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第四章 经典线性回归模型(高级计量经济学清华大学 潘文清)概要

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线性回归分析教程ppt

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04
线性回归分析的应用
预测与决策
销售预测
通过分析历史销售数据，建立线性回归模型，预测未来销售趋势，为企业的生产和库存管理提供决策 依据。
投资决策
利用线性回归分析评估投资项目的潜在收益和风险，帮助投资者做出明智的决策。
市场细分与定位
市场细分
通过线性回归分析，识别不同消费群体 的特征和需求，将市场细分为不同的子 市场，以便更有针对性地进行营销。
影响预测精度。
数据不平衡
03
在某些情况下，某些类别的样本数量过少，可能导致模型对少
数类别的预测能力不足。
样本选择偏差
过拟合
训练数据集过小或过于特定，导致模型对训练数据过度拟合，而 对新数据预测能力不足。
欠拟合
训练数据集过大或过于复杂，导致模型过于简单，无法捕捉到数 据中的复杂模式。
选择偏差
由于某些原因（如实验设计、数据收集过程等），训练数据可能 存在选择偏差，导致模型预测能力下降。
通过残差分析、决定系数、显著性检 验等统计方法对模型进行检验，评估 模型的拟合效果。
多重共线性问题
多重共线性定义
多重共线性是指线性回归模型中自变量 之间存在高度相关或完全相关的情况。
多重共线性的诊断
通过计算自变量之间的相关系数、条 件指数、方差膨胀因子等方法诊断多
重共线性。
多重共线性的影响
多重共线性会导致模型不稳定、参数 估计不准确、甚至出现完全的多重共 线性。
பைடு நூலகம்
VS
定位策略
基于线性回归分析的结果，确定目标市场 和产品定位，制定有效的市场推广策略。
成本预测与控制
成本预测
通过分析历史成本数据，建立线性回归模型，预测未来的生产成本，为企业制定合理的 价格策略提供依据。
第四章--经典线性回归模型(高级计量经济学-清华大学-潘文清)PPT课件

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.
11
• 一些有用的等式
(1) (2) 因为 (3)
则
且 (4)
X’e=0
b-=(X’X)-1X’
b=(X’X)-1X’Y=(X’X)-1X’(X+)=+(X’X)-1X’
定义nn方阵：
P=X(X’X)-1X’ , M=In-P P=P’ ， M=M’
P2=P， M2=M
PX=X, MX=On(k+1) e=MY=M
SSR(b)=e’e=Y’MY=’M
.
12
三、高斯-马尔科夫定理
Gauss-Markov Theorem
•Question: OLS估计量的统计性质如何？
(1)[Unbiaseness] E(b|X)=, E(b)=
E(b|X)=E[(+(X’X)-1X’)|X]=+(X’X)-1X’E(|X)=
注意：
(1) 假设4可写成
E(ij|X)=2ij,
其中， i= j时，ij=1； i≠j时，ij=0
矩阵形式： E(’)=2I
.
7
(2)由假设2，
Var(i|X)=E(i2|X)-E[(i|X)]2=E(i|X)=2
同理， Cov(i,j|X)=E(ij|X)=0
(3) 假设4意味着存在非条件同方差性：
(2) 由于可以有j≤i, 或j>i, 意味着i既不依赖过去的X， 也不依赖于未来的X。因此排除了动态模型。
例：对AR(1)模型： Yi=0+1Yi-1+i=Xi’+i
这里Xi=(1, Yi-1)’，显然E(Xii)=E(Xi)E(i)=0，但
E(Xi+1i)≠0。因此，E(i|X关于严格外生性有其他的定义。 如定义为i独立于X，或X是非随机的。这一定义排 除了条件异方差性。而我们这里的假设2是允许存在 条件异方差性的。
第三章回归模型的估计概论(高级计量经济学清华大学

第三章回归模型的估计概论(高级计量经济学清华大学


3、总体方差的估计
对=2=E(Y- Y)2= 2 (Y未知)，类比法得
第三章回归模型的估计概论(高级计 量经济学清华大学
• 则E(S*2)=2，S*2为总体方差2的无偏估计。 • 尽管S2是2的有偏估计，但却是2的一致估计量。
第三章回归模型的估计概论(高级计 量经济学清华大学
4、总体协方差的估计 对=XY=Cov(X,Y)=E[(X-X)(Y- Y)]，类比法得
我们可以寻找一个关于的估计量(estimator)T， 它是关于所抽样本Y的函数：T=h(Y)
对于某一样本(Y1,Y2,…,Yn)’，则有一个估计值 (estimate):
t=h(Y1,Y2,…,Yn)
第三章回归模型的估计概论(高级计 量经济学清华大学
一、衡量参数估计量优劣的准则 Criteria for an Estimator
• 而当上述总体回归函数呈现线性形式
•
E(Y|X)=X’0
•时，则称回归模型 Y=X’+u
•关于E(Y|X)正确设定，这时“真实”参数0等于最
佳线性最小二乘解*：
•
0=*=[E(XX|X)=0 E(Xu)=0
第三章回归模型的估计概论(高级计 量经济学清华大学
问题是：我们往往不知道总体的p(X,Y)。因此， 只能通过样本来估计总体的相关信息。
第三章回归模型的估计 概论(高级计量经济学清
华大学
2020/12/7
第三章回归模型的估计概论(高级计 量经济学清华大学
第二章指出，当联合概率分布p(X,Y)已知时，在 MSE最小化准则下，E(Y|X)是Y的最佳代表，被称 为是Y关于X的回归函数(regression function)，也可 称为总体回归函数(population regression function)。
线性回归分析PPT

线性回归分析PPT


分析宏观经济因素对微观 经济主体的影响，为企业 决策提供依据。
评估政策变化对经济的影 响，为政策制定提供参考。
市场分析
STEP 02
STEP 03
评估市场趋势和竞争态势， 为企业战略规划提供支持。
STEP 01
分析消费者行为和偏好， 优化产品设计和营销策略。
预测市场需求和销售量， 制定合理的生产和销售计 划。
参数解释
(beta_0) 是截距项，表示当所有自变量值为0时，因变量的值；(beta_1, beta_2, ..., beta_p) 是斜率项，表示自 变量变化一个单位时，因变量变化的单位数量。
线性回归分析的假设
线性关系
自变量和因变量之间存在线性关系， 即它们之间的关系可以用一条直线近 似表示。
01
02
无多重共线性
自变量之间不存在多重共线性，即它 们之间没有高度的相关性，每个自变 量对因变量的影响是独特的。
03
无异方差性
误差项的方差不随自变量的值变化。
无随机性
误差项是随机的，不包含系统的、可 预测的模式。
05
04
无自相关
误差项之间不存在自相关性，即一个 误差项与另一个误差项不相关。
Part
02
线性回归模型的建立
确定自变量与因变量
01
根据研究目的和数据特征，选择 与因变量相关的自变量，并确定 自变量和因变量的关系。
02
考虑自变量之间的多重共线性问 题，避免选择高度相关的自变量 。
散点图与趋势线
通过绘制散点图，观察自变量与因变 量之间的关系，了解数据的分布和趋 势。
根据散点图的分布情况，选择合适的 线性回归模型，如简单线性回归或多 元线性回归。
《线性回归方程》课件

《线性回归方程》课件


线性回归方程的假设
线性关系
自变量和因变量之间存在线性关系，即它们 之间的关系可以用一条直线来描述。
无异方差性
误差项的方差在所有观测值中保持恒定，没 有系统的变化。
无多重共线性
自变量之间不存在多重共线性，即它们之间 没有高度的相关性。
无自相关
误差项在不同观测值之间是独立的，没有相 关性。
02
线性回归方程的建立
详细描述
在销售预测中，线性回归方程可以用来分析历史销售数据，并找出影响销售的关键因素。通过建立线性回归模型 ，可以预测未来的销售趋势，为企业的生产和营销策略提供依据。
案例二：股票价格预测
总结词
线性回归方程在股票价格预测中具有一定的 应用价值，通过分析历史股票价ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ和影响股 票价格的因素，可以预测未来的股票价格走 势。
04
线性回归方程的应用
预测新数据
1 2
预测新数据
线性回归方程可以用来预测新数据，通过将自变 量代入方程，可以计算出对应的因变量的预测值 。
预测趋势
通过分析历史数据，线性回归方程可以预测未来 的趋势，帮助决策者制定相应的策略。
3
预测异常值
线性回归方程还可以用于检测异常值，通过观察 偏离预测值的点，可以发现可能的数据错误或异 常情况。
确定自变量和因变量
确定自变量
自变量是影响因变量的因素，通 常在研究问题中是可控制的变量 。在建立线性回归方程时，首先 需要确定自变量。
确定因变量
因变量是受自变量影响的变量， 通常是我们关心的结果或目标。 在建立线性回归方程时，需要明 确因变量的定义和测量方式。
收集数据
数据来源
确定数据来源，包括调查、实验、公开数据等，确保数据质量和可靠性。
《计量经济学》第四章知识

《计量经济学》第四章知识

《计量经济学》第四章知识第四章古典线性回归模型在引论中，我们推出了满足凯恩斯条件的消费函数与收入有关的一个最普通模型：C=α+βX+ε，其中α＞0，0＜β＜1ε是一个随机扰动。

这是一个标准的古典线性回归模型。

假如我们得到如下例1的数据例1 可支配个人收入和个人消费支出年份可支配收入个人消费1970 751.6 672.11971 779.2 696.81972 810.3 737.11973 864.7 767.91974 857.5 762.81975 847.9 779.41976 906.8 823.11977 942.9 864.31978 988.8 903.21979 1015.7 927.6 来源：数据来自总统经济报告，美国政府印刷局，华盛顿特区，1984。

（收入和支出全为1972年的十亿美元）一、线性回归模型及其假定一般地，被估计模型具有如下形式：y i=α+βx i+εi，i=1,…,n,其中y是因变量或称为被解释变量，x是自变量或称为解释变量，i标志n个样本观测值中的一个。

这个形式一般被称作y对x的总体线性回归模型。

在此背景下，y称为被回归量，x称为回归量。

构成古典线性回归模型的一组基本假设为：1. 函数形式：y i=α+βx i+εi，i=1,…,n,2. 干扰项的零均值：对所有i，有：E[εi]=0。

σ是一个常数。

3. 同方差性：对所有i，有：Var[εi]=σ2，且24. 无自相关：对所有i ≠j ，则Cov[εi ,εj ]=0。

5. 回归量和干扰项的非相关：对所有i 和j 有Cov[x i ,εj ]=0。

6. 正态性：对所有i ，εi 满足正态分布N （0，2σ）。

模型假定的几点说明：1、函数形式及其线性模型的转换具有一般形式i i i x g y f εβα++=)()(对任何形式的g(x)都符合我们关于线性模型的定义。

[例] 一个常用的函数形式是对数线性模型：βAx y =。

第三章 回归模型的估计 概论(高级计量经济学-清华大学 潘文清)

第三章 回归模型的估计 概论(高级计量经济学-清华大学 潘文清)


2、极大似然估计
对具有pdf或pmf为f(Y;)的随机变量Y（其参数未知）， 随机抽取一容量为n的样本Y=(Y1,Y2,…Yn)’其联合分布为：
gn(Y1,Y2,…Yn;)=if(Yi;) 可将其视为给定Y=(Y1,Y2,…Yn)’时关于的函数，称其为关于 的似然函数(likelihood function)，简记为Ｌ() : L()= gn(Y1,Y2,…Yn;)=if(Yi;) 对离散型分布，似然函数L()就是实际观测结果的概率。 极大似然估计就是估计参数，以使这一概率最大； 对连续型分布，同样也是通过求解L()的最大化问题，来 寻找的极大似然估计值的。
二、类比估计法(The Analogy Principle)
1、基本原理
• 总体参数是关于总体某特征的描述，估计该参数， 可使用相对应的描述样本特征的统计量。 (1)估计总体矩，使用相应的样本矩
(2)估计总体矩的函数，使用相应的样本矩的函数 对线性回归模型： Y=0+1X+u
上述方法都是通过样本矩估计总体矩，因此，也 称为矩估计法(moment methods, MM)。 (3)类比法还有： • 用样本中位数估计总体中位数； • 用样本最大值估计总体最大值； • 用样本均值函数mY|X估计总体期望函数Y|X，等
可见，总体均值的极大似然估计就是样本均值，总 体方差的极大似然估计就是样本方差。
3、极大似然估计的统计性质
由数理统计学知识： (n-1)s*2/2~2(n-1)
因此， Var[(n-1)s*2/2]=2(n-1)
Var(S*2)=24/(n-1)
§3.2 估计总体关系 Estimating a Population Relation 一、问题的引入(Introduction)
计量经济学中级教程（潘省初清华大学出版社）课后习题答案

计量经济学中级教程（潘省初清华大学出版社）课后习题答案

计量经济学中级教程（潘省初清华大学出版社）课后习题答案计量经济学中级教程习题参考答案第一章绪论1.1 一般说来，计量经济分析按照以下步骤进行：（1）陈述理论（或假说）（2）建立计量经济模型（3）收集数据（4）估计参数（5）假设检验（6）预测和政策分析 1.2 我们在计量经济模型中列出了影响因变量的解释变量，但它（它们）仅是影响因变量的主要因素，还有很多对因变量有影响的因素，它们相对而言不那么重要，因而未被包括在模型中。

为了使模型更现实，我们有必要在模型中引进扰动项u 来代表所有影响因变量的其它因素，这些因素包括相对而言不重要因而未被引入模型的变量，以及纯粹的随机因素。

1.3 时间序列数据是按时间周期（即按固定的时间间隔）收集的数据，如年度或季度的国民生产总值、就业、货币供给、财政赤字或某人一生中每年的收入都是时间序列的例子。

横截面数据是在同一时点收集的不同个体（如个人、公司、国家等）的数据。

如人口普查数据、世界各国2000年国民生产总值、全班学生计量经济学成绩等都是横截面数据的例子。

1.4 估计量是指一个公式或方法，它告诉人们怎样用手中样本所提供的信息去估计总体参数。

在一项应用中，依据估计量算出的一个具体的数值，称为估计值。

如Y 就是一个估计量，1nii YYn==∑。

现有一样本，共4个数，100，104，96，130，则根据这个样本的数据运用均值估计量得出的均值估计值为5.107413096104100=+++。

第二章经典线性回归模型2.1 判断题（说明对错；如果错误，则予以更正）（1）对（2）对（3）错只要线性回归模型满足假设条件（1）～（4），OLS 估计量就是BLUE 。

（4）错R 2 =ESS/TSS 。

（5）错。

我们可以说的是，手头的数据不允许我们拒绝原假设。

（6）错。

因为∑=22)?(tx Var σβ，只有当∑2t x 保持恒定时，上述说法才正确。

2.2 应采用（1），因为由（2）和（3）的回归结果可知，除X 1外，其余解释变量的系数均不显著。

《线性回归模型》课件

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和治疗效果。
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线性回归模型的假设条件
独立观测值
假设数据点之间相互独立，不 存在相互依赖关系。
无异常值或离群点
假设数据集中没有异常值或离 群点，因为它们可能会对回归 线的拟合产生不利影响。
线性关系
假设因变量与自变量之间存在 线性关系，即它们之间的关系 可以用一条直线来描述。
无多重共线性
假设自变量之间不存在多重共 线性，即它们之间不存在高度 的线性相关性。
详细描述
线性回归模型可以通过分析历史股票数据，找到影响股票价格的关键因素，如市场情绪 、公司业绩、宏观经济指标等。通过建立线性回归方程，可以预测未来股票价格的走势
，为投资者提供参考。
销售预测
总结词
线性回归模型可以用于预测公司未来销售额 ，帮助企业制定合理的销售计划和市场策略 。
详细描述
通过收集历史销售数据，线性回归模型可以 分析影响销售额的关键因素，如市场需求、 产品价格、竞争对手情况等。通过建立线性 回归方程，可以预测未来一段时间内的销售 额，帮助企业制定合理的销售计划和市场策 略。
疾病风险预测
总结词
线性回归模型可以用于预测个体患某种疾病 的风险，帮助医生制定个性化的预防和治疗 方案。
详细描述
线性回归模型可以通过分析个体的基因、生 活习惯、家族病史等数据，找到与疾病风险 相关的因素。通过建立线性回归方程，可以 预测个体患某种疾病的风险，帮助医生制定 个性化的预防和治疗方案，提高疾病的预防
它使用最小二乘法或其它优化方法来 找到最佳拟合直线，使得因变量的预 测值与实际值之间的平方误差最小化 。
线性回归模型的应用场景
预测连续值
解释变量关系
第四章 多元线性回归模型(计量经济学,潘省初)

第四章 多元线性回归模型(计量经济学,潘省初)


Y1 β 0 β 1 X 11 β 2 X 21 β 3 X 31 ... β K X K 1 u1 Y2 β 0 β 1 X 12 β 2 X 22 β 3 X 32 ... β K X K 2 u2 ...... Yn β 0 β 1 X 1n β 2 X 2 n β 3 X 3n ... β K X Kn un
ˆ 116.7 0.112 X 0.739 P Y (9.6) (0.003) (0.114)
R 2 0.99
Y和X的计量单位为10亿美元 (按1972不变价格计算).
食品价格平减指数 P 100，（ 1972 100） 总消费支出价格平减指数
3
多元线性回归模型中斜率系数的含义
上述假设条件可用矩阵表示为以下四个条件：
9
(1) E(u)=0 (2)
由于
E (uu) 2 I n
u1 u2 uu u1 u2 ... u n
2
u12 u1u2 ...... u1un 2 u2u1 u2 ...... u2un ... un ................................. 2 unu1 unu2 ...... un
一．假设条件 （1）E(ut)=0, t=1,2,…,n （2）E(ui uj)=0, i≠j （3）E(ut2)=σ2, t=1,2,…,n （4）Xjt是非随机量， j=1,2, … k
t=1,2, … n
8
除上面4条外，在多个解释变量的情况下，还有 两个条件需要满足： （5）（K+1）< n; 即观测值的数目要大于待估计的参数的个数 （要有足够数量的数据来拟合回归线）。 （6）各解释变量之间不存在严格的线性关系。
清华大学 五道口金融学院 潘文卿 内生性工具变量与GMM估计(优.选)

清华大学 五道口金融学院 潘文卿 内生性工具变量与GMM估计(优.选)

第4章内生性、工具变量与GMM估计•外生性与常见的内生性问题•矩估计(MM)与工具变量法(IV)•线性模型的两阶段最小二乘估计(2SLS)•线性模型的广义矩估计(GMM)§4.1 外生性与常见的内生性问题一、外生性假设与内生性问题二、常见的内生性一、外生性假设与内生性问题线性回归模型中一个重要的假设是“严格外生性”： E(ε|X )=0严格外生性（strictly strictly exogeneity exogeneity exogeneity))的含义是：各期的解释变量X t 独立于所有期的随机扰动项εt 。

在严格外生性与球型假设假设下，OLS 估计量是BLUE 。

这两大假设也称为Y t 或εt 是独立同分布的（iid ）。

对模型 Y t =β0+β1X t1+…+βk X tk +εt或 Y t = X t ’β+ εt 或 Y = X β +ε1、外生性与、外生性与OLS OLS OLS估计量的统计性质估计量的统计性质tΣ于是: u t=Y t- β0-β1X t*= β0+β1X t+εt- β0-β1(X t+v t) = εt - β1v tE(X t*u t)=E(X t+v t)u t]=E(X t u t)+E(v t u t)=E(X tεt)- β1E(X t v t)+E(εt v t) -β1E(v t2) =-β1σv2≠0Question:1.如果X可观测，而Y不可观测，情况如何？2.如果X与Y均不可观测，情况又如何？§4.2 矩估计与工具变量法一、矩估计二、矩估计中的工具变量法一、矩估计内生性的核心问题是E(εt|X) ≠0，而工具变量法t则是寻找一组工具变量Z，满足E(ε|Z t) =0，并按矩t估计的思想来进行参数估计的。

(Method of Moment, MM)1、矩估计、矩估计(Method of Moment, MM)矩估计是一种类比方法，该方法从总体具有的某总体矩))出发，认为如果样本是从某些固有的特征((总体矩些固有的特征总体中抽出的，则样本也应具有类似的特征（样本矩），从而通过计算样本的相关特征，寻找总体参数的估计。

计量经济学课件PPT线性模型概述

第三章 线性回归模型概述
回归模型分为；线性和非线性 线性模型（按变量划分）；变量以1次的形式出现 线性模型（按参数划分）；参数以1次的形式出现 线性回归模型是线性模型的一种，参数以1次形式 出现，通常可以通过一些变换，将非1次的变量化 为1次。


线性回归模型的数学基础；回归分析，企图通过 回归模型的形式揭示变量之间的因果关系 线性回归模型是是一类最为普遍的计量经济模型
ˆ ˆ x ˆ y 用以估计E (Y / X ) ˆ y ˆ 用以估计
i 0 1 i i 0 0

ˆ
1
用以估计
0 1
1
ˆ、 ˆ 称为估计量 ˆ、 y
i
估计量（Estimator）



一个估计量又称统计量，是指一个规则、 公式或方法，是用已知的样本所提供的 信息去估计总体参数。 统计量是样本的函数，因为抽样是随机 的，统计量具有随机性；对一次已经实 现的抽样，统计量又是确定的。 在应用中，由估计量算出的数值称为估 计值。
样本回归函数的随机形式
ˆ ˆ x u y ˆ 样本的残差项 (Re sidual ) ˆ u 用以估计总体残差 ˆ u u ˆ ˆ u yy ˆ yy ˆ u
i 0 1 i i i i i i i i i i i



样本回归函数的随机形式准确地描述了样本 样本残差是可以计算出来的 残差=实际值-（模型确定的）拟合值
生产函数 Q AK

ln Q ln A ln K ln L
q
L

成本函数 C ab ln C ln a q ln b
3、级数展开

著名的CES——不变替代弹性生产函数，展 开泰勒级数，得到一个线性近似公式

高级计量课件-第四章

14
当非线性模型的最小二乘函数在所考虑的参数
估计值范围[a，b]内，是参数的严格凸函数
时，上述搜索方法是有效的，会很快收敛，找 到基本符合最小二乘要求的参数估计值
如果最小二乘函数的情况比较复杂，不是严格 凸函数时，则上述搜索方法的有效性不一定有 保证。此时往往没有唯一的极点和最优点，不 能保证搜索一定会收敛，或一定会收敛到整体 最
2

1 2

1 1
1
16
一般来说，格点搜索法也主要适用于参 数个数较少和最小二乘函数是严格凸函 数的情况。
当参数个数更多时需要搜索的格点数量 会增加得很快。对于有多个极值点的比 较复杂的最小二乘函数，格点搜索法更 不一定能顺利找到最小二乘函数的解。
9
二、非线性优化 （一）直接搜索法 （二）格点搜索法 （三）最陡爬坡法
10
（一）直接搜索法
把所有可能的参数值组合都代入最小二乘函数 中进行试算，其中使得残差平方和最小的参数 组合就是要寻找的参数估计值。这种获得参数 估计值的方法我们称为“直接搜索法”。
比较笨拙，对于参数不多、估计精度要求不是 很高的情况是有效的，但在需估计的参数较多， 而且各有多种取值，参数的取值范围是连续区 间时显然是不适用的。
33
（四）牛顿-拉夫森法的优缺点 优点：搜索方向和步长的确定比较科学，因此
找到满足精度要求最优水平的搜索次数一般要 小一些。 缺点：迭代运算中需要反复计算梯度向量，特 别是海塞矩阵的逆矩阵，因此计算工作量也很 大。 在实际应用中常常并不按照牛顿-拉夫森法进行 搜索，而是根据一些简单法则确定搜索的步长。 如“双向线性搜索法”就是其中常用的方法之 一。
20
上述过程显然可以反复进行：把得到的 β (1 ) 作 为新的 β ( 0 )或新的出发点，再在一个给定半径的 圆周上重新进行最优改进搜索，找目标函数最 大（或最小）的一组参数值 β ( 2 )，如此反复直 到收敛。

第二章 回归分析与模型设定(高级计量经济学-清华大学 潘文清)

E (Y | x) E (Y | X x) yfY | X ( y | x)dy
• 条件偏度 (The conditional skewness)
E[(Y E (Y | x)) 3 | x] S (Y | x) [Var(Y | x)]3 / 2
E[(Y E (Y | x)) 4 | x] K (Y | x) [Var(Y | x)]4 / 2
但我们往往只能得到样本数据。因此自然想到用 样本均值来估计总体均值， 并寻找样本回归函数 (SRF): mY|x=f(X) We hope the SRF is a good estimate of the PRF.
Y PRF SRF
X
A simple illustration: how to find the sample mean 表 2.1 是1960年美国1027个家庭关于收入与储蓄率 的联合频率分布. p(xi,yj) =the proportion of the 1027 families who reported the combination (X=xi and Y=yj).
Table 2.1 Joint frequency distribution of X=income and Y=saving rate
X Y 0.50 0.40 0.25 0.15 0.05 0.00 -0.05 -0.18 -0.25 p(x) 0.5 0.001 0.001 0.002 0.002 0.010 0.013 0.001 0.002 0.009 0.041 1.5 0.011 0.002 0.006 0.009 0.023 0.013 0.012 0.008 0.009 0.093 2.5 0.007 0.006 0.004 0.009 0.033 0.000 0.011 0.013 0.010 0.093 3.5 0.006 0.007 0.007 0.012 0.031 0.002 0.005 0.006 0.006 0.082 4.5 0.005 0.010 0.010 0.016 0.041 0.001 0.012 0.009 0.009 0.113 5.5 0.005 0.007 0.011 0.020 0.029 0.000 0.016 0.008 0.007 0.103 6.7 0.008 0.008 0.020 0.042 0.047 0.000 0.017 0.008 0.005 0.155 8.8 0.009 0.009 0.019 0.054 0.039 0.000 0.014 0.008 0.003 0.155 12.5 0.014 0.008 0.013 0.024 0.042 0.000 0.004 0.006 0.002 0.113 17.5 0.004 0.007 0.006 0.020 0.007 0.000 0.003 0.002 0.003 0.052

第五章 经典线性回归模型(II)(高级计量经济学-清华大学 潘文清)


如何解释j为“当其他变量保持不变，Xj变化一个 单位时Y的平均变化”？
本质上： j=E(Y|X)/Xj 即测度的是“边际效应”(marginal effect)
因此，当一个工资模型为 Y=0+1age+2age2+3education+4gender+ 时，只能测度“年龄”变化的边际效应： E(Y|X)/age=1+22age 解释：“当其他变量不变时，年龄变动1个单位时 工资的平均变化量” 2、弹性： 经济学中时常关心对弹性的测度。
X1’X1b1+X1’X2b2=X1’Y (*) X2’X1b1+X2’X2b2=X2’Y (**) 由(**)得 b2=(X2’X2)-1X2’Y-(X2’X2)-1X2’X1b1 代入(*)且整理得： X1’M2X1b1=X1’M2Y b1=(X1’M2X1)-1X1’M2Y=X1-1M2Y=b* 其中，M2=I-X2(X2’X2)-1X2’ 又 M2Y=M2X1b1+M2X2b2+M2e1 而 M2X2=0， M2e1=e1-X2(X2’X2)-1X2’e1=e1 则 M2Y=M2X1b1+e1 或 e1=M2Y-M2X1b1=e* 或
b1是1的无偏估计。
设正确的受约束模型(5.1.2)的估计结果为br，则有 br= b1+ Q1b2
或 b1=br-Q1b2 无论是否有2=0, 始终有Var(b1)Var(br) 多选无关变量问题：无偏，但方差变大，即是无效 的。变大的方差导致t检验值变小，容易拒绝本该纳 入模型的变量。
§5.2 多重共线性
1、估计量的方差 在离差形式的二元线性样本回归模型中： yi=b1x1i+b2x2i+e

第三章 回归模型的估计 概论(高级计量经济学清华大学 潘文清)概要


样本均值是样本的1阶原点矩，它是总体期望，即 总体1阶原点矩的无偏估计量。
事实上，对总体的任何阶原点矩(raw moment) =s=E(Ys) 简单随机抽样中，对应的样本原点矩 Ms’=(1/n)∑iYis 是总体原点矩的无偏估计量。
3、总体方差的估计
对=2=E(Y- Y)2= 2 (Y未知)，类比法得
2、极大似然估计
对具有pdf或pmf为f(Y;)的随机变量Y（其参数未知）， 随机抽取一容量为n的样本Y=(Y1,Y2,…Yn)’其联合分布为：
gn(Y1,Y2,…Yn;)=if(Yi;) 可将其视为给定Y=(Y1,Y2,…Yn)’时关于的函数，称其为关于 的似然函数(likelihood function)，简记为Ｌ() : L()= gn(Y1,Y2,…Yn;)=if(Yi;) 对离散型分布，似然函数L()就是实际观测结果的概率。 极大似然估计就是估计参数，以使这一概率最大； 对连续型分布，同样也是通过求解L()的最大化问题，来 寻找的极大似然估计值的。
要寻找最佳估计量，则需在约束∑ci=1下求解 min ∑ci2
Q=∑ci2-(∑ci -1) Q/ci=2ci - (i=1,2,…,n) Q/= - (∑ci -1) 由极值求解条件得： ci=/2, ∑ci =1 于是 ∑ci = n/2 =2/n, ci=1/n 记 则 Theorem. 从任何总体中进行简单随机抽样，样本均 值是总体期望的最小方差线性无偏估计量(minimum variance linear unbiased estimator，MVLUE)。
三、极大似然估计 Maximum likelihood Estimation
1、基本原理 极大似然估计是在假设随机变量Y的分布形态已

线性回归模型(计量经济学)

线性回归模型概述
REPORTING
定义与目的
定义
线性回归模型是一种预测模型， 用于描述因变量与一个或多个自 变量之间的线性关系。
目的
基于历史数据，通过建立线性回 归模型，预测因变量的未来趋势 ，并分析自变量对因变量的影响 程度。
线性回归模型的基本假设
线性关系
因变量与自变量之间存在线性关系， 即它们之间的关系可以用一条直线来 近似表示。
优点
能够给出参数的最优解， 具有一致性和无偏性，适 用于多种类型的数据。
工具变量法
原理
工具变量法是一种用于处理内生 性问题的估计方法，通过引入与 内生解释变量相关，但与误差项 无关的工具变量来估计参数。
计算方法
工具变量法通过最小化误差平方 和，同时利用工具变量与内生解 释变量的相关性，求解出最佳拟 合直线的参数。
计的参数不准确。
原因
自变量之间可能存在某种关联 ，或者由于数据收集过程中的 误差导致自变量测量误差。
影响
参数估计值不稳定，可能导致 预测失效。
处理方法
减少自变量数量、使用主成分 分析、逐步回归等方法。
自相关问题
定义
自相关是指时间序列数据中，当前值与过去 值之间的相关性。
影响
模型的估计参数不准确，导致预测误差。
原因
时间序列数据中，同一数据点之间存在某种 关联性。
处理方法
使用差分法、ARIMA模型等方法处理自相 关问题。
异方差性检验与处理
定义
异方差性是指模型残差项的方差不恒定，即方差随预测变量的变化而变化。
原因
模型未正确反映自变量与因变量之间的关系，或者数据存在异常值。
影响
模型的估计参数不准确，导致预测误差。
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(3) 计量经济学中，关于严格外生性有其他的定义。 如定义为i独立于X，或X是非随机的。这一定义排 除了条件异方差性。而我们这里的假设2是允许存在 条件异方差性的。 如果X是非随机的，则假设2变成
E(i|X)=E(i)=0
(4)假设2的向量形式：
E(|X)=0
注意： (1)本假设排除了解释变量间的多重共线性 (multicollinearity) (2) 本假设意味着X’X是非奇异的，或者说X必须 满秩于k+1。因此应有k+1≤n。 (3) 由于λ表述了矩阵X’X的相关信息，因此本假 设意味着当n∞时应有新信息进入X，即Xi不能老 是重复相同的值。
注意： (1) 假设4可写成
E(ij|X)=2ij,
其中， i= j时，ij=1； i≠j时，ij=0
矩阵形式： E(’)=2I
(2)由假设2，
Var(i|X)=E(i2|X)-E[(i|X)]2=E(i|X)=2
同理， Cov(i,j|X)=E(ij|X)=0
注意：
(1) 1阶偏导： SSR/b= -2X’(Y-Xb)
2阶偏导： 2SSR/2b=2X’X
由min(X’X)>0 知2X’X>0, 从而b=(X’X)-1(X’Y)是最小值 (2) 由1阶极值条件可以得到所谓正规方程(normal equations): X’(Y-Xb)=X’e=0 正规方程是OLS所特有的，而不论是否有E(i|X)=0
(3) 假设4意味着存在非条件同方差性： var(i)=2 类似地， Cov(i, j)=0 (4) 假设4并不意味着i与X是独立的。它充许i的 条件高阶矩（如：偏度、峰度）可依赖于X。
二、参数的估计 Estimation of
由假设1与假设2知： E(Y|X)=0+1X1+…+kXk=X’ 其中，X=(1, X1, …,Xk)’ 即线性模型Y=X’+关于E(Y|X) 正确设定。 因此，其最佳线性最小二乘近似解(beat linear LS approximation coefficient)*等于参数的真实值0。 即，min E(Y-X’)2 的解为 *=0=[E(XX’)]-1E(XY)
• 一些有用的等式 (1) X’e=0 (2) b-=(X’X)-1X’ 因为 b=(X’X)-1X’Y=(X’X)-1X’(X+)=+(X’X)-1X’ (3) 定义nn方阵： P=X(X’X)-1X’ , M=In-P 则 P=P’ ， M=M’ P2=P， M2=M 且 PX=X, MX=On(k+1) (4) e=MY=M SSR(b)=e’e=Y’MY=’M
第四章 经典线性回归模型(I)
Classical Linear Regression Model (I)
§4.1 经典线性回归模型 Classical Linear Regression Models
一、经典回归模型 Classical Regression Model
假设随机抽取一容量为n的样本(Yi, Xi), i=1,…,n， 其中，Yi是标量，Xi=(1,X1i,X2i,…,Xki)’，或
假设4（Spherical error variance） (a) [conditional homoskedasticity]: E(i2|X)=2>0, i=1,2,…,n (b) [conditional serial uncorrelatedness]: E(ij|X)=0, i, j=1,2,…,n
三、高斯-马尔科夫定理 Gauss-Markov Theorem
•Question: OLS估计量的统计性质如何？ (1)[Unbiaseness] E(b|X)=, E(b)= E(b|X)=E[(+(X’X)-1X’)|X]=+(X’X)-1X’E(|X)= (2)[Vanishing Variance] Var(b|X)=E[(b-)(b-)’|X] =E[(X’X)-1X’’X(X’X)-1|X] =(X’X)-1E(’|X) =(X’X)-12I =2(X’X)-1 b中第i个元素的方差：Var(bi)= 2cii, cii为(X’X)-1 中主对角线第i个元素。
Y1 Y2 Y Y n
1 X 11 1 X 12 X 1 X 1n X k1 X k2 X kn
Байду номын сангаас
经典回归模型(classical regression model)建立在 如下假设之上：
假设1(linearity): Yi=0+1X1i+…+kXki+i =Xi’+i (i=1,2,…n) 或 Y=X+ 其中，=(0, 1,…,k)’, =(1,2,…,n)’ 注意： 这里的线性性指Y关于参数是线性的。
假设2（strict Exogeneity）: E(i|X)=E(i|X1,X2,…Xn)=0, 注意：
(i=1,2,…n)
(1) 由E(i|X)=0 易推出：E()=0, E(Xji)=0 或有： Cov(Xj, i)=0 (i, j=1,2,…n) (2) 由于可以有j≤i, 或j>i, 意味着i既不依赖过去的X， 也不依赖于未来的X。因此排除了动态模型。 例：对AR(1)模型： Yi=0+1Yi-1+i=Xi’+i 这里Xi=(1, Yi-1)’，显然E(Xii)=E(Xi)E(i)=0，但 E(Xi+1i)≠0。因此，E(i|X)≠0
由类比法，对样本回归模型 Yi=Xi’b+ei i=1,2,…,n 其中，Xi=(1, X1i, …,Xki)’, b=(b0, b1, …,bk)’ 需求解极值问题 min (1/n)(ei)2 上述问题相当于求解残差平方和(sum of squared residuals, SSR)的极小值 min SSR(b)=ei2=(Yi-Xi’b)2=e’e=(Y-Xb)’(Y-Xb) 其中，e=(e1,e2,…,en)’ 在假设3下，解为： b=(X’X)-1(X’Y) 该方法称为普通最小二乘法(ordinary Least Squares)