高二入学考试数学试题+答案

高二第一学年入学考试（数学）（考试总分：150 分）一、单选题（本题共计12小题，总分60分）1.（5分）在下列各图中，相关关系最强的是（）A．B．C．D．2.（5分）若函数y＝f（x）的定义域是[0，4]，则函数g（x）＝的定义域是（）A．[0，2]B．[0，2）C．[0，1）∪（1，2]D．[0，4]3.（5分）下列函数中，即是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A．y＝x3B．y＝﹣|x|+3C．y＝﹣x2﹣1D．y＝2|x|4.（5分）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是（）A．频率就是概率B．频率是随机的，与试验次数无关C．概率是稳定的，与试验次数无关D．概率是随机的，与试验次数有关5.（5分）已知f（x）为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，1）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）6.（5分）已知cosα＝，则cos2α等于（）A．B．C．﹣D．﹣7.（5分）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，，则用向量表示为（）A．B．C．D．8.（5分）一组数据的平均数为m，方差为n，将这组数据的每个数都加上a（a＞0）得到一组新数据，则下列说法正确的是（）A．这组新数据的平均不变B．这组新数据的平均数为amC．这组新数据的方差为a2nD．这组新数据的方差不变9.（5分）若sin（）＝，则cos（）＝（）A．﹣B．C．﹣D．10.（5分）已知sin（π﹣α）＝log8，且α∈（﹣，0），则tan（）＝（）A．﹣B．C．D．11.（5分）函数的部分图象如图所示，则下列叙述错误的是（）A．函数f（x）的图象可由y＝Acos（ωx）的图象向右平移个单位得到B．函数f（x）在区间上是单调递增的C．函数f（x）在区间上的值域为D．是函数f（x）图象的一条对称轴12.（5分）设实数a≠0，函数f（x）对任意的实数x都满足f（x）＝﹣f（x+4），当x∈（﹣2，2]时，f（x）＝ax2sinx﹣，若f（﹣1）＝2，则f（2021）＝（）A．4B．﹣4C．2D．﹣2二、填空题（本题共计4小题，总分20分）13.（5分）已知扇形AOB的圆心角∠AOB＝，弧长为2π，则该扇形的面积为．14.（5分）已知角α的终边过点P（﹣4m，3m），（m＜0），则2sinα+cosα的值是．15.（5分）若A（2，﹣1），B（4，2），C（1，5），则+2＝．16.（5分）已知a＝sin78°，b＝cos10°，c＝tan55°，则a，b，c的大小关系为．三、解答题（本题共计6小题，总分70分）17.（10分）已知函数f（x）＝．（Ⅰ）化简f（x）；（Ⅱ）若f（α）＝﹣3，求tan（α+）的值．18.（12分）某学校因为寒假延期开学，根据教育部停课不停学的指示，该学校组织学生线上教学，高一年级在线上教学一个月后，为了了解线上教学的效果，在线上组织数学学科考试，随机抽取50名学生的成绩（满分150分，且抽取的学生成绩都在[95，145]内）并制成频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩．（同一组中的数据以该组区间的中点值作代表）19.（12分）已知函数f（x）＝2cosx（sinx+cosx）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．20.（12分）设，为两个不共线的向量，若＝+λ，＝2﹣．（1）若（+）∥共线，求实数λ的值；（2）若，是夹角为的单位向量，且⊥，求实数λ的值．21.（12分）已知函数f（x）＝2cos2ωx+2sinωxcosωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求f（）的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间及其图象的对称轴方程．22.（12分）已知函数f（x）＝sin2ωx﹣sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期π（1）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）在[0，]上的值域．答案一、单选题（本题共计12小题，总分60分）1.（5分）【答案】A【解析】解：对于A，图中各点成带状分布，这组变量具有较强的线性相关关系；对于B、C、D，图中所示的散点图中，样本点成片状分布，组中两个变量的线性相关关系相对较弱些．故选：A．2.（5分）【答案】C【解析】解：由函数y＝f（x）的定义域是[0，4]，可得函数g（x）＝有意义，只需0≤2x≤4，且x﹣1≠0，解得0≤x≤2且x≠1．故选：C．3.（5分）【答案】D【解析】解：偶函数是A，B，C，因为x∈（0，+∞）时，y＝2|x|是增函数，故选：D．4.（5分）【答案】C【解析】解：频率是随机的，随实验而变化，但概率是唯一确定的一个值．故选：C．5.（5分）【答案】D【解析】解：由已知得解得x＜0或x＞1，故选：D．6.（5分）【答案】C【解析】解：已知cosα＝，则．故选：C．7.（5分）【答案】A【解析】解：由题意可得，＝＝＝，＝＝．故选：A．8.（5分）【答案】D【解析】解：设这一组数据为X＝（a1，…an），由E（X+a）＝E（X）+a，D（X+a）＝D（X），故选：D．9.（5分）【答案】A【解析】解：∵sin（）＝，∴cos（）＝﹣cos[π﹣（）]＝﹣cos（﹣2α）＝﹣[1﹣2]＝﹣（1﹣2×）＝﹣，故选：A．10.（5分）【答案】D【解析】解：sin（π﹣α）＝sinα＝log8＝＝﹣，且α∈（﹣，0），∴cosα＝＝，则tan（）＝﹣cotα＝﹣＝，故选：D．11.（5分）【答案】A【解析】解：根据函数的部分图象，可得A＝2，2cosφ＝，故φ＝±．结合图象，可得φ＝﹣，则由五点法作图可得，ω×﹣＝，∴ω＝2，故函数的解析式为．把y＝Acos（2x）的图象向右平移个单位得到，y＝2cos（2x﹣）的图象，故A正确；在区间上，2x﹣∈[﹣，0]，函数f（x）单调递增，故B正确；由，由余弦函数的图象可得，y∈[﹣2，]，故C正确；令x＝，求得f（x）＝0，不是最值，故不是f（x）的图象的对称轴，故D错误，故选：D．12.（5分）【答案】【解析】解：根据题意，函数f（x）对任意的实数x都满足f（x）＝﹣f（x+4），则有f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），即函数f（x）是周期为8的周期函数，则f（2021）＝f（﹣3+253×8）＝f（﹣3）＝﹣f（1），又由当x∈（﹣2，2]时，f（x）＝ax2sinx﹣，则有f（﹣1）＝asin（﹣1）﹣＝﹣asin1﹣，f（1）＝asin1﹣＝asin1﹣，则f（﹣1）+f（1）＝﹣2，若f（﹣1）＝2，则f（1）＝﹣4，又由f（2021）＝﹣f（1），则f（2021）＝4，故选：A．二、填空题（本题共计4小题，总分20分）13.（5分）【答案】6π【解析】解：扇形的圆心角为，则半径R＝＝6，则扇形的面积S＝×2π×6＝6π，故答案为：6π14.（5分）【答案】【解析】解：角α的终边为点P（﹣4m，3m），所以x＝﹣4m＞0，y＝3m＜0，r＝|5m|＝﹣5m．sinα＝＝．cosα＝＝，∴2sinα+cosα＝．故答案为：．15.（5分）【答案】（﹣4，9）【解析】解：根据题意，A（2，﹣1），B（4，2），C（1，5），则＝（2，3），＝（﹣3，3），故+2＝（﹣4，9）；故答案为：（﹣4，9）．16.（5分）【答案】c＞b＞a．【解析】解：因为a＝sin78°＝cos12°＜cos10°＝b，即a＜b＜1，又因为c＝tan55°＞tan45°＝1，即c＞b＞a，故答案为：c＞b＞a．三、解答题（本题共计6小题，总分70分）17.（10分）【答案】解：（I）f（x）＝．＝，＝，＝，＝﹣，（II）因为f（α）＝﹣＝﹣3，∴tanα＝2，tan（）＝＝﹣318.（12分）【答案】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：（0.004+a+0.028+0.032+0.016）×10＝1，解得a＝0.02．（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩为：100×0.004×10+110×0.02×10+120×0.028×10+130×0.032×10+140×0.016×10＝123.6．19.（12分）【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝2cosx（sinx+cosx）＝sin2x+1+cos2x＝sin（2x+）+1，∴f（）＝sin（+）+1＝sin+1＝+1＝2．（Ⅱ）∵函数f（x）＝sin（2x+）+1，故它的最小正周期为＝π．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．20.（12分）【答案】解：（1）根据题意，＝+λ，＝2﹣．则+＝3+（λ﹣1），若（+）∥，则设（+）＝k，即3+（λ﹣1）＝k（2﹣），则有，解可得λ＝﹣；（2）根据题意，，是夹角为的单位向量，则•＝﹣；若⊥，则•＝（+λ）•（2﹣）＝22﹣λ2+（2λ﹣1）•＝2﹣2λ+＝0，解可得λ＝；故实数λ的值为．21.（12分）【答案】解：（1）函数f（x）＝2cos2ωx+2sinωxcosωx﹣1＝cos2ωx+sin2ωx＝2sin（2ωx+），因为f（x）最小正周期为π，所以＝π，解得ω＝1，所以f（x）＝2sin（2x+），f（）＝2sin＝1．（2）由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，所以，函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．由2x+＝kπ+可得x＝kπ+，k∈z．所以，f（x）图象的对称轴方程为x＝kπ+，k∈z．…（12分）22.（12分）【答案】解：（1）f（x）＝sin2ωx﹣sinωxcosωx＝x＝因为函数f（x）＝sin2ωx﹣sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期π所以ω＝1因为f（x）＝，由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z（2）f（x）＝∵x∈[0，]，∴，∴，∴，所以函数的值域为：．。

高二（上）入学考试数学试题一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．） 1．已知集合{}2,1,0,1,2--=M ，{}0)2)(1(<-+=x x x N ，则=N M （ ） A ．{}0,1-B ．{}1,0C ．{}1,0,1-D ．{}2,1,02．=︒︒-︒︒70sin 160sin 70cos 20cos （ ） A ．0B ．21C ．23 D ．13．下列说法中正确的是( ).A 斜三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形 .B 水平放置的正方形的直观图有可能是梯形.C 一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱就是长方体.D 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台4．若3tan =α，则=-)4tan(πα（ ）A ．2B ．2-C ．21-D ．21 5．已知等比数列{}n a 满足31=a ，21531=++a a a ，则=+73a a （ ） A ．18B ．24C ．30D ．426． 已知22log log a b >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．11a b>B ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()2log 0a b ->D ．21a b-<7．设l 、m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C ．若//l α，m α⊂，则//l m D ．若//l α，//m α，则//l m 8．在ABC ∆中，若B b A a cos cos =，则此三角形是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形9．等比数列}{n a 的各项均为正数，且167465=+a a a a ，则=+++1022212log log log a a a （ ）A ．20B ．15C ．8D ．5log 32+10．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题．《张丘建算经》（成书约公元5世纪）卷上二十二“织女问题”：今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？其意思为：有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天比前一天多织相同量的布．已知第一天织5尺，经过一个月（按30天计）后，共织布九匹三丈．问从第2天起，每天比前一天多织布多少尺？（注：1匹4=丈，1丈10=尺）那么此问题的答案为( ).A 12尺 815尺 .C 1631尺 .D 1629尺 11．在ABC ∆中，4=a ，5=b ，6=c ，则=AC2sin sin （ ）A ．43B ．54C ．1D ．3412．设n S 是数列{}n a 的前项和，且1111,n n n a a S S ++=-=，则2021S =（ ）.111,.,.2021,202120212020AB C D-二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.) 13．数列{}n a 前n 项和为n S ，其中n S 是首项为5，公比为5的等比数列，则n a =______ 14．若实数b a ,满足122=+ba，则b a +的最大值是___________.15．已知母线长为3m 的圆锥的轴截面的底角为α，且322sin =α，一只蚂蚁从底面圆周上一点A 出发沿圆锥侧面一周回到点A 所经过的最短路程为_____ 16.给出下列四个叙述:①化简sin13cos17cos13sin17︒︒+︒︒ ②已知向量a 与b 的夹角为45︒,||2a =,||4b =,则||10a b -=；③已知4cos()5αβ+=,4cos()5αβ-=-,且3(,2)2παβπ+∈,(,)2παβπ-∈,则24sin 225α=； ④已知O 为ABC ∆的重心,动点P 满足112663OP OA OB OC =++,则点P 是ABC ∆的边AB 的中线的一个三等分点.⑤.已知0,0a b >>,且2a b +=,则14a b +的最小值是 92⑥若不等式2210x x k x R -+->∈对恒成立,则实数k 的取值范围是k<2其中所有正确叙述的序号是 .三．解答题17．（10分）已知函数2()3(5)f x x a a x b =-+-+. (Ⅰ)当不等式()0f x >的解集为(1,3)-,求实数,a b 的值；(Ⅱ)若对任意的实数a ,若不等式(2)0f <恒成立,求实数b 的取值范围.18．（12分）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m 3，深为3m ，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设长方体底面长为x m ，由于地形限制,0x a <≤，水池总造价为)(x f 元．（1）求)(x f 的解析式；（2）求)(x f 的最小值．19. (12分)如图，是四棱柱1111D C B A ABCD -的三视图。

南充高中高2023级高二上学期入学考试数学试题（答案在最后）（考试时间：120分钟，满分：150分）考试范围：必修第一册、必修第二册一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数2的实部是（）A.2 B.C.2D.0【答案】A 【解析】【分析】根据复数的定义，可得答案.【详解】由题意，可得复数2的实部是2，故选：A.2.已知{}2,4,5,{|3}A B x x ==≥，则A B = （）A.{5} B.{4,5}C.{3,4,5}D.{2,3,4,5}【答案】B 【解析】【分析】根据交集的定义，求出集合,A B 的交集即可.【详解】∵{}2,4,5,{|3}A B x x ==≥，∴A B = {4,5}.故选：B.3.已知x y z >>，0x y z ++=，则下列不等式一定成立的是（）A.xy yz> B.xy xz > C.xz yz> D.||||x y y z>【答案】B 【解析】【分析】由0x y z ++=，且x y z >>，可得0,0x z ><，y 正负不确定.取特值可得AD 错误；根据不等式的基本性质可判定BC 项.【详解】因为x y z >>，0x y z ++=，则303x x y z z >++=>，所以0x >，0z <.AD 选项，令2,0,2x y z ===-，满足条件x y z >>，0x y z ++=，但0xy yz ==，则0x y z y ==，故AD 错误；B 选项，由,0y z x >>，则xy xz >，故B 正确；C 选项，由,0x y z ><，则xz yz <，故C 错误.故选：B.4.已知函数()()2log 2,02,0xx x f x k x ⎧-<=⎨-≥⎩，若()()23ff -=，则k =（）A.1-B.0C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】根据()22f -=，利用()()()223ff f -==可构造方程求得结果.【详解】()22log 42f -== ，()()()222243f f f k k ∴-==-=-=，解得：1k =.故选：C.5.定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足1x ∀，2(0,)x ∈+∞且12x x ≠，有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，且()()()f xy f x f y =+，2(4)3f =，则不等式(2)(3)1f x f x -->的解集为（）.A.(0,4) B.(0,)+∞ C.(3,4)D.(2,3)【答案】C 【解析】【分析】先根据()()()f xy f x f y =+以及2(4)3f =求出()81f =，再根据函数的单调性以及定义域即可求解.【详解】解：()()()f xy f x f y =+ ()()()2(4)22223f f f f ∴=⨯=+=，即()123f =，()()()()()18424232313f f f f f =⨯=+==⨯= ，(2)(3)1f x f x ∴-->，可转化为：()(2)(3)8f x f x f -->，即()(2)8(3)f x f f x >+-，即()()(2)83824f x f x f x >⨯-=-⎡⎤⎣⎦，()f x 满足1x ∀，2(0,)x ∈+∞且12x x ≠，有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，()f x \在()0,∞+上单调递增，即20302824x x x x >⎧⎪->⎨⎪>-⎩，解得：34x <<，即不等式(2)(3)1f x f x -->的解集为：()34，.故选：C .6.已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（）A.2B.4C.6D.8【答案】B 【解析】【分析】由()11a xa y x y a x y y x ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭，然后利用基本不等式求最小值，利用最小值大于等于9，建立不等式，解之即可.【详解】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要()1a x y x y ⎛⎫++⎪⎝⎭的最小值大于等于9即可，000x y a >>> ，，，()111a xa yx y a a x y y x ⎛⎫∴++=+++≥++ ⎪⎝⎭，当且仅当xa yy x =即=y时等号成立，19a ∴+≥，2≥或4(≤-舍去)，即4a ≥所以正实数a 的最小值为4.故选：B .【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.7.函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2ϕπ<）的部分图象如图所示，则π2f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）.A.2-B.2-C.2-D.1-【答案】A 【解析】【分析】根据图像，先求出A ，再求出ω，然后得到7π7π())1212f ϕ=⨯+=进而求出π3ϕ=，最后，直接求函数值即可.【详解】由图得，A =，7πππ41234T =-=，2ππT ω∴==，得2ω=，所以，())f x x ϕ=+，则7π7π()1212f ϕ=⨯+=，得7ππ2π,Z 62k k ϕ+=-+∈，由||2ϕπ<得，π3ϕ=，则π())3f x x =+，所以，πππ6)2332f ⎛⎫=+==- ⎪⎝⎭.故选：A.8.已知4AB =，π4ABC ∠=，点C 为动点，点P 为线段BC 上的点且满足2BP PC = ，当AP BP ⋅ 取最小值时，ABC V 的外接圆的面积为（）.A.πB.3πC.4πD.5π【答案】D 【解析】【分析】以B 为坐标原点，BA 所在的直线为x 轴，过点B 垂直于BA 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，设(),P x x ，则()4,AP x x =- ，(),BP x x =，由数量积计算分析即可得点P 坐标，从而得到点C 的坐标，然后求出AC ，利用正弦定理求解外接圆半径求解面积即可.【详解】以B 为坐标原点，BA 所在的直线为x 轴，过点B 垂直于BA 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则()4,0A ，∵π4ABC ∠=，∴BC 所在的直线为y x =，设(),P x x ，则()4,AP x x =- ，(),BP x x = ，所以()()224212AP BP x x x x ⋅=-+=-- ，当1x =时，AP BP ⋅最小，此时点()1,1P ，又∵2BP PC =，所以3BC BP = ，∴点C 的坐标为()3,3，∴AC ==，设ABC V外接圆的半径为R，由正弦定理得2πsin 4R ==所以R =，所以2π5πS R ==，故选：D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，在三棱锥P EDF -的平面展开图中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，正方形ABCD 的边长为2，则在三棱锥P EDF -中（）A.PEF !的面积为12B.PD EF⊥C.平面PEF ⊥平面DEF D.三棱锥P EDF -的体积为13【答案】ABD 【解析】【分析】直接求BEF △的面积可判定A ，连接BD 交EF 于G ，根据条件证⊥EF 平面GPD 即可判定B ，判定PG DG 、的夹角是否为直角可判定C ，利用棱锥的体积公式可判定D.【详解】对于A ，易知1122BEF PEF S S BE BF ==⨯⨯= ，故A 正确；对于B ，连接BD 交EF 于G ，根据正方形的性质易知EF BD ⊥，所以有,EF GD EF GP ⊥⊥，又,PG GD ⊂平面PGD ，所以⊥EF 平面GPD ，PD ⊂平面GPD ，所以EF PD ⊥，故B 正确；对于C ，由上可知PGD ∠为平面PEF 与平面DEF 的夹角，易知232,222PG DG PD ===≠，则,PG DG 不垂直，故C 错误；对于D ，由题意可知,,PD PE PF 两两垂直，则111323P EDF V PD PE PF -=⨯⨯⨯⨯=，故D 正确.故选：ABD10.在ABC V 中，下列结论正确的是（）A.若sin 2sin 2A B =，则ABC V 为等腰三角形B.若sin cos B A =，则ABC V 是直角三角形C.若222sin sin sin A B C +<，则ABC V 是钝角三角形D.若coscoscos222ab c A B C ==，则ABC V 是等边三角形【答案】CD 【解析】【分析】由三角函数的性质结合诱导公式判断选项AB ；正弦定理角化边余弦定理得角的范围判断选项C ；正弦定理结合倍角公式化简判断选项D.【详解】对于A ，ABC V 中，若sin 2sin 2A B =，则有22A B =或2π2A B =-，当22A B =时，A B =，ABC V 为等腰三角形；当2π2A B =-时，π2A B =-，ABC V 为直角三角形，故A 选项不正确，对于B ，ABC V 中，若πsin cos sin 2B A A ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则π2B A =-或ππ2B A ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即π2A B +=或π2B A =+，因此ABC V 不一定是直角三角形，故B 选项不正确；对于C ，ABC V 中，若222sin sin sin A B C +<，则根据正弦定理得222a b c +<，余弦定理得222cos 02a b c C ab+-=<，则C 为钝角，ABC V 是钝角三角形，故C 选项正确；对于D ，ABC V 中，若coscoscos 222ab cAB C ==，则sin sin sin cos cos cos 222A B CA B C ==，即sin sin sin 222A B C ==，由,,(0,π)A B C ∈，得π,,0,2222A B C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以222A B C==，A B C ==，ABC V 是等边三角形，故D 选项正确．故选：CD ．11.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm ，当细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.下列说法正确的是（）A.沙漏中的细沙体积为31024πcm 81B.沙漏的体积是3128πcm C.细沙全部漏入下部后，此锥形沙堆的高度约为2.37cm D.该沙漏的一个沙时大约是1985秒（π 3.14≈）【答案】ACD 【解析】【分析】A ．根据圆锥的体积公式直接计算出细沙的体积；B ．根据圆锥的体积公式直接计算出沙漏的体积；C ．根据等体积法计算出沙堆的高度；D ．根据细沙体积以及沙时定义计算出沙时.【详解】对于A ，根据圆锥的截面图可知：细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径284cm 33r =⨯=，体积2312164ππcm 33398231h V r =⋅=⋅⋅=，A 选项正确；对于B ，沙漏的体积222112562π2π48πcm 3233h V h ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，B 选项错误；对于C ，设细沙流入下部后的高度为1h ，根据细沙体积不变可知：211024π1π8132h h ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11024π16π813h =，所以1 2.37cm h ≈，C 选项正确；对于D ，因为细沙的体积为31024πcm 81，沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，所以一个沙时为：1024π1024 3.14815019850.0281⨯≈⨯≈秒，D 选项正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量(3,2),(1,)m m =-= a b ，若a b ⊥ ，则m =______.【答案】3-【解析】【分析】由平面向量垂直的坐标表示代入即可得出答案.【详解】解析：本题考查平面向量垂直以及数量积，考查数学运算的核心素养.因为a b ⊥ ，所以320m m -+=，则3m =-.故答案为：3-.13.某校按分层随机抽样的方法从高中三个年级抽取部分学生进行调查，从三个年级中抽取的人数比为如图所示的扇形面积比，已知高二年级共有学生1200人，并从中抽取了40人，则从高一年级中抽取____________人．【答案】50【解析】【分析】设总人数为n ，得到1201200360n=，求得3600n =，再结合分层抽样的计算方法，即可求解.【详解】由题图中数据可知高二年级所占的角度为120 ，设总人数为n ，则1201200360n=，可知3600n =，故该校的总人数为3600，由高一、高二、高三年级人数的比为150:120:905:4:3=，可知高一年级人数为536001500543⨯=++，则抽样时应从高一年级抽401500501200⨯=(人).故答案为：50.14.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()f x 单调递减，则不等式()()133log 25log 8f x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的解集为______.【答案】541216x x ⎧<<⎨⎩或132x ⎫>⎬⎭.【解析】【分析】由已知可得()f x 在(0,)+∞上递增，再由偶函数的性质将不等式转化为()()133log 25log 8f x f ⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭，则可得()33log 25log 8x ->，再对数的性质要求得结果【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()f x 单调递减，所以()f x 在(0,)+∞上递增，因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以由()()133log 25log 8f x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，得()()133log 25log 8f x f ⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭，所以()33log 25log 8x ->，所以()33log 25log 8x -<-或()33log 25log 8x ->，所以10258x <-<或258x ->，解得541216x <<或132x >，所以不等式的解集为541216xx ⎧<<⎨⎩或132x ⎫>⎬⎭.故答案为：541216xx ⎧<<⎨⎩或132x ⎫>⎬⎭.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E .DF AB 且交AC 于点F ，（1）求|2|BE DF +的值（2）求()DE DF DA +⋅的最小值.【答案】（1）1（2）1120【解析】【分析】（1）设BE x =，根据题意找到其他边长，对所求进行平方结合向量的数量积运算即可求出；（2）将()DE DF DA +⋅化为关于x 的关系式即可求出最值.【小问1详解】设BE x =，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ABC 为边长为1的等边三角形，DE AB ⊥，30,2,,12BDE BD x DE DC x ∠∴====- ， //DF AB ，DFC ∴ 为边长为12x -的等边三角形，22222(2)4444(12)cos 0(12)1BE DF BE BE DF DF x x x x ∴+=+⋅+=+-⨯+-=，|2|1BE DF +∴=.【小问2详解】//DF AB ，DE DF ∴⊥，2()()()DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA+⋅=+⋅+=+⋅ 222311)(12)(1)53151020x x x x x ⎛⎫=+-⨯-=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以当310x =时，()DE DF DA +⋅ 的最小值为1120.16.某校高一年级有男生200人，女生100人.为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本为30的样本，并观测样本的指标价（单位：cm ），计算得男生样本的身高平均数为169，方差为39.下表是抽取的女生样本的数据；抽取次序12345678910身高155158156157160161159162169163记抽取的第i 个女生的身高为i x （1i =，2，3，…，10），样本平均数160x =，方差215=s .3.9≈，215925281=，216928561=.（1）若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在[]160,165范围内的人数；（2）用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数μ和标准差σ，求μ，σ的值；（3）如果女生样本数据在()2,2x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差.【答案】（1）40；（2）166,7μσ≈≈；（3）平均数为159，方差为203.【解析】【分析】（1）根据样本数据在[]160,165范围内的占比易求得女生总体在此范围内的人数；（2）先利用加权平均数公式求出总样本的平均数X ，再利用混合样本的方差公式计算2S ,最后对μ，σ进行估计即可；（3）先判断169为离群值，再由平均数公式计算剩余9人的身高平均数，利用方差公式求出1021256150ii x==∑，再由公式1022211(1699)9i i s x x ==-''-∑计算出方差.【小问1详解】因女生样本中，身高在[]160,165范围内的占比为42105=，故该校高一女生身高在[]160,165范围内的人数估计为2100405⨯=；【小问2详解】记总样本的平均数为X ，标准差为S ，由题意，设男生样本（20人）的身高平均数为169y =，方差为239y s =，女生样本（10人）的身高平均数为160x =，方差215x s =，则201691016016630X ⨯+⨯==，2222121[39(169166)](160166)]4851493333S =+-++-=⨯+⨯=，故166,7μσ≈≈=；【小问3详解】因160x =，s =，则()2,2x s x s -+，即(160-+，约为()152.2,167.8，由样本数据知，169(160∉-+，为离群值，剔除169后，女生样本（9人）的身高平均数为：1(16010169)1599x '=⨯-=；由10102222111110256000151010xi i i i s x x x ==⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑可得，1021256150i i x ==∑，则剔除169后，女生样本（9人）的身高的方差为：10222211120(1699)(25615028561925281)993i i s x x ='=--=--⨯='∑.17.如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，60D ∠=︒．（1）若3AC =，求ACD 周长的最大值；（2）若2CD AB =，75BCD ∠=︒，求tan DAC ∠的值．【答案】（1）9（2）3+【解析】【分析】（1）由余弦定理结合基本不等式求出最值；（2）设DAC α∠=，在ACD 和ACB △中使用正弦定理，联立得到()2sin 45sin105sin sin 60αα-︒=︒︒，由正弦和角公式得到sin1054+︒=，从而得到αα-=，求出tan DAC ∠的值.【小问1详解】在ACD 中，222222cos AC AD DC AD DC D AD DC AD DC=+-⋅=+-⋅2222()()3()324AD DC AD CD AD DC AD DC AD DC ++⎛⎫=+-⋅≥+-=⎪⎝⎭，即2()94AD CD +≥，解得：6AD DC +≤，当且仅当3AD DC ==时取等号．故ACD 周长的最大值是9．【小问2详解】设DAC α∠=，则120DCA α∠=︒-，45BCA α∠=-︒．在ACD 中，sin sin 60CD ACα=︒，在ACB △中，()sin 45sin105AB AC α=︒-︒，两式相除得，()2sin 45sin105sin sin 60αα-︒=︒︒，因为()62sin105sin 4560sin 45cos60cos45sin604+︒=︒+︒=︒︒+︒︒=，∴αα=，故tan tan 3DAC α∠===+18.已知定义在[]4,4-上的奇函数()f x ，当[]4,0x ∈-时，()143xx a f x =+．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若[]2,1x ∃∈--，使得不等式()1123x x m f x -≤-成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()[](]11,4,04334,0,4x x x x x f x x ⎧-∈-⎪=⎨⎪-∈⎩（2）[)5,+∞【解析】【分析】（1）由奇函数的性质()00f =，()()f x f x =--，即可求出函数()f x 的解析式；（2）分离参数，构造函数，求出函数的最值即可得到实数m 的取值范围.【小问1详解】∵()f x 是定义在[]4,4-上的奇函数，且[]4,0x ∈-时，()143xx af x =+，∴()0010043=+=af ，解得1a =-，∴[]4,0x ∈-时，()1143=-x xf x ，当[]0,4x ∈时，[]4,0-∈-x ，则()()113443x x x x f x f x --⎛⎫=--=--=- ⎪⎝⎭，即()f x 在[]0,4上的解析式为()34xxf x =-．∴函数()f x 的解析式为()[](]11,4,04334,0,4x x x x x f x x ⎧-∈-⎪=⎨⎪-∈⎩【小问2详解】∵[]2,1x ∈--时，()1143=-xx f x ，∴11114323x x x x m --≤-在[]2,1--有解，整理得1121222323xxx x x m +⎛⎫⎛⎫≥+=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()12223xxg x ⎛⎫⎛⎫=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]2,1--上单调递减，∴()g x 在[]2,1--上单调递减，则()()11min1212523g x g --⎛⎫⎛⎫=-=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴5m ≥∴实数m 的取值范围是[)5,+∞．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，AB AD ⊥，PA PD =，1AB =，2AD =，AC CD ==（1）求证：PD ⊥平面PAB .（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ?若存在，求出AMAP的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）3（3）存在；14【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质可得AB ⊥平面PAD ，进而得AB PD ⊥，再结合线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面PCD 的一个法向量，再利用空间向量夹角公式、线面角的定义进行求解即可；（3）要使//BM 平面PCD ，则0BM n ⋅=，由此列式求解λ可得.【小问1详解】∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，且AB AD ⊥，AB ⊂平面ABCD ，∴AB ⊥平面PAD ，∵PD ⊂平面PAD ，∴AB PD ⊥，又PD PA ⊥，且PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB ，∴PD ⊥平面PAB ；【小问2详解】取AD 中点为O ，连接,CO PO ，又∵PA PD =，∴PO AD ⊥．则1AO PO ==，∵CD AC ==CO AD ⊥，则2CO ===，以O 为坐标原点，分别以,,OC OA OP所在直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,1)P ，(1,1,0)B ，(0,1,0)D -，(2,0,0)C ，则(1,1,1)PB =-，(0,1,1)PD =-- ，(2,0,1)PC =- ，(2,1,0)CD =-- ，设(),,n x y z = 为平面PCD 的一个法向量，则由00n PD n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得020y z x z --=⎧⎨-=⎩，令1z =，则1,1,12n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ．设PB 与平面PCD 的夹角为θ，则3sin cos ,3n PB n PB n PBθ⋅===‖；【小问3详解】假设在棱PA 上存在点M 点，使得//BM 平面PCD .设AM AP λ=，[]0,1λ∈，由（2）知，(0,1,0)A ，(1,1,0)B ，(0,0,1)P ，则(0,1,1)AP =- ，(1,0,0)BA =-uu r，()(1,0,0)(0,,)1,,BM BA AM BA AP λλλλλ=+=+=-+-=--，由（2）知平面PCD 的一个法向量1,1,12n ⎛⎫=-⎪⎝⎭．若//BM 平面PCD ，则112022BM n λλλ⋅=-++=-= ，解得14λ=，又BM ⊄平面PCD ，故在棱PA 上存在点M 点，使得//BM 平面PCD ，此时14AM AP =.。

长沙市第一中学2024—2025学年度高二第一学期入学考试数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2Z 34A x x x =∈+<，{}1,2,5B =-，则A B 中元素的个数为（）A.1B.4C.6D.7【答案】C 【解析】【分析】首先求解集合A ，再根据并集的定义，即可求解.【详解】因为{}()(){}{}{}2Z 34Z 140Z 413,2,1,0A x x x x x x x x =∈+<=∈-+<=∈-<<=---，{}1,2,5B =-，所以{}3,2,1,0,2,5A B =--- ，有6个元素.故选：C.2.命题“x ∃∈Q ，2tan x ∈Q ”的否定是（）A.x ∀∈Q ，2tan x ∉QB.x ∀∈Q ，2tan x ∈QC.x ∃∈Q ，2tan x ∈QD.x ∀∉Q ，2tan x ∈Q【答案】A 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得否定命题.【详解】命题“x ∃∈Q ，2tan x ∈Q ”的否定是x ∀∈Q ，2tan x ∉Q .故选：A.3.已知i 是虚数单位，则复数12i1i--的虚部是（）A.12-B.12C.32-D.32【答案】A 【解析】【分析】利用复数的四则运算得出结果.【详解】()()()()12i 1i 12i 3i 31i 1i 1i 1i 222-+--===---+，所以复数12i1i --的虚部为12-，故选：A.4.函数()ln e exxx f x -=+的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据函数()f x 的定义域，排除CD 选项，再由函数()f x 的为偶函数，排除A 选项，即可求解.【详解】由函数()ln e exxx f x -=+，可得其定义域为{}0x x ≠，可排除C 、D 选项，又由()()ln ln e ee exxxxx x f x f x ----===++，所以函数()f x 为偶函数，排除A 选项.故选：B.5.已知0x >，0y >，lg 2lg8lg 2x y+=，则13x y+的最小值是（）A.8B.12C.16D.10+【答案】C 【解析】【分析】利用对数的运算法则和基本不等式的性质可得.【详解】解：lg 2lg8lg 2x y +=()lg 28lg 2x y ∴⋅=322x y +∴=31x y ∴+=0x >，0y >()1313333101016y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当14x y ==时取等号.故选：C【点睛】本题考查对数的运算法则及基本不等式，属于中档题.6.已知随机事件A ，B ，C 中，A 与B 相互独立，B 与C 对立，且()0.3P A =，()0.6P C =，则()P A B = （）A.0.4B.0.58C.0.7D.0.72【答案】B 【解析】【分析】由公式()()()()P A B P A P B P AB =+- 可知只需求出()(),P B P AB 即可，结合对立减法公式以及独立乘法公式即可求解.【详解】()1()0.4P B P C =-=，()()()0.30.40.12P AB P A P B ==⨯=，所以()()()()0.30.40.120.58P A B P A P B P AB =+-=+-= .故选：B.7.甲、乙、丙、丁四人在一次比赛中只有一人得奖.在问到谁得奖时，四人的回答如下：甲：乙得奖.乙：丙得奖.丙：乙说错了.丁：我没得奖.四人之中只有一人说的与事实相符，则得奖的是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】D 【解析】【分析】根据各人的说法，讨论四人得奖分析是否只有一人说法与事实相符，即可确定得奖的人.【详解】甲乙丙丁甲得奖乙得奖丙没得奖丁没得奖由上表知：若甲得奖，丙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾；若乙得奖，丙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾；若丙得奖，乙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾；所以丁得奖，只有丙说法与事实相符.故选：D8.设5log 2a =，0.60.5b =，0.50.6c =，则（）A.c b a >>B.c a b>> C.b a c>> D.a c b>>【答案】A 【解析】【分析】利用对数函数的单调性和指数函数的单调性分别求出12a <，12b >，即可判断出b a >，再利用作差法比较,c b 的大小关系即可求解．【详解】解：551log 2log 2a =<=，10.620.150.5b ==>，b a ∴>，350.610.52b ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，120.530.65c ⎛⎫== ⎪⎝⎭，10351011264b ⎡⎤⎛⎫⎢⎥∴==⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，101210324353125c ⎡⎤⎛⎫⎢⎥== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，10102431124270312564200000c b -=-=> ，c b ∴>，c b a ∴>>，故选：A ．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.()f x 的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象B.直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴C.()f x 在ππ,42⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减D.()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】CD 【解析】【分析】利用正弦函数的性质来研究正弦型函数的性质即可.【详解】对于A ，由()f x 的图象向左平移π6个单位得：ππππsin 2=sin 26362f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，与得到函数()πsin 23g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭不相同，故A 错误；对于B ，将π3x =代入得：πππ5πsin 2=sin 3366f ⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时既不是最高点，也不是最低点，所以直线π3x =不是()f x 图象的一条对称轴，故B 错误；对于C ，当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π2π7π2,636x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由于sin y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，而2π7ππ3π,,3622⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 正确；对于D ，将5π12x =代入得：5π5ππsin 2=sinπ012126f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时是函数零点，所以()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 正确；故选：CD ．10.某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层抽样方法抽取了容量为90的样本，经计算得男生样本的均值为170，方差为19，女生样本的均值为161，方差为28，则下列说法正确的是（）参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m ，x ，21s ；n ，y ，22s ．记样本平均数为ω，样本方差为2s ，2222212[()][()]m n s s x s y m n m nωω=+-++-++．A.男生样本容量为50 B.每个女生被抽到的概率110C.抽取的样本的均值为165D.抽取的样本的方差为43【答案】ABD 【解析】【分析】根据抽样比即可求解人数判断A ，根据概率公式即可求解B ，根据平均数以及方差的计算公式即可求解CD.【详解】对于A ，男生被抽的人数为5009050900⨯=，故A 正确，对于B ，每个女生被抽到的概率为40090190040010⨯=，故B 正确，对于C166=，故C 错误，对于D ，样本的方差为22254[19(170166)][28(161166)]4399s =+-++-=，故D 正确，故选：ABD11.如图，正方体ABCD A B C D -''''的棱长为4，M 是侧面ADD A ''上的一个动点（含边界），点P 在棱CC '上，且||1PC '=，则下列结论正确的有（）A.沿正方体的表面从点A 到点PB.保持PM 与BD '垂直时，点M的运动轨迹长度为C.若保持||PM =，则点M 的运动轨迹长度4π3D.平面AD P '截正方体ABCD A B C D -''''所得截面为等腰梯形【答案】BCD 【解析】【分析】根据平面展开即可判断A ；过P 做平面//PEF 平面ACB '，即可判断B ；根据点M 的轨迹是圆弧，即可判断C ；作出正方体ABCD A B C D -''''被平面AD P '所截的截面即可判断D ．【详解】对于A ，将正方体的下面和侧面展开可得如图图形，连接AP ，则AP ==<A 错误；对于B ，如图：DD ' 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴DD AC '⊥，又AC BD ⊥，DD BD D '= ，DD '，BD ⊂平面DD B '，AC ∴⊥平面DD B '，BD '⊂平面DD B ',AC BD '∴⊥，同理可得BD AB ''⊥，AC AC A '= ，AC ，AB '⊂平面ACB '．BD '∴⊥平面ACB '．∴过点P 作//PG C D '交CD 交于G ，过G 作//GF AC 交AD 交于F ，由//AB C D ''，可得//PG AB '，PG ⊂/平面ACB '，AB '⊂平面ACB '，//PG ∴平面ACB '，同理可得//GF平面ACB '，,,PG GF G PG GF ⋂=⊂平面PGF ，则平面//PGF 平面ACB '．设平面PEF 交平面ADD A ''于EF ，则M 的运动轨迹为线段EF ，由点P 在棱CC '上，且||1PC '=，可得||||1DG DF ==，//EF B C'∴34EF AD ==，故B 正确；对于C ，如图：若||PM =，则M 在以P 为球心，为半径的球面上，过点P 作PQ ⊥平面ADD A ''，则||1D Q '=，此时||2QM =．∴点M 在以Q 为圆心，2为半径的圆弧上，此时圆心角为2π3．点M 的运动轨迹长度2π4π×2=33，故C 正确；对于D ，如图：延长DC ，D P '交于点H ，连接AH 交BC 于I ，连接PI ，∴平面AD P '被正方体ABCD A B C D -''''截得的截面为AIPD '．~PCH D DH ' ，∴||||||3||||||4PH PC HC D H DD DH ===''，~ICH ADH ，∴||||||3||||||4CI HC IH DA DH AH ===，∴||||||3||||||4PH IH PI D H AH AD ===''，//PI AD '∴，且||||PI AD '≠，∴截面AIPD '为梯形，||||AI PD '===，∴截面AIPD '为等腰梯形，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量(1,1)a m =- ，(,3)b m m =+，若a b a b ⋅=-⋅ ，则m 的值为________．【答案】1-【解析】【分析】根据向量的数量积的运算公式，得到向量,a b的夹角为πθ=，设(0)b a λλ=< ，结合向量的坐标表示，列出方程组，即可求解.【详解】设向量,a b的夹角为θ，因为a b a b ⋅=-⋅ ，可得cos 1θ=-，因为[0,π]θ∈，所以πθ=，即向量a 与向量b反向，又因为向量(1,1)a m =- ，(,3)b m m =+，设(0)b a λλ=< ，可得)((,13),1m m m λ-+=，可得3m m m λλλ=⎧⎨+=-⎩且0λ<解得1,1m λ=-=-.故答案为：1-.13.如图60°的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在二面角两个半平面内，且垂直于AB ，6AC BD ==，8AB =，则CD =__________．【答案】10【解析】【分析】过点B 作BE AC ∥，且6BE AC ==，连接CE ，DE ，先证明BDE V 为等边三角形，从而得到DE ，再证明CE DE ⊥，进而利用勾股定理即可求解．【详解】如图，过点B 作BE AC ∥，且6BE AC ==，连接CE ，DE ，则60DBE ∠=︒，又6BD BE ==，所以BDE V 为等边三角形，所以6DE =，则四边形ABEC 为矩形，即CE AB =，由AC AB ⊥，则EB AB ⊥，又BD AB ⊥，且BD EB B = ，所以AB ⊥平面BDE ，所以CE ⊥平面BDE ，又DE ⊂平面BDE ，所以CE DE ⊥，则由勾股定理得10CD ==．故答案为：10．14.若三棱锥的棱长为5，8，21，23，29，t ，其中*N t ∈，则t 的一个取值可以为______．【答案】25（答案不唯一）【解析】【分析】根据三角形的三边关系即可求解范围，进而根据*N t ∈求解.【详解】如图所示的三棱锥中，5,21,23,29,8AB AC BC BD CD =====,在,ABC BCD 中，三边关系符合三角形的边角关系，设AD t =，则1329AC CD AD AC CD AD -<<+⇒<<且2434BD AC AD BD AC AD -<<+⇒<<，因此2429AD <<，由于*N t ∈，故可取25t =，故答案为：25（答案不唯一）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设锐角ABC V 的内角、、A B C 的对边分别为,2sin a b c c A =,,，（1）求角C ；（2）若边7c =，面积为，求ABC V 的周长．【答案】（1）π3；（2）20.【解析】【分析】（1）由正弦定理得到sin 2C =，求出π3C =；（2）由三角形面积得到40ab =，根据余弦定理得到13a b +=，从而得到周长.【小问1详解】由2sin c A 及正弦定理，得2sin sin C A A =，又π02A <<，得sin 0A >，所以3sin 2C =，又C 为锐角，所以π3C =；【小问2详解】由（1）得13sin 24ABC S ab C ab ===△40ab =，由余弦定理，得()()222222cos 22cos 3c a b ab C a b ab ab C a b ab =+-=+--=+-，所以()223169a b c ab +=+=，所以13a b +=，所以ABC V 的周长为13720l a b c =++=+=．16.现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm 和184cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[)160,164，第2组[)164,168，…，第6组[)180,184，得到如下频率分布直方图．（1）求a 的值并估计这50名男生的身高的第60百分位数；（2）求这50名男生中身高在176cm 以上（含176cm ）的人数；（3）从这50名男生身高在176cm 以上（含176cm ）的人中任意抽取2人，求该2人中身高恰有1人在180cm 以上（含180cm ）的概率．【答案】（1）0.05；169.5（2）6（3）815【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的性质即可求解a 的值，再结合百分位数的定义即可求解结果；（2）根据图表先求出相应的频率，再求出频数即可；（3）根据图表先求出相应区间的人数，再根据古典概型求解概率即可.【小问1详解】由频率分布直方图知，()0.010.020.020.080.0741a +++++⨯=，解得0.05a =.因为()0.050.0740.48+⨯=，0.0840.32⨯=，所以第60百分位数落在[)168,172区间内，设第60百分位数为x ，则()1680.080.12x -⨯=，解得169.5x =，即第60百分位数为169.5.【小问2详解】由图知，身高在176cm 以上（含176cm ）的人数频率为0.0340.12⨯=，则身高在176cm 以上（含176cm ）的人数为500.126⨯=.【小问3详解】由（2）知，身高在176cm 以上（含176cm ）的人数为6，则身高在180cm 以上（含180cm ）的人数为1623⨯=，男生中身高在[)176,180内的人数为4，令身高在[)176,180内编号为1,2,3,4，身高在[)180,184内编号为5,6，则样本空间为()()()()(){()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,()()()()()()}3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6，所以该2人中身高恰有1人在180cm 以上（含180cm ）的概率为815.17.如图，在底面为菱形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，2PA AB ==，点E ，F 分别为棱BC ，PD 的中点，Q 是线段PC 上的一点．（1）若Q 是直线PC 与平面AEF 的交点，试确定PQ PC 的值；（2）若三棱锥C EQA -的体积为6，求直线AQ 与平面AEF 所成角的正弦值．【答案】（1）23（2）14【解析】【分析】（1）根据线线平行可得平面BNMK //平面AEF ,即可根据中点关系，结合面面平行的性质，即可求解AQH ∠的余弦值，根据AQ 与平面AEF 所成角与AQH ∠互为余角即可求解.（2）根据体积公式可得Q 是PC 中点，进而根据线线垂直证明PD ⊥平面AEF ，即可根据三角形的边角关系，以及余弦定理求解【小问1详解】取PA 中点为K ，取PF 中点M ，过M 作//MN PQ ,连接BN ，由于1//,,2KF AD KF AD =且1//,2BE AD BE AD =，故//,KF BE BE KF =,故四边形BEFK 为平行四边形，故//BK EF ，BK ⊄平面AEF ,EF ⊂平面AEF ,故//BK 平面AEF又//KM AF ,KM ⊄平面AEF ,AF ⊂平面AEF ,故//KM 平面AEF ,,,KM BK K KM BK ⋂=⊂平面BNMK ，故平面BNMK //平面AEF ,由于平面PBC 与平面BNMK 相交于BN ,于平面AEF 相交于EQ ，故//EQ BN ，又//MN PQ ，M 是PF 的中点，N 是BC 的中点，所以,NQ QC NQ PN ==,故Q 是PC 靠近于C 处的三等分点，故23PQ PC =【小问2详解】由于三棱锥C EQA -36，由于60,2ABC AB BC ∠=︒==,故ABC V 为等边三角形，故,3,AE BC AE ⊥=则11111331332326C EQA Q ECA ACE Q Q Q V V S h AE EC h h --===⨯⋅⋅=⨯⨯⋅= ,故1Q h =，即Q 到平面ABCD 的距离为1，由于2PA =,故Q 是PC 中点，由于PA ⊥平面ABCD ,AE ⊂平面ABCD ,故PA AE ⊥,又,//AE BC AD BC ⊥,则AE AD ⊥，,,PA AD A PA AD ⋂=⊂平面PAD ，故AE ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，故AE PD ⊥,又,PA AD F =为中点，故AF PD ⊥,,,AF AE A AF AE ⋂=⊂平面AEF ，故PD ⊥平面AEF ，取CD 的中点H ，连接HQ ,则//HQ PD ,故HQ ⊥平面AEF ，22221111222,2222222AQ PC QH PD ==+===+=,223AH AD DH =-=,则2222231cos 24222AQ QH AH AQH AQ QH +-+-∠===⋅⨯⨯,由于AQH ∠为锐角，且AQ 与平面AEF 所成角与AQH ∠互为余角，因此AQ 与平面AEF 所成角的正弦值为1418.已知函数()sin cos f x a x b x =+，称非零向量(),p a b = 为()f x 的“特征向量”，()f x 为p 的“特征函数”．（1）设函数()ππ2sin cos 36h x x x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求函数()h x 的“特征向量”；（2）若函数()f x 的“特征向量”为(3p = ，求当()85f x =且ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时sin x 的值；（3）若)3,1p = 的“特征函数”为()f x ，11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎣⎦且方程()()()2230f x a f x a +-+-=存在4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．【答案】（1）13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭（2433-（3）(]()1,34,5 ．【解析】【分析】（1）先利用两角和正余弦公式展开化简函数，再根据特征函数的概念求解即可；（2）由已知可得π4sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，利用ππsin sin 33x x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即可求解；（3）由定义得()f x 并化简（化为一个角的一个三角函数形式），解方程()()()2230f x a f x a +-+-=得()1f x =或()3f x a =-且31a -≠，()1f x =求得两根，然后作出函数()f x ，11π[0,]6x ∈的图象，由图象可得()3f x a =-且31a -≠有两根的的范围．【小问1详解】因为()3131312cos sin cos sin cos sin 222222h x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以ℎ的“特征向量”为13,22p ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭．【小问2详解】由题意知()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，由()85f x =得π82sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π4sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，ππ0,32x ⎛⎫+∈ ⎝⎭，所以π3cos 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ1π3π433sin sin sin cos 33232310x x x x ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．【小问3详解】()πcos 2sin6f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ,2π66x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦．由()()()2230f x a f x a +-+-=得()()()()()130f x f x a ---=，所以()1f x =或()3f x a =-，由()1f x =，即π1sin 62x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得0x =或2π3x =，即()1f x =在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个根，因为方程()()()2230f x a f x a +-+-=在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上存在4个不相等的实数根，所以当且仅当()3f x a =-且31a -≠在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根，在同一坐标系内作出函数=在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图像和直线3y a =-，因为方程()()34f x a a =-≠在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根，即当且仅当函数=在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图像和直线()34y a a =-≠有两个公共点，由图像可知：230a -<-≤或132a <-<，解得13a <£或45a <<，所以实数G 的取值范围是(]()1,34,5⋃．个公式，还考查了三角函数中的方程的根的问题.19.在空间直角坐标系O xyz -中，已知向量(,,)u a b c = ，点0000(,,)P x y z ．若平面α以u 为法向量且经过点0P ，则平面α的点法式方程可表示为000()()()0a x x b y y c z z -+-+-=，一般式方程可表示为0ax by cz d +++=．（1）若平面1α：210x y --=，平面1β：3210y z -+=，直线l 为平面1α和平面1β的交线，求直线l 的一个方向向量；（2）已知集合{(,,)|||1,||1,||1}P x y z x y z =≤≤≤，{(,,)|||||||2}Q x y z x y z =++≤，{(,,)|||||2,||||2,||||2}T x y z x y y z z x =+≤+≤+≤．记集合Q 中所有点构成的几何体的体积为1V ，P Q ⋂中所有点构成的几何体的体积为2V ，集合T 中所有点构成的几何体为W ．（ⅰ）求1V 和2V 的值；（ⅱ）求几何体W 的体积3V 和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值．【答案】（1）()1,2,3（2）（ⅰ）1323V =；2203V =；（ⅱ）316V =，12-【解析】【分析】（1）根据直线l 满足方程，对y 进行合理取值两次，求出,x z 即可求解；（2）（ⅰ）根据分析得到P Q '' 为截去三棱锥4123Q Q Q Q -所剩下的部分，然后用割补法求解体积即可；（ⅱ）利用题目中给定的定义求出法向量，结合面面角的向量法求解即可．【小问1详解】直线l 是两个平面210x y --=与3210y z -+=的交线，所以直线l 上的点满足2103210x y y z --=⎧⎨-+=⎩，不妨设1y =，则1,2x z ==，不妨设3y =，则2,5x z ==，∴直线l 的一个方向向量为：()()21,31,521,2,3---=；【小问2详解】（ⅰ）记集合Q ，P Q ⋂中所有点构成的几何体的体积分别为1V ，2V ，考虑集合Q 的子集{(,,)|2,0,0,0}Q x y z x y z x y z '=++≤≥≥≥，即为三个坐标平面与2x y z ++=转成的四面体，四面体四个顶点分别为(0,0,0)，(2,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)，此四面体的体积为1142(22)323Q V '=⨯⨯⨯⨯=，由对称性知13283Q V V '==，考虑到P 的子集P '构成的几何体为棱长为1的正方体，即{(,,)|01,01,01}P x y z x y z '=≤≤≤≤≤≤，{(,,)|2,0,0,0}Q x y z x y z x y z '=++≤≥≥≥，P Q ''∴ 为截去三棱锥4123Q Q Q Q -所剩下的部分，P '的体积1111P V '=⨯⨯=，三棱锥4123Q Q Q Q -的体积为41231111(11)326Q Q Q Q V -=⨯⨯⨯⨯=，P Q ''∴ 的体积为412315166P Q P Q Q Q Q V V V '''-=-=-= ，∴由对称性知22083P Q V V ''== ．（ⅱ）①记集合T 中所有点构成的几何体为W，如图，其中，正方体ABCD LIJM -即为集合P 所构成的区域，E ABCD -构成了一个正四棱锥，其中E 到面ABCD 的距离为2，1412233E ABCD V -=⨯⨯⨯=，W ∴的体积34686163P E ABCD V V V -=+=+⨯=．②由题意面EBC 的方程为20x z +-=，由题干定义知其法向量为1(1,0,1)n = ，面ECD 方程为20y z +-=，由题干定义知其法向量为2(0,1,1)n = ，1212121cos ,2||||n n n n n n ⋅∴<>==⋅ ，由图知两个相邻面所成的角为钝角，∴所成二面角的余弦值为：12-．【点睛】方法点睛：关于直线的方向向量求法，求出直线上的两个点坐标即可求解；求体积利用割补法，把不规则转规则进行求解：解决二面角的余弦值，利用空间向量来解决．。