第七章 结构振动的有限元分析

第七章结构振动的有限元分析第一节引言结构振动是指结构在外力的作用下发生的同步振动。

它在工程结构的设计和分析中具有重要的意义。

传统的结构振动分析方法主要有模态分析法和频域分析法。

近年来，随着计算机技术的发展，有限元方法在结构振动分析中的应用越来越广泛。

第二节有限元方法概述有限元方法是一种通过将连续结构离散化为有限个单元，并在每个单元内进行局部计算，然后将单元组装起来进行全局分析的一种方法。

有限元方法的基本思想是将连续体分解为有限个离散单元，通过求解每个单元的位移和应变，进而得到整个结构的力学行为和响应。

在结构振动分析中，有限元方法可以更准确地描述结构的边界条件和模态特性。

第三节有限元建模有限元建模是有限元分析的关键步骤之一、在有限元建模过程中，需要根据实际情况选择适当的单元类型和单元尺寸，并确定边界条件。

有限元建模的准确性直接影响到振动分析的有效性和准确性。

第四节模态分析模态分析是结构振动分析的常用方法之一、它可以通过求解结构的本征频率和本征振型，对结构进行全面的振动特性分析。

在有限元分析中，模态分析主要通过求解结构的特征值问题来实现。

第五节动力分析动力分析是结构振动分析的另一种常用方法。

与模态分析相比，动力分析能够更真实地反映结构在外力作用下的振动响应。

在有限元分析中，动力分析主要通过求解结构的动力方程来实现。

第六节振动问题的求解技巧与注意事项在进行结构振动的有限元分析时，需要注意一些技巧和问题。

首先，应正确选择结构的边界条件和单元类型，以保证分析结果的准确性。

其次，应注意振动问题的约束条件和模态解耦技巧，以简化计算过程。

此外，在求解动力方程时，还需要注意存在间接刚度法和直接刚度法两种不同的求解方法。

第七节结构振动的应用领域结构振动的有限元分析在工程领域中有着广泛的应用。

例如，在建筑工程中，可以用有限元分析来评估结构的自然频率和振动幅度，以确定结构的稳定性和耐久性。

在航空航天工程中，可以通过有限元分析来研究飞机的结构动态特性，并优化结构设计。

结构有限元教程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：结构有限元分析是工程领域中常用的结构分析方法之一，它在设计、优化和验证工程结构的过程中起着重要作用。

有限元方法将复杂的结构分析问题简化为离散的数学模型，通过有限元软件进行分析计算，得到结构的应力、应变、位移等重要信息，从而评估结构的安全性和稳定性。

本文将介绍结构有限元分析的基本原理、常用软件、建模方法以及常见问题的解决方案，帮助读者更好地理解和运用结构有限元分析。

一、有限元分析的基本原理有限元分析的本质是一种数值逼近方法，通过有限元剖分结构，将结构分解为有限个简单的单元，每个单元的行为可以通过一组节点的位移来描述。

有限元分析的基本原理是根据物理方程和边界条件建立有限元模型，通过数值计算得到结构的应力、位移等信息，从而评估结构的性能和安全性。

在有限元分析中，通常有以下几个步骤：1.建立有限元模型：根据实际结构的几何形状和材料性质，选择适当的有限元类型（如梁单元、壳单元、体单元等），剖分结构并建立节点和单元之间的连接关系。

2.确定边界条件：根据实际情况确定结构的边界条件，如支撑条件、受力条件等。

3.建立单元刚度矩阵：根据单元的几何形状和材料性质，计算单元的刚度矩阵，并根据节点和单元之间的连接关系组装成整体刚度矩阵。

4.施加载荷：根据实际需要，施加结构上的外部载荷，如集中力、分布力等。

5.求解方程组：通过数值计算方法求解整体刚度矩阵和载荷向量的方程组，得到结构的位移、应力等信息。

6.分析和优化：根据分析结果评估结构的性能和安全性，并进行结构优化设计。

二、结构有限元分析常用软件目前市面上有许多结构有限元分析软件，其中一些较为知名的软件包括ANSYS、ABAQUS、Nastran、SAP2000等。

这些软件在结构有限元分析领域有着广泛的应用和较高的声誉，具有良好的计算性能和强大的功能特点。

1.ANSYS：是一款功能强大的有限元分析软件，可用于结构、热、流体、电磁等多物理场耦合问题的分析计算。

有限元模态分析实例有限元模态分析是一种用数学方法对结构物的振动特性进行分析的工程方法。

在设计和优化结构时，对结构的模态进行分析是十分重要的。

通过模态分析可以获得结构的固有频率、模态形态以及模态阻尼等信息，为结构的设计和工程优化提供依据。

下面将介绍一个有限元模态分析的实例。

工程项目中有一座长桥，设计要求对该桥进行模态分析，以评估其振动特性和优化设计。

桥梁的整体结构是由主梁和横梁构成。

在进行模态分析之前，首先进行了有限元建模。

主梁和横梁的几何尺寸、材料性质和截面形状被纳入有限元模型中。

通过有限元分析软件对桥梁进行了静力分析，确定了主梁和横梁的应力分布和变形情况。

在静力分析的基础上，进行了模态分析。

在模态分析中，首先得到了桥梁的固有频率。

固有频率是结构在没有外部激励作用下自发振动的频率，也可以理解为结构的固有振动频率。

通过固有频率的计算，可以得到结构的自由振动周期。

接下来，得到了桥梁的模态形态。

模态形态是固有振动状态下结构各个节点的振型。

通过模态形态的计算，可以了解结构在不同频率下的振动模式，进一步评估结构的振动特性。

最后，得到了桥梁的模态阻尼。

模态阻尼是结构在振动过程中能量耗散的程度。

结构的阻尼特性对于振动特性的评估和结构的设计优化具有重要影响。

对模态分析的结果进行评估，发现一些模态频率较接近结构的主要激励频率，存在共振现象。

为了消除共振现象，采取了一些优化措施，如增加结构的刚度、改变材料性质等。

通过有限元模态分析，得到了桥梁的固有频率、模态形态和模态阻尼等信息，为结构的设计和工程优化提供了依据。

基于模态分析的结果，进行了优化设计和改进措施，提高了结构的振动特性和抗震能力。

总之，有限元模态分析是一种重要的工程分析方法，通过模态分析可以评估结构的振动特性，并为结构的设计和工程优化提供依据。

符合桥梁的模态分析在设计和改进中的实践，对于确保工程质量和结构的稳定性具有重要意义。

机械结构的声振特性分析与优化机械结构是现代工程中广泛应用的一种技术。

在机械结构中，声振特性是一个重要的研究方向。

声振特性的分析与优化可以帮助工程师设计更稳定、更高效的机械结构。

声振特性是指机械结构在工作中所产生的声音和振动。

这些声音和振动可能会对机械结构的稳定性和效率产生不利影响。

因此，了解机械结构的声振特性，对其进行分析和优化非常重要。

一种常用的方法是使用有限元分析法来研究机械结构的声振特性。

有限元分析法是一种计算机辅助工程技术，可以将复杂的机械结构分解为许多小的有限元，然后通过对这些有限元进行计算，来模拟和预测机械结构在外界作用下的振动和声音。

通过有限元分析，工程师可以获得机械结构的固有频率、振动模态和振动位移等信息。

这些信息可以帮助工程师了解机械结构的振动行为，并找出可能产生问题的地方。

例如，如果机械结构的某个固有频率接近外界激励频率，就会发生共振现象，可能导致振动放大和结构破坏。

通过有限元分析，工程师可以发现并解决这类问题，从而提高机械结构的稳定性。

除了有限元分析，还可以使用其他方法来研究机械结构的声振特性。

例如，试验法是一种常用的方法，可以通过对机械结构进行实验观测和测试来获取声振特性的信息。

试验法的优点是可以直接测量和观测到机械结构的实际振动和声音，能够提供准确的数据。

然而，试验法也存在一些局限性，例如成本较高、时间较长等。

在了解机械结构的声振特性后，优化是一个重要的环节。

通过优化，可以提高机械结构的性能和效率，减少噪音和振动的产生。

优化的方法有很多种，包括改变结构材料、减少质量、增加阻尼等。

其中，改变结构材料是一种常见的优化方法。

选择合适的材料可以改变机械结构的频率响应和阻尼特性，从而达到减少振动和噪音的目的。

此外，优化也可以通过改变机械结构的几何形状来实现。

例如，在某些情况下，通过改变腔体的形状和尺寸可以减少共振现象的发生。

通过有限元分析和其他方法，工程师可以确定最佳的几何形状，并进行优化设计。

四边固支矩形薄板固有振动的理论计算和有限元分析四边固支矩形薄板是一种典型的结构，其固有振动特性的计算对于结构的稳定性以及对外载荷的响应有着重要的影响。

本文将从理论计算和有限元分析两个方面来探讨四边固支矩形薄板的固有振动特性。

一、理论计算在理论计算中，四边固支矩形薄板的固有振动频率可以通过以下公式进行计算：f_n = (C_n^2 + D_n^2)^0.5 / (2πt)^0.5 * (EH^3/12ρ(1-μ^2))，其中，f_n为第n阶固有频率；C_n和D_n分别为第n阶水平和竖直模态振型的振幅比；t为薄板厚度；E为材料的弹性模量；H为矩形薄板的一侧长度；ρ为材料的密度；μ为材料的泊松比。

根据上述公式，我们可以对四边固支矩形薄板进行理论计算，得出其固有振动频率，并根据振动模型分析结构的稳定性以及响应能力。

二、有限元分析在有限元分析中，我们可以通过建立合适的有限元模型，利用求解振型特征值和振型模态来得出四边固支矩形薄板的固有振动特性。

有限元分析的主要步骤包括：1.建立有限元模型：根据实际结构情况，选择合适的有限元支撑和单元类型，对结构进行离散化网格化处理，建立结构有限元模型。

2.确定边界条件：对于固支矩形薄板，边界条件为四边界固定支撑。

3.求解特征值和振型：对于固有振动频率，我们可以通过求解振型特征值和振型模态来得出。

4.分析特征值和振型：得出固有振动频率，我们可以进一步分析与理论计算结果的一致性，同时还可以分析振型特征值与振型模态，进一步了解结构的稳定性和响应能力。

通过有限元分析，我们可以更加精确地了解四边固支矩形薄板的固有振动特性，为结构设计和应用提供更加实际的参考依据。

总之，四边固支矩形薄板的固有振动特性对于结构稳定性和响应能力有着重要的影响。

通过理论计算和有限元分析两个方面的探讨，我们可以更好地理解并应用这一结构特性。

为了更加深入地了解四边固支矩形薄板的固有振动特性，我们可以从以下几个方面进行数据的收集和分析：1. 材料弹性模量与密度：材料的弹性模量和密度直接影响到四边固支矩形薄板的固有振动频率。

基于有限元方法的振动系统动力学分析振动是物体在外部作用下发生周期性的自由运动，广泛存在于自然界和人工工程中。

对于工程领域来说，振动是一种常见而且重要的现象，需要进行充分研究和掌握。

因为工业领域中的精密机械设备、航空航天器、桥梁、建筑等都要受到振动的影响，因此了解和掌握振动分析成为了一项必要的工作。

在振动分析中，有限元方法是一种重要的数值计算技术，能够用来计算系统在特定工况下的自由振动、强迫振动和动态特性等。

有限元方法的基本思想是将物体整体离散成若干元，然后针对每个元的受力状态对其进行计算。

因为在物理学和工程领域中，大部分振动问题都可以抽象成弹性振动问题，因此有限元方法也用得较为广泛。

下面我们将从振动系统模型建立，有限元方法的原理和实现以及动力学分析等方面进行阐述，以期为工程领域的借鉴提供一定的帮助。

一、振动系统模型建立首先，我们需要理解振动系统的原理和发展规律，然后再将其抽象成一种数学模型。

在工程领域常见的振动系统有机械弹簧阻尼振动系统、电路RLC振动系统等，这里我们以机械弹簧阻尼振动系统为例。

1.1 建立振动系统模型机械弹簧阻尼振动系统的简化模型由三个主要元素组成：质点、弹簧和阻尼器。

其中，质点质量为m，其自由度为x，弹簧的刚度为k，弹簧自由度为u，阻尼器的阻尼系数为c。

将质点与弹簧、阻尼器建立作用关系如下：1. 质点的受力情况：F = m*x''(t) (1)其中，x''(t)表示自由度x对时间t的二阶微分。

2. 弹簧的变形条件：u = x1 - x2 (2)其中，x1、x2为弹簧两端对应的自由度，利用胡克定律可以得到：F = k*u (3)3. 阻尼器的作用：F = -c*x'(t) (4)其中，x'(t)表示自由度x对时间t的一阶微分。

此时，质点、弹簧、阻尼器三者之间的作用力平衡，即有F = m*x''(t) = -k*x(t) - c*x'(t) (5)使用微分方程的方法可以得到质点加速度x''(t)关于时间t的方程，即：m*x''(t) + c*x'(t) + k*x(t) = f(t) (6)其中，f(t)为外界作用力。

振型系数有限元全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：振型系数有限元方法是一种用于分析结构振动和动力学特性的数值模拟技术。

在实际工程中，结构振动和动力学特性对结构的安全性和稳定性至关重要。

通过振型系数有限元方法，工程师可以快速准确地预测结构的振动响应，从而指导设计和改进工作。

振型系数有限元方法是有限元法的一种特殊应用。

通常，传统有限元法通过离散化结构模型并求解线性代数方程组来分析结构的静力学和静力学特性。

而振型系数有限元方法则是通过考虑结构的自由振动特性，进而分析结构的动力学特性。

这种方法主要用于处理结构的振动特性和自由振动模态，用于确定结构振动的频率、振型和阻尼等参数。

振型系数有限元方法的基本思想是将结构的振动模态（或振型）表示为一组线性组合的形式，即用一组基函数将结构的位移场表示出来。

这样，结构的振动可以通过求解线性组合的系数来求解。

通常，振型系数有限元方法采用拉格朗日乘子法建立结构的动力学方程，然后通过求解特征值问题来得到结构的振动频率和振型。

在实际工程中，振型系数有限元方法广泛应用于建筑、桥梁、机械设备、航空航天等领域。

在建筑结构设计中，通过振型系数有限元方法可以预测结构的自振频率、阻尼比等参数，从而评估结构的振动响应和舒适性。

在机械设备设计中，振型系数有限元方法可以优化结构的振动特性，提高设备的稳定性和寿命。

振型系数有限元方法是一种强大的工程分析工具，可以帮助工程师快速准确地分析结构的振动和动力学特性。

随着计算机技术的不断发展和振型系数有限元方法的不断完善，相信这种方法会在工程领域发挥越来越重要的作用，为工程设计和分析提供更加可靠的支持。

第二篇示例：振型系数有限元方法是一种数值分析方法，用于研究结构的振动特性。

该方法通过将结构模型分解成离散的有限元素，在每个有限元上建立动力学方程，并通过求解这些方程得到结构的振动特性。

振型系数有限元方法的主要优点在于能够较准确地分析结构的振动行为，对于大型和复杂的结构有很好的适用性。

振型系数有限元-概述说明以及解释1.引言1.1 概述振型系数是描述振动系统特性的重要参数，它可以用来表示系统在不同模态下的振动特征。

在工程领域中，振型系数的计算对于预测结构在振动环境下的性能至关重要。

有限元方法作为一种常用的数值模拟方法，在计算振型系数方面具有很大的优势。

本文将探讨振型系数有限元方法的原理、应用和优势，旨在加深对振动系统特性的理解，为工程实践提供更准确的分析和设计。

1.2 文章结构文章结构体现了文章整体的逻辑性和清晰性，有助于读者理解文章的内容和思路。

本文的结构主要分为引言、正文和结论三个部分。

在引言部分，将介绍振型系数的基本概念和背景，以及文章的目的和意义。

引言部分将为读者提供对本文主题的整体了解，引导读者进入文章内容。

在正文部分，将详细介绍振型系数的概念，包括其定义、计算方法和应用领域，同时探讨有限元方法在振型系数计算中的应用。

此外，还将讨论振型系数有限元分析的优势，包括其在振动分析中的重要性和实际应用情况。

在结论部分，将对本文进行总结，强调振型系数有限元分析的重要性，并展望未来的研究方向。

最后，得出结论，总结全文的讨论和观点，为读者提供对振型系数有限元的总体认识和启示。

通过以上结构的设计，本文将系统全面地介绋振型系数有限元的概念、应用和优势，为读者提供了一个清晰的阐述框架，使读者更好地理解、参考和应用相关知识。

1.3 目的本文的主要目的是探讨振型系数有限元在工程结构分析中的应用及其优势。

我们将首先介绍振型系数的概念，然后探讨有限元方法在振型系数计算中的具体应用，最后对振型系数有限元分析的优势进行总结和分析。

通过本文的研究，我们旨在帮助读者更深入地了解振型系数有限元方法，并为工程结构的振动分析提供新的思路和方法。

同时，我们也希望能够为未来相关研究提供一定的参考和启示，推动振型系数有限元在工程领域的应用与发展。

2.正文2.1 振型系数的概念振型系数是描述结构振动特性的重要参数之一，它反映了结构在振动时各个振动模态的重要程度。

杆系结构自由振动的精确有限元法与1动力刚度法的等价性袁驷，叶康生清华大学土木工程系（100084）Email: yuans@, yeks@摘要：本文论述了动力刚度法和精确有限元法的等价性，证明了等价性定理、梁氏定理及本文导出的微分等式定理，并为新近提出的导护型Newton法求解振型和频率提出了一个改进的外推公式。

文中给出了算例用以表明改进公式的良好效果。

关键词：自由振动，精确有限元法，动力刚度法，杆系结构1．引言对于杆系结构的静力分析计算，传统的刚度法（矩阵位移法）和现代的有限元法在某些情况下（如等截面杆件）殊路同归，人们常将二者混为一谈。

其实，两种方法的做法是有区别的：刚度法：求得满足控制微分方程的解，由其解通过取导数直接计算杆端刚度系数，汇集后得到单元刚度矩阵。

有限元法：构造单元（杆件）形函数，用能量法（虚功原理、最小势能原理）通过积分生成单元刚度矩阵。

这里，之所以可以得到相同的单元刚度矩阵，其要点是有限元中采用了精确的形函数，即满足控制微分方程的形函数（如等截面梁单元采用三次多项式为形函数）。

换言之，两种方法的共同点是都采用了满足控制微分方程的解，刚度法利用其解直接计算刚度系数，而有限元法则利用其解构成形函数并用能量法计算刚度系数。

对于杆系结构的动力分析计算（自由振动问题），也相应地存在两种方法：动力刚度法（Dynamic Stiffness Method, 简称DSM）和精确有限元法（FEM）。

但是，多年来，基本上只有动力刚度法得到发展，而精确有限元法则很少为人提及。

本文首先介绍动力刚度法，然后讨论精确有限元法的列式，在此基础上进一步讨论两种方法的等价性，由此等价性可导出梁氏定理及另一个等式定理，并为新近提出导护型Newton法求解振型和频率提出了一个改进的外推公式。

本课题由高等学校博士学科点专项科研基金（20020003045）和教育部科技创新工程重大项目培育资金项目（704003）联合资助。