线性系统的稳定性分析优秀课件

lt im Xou(t)0
结论4：设n维连续时间线性时变自治系统 x A ( t)xx ( t0 ) x 0 t [ t0 , )
系统在t0时刻内部稳定的充分必要条件为：状态转移矩阵Ф(t,t0)对所有t∈[t0,+∞] 为有界，并满足：
lt im (t,t0)0
结论5：对n维连续时间线性时不变自治系统 x Ax(0 )x0 t0
的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为李亚普诺夫意义下稳定，如果对任给一个实数ε>0， 都对应存在另一位赖于ε和t0的实数δ(ε,t0)>0，使得满足不等式‖X0-Xe‖≤δ(ε,t0)的任 一初始状态x0出发的受扰运动Φ(t；x0,t0)都满足不等式：
‖Φ(t；x0,t0)-Xe‖≤ε
t t0
⑴稳定的几何解释 ⑵李亚普诺夫意义下一致稳定 ⑶时不变系统的稳定属性 ⑷李亚普诺夫意义下稳定的实质
5．2 李亚普诺夫意义下运动的稳定性的一些基本概念
李亚普诺夫第一方法：间接法 李亚普诺夫第二方法：直接法
自治系统：没有输入作用的一类动态系统 x f(x ,t)x ( t0 ) x 0 t [ t0 , ) 平衡状态：状态空间中满足 x e f(x e,t) 0 t [t0 , )的一个状态
李亚普诺夫意义下的稳定 称自治系统 x f(x ,t)x ( t0 ) x 0 t [ t0 , )
以其姓氏命名的数学概念
• 在数学中以他的姓氏命名的有：李雅普诺夫第 一方法，李雅普诺夫第二方法，李雅普诺夫定 理，李雅普诺夫函数，李雅普诺夫变换，李雅 普诺夫曲线，李雅普诺夫曲面，李雅普诺夫球 面，李雅普诺夫数，李雅普诺夫随机函数，李 雅普诺夫随机算子，李雅普诺夫特征指数，李 雅普诺夫维数，李雅普诺夫系统，李雅普诺夫 分式，李雅普诺夫稳定性等等，而其中以他的 姓氏命名的定理、条件有多种.

。 对于稳定的线性系统，它必然在大范围内和小范围 内都能稳定，只有非线性系统才可能有小范围稳定而大 范围不稳定的情况。
线性控制系统
的定义如下：
若线性控制系统在初始扰动(t)的影响下，其过
渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则
称系统为稳定。反之，则为不稳定。
线性系统的稳定性只取决于系统自身固有特性，而 与输入信号无关。
1
1
s2 2
2
s1
0
0
s0 ：劳斯表中某行元素全为零。此时，特征
方程中存在对原点对称的根（实根，共轭虚根或共轭复数 根）。对此情况，可作如下处理：
用全为零上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助 方程求导，用所得方程的系数代替全零行，继续劳斯表。
s4 1
3
2
s3 1 s2 2
1
2
F(s) = 2s2+ 2
的右边？
解：1) s3 2
13
s2 10
4
s1 12.2
劳斯表中第一列元素均 为正
∴系统在s 右半平面没有 根，系统是稳定的。
s0 4
2) 令 s = s1 1 坐标平移，得新特征方程为 2s13+ 4s12 s1 1 = 0
第三讲 线性系统的时域分析法
第3学时
----控制系统的稳定性分析
3.5 线性系统的稳定性分析
如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差
有多大，当扰动取消后，系统都能以足够的准确度恢复
到初始平衡状态，则这种系统称为
；
如果系统受到有界扰动，只有当扰动引起的初始偏差小 于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡 状态，否则就可以导出，系统特征根都具有负实部的必要 条件为：

2.4 运动分析
开始观察的时间变量。
式(2)实际上描述了系统式(1)在n 维状态空间中从初始条件
出
发的一条状态运动的轨迹，简称系统的运动或状态轨线。
若系统式(1)存在状态矢量 ，对所有 ，都使：
（3）
成立，则称 为系统的平衡状态。
对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态，有时即使存在也未必是唯
一的，例如对线性定常系统：
定的，简称是稳定的。
x0 xe 表示状态空间中x0点至xe点之间的距离，其数学表达式为：
x0 xe (x10 x1e )2 (xn0 xne )2
3) 一致稳定性：
通常δ 与、t0 都有关。如果δ 与t0 无关，则称平衡状态是一致稳定的。定常系统的
δ 与t0 无关，因此定常系统如果稳定，则一定是一致稳定的。
有
。
所有在域 中的任何非零矢量 ，如果：
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2.4 运动分析
4）渐近稳定性： 系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫意义下的稳定性，且有：
lim x(t; x0 , t0 ) xe 0
t
称此平衡状态是渐近稳定的。
5）大范围稳定性： 当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称此平衡状态是大范围稳定的，
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第2章 线性系统理论
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主要内容
2.1 基本概念 2.2 状态空间表达式的建立 2.3 线性变换 2.4 运动分析 2.5 综合问题 2.6 状态重构与状态观测器 2.7 最优控制
2
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2.4 运动分析

? 对上述李雅普诺夫稳定性定理的使用有如下说明:
1) 此定理只为判别系统一致渐近稳定的充分条件, 而非必要条件。
?
也就是说,若找到满足上述条件
的一个李雅普诺夫函数,则系统是一致渐近稳
定或大范围一致渐近稳定的。
?
但是,如果我们一时找不到这样
的李雅普诺夫函数,也并不意味着平衡态就不
是渐近稳定的。
?
此时,我们或者
1) V'(x,t)为正定的,则该系统在原点处的平衡态是不 稳定的;
2) 若V'(x,t)为非负定的,且对任意的t0和任意的
x(t0)? 0, V'(x,t)在t>t0时不恒为零,那么该平衡态xe亦是不
稳定的。
□
V(x)
V'(x)
结论
? 下正定面(>将0) 前面讨论的负定李(<0雅) 普诺夫稳该定平衡性态的渐近判稳定定
? (1) 渐近稳定性定理
? 定理 设系统的状态方程为
? x'=f(x,t)
? 其中xe=0为其平衡态。
? 若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t),满 足下述条件:
?
1) 若V'(x,t)为负定的,则该系统
在原点处的平衡态是一致渐近稳定的;
?
2) 更进一步，若随着||x||→? ,
有V(x,t)→? ,那么该系统在原点处的平衡态是
?
继续寻找满足条
件的李雅普诺夫函数,或者
?
可利用后续定理
的结论来判别平衡态的渐近稳定性。
2) 对于渐近稳定的平衡态,满足条件的李雅普诺夫 函数总是存在的,但并不唯一。
3) 对于非线性系统,虽然具体的李雅普诺夫函数可 证明所讨论的系统在平衡态的邻域内是渐近稳定的,但 并不意味着在其他的区域系统是或不是渐近稳定的;