经典线性回归模型的诊断与修正

R--线性回归诊断（⼀）线性回归诊断--R【转载时请注明来源】：Ljt 勿忘初⼼⽆畏未来作为⼀个初学者，⽔平有限，欢迎交流指正。

在R中线性回归，⼀般使⽤lm函数就可以得到线性回归模型，但是得到的模型到底合不合适？在我们使⽤所得到的线性模型之前就需要进⾏回归诊断。

线性回归的诊断，主要是检验线性回归模型的假设是否成⽴。

线性回归模型 y=Θ0+Θ1x1+Θ2x2+.......+Θm x m+ε（⾃变量与因变量之间是线性关系）基本假设：（1）随机⼲扰项ε服从零均值，同⽅差，零协⽅差（相互独⽴）的正态分布E(εi)=0 ; var(εi)=σ2 ;cov(εi , εj)=0 ;εi~N(0,σ2)（2）随机⼲扰项ε与解释变量间不相关cov(X i , εi) =0（⼀）显著性检验（1）回归⽅程显著性 F 检验：看⾃变量 X1 , X2 .....X m 从整体上对随机变量Y是否有明显的影响。

原假设 H0：Θ1 =Θ2=.....=Θm=0 （H0 若被接受则表明随机变量Y与X1 , X2 .....X m 之间的关系由线性回归模型表⽰不合适）P值<α : 拒绝原假设。

即在显著性⽔平α下，Y 与 X1 , X2 .....X m 有显著的线性关系，回归⽅程是显著的。

（⾃变量全体对因变量产⽣线性影响）（2）回归系数显著性 t 检验：看单个的⾃变量 X i 对Y是否有明显影响。

原假设 H0i：Θi =0 （H0i若被接受则表明⾃变量X i 对因变量Y的线性效果不显著）P值<α : 拒绝原假设。

即在显著性⽔平α下，Y 与 X i有显著的线性关系。

对于⼀元线性回归这两种检验是等价的；对于多元线性回归，这两种检验是不等价的:F检验显著，说明Y对⾃变量X1 , X2 .....X m整体的线性回归效果是显著的，但不等于Y对每个⾃变量X i 的效果都显著;反之，某个或某⼏个X i的系数不显著，回归⽅程显著性的F检验仍然有可能是显著的。

一、数据来源
数据：国家统计局（1981~2010年国内生产总值与固定资产投资）软件版本：EVIEWS7.2
二、回归结果
1、一元线性回归：
三、模型诊断与修正
DW检验：相关系数δ=0.8546，查表得，
1.35
1.49
L
U
d
d
=
=
经检验，DW<1.35,自变量呈一阶正自
相关
四、广义差分法修正后的结果
对E 进行滞后一期的自回归，可得回归方程：E=0.9337E(-1)
对原模型进行广义差分，输出结果为：
**ˆˆ6981.723 1.002749t t y x =+
由于使用广义差分数据，样本容量减少了1个，为29个。

查5%的显著性水平的DW
统计表可知， 1.341.48
L U d d ==，模型中的4-DU>DW>DU ，所以广义差分模型已无序列相关。

根据()1ˆˆ16981.723βρ-=，可得1
ˆ=105305.023β。

因此，原回归模型应为 105305.023 1.002749t t y x =+
采用普莱斯-文斯滕变换后第一个观测值变为211y δ-为1750.7019和211x δ-为344.1377，变换后普通最小二乘结果为**ˆˆ7555.503 1.0611t t y
x =+，根据()1ˆˆ17555.503βρ-=，得1
ˆ=113959.321β，由此，最终模型是 ˆ113959.321 1.0611t t y
x =+。

Yt = α + βXt + ut 中 α 和 β 的估计值 和
,
使得拟合的直线为“最佳”。
直观上看，也就是要求在X和Y的散点图上
Y
* * Yˆ ˆ ˆX
Yt
* **
Yˆt
et * *
*
*
**
*
**
**
*
Xt
X
图 2.2
残差
拟合的直线 Yˆ ˆ ˆX 称为拟合的回归线.
对于任何数据点 (Xt, Yt), 此直线将Yt 的总值 分成两部分。
β
K
βK
β1 β1
...
βK
βK
Var(β 0 )
Cov(β1 ,β
0
)
Cov(β 0 ,β1 )
Var(β1 )
...
Cov(β
0
,β
K
)
...
Cov(β1
,β
K
)
...
...
...
...
Cov(β
K
,β
0
)
Cov(β K ,β1 )
...
Var(β K )
不难看出，这是 β 的方差-协方差矩阵，它是一 个(K+1)×(K+1)矩阵，其主对角线上元素为各 系数估计量的方差，非主对角线上元素为各系 数估计量的协方差。
ut ～ N (0, 2 ) ，t=1,2,…n
二、最小二乘估计
1. 最小二乘原理
为了便于理解最小二乘法的原理，我们用双
变量线性回归模型作出说明。
对于双变量线性回归模型Y = α+βX + u， 我 们
的任务是，在给定X和Y的一组观测值 (X1 ,

线性回归模型的经典假定及检验、修正一、线性回归模型的基本假定1、一元线性回归模型一元线性回归模型是最简单的计量经济学模型，在模型中只有一个解释变量，其一般形式是Y =β0+β1X 1+μ其中，Y 为被解释变量，X 为解释变量，β0与β1为待估参数，μ为随机干扰项。

回归分析的主要目的是要通过样本回归函数（模型）尽可能准确地估计总体回归函数（模型）。

为保证函数估计量具有良好的性质，通常对模型提出若干基本假设。

假设1：回归模型是正确设定的。

模型的正确设定主要包括两个方面的内容：（1）模型选择了正确的变量，即未遗漏重要变量，也不含无关变量；（2）模型选择了正确的函数形式，即当被解释变量与解释变量间呈现某种函数形式时，我们所设定的总体回归方程恰为该函数形式。

假设2：解释变量X 是确定性变量，而不是随机变量，在重复抽样中取固定值。

这里假定解释变量为非随机的，可以简化对参数估计性质的讨论。

假设3：解释变量X 在所抽取的样本中具有变异性，而且随着样本容量的无限增加，解释变量X 的样本方差趋于一个非零的有限常数，即∑(X i −X ̅)2n i=1n→Q,n →∞ 在以因果关系为基础的回归分析中，往往就是通过解释变量X 的变化来解释被解释变量Y 的变化的，因此，解释变量X 要有足够的变异性。

对其样本方差的极限为非零有限常数的假设，旨在排除时间序列数据出现持续上升或下降的变量作为解释变量，因为这类数据不仅使大样本统计推断变得无效，而且往往产生伪回归问题。

假设4：随机误差项μ具有给定X 条件下的零均值、同方差以及无序列相关性，即E(μi|X i)=0Var(μi|X i)=σ2Cov(μi,μj|X i,X j)=0, i≠j随机误差项μ的条件零均值假设意味着μ的期望不依赖于X的变化而变化，且总为常数零。

该假设表明μ与X不存在任何形式的相关性，因此该假设成立时也往往称X为外生性解释变量随机误差项μ的条件同方差假设意味着μ的方差不依赖于X的变化而变化，且总为常数σ2。

处理方法
可以通过对自变量进行变换（如对数 转换、幂转换等）或使用多项式回归 等方法处理非线性关系，提高模型拟 合效果。
时间序列数据的处理
时间序列数据的特点
时间序列数据具有时序依赖性和动态 变化性，不同时间点的数据之间存在 相关性。
处理方法
通过差分、季节性差分、指数化等方 法消除时间序列数据的趋势和季节性 影响，或者使用ARIMA、SARIMA等 时间序列模型对数据进行拟合和预测。
可以通过剔除相关性较高的自变量、使用主成分分析等方法处
理多重共线性问题。
无异方差性
异方差性的定义
异方差性是指误差项的方差不恒定，即随着自变量的变化，误差 项的方差也会发生变化。
异方差性的检验
可以通过图形方法（如残差图）或统计方法（如White检验）来 检验异方差性。
处理异方差性的方法
可以通过使用稳健的标准误、对数变换等方法处理异方差性问题。
准线性回归模型
• 引言 • 模型假设 • 标准线性回归模型的参数估计 • 模型的评估与诊断 • 线性回归模型的扩展 • 案例分析
01
引言
目的和背景
探索自变量与因变量 之间的非线性关系
为复杂数据提供更准 确的预测和解释
弥补标准线性回归模 型的局限性，处理非 线性数据
标准线性回归模型的定义
线性关系
检验残差是否服从正态分布。
详细描述
正态性检验是用来检验回归模型的残差是否服从正态分布的一种方法。如果残差服从正态分布，那么 我们可以认为模型满足经典假设之一，这有助于我们更好地理解和解释模型的结果。
异方差性检验
总结词
检验残差是否具有异方差性。
详细描述
异方差性检验是用来检验回归模型的残差是否具有异方差性的一种方法。如果残差具有 异方差性，那么模型的估计参数可能会受到影响，导致模型的结果不准确。因此，进行

2020年8月3日星期一
重庆交通大学管理学院
08:19:10
残差分析
❖ 残差种类 非标准化残差（原始残差） 标准化残差（Pearson残差） 学生化残差 剔除残差 学生化剔除残差
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残差分析
❖ 模型适用条件的检验－因变量与自变量之间存在线性 关系的检验（以例1为例：年龄）
初步分析： 与简单线性回归相类似，先绘制散点图，以便在进行回 归分析之前了解各变量之间是否存在线性关系。本例有 两个自变量与一个反应变量，绘制散点图矩阵，如下。
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08:19:08
简单分析实例－初步分析
❖ 绘制散点图矩阵
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模型的进一步诊断与修正
❖ 多重共线性的识别
多重共线性：是指自变量间存在相关关系，即一个自变量可以用其他 一个或几个自变量的线性表达式进行表示。有以下表现形式：
整个模型的方差分析结果为P<，但各自变量的偏回归系数的统计学 结果却为P> ;
专业上认为应该有统计学意义的自变量检验结果却无统计学意义； 自变量的偏回归系数取值大小甚至符号明显与实际情况违背，难以 解释； 增加或删除一条记录或一个自变量，偏回归系数发生很大变化。
2020年8月3日星期一
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08:19:11
残差分析
❖ 模型适用条件的检验－方差齐性的检验
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08:19:11
残差分析
❖ 模型适用条件的检验－正态性的检验
2020年8月3日星期一

经典线性回归模型经典回归模型在涉及到时间序列时，通常存在以下三个问题：1）非平稳性→ ADF单位根检验→ n阶单整→取原数据序列的n阶差分（化为平稳序列）2）序列相关性→D.W.检验/相关图/Q检验/LM检验→n阶自相关→自回归ar(p)模型修正3）多重共线性→相关系数矩阵→逐步回归修正注：以上三个问题中，前两个比较重要。

整体回归模型的思路：1）确定解释变量和被解释变量，找到相关数据。

数据选择的时候样本量最好多一点，做出来的模型结果也精确一些。

2）把EXCEL里的数据组导入到Eviews里。

3）对每个数据序列做ADF单位根检验。

4）对回归的数据组做序列相关性检验。

5）对所有解释变量做多重共线性检验。

6）根据上述结果，修正原先的回归模型。

7）进行模型回归，得到结论。

Eviews具体步骤和操作如下。

一、数据导入1）在EXCEL中输入数据，如下：除去第一行，一共2394个样本。

2）Eviews中创建数据库：File\new\workfile, 接下来就是这个界面（2394就是根据EXCEL里的样本数据来），OK3）建立子数据序列程序：Data x1再enter键就出来一个序列，空的，把EXCEL里对应的序列复制过来，一个子集就建立好了。

X1是回归方程中的一个解释变量，也可以取原来的名字，比如lnFDI，把方程中所有的解释变量、被解释变量都建立起子序列。

二、ADF单位根检验1）趋势。

打开一个子数据序列，先判断趋势：view\graph，出现一个界面，OK。

得到类似的图，下图就是有趋势的时间序列。

X1.4.2.0-.2-.4-.6-.8100020003000400050002）ADF检验。

直接在图形的界面上进行操作，view\unit root test，出现如下界面。

在第二个方框内根据时序的趋势选择，Intercept指截距，Trend为趋势，有趋势的时序选择第二个，OK，得到结果。

上述结果中，ADF值为-3.657113，t统计值小于5%，即拒绝原假设，故不存在单位根。

线性回归模型的建模与分析方法线性回归模型是一种常用的统计学方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。

在本文中，我们将探讨线性回归模型的建模与分析方法，以及如何使用这些方法来解决实际问题。

一、线性回归模型的基本原理线性回归模型假设自变量与因变量之间存在线性关系，即因变量可以通过自变量的线性组合来预测。

其基本形式可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y表示因变量，X1、X2、...、Xn表示自变量，β0、β1、β2、...、βn表示回归系数，ε表示误差项。

二、线性回归模型的建模步骤1. 收集数据：首先需要收集自变量和因变量的相关数据，确保数据的准确性和完整性。

2. 数据预处理：对数据进行清洗、缺失值处理、异常值处理等预处理步骤，以确保数据的可靠性。

3. 模型选择：根据实际问题和数据特点，选择适合的线性回归模型，如简单线性回归模型、多元线性回归模型等。

4. 模型拟合：使用最小二乘法等方法，拟合回归模型，得到回归系数的估计值。

5. 模型评估：通过统计指标如R方值、调整R方值、残差分析等，评估模型的拟合优度和预测能力。

6. 模型应用：利用已建立的模型进行预测、推断或决策，为实际问题提供解决方案。

三、线性回归模型的分析方法1. 回归系数的显著性检验：通过假设检验，判断回归系数是否显著不为零，进一步判断自变量对因变量的影响是否显著。

2. 多重共线性检验：通过计算自变量之间的相关系数矩阵，判断是否存在多重共线性问题。

若存在多重共线性，需要进行相应处理，如剔除相关性较高的自变量。

3. 残差分析：通过观察残差的分布情况，判断模型是否符合线性回归的基本假设，如误差项的独立性、正态性和方差齐性等。

4. 模型诊断：通过观察残差图、QQ图、杠杆值等，判断是否存在异常值、离群点或高杠杆观测点，并采取相应措施进行修正。

5. 模型优化：根据模型评估结果，对模型进行优化，如引入交互项、非线性变换等，以提高模型的拟合效果和预测准确性。

·β的OLS估计量：在假定2.3成立时
( ) å å b =
XTX
-1 X T Y
= çæ 1 èn
n i=1
xi xiT
Hale Waihona Puke -1ö æ1 ÷ç ø èn
n i=1
xi yi
÷ö ø
( ) ·估计量的抽样误差（sampling error）： b - b = X T X -1 X Te
·第i次观测的拟合值（fitted value）： yˆi = xiTb
且自变量的回归系数和 y 与 x 的样本相关系数之间的关系为
b1 == corr(Y , X )
å( 1 n
n - 1 i=1
yi
- y)2
º r sy
å( ) 1 n
n - 1 i=1
xi - x 2
sx
·修正决定系数(adjusted coefficient of determination, adjusted R square)
4．假定我们观测到上述这些变量的n组值： (y i , x i1 , L , ) x ip (i=1，…，n)。称
这n组值为样本（sample）或数据（data）。
§2.2 经典线性回归模型的假定
假定 2.1（线性性(linearity)）
yi = b0 + b1xi1 + L + b p xip + e i (i=1，…，n)。
( ) ( ) E ~x jei
çæ E x j1e i =ç M
÷ö ÷=0
(i=1，…，n ; j=1，…，n )。
( ) ç
è
E
x jp e i
÷ ø
·不相关条件（zero­correlation conditions）

R Square Adjusted R Square 标准误差 观测值
0.925064 0.855744
0.814528
0.192504 19
方差分析
回归分析 残差 总计
df 4
14 18
SS 3.077652 0.518811 3.596463
Intercept X Variable 1 X Variable 2 X Variable 3 X Variable 4
还有模型的设定
标准的回归假定：
1，关于模型设定的假定 2，关于误差的假定 3，关于预测变量的假定
非随机的 其取值是误差取得的，但几乎不可能。测量误差将 影响到误差方差，相关系数，复相关系数及回归系数 的估计，其影响程度的大小取决于多个因素。 是线性无关的
4，关于观测的假定 所有观测是同样可靠性
数据的诊断 异常值 强影响点 假定是否满足
y
12
10
8
6
4
2
0
0
10
20
30
x 40
存在一个有影响观测值的散点图
有影响的观测值 (图示)
y
12
10
8
6
4
存在影响值的趋势
2
有影响的观
测值
0
0
10
20
30
x 40
存在一个有影响观测值的散点图
有影响的观测值 (图示)
y
12
10
不存在影响
8
值的趋势
6
4
存在影响值的趋势
2
有影响的观
测值
0
0
10
20
其次，必须确定“度量影响的尺度是什么？”为 了定量地刻划影响的大小，迄今为止已提出多种 尺度，基于置信域的尺度，基于似然函数的尺度 等等。

模型的诊断和修正
自相关检验及修正的EViews操作


1.绘图检验自相关问题的EViews操作 进行了OLS回归后，选择EViews主窗口的Quick|Graph命令，输入残差序列名 （Resid），选择图形类型，最后单击确定键即得到残差图。绘制残差序列图也可以通 过Equation对象窗口的Resids按钮或View|Acutal,Fitted,Residual命令实现。 2.DW检验操作 通常OLS回归估计输出结果中包含着对模型的D.W.检验结果，无需单独进行操作。通 过查询DW临界值表可以判断模型自相关问题。DW统计量值越接近2，表明自相关程 度越弱。
哈维检验
戈列瑟检验 自回归条件LM检验 怀特检验 用户自主设定检验
模型的诊断和修正


（3）输出检验结果
F-statistic是辅助方程整体显著性的F统计量；Obs*Rsquared是怀特检验的统计量 ，通过比较 Obs*Rsquared的概率值和显著性水平可以对方程是否存在异方 差进行判断。 图示的怀特检验结果中Obs*R-squared的概率值小于显 著性水平0.05，则拒绝原假设，方程存在异方差。


模型的诊断和修正

内生变量问题与两阶段最小二乘法（TSLS） 最小二乘法要求解释变量与随机误差相互独立， 如 果解释变量与随机误差项不相互独立，模型就 存在 内生性问题。
பைடு நூலகம்
模型的诊断和修正


1. 内生性的含义及后果 当解释变量与随机误差不相互独立时，我们称模型存在内生性问题。 引起内生性问题的原因通常有忽略了重要的解释变量、变量之间存在 联立性、变量存在测量误差等等。 内生性使得模型不能满足OLS的基本假设，对模型进行OLS估计得到 估计量是有偏且不一致的。 2.内生性的解决方法-两阶段最小二乘法（TSLS） 模型存在内生性问题时，需要寻找一组工具变量（Instrument Variable）以消除解释变量和随机误差项之间的相关性。选择的工具 变量应当与解释变量高度相关但与随机误差项无关，且工具变量的个 数应大于等于模型需要估计的系数个数，以保证模型的可识别要求。 两阶段最小二乘法估计的第一阶段是利用原模型解释变量对工具变量 进行最小二乘法估计，得到解释变量的拟合值。第二阶段利用第一阶 段得到的解释变量拟合值对原模型进行最小二乘估计从而得到模型的 估计值。这样可以消除内生性影响，获得较为准确的模型估计值。

第二章 经典单方程计量经济学模型： 一元线性回归模型
回归分析概述 一元线性回归模型的参数估计 一元线性回归模型的检验 一元线性回归模型的预测 实例
§2.1 回归分析概述
一、变量间的关系及回归分析的基本概念 二、总体回归函数（PRF） 三、随机扰动项 四、样本回归函数（SRF）
2020/3/6
LOU YONG
表 2.1.3 家庭消费支出与可支配收入的一个随机样本 Y 800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 X 594 638 1122 1155 1408 1595 1969 2078 2585 2530
2020/3/6
LOU YONG
20
• 该样本的散点图（scatter diagram)：
分i。
2020/3/6
LOU YONG
17
上式称为总体回归函数（PRF）的随机 设定形式。表明被解释变量除了受解释 变量的系统性影响外，还受其他因素的 随机性影响。
由于方程中引入了随机项，成为计量经 济学模型，因此也称为总体回归模型。
2020/3/6
LOU YONG
18
随机误差项主要包括下列因素 在解释变量中被忽略的因素的影响； 变量观测值的观测误差的影响； 模型关系的设定误差的影响； 其他随机因素的影响。
回归系数（regression coefficients）。
2020/3/6
LOU YONG
15
三、随机扰动项
总体回归函数说明在给定的收入水平Xi下，该社 区家庭平均的消费支出水平。
但对某一个别的家庭，其消费支出可能与该平 均水平有偏差。
称为观察值围绕它的期望值的离差 （deviation），是一个不可观测的随机变量， 又称为随机干扰项（stochastic disturbance）或 随机误差项（stochastic error）。

DOI:10.13546/ki.t j y j c.2019.24.001基于残差分析的线性回归模型的诊断与修正胡菊华(江西农业大学理学院，南昌330045)摘要：残差蕴含了线性回归模型基本假定的许多重要信息，文章通过分析残差，探讨回归模型基本假定的适应性和模型的合理性问题。

以预测某一类型的肝手术病人的生存时间为例，利用残差的特点反推数据的适用性和模型的合理性。

通过相应的措施实施改进，建立“最优”回归模型，减少盲目尝试修改模型的做法，为模型优化提供方向，为问题解决提供有效途径。

关键词：残差分析；残差图；线性回归模型中图分类号:0221.1 文献标识码:A 文章编号：1002-6487(2019)24-0005-04〇引言随着统计软件的普及，回归分析再次受到人们的重 视，它已成为各个领域中科技人员分析数据的一种常用工 具，但在实际应用中往往对回归分析的适用性以及违反了 模型假设条件的处理重视不够，简单套用的情况时有发 生。

解决这一问题的方法就是进行回归诊断。

自19世纪 70年代起，F.J.Anscombe和J.W.Tukey等学者进行了回归 诊断方面的研究，而残差分析在考察回归模型假设条件的 合理性及模型的适应性方面有独特的优势。

£■(£,.)= 〇;③D(e,)= f f2 ,称之为齐方差性假定。

如果该项 假定不满足，则称之为异方差问题；④C〇v(e,_，e;) =0，(!'#人~'=1，2，〜，《),如果不满足该项假定，称之为 自相关问题。

如何考察数据是否满足这些基本假定呢？由于这些 假设主要都是针对随机误差项e提出的，所以要从分析随 机误差项e的估计量(残差)人手，通过对残差及残差图的 分析来考察模型假设的适用性和模型的合理性。

2残差分析的相关理论1线性回归模型及其基本假定设线性回归模型的矩阵形式为:Y=Xp+eE(s)= 0,cov(e)= a2/ (1)在模型（l)中，称y为观测向量，称x为设计矩阵，称A为回归系数，称e为随机误差向量，称£(e)= 0和cov(e)= <j2/…为高斯-马可夫条件。

线性回归(异方差的诊断、检验和修补)—S P S S操作-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN线性回归（异方差的诊断、检验和修补）—SPSS操作首先拟合一般的线性回归模型，绘制残差散点图。

步骤和结果如下：为方便，只做简单的双变量回归模型，以当前工资作为因变量，初始工资作为自变量。

（你们自己做的时候可以考虑加入其他的自变量，比如受教育程度等等）Analyze——regression——linear将当前工资变量拉入dependent框，初始工资进入independent点击上图中的PLOTS，出现以下对话框：以标准化残差作为Y轴，标准化预测值作为X轴，点击continue，再点击OK第一个表格输出的是模型拟合优度2R，为0.775。

调整后的拟合优度为0.774.第二个是方差分析，可以说是模型整体的显着性检验。

F统计量为1622.1，P值远小于0.05，故拒绝原假设，认为模型是显着的。

第三个是模型的系数，constant代表常数项，初始工资前的系数为1.909，t检验的统计量为40.276，通过P值，发现拒绝原假设，认为系数显着异于0。

以上是输出的残差对预测值的散点图，发现存在喇叭口形状，暗示着异方差的存在，故接下来进行诊断，一般需要诊断异方差是由哪个自变量引起的，由于这里我们只选用一个变量作为自变量，故认为异方差由唯一的自变量“初始工资”引起。

接下来做加权的最小二乘法，首先计算权数。

Analyze——regression——weight estimation再点击options，点击continue，再点击OK，输出如下结果：由于结果比较长，只贴出一部分，第二栏的值越大越好。

所以挑出来的权重变量的次数为2.7。

得出最佳的权重侯，即可进行回归。

Analyze——regression——linear继续点击save，在上面两处打勾，点击continue，点击ok这是输出结果，和之前同样的分析方法。

这里着重讨论简单而又最一般的线性 回归问题，这是因为许多非线性的情形可 以化为线性回归来做。多元线性回归分析 的原理与一元线性回归分析完全相同，但 在计算上却要复杂得多。
第五节 多元线性回归分析
一、多元线性回归分析概述
多元线性回归模型
y 0 1x1 2x2 L mxm
式中β0 β1 β2 … βm 为〔偏〕回归系数 多元线性回归方程
由x预测y时，y有一定的误差，其标准误差为：
sy se
1 1 x x 2
n SSx
因此由x预测y时，y 的95%置信区间为：
yˆ t0.05 sy
实例： 由x预测y的预测区间
第一步：计算当x=2500时， y 的点估计值：
yˆ 190.955 0.094868 2500 428.125
实例：t 检验
dfe n 2 10 2 8， t0.05 2.306，t0.01 3.355 | t | 18.14 t0.01 3.355
结论：回归关系极显著，可得线性回归方程
yˆ 190.955 0.094868x
用光照强度来预测净光合强度是合理的。
第四节 预测值的置信区间
C(i+1)(i+1)为矩阵(X’X)-1的(i+1)(i+1)元素 Q 为误差平方和，自由度：df=n-m-1
第五节 多元线性回归分析
2、回归系数的假设检验
2〕F检验 原假设 H0 ：βi＝0
统计量为： F
Ui
bi2 / c(i1)(i1)
Q / n m 1 Q / n m 1
其中：Ui 为xi对y的回归平方和，Q 为误差平方和 C(i+1)(i+1)为矩阵(X’X)-1的(i+1)(i+1)元素 自由度：df1 = 1 df2 = n-m-1

回归分析中的线性模型选择与评估回归分析是统计学中一种重要的数据分析方法，用于探索自变量与因变量之间的关系。

在回归分析中，线性模型的选择与评估是非常关键的环节。

本文将介绍回归分析中的线性模型选择与评估的方法和步骤。

一、线性模型选择在线性回归分析中，线性模型的选择是基于变量之间的关系和模型的拟合程度。

常见的线性模型选择方法有以下几种：1. 前向选择法（Forward Selection）：从一个空模型开始，逐步添加自变量，每次添加一个最相关的自变量，直到满足一定的准则为止。

2. 后向消元法（Backward Elimination）：从一个包含所有自变量的完全模型开始，逐步剔除最不相关的自变量，直到满足一定的准则为止。

3. 逐步回归法（Stepwise Regression）：结合前向选择法和后向消元法，既可以添加自变量，也可以剔除不相关的自变量。

4. 最优子集选择（Best Subset Selection）：遍历所有可能的子集模型，通过比较其拟合优度和准则选择最优的子集模型。

在选择线性模型时，需要考虑以下几个因素：1. 自变量与因变量之间的相关性：选择与因变量相关性较高、影响较大的自变量。

2. 自变量之间的共线性：避免选择存在共线性问题的自变量，以免降低模型的稳定性和可靠性。

3. 模型的解释力：选择能够提供较好解释因变量变化的自变量。

二、线性模型评估在选择线性模型后，需要对模型进行评估，判断其拟合程度和可靠性。

常用的线性模型评估方法有以下几种：1. 残差分析：通过分析模型的残差（观测值与模型预测值之间的差异）来评估模型的拟合程度和误差。

2. 拟合优度检验：利用F检验或多重判定系数R^2来判断模型是否能够解释因变量的变异。

3. 参数估计与显著性检验：对模型的系数进行估计，并进行显著性检验，判断模型中的自变量是否对因变量有统计显著影响。

4. 多重共线性检验：通过计算VIF（方差膨胀因子）来评估模型中自变量之间的共线性程度。

分析： 原假设H0： 备择假设H1：至少有一个约束不满足。
H1成立，对应原模型（长模型），也称为不受约束模型（UR）： 回归残差（RSSUR）
H0成立，对应短模型，也称为受约束模型（R） 回归残差（RSSR）
构造统计量：
为了检验RSSR与RSSUR的差距。 如果原假设成立，约束条件自然成立，因此两者差距小。（小于临界 值） 如果备择假设成立，约束条件不成立，两者差距大，（大于临界值）
（2）（3）可以合并为： 假设（2），（3）说明随机项u的方差－协方差矩阵为对角矩阵：
（4）各解释变量之间不存在严格的线性关系（即不存在“严格的多重 共线性”）
即X是满秩的。此时矩阵X’X也是满秩的， 所以行列式 ，保证了 可逆。是OLS估计可以进行的前提。
含义： ①从直观含义来看。模型中的变量对于解释Y提供了新的信息，不能由 其他信息完全替代 ②从参数的含义来看。保持其他信息不变时，如果存在严格多重共线， 则无法做到 ③从系数的求解来看：缺少足够信息将两变量的影响区分开来 三、最小二乘估计 1、最小二乘估计原理 分析：直观上看，也就是要求在X和Y的散点图上穿过各观测点画出一 条“最佳”直线，如下图所示。
4、最小二乘估计的矩阵表示 （具体可以参考陈强的书） 我们的目标是使得回归的残差平方和达到最小，即：
则它的一阶条件为： 化简得：
四、OLS估计量的性质 1、线性性(有助于确定估计量的分布)
2、无偏性（有助于确定正态分布的均值） 即 其中， 两边取期望 与零均值假定，以及非随机解释变量两个假设有关
3、最小方差性（有助于确定正态分布的方差） (1)方差-协方差矩阵： （2）方差协方差矩阵的计算 方法1： 方法2
3、调整的拟合优度 （1）拟合优度（判定系数）的缺陷 可以证明，多重决定系数时模型中解释变量个数的不减函数，这给对 比含有不同解释变量个数的模型的决定系数带来困难（缺陷），需要修 正。