)上恰有一个零点.19.已知函数f^x) = a x^-x2-x\na (a>0,且aHl).(I )求函数/(兀)的单调区间；(II)求函数/(兀)在［-2,2］上的最大值.20.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P~A\B\G从, 下部的形状是正四棱柱ABCD-A限Cd (如图所示)，并要求正四棱柱的高"0是正以棱锥的高％的4倍.1 若AB=6 m, n =2 m,则仓库的容积是多少？2 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当〃为多少时，仓库的容积最大?参考答案I.C2. D3. D4・ B5. C6. A7. B8. B9. B10・ BII.- A/212. 113.④14.①③15.(-00,-1) U(2,4-oo)16.解析：(l)y z = 4x3— 6x — 5(2)y‘ = % 4- x~2(3)y‘ = (x2ycosx + x2(cosx)f = 2xcosx-x2sinx, sinx , (sinx),cosx — sinx(cosx)' cos2% + sin2% 1(4)-------------- y =( ----------------- )= ----- = = :—cos2%cosx cos2%cos2% cos2%17.(1)当a<0时，函数门切在(1,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减；当ova VI时, 函数f(x)在@,1)上单调递减，在(0卫)和(1,+8)上单调递增.(2) (0,1]解析：(1)函数/'仗)的定义域为(0,+s),广(％)=兀 _ @ + 1)+ 兰=*一@+1央+。

高中数学选修1-1考试题一、选择题（本大题有12小题，每小题5分，共60分，请从A ，B ，C ，D 四个选项中，选出一个符合题意的正确选项，填入答题卷，不选，多选，错选均得零分。

）1．抛物线24yx 的焦点坐标是A ．(0,1)B ．(1,0)C ．1(0,)16D ．1(,0)162．设,aR 则1a是11a的A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．命题“若220ab，则,a b 都为零”的逆否命题是A ．若220a b ，则,a b 都不为零B ．若220ab，则,a b 不都为零C ．若,a b 都不为零，则220abD ．若,a b 不都为零，则22a b4．曲线32153yxx在1x 处的切线的倾斜角为A ．34B ．3C ．4D ．65．一动圆P 与圆22:(1)1A x y外切，而与圆22:(1)64B x y内切，那么动圆的圆心P 的轨迹是A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．双曲线的一支6．函数()ln f x x x 的单调递增区间是A ．(,1)B ．(0,1)C ．(0,)D ．(1,)21世纪教育网7．已知1F 、2F 分别是椭圆22143xy的左、右焦点，点M 在椭圆上且2MF x轴，则1||MF 等于21世纪教育网A ．12B ．32C ．52D ．38．函数2()xf x x e 在[1,3]上的最大值为A ．1B ．1eC ．24eD ．39e9. 设双曲线12222by ax 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为().A.45 B. 5C.25 D.510. 设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)yax a的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).A.24yx B.28yx C.24yx D.28y x11. 已知直线1:4360l x y 和直线2:1l x，抛物线24y x 上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是A.2B.3C. 4D. 112. 已知函数()f x 在R 上可导，且2'()2(2)f x xxf ，则(1)f 与(1)f 的大小(1)(1)(1)(1)(1)(1).Af f Bf f Cf f D不确定二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题卷上）13．已知命题:,sin 1p x R x ，则p 为________。

、选择题1. 若p 、q 是两个简单命题，“ p 或q ”的否定是真命题，则必有( )A.p 真q 真B.p 假q 假C.p 真q 假D.p 假q 真 2. “ COS2a 二—三”是“ a =k n +—,k € Z ”的()212A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条 件3. 设 f (x) = sin x cosx ，那么()A. f (x)二 cosx 「sin x B . f (x) = cosx sin x C . f (x)二-cosx sin xD. f (x)二-cosx 「sin x4. 曲线f(x)=x 3+x — 2在点P o 处的切线平行于直线y=4x — 1,则点P 。

的坐标为( )A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)和(—1, — 4)D.(2,8 )和(—1, — 4)5•平面内有一长度为2的线段AB 和一动点P,若满足|PA|+|PB|=6则|PA 的取值范围是 A. [ 1,4] B. [ 1,6]C. [2,6]D. [2,4]6.已知2x+y=0是双曲线x 2—入y 2=1的一条渐近线，则双曲线的离心率为( )选修1-1模拟测试题A.、2B.、3C. .5D.27.抛物线y 2=2px的准线与对称轴相交于点 则/ PSQ 的大小S,PQ 为过抛物线的焦点F 且垂直于对称轴的弦，2 2 2 2C. 略 一16y r=1的左支(y 工0)D. 警 一16占=1的右支(y 工0)a 3aa 3a2T[11设a>O,f(x)=ax +bx+c,曲线y=f(x)在点P(x o ,f(x o ))处切线的倾斜角的取值范围为]0,— ]，则P 4 到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为( ) 11 b b _ 1A. [0, — ]B. [0, — ]C. [0,1—|]D. [0,|- -|]a2a2a2a2 212. 已知双曲线 笃—爲=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P 在双曲线的右支上 且 a b|PF 1|=4|Pb|则此双曲线的离心率e 的最大值为( )5 47A.B.—C.2D.—333二、填空题13. 对命题 p : V X €R,X 7+7X >0，则 是 ______________ . 14. 函数f(x)=x+ •. 1 - x 的单调减区间为2 115抛物线y=1x关于直线x -y =0对称的抛物线的焦点坐标是22916椭圆—+ ^=1上有3个不同的点A(X 1,y 1)、B(4, —)、C(X 3,y 3)，它们与点F(4,0)的距离成等25 9 4 差数列，则X 1+X 3= ______ . 三、解答题17. 已知函数f(x)=4x 3+ax 2+bx+5的图象在x=1处的切线方程为y= — 12x,且f(1)= — 12. (1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在[—3,1]上的最值.TtA.- 38.已知命题p: 条件的x 为(JIB.-2“|x — 2|>D.与p的大C.3 ，命题“ q:x € Z ”，如果“ p 且q ”与“非q ”同时为假命题，B.{x| — K x < 3,x Z} C.{ — 1,0,1,2,3}A.{x|x > 3 或 x < — 1,x - Z} 9.函数f(x)=x 3+ax — 2在区间(1,+g )内是增函数，则实数a 的取值范围是( D.{1,2,3}B. [— 3,+g]C.(— 3,+g )D.( — g ，— 3)aa1A. [ 3,+7点A 的轨迹方程是(A. 16x 2 T~ a16y 23a 2=1(y 工 0)2 2 B 16y , 16y B.2+小 2a 3a=1(x 工 0)18. 设P:关于x的不等式a x>1的解集是{x|x<0}.Q:函数y=lg(ax2—x+a)的定义域为R.如果P和Q有且仅有一个正确，求a的取值范围.219. 已知x € R,求证:cosx> 1 ——.220. 某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P元，则销售量Q (单位：件)与零售价P (单位：元)有如下关系：Q =8300 -170P-P2.问该商品零售价定为多少时毛利润L最大，并求出最大毛利润(毛利润=销售收入-进货支出).21. 已知a€ R,求函数f(x)=x2e ax的单调区间.22. 已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A(0, 2)为圆心,1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线y=x 对称. ⑴求双曲线C 的方程；⑵若Q 是双曲线C 上的任一点，F i 、F 2为双曲线C 的左、右两个焦点，从F i 引/ F 1QF 2的平分 线的垂线,垂足为N,试求点N 的轨迹方程. 1. B p 或q”的否定是“一p 且一i q ”, 一1 P 、一2 q 是真命题,p 、q 都是假命题.=2,•入=4.A e=J ：2「1 3 = 67. B 由|SF|=|PF|=|QF 知△ PSQ 为直角三角形. 8. D “p 且q ”与“非q ”同时为假命题则p 假q 真.9. B f ' (x)=3x 2+a,令 3x 2+a>0,A a>— 3x 2 :x € (1,+^)〕.A a > — 3.110. D 由正弦定理知c — b=-a,再由双曲线的定义知为双曲线的右支(c>b).211.B T f ' (x)=2ax+b, A k=2ax o +b €[ 0,1],A d=|X0 --- | = 12ax 0 + b | = k1 A 0< d<2a 2a 2a 2a102c12.A e==IF 1F 2IIPF 1 | ■ | PF 2 」=3a =5 2a |PR| -|PF 2|IPF 1I - |PF 2I 2a 3 13. -，x R,x 77x ^0 ； 14. [-,1]； 15.1(0, ); 16. 8.41613.这是一个全称命题，其否定是存在性命题14.定义域为{x|x < 1},f ' (x)=1+— =厶1 x 1<o, $1 _x < 1, 得 x> -.2』1 -x 2^1-x 242 111 316 16参考答案:2.A 由“a =k n + —“C0S2a =COS 53” 6，又“ COS2 a =—工3 ” 二 “a=k3. 5.D6.C“C0S2a =- —”是“ a2(x o )=3x o +1=4,二 x o = ± 1.•••|PA|+|PB|=6>2「P 点的轨迹为一椭圆，二 3- 1W |PA|W 3+1.x 2-入y2=1的渐近线方程为y=±护,4 4 9 416. t |AF|=a — ex i =5- x i ,|BF|=5—X 4=—CF|=5— X 3,55 5 59 4 4 由题知 2|BF|=|AF|+|CF|,「.2X 9 =5— 4x i +5— 4X 3.二x i + X 3=8.55517. 解:(1) ■/ f ' (x)=12x +2ax+b,而 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y= — 12x,23 (2)v f ' (x)=12x 4— 6x — 18=6(x+1)(2x — 3), 令 f ' (x)=0,解得临界点为 X 1= — 1,X 2=. 2那么f(x)的增减性及极值如下•••临界点 X 1=— 1 属于［—3,1］，且 f( — 1)=16,又 f( — 3)= — 76,f(1)= — 12, •••函数f(x)在[—3,1]上的最大值为16,最小值为一76.18. 解:使 P 正确的a 的取值范围是0<a<1,而Q 正确=ax 2 — x+a 对一切实数x 恒大于0. 2a a 0 1当a=0时,ax — x+a= — x 不能对一切实数恒大于 0,故Q 正确u 」 2 二a>—.A = 1 - 4 a 2 < 0 21 若P 正确而Q 不正确，则0<a < -;若Q 正确而P 不正确，则a > 1.21 故所求的a 的取值范围是(0, - ]U[ 1,+x ). 2x 219.证明：令 f(x)=cosx — 1+ ，则 f ' (x)=x — sinx ,当x>0时,由单位圆中的正弦线知必有 x>sinx, ••• f ' (x)>0,即f(x)在(0,+)上是增函数. 又••• f(0)=0,且f(x)连续，• f(x)在区间［0,+x ］内的最小值f(0)=0,4• f(x)为偶函数，即当x € (— X ,0)时,f (x) > 0仍成立，•对任意的x €R,都有cosx > 1——.220. 解：由题意知 L(P)二 Pb-20Q 二Q(P-20)= (8300 -170P -P 2)(P -20) - -P 3 -150P 2 11700P -166000 , L (P) - -3P 2 -300P 11700 .令 L(P) =0 ,得 P =30或 P = -130 (舍).X = —12=f (1)丿nf (1) = _12 12+2a+b = -12g+a+b+5 = —12a=— 3,b=— 18,故 f(x)=4x 3 — 3x 2— 18x+5.即f(x) > 0,得cosx— 1 + —> 0,即cosx> 1—— . v f( —x)=cos(—X) —1+(X)=f(x),2 2 2根据实际意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，有最大毛利润为23000元. 21. 解：函数 f(x)的导数 f ' (x)=2xe ax +ax 5e a x =(2x+ax 2)e ax . ① 当 a=0 时,若 x<0,则 f ' (x)<0,若 x>0,则 f ' (x)>0.所以当a=0时,函数f(x)在区间(一％ ,0)内为减函数，在区间(0,+x )内为增函数.2 2 2 2② ----------------------------------------------------------------------------------------- 当 a>0 时,由 2x+ax >0,解得 x<— 或 x>0，由 2x+ax <0,解得 -------------------------------- <x<0，aa 所以当a>0时,函数f(x)在区间(一x , — 2)内为增函数，在区间(一 —,0)内为减函数，在区间(0,+x ) aa内为增函数.③ 当 a<0 时,由 2x+ax 2>0,解得 0<x< ——,由 2x+ax 2<0,解得 x<0 或 x> ——.aa2 2 所以当a<0时函数f(x)在区间(一x ,0)内为减函数，在区间(0, —-)内为增函数，在区间(一—,+aax )内为减函数.22. 解:(1)设双曲线C 的渐近线方程为y=kx,即kx — y=0，5 2•••双曲线C 的两条渐近线方程为y=± x ，故设双曲线C 的方程为 笃—告=1.a a又双曲线C 的一个焦点为(.2,0),二2a 2=2,ci 2=1.A 双曲线C 的方程为x 2— y 2=1. ⑵若Q 在双曲线的右支上，则延长QF 2到T,使|QT|=|QF 1|. 若Q 在双曲线的左支上，则在QF 2上取一点T,使 |QT|=|QF 1|.根据双曲线的定义|TF 2|=2所以点T 在以F2C- 2 ,0)为圆心,2为半径的圆上，即点T 的轨迹方程 是(x — 2 )2+y 2=4(y 工 0).①由于点N 是线段F 1T 的中点，设N(x,y)、T(X T ,y T ),x _XT_ 血「_则r 2'即」X T =2X +、2代入①并整理得点N 的轨迹方程为x 2+y 2=1(y 工0).1、，_比M =2y.•••该直线与圆x 2+(y — . 2)2=1 相切，二 21 k2 =1, 即 卩 k=±1.15. y2= —x的焦点F( ,0),F关于x—y=0的对称点为(0,).。

高中数学选修1-1模块检测题考试时间：120分钟，满分：150分一、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. “0<mn ”是“方程122=+ny mx 表示焦点在y 轴上的双曲线”的 （ ）A ．充分而不必要条件．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件．必要而不充分条件C ．充分必要条件．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件．既不充分也不必要条件2. 命题“若090=ÐC ，则A B C D 是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是 （ ）A ． 0 B ．1 C ． 2 D ． 3 3. 一动圆的圆心在抛物线x y 82=上，切动圆恒与直线02=+x 相切，则动圆必定过点相切，则动圆必定过点 （ ）A ．（4，0）B ．（2，0）C ．（0，2）D ．（0，-2） 4. 抛物线pxy 222=上一点Q ),6(0y ，且知Q 点到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是，则焦点到准线的距离是 （ ）A ． 4 B ．8 C ．12 D ．16 5. 中心点在原点，准线方程为4±=x ，离心率为21的椭圆方程是的椭圆方程是 （ ） A ． 13422=+yx B ．14322=+y xC ．1422=+y x D ．1422=+y x 6. 设过抛物线的焦点F 的弦为PQ ，则以PQ 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系为直径的圆与抛物线的准线的位置关系 （ ）A ． 相交相交B ．相切．相切C ．相离．相离D ．以上答案均有可能．以上答案均有可能 7．双曲线19422-=-yx 的渐近线方程是的渐近线方程是（ ） A ．x y 32±= B ．x y 4±=C ．x y 23±=D ．x y 49±=8. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 9．已知两点)0,1(1-F 、)0,1(F ，且21F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是的轨迹方程是 （ ） A ．191622=+y x B ．1121622=+yx C ．13422=+y x D ．14322=+y x10．已知对任意实数x ，有()(),()()f x f x g x g x -=--=，且0>x 时'()0,'()0f x g x >>，则0<x 时 （ ）A ．'()0,'()0f x g x >>B ．'()0,'()0f x g x ><C ．'()0,'()0f x g x <>D ．'()0,'()0f x g x << 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．函数1)(23+++=mx x x x f 是R 上的单调函数，则m 的取值范围为的取值范围为 . 12. 已知F 1、F 2为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若1222=+B F A F ，则AB = . 13．已知双曲线11222-=-+ny nx 的离心率是3，则n ＝ . 14. 过双曲线122=-y x 的右焦点且与右支有两个交点的直线，其倾斜角范围是的右焦点且与右支有两个交点的直线，其倾斜角范围是 . 15．命题p ：若10<<a ，则不等式0122>+-ax ax 在R 上恒成立；上恒成立；命题q ：1³a 是函数xax x f 1)(-=在),0(+¥上单调递增的充要条件；上单调递增的充要条件；在命题①“p 且q ”、②“p 或q ”、③“非p ”、④“非q ”中，假命题是中，假命题是 ，真命题是，真命题是 . 三、解答题（本大题共6小题，共75分）16.（本小题12分）已知函数8332)(23+++=bx ax x x f 在1x =及2x =处取得极值．处取得极值．（1）求a 、b 的值；（2）求()f x 的单调区间. 17. （本小题12分）分） 已知椭圆193622=+y x ，求以点)2,4(P 为中点的弦所在的直线方程. 18. （本小题12分）已知椭圆的中心在原点，它在x 轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，切此焦点和x 轴上的较近端点的距离为)12(4-，求椭圆方程. 19．（本小题12分）讨论直线1:+=kx y l 与双曲线1:22=-y x C 的公共点的个数. 20. （本小题13分）在直线09:=+-y x l 上任取一点M ，过M 作以)0,3(),0,3(21F F -为焦点的椭圆，当M 在什么位置时，所作椭圆长轴最短？并求此椭圆方程. 21. （本小题14分）如图，由2,8,0x y x y ===围城的曲边三角形，在曲线OB 弧上求一点M ，使得过M 所作所作的2x y =的切线PQ 与AB OA ,围城的三角形PQA 的面积最大. 参考答案 一、选择题1—5 BBBBC 6—10 BCDCB 二、填空题11． ),31[+¥ 12． 8 13. 12-或24 14. )43,4(p p 15. ①③；②④．①③；②④．三、解答题16. 解：（1）由已知b ax x x f 366)(2++=¢因为)(x f 在1=x 及2=x 处取得极值，所以1和2是方程0366)(2=++=¢b ax x x f 的两根的两根 故3-=a 、4=b（2）由（1）可得81292)(23++-=x x x x f )2)(1(612186)(2--=+-=¢x x x x x f当1<x 或2>x 时，0)(>¢x f ，)(x f 是增加的；是增加的；X Y O M B Q P A 当21<<x 时，0)(<¢x f ，)(x f 是减少的. 所以，)(x f 的单调增区间为)1,(-¥和),2(+¥，)(x f 的单调减区间为)2,1(. 17. 解：设以点)2,4(P 为中点的弦的两端点分别为),(11y x A 、),(22y x B ，由点A 、B 在椭圆193622=+y x 上得19362121=+y x ，19362222=+y x两式相减得：093622212221=-+-y y x x 即)()(422212221x x y y --=-))(())((421212121x x x x y y y y-+-=-+\显然21x x =不合题意，21x x ¹\由4,82121=+=+y yx x21448)(421212121-=´-=++-=--=\y y x x x x y y k AB 所以直线AB 的方程为)4(212--=-x y即所求的以点)2,4(P 为中点的弦所在的直线方程为082=-+y x .18．解：设椭圆的方程为12222=+by a x ，)0(>>b a根据题意ïîïíì==-=-2245cos )12(40a c c a 解得îíì==424c a 16222=-=c a b 椭圆的方程为1163222=+y x19. 解：解方程组îíì=-+=1122y x kx y ，消去y 得 022)1(22=---kx x k 当012=-k ，1±=k 时，1±=x当1,012±¹¹-k k 时，22248)1(24)2(k k k -=-×+-=D由0>D ，即0482>-k ，得，得 22<<-k ；由0=D ，即0482=-k ，得2±=k ；由0<D ，即0482<-k ，得2-<k 或2>k ；综上知：)2,1()1,1()1,2(È-È--Îk 时，直线l 与曲线C 有两个交点，有两个交点， 2±=k 时，直线l 与曲线C 切于一点，1±=k 时，直线l 与曲线C 交于一点. 20. 分析：因为aMF MF 2||||21=+，即问题转化为在直线上求一点M ，使M 到 21,F F 的距离的和最小，求出1F 关于l 的对称点F ，即求M 到F 、2F 的和最小，2FF 的长就是所求的最小值. 20. 解：设)0,3(1-F 关于09:=+-y x l 的对称点的对称点 ),(y x F则ïîïíì-=+-=+--13009223x y yx îíì=-=Þ69y x )6,9(-F ，连FF 2交l 于M ，点M 即为所求. F F 2：)3(21--=x y即032=-+y x 解方程组îíìîíì=-=Þ=+-=-+459032y x y x y x ，)4,5(-M 当点'M 取异于M 的点时，||||||22''FF F M FM >+. 满足题意的椭圆的长轴566)39(||2222=+--==FF a所以所以 53=a ，3=c ，36945222=-=-=c a b ；椭圆的方程为：1364522=+y x21. 解：解： 设 ),(00y x M 00)(:y x x k y PQ +-= 则200x y =，02|2'xx y x x ===即02x k = 所以000)(2y x x x y +-= 令0=y ，则000022x x y x x =-=，)0,2(0x P令8=x ，则20016x x y -=，)16,8(200x x Q -=S )16)(28(212000x x x S PAQ --=D3020041864x x x +-= X y F F 1 F 2 L M O M ’200431664'x x S +-=令0'=S ，则160=x （舍去）或3160=x 即当3160=x 时，274096max =S9256)316(20==y ，)9256,316(M。

105051.(2019 ·宝鸡中学高二期中(文))下列语句不是命题的是( ).A. 3 > 4B. 0.3是整数C. a> 3D.4 是3 的约数2.(2019 ·北京清华附中高一期中)“ x> 1”是“ < 1”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分又不必要条件3.(2019 ·天津静海一中高一月考)命题“ V x> 0,x2 一1 > 一1”的否定是( )A. V x> 0,x2 一1 < 一1B. V x< 0,x2 一1 < 一1C. 3x> 0,x2 一1 < 一1D. 3x< 0,x2 一1 < 一14.(2019 ·内蒙古集宁一中高二月考(文))命题“ 3x= R, x2 + 2x+ 2 共0 ”的否定是( )A. V x= R, x2 + 2x+ 2 > 0B. V x= R, x2 + 2x+ 2 共0C. 3x= R, x2 + 2x+ 2 > 0D. 3x= R, x2 + 2x+ 2 > 05.(2019 ·洛阳市第一高级中学高二月考)已知命题p ：V x ∈R ，x2＞0 ，则一p是( )A. V x ∈R ，x2＜0B. 3 x ∈R ，x2＜0C. V x ∈R ，x2≤0D. 3 x ∈R ，x2≤06.(2018 ·上海市西南位育中学高二期中)“ a= 1 ” 是“ 直线l1：ax+ 2y一1 = 0 与l2：x+ (a+ 1)y+ 6 = 0 平行”的( )条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D. 既非充分又非必要7.(2019 ·辽宁高三月考(文))已知直线l1 ：x+ (m+ 1)y+ m= 0 ，l2 ：mx+ 2y+ 1 = 0 ，则“ l1//l2 ”的必要不充分条件是( )A. m= 2 或m= 1B. m= 1C. m= -2D. m= -2 或m= 18.(2019 ·天津静海一中高一月考)已知p :log2 (x- 1) < 1 ，q : x2 - 2x- 3 < 0 ，则p是q的( )条件A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D. 既非充分又非必要9.(2019 ·内蒙古集宁一中高二月考(文))已知命题“若p，则q”，假设其逆命题为真，则p是q 的( )A.充分条件B.必要条件C. 既不充分又不必要条件D.充要条件10.(2019·上海师大附中高一期中)A，B，C三个学生参加了一次考试，已知命题p:若及格分高于70 分，则A，B，C都没有及格.则下列四个命题中为p的逆否命题的是( )A.若及格分不高于70 分，则A，B，C都及格B.若A，B，C都及格，则及格分不高于70 分C.若A，B，C至少有一人及格，则及格分不高于70 分D.若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70 分7463611.(2019·上海师大附中高一期中)“ x> 4 ”是“ x> 2 ”的___________条件.12.(2018·上海市澄衷高级中学高一期中)“ x> 5 ”的一个充分非必要条件是__________.13.(2018·上海市杨思高级中学高一期中)写出命题“若a> 0 且b> 0 ，则ab>0 ”的否命题：________15.(2019·北京市十一学校高一单元测试)命题“ 3x=Q, x2 - x+ 1= Z”为__________命题(填“真”或“假”) ，其否定为__________15.(2018·江西高二期末( 理)) 若a2 + b2 = 0 , 则a= 0 _____ b= 0 ( 用适当的逻辑联结词“且”“或”“非”)16.(2011·浙江高二期中(理))已知命题“面积相等的三角形是全等三角形” ，该命题的否定是_______________________，该命题的否命题是___________________________.17.(2018·海林市朝鲜族中学高二单元测试)设命题p：若e x> 1 ，则x>0 ，命题q：若a>b，则 < ，则命题p∧q为____命题.(填“真”或“假”)56418--201221,221418.(2019·邵阳市第十一中学高二期中)已知p：实数x，满足x一a< 0 ，q : 实数x，满足x2 一4x+ 3 共0 ，若a= 2时，p^ q为真，求实数x的取值范围.19.(2019·辽宁高一月考)设p: x> a, q : x> 3 .( 1)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围；(2)若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围；(3)若a是方程x2 一6x+ 9 = 0 的根，判断p是q的什么条件.} ，20.(2019·上海市行知中学高一月考) 设集合A= 恳x | x2 + 3x+ 2 = 0B=恳x | x2+ (m+ 1)x+ m= 0}；( 1)用列举法表示集合A；(2)若x= B是x= A的充分条件，求实数m的值.21.(2019·青冈县第一中学校高二月考( 文)) 已知，：关于的方程有实数根.( 1)若为真命题，求实数的取值范围；(2)若为真命题，为真命题，求实数的取值范围.22.(2019·湖南高二期中( 理)) 已知命题p : x2 + mx+ 1 = 0 有两个不相等的负根，命题q : 4x2 + 4(m一2)x+ 1 = 0 无实根，若p^ p为假，p八q为真，求实数m的取值范围.105051.(2019 ·宝鸡中学高二期中(文))下列语句不是命题的是( ).A. 3 > 4B. 0.3是整数C. a> 3D.4 是3 的约数【答案】C2.(2019 ·北京清华附中高一期中)“ x> 1”是“< 1”的( )A.充分而不必要条件C.充分必要条件B.必要而不充分条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A3.(2019 ·天津静海一中高一月考)命题“ V x> 0, x2 一1 > 一1”的否定是( )A. V x> 0, x2 一1 < 一1B. V x< 0, x2 一1 < 一1C. 3x> 0, x2 一1 < 一 1D. 3x< 0, x2 一1 < 一1【答案】C4.(2019 ·内蒙古集宁一中高二月考(文))命题“ 3x= R, x2 + 2x+ 2 共0 ”的否定是( )A. V x= R, x2 + 2x+ 2 > 0B. V x= R, x2 + 2x+ 2 共0C. 3x= R, x2 + 2x+ 2 > 0D. 3x= R, x2 + 2x+ 2 > 0【答案】A5.(2019 ·洛阳市第一高级中学高二月考)已知命题p ：V x ∈R ，x2＞0 ，则一p是( )A. V x ∈R ，x2＜0B. 3 x ∈R ，x2＜0C. V x ∈R ，x2≤0D. 3 x ∈R ，x2≤0【答案】D6.(2018 ·上海市西南位育中学高二期中)“ a= 1 ” 是“ 直线l1：ax+ 2y一1 = 0 与l2：x+ (a+ 1)y+ 6 = 0 平行”的( )条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D. 既非充分又非必要【答案】A7.(2019 ·辽宁高三月考(文))已知直线l1 ：x+ (m+ 1)y+ m= 0 ，l2 ：mx+ 2y+ 1 = 0 ，则“ l1//l2 ”的必要不充分条件是( )A. m= 2 或m= 1B. m= 1C. m= 一2D. m= 一2 或m= 1 【答案】D8.(2019 ·天津静海一中高一月考)已知p :log2 (x一1) < 1 ，q : x2 一2x一3 < 0 ，则p是q的( )条件A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D. 既非充分又非必要【答案】A9.(2019 ·内蒙古集宁一中高二月考(文))已知命题“若p，则q”，假设其逆命题为真，则p是q 的( )A.充分条件B.必要条件C. 既不充分又不必要条件D.充要条件【答案】B10.(2019·上海师大附中高一期中)A，B，C三个学生参加了一次考试，已知命题p:若及格分高于70 分，则A，B，C都没有及格.则下列四个命题中为p的逆否命题的是( )A.若及格分不高于70 分，则A，B，C都及格B.若A，B，C都及格，则及格分不高于70 分C.若A，B，C至少有一人及格，则及格分不高于70 分D.若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70 分【答案】C7463611.(2019·上海师大附中高一期中)“ x> 4 ”是“ x> 2 ”的___________条件.【答案】充分非必要12.(2018·上海市澄衷高级中学高一期中)“ x> 5 ”的一个充分非必要条件是__________. 【答案】x> 6 (答案不唯一)13.(2018·上海市杨思高级中学高一期中)写出命题“若a> 0 且b> 0 ，则ab>0 ”的否命题：________【答案】若a< 0 或b< 0 ，则ab< 015.(2019·北京市十一学校高一单元测试)命题“ 3x=Q, x2 一x+ 1= Z”为__________命题(填“真”或“假”) ，其否定为__________【答案】真假15.(2018·江西高二期末( 理)) 若a2 + b2 = 0 , 则a= 0 _____ b= 0 ( 用适当的逻辑联结词“且”“或”“非”)【答案】且16.(2011·浙江高二期中(理))已知命题“面积相等的三角形是全等三角形” ，该命题的否定是________________________________，该命题的否命题是___________________________. 【答案】面积相等的三角形不一定是全等三角形；若两个三角形的面积不相等，则这两个三角形不是全等三角形.17.(2018·海林市朝鲜族中学高二单元测试)设命题p：若e x> 1 ，则x>0 ，命题q：若a>b，则 < ，则命题p∧q为____命题.(填“真”或“假”)【答案】假56418--201221,221418.(2019·邵阳市第十一中学高二期中)已知p：实数x，满足x一a< 0 ，q : 实数x，满足x2 一4x+ 3 共0 ，若a= 2时，p^ q为真，求实数x的取值范围.【答案】恳x1共x<2}19.(2019·辽宁高一月考)设p: x> a, q : x> 3 .( 1)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围；(2)若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围；(3)若a是方程x2 一6x+ 9 = 0 的根，判断p是q的什么条件.【答案】( 1) a< 3 ；(2) a> 3 ；(3)充要条件} ，20.(2019·上海市行知中学高一月考) 设集合A= 恳x | x2 + 3x+ 2 = 0B=恳x | x2+ (m+ 1)x+ m= 0}；( 1)用列举法表示集合A；(2)若x= B是x= A的充分条件，求实数m的值.【答案】( 1) A 1, 2 ；(2) m 1或 m 2【解析】( 1) x 23x 2 0 x 1 x 2 0即 x1或x 2 ，A 1, 2 ；(2)若x B 是x A 的充分条件，则 B A ，x 2 m 1 x m 0 x 1 x m 0解得 x 1 或 x m ，当 m1时， B 1 ，满足 B A ，当 m 2 时， B 1, 2 ，同样满足B A ，所以 m1或 m 2 .21.(2019· 青 冈 县 第 一 中 学 校 高 二 月考 ( 文 )) 已 知有实数根.( 1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为真命题，为真命题，求实数的取值范围.【答案】( 1)；(2)【解析】( 1) 方程有实数根，得：(2)为真命题，为真命题为真命题，为假命题，即得 .22.(2019· 湖南 高 二期 中( 理)) 已 知命题 p : x2mx 1 0 有两个 不相等 的 负根 ， 命题q : 4x 2 4(m 2)x 1 0 无实根，若p p 为假， p q 为真，求实数 m 的取值范围.【答案】 (1, 2]得；， ： 关 于 的 方 程【解析】因为p⊥ p假，并且p q为真，故p假，而q真即x2 + mx+ 1 = 0不存在两个不等的负根，且4x2 +4(m 2)x+1= 0无实根.所以= 16(m 2)2 16 < 0 ，即1< m< 3，当1< m 2 时，x2 + mx+ 1 = 0不存在两个不等的负根，当2< m< 3时，x2 + mx+ 1 = 0存在两个不等的负根.所以m的取值范围是(1, 2]。

数学试题（选修1-1）•选择题（本大题共12小题，每小题3分，共 sin A -”是 “A 30 ”的（）A .充分而不必要条件 C .充分必要条件2 2已知椭圆 乞 _L 1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为 3，则P 到另一焦点距离为2516）A . 2B . 3C . 5D . 7设 f (x) xln x ，若 f (X o )2，则 X 。

(A . e 2B . eC .In 2 2D .In2 若抛物线 22xy 2 px 的焦点与椭圆 一6-1的右焦点重合，2则p 的值为， A .B . 2C . 4D . 4已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍， 则椭圆的离心率等于（)1.2. (3.4.5. 6. 6. 7.&2x2y12 2xy1AB .91625 16222 2C .x y 1或 x y1 D .以上都不对25 16 1625命题1对任意的 x R , x 3 x 2 1 < 0 ”的否定是（)A.x R, x 3 x 2 1 < 0B .存在xR , x 3 x 2 1 < 0不存在R , 3 23 2C .存在x x x 1D .对任意的x R, x x 122双曲线一y -1的焦距为（B )12A .2.2B . 4,2C . 2,3D . 4.3若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（36分)B •必要而不充分条件 D .既不充分也不必要条件A .2.3B .31C .—2D . -3.函数y x 4x 3在区间2,3上的最小值为（)A . 72B . 36C . 12D . 09•设曲线y ax 2在点（1, a ）处的切线与直线 2x y 6 0平行，则a （)4 y9x5 C .D . 10217 .曲线y ln x 在点M （e,1）处的切线的斜率是 ______________________ ,切线的方程为10 .抛物线y的准线方程是1 A . x —321 322x11 •双曲线 -41的渐近线方程是12.抛物线10x 的焦点到准线的距离是（13.若抛物线8x 上一点P 到其焦点的距离为 则点P 的坐标为（A • (7, 14.函数y 二B . （14,、币） x 的递增区间是（C . (7,214) D . ( 7, 2、.14)A • (0,)B • (,1) D . (1,)二.填空题（本大题共4小题，每小题16分)13.函数 f(x) x 32x mx 1是R 上的单调函数，则 m 的取值范围为14.已知2xF 1、F 2为椭圆252人 1的两个焦点，过9F 1 的直线交椭圆于 A 、B 两点，若2A F 2B 12,则AB2x15 .已知双曲线-n2y12 n1的离心率是■, 3，则2x16 ..若双曲线一4的渐近线方程为y壬，则双曲线的焦点坐标是2已知函数f(x) 2x 3 3ax 2 3bx 8在x 1及x 2处取得极值. (1)求a 、b 的值；(2)求f (x)的单调区间18(本小题满分10分)求下列各曲线的标准方程2(1)实轴长为12,离心率为一，焦点在x 轴上的椭圆；32 2⑵抛物线的焦点是双曲线 16x 9y144的左顶点.求厶F 1PF 2的面积。

章末综合测评(一)常用逻辑用语(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．“经过两条相交直线有且只有一个平面”是()A．全称命题B．特称命题C．p∨q形式D．p∧q形式【解析】此命题暗含了“任意”两字，即经过任意两条相交直线有且只有一个平面．【答案】 A2．(2015·湖南高考)设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由于函数f(x)＝x3在R上为增函数，所以当x>1时，x3>1成立，反过来，当x3>1时，x>1也成立．因此“x>1”是“x3>1”的充要条件，故选C.【答案】 C3．(2014·湖北高考)命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是()A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝xC．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2＝x【解析】全称命题的否定，需要把全称量词改为特称量词，并否定结论．【答案】 D4．全称命题“∀x∈Z,2x＋1是整数”的逆命题是()A．若2x＋1是整数，则x∈ZB．若2x＋1是奇数，则x∈ZC．若2x＋1是偶数，则x∈ZD．若2x＋1能被3整除，则x∈Z【解析】易知逆命题为：若2x＋1是整数，则x∈Z.【答案】 A5．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是()A．p∧¬q B．¬p∧qC．¬p∧¬q D．p∧q【解析】命题p为真命题，命题q为假命题，所以命题¬q为真命题，所以p∧¬q为真命题，故选A.【答案】 A6．(2015·皖南八校联考)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是()A．全等三角形的面积不一定都相等B．不全等三角形的面积不一定都相等C．存在两个不全等三角形的面积相等D．存在两个全等三角形的面积不相等【解析】命题是省略量词的全称命题．易知选D.【答案】 D7．原命题为“若a n＋a n＋12＜a n，n∈N＋，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是() A．真，真，真B．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假【解析】 从原命题的真假入手，由于a n ＋a n ＋12＜a n ⇔a n ＋1＜a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题和逆命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A.【答案】 A8．给定两个命题p ，q .若¬p 是q 的必要而不充分条件，则p 是¬q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 q ⇒¬p 等价于p ⇒¬q ，¬pD ⇒/ q 等价于¬qD ⇒/ p .故p 是¬q 的充分而不必要条件．【答案】 A9．一元二次方程ax 2＋4x ＋3＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A ．a ＜0B ．a ＞0C ．a ＜－1D ．a ＞1【解析】 一元二次方程ax 2＋4x ＋3＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根⇔3a ＜0，解得a ＜0，故a ＜－1是它的一个充分不必要条件．【答案】 C10．设集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，那么点P (2,3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是( )【导学号：26160027】A ．m ＞－1，n ＜5B ．m ＜－1，n ＜5C ．m ＞－1，n ＞5D ．m ＜－1，n ＞5【解析】 ∵P (2,3)∈A ∩(∁U B )，∴满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2×2－3＋m ＞0，2＋3－n ＞0，故⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－1，n ＜5. 【答案】 A11．下列命题中为真命题的是( )A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b ＝－1D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件【解析】 对于∀x ∈R ，都有e x >0，故选项A 是假命题；当x ＝2时，2x ＝x 2，故选项B 是假命题；当a b ＝－1时，有a ＋b ＝0，但当a ＋b ＝0时，如a ＝0，b ＝0时，a b 无意义，故选项C 是假命题；当a >1，b >1时，必有ab >1，但当ab >1时，未必有a >1，b >1，如当a ＝－1，b ＝－2时，ab >1，但a 不大于1，b 不大于1，故a >1，b >1是ab >1的充分条件，选项D 是真命题．【答案】 D12．下列命题中真命题的个数为( )①命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题；②设α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则“α<β ”是“tan α<tan β ”的充要条件； ③命题“自然数是整数”是真命题；④命题“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0”的否定是“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0.”A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ①命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”为真命题，所以其逆否命题为真命题；②因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 时，正切函数y ＝tan x 是增函数，所以当α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，α<β⇔tan α<tan β，所以“α<β”是“tan α<tan β”的充要条件，即②是真命题；③命题“自然数是整数”是全称命题，省略了“所有的”，故③是真命题；④命题“∀x ∈R ，x 2＋x＋1<0”的否定是“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1≥0”，故④是假命题．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．设p ：x ＞2或x ＜23；q ：x ＞2或x ＜－1，则¬p 是¬q 的________条件．【解析】 ¬p ：23≤x ≤2.¬q ：－1≤x ≤2.¬p ⇒¬q ，但¬qD ⇒/ ¬p .∴¬p 是¬q 的充分不必要条件．【答案】 充分不必要14．若命题“对于任意实数x ，都有x 2＋ax －4a >0且x 2－2ax ＋1>0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】 若对于任意实数x ，都有x 2＋ax －4a >0，则Δ＝a 2＋16a <0，即－16<a <0；若对于任意实数x ，都有x 2－2ax ＋1>0，则Δ＝4a 2－4<0，即－1<a <1，故命题“对于任意实数x ，都有x 2＋ax －4a >0且x 2－2ax ＋1>0”是真命题时，有a ∈(－1,0)．而命题“对于任意实数 x ，都有x 2＋ax －4a >0且x 2－2ax ＋1>0”是假命题，故a ∈(－∞，－1]∪[0，＋∞)．【答案】 (－∞，－1]∪[0，＋∞)15．给出下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b ≤－1，则关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实数根”的逆否命题；④若sin α＋cos α>1，则α必定是锐角．其中是真命题的有________．(请把所有真命题的序号都填上)．【解析】 ②可利用逆命题与否命题同真假来判断，易知“相似三角形的周长相等”的逆命题为假，故其否命题为假．④中α应为第一象限角．【答案】 ①③16．已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：(x －2)(3－x )＞0，若¬p 是¬q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．【解析】 p ：a －4＜x ＜a ＋4，q ：2＜x ＜3，∵¬p 是¬q 的充分条件(即¬p ⇒¬q )，∴q ⇒p ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，∴－1≤a ≤6. 【答案】 [－1,6]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)指出下列命题的构成形式，并写出构成它的命题：(1)36是6与18的倍数；(2)方程x2＋3x－4＝0的根是x＝±1；(3)不等式x2－x－12>0的解集是{x|x>4或x<－3}．【解】(1)这个命题是p∧q的形式，其中p：36是6的倍数；q：36是18的倍数．(2)这个命题是p∨q的形式，其中p：方程x2＋3x－4＝0的根是x ＝1；q：方程x2＋3x－4＝0的根是x＝－1.(3)这个命题是p∨q的形式，其中p：不等式x2－x－12>0的解集是{x|x>4}；q：不等式x2－x－12>0的解集是{x|x<－3}．18．(本小题满分12分)写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)全等三角形一定相似；(2)末位数字是零的自然数能被5整除．【解】(1)逆命题：若两个三角形相似，则它们一定全等，为假命题；否命题：若两个三角形不全等，则它们一定不相似，为假命题；逆否命题：若两个三角形不相似，则它们一定不全等，为真命题．(2)逆命题：若一个自然数能被5整除，则它的末位数字是零，为假命题；否命题：若一个自然数的末位数字不是零，则它不能被5整除，为假命题；逆否命题：若一个自然数不能被5整除，则它的末位数字不是零，为真命题．19．(本小题满分12分)写出下列命题的否定并判断真假：(1)所有自然数的平方是正数；(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(3)∀x ∈R ，x 2－3x ＋3>0；(4)有些质数不是奇数．【解】 (1)所有自然数的平方是正数，假命题；否定：有些自然数的平方不是正数，真命题．(2)任何实数x 都是方程5x －12＝0的根，假命题；否定：∃x 0∈R,5x 0－12≠0，真命题．(3)∀x ∈R ，x 2－3x ＋3>0，真命题；否定：∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋3≤0，假命题．(4)有些质数不是奇数，真命题；否定：所有的质数都是奇数，假命题．20．(本小题满分12分)(2016·汕头高二检测)设p ：“∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1＝0”，q ：“函数y ＝x 2－2ax ＋a 2＋1在x ∈[0，＋∞)上的值域为[1，＋∞)”，若“p ∨q ”是假命题，求实数a 的取值范围．【解】 由x 20－ax 0＋1＝0有实根，得Δ＝a 2－4≥0⇒a ≥2或a ≤－2.因为命题p 为真命题的范围是a ≥2或a ≤－2.由函数y ＝x 2－2ax ＋a 2＋1在x ∈[0，＋∞)上的值域为[1，＋∞)，得a ≥0.因此命题q 为真命题的范围是a ≥0.根据p ∨q 为假命题知：p ，q 均是假命题，p 为假命题对应的范围是－2<a <2，q 为假命题对应的范围是a <0.这样得到二者均为假命题的范围就是⎩⎨⎧－2<a <2，a <0⇒－2<a <0. 21．(本小题满分12分)(2016·惠州高二检测)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0；命题q ：实数x 满足x 2－5x ＋6≤0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【解】 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )·(x －a )<0，又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是1<x <3，由x 2－5x ＋6≤0得2≤x ≤3，所以q 为真时，实数x 的取值范围是2≤x ≤3.若p ∧q 为真，则2≤x <3，所以实数x 的取值范围是[2,3)．(2)设A ＝{x |a <x <3a }，B ＝{x |2≤x ≤3}，由题意可知q 是p 的充分不必要条件，则B A ，所以⎩⎨⎧0<a <2，3a >3⇒1<a <2，所以实数a 的取值范围是(1,2)． 22．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋x ，对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1恒成立，试求实数a 的取值范围. 【导学号：26160028】【解】 由f (x )＝ax 2＋x 是二次函数，知a ≠0.|f (x )|≤1⇔－1≤f (x )≤1⇔－1≤ax 2＋x ≤1，x ∈[0,1]，①当x ＝0，a ≠0时，①式显然成立；当x ∈(0,1]时，①式化为－1x 2－1x ≤a ≤1x 2－1x ，当x ∈(0,1]时恒成立．设t ＝1x ，则t ∈[1，＋∞)，所以－t 2－t ≤a ≤t 2－t .令f (t )＝－t 2－t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋14，t ∈[1，＋∞)， 所以f (t )max ＝－2.令g (t )＝t 2－t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14，t ∈[1，＋∞)， 所以g (t )min ＝0.所以只需－2≤a ≤0.综上所述，实数a 的取值范围是[－2,0)．。