最新反比例函数专题复习

反比例函数知识点知识点总结反比例函数知识点总结一、反比例函数的定义一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。

需要注意的是，反比例函数中自变量 x 的取值范围是x≠0，因为分母不能为 0。

例如，当 k ＝ 5 时，反比例函数为 y ＝ 5/x。

二、反比例函数的表达式反比例函数常见的表达式有以下三种形式：1、 y ＝ k/x （k 为常数，k≠0），这是最基本的形式。

2、 xy ＝ k （k 为常数，k≠0），通过将 y ＝ k/x 两边同乘 x 得到。

3、 y ＝ kx^（－1) （k 为常数，k≠0），这是反比例函数的幂函数形式。

三、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线。

当 k＞0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小。

当 k＜0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。

例如，对于函数 y ＝ 2/x，因为 k ＝ 2＞0，所以图像位于第一、三象限，在每个象限内，当 x 增大时，y 减小。

四、反比例函数图像的性质1、对称性反比例函数的图像关于原点对称，即若点（a，b）在反比例函数图像上，则点（a，b）也在其图像上。

2、渐近线双曲线逐渐接近但永远不会与坐标轴相交，其渐近线为 x 轴和 y 轴。

3、连续性反比例函数在定义域内不是连续的，存在间断点 x ＝ 0。

五、反比例函数中 k 的几何意义在反比例函数 y ＝ k/x 图像上任取一点 P，过点 P 分别作 x 轴、y轴的垂线 PM、PN，垂足分别为 M、N，则矩形 PMON 的面积 S ＝PM×PN ＝｜y|×｜x| ＝｜xy| ＝｜k|。

例如，在函数 y ＝ 6/x 的图像上有一点 P（2，3），则矩形 PMON 的面积为 6。

六、反比例函数与一次函数的综合在解决反比例函数与一次函数的综合问题时，通常需要联立两个函数的解析式，组成方程组，求解交点坐标。

专题11.28反比例函数（常考核心知识点分类专题）（培优练）考点目录：【考点1】反比例函定义及其函数值；【考点2】反比例函数的图象位置；【考点3】反比例函数图象位置与参数关系；【考点4】反比例函数图象的对称性；【考点5】反比例函数比例系数与图象增减性；【考点6】反比例函数比例系数求面积；【考点7】已知图形面积求反比例函数比例系数；【考点8】一次函数与反比例函数图象综合判断；【考点9】一次函数与反比例函数图象交点问题；【考点10】一次函数与反比例函数的应用；【考点11】反比例函数与几何综合；【考点12】用反比例函数解决实际问题一、选择题【考点1】反比例函定义及其函数值1．反比例函数15y x=-的图象一定经过的点是（）A ．()5,3-B ．()5,3C ．()1,15D ．()1,15--2．若点(,)A a b 在双曲线3y x=上，则代数式8ab -的值为（）A ．－12B ．－7C ．－5D ．5【考点2】反比例函数的图象位置3．在平面直角坐标系中，点()23A -，，()32B ，，(6,)C m -分别在三个不同的象限，若反比例函数()0ky k x=≠的图象经过其中两点则m 的值为（）A ．1B ．-1C ．-6D ．64．用{}max ,a b 表示a 、b 两数中较大的数，如{}max 2,33=．若函数y =max{1，1x（x ＞0）}，则y 与x 之间的函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【考点3】反比例函数的图象位置与参数关系5．若反比例函数2ky x-=的图象分布在第二、四象限，则k 的取值范围是（）A ．2k =B ．2k <C ．2k >D ．2k >-6．如图，正比例函数2y kx =与反比例函数1k y x-=在同一平面直角坐标系内的图像不可能是（）A ．B ．C ．D ．【考点4】反比例函数的图象的对称性7．直线y kx =（k 为常数且0)k ≠与双曲线y x=的交点为()11,A x y ，()22,B x y ，则122125x y x y -的值为（）．A ．-B ．C ．±D ．无法确定8．已知正比例函数y=k 1x （k 1≠0）与反比例函数()220k y k x=≠的图象有一个交点的坐标为（﹣2，﹣1），则它们的另一个交点的坐标是（）A ．（2，﹣1）B ．（﹣2，﹣1）C ．（﹣2，1）D ．（2，1）【考点5】反比例函数比例系数与图象增减性9．对于反比例函数ky x=，在每个象限内y 都随x 的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（）A ．(1,3)-B ．(3,2)C ．(2,1)--D ．(0,3)-10．已知点()()()123,1,3,7A x B x C x ---，，在函数1y x=-的图象上，则下列关系式正确的（）A ．231x x x <<B ．321x x x <<C ．123x x x <<D ．132x x x <<【考点6】反比例函数比例系数求面积11．如图，AOB 和ACD 均为正三角形，且顶点B 、D 均在双曲线()60y x x=>上，连接BC 交AD 于P ，连接OP ，则图中OBP S △是（）A B ．3C ．6D ．112．如图，B 、C 两点分别在函数5(0)y x x =>和1y x=-（0x <）的图象上，线段BC y ⊥轴，点A 在x 轴上，则ABC 的面积为（）A ．9B ．6C ．3D ．4【考点7】已知图形面积求反比例函数比例系数13．如图，在平面直角坐标xOy 中，点A 在函数(0)ky x x=>的图象上，AB y ⊥轴于点B ，点C 在x 轴正半轴上，且2OC AB =，点E 在线段AC 上，且3AE EC =，点D 为OB 的中点，若ADE V 的面积为3，则k 的值为（）A ．8B ．6C ．163D ．32314．如图，双曲线ky x=（0k >）经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D ．若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（）A ．1y x=B ．2y x=C ．3y x=D ．6y x=【考点8】一次函数与反比例函数图象综合判断15．函数2y kx =-与()0ky k x=≠在同一坐标系内的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．16．函数y ax a =-+与()0ay a x=≠在同一坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【考点9】一次函数与反比例函数图象交点问题17．如图，ABC 为等腰直角三角形，点A 的坐标为()1,1，斜边BC AB x =∥轴，AC y 轴，如果反比例函数ky x=与ABC 有交点，那么k 的取值范围是（）A ．14k ≤≤B ．19k ≤≤C ．116k ≤≤D ．132k ≤≤18．已知一次函数1(0)y kx b k =+<与反比例函数()2my m 0x=≠的图象相交于A B 、两点，其横坐标分别是1-和3，当12y y >时，实数x 的取值范围是（）A ．1x <-或03x <<B ．10x -<<或03x <<C ．10x -<<或3x >D ．3x α<<【考点10】一次函数与反比例函数的应用19．教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升7℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温()℃与开机后用时()min 成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温()y ℃和时间()min 的关系如图，为了在上午第一节下课时()8:45能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（）A ．7:20B ．7:30C ．7:45D ．8:0020．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自2020年1月开始限产并进行治污改造，其月利润(y 万元)与月份x 之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（）A ．4月份的利润为50万元B ．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元C ．9月份该厂利润达到200万元D ．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元【考点11】反比例函数与几何综合21．如图，点D 是OABC 内一点，AD 与x轴平行，BD 与y 轴平行，BD =，120,BCD BDC S ∠=︒=()0ky x x =<的图象经过C ，D 两点，则k 的值是（）A ．-B ．6-C ．-D ．12-22．如图，反比例函数()0my m x=>在第三象限的图象是()1,0n l y n x =<在第四象限的图象是2l ，点A 、C 在1l 上，过A 点作AB x 轴交2l 于B 点，过C 点作CD y ⊥轴于D 点，点P 为x 轴上任意一点，连接AP BP CP DP 、、、，若5,2ABP CDP S S ==△△，则n =（）A ．5-B ．6-C ．7-D ．8-【考点12】用反比例函数解决实际问题23．如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流()A I 与电阻()ΩR 成反比例函数的图象，该图象经过点()880,0.25P ．根据图象可知，下列说法正确的是（）A ．当0.25I <时，880R <B ．I 与R 的函数关系式是()2000I R R=>C ．当0.22I >时，1000R >D ．当8801000R <<时，I 的取值范围是0.220.25I <<24．某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过5min 的集中药物喷洒，再封闭宿舍10min ，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y （3mg /m ）与药物在空气中的持续时间x （min ）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是（）A ．经过5min 集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到310mg /mB ．室内空气中的含药量不低于38mg /m 的持续时间达到了11minC ．当室内空气中的含药量不低于35mg /m 且持续时间不低于24分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效D ．当室内空气中的含药量低于32mg /m 时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到32mg /m 开始，需经过59min 后，学生才能进入室内二、填空题【考点1】反比例函定义及其函数值25．已知实数x 、y 满足338x y ⋅=-，当1x >时，y 的取值范围是．26．已知点(3,)C n 在函数ky x=（k 是常数，0k ≠）的图象上，若将点C 先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D ，点D 恰好落在此函数的图象上，n 的值是．【考点2】反比例函数的图象位置27．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）为函数21k y x-=图象上的两点，且x 1＜0＜x 2，y 1＞y 2，则实数k 的取值范围是．28．在1，2，3，4-这四个数中，任选两个数的积作为k 的值，使反比例函数y kx=的图象在第二、四象限的概率是.【考点3】反比例函数的图象位置与参数关系29．已知反比例函数()0ky k x=≠的图像经过点()23P ，，则该反比例函数的图像在第象限．30．已知点()11,P x y ，()22,Q x y 在反比例函数6y x=图象上．（1）若122x x =，则12y y =．（2）若122x x =+，123y y =，则当自变量12x x x >+时，函数y 的取值范围是．【考点4】反比例函数的图象的对称性31．如图，点),A a -是反比例函数ky x=的图象与O 的一个交点，图中阴影部分的面积为4π，则反比例函数的解析式为．32．如图，直线()0y mx m =＜与双曲线ky x=交于A ，B 两点，AH y ⊥轴于点H ，若AHB 的面积为5，则k 的值为．【考点5】反比例函数比例系数与图象增减性33．已知反比例函数()0ky k x=≠的图象过二、四象，1(1,)A m y +，2)²(,B m y -两点均在该图象上,则1y 与2y 的大小关系为．34．在平面直角坐标系中，点()()121,,2,A y B y -在反比例函数ky x=（k 为常数，0k ≠）的图象上，且12y y >，则k 的取值范围是．【考点6】反比例函数比例系数求面积35．如图，反比例函数()20y x x=->的图象上有一点P ，PA x ⊥轴于点A ，点B 在y 轴上，则PAB 的面积为．36．如图，在反比例函数()40y x x=>的图象上，有1P ，2P ，3P ，2024P ⋅⋅⋅等点，它们的横坐标依次为1，2，3，2024⋅⋅⋅，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中阴影部分的面积从左到右依次为1S ，2S ，3S ，⋅⋅⋅，2023S ，则1232023S S S S +++⋅⋅⋅+=．【考点7】已知图形面积求反比例函数比例系数37．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的对角线OB 在x 轴上()0,0ky k x x=≠>的图象上，若菱形OABC 的面积为6，则k =．38．如图，已知点()1,4A ，()7,1B ，点P 在线段AB 上，并且点P 的横、纵坐标均为整数．经过点P 的双曲线为():0kl y x x=>．（1）当点P 与点B 重合时，k 的值为；（2）k 的最大值为．【考点8】一次函数与反比例函数图象综合判断39．考察函数4y x=-的图象，当1y ≥-时，x 的取值范围是．40．如图，一次函数y kx b =+与反比例函数m y x=．（其中0mk ≠）图象交于()4,2A -，()2,B n 两点．（1）反比例函数的表达式为；；（2）ABO 的面积是；．【考点9】一次函数与反比例函数图象交点问题41．如图，直线3y kx =+与y 轴交于点A ，与反比例函数()40y x x=-<图象交于点C ，过点C 作CB x ⊥轴于点B ，3AO BO =，则k 的值为．42．如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数ky x=的图象交于点()2,3A ，(),2B m -，则不等式kax b x+>的解集是．【考点10】一次函数与反比例函数的应用43．某品牌热水器中，原有水的温度为20C ︒，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温C y ︒与开机时间x 分钟满足一次函数关系），当加热到80C ︒时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温C y ︒与开机时间x 分钟成反比例函数关系）．当水温降至30C ︒时，热水器又自动以相同的功率加热至80C ︒……重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，则（1）当015x ≤≤时，水温C y ︒开机时间x 分钟的函数表达式；（2）当水温为30C ︒时，t =；（3）通电60分钟时，热水器中水的温度y 约为．44．如图，反比例函数ky x=（k ≠0）与正比例函数y ＝mx （m ≠0）的图像交于点A ，点B ．AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，2ACO BDO S S +=△△，则k ＝．【考点11】反比例函数与几何综合45．如图，在x 轴的上方作正方形OPMN ，其对角线交点(),I a b 在第一象限，双曲线ky x=经过点N 和I ，则ab的值是．46．如图,111222331,,,n n n OB A A B A A B A A B A - 都是一边在x 轴上的等边三角形，点123n B B B B L 、、、都在反比例函数)0y x =>的图像上，点123 、、、n A A A A 都在x 轴上，则点2021A 的横坐标为．【考点12】用反比例函数解决实际问题47．某校对数室采用药薰法进行灭蚊，根据药品使用说明，药物燃烧时，室内每立方米空气中含药量()3mg /m y 与药物点燃后的时间()min x 成正比例，药物燃尽后，y 与x 成反比例，已知药物点燃后8min 燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为6mg ．根据灭蚊药品使用说明，当每立方米空气中含药量不低于3mg 且持续时间不低于10min 时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊的有效时间为分钟．48．如图，已知点A 是一次函数y ＝23x(x≥0)图象上一点，过点A 作x 轴的垂线l ，B 是l 上一点(B 在A上方)，在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，反比例函数y＝kx(x＞0)的图象过点B，C，若△OAB的面积为5，则△ABC的面积是．参考答案：1．A【分析】此题考查了判断点是否反比例函数的图象上，把点逐一代入解析式即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．【详解】解：∵反比例函数的解析式为15y x=-，则，A 、当5x =-时，1535y =-=-，图象一定经过点()5,3-，符合题意；B 、当5x =时，1535y =-=-，图象不经过点()5,3，不符合题意；C 、当1x =时，15151y =-=-，图象不经过点()1,15，不符合题意；D 、当=1x -时，15151y =-=-，图象不经过点()1,15--，不符合题意；故选：A ．2．C【分析】把A 点坐标代入反比例函数解析式即可求出ab 的值．【详解】解：把(,)A a b 代入3y x=得，ab =3，8385ab -=-=-，故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，解题关键是把点的坐标代入解析式，然后整体代入求值．3．B【分析】根据已知条件得到点()2,1A -在第二象限，求得点()6,C m -一定在第三象限，由于反比例函数(0)k y k x =≠的图象经过其中两点，于是得到反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过()32B ，，()6,C m -，于是得到结论．【详解】()2,1A - 在第二象限，()3,2B 在第一象限，且点A 、B 、C 在三个不同象限，又 点C 的横坐标为6-，()6,C m ∴-在第三象限，反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过其中两点，()3,2B ∴，()6,C m -两点在该反比例函数图象上，236k k m ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪-⎩解得61k m =⎧⎨=-⎩故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，推出点C 在第三象限是解题的关键．4．A【分析】先根据max{a ，b }的意义分两种情况得出y 的取值，即可求解．【详解】解：∵max{a ，b }表示a ，b 两数中较大的数，函数y =max{1，1x（x ＞0）}，当0＜x ≤1时，1x≥1，∴y =max{1，1x （x ＞0）}=1x （0＜x ≤1），当x ＞1时，1x＜1，∴y =max{1，1x（x ＞0）}=1（x ＞1），观察四个选项，只有A 符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了函数的图象，理解max{a ，b }的意义分两种情况得出y 的取值是解题的关键．5．C 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键．当0k >时，反比例函数图像经过第一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，反比例函数图像经过第二、四象限，在每一象限内，y 随x 的增大而增大．本题中，图象分布在第二、四象限，可知20k -<，解不等式即可．【详解】解：由题意得：20k -<，解得：2k >，故选：C ．6．D【分析】本题考查反比例函数的图像和正比例函数的图像，解题的关键是了解其图像的性质，结合图像利用排除法逐一分析即可作出判断．【详解】A ．∵正比例函数位于二四象限，∴20k <，即0k <，∴10k -<，∴反比例函数的图像经过二、四象限，故此选项不符合题意；B ．∵反比例函数的图像位于一三象限，∴10k ->，即1k >，∴20k >，∴正比例函数的图像位于一三现象，故此选项不符合题意；C ．∵反比例函数的图像位于二四象限，∴10k -<，即1k <，当01k <<时，得20k >，此时正比例函数的图像位于一三象限，故此选项不符合题意；D ．∵反比例函数的图像位于一三象限，∴10k ->，即1k >，∴20k >，故选：D ．7．B【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性，掌握双曲线上的两点关于原点成中心对称是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标特点即可解答．【详解】解：∵直线y kx =（k 为常数且0)k ≠与双曲线y =()11,A x y ，()22,B x y ，∴()11,A x y ，()22,B x y 关于原点对称，∴1212x x y y =-=-，，又∵点A 、点B 在双曲线y =上，∴1122x y x y ==∴11111122112525x y x y x y x y x y =-=-+=故选B ．8．D【分析】根据反比例函数图象的对称性得到反比例函数图象与正比例函数图象的两个交点关于原点对称，所以写出点（﹣2，﹣1）关于原点对称的点的坐标即可．【详解】解：∵正比例函数y=k 1x （k 1≠0）与反比例函数()220k y k x=≠的图象的两个交点关于原点对称，而一个交点的坐标为（﹣2，﹣1），∴它们的另一个交点的坐标是（2，1）．故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数图象的中心对称性，掌握反比例函数与正比例函数的交点一定关于原点对称，是解题的关键．9．A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据每个象限内y 都随x 的增大而增大得出反比例函数图象分布的象限即可求解．【详解】解：∵每个象限内y 都随x 的增大而增大，∴反比例函数ky x=图象分布在二四象限，0k <A ．∵1330k =-⨯=-<，∴(1,3)-符合题意；B ．∵3260k =⨯=>，∴(3,2)不符合题意；C ．∵()2120k =-⨯-=>，∴(2,1)--不符合题意；D ．∵(0,3)-在坐标轴上，不在二四象限，∴(0,3)-不符合题意；故选A ．10．B【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将各点坐标分别代入函数解析式，分别求出123x x x ，，的值，比较即可．【详解】解：将点()()()123,1,3,7A x B x C x ---，，分别代入1y x =-得，12311371x x x ===，，，∴321x x x <<，故选：B ．11．C【分析】先根据AOB 和ACD 均为正三角形，可得60AOB CAD ∠=∠=︒，从而可得AD OB ∥，可得ABP AOP S S = ，即可得出OBP AOB S S = ，过点B 作BE OA ⊥于点E ，再由反比例函数的系数k 的几何意义求解即可．【详解】解：∵AOB 和ACD 均为正三角形，∴60AOB CAD ∠=∠=︒，∴AD OB ∥，∴OBP AOB S S = ，过点B 作BE OA ⊥于点E ，则12OBE ABE AOB S S S == ，∵点B 在反比例函数()60y x x=>图象上，∴1632OBE S =⨯= ，∴26OBP AOB OBE S S S === ，故选：C ．12．C【分析】本题考查了反比例函数k 的意义，三角形等积求解；连接OB 、OC ，由等底同高的三角形面积相等得ABC OBC S S =△△，再由反比例函数k 的意义得111522OBC S =⨯-+⨯ ，即可求解；理解“过反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线，连接此点与坐标原点，所围成的三角形面积为12k ．”是解题的关键．【详解】解：如图，连接OB 、OC ，BC y ⊥轴，BC x \∥轴，ABC OBC S S ∴= ，111522OBC S =⨯-+⨯ 3=，3ABC S ∴= ；故选：C ．13．C 【分析】本题考查了反比例函数综合题，由3AE EC =，ADE V 的面积为3，得到CDE 的面积为1，则ADC △的面积为4，设A 点坐标为(),a b ，则k ab =，AB a =，22OC AB a ==，12BD OD b ==，利用ABD ADC ODC OBAC S S S S =++ 梯形得到ab 的值，即为k 的值．点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式；利用三角形的面积公式和梯形的面积公式建立等量关系是解决问题的关键．【详解】解：连DC ，如图，∵3AE EC =，ADE V 的面积为3，∴CDE 的面积为1，∴ADC △的面积为4，设A 点坐标为(),a b ，则AB a =，22OC AB a ==，而点D 为OB 的中点，∴12BD OD b ==．∵ABD ADC ODC OBAC S S S S =++ 梯形，∴()1111124222222a ab a b a b +⨯=⨯++⨯⨯，∴163ab =，把(),A a b 代入双曲线k y x=，∴163k ab ==．故选：C ．14．B 【分析】本题考查矩形的性质及用待定系数法求反比例函数的解析式，先根据矩形的特点设出B 、C 的坐标，根据矩形的面积求出B 点横纵坐标的积，由D 为AB 的中点求出D 点的横纵坐标，再由待定系数法即可求出反比例函数的解析式．【详解】解：连接OE ，设(,0)C c ，则(,)B c b ，(,)2bE c ，设(,)D x y ，D 和E 都在反比例函数图象上，xy k ∴=，2bck =，即122AOD OEC bS S c ==⨯⨯ ，梯形ODBC 的面积为3，1322bbc c ∴-⨯⨯=，∴334bc =，4bc ∴=，1AOD OEC S S ∴== ，0k > ，∴112k =，解得2k =，∴函数解析式为：2y x=故选：B ．15．B【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k 的取值确定函数所在的象限．根据当0k >、当0k <时，2y kx =-和()0k y k x=≠经过的象限，二者一致的即为正确答案．【详解】解：∵当0k >时，2y kx =-过一、三、四象限，反比例函数()0k y k x =≠过一、三象限，当0k <时，2y kx =-过二、三、四象限，反比例函数()0k y k x=≠过二、四象限，∴B 正确；故选：B ．16．D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质；对a 进行讨论，分0a >和a<0两种情况，再根据反比例函数与一次函数的图象特点解答即可．【详解】解：0a >时，0a -<，y ax a =-+在一、二、四象限，a y x =在一、三象限，D 选项符合．a<0时，0a ->，y ax a =-+在一、三、四象限，(0)a y a x=≠在二、四象限，无选项符合；故选：D ．17．B【分析】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题、一元二次方程根的判别式、等腰直角三角形的性质等知识，反比例函数经过点A 时k 取最小值，当反比例函数图象和直线BC 有一个公共点时k 取最大值，分别进行求解即可．【详解】解：当反比例函数k y x=经过点时，把点A 的坐标()1,1代入得到，11k =，解得1k =，此时k 取最小值为1，∵ABC为等腰直角三角形，斜边BC =∴4AB AC ===，∵点A 的坐标为()1,1，斜边AB x 轴，AC y 轴，∴()1,5C ，()5,1B 设直线BC 的解析式为y mx n =+，∴551m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得16m n =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为6y x =-+，联立6y x =-+和k y x=得到6y x k y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，整理得到，260x x k -+=，当()2Δ640k =--=，即9k =时，反比例函数k y x =与ABC 一个交点，此时k 取最大值为9，综上可知，19k ≤≤．故选：B18．A【分析】本题主要考查了一次函数的图象与反比例函数的图象，解答本题的关键是根据题意正确画出函数图象．首先根据题意画出草图，观察图象，找到直线在双曲线上方的部分；然后根据交点的横坐标，结合图象，即可得到答案．【详解】解：由题意得：当12y y >时，直线在双曲线上方，此时，1x <-或03x <<，故选：A ．19．C【分析】先利用待定系数法求出开机加热时一次函数关系式()730010y x x =+≤≤，进而求出当50y =时x 的值，再求出关机降温时反比例函数关系式1000100103y x x ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，进而求出当50y =时x 的值，观察可知饮水机的一个循环周期为1003分钟，每一个循环内，在2007x ≤≤及100203x ≤≤时间段内，水温不超过50℃，最后逐项判断即可．【详解】解：∵开机加热时间每分钟上升7℃，∴从30℃到100℃需要10分钟．设一次函数关系式为1y k x b =+，将点(0,30)，(10,100)代入1y k x b =+，得13010100b k b =⎧⎨+=⎩，解得1730k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数关系式为()730010y x x =+≤≤，令50y =，则73050x +=，解得：207x =，设反比例函数关系式为k y x=，将点(10,100)代入关系式，得10010k =，解得1000k =，∴反比例函数关系式为1000y x =，将30y =代入1000y x =，得1003x =，∴1000100103y x x ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭．令50y =，解得20x =，∴饮水机的一个循环周期为1003分钟，每一个循环内，在2007x ≤≤及100203x ≤≤时间段内，水温不超过50℃．∵7:20至8:45之间有85分钟，1005585218.3333-⨯=≈，不在2007x ≤≤及100203x ≤≤时间段内，A 选项不符合题意；∵7:30至8:45之间有75分钟，100257528.3333-⨯=≈，不在2007x ≤≤及100203x ≤≤时间段内，B 选项不符合题意；∵7:45至8:45之间有60分钟，100806026.6733-=≈，在2007x ≤≤及100203x ≤≤时间段内，C 选项符合题意；∵8:00至8:45之间有45分钟，100354511.6733-=≈，不在2007x ≤≤及100203x ≤≤时间段内，D 选项不符合题意；．故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求一次函数关系式，求反比例函数关系式，求自变量的值，从图像中获取信息是解题的关键．20．D【分析】利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式，然后逐项分析即可解答．【详解】解：A 、设反比例函数的解析式为k y x=，把()1200，代入得，200k =，∴反比例函数的解析式为：200y x=，∵当4x =时，50y =，4∴月份的利润为50万元，正确，不合题意；B 、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，正确，不合题意；C 、设一次函数解析式为：y kx b =+，则4506110k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：3070k b =⎧⎨=-⎩，故一次函数解析式为：3070y x =-，当200y =时，2003070x =-，解得：9x =，∴治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，正确，不合题意．D 、当100y =时，200100x=，解得：2x =，∴只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，不正确，符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确求出函数解析是解题关键．21．A【分析】本题主要考查反比例函数，掌握平行四边形的性质和反比例函数图象的坐标特征是解题的关键．过点C 作CE y ⊥轴，延长BD 交CE 于点F ，易证COE ABD ≌，求得OE =BCD S ∆=9CF =，得到点D 的纵坐标为(C m ，则(9D m +，，由反比例函数(0)k y x x =<的图象经过C ，D 两点，从而求出m ，进而可得k 的值．【详解】解：过点C 作CE y ⊥轴，延长BD 交CE 于点F ，四边形OABC 为平行四边形，AB OC ∴ ，AB OC =，1COE ∴∠=∠，BD Q 与y 轴平行，1ABD ∴∠=∠，90ADB ∠=︒，COE ABD ∴∠=∠，在COE 和ABD △中，ADB CEOCOE ABD OC AB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)COE ABD ∴ ≌，3OE BD ∴=19322BDC S BD CF =⋅= 9CF ∴=，120BDC ∠=︒ ，60CDF ∴∠=︒，33DF \=点D 的纵坐标为3设(3)C m ，则(9D m +，43)，反比例函数(0)ky x x =<的图象经过C ，D 两点，343(9)k m m ∴=+，12m ∴=-，123k ∴=-故选：A22．B【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，设点(),A a b ，得到()152ABP S n m =-+= ，设设点(),C r s ，则rs m =，根据11222PCD S rs === 求出4m =，即可得到答案．【详解】解：设点(),A a b ，则rs m =，∵AB x 轴，∴点B 的纵坐标是b ，∵点B 在()20n l y n x=<：上，∴点,n B b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴n AB a b=-，点P 到AB 的距离为b -，∵()()()()11112222ABP n S AB b a b n ab n m b ⎛⎫=⋅-=-⋅-=-+=-+ ⎪⎝⎭ ，∴()152n m -+=，设点(),C r s ，则rs m =，∵过C 点作CD y ⊥轴于D 点，∴CD r =-，点P 到CD 的距离为s -，∴()()()111122222PCD S DC s r s rs m =⋅-=-⋅-=== ，即4m =，∴()1452n -+=，∴6n =-故选：B23．D【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到结论．【详解】解：设I 与R 的函数关系式是()0U I R R =>，∵该图象经过点()880,0.25P ，∴0.25880U =，∴220U =，∴I 与R 的函数关系式是()2200I R R=>，故选项B 不符合题意；当0.25R =时，880I =，当1000R =时，0.22I =，∵反比例函数()0U I R R=>，I 随R 的增大而减小，当0.25R <时，880I >，当1000R >时，0.22I <，故选项A ，C 不符合题意；∵0.25R =时，880I =，当1000R =时，0.22I =，∴当8801000R <<时，I 的取值范围是0.220.25I ＜＜，故D 符合题意；故选：D ．24．C【分析】本题主要考查反比例函数的性质，一次函数的应用，理解图像的意思是解题的关键．根据图中信息一一判断即可．【详解】解：A 、由图可知：经过5min 集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到310mg /m ，选项A 正确，不符合题意；B 、当5x ≤时，设函数关系式为y kx =，将(5,10)代入得105k =，解得2k =，故此时函数关系式为2y x =，当4x =时，28y x ==，故室内空气中的含药量不低于38mg /m 的持续时间达到了11min ，选项B 正确，不符合题意；C 、当15x >时，设函数关系式为m y x =，将(15,8)代入得815m =，解得120m =，故此时函数关系式为120y x =，当5y =时，25x =或1205x=，解得 2.5x =或24，由于24 2.521.524-=<，选项C 错误，符合题意；D 、当5x ≤时，函数关系式为2y x =，2y =时，1x =，当15x >时，函数关系式为120y x=，2y =时，60x =，60159-=，当室内空气中的含药量低于32mg /m 时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到32mg /m 开始，需经过59min 后，学生才能进入室内，选项D 正确，不符合题意；故选C ．25．20y -<<【分析】由338x y ⋅=-可得出2xy =-，结合x 的取值范围，即可求出y 的取值范围．【详解】解：333()8x y xy ⋅==- ，2xy ∴=-，2y x∴=-．又1x >Q ，20y ∴-<<．故答案为：20y -<<．【点睛】本题考查了反比例函数，立方根、幂的乘方与积的乘方以及实数大小比较，牢记()n n n ab a b =是解题的关键．26．12/0.5【分析】先表示出点D 的坐标，根据点C 、点D 均在函数k y x =上，构造方程求解即可；【详解】解：点(3,)C n 向下平移2个单位，再向左平移4个单位得(,)n --12；∴(,)D n --12∵点C 、点D 均在函数k y x =上∴3k n =，()k n =--2∴()n n =--32解得：12n =故答案为：12【点睛】本题考查了反比例函数的性质、平面直角坐标系中点的平移变换；熟练掌握反比例函数图像与函数表达式的关系是解题的关键．27．﹣1＜k ＜1【分析】根据函数值的大小关系，判别函数的图象位置，根据位置判定比例系数的大小，再解不等式．【详解】因为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）为函数21k y x-=图象上的两点，且x 1＜0＜x 2，y 1＞y 2，所以函数图象分支在二、四象限所以k 2-1<0解得﹣1＜k ＜1故答案为：﹣1＜k ＜1【点睛】考核知识点：反比例函数的图象．数形结合，熟记反比例函数的性质是关键．28．12【分析】四个数任取两个有6种可能．要使图象在第四象限，则k<0，找出满足条件的个数，除以6即可得出概率．【详解】依题可得，任取两个数的积作为k 的值的可能情况有6种（1，2）、（1，3）、（1，-4）、（2，3）、（2，-4）、（3，-4），要使反比例函数y=kx 的图象在第二、四象限，则k ＜0，这样的情况有3种即（1，-4）、（2，-4）、（3，-4），故概率为：36=12.【点睛】本题考查反比例函数的选择，根据题意找出满足情况的数量即是解题关键.29．一、三/三、一【分析】直接点()23P ，代入()0k y k x =≠求出k 的值,然后根据k 的正负即可解答．【详解】解：∵反比例函数()0k y k x=≠的图像经过点()23P ，，∴32k=，即60k =>，∴该反比例函数的图像在第一、三象限．故答案为一、三．【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的性质等知识点，根据反比例函数的性质确定函数图像所在的象限是解答本题的关键．30．12/0.532y <-或0y >【分析】（1）根据在反比例函数上的点可得11226x y x y ==，即可求解；（2）根据已知条件，结合（1）的结论可得23x =-，11x =-，进而根据反比例函数图象的性质即可求解．【详解】解：（1）∵点()11,P x y ，()22,Q x y 在反比例函数6y x =图象上．∴11226x y x y ==∴1221x y x y =∵122x x =，。

专题11.27反比例函数（最值问题）（巩固篇）（专项练习）反比例函数中最值问题主要包括两方面内容：一个是利用反比例函数的增减性求最值；另一个是利用几何最短路径（垂线段最短、两点之间线段最短）求最值问题，还有就是利用非负性求最值，本专题以基础、巩固、培优三个梯度精选了部分最值问题供大家选择使用。

一、单选题1．设函数y 1＝k x ，y 2＝﹣kx（k ＞0）．当﹣3≤x ≤﹣2时，y 1的最大值为a ，y 2的最小值为a +2，则实数a 与k 的值为（）A ．a ＝3，k ＝1B ．a ＝﹣1，k ＝﹣1C ．a ＝3，k ＝3D ．a ＝﹣1，k ＝32．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数()0ky x x=>的图象与边长是8的正方形OABC 的两边AB ，BC 分别相交于M ，N 两点，OMN 的面积为7.5．若动点P 在x 轴上，则PM ＋PN 的最小值是（）A ．15B CD ．103．如图，Rt ABC 位于第一象限，22AB AC ==，，直角顶点A 在直线y x =上，其中点A 的横坐标为1，且两条直角边AB 、AC 分别平行于x 轴、y 轴，若函数(0)ky k x=≠的图象与ABC 有交点，则k 的最大值是（）A ．5B ．4C ．3D ．24．如图，点()11,A x y ，()22,B x y 分别是反比例函数11k y x=与22ky x =在第一象限图象上的动点．①21k k >②当12y y =时，21x x >；③OAB 的面积可能是212k k -；④OA OB +的最．以上结论中正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．已知反比例函数5y x=，若5x，则函数y 有（）A ．最大值1B ．最小值1C ．最大值0D ．最小值06．如图，点A （a ，1），B （b ，3）都在双曲线3y x=-上，点P ，Q 分别是x 轴，y 轴上的动点，则四边形ABQP 周长的最小值为（）A ．42B ．62C ．2102+D ．827．已知反比例函数(0),ky k x=≠当21x -≤≤-时，y 的最大值是3,则当6x ≥时，y 有（）A ．最大值12-B ．最大值1-C ．最小值12-D ．最小值1-8．如图所示，已知A （1，y 1），B （2，y 2）为反比例函数y 2=x图象上的两点，动点P（x ，0）在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大值时，点P 的坐标是（）A ．（3，0）B ．（72，0）C ．（53，0）D ．（52，0）9．在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx 与双曲线y ＝4x的图象交于A ，B 两点，点P 在x 轴的正半轴上，若PA ⊥PB ，则OP 的最小值是（）A ．4B ．2C ．D ．10．如图，(0,1)A ，(1,5)B 曲线BC 是双曲线(0)ky k x=≠的一部分．曲线AB 与BC 组成图形G ．由点C 开始不断重复图形G 形成一条“波浪线"．若点()2025,P m ，(,)Q x n 在该“波浪线上，则m 的值及n 的最大值为（）A ．1m =，1n =B ．5m =，1n =C ．1m =，5n =D ．1m =，4n =二、填空题11．如图，一次函数6y x =与反比例函数(0)ky k x=>的图象交于点A ，B 两点，点C 在x 轴上运动，连接AC ，点Q 为AC 中点，若点C 运动过程中，OQ 的最小值为2，则k =_______________．12．如图，已知点(1)(31)A m m B m m ++-，，，都在反比例函数1(0)k y x x=>的图象上．将线段AB 沿直线2y k x b =+进行对折得到线段11A B ，且点1A 始终在直线OA 上．当线段11A B 与x 轴有交点时，b 的取值的最大值是____．13．设函数1ky x =，2(0)k y k x-=>，当23x ≤≤时，函数1y 的最大值为a ，函数2y 的最小值为4a -，则=a _____．14．如图，矩形OABC 的面积为4，反比例函数ky x=的图象与矩形的两边AB 、BC 分别交于点E 、F ，则四边形OAEF 的面积最大值为_________．15．观察理解：当a ＞0，b ＞0时，20≥，∴0a b -≥，由此可得结论：a b +≥．即对于正数a ，b ，当且仅当a =b 时，代数式a b +取得最小值问题解决：如图，已知点P 是反比例函数4y x=（x ＞0）图象上一动点，A （1-，1），则△POA 的面积的最小值为________．16．如图，在平面直角线坐标系中，点A ，B 在反比例函数5y x=的图象上运动，且始终保持线段AB =M 为线段AB 的中点，连接OM ，则线段OM 的长度最小值是___________．17．已知直线()0y ax a =>与双曲线2y x=相交于点()11,P x y ，()22,Q x y ，则1212x x x +的最大值是__________．18．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数(0)k y x x=>的图象与边长是3的正方形OABC 的两边AB ，BC 分别相交于D ，E 两点，ODE 的面积为52，若动点P 在y 轴上，则PD PE +的最小值是______．三、解答题19．如图1，木匠陈师傅现有一块五边形ABFED 木板，它是矩形ABCD 木板用去CEF △后的余料，4=AD ，5AB =，1DE =，F 是BC 边上一点．陈师傅打算利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在AD 上．(1)[初步探究]当2BF =时．①若截取的矩形有一边是DE ，则截取的矩形面积的最大值是______；②若截取的矩形有一边是BF ，则截取的矩形面积的最大值是______；(2)[问题解决]如图2，陈师傅还有另一块余料，90BAF AFE ∠=∠=︒，1AB EF ==，3CD =，8AF =，CD AF ∥，且CD 和AF 之间的距离为4，若以AF 所在直线为x 轴，AF 中点为原点构建直角坐标系，则曲线DE 是反比例函数ky x=图象的一部分，陈师傅想利用该余料截取一块矩形MNGH 材料，其中一条边在AF 上，所截矩形MNGH 材料面积是736．求GN 的长．20．如图，一次函数y mx n =+()0m ≠的图象与反比例函数ky x=()0k ≠的图象交于第二、四象限内的点(),3A a 和点()6,B b ．过点A 作x 轴的垂线，垂足为点C ，AOC 的面积为3(1)分别求出一次函数y mx n =+()0m ≠与反比例函数ky x=()0k ≠的表达式；(2)结合图象直接写出kmx n x>＋的解集；(3)在x 轴正半轴上取点P ，使PA PB -取得最大值时，求出点P 的坐标．21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图象经过点()()0420A B -，、，，交反比例函数y mx=()0x ＞的图象于点()3C a ，，点P 在反比例函数的图象上，横坐标为()03n n PQ y ＜＜，轴交直线AB 于点Q ，D 是y 轴上任意一点，连接PD QD 、．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求DPQ 面积的最大值．22．阅读与思考(1)填空：已知0x >，只有当x =______时，4x x+有最小值，最小值为______．(2)如图，P 为双曲线()60y x x=>上的一点，过点P 作PC x ⊥轴于点C ，PD y ⊥轴于点D ，求PC PD +的最小值．23．某企业生产一种必需商品，经过长期市场调查后发现：商品的月总产量稳定在600件．商品的月销量Q (件）由基本销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价工（元/件）（10x ≤）成反比例，且可以得到如下信息：售价x （元/件）58商品的销售量Q （件）580400(1)求Q 与x 的函数关系式．(2)若生产出的商品正好销完，求售价x ．(3)求售价x 为多少时，月销售额最大，最大值是多少？24．如图1，矩形OABC 的顶点A 、C 分别落在x 轴、y 轴的正半轴上，点()4,3B ，反比例函数(0)k y x x=>的图象与AB 、BC 分别交于D 、E 两点，1BD =，点P 是线段OA 上一动点．(1)求反比例函数关系式和点E 的坐标；(2)如图2，连接PE 、PD ，求PD PE +的最小值；(3)如图3，当45PDO ∠=︒时，求线段OP 的长．参考答案1．D【分析】先利用反比例函数的增减性分别用含k 的代数式表示y 1的最大值，y 2的最小值，再解方程组即可.解： 函数y 1＝kx（k ＞0），当﹣3≤x ≤﹣2时，y 1的最大值为a ，∴当3x =-时，1y 最大，此时,3ka =- y 2＝﹣kx（k ＞0），y 2的最小值为a +2，∴当3x =-时，2y 最小，此时2,3k a +=2,33k k∴-+=解得：3,k =31,3a ∴=-=-故选D【点拨】本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解本题的关键.2．B【分析】作点M 关于x 轴的对称点M '，连接M N '，与x 轴的交点为P ，此时PM ＋PN 的值最小，根据正方形的边长为8，表示出M ，N 点坐标，再根据△OM N 的面积即可求出k 的值，进一步求出M ，N ，M '的坐标，即可求出PM ＋PN 的最小值M N '的值．解：如图，作NE ⊥x 轴交OM 于点F ，作点M 关于x 轴的对称点M '，连接M N '，与x 轴的交点为P ，此时PM ＋PN 的值最小，∵正方形OABC 的边长为8，且M ，N 在反比例函数图象上，∴8,8k M ⎛⎫⎪⎝⎭，,88k N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵12OEN OAM S k S ==△△，∴OFN AEFM S S =△四边形，∴OMN OFN FMN FMN AEFM S S S S S =+=+△△△△四边形∴1887.5288OMN AENM k k S S ⎛⎫⎛⎫==⨯-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭△梯形，解得：56k =，∴()8,7M ，()7,8N ，∴()8,7M '-，∴()()227887226M N '=-++=，即PM ＋PN 226．故选：B ．【点拨】本题考查了反比例函数与正方形的综合，根据正方形的性质以及反比例函数图象上点的特征求出点M 和N 的坐标是解决本题的关键．3．B【分析】设直线y =x 与BC 交于E 点，分别过A ，E 两点作x 轴的垂线，垂足为D ，F ，EF 交AB 于M ，求出A ，E 点坐标，即可求出k 的取值范围，进一步可知k 的最大值．解：如图，设直线y =x 与BC 交于E 点，分别过A .E 两点作x 轴的垂线，垂足为D ，F ，EF 交AB 于M ，∵A 点的横坐标为1，A 点在直线y =x 上，∴A (1,1)，又∵AB =AC =2，AB x 轴，AC y 轴，∴B (3,1)，C (1,3)，且ABC 为等腰直角三角形，BC 的中点坐标为3113(,)22++，即为(2,2)，∵点(2,2)满足直线y =x ，∴点(2,2)即为E 点坐标，E 点坐标为(2,2)，∴k =OD ×AD =1，或k =OF ×EF =4，当双曲线与△ABC 有交点时，1⩽k ⩽4，即k 的最大值为：4故选：B【点拨】本题考查一次函数与双曲线函数的综合，等腰直角三角形性质，中点坐标表示方法，解题的关键是求出E 点坐标为(2,2)，利用点A ，E 坐标求出k 的取值范围．4．A【分析】由图象可直接判断①；当y 1＝y 2时，作出图形，可直接判断②；在②的基础上可得出△OAB 的面积，进而可判断③；当OA ＋AB 最小时，需要OA 最小且OB 最小时取得，只需要分别求出OA 和OB 的最小值即可判断④．解：当x 1＝x 2＝1时，y 1＝k 1，y 2＝k 2，显然y 2＞y 1，则k 2＞k 1.故①正确；当y 1＝y 2时，x 2＝22k y ，x 1＝11k y ，由k 2＞k 1可得x 2＞x 1.故②正确；当y 1＝y 2时，如图所示，此时△OAB 的面积可能是212k k -，故③正确；当OA ＋AB 最小时，需要OA 最小且OB 最小时取得，设点A 的坐标为（m ，n ），∴OA 2＝m 2＋n 2≥2mn ＝2k 1，当且仅当m ＝n 时，OA 12k 同理可得OB 22k∴OA＋OB，故④正确．综上可得，正确的有：①②③④，共4个，故选：A．【点拨】本题主要考查反比例函数中k的几何意义，关键是知道当OA＋AB最小时，需要OA最小且OB最小时取得．5．A【分析】利用反比例函数的性质，由x的取值范围并结合反比例函数的性质解答即可．解：∵k=5＞0，∴在每个象限内y随x的增大而减小，又∵当x=5时，y=1，∴当x＞5时，y＜1；∴函数y有最大值1故选：A．【点拨】本题主要考查反比例函数的性质，当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限，y随x的增大而增大．6．B【分析】先把A点和B点的坐标代入反比例函数解析式中，求出a与b的值，确定出A与B坐标，再作A点关于x轴的对称点D，B点关于y轴的对称点C，根据对称的性质得到C点坐标为（1，3），D点坐标为（-3，-1），CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，根据两点之间线段最短得此时四边形ABPQ的周长最小，然后利用两点间的距离公式求解可得．解：∵点A（a，1），B（b，3）都在双曲线y=-3x上，∴a×1=3b=-3，∴a=-3，b=-1，∴A（-3，1），B（-1，3），作A点关于x轴的对称点D（-3，-1），B点关于y轴的对称点C（1，3），连接CD，分别交x轴、y轴于P点、Q点，此时四边形ABPQ的周长最小，∵QB=QC，PA=PD，∴四边形ABPQ 周长=AB+BQ+PQ+PA=AB+CD ，∴CD ==，∴四边形ABPQ 周长最小值为，故选：B ．【点拨】此题考查反比例函数的综合题，勾股定理，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、熟练运用两点之间线段最短解决有关几何图形周长最短的问题是解题的关键．7．C【分析】由函数经过第二象限，可确定k ＜0，则在21x --上，y 值随x 值的增大而增大，即可确定函数的解析式为3y x=-，由此可求解．解：∵当21x --时，y 的最大值是3，∴反比例函数经过第二象限，∴k ＜0，∴在21x --上，y 值随x 值的增大而增大，∴当x =—1时，y 有最大值—k ，∵y 的最大值是3，∴—k =3，∴k =—3，∴3y x=-，当6x 时，3y x=-有最小值12-，故选：C ．【点拨】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握反比例函数的图象及性质，通过所给条件确定k ＜0是解题的关键．8．A思路引领：求出A 、B 的坐标，设直线AB 的解析式是y ＝kx +b ，把A 、B 的坐标代入求出直线AB 的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP 中，|AP ﹣BP |＜AB ，延长AB 交x 轴于P ′，当P 在P ′点时，PA ﹣PB ＝AB ，此时线段AP 与线段BP 之差达到最大，求出直线AB 于x 轴的交点坐标即可．解：∵把A （1，y 1），B （2，y 2）代入反比例函数y 2x=得：y 1＝2，y 2＝1，∴A （1，2），B （2，1），∵在△ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|AP ﹣BP |＜AB ，∴延长AB 交x 轴于P ′，当P 在P ′点时，PA ﹣PB ＝AB ，即此时线段AP 与线段BP 之差达到最大，设直线AB 的解析式是y ＝kx +b ，把A 、B 的坐标代入得：221k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：k ＝﹣1，b ＝3，∴直线AB 的解析式是y ＝﹣x +3，当y ＝0时，x ＝3，即P （3，0）．故选：A ．9．D【分析】由图象的对称性可得OA OB =，从而可得OP OA =，设点A 坐标为4,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而求解．解：如图，直线y kx =与双曲线4y x=的图象关于原点成中心对称，OA OB ∴=，即点O 为AB 中点，PA PB ⊥ ，∴在Rt APB ∆中，12OP AB OA ==，设点A 坐标为4,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则OP OA ===∴当4m m=，即2m =时，OP 取最小值为故选：D ．【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握反比例函数的性质，掌握函数与方程的关系，掌握直角三角形斜边中线长度等于斜边的一半．10．C【分析】根据题意利用点B 的坐标可以求k 的值，然后根据图象可知每5个单位长度为一个循环，从而可以求得m 的值和n 的最大值．解：∵点(1,5)B 在双曲线(0)k y k x=≠的图象上，∴5k =，∵(0,1)A ，曲线AB 与BC 组成图形G ．由点C 开始不断重复图形G 形成一线“波浪线”．∴C 的纵坐标为1，∵点C 在5(0)y k x =≠的图象上，点C 的纵坐标为1，∴点C 的横坐标是5，∴点C 的坐标为()5,1，∵20255405÷=，∴()2025,P m 中1m =，∵(,)Q x n 在该“波浪线”上，∴结合图象，可知n 的最大值是5．综上所述，1m =，5n =．故选：C ．【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11．83【分析】如图（见分析），先根据一次函数与反比例函数的性质可得点O 是AB 的中点，再根据三角形中位线定理可得12OQ BC =，从而可得BC 的最小值为4，然后根据垂线段最短可得当BC x ⊥轴时，BC 取得最小值，从而可得此时点B 的纵坐标为4-，最后代入一次函数的解析式可得点B 的坐标，将其代入反比例函数的解析式即可得．解：如图，连接BC ，由题意得：点O 是AB 的中点，点Q 为AC 的中点，OQ ∴是ABC 的中位线，12OQ BC ∴=， 点C 运动过程中，OQ 的最小值为2，∴点C 运动过程中，BC 的最小值为4，由垂线段最短得：当BC x ⊥轴时，BC 取得最小值，∴此时点B 的纵坐标为4-，将4y =-代入一次函数6y x =得：64x =-，解得23x =-，即2(,4)3B --，将2(,4)3B --代入反比例函数k y x=得：()28433k =-⨯-=，故答案为：83．【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．12．7916【分析】由题可得m （m +1）=（m +3）（m -1），解这个方程求出m 的值，由于点A 关于直线y =kx +b 的对称点点A 1始终在直线OA 上，因此直线y =kx +b 必与直线OA 垂直，只需考虑两个临界位置（A 1在x 轴上、B 1在x 轴上）对应的b 的值，就可以求出b 的取值范围，再确定b 的最大值．解：∵点A （m ，m +1），B （m +3，m -1）都在反比例函数y=k x的图象上．∴m（m+1）=（m+3）（m-1）．解得：m=3．①当点B1落到x轴上时，如图1，设直线OA的解析式为y=ax，∵点A的坐标为（3，4），∴3a=4，即a=4 3．∴直线OA的解析式为y=43x．∵点A1始终在直线OA上，∴直线y=kx+b与直线OA垂直．∴43k=-1．∴k=3 4-．∴直线y=34-x+b，由于BB1∥OA，可设直线BB1解析式为y=43x+c．∵点B的坐标为（6，2），∴43×6+c=2，即c=-6．∴直线BB1解析式为y=43x-6．当y=0时，43x-6=0．则有x=92．∴点B1的坐标为（92，0）．∵点C是BB1的中点，∴点C的坐标为（96+22，2+02）即（214，1）．∵点C 在直线y =-34x +b 上，∴34-×214+b =1．解得：b =7916．②当点A 1落到x 轴上时，如图2，此时，点A 1与点O 重合．∵点D 是AA 1的中点，A （3，4），A 1（0，0），∴D （32，2）．∵点D 在直线y =34-x +b 上，∴34-×32+b =2．解得：b =258．综上所述：当线段A 1B 1与x 轴有交点时，则b 的取值范围为258≤b ≤7916．b 的取值的最大值是7916，故答案为：7916．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,中点坐标公式待定系数法求一次函数解析式，等知识，利用线段A 1B 1与x 轴有交点时，分类讨论A 1、B 1在x 轴上的思想方法，是一道好题．13．2【分析】首先根据k 与x 的取值分析函数1k y x=，()20k y k x =->的增减性，根据增减性确定最值，进而求解．解：∵k ＞0，2≤x ≤3，∴y 1随x 的增大而减小，y 2随x 的增大而增大，∴当x ＝2时，y 1取最大值，最大值为2k =a ①；当x ＝2时，y 2取最小值，最小值为−2k ＝a −4②；由①②得a ＝2，k ＝4，故答案为：2．【点拨】本题考查了反比例函数的性质，关键是能根据反比例函数的增减性确定最值．14．52【分析】设B （a ，b ），则ab =4，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得E 点，F 点的坐标，进而可得关于BE ，BF 长度的代数式，根据三角形的面积公式，以及反比例函数系数k 的几何意义，得到关于四边形OAEF 的面积的代数式，利用二次函数的最值求解即可．解：设B （a ，b ），则ab =4，E （k b ，b ），F （a ，k a），则四边形OAEF 的面积为：OCF BEFABOC S S S --△△矩形11=422k k k a b b a ⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()215282k =--+，故当k =2时，四边形OAEF 的面积最大，最大面积为：52．故答案为：52．【点拨】本题考查反比例函数，以及反比例函数的系数k 的几何意义，熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．15．2【分析】将△POA 的面积表示出来，再结合材料所给的信息，即可求解．解：过点P 作y 轴的垂线，与过点A 作的x 轴的垂线交于点B ，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点C ，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点D ，如图，∵点P 是反比例函数4y x=（x ＞0）图象上一动点，设点4()P a a，，其中a >0，∵A （1-，1），∴44111BP a AB BC PD AC CO OD a a a=+=-=====，，，，，∴POA ABP ACO DOPBCDP S S S S S =---△△△△矩形111222BP BC AB BP AC CO OD PD =⋅-⋅-⋅-⋅414114(1)(1)(1)11222a a a a a a=+⋅--+-⨯⨯-⋅22a a =+，∵a >0，∴2002a a >>，，∴222a a +≥=，∴对于正数22a a ，，当且仅当22a a =时，代数式22a a +取得最小值为2．∴△POA 的面积的最小值为2．故答案为：2．【点拨】本题考查了反比例函数与三角形面积的综合应用，解题的关键是读懂材料．16．【分析】如图，当OM AB ⊥时，线段OM 长度的最小．首先证明点A 与点B 关于直线y x =对称，因为点A ，B 在反比例函数5y x =的图象上，AB =，所以可以假设5,A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则54,4B m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则()5445m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，整理得254m m =+，推出()1,5A ，()5,1B ，可得()3,3M ，求出OM 即可解决问题．解：如图，因为反比例函数关于直线y x =对称，观察图象可知：当线段AB 与直线y x =垂直时，垂足为M ，此时AM BM =，OM 的值最小，∵M 为线段AB 的中点，∴OA OB =，∵点A ，B 在反比例函数5y x=的图象上，∴点A 与点B 关于直线y x =对称，∵AB =，∴设5,A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则54,4B m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，∴()5445m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，整理得254m m =+，解得：1m =（负值舍去），∴()1,5A ，()5,1B ，∴()3,3M ，∴OM =，∴线段OM 的最小值为故答案为：【点拨】本题主要考查了反比例函数的综合，勾股定理，垂直平分线的性质，轴对称性质，判断OM 取得最小值时A ，B 两点的位置，熟练掌握对称两点坐标的设法，函数解析式代入求值，由坐标计算线段长度的方法是解题的关键．17．1【分析】由题意易得12x x =-，则有()221211112211x x x x x x +=-+=--+，然后问题可求解．解：由直线y ax =与双曲线b y x=相交于点()()1122,,,P x y Q x y 可得：12x x =-，∴()221211112211x x x x x x +=-+=--+，∵()2110x --≤∴当11x =时，()2111x --+有最大值，最大值为1；故答案为1．【点拨】本题主要考查反比例函数及配方法求最值，熟练掌握反比例函数及完全平方公式进行变形是解题的关键．18【分析】由正方形OABC 的边长是3，得到点D 的横坐标和点E 的纵坐标为6，求得33k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，33k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据三角形的面积列方程得到()32D ，，()23E ，，作E 关于y 轴的对称点E '，连接E D '交y 轴于P ，则E D '的长PD PE =+的最小值，根据勾股定理即可得到结论．解：∵正方形OABC 的边长是3，∴点D 的横坐标和点E 的纵坐标为3，∴33k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，33k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴33k BE =-，33k BD =-，∵ODE 的面积为52，∴21115333332323232k k k ⎛⎫⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯-= ⎪⎝⎭，∴6k =或6-（舍去），∴()32D ，，()23E ，，作E 关于y 轴的对称点E '，连接E D '交y 轴于P ，则E D '的长PD PE =+的最小值，∵2CE CE '==，∴5BE '=，1BD =，∴DE ='．【点拨】本题考查了反比例函数的系数k 的几何意义，轴对称-最小距离问题，勾股定理，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键．19．(1)①4；②10；(2)72【分析】（1）①当DE 为矩形一条边，AD 为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大；②当BF 为矩形一条边，AB 为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大；（2）由题意可知()4,0A -，()4,0F ，()4,1B -，()4,1E ，再由E 点在函数k y x=图象上，求出反比例函数的解析式为4y x=，再求点()1,4D ，()2,4C -，用待定系数法求出直线BC 的解析式，设4,G t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则214,33H t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再由方程421473336S t t ⎛⎫=-+⋅= ⎪⎝⎭，求出t 的值即可求GN 的长．（1）解：①当DE 为矩形一条边，AD 为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大，4AD = ，1DE =，414S ∴=⨯=，∴截取的矩形面积的最大值4；故答案为：4；②当BF 为矩形一条边，AB 为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大，5AB = ，2BF =，5210S ∴=⨯=，∴截取的矩形面积的最大值10；故答案为：10；（2）解：8AF = ，()4,0A ∴-，()4,0F ，1AB EF == ，()4,1B ∴-，()4,1E ，E 点在函数k y x=图象上，4k ∴=，∴反比例函数的解析式为4y x =，CD 和AF 之间的距离为4，CD AF ∥，()14D ∴,，3CD = ，()2,4C ∴-，设直线BC 的解析式为y k x b '=+，4124k b k b ''-+=⎧∴⎨-+=⎩，解得327k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩'，372y x ∴=+，设4,G t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则214,33H t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，421473336S t t t ⎛⎫∴=-+⋅= ⎪⎝⎭，解得72t =，GN ∴的长为72．【点拨】本题考查了反比例函数的图象及性质，矩形的性质，矩形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键．20．(1)反比例函数的表达式为6y x =-，一次函数表达式为122y x =-+；(2)2x <－或06x <<；(3)()10,0P 【分析】（1）由AOC 的面积为3，可求出a 的值，确定反比例函数的关系式，把点B 坐标代入可求b 的值．（2）结合图像观察，求一次函数图像位于反比例函数图像的下方时，自变量x 的取值范围即可．（3）作对称点B 关于x 的对称点B '，直线AB '与x 轴交点就是所求的点P ，求出直线与x 轴的交点坐标即可．（1）解：根据题意，3AC =，3AOC S = ，∴2OC =，结合图形，可得()2,3A -，将()2,3A -代入k y x=得6k =-，∴反比例函数的表达式为6y x=-．把()6,B b 代入反比例函数得1b =-，∴()6,1B -，将()2,3A -和()6,1B -代入y kx m =+解得：2m =，12k =-，∴一次函数表达式为122y x =-+．（2）由图象可以看出的k mx n x+>解集为<2x -或06x <<．（3）解：如图，作点B 关于x 轴的对称点B '，连接AB '与x 轴交于P ，此时PA PB -最大．()6,1B -，∴()6,1B '，设直线AP 的关系式为y k x b ''=+，将()2,3A -，()6,1B '代入，解得14k '=-，52b '=，∴直线AP 的关系式为1542y x =-+，当0y =时，解得10x =，∴()10,0P ．【点拨】本题考查反比例函数的图像和性质、一次函数、轴对称以及待定系数法求函数关系式等知识，理解轴对称知识作图是解题的关键．21．(1)24y x =-；6y x=；(2)4【分析】（1）利用点()0,4A -、()2,0B 求解一次函数的解析式，再求C 的坐标，再求反比例函数解析式；（2）设6,,P n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭则(),24,Q n n -再表示PQ 的长度，列出三角形面积与n 的函数关系式，利用函数的性质可得答案．（1）解：把()()0420A B -，、，代入一次函数y kx b =+得：420b k b -⎧⎨+⎩＝＝，解得：24k b ⎧⎨-⎩＝＝，∴一次函数的关系式为24y x =-，∴把()3C a ，代入得2a =，∴将()32C ，代入k y x=得326k =⨯=，∴6y x =；（2）∵点P 在反比例函数的图象上，点Q 在一次函数的图象上03n ，＜＜，∴点6,P n n ⎫⎛ ⎪⎝⎭，点Q (),24n n -，∴()624PQ n n=--，∴()()22162423142PDQ S n n n n n n =--ù=-++=-ú-éê犏臌+△，∵10＜-，∴当1n =时，4PDQ S = 最大，所以，DPQ V 面积的最大值是4．【点拨】本题考查反比例函数、一次函数的解析式，将面积用函数的数学模型表示出来，利用函数的最值求解是解决问题的基本思路．22．(1)2,4；(2)【分析】（1）利用阅读材料的结论、并仿照阅读材料的例题解答即可；（2）设P 的坐标为6,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0x >，可得6,PD x PC x ==，然后根据阅读材料的结论解答即可．（1）解：令a x =，4b x =，由a b +≥44x x +≥=，∴44x x+≥，故当2m =时，4x x +有最小值4．故答案为2,4．（2）解：设P 的坐标为6,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0x >∴6,PD x PC x==∴6PC PD x x +=+≥=∴PC PD +的最小值为【点拨】本题主要考查了反比例函数的性质、完全平方公式的应用等知识点，读懂材料、理解a b +≥23．(1)2400100Q x=+；(2)4.8/元件；(3)当10x =时，月销售额最大，最大值为3400元【分析】（1）设k Q m x =+()m 为基本销售量，将()5580，、()8400，代入求解可得；（2）求出600Q =时x 的值即可得；（3）根据月销售额·1002400Q x x ==+且10x ≤可得．解：（1）设()k Q m m x=+为基本销售量，依题意，得58054008k m k m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得1002400m k =⎧⎨=⎩∴()240010010Q x x=+≤（2）当600Q =时2400100600x+=解得 4.8x =（3）依题意，得月销售额·1002400Q x x ==+∵1000>∴Q 随x 的增大而增大则当10x =时，月销售额最大，最大值为3400元【点拨】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式．24．(1)8y x =，8,33⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2)3；(3)103【分析】（1）根据题意求出点D 的坐标，进而求出反比例函数关系式，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点E 的坐标；（2）根据轴对称-最短路径确定点P 的位置，根据勾股定理计算，得到答案；（3）过点P 作PF OD ⊥于F ，根据勾股定理求出OD ，设PA m =，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理列出方程，解方程得到答案．解：（1） 点B 的坐标为()4,3，1BD =，∴点D 的坐标为()4,2，反比例函数k y x=的图象经过点D ，428k ∴=⨯=∴反比例函数的解析式为：8y x =，由题意得：当E 的纵坐标为3，∴点E 的横坐标为83，∴点E 的坐标为8，33⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）如图2，作点D 关于x 轴的对称点D ¢，连接ED '，交OA 于点P '，连接P D '，则P D P E ''+的值最小，由（1）可知，84433BE =-=由勾股定理得：3D E '==，PD PE ∴+的最小值为3；（3）如图3，过点P 作PF OD ⊥于F ，则PFD 为等腰直角三角形，2∴==PF DF4= OA ，2OD =，==OD设PA m =，则4,=-=OP m PD2∴==PF DF ，2∴=OF ，在Rt OPF 中，222=+OP PF OF ，即222(4))-=+m 整理得：2316120m m +-=解得122，63m m ==-（舍去）210433OP ∴=-=【点拨】本题考查的是矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、轴对称-最短路径以及勾股定理的应用，作出PD PE +的最小时，点P 的位置是解题的关键．。

03反比例函数全章复习反比例函数是指当自变量x的取值逐渐增加或减小时，因变量y的取值以相反的方式呈现增加或减小的关系。

反比例函数的一般形式可以表示为：y=k/x，其中k为常数。

1.反比例函数的定义域和值域：-定义域：由于除数x不能为0，所以反比例函数的定义域为除了0以外的所有实数。

-值域：当x取值无限增大或减小时，y的取值无限趋近于0，所以反比例函数的值域为除了0以外的所有实数。

2.反比例函数的图像特点：-图像关于y轴对称：由于函数中存在y=k/x的形式，易知对于任意实数x，有k/x=-k/(-x)，所以反比例函数的图像关于y轴对称。

-对称点：当x=1时，y=k/1=k，所以反比例函数的对称点为(1,k)。

-渐近线：当x趋近于正无穷大或负无穷大时，y趋近于0，即y轴为反比例函数的横渐近线。

反比例函数没有纵渐近线。

3.反比例函数的性质和性质的证明：-性质1：当x1x2=k时，有y1y2=k，即反比例函数中，两个点的横纵坐标的乘积等于常数k，所以函数的性质1成立。

（证明：由于y=k/x，所以y1y2=(k/x1)(k/x2)=k^2/(x1x2)=k）-性质2：当x1x2≠0时，有y1/y2=x2/x1，即反比例函数中，两个点的横纵坐标的比值等于它们对应的因变量的比值，所以函数的性质2成立。

（证明：由于y=k/x，所以y1/y2=(k/x1)/(k/x2)=(x2/x1)）-性质3：当常数k>0时，函数图像在第一象限与第三象限上，随着x的增大，y逐渐减小；当常数k<0时，函数图像在第二象限与第四象限上，随着x的增大，y逐渐增大。

（证明：由于y=k/x，当k>0时，当x增大时，y=k/x逐渐减小；当k<0时，当x增大时，y=k/x逐渐增大）4.反比例函数的应用：- 比例尺：在地图或设计图中，如果1cm表示1000m，那么可以用反比例函数来表示比例尺关系。

-电阻电流关系：欧姆定律中，电阻R与通过它的电流I成反比例关系，即R=k/I。

第十七章 反比例函数第1节 反比例函数 本节内容：1、 反比例函数定义 反比例函数定义的应用（重点）函数：在某变化过程中有两个变量x ，y.若给定其中一个变量x 的值，y 都有唯一确定的值与它对应,则称y 是x 的函数. 1、反比例函数的定义一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成xky =k (为常数，)0≠k 的形式，那么称y 是x 的反比例函数。

其中x 是自变量，y 是函数.自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数。

注：（1）x ky =也可以写成1-=kx y 或k xy =的形式； （2）xky =若是反比例函数，则x 、y 、k 均不为零；（3）k xy =)0(>k 通常表示以原点及点()y x ,为对角线顶点的矩形的面积； （4）因变量y 的取值范围是y≠0的一切实数。

■例1：下列函数中是反比例关系的有 （填序号）。

①3x y -= ②131+=x y ③x y 2-= ④2211x y -= ⑤x y 23-=⑥21=xy ⑦28x y = ⑧1-=x y ⑨2=x y ⑩x ky =k (为常数，)0≠k■例2：当m 取什么值时，函数是反比例函数？2、 反比例函数定义的应用（重点）确定解析式的方法仍是 待定系数法 ，由于在反比例函数xky =中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值，即可求出k 的值，从而确定其解析式。

■例3由欧姆定律可知，电压不变时，电流强度I 与电阻R 成反比例，已知电压不变，电阻R=12.5欧姆，电流强度I=0.2安培。

（1） 求I 与R 的函数关系式； （2） 当R=5欧姆时，求电流强度。

■例4：已知函数y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝4；当x ＝2时，y ＝5（3） 求y 与x 的函数关系式 （4） 当x ＝－2时，求函数y 的值第2节 反比例函数的图象与性质本节内容：反比例函数的图象及其画法 反比例函数的性质（重点）反比例函数xky =)0(≠k 中的比例系数k 的几何意义（难点） 反比例函数与正比例函数图象的交点 1、 反比例函数的图象及其画法 反比例函数图象的画法——描点法：（1） 列表——自变量取值应以0（但(x≠0)为中心，向两边取三对（或三对以上）互为相反数的数，再求出对应的y 的值；（2） 描点——先描出一侧，另一侧可根据中心对称点的性质去找；（3） 连线——按照从左到右的顺序连接各点并延伸，注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交。

反比率函数中考复习 ( 知识点 +题型分类练习 )知识点梳理1、反比率函数的观点：一般地；假如两个变量x； y 之间的关系能够表示成y= k〔 k 为常数； k 不等于 0〕的形式；那么称y 是 x 的反比率函数。

从y=k中可知；x xx 作为分母；因此不可以为零。

注 : 反比率函数的其余两种表达式：或2、画反比率函数图象时要注意以下几点：⑴列表时自变量的取值应取绝对值相等而符号相反的一对数值；这样既能够简化计算；又便于标点；⑵列表、描点时；要尽量多取一些数值；多描一些点；这样方便连线；⑶在连线时要用“圆滑的曲线〞；不可以用折线。

3、反比率函数的性质反比率函数k xk 的取值范围k k x x图象k k k k k k① x 的取值范围是x；x的① x 的取值范围是x ；x的取值k k性质取值范围是x范围是x②函数图象的两个分支分别在②函数图象的两个分支分别在第kk k第一、三象限；在每一个象限内x二、四象限；在每一个象限内x随 xk注意：x〔 1〕反比率函数是轴对称图形和中心对称图形；kk〔 2〕双曲线的两个分支都与x 轴、 x 轴无穷靠近；但永久不可以与坐标轴订交；〔 3〕在利用图象性质比较函数值的大小时；前提应是“在同一象限〞内。

k4、反比率函数系数x 的几何意义k k k k如图；过双曲线上随意一点P 〔 x ； x 〕作 x 轴； x 轴的垂线PM ；PN ；所得矩形的面积为kkkx∵ k∴ x ∴ x ；xk kk 即过双曲线上任一点作 x 轴； x 轴的垂线；所得矩形的面积为x注意：kk 值的符号。

①假定矩形的面积为x ；应依据双曲线的地点确立 ②在一个反比率函数图象上任取两点P ； Q ；分别过 P ； Q 作 x 轴、 y 轴的平行线；与坐标轴围 成的矩形面积为S ； S ；那么有 S ＝S 。

1212反比率函数常有题型分类汇总考点一、反比率函数的观点及分析式求解1.反比率函数y＝k的图象位于第一、第三象限；那么k 的取值范围是〔〕．xA.k ＞2≥ 2≤ 2＜ 2a2a22.〔 2021黑龙江〕在平面直角坐标系中；反比率函数y＝x的图象的两个分支分别在()A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限 D ．第三、四象限3.假定反比率函数y( 2m 1)x m22的图像在第二、四象限；那么m的值是〔〕1A.－1或 1B.小于 2 的随意实数C.－ 1D.不可以确立kn 的值是〔4．假定函数x是反比率函数；且它的图象在二、四象限内；那么〕C.0 或 1D.非上述答案5.y m2 5 x m2m 7是y对于x的反比率函数；且图象在第二、四象限；那么m的值为；6. y 与 x -1成反比率；当x =1 时；y= -1；那么；当 x = 2时； y 的值为；237. y 与 x 成正比率； z 与 y 成反比率；那么z 与 x 成 __________ 关系；当x 1时；y2；当y 2时； z=-2 ；那么当x=-2时；z______ ；8. y 与〔 2x+1〕成反比率且当x=0 时； y=2；那么当 x=－ 1 时； y=________。

反比例函数考点
1. 反比例函数的图像是什么样的呀？就像双曲线一样哦！比如当路程一定时，速度和时间不就是成反比例关系嘛，那图像就是有趣的双曲线。

2. 反比例函数中比例系数的意义重不重要呢？那可太重要啦！好比在做工程时，工作效率和工作时间成反比例，比例系数就反映了工程总量呀！
3. 怎么判断两个变量是否成反比例呀？好好想想看呀！像买苹果，单价和能买到的数量通常就是成反比例呢。

4. 反比例函数与正比例函数有啥区别呢？这区别可大啦！就像白天和黑夜的不同呢。

比如吸热时温度上升的情况，有时是正比例，有时却可能是反比例哦。

5. 反比例函数在生活中有哪些应用呀？多了去啦！比如在用电的时候，功率和用电时间不就是反比例关系嘛。

6. 怎样求反比例函数的解析式呢？这可得认真学哦！就像解方程一样找到关键。

像知道了两个人合作完成一项任务的时间和其中一人单独完成的时间，就能求出反比例函数解析式啦。

7. 反比例函数的单调性是怎么回事呀？哎呀，这可有意思了！就像坐过山车一样有上有下。

比如说压力一定时，受力面积和压强的关系。

8. 反比例函数的最值问题难不难呢？有点挑战哦！好比玩游戏冲关一样。

像分配资源的时候就会涉及到最值问题呢。

9. 反比例函数可真是神奇呀！它就在我们的生活和学习中到处出现呢，就像一个小魔术，总能带来意想不到的发现和乐趣！大家一定要好好掌握它呀！
我的观点结论：反比例函数考点多多，在数学中非常重要，要认真学习并加以运用哦。

中考数学复习《反比例函数》专题练习-附带参考答案一、选择题1．下列函数关系式中，y 是x 的反比例函数的是（ ）A ．y =x +3B ．y =x 3C ．y =3x 2D ．y =3x 2．若反比例函数y=6x 的图像经过点（﹣2，a ），则a 的值是（ ）A ．6B ．﹣2C ．﹣3D ．3 3．已知反比例函数y =−1x ，下列结论不正确．．．的是（ ） A ．该函数图象经过点(−1，1)B ．该函数图象位于第二、四象限C ．y 的值随着x 值的增大而增大D ．该函数图象关于原点成中心对称 4．反比例函数（其中），当时，y 随x 的增大而增大，那么m 的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ． 5．在同一直角坐标系中，函数y =−kx +k 与y =k x (k ≠0)的大致图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．6．反比例函数y =6x 图象上有三个点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)其中y 1<y 2<0<y 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是（ ）A ．x 1<x 2<x 3B ．x 3<x 1<x 2C ．x 2<x 1<x 3D ．x 3<x 2<x 1 7．如图，A 、B 是第二象限内双曲线y ＝k x 上的点，A 、B 两点的横坐标分别是a ，3a ，线段AB 的延长线交x轴于点C ，S △AOC ＝12．则k 的值为（ ）A ．﹣6B ．﹣5C ．﹣4D ．﹣38．如图，矩形OABC与反比例函数y1＝k1x（k1是非零常数，x＞0）的图象交于点M，N，与反比例函数y2＝k2x（k2是非零常数，x＞0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1﹣k2＝（）A．3 B．﹣3 C．32D．−32二、填空题9．已知点A(−3，2)在反比例函数y=kx的图象上，则k的值为．10．若点P1（﹣1，m），P2（﹣2，n）在反比例函数y=kx（k<0）的图象上，则m n．（填“＞”，“＜”或“=”）11．正比例函数y=k1x（k1≠0）和反比例函数y= k2x（k2≠0）的一个交点为（m，n），则另一个交点为12．如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC∥x轴，分别交y=2x (x>0)，y=kx(x<0)的图象于B，C两点，若△ABC的面积是3，则k的值为．13．如图，在平面直角坐标系中，过点M(－3，2)分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y＝4x的图象交于A，B两点，则四边形MAOB的面积为．三、解答题14．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，且．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）请直接写出不等式的解集．15．1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈!这就是有趣的“嗐转圈”现象.经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米（x>0）的反比例函数，y与x之间有如表关系：请根据表中的信息解决下列问题：（1）求出y与x之间的函数解析式；（2）若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为35米，则其两腿迈出的步长之差是多少厘米？（k＞0）．16．如图，设反比例函数的解析式为y＝3kx（1）若反比例函数与正比例函数y＝2x的图象有一个交点的纵坐标为2，求k的值；（2）若反比例函数的图象与过点M （﹣2，0）的直线l ：y ＝kx+b 的图象交于A 、B 两点，如图，当△ABO 的面积为12时，求直线l 的解析式．17．某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第10分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.3微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y （微克）与时间x （分钟）的函数关系如图，并发现衰退时y 与x 成反比例函数关系．（1） ； （2）分别求出当和时，y 与x 之间的函数关系式； （3）如果每毫升血液中含药量不低于12微克时是有效的，求一次服药后的有效时间是多少分钟？18．如图，一次函数 y ax b =+ 的图象与反比例函数 k y x=的图象交于第一象限C ，D 两点，坐标轴交于A 、B 两点，连结OC ，OD （O 是坐标原点）．（1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m 的值；（2）求△DOC 的面积．（3）双曲线上是否存在一点P ，使得△POC 和△POD 全等？若存在，给出证明并求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．参考答案1．B2．C3．C4．A5．D6．C7．A8．B9．k=-610．＞11．（-m，-n）．12．−413．1014．（1）解：点在反比例函数的图象上反比例函数解析式为；OA=OB，点在轴负半轴上点．把点、代入中得解得：一次函数的解析式为；（2） 15．（1）解：设y 与x 之间的函数解析式为y =k x 将(2，7)代入得7=k 2∴k =14∴y 与x 之间的函数解析式为y =14x . （2）解：当y =35时，即14x =35，解得x =0.4∴某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为35米，其两腿迈出的步长之差是0.4厘米.16．（1）解：∵反比例函数与正比例函数y ＝2x 的图象有一个交点的纵坐标为2 把y ＝2代入y ＝2x 求得x ＝1∴反比例函数与正比例函数y ＝2x 的图象交点的坐标为（1，2）把（1，2）代入y ＝3k x （k ＞0），得到3k ＝2 ∴k ＝23；（2）解：把M （﹣2，0）代入y ＝kx+b ，可得b ＝2k∴y ＝kx+2k解{y =3k x y =kx +2k 得{x =−3y =−k 或{x =1y =3k∴B （﹣3，﹣k ），A （1，3k ）∵△ABO 的面积为12∴12•2•3k+12•2•k ＝12解得k ＝3∴直线l 的解析式为y ＝3x+6．17．（1）27（2）解：当时，设y 与x 之间的函数关系式为∵经过点 ∴解得：，∴解析式为；当时，y 与x 之间的函数关系式为∵经过点∴解得：∴函数的解析式为； （3）解：令解得：令，解得：∴分钟 ∴服药后能持续175分钟.18．（1）∵点C （1，2）在反比例函数 图象上 ∴k=2∴反比例函数解析式为 2y x= ∵点B （2，m ）在反比例函数 图象上 ∴m= 22=1． （2）如图，过点C 作⊥OA 于E ，过点D 作DF ⊥OA 于 Fk y x =2y x =∵C （1，2），D （2，1）∴CE=2，DF=1∵C 、D 在一次函数 的图象上∴221a b a b +=⎧⎨+=⎩解得： 13a b =-⎧⎨=⎩∴一次函数解析式为y=-x+3当y=0时，x=3∴A 点坐标为（3，0）∴OA=3∴DOC S =S △AOC -S △AOD = 1122OA CE OA DF ⋅-⋅ = 11323122⨯⨯-⨯⨯ =1.5．（3）设点P 坐标为（n ， 2n ）∵C （2，1），D （1，2）∴OC=OD∵△POC 和△POD 全等∴PC=PD ∴222222(1)(2)(2)(1)n n n n -+-=-+-解得： 2n =∴P （， ）或P （ 2 ， ） ∴双曲线上存在一点P ，使得△POC 和△POD 全等，P （ ， ）或P （ ， ）． y ax b =+222-2222。

反比例函数的复习一、反比例函数的概念：知识要点：1、一般地，形如 y = ( k是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。

注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；（2）解析式有三种常见的表达形式：（A）y = （k ≠ 0），（B）xy = k（k ≠ 0）（C）y=kx-1（k≠0）有关反比例函数的解析式（1）下列函数，①②. ③④.⑤⑥；其中是y关于x的反比例函数的有：_________________。

（2）函数是反比例函数，则的值是（ ） A．－1 B．－2 C．2 D．2或－2（3）如果是的反比例函数，是的反比例函数，那么是的（ ）A．反比例函数 B．正比例函数 C．一次函数 D．反比例或正比例函数（4）如果是的正比例函数，是的反比例函数，那么是的（ ）（5）如果是的正比例函数，是的正比例函数，那么是的（ ）（6）反比例函数的图象经过（—2，5）和（，），求（1）的值；（2）判断点B（，）是否在这个函数图象上，并说明理由（7）已知函数，其中与成正比例, 与成反比例，且当＝1时，＝1；＝3时，＝5．求：（1）求关于的函数解析式； （2）当＝2时，的值．二、反比例函数的图象和性质：知识要点：1、形状：图象是双曲线。

2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第________象限内；（2）当k<0时, 双曲线分别位于第________象限内。

3、增减性：（1）当k>0时,_________________,y随x的增大而________；（2）当k<0时,_________________,y随x的增大而______。

4、变化趋势：双曲线无限接近于x、y轴,但永远不会与坐标轴相交5、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点____________；（2）对于k取互为相反数的两个反比例函数（如：y = 和y = ）来说，它们是关于x 轴，y轴___________。

中考复习反比例函数基础知识（一）反比例函数的概念1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（三）反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．图像越远离坐标轴越小，图象的弯曲度越大．图像越靠近坐标轴（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．。

考点11.反比例函数（精讲）【命题趋势】反比例函数也是非常重要的函数，年年都会考，总分值为12分左右，预计2024年各地中考一定还会考，反比例函数与一次函数结合出现在解答题中是各地中考必考的一个解答题，反比例函数的图象与性质和平面几何的知识结合、反比例函数中|k|的几何意义等也会是小题考查的重点。

【知识清单】1：反比例函数的概念（☆☆）反比例函数的概念：一般地，函数kyx=（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数．2：反比例函数的图象和性质（☆☆☆）1）反比例函数的图象和性质表达式kyx=（k是常数，k≠0）k k>0k<0大致图象所在象限第一、三象限第二、四象限增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大对称性轴对称图形（对称轴为直线y=x和y=-x），中心对称图形（对称中心为原点）2）待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式kyx=（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．3：反比例函数中|k|的几何意义（☆☆☆）1）反比例函数图象中有关图形的面积2）涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S △ABC =2S △ACO =|k |；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数ky x=交于A 、B 两点，且一次函数与x 轴交于点C ，则S △AOB =S △AOC +S △BOC =1||2A OC y ⋅+1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅+；（3）如图③，已知反比例函数ky x=的图象上的两点，其坐标分别为()A A x y ，，()B B x y ，，C 为AB 延长线与x 轴的交点，则S △AOB =S △AOC –S △BOC =1||2A OC y ⋅–1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅-．4：反比例函数与一次函数的综合（☆☆☆）1）涉及自变量取值范围型当一次函数11y k x b =+与反比例函数22k y x=相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。